函数单调性、奇偶性、周期性

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抽象函数的单调性、奇偶性、周期性

抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样特别是两性质的应用更加突出本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识一．重难点归纳函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

(2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；二．例题例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力知识依托认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =［f (n 21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三．练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ C ）(A)f (x )为奇函数（B ）f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数（D ）f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________6．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称答案 C4 解析令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0 又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0） 6 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四．易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（） A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=（） A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案：B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为A．2 B．3 C．4 D．5答案：A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+，则()5f的值是A．0 B．1 C．52D．5答案：D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+，且(1)1,f-=(0)2f=-，则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A．2-B．1-C．0 D．1答案：D．解析：本题考查了函数的对称性和周期性．由3()()2f x f x=-+，得(3)()f x f x+=，因此，()f x是周期函数，并且周期是３函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x=-3()2f x--，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?＝(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数，)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于（）A．－1004 B．1004 C．－1 D．1答案：D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R，它的反函数为)(1xfy-=，如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)(（a为非零常数），则)2(af的值为（）A．a-B．0 C．a D．a2答案：B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2答案：A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+，当2x>时，()f x单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负答案：A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数，且)2()(+=xfxf恒成立，当)0,2(-∈x时，2)(xxf=，则当[]3,2∈x时，函数)(xf的解析式为（）A．42-x B．42+x C．2)4(+x D．2)4(-x答案：D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+，若当x ∈(0，3)时，xxf2)(=，则当x∈(- 6，-3)时，)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案：B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)等于（）A．0 B．—2 C．2 D．2x—4答案：A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f(2)>１，f (2008)=33-+aa，则a的取值范围是（）A. (－∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞) 答案：B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数，当[0,1]x∈时，()f x x=，那么在区间[1,3]-内，关于x的方程()1f x kx k=++（其中k是为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)-B．1(,0)2-C．1(,0)3-D．1(,0)4-答案：C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R，对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-，且(1)f x-＝(3)f x-，当12x≤≤时，()f x＝2x，则()f x的单调减区间是（）A.[2k，2k+1](k Z∈) B.[2k-1，2k](k Z∈)C.[2k，2k+2] (k Z∈) D.[2k-2，2k](k Z∈)答案：A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数 ()4+=x f y 为偶函数，则（）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f > 答案：D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f =答案：A。

函数的奇偶性、单调性、周期性

一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解．（1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，数的整体性质. 数的整体性质（2）函数奇偶性中对定义域内任意一个，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点的实质是：，－的实质是对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件函数的奇偶性是其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是（A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数上的函数
值为正,则称上为增函数；值为正则称y = f (x)在D上为增函数；则称在上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义

函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题

函数的性质知识要点一、函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4．奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数；注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1．已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2．函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。

函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)

判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（3）记住几条常用的结论：
①若()是增函数，则−()为减函数；若()是减函数，则−()为增函数；
2
注意：关于①式，可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ )．
+1

−
偶函数：①函数() = ±( + )．

②函数() = log ( + 1) − ．
2
③函数(| |)类型的一切函数．
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是（
− 2
f (a x) f (a x)

f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)

f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)

f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)

f ( x)为偶函数
（2）若函数 = ( + )为奇函数，则函数 = ()关于点(, 0)对称．
（3）若() = (2 − )，则函数()关于 = 对称．
（4）若 + (2 − ) = 2，则函数()关于点(, )对称．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增（或减）函数，则在()和()的公共定义域上() +

函数单调性、奇偶性及周期性(BK)

函数单调性、奇偶性及周期性一、函数的单调性(局部性质)1.增（减）函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，区间D为y=f(x)的单调增（减）区间.2. 增（减）函数的判断方法及步骤：（1）图像法：单调区间上增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.（2）定义法：任取x1，x2∈D，且x1< x2；作差f (x1)－f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（判断差f(x1)－f(x2)的正负）；下结论.（3）函数单调性的变形（主要用于抽象函数）：增（减）函数：；3.含奇偶性的函数单调性的应用（1）奇函数：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b]上为增函数，则在[-b，-a]上也为增函数（对称区间单调性相同）.（2）偶函数：奇函数的图象关于y轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b]上为增函数，则在[-b，-a]上为减函数（对称区间单调性相反）.-aayxOx1x2x1x1x2x2-aaxOy是上的奇函数，且在是上的奇函数，且在为为增函数，则在区间为增函数，对于减函数，则在区间为增函数，此时以，则应满足：的单调性作为标准，对于，则应满足：二、周期函数的定义及重要结论1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期.2.重要结论（1）若函数满足，则是以为周期的周期函数；（2）若函数满足，则是以为周期的周期函数；（3）若函数满足，则是以为周期的周期函数；（4）函数满足，则是以为周期的周期函数.3.对称性:若a为非零常数，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫做的对称轴.注：或的对称轴为，的对称轴为.相关习题一、选择题1.如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A.增函数，最小值是-5B.增函数，最大值是-5C.减函数，最小值是-5D.减函数，最大值是-52.已知函数是奇函数，则的值为（）A. B. C. D.3.是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（）A. B.C. D.与的取值有关4.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则为（）A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数5. 函数对于任意实数满足条件，若，则的值等于（）A. B. C. D.二、填空题6. 在R上是增函数且为奇函数, k的值为；7.函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为________；8.已知是R上的减函数，那么a的取值范围是；9.已知函数y＝f (x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集是________．三、解答题10. 判断下列各函数是否具有奇偶性（1）；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）；（7）.11.（1）为R上奇函数，当时，，求在R上解析式；（2）为上的偶函数，当时，，求在上解析式；（3）都是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，且有，试求的解析式.12.（1）在(－2，2)上为减函数，且，求m的取值范围；（2）在上为偶函数，且在上是减函数，求a的取值范围.13. 对于任意的实数都有，当时，.（1）求证：在R上是增函数；（2）若，解不等式.。

函数单调性、奇偶性、周期性知识点

一轮复习知识点一、函数（二）函数性质——单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性1.定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果取区间M 中任意两个值12,x x ，改变210x x x =->，则当21()()0y f x f x =->时，就称()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x =-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。

2.单调性：如果某个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。

3.判断函数单调性的方法（1）定义法121212121.,,2.()()3..()()5.x x x x y f x f x y y f x f x <⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩在区间上任取且计算将变成因式乘除形式，便于判断符号4判断的正负下结论（2）元素分析法（3）求导（4）图像法（5）复合函数[][]1.()()()2.()()()f x g x f g x f x g x f g x ⎧⎪⎨⎪⎩与单调性相同，单调增与单调性相反，单调减（6）函数加减：公共定义域内，()()f x g x 与的单调性+=+=-=-=⎧⎨⎩增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数二、奇偶性1.定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x gx -=，则这个函数叫做偶函数。

2.奇偶性图像性质汇总奇偶性共同点定义式图像 0x = 单调性奇函数定义域关于原点对称 ()()f x f x -=- 关于原点对称 (0)0f = 对应区间单调性一致偶函数 ()()g x g x -=关于y 轴对称对应区间单调性相反3.判断函数奇偶性的方法（1）定义法：奇函数：()()f x f x -=- ()()0f x f x -+= ()1()f x f x -=-偶函数：()()g x g x -= ()()0g x g x --=()1()f x f x -=（2）图象法（3）性质法①偶+偶=偶偶-偶=偶偶*偶=偶偶/偶=偶②奇+奇=奇奇-奇=奇奇*奇=偶奇/奇=偶③奇*偶=奇奇/偶=奇④()[()]F x f g x = ()()()()()()f x g x x f x g x x f x g x x ⎧⎪⎨⎪⎩为偶，为偶，F()为偶为奇，为奇，F()为奇为偶，为奇，F()为偶三、周期性1.定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内每一个值，都有()()f x T f x +=，那么，()f x 叫做周期函数，T 叫做()f x 的周期。

高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数

高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。

如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。

()()()()121200f x f x x x -><→-增减任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。

有时也根据导数。

()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。

（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1）一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。

2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。

（2）二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。

（3）反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合

第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的基本性质，可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。

本文将详细介绍函数的奇偶性、单调性和周期性，并综合讨论它们的关系及应用。

一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是对于函数的自变量取相反数，函数值是否相同的特性进行分类的。

具体定义如下：1.奇函数：对于任意实数x，函数f(-x)=-f(x)成立。

也就是说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。

奇函数关于原点对称，即关于原点中心对称。

2.偶函数：对于任意实数x，函数f(-x)=f(x)成立。

也就是说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数。

偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称。

对于一个给定的函数，我们可以通过观察函数图像或者计算函数表达式来判断它的奇偶性。

例如，对于一次函数f(x)=2x+3，我们可以发现它的函数图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，因此它是奇函数；对于二次函数f(x)=x^2，我们可以发现它的函数图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，因此它是偶函数。

奇函数和偶函数的性质：1.两个奇函数的和仍然是奇函数，两个偶函数的和仍然是偶函数。

2.一个奇函数和一个偶函数的和是一个既不是奇函数也不是偶函数的函数。

二、函数的单调性单调性是描述函数在定义域上的增减性质。

具体定义如下：1.递增函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)就是递增函数。

也就是说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。

2.递减函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)就是递减函数。

也就是说，递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。

我们可以通过求导或者观察函数图像来判断函数的单调性。

对于一次函数f(x)=kx+b，其中k为非零常数，我们可以发现它的函数图像为一条斜率为k的直线，当k>0时，它是递增函数；当k<0时，它是递减函数。

单调性二奇偶性三周期性四有界性

解 (1) f (x) (x)2 x2 f (x), f (x) x2 是偶函数.
(2) g( x) ( x)3 x3 g( x), g( x) x3 是奇函数
(3) h( x) x2 x3, 而f ( x) x2 x3, h( x) x2 x3,
当 x 0 ,h( x) h( x), 且h( x) h( x),
这里取Ｍ=1.
函数y=sinx旳图形位于直线y=1与y= –1之间.
应该注意，函数旳有界性，不但仅要注意函数旳特
点，还要注意自变量旳变化范围Ｘ.
例如，函数 f (x) 1 在区间(1,2)内是有界旳. x
实际上，若取Ｍ=1，则对于任何 x (1,2)
都有 | f (x) || 1 | 1 x
成立，
而 f (x) 1 在区间(0,1)内是无界旳. x
假如对于区间X上任意两点x1及x2 ，当x1 x2 都有 f (x1) f (x2 ) (或f (x1) f (x2 )),
则称函数y=f(x)在区间X上严格单调增长(或严格单调降低).
严格单调增长旳函数旳图形是沿x 轴正向上升旳；改图P9图1.6
严格单调降低旳函数旳图形是沿x 轴正向下降旳；改图P9图1.7
函数y=tan x及y=cot x都是以π 为周期旳周期函数.
四、有界性
定义1.5 设函数y=f(x)在数集X上有定义,假如存在正数 M，使得对于任意旳 x X ，都有不等式
| f (x) | M 成立，则称f(x)在X上有界，并称M为f(x)在X上旳一种界.
当函数y=f(x)在区间[a,b]上有界时，函数y=f(x)旳图形恰好位
所以h( x) x2 x3即不是奇函数,也不是偶函数
在常见旳函数中，sin x是奇函数，cos x是偶函数. 当n为偶数时，函数 y xn是偶函数; 当n为奇数时，函数 y xn 是奇函数.

函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)

函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。

1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称非奇非偶例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶（2）奇函数×奇函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。

2. 单调性定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论（二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1）奇函数在对称区间上的单调性相同（2）偶函数在对称区间上的单调性相反（3）复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、知识回顾第一部分函数的单调性1.定义：一般地，设函数)(x f y =定义域为A ，区间A M ⊆.如果取区间M 中的任意两个值21,x x 该变量012>-=∆x x x 则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数，当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数，如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是偶函数，就说函数在这个区间M 上具有单调性.区间M 称为单调区间.2.单调性的判断:1.定义法：①21,x x 必须在定义域内，且给定关系21x x <；②作差)()(12x f x f -，作商)()(12x f x f （)(x f 恒大于零，或恒小于零）； ③整理变形.（转变成因式相乘，或相除的形式）；④定号判断)()(12x f x f -是否大于零，或)()(12x f x f 是否大于1； ⑤做结论.2.图象法：从左到右看图象的走势，上升即为增函数，下降即为减函数.3.定义变形：若0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是增函数；若0)]()()[(2121<--x f x f x x ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. 若0)()(2121>--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是增函数；若0)()(2121<--x x x f x f ，则说)(x f 在这个区间上是减函数. （4）复合函数单调性判断：))((x g f y =，令)(x g m =，在区间),(b a 上，若)(x g m =为单调函数，且)(m f y =在区间))(),((b g a g 或))(),((a g b g 上也为单调函数，则)(m f y =，)(x g m =同增同减时，))((x g f y =为单调递增函数；)(m f y =，)(x g m =一增一减时，))((x g f y =为单调递减函数；3.性质：（1）若)(),(x g x f 均为增函数（减函数）则)()(x g x f +为增函数（减函数）.（2）若)(x f 为增函数（减函数）则)(x f -为减函数（增函数）.（3）互为反函数的两个函数单调性相同.（4）奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反.（5）当),(b a x ∈时，)(),(x g x f 为增函数（减函数）且0)(,0)(>>x g x f 则)()(x g x f ⋅在),(b a 内递增（减）.（6）当),(b a x ∈时，)(x f 恒正（负），且)(x f 为增函数（减函数）则)(1x f 为减函数（增函数）. 第二部分函数的奇偶性1.奇函数：（1）设函数)(x f y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x f x f -=-则这个函数叫做奇函数.（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（3）奇函数的变式定义：对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=+-x f x f 或)0)((,1)()(≠-=-x f x f x f ，则函数)(x f 叫奇函数. （4）奇函数)(x f 定义域为R ，则一定有0)0(=f .2.偶函数：（1）设函数)(x g y =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x 都有D x ∈-，且)()(x g x g =-则这个函数叫做偶函数.（2）如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，那么这个函数是偶函数.（3）对于函数)(x f y =，在它的定义域内，任意一个x 如果都有0)()(=--x f x f 或1)()(=-x f x f ，)0)((≠x f 则函数)(x f 叫偶函数. （4）)(x f 为偶函数)()()(x f x f x f ==-⇔.3判断函数的奇偶性：（1）定义域必须对称.（2）整理)(x f -的形式，尤其是指数和对数.（3）确定⎩⎨⎧-=-奇函数偶函数)()()(x f x f x f4.若奇函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(),(x g x f 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f ±为偶函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为偶函数；)()(x g x f 为偶函数. 若偶函数)(x f 与奇函数)(x g 的定义域的交集关于原点对称，则有)()(x g x f 为奇函数；)0)((,)()(≠x g x g x f 为奇函数；)()(x g x f ±奇偶性不确定. 5.常见结论：（1）1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+且为奇函数. （2）为奇函数且)10)(1(log )(2≠>++=a a x x x f a . （3）为奇函数且)10(log )(≠>-+=a a xb x b x f a . （4）若)(b ax f +为偶函数，有)()(b ax f b ax f +-=+;若)(b ax f +为奇函数，有)()(b ax f b ax f +-=+-.第三部分函数的周期性1.定义：对于函数)(x f 如果存在非零的常数T ，使得当x 取定义域内的任何数时，都有)()(x f T x f =+那么就称)(x f 为周期函数.T 为)(x f 的一个周期.2.相关结论:设实数0≠m ，若对于函数)(x f 的定义域内的任意x ，恒有以下关系：（1）)()(x f m x f -=+；（2）)(1)(x f m x f =+；（3）)(1)(x f m x f -=+；（4）1)(1)()(-+=+x f x f m x f ；（5）1)()(1)(+-=+x f x f m x f ；（6）)()(m x f m x f -=+；则)(x f 是周期m T 2=的周期函数.（7）)0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；（8）)()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a ；（9）若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数；若)()(x a f x a f -=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数（10）若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是偶函数，则)(x f y =是周期为4a 的周期函数.若)()(x a f x a f --=+且)(x f 是奇函数，则)(x f y =是周期为2a 的周期函数. 若)(x f y =关于点（a ，0），（b ，0）对称，则)(x f 是周期为2b a -的周期函数.（11）)(x f y =的图象关于直线a x =，b x =（b a ≠）对称，则函数)(x f y =是周期为2b a -的周期函数.（12）如果函数)(x f y =的图象有一个对称中心)0.(a A 和一条对称轴)(,b a b x ≠=，则函数)(x f y =必是周期函数，且周期为b a T -=4.二、精选例题第一部分：函数的单调性例1.下列函数中，既是偶函数又是区间),0(+∞上的增函数的是（）A 3x y =B 1+=x yC 12+-=x yD x y -=2【解析】因为函数x y x y -==和都是偶函数，所以内层有它们的就是偶函数，但是它们在),0(+∞的单调性相反，再加上外层函数的单调性就可以确定.由偶函数可排除A ，再由增函数排除C ，D ，故选B例2.函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________【答案】1(,)2-+∞【解析】因为210x +>，所以定义域为1(,)2-+∞，由复合函数的单调性知:函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是1(,)2-+∞.例3.若函数32)(2+-=mx x x f 在[)∞+-,2上是增函数，在(]2,-∞-上为减函数，则)1(f 等于（）A : 11 B: 10 C: 12 D: 13 【解析】由题意可知对称轴24-==m x ，8-=∴m ，382)(2++=x x x f ，13)1(=∴f . 例4.求证：)0()(2>+=a xa x x f 在区间(]a ,0是单调递减函数. 【解析】任取a x x ≤<<210，则212211212122212))(()()(x x a x x x x x a x x a x x f x f --=--+=-， a x ≤<20Θ，a x <<10Θ，2210a x x <<∴，又012>-x x ，0)()(12<-∴x f x f ，)()(12x f x f <∴，故)(x f 在区间(]a ,0是单调递减函数.例5.下列区间中，函数()lg(2)f x x =-，在其上为增函数的是（A ）(,1]-∞ （B ） 41,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ） 3[0,)2 （D ） [1,2)【解析】用图象法解决，将lg y x =的图象关于y 轴对称得到()lg y x =-，再向右平移两个单位，得到()()lg 2y x =--，将得到的图象在x 轴下方的部分翻折上来，即得到()lg(2)f x x =-的图象.由图象，选项中()f x 是增函数的显然只有D例6.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间0t =时，点A的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,12【解析】画出图形，设动点A 与x 轴正方向夹角为α，则0t =时3πα=，每秒钟旋转6π，在[]0,1t ∈上[,]32ππα∈，在[]7,12上37[,]23ππα∈，动点A 的纵坐标y 关于t 都是单调递增的.例7.求函数6)(2-+=x x x f 的单调区间.【解析】由062≥-+x x ，得3-≤x ，或2≥x .)(x f ∴的定义域为{}2,3≥-≤x x x 或，令62-+=x x u ，则原函数化为u y =，而425)21(622-+=-+=x x x u ，（1）当(]3,-∞-∈x 时，函数u 关于x 为减函数，y 关于u 为增函数，为减函数，区间关于x y ∴(]3,-∞-为函数)(x f 的单调递减区间；（2）当(]∞+∈,2x 时，函数u 关于x 为增函数，y 关于u 为增函数，为增函数，区间关于x y ∴(]∞+,2为函数)(x f 的单调递增区间；故函数)(x f 的单调递增区间为(]∞+,2，单调递减区间为(]3,-∞-.例8.求函数421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上的单调性. 【解析】3)1(524252425842421342)(222222+-+=+-+=+-++-=+-+-=x x x x x x x x x x x x f ，当2>x 时，3)1(2+-x 是递增的，∴3)1(52+-x 是递减的，即3)1(52)(2+-+=x x f 是递减的， ∴421342)(22+-+-=x x x x x f 在区间),2(∞+上是递减的，区间),2(∞+为减区间. 例9.已知函数()23x x f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0ab ≠.（1）若0ab >，判断函数()f x 的单调性；（2）若0ab <，求(1)()f x f x +>时x 折取值范围.【解析】（1）当0,0a b >>时，任意1212,,x x R x x ∈<，则121212()()(22)(33)x x x xf x f x a b -=-+-∵121222,0(22)0x x x x a a <>⇒-<，121233,0(33)0x x x x b b <>⇒-<， ∴12()()0f x f x -<，函数()f x 在R 上是增函数.当0,0a b <<时，同理，函数()f x 在R 上是减函数.（2）(1)()2230x x f x f x a b +-=⋅+⋅>当0,0a b <>时，3()22x ab >-，则 1.5log ()2ax b >-；当0,0a b ><时，3()22x ab <-，则 1.5log ()2ax b <-.第二部分：函数的奇偶性例1.设函数()f x 和g （x ）分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（） A . ()()f x g x +是偶函数 B. ()()f x g x +是奇函数C. ()()f x g x +是偶函数D. ()()f x g x -是奇函数【解析】设()()()h x f x g x =+，|)(|)(|)(|)(|)(|)()(|)(|)()(x g x f x g x f x g x f x h x g x f x h +=-+=-+-=-∴+=)(x h =，所以)(x h 是偶函数，所以选A .例2.若函数2()f x x x a =-+为偶函数，则实数a =.【答案】 0 【解析】22()(),)f x f x x x a x x a -=--+=-+即(-，则,,0x a x a x R a -=+∈∴=Q例3.函数22log 2xy x -=+的图象（A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f （-x ）= 22log 2x x+-=-f （x ），故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A . 例4.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-，又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ；又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ，于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 例5.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f Θ，设0<x ，则0>-x 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又Θ)(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f例6.数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）（A ） ()f x 是偶函数（B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数【解析】Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例7.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x f 的解集. 【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x x f <⎥⎦⎤⎢⎣⎡-，又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出1)21(0<-<x x ，解得417121+<<x 或04171<<-x ；又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ，于是又得)1()21(-<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-f x x f ，即1)21(-<-x x ，得φ∈x ， ∴原不等式的解集是⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<-<+<<0417*******x x x 或. 例8.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（）（A ）(3)(2)(1)f f f <-< （B ） (1)(2)(3)f f f <-<（C ） (2)(1)(3)f f f -<< （D ） (3)(1)(2)f f f <<-【解析】由2121()(()())0x x f x f x -->等价于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增，又()f x 是偶函数，故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时， (2)(2)f f -=， 03>21>>，得(3)(2)(1)f f f <-<，故选A .第三部分：函数的周期性例1.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=（A ） -12 （B ）1 4- （C ）14 （D ）12【答案】A【解析】5511()(2)()()2222f f f f -=-+=-=-Q 1112()(1)222=-⨯-=-故选A 例2.设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若()()f x x g x =+在[3,4]上的值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为.【答案】[15,11]-例3.若定义在R 上的奇函数满足)()2(x f x f -=+，求)2010(f 的值.【解析】)()2(x f x f -=+Θ，)()4(x f x f =+∴，又)(x f 在R 上为奇函数，故0)0(=f ， 0)2(=∴f ，从而0)2()2010(==f f例4.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时，3()f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）9【解析】因为当02x ≤<时， 3()f x x x =-，又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =，所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====，又因为(1)0f =，所以(3)0f =，(5)0f =，故函数()y f x =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为7个，选B.例5.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A .T B.0 C.2T D.不能确定【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 例6.给出下列三个命题：①函数11cos ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数； ②若函数()y f x =与()y g x =的图象关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图象也关于直线y x =对称；③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数.其中真命题是A . ①② B. ①③ C.②③ D. ②【解析】考虑定义域不同，①错误，排除A 、B ；验证③， ()[2()](2)f x f x f x -=--=+，又通过奇函数得()()f x f x -=-，所以f （x ）是周期为2的周期函数，选择C.例7.函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（）（A ） ()f x 是偶函数（B ） ()f x 是奇函数（C ） ()(2)f x f x =+ （D ） (3)f x +是奇函数【解析】Q (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数.故选D例8.定义在R 上的函数()f x 满足()f x = ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则(2009)f 的值为 A .-1 B. 0 C.1 D. 2【解析】由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=，所以函数()f x 的值以6为周期重复性出现.，所以(2009)f = (5)f =1，故选C.例9.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，则（）A .(25)(11)(80)f f f -<< B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<【解析】因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数，(0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D.三、课堂训练第一部分：函数的单调性1.对于函数(),y f x x R =∈，“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要【解析】由奇函数定义，容易得选项B 正确.2.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A .1ln ||y x = B.3y x = C.||2x y = D.cos y x =【解析】由偶函数，排除B;由减函数，又排除B 、D ，故选A .3.函数1()f x x x=-的图象关于（） A .y 轴对称 B.直线x y -=对称 C.坐标原点对称 D.直线x y =对称【解析】1()f x x x=-是奇函数，所以图象关于原点对称 4.已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数，求实数a 的范围.【解析】[]222)1(2)1(2)1(2)(a a x x a x x f --+--=+--=[][]2222)1()1(12)1(++--=+++--=a a x a a a x ，∴函数减区间(]a -∞-1,，而已知2)1(2)(2+--=x a x x f 在(]4,∞-上是减函数， ∴(]∈∞-4,(]a -∞-1,，即,14a -≤即3-≤a .5.已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是（）（A ）(1,)+∞ （B ） [1,)+∞（C ） (2,)+∞ （D ） [2,)+∞【解析】由0a b <<，且()()f a f b =得：0111a b ab <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y x x '=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2 6.已知函数10)2(2)(2-++=x m x x f 在区间()3,1上是增函数，求)1(f 的取值范围.【解析】10)2(2)(2-++=x m x x f 的对称轴为)2(+-=m x ，在区间()3,1上为增函数，而)(x f 是开口向上的抛物线，在[]∞++-,)2(m 上是增函数，()3,1∴是[]∞++-,)2(m 的一个子区间，3,)2(1-≥+-≥∴m m ，115)3(252101)2(21)1(2-=--⨯≥-=-⨯++=∴m m f ，即11)1(-≥f .7.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（）A ),3()1,3(+∞⋃-B ),2()1,3(+∞⋃-C ),3()1,1(+∞⋃-D )3,1()3,(⋃--∞【解析】由已知，函数先增后减再增，当0≥x ，2)(≥x f 3)1(=f 令,3)(=x f 解得3,1==x x当0<x ，3,36-==+x x 故3)1()(=>f x f ，解得313><<-x x 或8.已知函数[)∞+∈++=,1,2)(2x x a x x x f ，当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；【解析】当21=a 时，222)21(221)(2++-=++=x x x x x f ，当且仅当xx 21=，即21=x 时，)(x f 最小，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,21上递增，∴在区间上[)∞+,1为增函数， 272211)1(=++=∴f 是函数)(x f 的最小值. 9.设函数)0()(>>++=b a bx a x x f ，求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在单调区间上的单调性. 【解析】在定义域内任取21x x <，))(())(()()(2121221121b x b x x x a b b x a x b x a x x f x f ++--=++-++=-∴， 0,0,021<-<-∴>>x x a b b a Θ，只有当b x x -<<21或21x x b <<-时函数才单调.当b x x -<<21或21x x b <<-时，函数0)()(21>-x f x f ，)(x f ∴在()b -∞-,和()∞+-,b 上是单调减函数.第二部分：函数的奇偶性1.函数()412x xf x +=的图象 A . 关于原点对称 B. 关于直线y =x 对称 C.关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称【解析】)(241214)(x f x f x xx x =+=+=---)(x f ∴是偶函数，图象关于y 轴对称 2.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f 2)(3+=；（2）xx x x f -+⋅-=11)1()( 【解析】（1）因为定义域为R ，关于原点对称，且)(2)(2)()(33x f x x x x x f -=--=-+-=-，故)(x f 为奇函数.（2）函数的定义域满足011≥-+xx ，所以函数的定义域为{}11<≤-x x ，因为定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数.3.判断下列函数的奇偶性：（1）2432)(x x x f +=；（2）2211)(x x x f -+-=【解析】（1）定义域关于原点对称，又有24)(3)(2)(x x x f -+-=-=)(3224x f x x =+，故)(x f 为偶函数.（2）由题意知，定义域为{}1,1-，关于原点对称，且有0)(=x f ，所以)(x f 为既奇又偶函数.4.下面四个结论：① 偶函数的图象一定与y 轴相交；② 奇函数的图象一定通过原点；③ 偶函数的图象关于y 轴对称；④ 既是奇函数，又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=.其中正确结论的是： .【解析】偶函数图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，反例：1)(-=x x f ，故①错；奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，反例：1)(-=x x f ，故②错；若)(x f 是既奇又偶，有0)(=x f ，但未必R x ∈，反例：0)(=x f ，2±=x ，故④错；所以，只有③正确.5.已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（） A .2- B.1- C.1 D.2【解析】1222(2008)(2009)(0)(1)log log 1f f f f -+=+=+=，故选C.6.判断函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f 的奇偶性. 【解析】当0>x 时，1)(+=x x f ，0<-x ，)()1(1)(x f x x x f -=+-=--=-∴；当0<x 时，1)(-=x x f 0>-x ，)()1(1)(x f x x x f -=--=+-=-∴；当0=x 时，0)()(==-x f x f ，综上)()(x f x f -=-；故函数为奇函数.7.已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，12)(23-+=x x x f ，求)(x f 在R 上的表达式.【解析】)0(12)(23>-+=x x x x f Θ，设0<x ，则0>-x ， 121)(2)()(2323-+-=--+-=-∴x x x x x f ，又Θ)(x f 为奇函数，12)(,12)(,12)(232323+-=∴-+-=-∴-+-=-∴x x x f x x x f x x x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-+=<+-=∴0,120,00,12)(2323x x x x x x x x f .8.函数)0()(≠=x x f y 是奇函数，且当()∞+∈,0x 时是增函数，若0)1(=f ，求不等式0)21(<-x f 的解集.【解析】0)1(=f Θ，∴不等式可转化为)1()21(f x f <-，又)(x f 在()∞+,0上递增，不难看出：1210<-<x ，得2321<<x ；又)(x f 是奇函数，∴它在对称区间上的单调性相同，且0)1()1(=-=-f f ，于是又得)1()21(-<-f x f ，即121-<-x ，得21-<x ， ∴原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<<212321x x x 或. 第三部分：函数的周期性1.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（）A . 奇函数 B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】)(x f Θ的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.2.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（）A . T B. 0 C.2T D. 不能确定【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(T f T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴T f . 3.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，若)(x f 的最小正周期为3，且132)2(,1)1(+-=>m m f f ，求m 的取值范围. 【解析】Θ)(x f 是定义在R 上的奇函数，1)1()1(>--=∴f f ，1)1(-<-∴f ，而)(x f 的最小正周期为3，1)2()31()1(-<=+-=-∴f f f ，从而1132-<+-m m ，解得321<<-m . 4.已知函数()f x 的定义域为N ，且对任意正整数x ，都有f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1）若f （0）＝2004，求f （2004）【解析】因为f （x ）＝f （x －1）＋f （x ＋1），所以f （x ＋1）＝f （x ）＋f （x ＋2）两式相加得0＝f （x －1）＋f （x ＋2）即：f （x ＋3）＝－f （x ）∴f （x ＋6）＝f （x ），故f （x ）是以6为周期的周期函数，又2004＝6×334，∴f （2004）＝f （0）＝20045.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f()().0=-=∴T f T f 又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f Θ .02,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f ()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根. 6.对于定义在R 上的函数f （x ），有下述四个命题，其中正确命题的序号为________. ①若f （x ）是奇函数，则f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称；②若对x ∈R ，有f （x ＋1）＝f （x －1），则y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称； ③若函数f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）为偶函数；④函数y ＝f （1＋x ）与函数y ＝f （1－x ）的图象关于直线x ＝1对称.【解析】f （x －1）的图象是由f （x ）的图象向右平移一个单位而得到，又f （x ）是奇函数，其图象关于原点对称，所以f （x －1）的图象关于点A （1，0）对称，故①正确；由f （x ＋1）＝f （x －1）可知f （x ）的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误； f （x －1）的图象关于直线x ＝1对称，则f （x ）关于y 轴对称，故f （x ）为偶函数，③正确；y ＝f （1＋x ）的图象是由y ＝f （x ）的图象向左平移一个单位后得到，y ＝f （1－x ）是由y =f （x ）的图象关于y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y 轴对称，故④错误.7.定义在R 上的奇函数)(x f 以5为周期，若0)3(=f ，则在()10,0内，0)(=x f 的解得最少个数是（）A .3 B.4 C .5 D .7【解析】0)8()53()3(==+=f f f ，又)0()0(f f -=-，)0()0(f f =∴，0)0()50()5(==+=∴f f f ，又0)3()3(=-=-f f ，0)2()53()3(==+-=-∴f f f ，0)2()52()7(==+=∴f f f ，从而有0)5()8()3()7()2(=====f f f f f ，而)25()525()25(f f f =+-=-∴，且)25()25(f f -=-，0)25(=∴f ， 0)5.7()525(==+∴f f ， ∴在()10,0内使0)(=x f 的解为8,7,5,3,2=x ，以及5.7,5.2=x .8.已知)(x f 是R 上的偶函数，)(x g 是R 上的奇函数，且)1()(-=x f x g ，若2)2(=f ，求)2004(f 的值为.【解析】Θ)1()(-=x f x g ，① ∴)1()1()(+=--=-x f x f x g ， ②两式相加得：0)1()1(=-++x f x f ，③，由③可知0)1()3(=+++x f x f ，④ ，④-③得)1()3(-=+x f x f ，即)()4(x f x f =+，)(x f ∴以4为周期，从而)0()05014()2004(f f f =+⨯=，2)2()0(-=-=f f ，2)2004(-=∴f .9.设)(x f 是()∞+∞-,上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，求)5.7(f 的值.【解析】Θ对任意的R x ∈，都有)()2(x f x f -=+，[][])()()2(2)2()4(x f x f x f x f x f =--=+-=++=+，∴)(x f 是周期4=T 的周期函数，)5.0()45.3()5.3()45.7()5.7(-=-==-=∴f f f f f ，)(x f Θ为奇函数，)5.0()5.0(f f -=-∴，5.0)5.0()5.7(-=-=∴f f .四、课后作业【训练题A 类】1.函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是A . )2,(-∞B （0，3） C.（1，4） D. ),2(+∞2.若函数2()()a f x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（） A .a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数B.a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C.a ∃∈R ，()f x 是偶函数D.a ∃∈R ，()f x 是奇函数3.函数y =22log 2x y x-=+的图象（A ）关于原点对称（B ）关于主线y x =-对称（C ）关于y 轴对称（D ）关于直线y x =对称4.下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是A .()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+5.已知12a =，函数()x f x a =，若实数m 、n 满足()()f m f n >，则m 、n 的大小关系为 .6.已知)(x f 是周期为T 的周期函数，那么)12(+x f 是（）A . 周期为T 的周期函数 B. 周期为T 2的周期函数C.周期为2T 的周期函数 D.不是周期函数 7.若)(x f 的最小正周期是T 2，且)()(x T f T x f -=+对一切实数x 恒成立，则)(x f 是（）A .奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数8.定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程()0=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能为_____.9.奇函数()x f 的最小正周期为T ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-2T f 的值（） A . T B. 0 C.2T D. 不能确定 10.函数()21x b ax x f ++=是定义在()1,1-上的奇函数，且.5221=⎪⎭⎫ ⎝⎛f 试确定函数()x f 的解析式.【参考答案】1.【答案】D【解析】()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-，令()0f x '>，解得2x >2.【答案】C【解析】对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数 3.【答案】A【解析】由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A .4.【答案】A【解析】依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减，故由选项可得A 正确.5.【答案】m <n【解析】 1(0,1)2a =∈，函数()x f x a =在R 上递减.由()()f m f n >得：m <n 6.【答案】C【解析】)()(T x f x f +=Θ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=+∴1)2(2)12()12(T x f T x f x f ，所以周期为2T. 7.【答案】B【解析】)(x f Θ的周期是T 2，)()2()(T x f T x T f x T f --=--=-∴，[])()(T x f T x f +-=+∴，设u T x =+，)()(u f u f -=∴为偶函数.8.【答案】5【解析】()x f 为奇函数且周期为T ，().00=∴f ()().0=-=∴T f T f又,2222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-T f T f T T f T f Θ.02,02=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∴T f T f()x f ∴在[]T T ,-上至少有5个根.9.【答案】【解析】)2()2()2(T f T T f T f =+-=-，又()x f 为奇函数，∴)2()2(Tf T f -=-，从而)2()2(T f T f --=-，0)2(=-∴Tf10.【解析】依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==52)21(0)0(f f ，即⎩⎨⎧==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+015241120012b a b a b，21)(x x x f +=∴ 【训练题B 类】1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，若方程()f x =m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=2.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则f （f （52））的值是（）A .0B.12C.1D.523.奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，且最小值是5，则)(x f 在区间[]3,7--上是A .增函数，且最大值是5- B.增函数，且最小值是5- C. 减函数，且最大值是5- D.减函数，且最小值是5-4.已知)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，且2)()(2-+=+x x x g x f ，求)(x f 、)(x g 的解析式.5.已知定义域为R 的函数)(x f 在()∞+,8上为减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（）A .)7()6(f f > B.)9()6(f f > C.)9()7(f f > D.)10()7(f f >6.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对于任意的[]2,+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，求实数t 的取值范围.7.已知函数)(x f y =，R x ∈满足)()(x f x f =-，则下列各点中必在函数)(x f y =图象上的是（）A .())(,a f a - B.())(,a f a -- C.())(,a f a --- D.())(,a f a -8.下列说法正确的是.______① 函数3)(=x f ，因为该函数解析式中不含x ，无法判断其奇偶性； ② 偶函数一定与y 轴相交；③ 若)(x f y =是奇函数，由)()(x f x f -=-知0)0(=f ； ④ 若一个图形关于y 轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象.9.设()()()2++=x bg x af x F 在()+∞,0上有最大值8，且()()x g x f ,都是奇函数，则在()0,∞-上()x F 有（）A .最大值8 B.最小值8- C.最小值4- D.最大值10-【参考答案】1.【答案】-8【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0，2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2，0]上也是增函数. 如图所示，那么方程f （x ）=m （m >0）在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<由对称性知1212x x +=-344x x +=所以12341248x x x x +++=-+=-2.【答案】A【解析】由已知令x ＝0，则(0)0f =，由已知令x ＝－12，得－12f （12）＝12f （－12）＝12f （12），∴f （12）＝0.又令x ＝12，得12f （32）＝32f （12），又∵f （12）＝0，∴f （32）＝0.再令x ＝32，得32f （52）＝52f （32），∵f （32）＝0，∴f （52）＝0.∴f （f （52））＝f （0）＝0.3.【答案】C【解析】Θ奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，∴)(x f 在区间[]3,7--上也是增函数，由图象可知结果.4.【解析】Θ)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，)()(,)()(x g x g x f x f -=-=-∴，由2)()(2-+=+x x x g x f ，得2)()(2--=-+-x x x g x f ，即2)()(2--=-x x x g x f ，所以x x g x x f =-=)(,2)(2.5.【答案】D【解析】Θ)8(+=x f y 为偶函数，)8()8(+=+-∴x f x f ，)(x f ∴的对称轴为8=x ， Θ)(x f 在()∞+,8上为减函数，)(x f 由对称性知∴在()8,∞-上为增函数，故由单调性及对称轴结合图象知)10()7(f f >.6.【解析】若0>t ，则222)()(2)(x t x x f t x f ≥+⇔≥+，即[]2,,0222+∈≤--t t x t tx x 恒成立；⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-+≤--∴0)2(2)2(0222222t t t t t t t 恒成立，即2≥t . 7.【答案】A【解析】Θ)()(x f x f =-，∴当a x -=时，)()(a f a f y =-=，∴点())(,a f a -在图象上.8.【答案】④【解析】根据奇偶性的定义可知，错误的是①②③. 9.【答案】C【解析】由()()()+∞∈≤++,0,82x x bg x af 得()()()()x f x g x bg x af ,.6Θ≤+都是奇函数，()()()()42,6-≥+-+-∴-≥-+-∴x bg x af x bg x af ）【训练题C 类】1.有时可用函数0.115ln ,(6)() 4.4,(6)4a x a xf x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪>⎪-⎩描述学习某学科知识的掌握程度，其中x表示某学科知识的学习次数（*x N ∈），()f x 表示对该学科知识的掌握程度，正实数a 与学科知识有关.（1）证明：当7x ≥时，掌握程度的增加量(1)()f x f x +-总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121]，(121,127]，(121,133].当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科.2.设函数ax x x f -+=1)(2，其中0a >.（Ⅰ）解不等式)(x f ≤1；（Ⅱ）证明：当a ≥1时，函数)(x f 在区间[0，+∞]上是单调函数.3.已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x xax x x f . （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值：（2）若对任意0)(],,1[>+∞∈x f x 恒成立，试求实数a 的取值范围.4.已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围.5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（）A . 必是增函数B. 必是减函数C. 是增函数或是减函数D.无法确定增减性6.当(]5,0∈x 时，函数c x x x f +-=43)(2的值域为（）A .[])5(,)0(f f B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡)23(,)0(f f C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(f f D. [])5(,f c7.函数x x y )3(--=的递增区间是__________. 8.已知函数)1(13)(≠--=a a axx f （1）若0>a ，则)(x f 的定义域是________；（2）若)(x f 在区间(]1,0上是减函数，则实数a 的取值范围是________. 9.函数)(x f 的定义域为{}0>=x x D ，且满足：对于任意D n m ∈,，都有)()()(n f m f n m f +=⋅.（1）求)1(f 的值；（2）如果,2)62()13(,1)2(≤-++=x f x f f (2)1f =，且)(x f 在()∞+,0上是单调增函数，求x 的取值范围.10.若函数5)(2++=x mx x f 在[]∞+-,2上是增函数，求m 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（1）当0.47(1)()(3)(4)x f x f x x x ≥+-=--时，而当7x ≥时，函数(3)(4)y x x =--单调递增，且(3)(4)x x -->0故(1)()f x f x +-单调递减∴当7x ≥时，掌握程度的增长量(1)()f x f x +-总是下降（2）由题意可知0.1+15l n6a a -=0.85，整理得0.056a e a =- 解得0.050.05620.506123.0,123.0(121,127]1e a e =⋅=⨯=∈- 由此可知，该学科是乙学科2.【解析】（Ⅰ）不等式1)(≤x f 即ax x +≤+112，由此得ax +≤11，即0≥ax ，其中常数0φa .所以，原不等式等价于⎩⎨⎧≥+≤+.0,)1(122x ax x 即⎩⎨⎧≥+-≥02)1(,02a x a x所以，当10≤≤a 时，所给不等式的解集为}120|{2aax x -≤≤；当1≥a 时，所给不等式的解集为}0|{≥x x . （Ⅱ）在区间),0[+∞上任取21,x x 使得12x x <1212221212()()()()().f x f x a x x a x x x x a -=-=--⎛⎫⎪=--⎪⎭∵1,a 1<≥且0a -<，又120x x -<，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调递减函数.3.【解析】（1）当221)(,21++==xx x f a 时， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数，∴)(x f 在区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ，（2）解法一：在区间),1(+∞上，0202)(22<++⇔>++=a x x xa x x x f 恒成立恒成立，设),1(,22+∞∈++=x a x x y ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，a y +=3min ，于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a .解法二：],1[,2)(+∞∈++=x xax x f ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正，当0<a 时，函数)(x f 递增，故当a x f x +==3)(,1min 时，于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a .4.【解析】（1）当0=a 时，()2x x f =为偶函数；当0≠a 时，()x f 既不是奇函数也不是偶函数. （2）设212≥>x x ，()()22212121x a x x a x x f x f --+=-()[]a x x x x x x x x -+-=21212121，由212≥>x x 得()162121>+x x x x ，0,02121><-x x x x 要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数只需()()021<-x f x f ，即()02121>-+a x x x x 恒成立，则16≤a . 另解（导数法）：()22'xa x x f -=，要使()x f 在区间[)+∞,2是增函数，只需当2≥x 时，()0'≥x f 恒成立，即022≥-xax ，则[)+∞∈≤,1623x a 恒成立，故当16≤a 时，()x f 在区间[)+∞,2是增函数.5.【答案】D6.【答案】C【解析】结合函数图象可知，当32≥x时，)(xf为增函数，当32<x时为减函数，故)(xf最大值为)5(f，最小值为)32(f，所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡)5(,)32(ff.7.【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0【解析】⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=--=33)3(22xxxxxxxxy，作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0.8.【答案】3,a⎛⎤-∞⎥⎝⎦；(](]3,10,Y∞-∈a【解析】（1）Θ0>a且1≠a，要使)(xf有意义，只需03≥-ax，即ax3≤，⎥⎦⎤⎝⎛∞-∈∴ax3,.（2）若0=a，3)(-=xf，不合题意；若axya-=<3,0是(]1,0上的增函数，且01<-a，)(xf∴是(]1,0上的减函数；若0>a，axy-=3Θ是(]1,0上的减函数，故需01>-a，1>∴a，另一方面，)(xf的定义域为⎥⎦⎤⎝⎛∞-a3,，(]3,1,3,13∈∴≤∴≥∴aaa，综上知(](]3,10,Y∞-∈a.9.【解析】（1）令,1==nm有)1()1()11(fff+=⨯，解得0)1(=f；（2）2)2()2()22()4(=+=⨯=ffff，所以)4()62()13(2)62()13(f x f x f x f x f ≤-++⇔≤-++，因为)(x f 在()∞+,0上是单调增函数，所以)4()62()13(f x f x f ≤-++⎪⎩⎪⎨⎧≤-+>->+⇔4)62)(13(062013x x x x 33143+≤<⇔x故x 的取值范围为⎥⎦⎤⎝⎛+3314,3.10.【解析】当0=m ，5+=x y 在[]∞+-,2上是增函数，当0>m 时，且221-≤-m ，解得：410≤<m ，综上所述，m 的取值范围是410≤≤m .。

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

[多选]例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。

A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【答案】BC【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

高中数学函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像(一)复习指导单调性：设函数y ＝f (x)定义域为A ，区间MA ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f(x 2)－f(x 1)＞0时，就称f(x)在区间M 上是增函数，当Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0时，就称f(x)在区间M 上是减函数．如果y ＝f(x)在某个区间M 上是增(减)函数，则说y=f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y=f(x)的单调区间．函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f(x 1)与f(x 2)的大小．利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．对于y=f[φ(x)]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u=φ(x)，然后分别根据u=φ(x)，y=f(u)在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．奇偶性：(1)设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=－f(x)，则这个函数叫做奇函数；设函数f(x)的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f(－x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．函数的奇偶性有如下重要性质：f(x)奇函数f(x)的图象关于原点对称．f(x)为偶函数f(x)的图象关于y 轴对称．此外，由奇函数定义可知：若奇函数f(x)在原点处有定义，则一定有f(0)=0，此时函数f(x)的图象一定通过原点．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，则函数f(x)叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．关于函数的周期性，下面结论是成立的．(1)若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f (x)的周期(k 为非零整数)．(2)若T 为y=f(x)的最小正周期，则||T 为y=Af(ωｘ+φ)+b 的最小正周期，其中ω≠０．对称性：若函数y=f(x)满足f(a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．函数的图象：函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．(1)利用平移变换作图：y=f(x)左右平移y=f(x ＋a) y=f(x)上下平移y=f(x)＋b(2)利用和y=f(x)对称关系作图：y=f(－x)与y=f (x)的图象关于y 轴对称；y=－f(x)与y=f(x)的图象关于x 轴对称y=－f(－x)与y ＝f(x)的图象关于原点对称；y=f -1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x 对称(3)利用y=f(x)图象自身的某种对称性作图y=|f(x)|的图象可通过将y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出．y=f(|x|)的图象：可先做出y=f(x)，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y=f(x)(x＜0)的图象．此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．还要记住一些结论：若函数y=f(x)满足f (a －x)=f(b+x)则y=f(x)的图象关于直线2ba x对称，若函数y=f (x)满足f(a －x)=－f(b+x)则y=f(x)的图象关于点(2ba ，0)对称．(二)解题方法指导例1．设a ≠０，试确定函数21)(xax x f 在(－1，1)上的单调性．例2．讨论xxx f 2)(的增减性．例3．f(x)在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f(4－x)=f(x)成立，判断f(x)在(2，+∞）上的增减性．例4*．已知函数f(x)的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有21)()()(n f m f n m f 且当21x时，f(x)＞0．又.0)21(f (Ⅰ)求证;1)21(,21)0(f f (Ⅱ)判断函数f(x)的单调性并进行证明例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数例6．判断下列函数的奇偶性)1lg()()1(2xxx f (2)11)()(xx aa x x f (其中φ(x)为奇函数，a ＞0且a ≠1)．例7．设函数])1,1[(1)(2x bxxa x x f 是奇函数，判断它的增减性．例8．设f(x)是定义域为R 且以2为一个周期的周期函数，也是偶函数，已知当x ∈[2，3]时f (x)=(x －1)2+1，求当x ∈[1，2]时f(x)的解析式．例9．作出112xx y的图象，并指出函数的对称中心，渐近线，及函数的单调性．例10．作出函数的图象(1)1)1(32x y(2)y=|lg|x||例11．(1)作出方程｜x ｜+｜y ｜=1所表示的曲线．(2)作出方程｜x －1｜+｜y+1｜=1所表示的曲线．例12．已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x 2+2x ．(1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)≥f(x)－｜x －1｜．例题解析例1解：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且Δx=x 2－x 1＞0，则)1)(1()1)((11)()(2221211222122212x x x x x x a x ax x ax x f x f y由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1＋x 1x 2＞0，1－21x ＞0，1－22x ＞0．因此当a ＞0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，当a ＜0时，Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0．所以当a ＞0时f(x)在(－1，1)上是增函数，当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．例2分析：可先在(0，＋∞）上研究f(x)的增减性，然后根据f(x)的奇偶性判断其在(－∞，0)上的增减性，而当x ＞0时，有,222)(xxx f 当且仅当x x2即2x 时“=”成立，即当2x 时，f(x)取得最小值,2由此可知x=2是函数单调区间的一个分界点．解：任取x 1，x 2∈(0，2]，且Δx=x 2－x 1＞0则)21)(()2()2()()(2112112212x x x x x x x x x f x f y因为,2021x x Δx=x 2－x 1＞0，且02121x x ，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＜0，故f(x)在]2,0(上是减函数．同理可证f(x)在),2[是增函数．又由),(2)(x f xxx f 可知f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，所以可知f(x)在]2,(上是增函数，在)0,2[上是减函数．综上所述，x xx f 2)(在]2,(和),2[上是增函数，在)0,2[，]2,0(上是减函数．例3解：任取x 1，x 2∈(2，＋∞），且x 1＜x 2，则由2＜x 1＜x 2得2＞4－x 1＞4－x 2 因为f(x)在(－∞，2)上是增函数，所以有f(4－x 1)＞f(4－x 2)而由已知又有f(4－x 1)=f(x 1)，f(4－x 2)=f(x 2)，所以f(x 1)＞f(x 2)，故f(x)在(2，＋∞）上是减函数．小结：注意体会解题中的划归思想．此题若是一个小题，由f(4－x)=f(x)可知f (x)的图像关于x=2对称，立即就可以判断出f(x)在(2，＋∞）上是减函数．例4分析：判断这类抽象函数的单调性，关键是根据已知去创造条件，利用单调性的定义进行和判断，可以采用分析法寻求解题思路．解：(Ⅰ)由f(m ＋n)=f(m)＋f(n)21得f(0)=f(0＋0)=2f(0)21有f(0)=－21又由及0)21(f 得1)21(f (Ⅱ)任取x 1，x 2∈R 且Δx ＝x 2－x 1＞0则212112x x 根据已知可得)21(12x x f 则有21)()()()(1121122x f x x f x x x f x f 21)(21)21()21(21)()2121(112112x f f x x f x f x x f ).(1)(11)()21(0111x f x f x f f 函数f(x)在R 上为增函数．例5解：设所求的R 上的函数为f(x)，则由函数奇偶性定义得f(－x)=－f(x)①，f(－x)=f(x)②，联立①②，消去f(－x)，得f(x)=0．显然函数f(x)=0既是奇函数又是偶函数，所以f(x)=0就是所求的函数．例6解：(1)因为对任意x ∈R ，都有0||122xx x xx x，所以函数定义域为R任取x ∈R ，则－x ∈R 且有)()1lg()1lg()1lg()(2122x f xxxxxx x f 所以)1lg()(2xxx f 是奇函数(2)函数的定义域为R ．任取x ∈R ，则－x ∈R ，且有.11)(11)(11)()(xx xxxx aa x a a x aa x x f 所以11)()(xx aa x x f 是偶函数．例7解：显然x ∈[－1，1]，－x ∈[－1，1]，因为f(x)为奇函数，所以对区间[－1，1]内任意实数x 均有f(－x)=－f(x)成立，即1122bx xa x bxxa x ，也就是1122bxxa x bxxa x 这是关于x 的恒等式，比较两端分子分母对应项的系数，可得a=b=0．所以1)(2xx x f 任取x 1，x 2∈[－1，1]，且Δx=x 2－x 1＞0 则)1)(1()1)((11)()(2221211221122212xxx x x x x x x x x f x f y因为－1≤x 1＜x 2≤1，所以Δx=x 2－x 1＞0，1－x 1x 2＞0，因此Δy=f(x 2)－f(x 1)＞0，所以当x ∈[－1，1]时1)(2xx x f 为增函数．注：此题也可以通过f(0)=0，f(－1)=－f (－1)求得a=b=0例8分析：此题的解答要抓住两个关键点，一个是f(x)为偶函数，再一个是f(x)为周期函数，通过画出草图，就会发现可以先求出当x ∈[－3，－2]时函数的解析式，在利用周期性求出当x ∈[1，2]时f(x)的解析式，要注意体会划归的思想方法．解：当x ∈[－3，－2]时－x ∈[2，3]所以f(－x)=(－x －1)2＋1=(x ＋1)2＋1，因为f(x)是偶函数，因此当x ∈[－3，－2]时，f(x)=(x ＋1)2＋1当x ∈[1，2]时，x －4∈[－3，－2]，有f(x －4)=(x －4＋1)2＋1=(x －3)2＋1，因为2为f(x)的周期，可知－4也为f(x)一个周期，有f(x －4)=f(x)故x ∈[1，2]时f(x)=(x －3)2＋1．例9解：因为112112x x x y所以将xy1的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位，即可得到112xx y的图象，如图由图象可以得到：对称中心为(－1，2)渐近线分别为x=－1，y=2函数在(－∞，－1)和(－1，＋∞）上都是增函数．例10解：(1)将函数32x y的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，即可的得到1)1(32xy ，如图．(2)y=｜lg ｜x ｜｜为偶函数，当x ＞0时先作出y=lg x 的图象，在根据奇偶性作出y=lg ｜x ｜的图象，最后将y=lg ｜x ｜在横轴下面的图象关于x 轴旋转180°，其余部分不变．即可得到y=｜lg ｜x ｜｜的图象，如图．例11分析，曲线｜x ｜＋｜y ｜=1是关于x 轴，y 轴和原点的对称图形，利用对称性可以很快的作出曲线，至于曲线｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1，只需通过将曲线｜x ｜＋｜y ｜＝1适当平移即可得到．解：(1)先作出线段x ＋y=1(x ≥1，y ≥1)，再作出该线段分别关于x 轴，y 轴和原点分别对称的线段，就得到方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线，如图．(2)将(1)中方程｜x ｜＋｜y ｜=1所表示的曲线右移一个单位，下移一个单位就得到方程｜x －1｜＋｜y ＋1｜=1所表示的曲线，如图．例12解：(1)设f(x)上任意一点P(x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y)则220y y x x 即yy x x 00因为点P(x 0，y 0)在f (x)=x 2＋2x 的图像上，所以20xy 2x 0，即－y=(－x)2＋2(－x)故g(x)=－x 2＋2x ．(2)由g(x)≥f(x)－｜x －1｜得2x 2≤｜x －1｜当x ≥1时，不等式化为2x 2－x ＋1≤0，此式无实数解．当x ＜1时，不等式化为2x 2＋x －1≤0解得211x，因此g(x)≥f(x)－｜x －1｜解集为].21,1[。

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性

第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性考纲解读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义，会利用单调性解决函数的最值问题.2.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.3.会利用函数的图像理解和研究函数的性质.命题趋势研究有关函数性质的高考试题，考查重点是求函数的单调区间，利用函数单调性求函数的最值（值域）、比较大小及求解函数不等式.函数奇偶性的判断及其应用是常考知识点，常与函数的单调性、周期性、对称性、最值等结合综合考查.知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数.性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”. 单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.熟练掌握增、减函数的定义，注意定义的如下两种等价形式：设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x . )(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减. 一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立:若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合. 性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+. 有关函数周期性的重要结论（如表所示） ()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型16 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.（2）图像法.根据函数图像的对称性进行判断，若函数)(x f 的图像关于原点中心对称，则)(x f 为奇函数；若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ；（2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ；（5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .评注利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对称，则对定义域任意x 说明满足定义.若否定奇偶性只需有一个自变量不满足. ②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01l o g )1(l o g )1(l o g )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(；（2）24|3|3)(x x x f -+-=；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数的前提是函数的定义域关于原点对称.②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a xa y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.评注对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （） 21.A 32.B 43.C 1.D变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f x x(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.评注解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例 2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式. 变式1：已知定义在R上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（）2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（） A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（） 3.A 0.B 1.-C 2.-D评注本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x xx x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型17 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法. 【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xax x f 在),[+∞a 上是增函数.评注利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+. （1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：已知函数a ex f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型18 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+；（2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+； )0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f .【例 2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________.变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.【例2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.【例2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（） A.0 B.21 C.1 D.25评注本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，xx f x x f )(1)1(=++.令x x f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即021)21(25)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性.题型19 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（）)7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（）)32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()s i n (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （）A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（）A.)(x f 是偶函数B.)(x f 是奇函数C.)2()(+=x f x fD.)2(+x f 是奇函数变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（）)80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-【例 2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( )1.-A 0.B 1.C 4.D变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（）A.6B.7C.8D.9【例 2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f xf =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f xf =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________.变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.最有效训练题6（限时45分钟）1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（）)6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x 在R上单调递增，则a 的取值范围是（） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=x x f ，则)12(log 2f 的值为（）31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( )2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f x x ∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________. 10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________. 11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时, 2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41x f x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。

高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

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函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理（一）函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇，偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶（二）函数的单调性方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法。

1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数围，一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题，接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间，根据此区间比已知单调区间大去求解。

4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减，增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；（三）复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数：)(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域的单调性。

（四）函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

2、三角函数的周期①π==T x y :tan ，||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析（一）考查一般函数的奇偶性例1、设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值围是 .变式1、若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、函数1()f x x x=-的图像关于（）A ．y 轴对称B ．直线x y -=对称C ．坐标原点对称D ．直线x y =对称（二）考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性（1）22(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ （2）24()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性（1）21()log 1x f x x -=+ （2）1,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩（三）考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数（B ）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数（D ）f(x)+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ，当,x y R ∈时，恒有()()()f x y xf y yf x +=+，求证()f x 是偶函数。

（三）考查一般函数的单调区间（暂不讲）例4、设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且，求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（） A.)2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D.),2(+∞（四）考查复合函数的单调区间例5、判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.（五）考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（）(A)(3)(2)(1)f f f <-< (B)(1)(2)(3)f f f <-< (C) (2)(1)(3)f f f -<< (D)(3)(1)(2)f f f <<-变式8、(2008全国)设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增，求a 的取值围。

变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ．（1）略（2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值围．（六）考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。

变式10、已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域，且不可以有“”，只能用“和”，“，”.2、含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的围判定其单调性；一类是给定单调性求参数围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.◆课后强化 1.若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是（）A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值围是（）（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）4.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（）A. 0B.21 C. 1 D. 25 5.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B.(80)(11)(25)f f f <<-C.(11)(80)(25)f f f <<-D.(25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则（） A.—2 B.2 C.—98 D.987、设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=（） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-38、给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④（D ）①④9、若函数f （x ）=3x+3-x与g （x ）=3x -3-x的定义域均为R ，则（）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 10、11、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 ( )A.①②B. ②③C. ③④D.①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若 f (a)＝M, 则 f (－a)等于 ( )A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f (x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f (x)＝x 2－2 x, 则在R 上f (x)的表达式为 ( )A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D.) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f （)1,0≠>a a 是减函数，则a 的取值围是（） A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是（） A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值围是 ( )（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)718．若f(x)=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值围是（）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-单调递增，则a 的取值围是（）A ．)1,41[B ．)1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（）A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)24．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（）A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+3)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）解的个数的最小值是（）A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（）（A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 28．若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 29．下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是( ) A. R x x y ∈-=,3 B.R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 31．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值围是( )(A) (∞,2) (B) (2,∞) (C) (∞,2)⋃(2,∞) (D) (2,2)32．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（） (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D)()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=______________. 36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = . 37、函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.39、若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 40、如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系______41、已知函数y =f (x )=c bx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）当1a >时，判断()f x 的单调性，并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，()30f =，则不等式()0f x ≥的解集是．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数，则实数a 的值为． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a 、b 的取值围分别是．47、已知对于任意实数x ，函数()f x 满足()()f x f x -=，若方程()0f x =有2009个实数解，则这2009个实数解之和为．◆详细解析例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：（1）2222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数。