14弯曲内力2

上次课回顾：1、弯曲的概念2、弯曲内力：剪力、弯矩剪力和弯矩的符号规则：左上右下，剪力为正左顺右逆，弯矩为正例4-2 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和解：支反力为∑=0yF∑=0AM 032=×++×a F Fa a F B )(2↓−=F F B F F F A B =+)(3↑=F F A x y A F B a a2a 11224433M e =3Fa F B F A截面1—1∑=0yF ∑=01C M 01=×+a F M )(1顺Fa M −=F F −=1S 截面2—2∑=0y F ∑=02C M 02=×+a F M )(2顺Fa −=02S =+−F F F A F F F F A 22S =−=M 1F S1F C 111F A M 2F S2F C 222x y A FB a a2a11224433M e =3Fa F BF A03=×−×+a F a F M A )(3逆Fa M =F F F B 24S =−=截面4—404=×−a F M B )(24顺Fa M −=03S =+−F F F A FF F F A 23S =−=x y A FB a a2a11224433M e =3Fa F BF A33C 3M 3FFS3F AF S4M 44C 4F B4-2FaFa-Fa-FaM2F 2F 2F -F F S 4—43—32—21—1内力1、横截面上的剪力和弯矩在数值上由截面左侧或右侧梁段分离体的静力平衡方程来确定。

剪力值=截面左侧（或右侧）所有外力的代数和弯矩值=截面左侧（或右侧）所有外力对该截面形心的力矩代数和xA FB 11224433M e =3Fa F A =3F F B =-2F2、截面左侧梁段向上的外力→正剪力→正弯矩顺时针外力偶→正弯矩截面右侧梁段向上的外力→负剪力→正弯矩顺时针外力偶→负弯矩-2FaFa-Fa-FaM2F 2F 2F -F F S 4—43—32—21—1内力xA FB 11224433M e =3Fa F A =3F F B =-2F剪力：左上右下为正弯矩：左顺右逆为正3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值=集中力大小；在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值=集中力偶矩大小。

-2FaFa-Fa-FaM2F 2F 2F -F F S 4—43—32—21—1内力xA FB 11224433M e =3Fa F A =3F F B =-2FP 96 例4-3 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷载集度为q 0，试求截面C 上的内力。

解：先求支反力∑=0A M ∑=0B M 03220=×−l l q l F B 0320=×+−ll q l F A 30l q F B =60l q F A =x y A BalC q 0F BF Aq 0l /2截面C 的内力llq l q l a q a F F A C 2622000S −=×−=la q a lq a l a q a a F M A C 66323000−=××−×=思考：是否可以将梁上的分布荷载全部用静力等效后的合力代替来求截面C 的内力？F S CM C F A aAa /3lx q x q 0)(=课堂练习4m6m5mABDq=10kN/mM=30kN.mCP=20kN1324１．求图示外伸梁１，２，３，４截面的內力。

F A F B =50+30-3=77kNF s1=43-10x4=3kN M 1=43x4-1/2x10x42=92kN.m F s2=3kN M 2=92-30=62kN.mF s3=20-77=57kN M 3=-20x5=-100kN.m F s4=20kN M4=-100kN.mⅡ、剪力方程和弯矩方程•剪力图和弯矩图显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。

)(S S x F F =)(x M M =剪力方程弯矩方程反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式P 98例4-4 图示悬臂梁受集度为q 的满布均布荷载作用。

试作梁的剪力图和弯矩图。

解：1、以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪力方程和弯矩方程：()()l x qx x F <≤=0S ()()l x qxx qx x M <≤−=⋅−=0222ABxlB xF S (x )M (x )2、作剪力图和弯矩图注意：弯矩图中正的弯矩值绘在x 轴的下方(即弯矩值绘在弯曲时梁的受拉侧)。

()qxx F =S ()22qx x M −=xq lF q l 22x Ml /2q l 28A B lqlF =max ,S 22maxql M =P 99 例4-5 图示简支梁受集度为q 的满布荷载作用。

试作梁的剪力图和弯矩图。

解：1、求支反力2ql F F B A ==2、列剪力方程和弯矩方程()qxql qx F x F A −=−=2S ()2222qx qlx x qx x F x M A −=×−=xF BF AB lA qF AM (x )F S (x )xA qq l 2F S q l 28l /2MBlA q 3、作剪力图和弯矩图2max,S ql F =82maxql M =()222qxqlx x M −=()qxqlx F −=2S 最大弯矩发生在剪力为零的截面。

P 100例4-6 图示简支梁受集中荷载F 作用。

试作梁的剪力图和弯矩图。

解：1、求支反力lFb F A =lFa F B =2、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出xB lA F abCF BF AAC 段CB 段()()l x a l FaF x F B <<−=−=S ()()a x l Fbx F <<=0S ()()()l x a x l lFax l F x M B ≤≤−=−=)(()()a x x lFbx M ≤≤=0xB lA F abCF BF A F Ax A M (x )F S (x )F BB F S (x )M (x )3、作剪力图和弯矩图()x l lFax M −=)(2()l Fbx F =S1()xl Fbx M =1()l Fax F −=S2F SFb lxFb lMxFab lF B l Aab Cl Fb F =max,S lFab M =max发生在集中荷载作用处发生在AC 段b >a 时F SFb lxFb lMxFab lF BlA abC 为极大值。

时，42/maxFlM l b a ===例4-7 图示简支梁在C 点受矩为M e 的集中力偶作用。

试作梁的剪力图和弯矩图。

解: 1、求支反力()↑=l M F A e()↓=lM F B e∑=0AMe =×−l F M A M eF A F B l ACa b2、列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：()()l x l M F x F A <<==0e S 弯矩方程——两段：AC 段：CB 段：()x l M x F x M A e==()()x l lM M x F x M A −−=−=ee ()l x a ≤<()a x <≤0F A F BB lAC abxA F AM (x )F S (x )xF BBF S (x )M (x )3、作剪力图和弯矩图b >a 时lb M M e max=()l M x F eS =发生在C 截面右侧Bl AC abF lxM e lMxM e al M e b课堂练习P142 4-2(e) 作图示梁的剪力图和弯矩图。

6kN.m20kN.m20kN2m1mABC6kN.m20kN.m20kN2m1mABC2kN 22kN1)求约束力：F A =2kN （向下）F B =22kN (向上）6kN.m20kN.m20kN2m1mABC2kN 22kN2）剪力方程kNF AC s 2 1−=段：kNF CB s 22 2−=段：2kN22kNF S6kN.m20kN.m2m1mABC2kN22kN3）弯矩方程2)x (0 26 1≤<−=x M AC 段：1)x (0 2220 2≤<+−=x F CB s 段：220M课堂练习P142 4-2(d) 作图示梁的剪力图和弯矩图。

4kN.m8mABC 2m0.2kN/m0.6kN 1.4kN1)求约束力：F A =0.6kN （向下）F B =1.4kN (向上）4kN.m8mAB C 2m0.2kN/m2）剪力方程)802.03.0 1<<−=x x F AC s （段：)20( 2.03.1 2<<−−=x x F CB s 段：2kN22kNF S 0.3kN 1.3kN4kN.m8mAB C 2m0.2kN/m3）弯矩方程2)x (0 26 1≤<−=x M AC 段：1)x (0 2220 2≤<+−=x F CB s 段：0.3kN1.3kN4kN.m8mAB C 2m0.2kN/m4m6m5mABDq=10kN/mM=30kN.mCP=20kN435720F s++-例：作图示外伸梁的剪力图和弯矩图。

926210062.45M+-思考：对称性与反对称性Bl /2F AAF B Cl /2FxMFl /4xF sF /2Bl /2F A AF B CM e l /2F lxM e MxM e /2M e /2结论：•结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称，剪力图为反对称•结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称，剪力图为正对称作业：4-3(b),(e),(h) 4-4(a),(c)。