高二数学空间向量及运算

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a b b a
加法结合律
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
(2) 2 AD1 BD1
AD1 AD1 BD1 AD1 (BC1 BD1 ) AD1 D1C1 AC1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
A D B C A1 D1 B1 C1
D1 A1 B1
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC 解(1) AB1 A1 D1 C1C
AB1 B1C1 C1C AC x 1.
A A1 D1 B1 C1
D B
C
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
O O
a
C
A
a b
A
+
c
C
b
B
c
b
B
c
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
a b a
向量减法的三角形法则
ka ka
(k>0) (k<0)
向量的数乘
3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律： a b
ba a (b c)
加法结合律： ( a b) c 数乘分配律： k ( a b)
k a＋k b
推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
概念 定义 表示法 相等向量
空间向量
具有大小和方向的量
加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a b b a 加法结合律 加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
作业
空间四边形 ABCD中， AB a ， BC ＝b ， AD c ， 试用a, b, c来表示CD， AC, BD.
C1
a
D A C B D B C
A
平行六面体：平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB BC ( 2) AB AD AA1 1 (3) ( AB AD AA1 ) 3 1 ( 4) AB AD CC1 2
复习回顾：平面向量 既有大小又有方向的量。 1、定义： 几何表示法:用有向线段表示
字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。
相等向量：长度相等且方向相同的向量
B A D C
2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b
a
向量加法的三角形法则
b a
向量加法的平行四边形法则
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(2) AE AA x AB y AD
'
A
D
B
C
小结
类比思想
数形结合思想
平面向量
A1 D1 B1 C1
x 1.
A
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(3) AC AB1 AD1 x AC1
(3) AC AB1 AD1
( AD AB) ( AA1 AB) ( AA1 AD) 2( AD AB AA1 )
2 AC1
D1 A1 B1 C1
x 2.
A
D B
C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G
B
M
C
练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
B
M
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
(1) AC x( AB BC CC )
' ' '
(2) AE AA x AB y AD
A
D
B
C
练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
(1) AB1 A1 D1 C1C x AC
(2) 2 AD1 BD1 x AC1 (3) AC AB1 AD1 x AC1
A A1
D1 B1
C1
D B
C
例2：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。
D A B
C
a
D1 C1 B1
A1
b
D C B A D B C
A
空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零
空间向量
具有大小和方向的量
加法交换律 a b b a
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a b b a 成立吗？ 加法结合律 数乘分配律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
k (a b) k a＋k b
加法结合律： (a b) c a (b c)
A
1 (1) AB ( BC BD) 2 1 (2) AG ( AB AC) 2
D G
(1)原式＝AB BM MG AG
(2)原式
1 ＝AB BM MG ( AB AC ) 2 1 ＝BM MG ( AB AC ) 2 ＝BM MG MB MG
思考题：考虑空间三个向量共面的充要条件.
思考：空间任意两个向量是否可能异面？
B
b
O
A
思考：它们确定的平面是否唯一？
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形，则它们的和为零向量。
A1 A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
F2
F1=10N
F2=15N
F3
F1
F3=15N
空间向量及其加减与数乘运算
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
C
a b
O
+
A
b
B
OB OA AB
a
ka
ka
CA OA OC
空间向量的加减法
(k>0)
空间向量的数乘
(k<0)
B
b
O
b a
A
a
结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有 关结论仍适用于它们。
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 向的量
加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
D A B A1 G C D1 B1 C1
M
解： (1) AB BC ＝AC;
(2) AB AD AA 1 AC AA 1 AC CC1 AC 1
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
F2
F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N