高数答案第十二章第九次作业
厦门理工学院高数作业第十二章答案
8.3 二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题：DABC
二、 1.y y 2 y 0
2. y 2 y 5 y 0
三、 1、解：特征方程为r 2 6r 9 a 2 0，得特征根为r1,2 3 ai 所以方程的通解为 y e 3 x (C1 cos ax C 2 sin ax ) 2、解：特征方程为r 2 r，得特征根为r1 0, r2 1 所以方程的通解为 y C1 C 2e x
9
2、解：特征方程为 : r 2 4 0, r1,2 2i 所以对应的齐次方程的通解为y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x 设微分方程的特解为y* (ax b)cos x (cx d )sin x , 1 2 代入微分方程得 a , b 0, c 0, d 3 9 1 2 故所求方程的通解为y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x x cos x sin x 3 9 3、解：特征方程为 : r 2 3r 2 0, r1 2, r2 1 所以对应的齐次方程的通解为y C1e x C 2 e 2 x 设微分方程的特解为y* x (ax b )e x (ax 2 bx )e x 1 代入微分方程得 a , b 1 2 1 x 2x 故所求方程的通解为y C1e C 2 e x ( x 1)e x 2
8
8.3 二阶常系数非齐次线性微分方程
1 2 x 一、选择题：DAD 二、 1.y C1 cos 2 x C 2 sin 2 x e 8 1 2 5 23 6x x 2. y C1e C 2e x x 6 18 108 三、 1、解：由题意知:y | x 0 1, y | x 0 1
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_
高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。
例：（错解）方程的阶数为2。
((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。
★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。
★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。
(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。
dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。
d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。
★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。
y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。
y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。
y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。
高数 下 典型习题及参考答案 第8、9、10、11、12章习题及答案
4 f (x, y)dy
x2
0
0
0
C、
4
y
∫0 dy∫0
f
(x,
y )dx
D、
4
∫0 dy∫0
y
f
(x,
y)dx
2、设 Ω 是由 x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1所围成的区域，则 ∫∫∫ xyzdxdydz =
Ω
3、旋转抛物面 z = x 2 + y 2 在 0 ≤ z ≤ 2 那部分的曲面面积 S=（ ） 2
−a
a2 −x2
0
−a
28、设 D 由 x 轴和 y = sin x, x ∈ [0,π ]所围成，则积分 ∫∫ dσ = D
29、设 Ω :
0
≤
x
≤
1,0
≤
y
≤ 1,0
≤
z
≤
K
，且
∫∫∫
xdxdydz =
1 4
，则
K
=
Ω
二、解答题
( ) ( ) 1、计算三重积分 ∫∫∫ x2 + y 2 dv ，其中Ω是由曲面 2 x2 + y 2 = z 与平面 z = 4所围成的区域。
Ω
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 正确的（
）A、
2π
dθ
a
1
dr
r 3dz
B、
2π
dθ
a
dr
1
r
r2
+
z2
dz
0
0
0
0
0
0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) C、
2π
高等数学第12章课后习题答案(科学出版社).
习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:;)1(2y x dxdy +=;042)2(2=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy dx dy x;052)3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+.解 (1)是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; (3)是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2xy y '=，25y x =； （2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-； （3）20y y y '''-+=，2e x y x =； （4）2()0xy x y yy ''''++=，y x =． 解 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解 要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点，并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解：由题意，2y x y '=+，00x y==解：设该曲线的方程为()y f x =，(,)x y 为其上任意一点，该点处的切线斜率为y '，过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-。
高等数学习题册 第十二章 参考答案
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
高数第十二章常系数齐次线性微分方程
C1,C2是 任 意 常 数 .
6
2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
13
例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
y1
1 2 ( y1
y2 )
ex cosx
y2
1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxcsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
2
分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解
张宇2013考研数学辅导讲义高等数学12章习题详解理工类
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华东理工大学高等数学作业答案第12章
第 12 章 （之1）（总第67次）教学内容: §12．1二重积分概念与性质 **1．解下列各题：(1) 若D 是以)1,0(),0,1(),0,0(===B A O 为顶点的三角形区域，利用二重积分的几何意义可得到y x y x Dd d )1(⎰⎰--=___________．答：61(2) 设f (t )为连续函数，则由平面 z =0，柱面122=+y x 和曲面)(2xy f z= 所围立体的体积可用二重积分表示为___________________________________________． 答：⎰⎰≤+1222d d )(y x y x xy f ．(3) 设⎰⎰≤+++=122sin cos 1d d y x y x yx I 则I 满足 ( ) (A) 232≤≤I (B) 32≤≤I(C) 21≤≤I D (D)01≤≤-I答：(A)．(4) 设σd y x I D⎰⎰+=)ln(1，σd y x I D⎰⎰+=22)(及σd y x I D⎰⎰+=)(3其中D 是由直线 x =0，y =0，21=+y x 及1=+y x 所围成的区域，则I 1，I 2，I 3的大小顺序为 ( )(A) I 3＜I 2＜I 1； (B) I 1＜I 2＜I 3； (C) I 1＜I 3＜I 2； (D) I 3＜I 1＜I 2．答：（B ）．(5) 设),0(:222>≤+a a y x D 当________=a 时，π=--⎰⎰dxdy y x a D222．（A ） 1； (B) 323； (C) 343； (D) 321 ．答：（B ）．**2．解下列问题：(1) 利用二重积分性质，比较二重积分的大小：⎰⎰+Dy x e σd 22与⎰⎰++Dy x σd )1(22，其 中，D 为任一有界闭区间．解：令 22y x u +=，且()()u e u f u +-=1，则有()1'-=ue uf ．∵0≥u ，∴ ()0',01≥≥-u f e u即， ()u f 是增函数．∵ ()0100=-=e f ， ∴ ()()00≥-f u f 即 ()01≥+-u e u，∴22122y x e y x++≥+， 因此()⎰⎰⎰⎰++≥+DDy x d y x d e σσ22122．(2) 利用二重积分性质，估计二重积分的值：⎰⎰++Dy x σd )1(22，}144169),{(22≤+=y x y x D ． 解：先求出目标函数()1,22++=y x y x f 在区域()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1916,22y x y x D 上的最小值和最大值，由于区域D 上的点到坐标原点()0,0=O 的距离为22y x +，∴4040222=+≤+≤y x ，∴()17,1≤≤y x f ，又因为该区域的面积为 ππ1243=⨯⨯=D ，∴ ()ππσπ2041217,12=⨯≤≤⎰⎰Dd y x f ．***3．试利用积分值与积分变量名称无关，解下列问题： (1)⎰⎰≤+-1322d d )sin(y x y x y x ；解：因为I x y x y y x y x I x y y x -=-=-=⎰⎰⎰⎰≤+≤+13132222d d )sin(d d )sin(，所以0=I ．(2) ⎰⎰≤≤++1,122d d e e e e y x yx yx y x b a ． 解：⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤++=++=1,11,12222d d e e e e d d e e e e x y x y xy y x yx yx x y b a y x b a I ， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤1,11,12222d d e e e e d d e e e e 21x y xy xy y x y x y x x y b a y x b a I )(2d d 2d d e e e )(e )(211,11,12222b a y x b a y x b a b a y x y x y x y x +=+=++++=⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤．***4． 设),(y x f 是连续函数，试利用积分中值定理求极限⎰⎰≤+→222d ),(1lim20r y x r y x f r σπ．解：积分区域 222:r y x D ≤+ 为有界区域，且 ()y x f , 连续， ∴ 由积分中值定理可知：存在点()D ∈ηξ,，使得()()DDSf d y x f ηξσ,,=⎰⎰，即：()()ηξπσ,,2222f r d y x f r y x =⎰⎰≤+，又 ∵ 当0→r 时，()()0,0,→ηξ，且()y x f ,在()0,0连续．∴ ()()0,0,1lim22220f d y x f r r y x r =⎰⎰≤+→σπ．第 12 章 （之2）（总第68次）教学内容 : §12．2．1 二重积分在直角坐标系下的计算方法 1．解下列各题：**（1）设),(y x f 是连续函数，则()+⎰⎰--x y x f y y a aya ad ,d 222220()y y x f dy y a a a d ,2202⎰⎰-()0>a 可交换积分次序得___________________________．答：原式=⎰⎰--ax a ax a y y x f x22222d ),(d ．**（2）设),(y x f 是连续函数，则二次积分⎰⎰++-2111d ),(d x x y y x f x （ ）（A ）⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ⎰⎰--+11212d ),(d y x y x f y ； （B ）⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ；(C) ⎰⎰--1110d ),(d y x y x f y ⎰⎰---+11212d ),(d y x y x f y ； (D)⎰⎰---11202d ),(d y x y x f y ．答：(C)**（3）设()y x f ,是连续函数，交换二次积分()dy y x f dx x e⎰⎰ln 01,的积分次序的结果为（ ）（A ）()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,； (B) ()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,；(C) ()dx y x f dy xe ⎰⎰ln 01,； (D)()dx y x f dy eey ⎰⎰,1．答：(D)**（4）设),(y x f 是连续函数，则积分⎰⎰⎰⎰-+xx y y x f x y y x f x 20211d ),(d d ),(d 2可交换积分次序为 （ ） （A ）()+⎰⎰dx y x f dy y 010,()dx y x f dy y⎰⎰-2021,； （B ）()+⎰⎰dx y x f dy x 21,()dx y x f dy x⎰⎰-2021,；（C ）⎰⎰-yydx y x f dy 210),(；（D ）()dx y x f dy xx ⎰⎰-212,．答： (C )**（5）设函数()y x f ,在122≤+y x 上连续，使()()dyy x f dx dxdy y x f x y x ⎰⎰⎰⎰-≤+=2221011,4,成立的充分条件是 （ ） （A ）),(),(y x f y x f =-， ),(),(y x f y x f -=-；（B ）),(),(y x f y x f -=-，),(),(y x f y x f =-； （C ）),(),(y x f y x f -=-，),(),(y x f y x f -=-； （D ）),(),(y x f y x f =-，),(),(y x f y x f =-． 答：（D ）．2．画出下列各题中给出的区域D ，并将二重积分化成两种不同顺序的二次积分（假定 在区域上连续）． **（1）D 由曲线2,,1===x x y xy 围成；解：()()()dx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx I yx yx⎰⎰⎰⎰⎰⎰+==2212121,,,1211**（2）()(){}11,1max ,≤≤--=y x x y x D解：()()()dxy x f dy dy y x f dx dy y x f dx I yyx x⎰⎰⎰⎰⎰⎰+---=+=1111121111,,,**（3） D ：1≤+y x ，1≤-y x ，0≥x ．解：原式=⎰⎰--xx dy y x f dx111),(=⎰⎰⎰⎰-+-+011110),(),(y ydx y x f dy dx y x f dy ．3．计算二次积分： **(1)⎰⎰-422222y xx dx edy ．解：22,42:≤≤≤≤x yy D ， 变换积分次序得x y x D 22,21:*≤≤≤≤， 原式()⎰⎰⎰-==--212222122222dx x e dy dx e xxxx x()ee x x e x xxx112d 212212222-==-=--⎰．**(2)⎰⎰--+-111221xdy y x x dx ． 解：原式=dx y x x dy y⎰⎰-+-111221=dy y )1(31311⎰-- =21．4．计算下列二重积分 **(1)⎰⎰-Dyd 2σ，其中(){}y y x y x D 2,22≤+=；解：原式=238222202=-⎰⎰-y y ydx dy ．**(2) 计算二重积分⎰⎰Dx dxdy e 2，其中D 是第一象限中由y =x 和y =x 3所围成的区域． 解：原式=⎰⎰xx x dy dx e 321=dx e x xex x )(2213⎰- =121-e ．**(3) 计算二重积分⎰⎰-Dd y x σ12，其中}10),{(2x y y x D -≤≤=． 解：(){}10:10,2≤≤⇒-≤≤=y D x y y x D ， 原式⎰⎰----=yydx x dy y 11211()()[]()()()()92192113213211111313111031021021011103=--=---=-=--+---=-=⎰⎰⎰⎰---y y d y dy y dy y y y y y x dy y y y**(4) 计算二重积分⎰⎰-Dy x σd ,其中{}20,10),(≤≤≤≤=y x y x D ．解：直线x y =把区域D 分成1D （上）、2D （下）两个部分，⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-21)d ()d (d D D Dy x x y y x σσσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=-+-=10021022100102d )(21d )(21d )(d d )(d x y x x x y y y x x y x y x xx xx 34231)d 22(123102=+-=+-=⎰x x x x x x ．**(5) 计算二重积分⎰⎰+Dd y x x σ)sin(，其中D 由直线π=x 、抛物线x x y -=2及其在（0，0）点的切线围成．解：抛物线x x y -=2在（0，0）处切线斜率 1)0('-=y ，此切线方程为 x y -=，区域D:x x y x x -≤≤-≤≤2,0π，⎰⎰+Dd y x x σ)sin(⎰⎰--+=π2)sin(xx x dy y x x dx ⎰⎰--++=π2)()sin(xx xy x d y x x dxxx y xy y x x dx -=-=⎰+-=2)]cos([π⎰-=π2)cos 0(cos dx x x ⎰-=π2)cos 1(dx x x ππ202sin 2121x x -==2π．6．试利用积分区域的对称性和被积函数（关于某个单变量）的奇偶性，计算二重积分： **(1) ()⎰⎰++Dd c by ax σ，其中 (){}222,R y x y x D ≤+=，a ,b ,c 为常数． 解：()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++DDDDcd byd axd d c by ax σσσσ，∵(){}222,R y x y x D ≤+=，既关于y 轴对称，又关于x 轴对称． 又∵()ax x f =为奇函数，()by y g =也为奇函数． ∴由积分区域对称性及被积函数的奇偶性可知：0,0==⎰⎰⎰⎰DDbyd axd σσ．**(2) ()⎰⎰+++Ddxdy x yx x 652111，其中(){}20,1,≤≤≤=y x y x D ．解：()⎰⎰⎰⎰⎰⎰++++=+++DD D dxdy x y x dxdy x x dxdy x y x x 6762652111111，∵(){}20,1,≤≤≤=y x y x D ，关于y 轴对称，又()6711,x y x y x u ++=，关于x 为奇函数， ∴01167=++⎰⎰Ddxdy x yx ，∴ ()⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+++-2062116265211111dy x x dx dxdy x x dxdy x y x x DD ()3arctan 34d 1134d 122103103231062π==+=+=⎰⎰xx x x x x ．第 12 章（之3）（总第69次）教学内容: §12．2．2 二重积分在极坐标系下的计算方法1． 填空与选择 **(1) 设D ：20,10πθρ≤≤≤≤，根据二重积分的几何意义，则___________d θd 1D2=-⎰⎰ρρρ．答：π61．**(2) 设区域D 是x 2+y 2≤1与x 2+y 2≤2x 的公共部分，试写出⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标系下先对ρ积分的累次积分_________________．解：记ρθρθρθρ)sin ,cos (),(f F =，则ρθρθρθρθρθρθππθππππθd ),(d d ),(d d ),(d 23cos 2033132cos 20⎰⎰⎰⎰⎰⎰++---F F F ．**（3）若区域D 为(x －1)2+y 2≤1，设ρθρθρθρ)sin ,cos (),(f F =， 则二重积分⎰⎰D y x y x f d d ),(化成累次积分为 （ ）(A)ρθρθπθd ),(d 0cos 20⎰⎰F ； (B) ρθρθππθd ),(d cos 20⎰⎰-F ；(C)ρθρθππθd ),(d 22cos 20⎰⎰-F ； (D) ρθρθπθd ),(d 220cos 20⎰⎰F ．答：（C ）．** (4)若区域D 为x 2+y 2≤2x ，则二重积分dxdy y x y x D22)(++⎰⎰化成累次积分为（ ） (A)⎰⎰+-θππρρθρθθθcos 2022d cos 2)sin (cos d ；(B)⎰⎰+θπρρθθθcos 2030d d )sin (cos ；(C) ⎰⎰+θπρρθθθcos 2030d d )sin (cos 2； (D)⎰⎰-+θππρρθθθcos 20322d d )sin (cos ．答：（D ）．2．化下列二重积分为极坐标下的二次积分 **(1)⎰⎰Dd xy f σ)(，其中 }1,10),{(2≤≤≤≤=y x x y x D ．解：令θρθρsin ,cos ==y x在区域D1上2)cos (sin θρθρ=即)20(cos sin 2πθθθρ≤≤=，在区域D2上1sin =θρ即)20(sin 1πθθρ≤≤=，ρρθθρρρθθρθσππθπθθd f d f d d xy f D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=24sin 1024cos sin 02)cos sin ()cos sin ()(2．**(2)．⎰⎰+Dd y x f σ)(，其中}10,2),{(2≤≤-≤≤=y y x y y x D ．解：令θρθρsin ,cos ==y x ，由θθρθρθρ222cos sin )cos (sin =⇒=⇒=x y ，由 2222=⇒=+ρy x ，θθθθ22cos 2sin 2cos sin =⇒=， θθ42cos 2cos 1=-，解得：421cos 2πθθ==，， ⎰⎰⎰⎰+=+402cos sin 2)sin cos ()(πθθρρθρθρθσd f d d y x f D．3． 用极坐标计算下列积分 **(1)dy y x dx x xx ⎰⎰--+22442210；解：将二次积分⎰⎰--+2244221x x x dy y x dx 看作二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(化来，224410:x y x x x D -≤≤-≤≤，，令θρθρsin ,cos ==y x ，则： 2cos 4≤≤ρθ， 如图，两圆交点)3,1(),(=y x ，即)3,2(),(πθρ=，所以⎰⎰--+2244221x x x dy y x dx ⎰⎰⋅=232cos 4ππθρρρθd d⎰⎰-==233232cos 43)cos 36438()31(ππππθθθθρd d ⎰--⨯=232sin )sin 1(364638ππθθπd ]3sin 2sin [31364)3sin 2(sin 3649433）（）（πππππ-⋅+--=38912894+-=π．**(2)⎰⎰-2122arctany ydx xydy ． 解：()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤=220,1,2y y x y y x D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤=40,10,πθρθρ，∴64arctan 2104012202πθρρθθπ=⋅=⎰⎰⎰⎰-d d d dx x y dy y y．**4．设),(y x f 是连续函数，将二次积分ρρθρθρθρρθρθρθππππd )sin ,cos (d d )sin ,cos (d 43222⎰⎰⎰⎰+-aa f f ，)0(>a化为在直角坐标系下先对y 后对x 的二次积分．解：原式=⎰⎰⎰⎰------+0220222222),(),(a x a xax a x a dy y x f dxdy y x f dx．5． 计算下列二重积分***(1)⎰⎰+Dx y d yx eσ22arctan ，其中}3,41),{(22x y x y x y x D ≤≤≤+≤=． 解：在极坐标变换θρθρsin ,cos ==y x 下，x y x 3≤≤，有3tan 1≤≤θ，即34πθπ≤≤，又 4122≤+≤y x ， 则 412≤≤ρ，即21≤≤ρ，所以⎰⎰+Dxy d y x eσ22arctan⎰⎰⎰==3421)arctan(tan 34ππθθππθρρθd e d e d 4334ππππθe e e -==． ***(2)⎰⎰Dxydxdy e，其中(){}x y x xy y x D 2,21,≤≤≤≤=．解：⎰⎰=θθθθθθρπρρθsin cos 2sin cos 1cos sin 2arctan 42d ed I⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=2arctan 4sin cos 2sin cos 1sin cos 2sin cos 121πθθθθθθρθθθd e()⎰-=2arctan 421sin cos 121πθθθd e 2ln 22e e -=6． 计算下列平面区域的面积：*(1) 计算由抛物线y =x 2及直线y =x +2围成区域的面积．解： ∵x 2 = x +2 即 x =－1, x =2． ∴交点为(－1,1)与(2，4)A=⎰⎰-+2122x xdy dx=⎰--+212)2(dx x x =214．**(2) }cos 121|}cos ,cos {(ϕρϕρϕρ+≤≤=D ． 解：⎰⎰=Dd A σ。
高等数学-课后习题答案第十二章
习题十二1．写出下列级数的一般项：(1)1111357++++；(2)2242468x x ++++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+；解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2nn xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+；2．求下列级数的和：(1)()()()1111n x n x n x n ∞=+-+++∑；(2)1n ∞=∑；(3)23111555+++；解：(1)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211n Sx x x x x x xx x n xn x n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-= ⎪++++⎝⎭因此()1lim 21n n S x x →∞=+，故级数的和为()121x x + (2)因为n U =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=+-所以lim 1n nS →∞=1(3)因为21115551115511511145n nn n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14．3．判定下列级数的敛散性：(1)1n ∞=∑；(2) ()()11111661111165451nn +++++⋅⋅⋅-+；(3)()23133222213333nn n --+-++-；(4)155n +++；解：(1)(11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15． (3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛． (4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：(1) ()111n n n +∞=-∑；(2) 1cos 2nn nx∞=∑；(3)1111313233n n n n ∞=⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭∑． 解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n ++++++<<+，∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛． (3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++- ⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．(1)()()111465735n n ++++⋅⋅++；(2)22212131112131n n +++++++++++(3)1πsin 3n n ∞=∑；(4)1n ∞=；(5)()1101nn a a ∞=>+∑；(6)()1121nn ∞=-∑．解：(1)∵()()21135n U nn n =<++而211n n∞=∑收敛，由比较审敛法知1nn U∞=∑收敛．(2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n →∞→∞=⋅=而1π3nn ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛． (4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n n U a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a ∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim 022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2x x x →-=知121limln 211nx n →∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：(1)213nn n ∞=∑；(2)1!31nn n ∞=+∑； (3)232333331222322nnn +++++⋅⋅⋅⋅；(1) 12!n nn n n ∞=⋅∑解：(1)23n nn U =，()2112311lim lim 133n n n n n n U n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2)()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3)()()11132lim lim 2313lim 21312n n n n nn n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=>所以原级数发散．(4)()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n n n n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：(1)1531nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑； (2)()[]11ln 1nn n ∞=+∑；(3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑；(4)1nn n b a ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑，其中a n →a （n →∞），a n ，b ，a 均为正数．解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散．(2)()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==< ⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim n n n b b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，b a=1，无法判定其敛散性．8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1-+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 234111*********5353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑； (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn n n ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑．解：(1)()11n n U -=-，级数1nnU ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121n n n U n∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛．(2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1limln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅民，显然1111115353n nn n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n n U U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n nU U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n n α∞=∑收敛得原级数绝对收敛．当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛．当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n n n ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U n n ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +>又01111lim lim 12311d n n n n U n n x n x →∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰知lim 0nn U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．(1)()1!1nn x n ∞=-∑，x ∈[-3,3]；(2)21n n x n ∞=∑，x ∈[0,1]；(3) 1sin 3nn nx∞=∑，x ∈(-∞,+∞)；(4) 1!nxn e n -∞=∑，|x |<5；(5)1n ∞=，x ∈(-∞,+∞)解：(1)∵()()3!!11nnx n n ≤--，x ∈[-3,3]，而由比值审敛法可知()13!1nn n ∞=-∑收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．(2)∵221nx nn ≤，x ∈[0,1]，而211n n ∞=∑收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．(3)∵1sin 33n nnx ≤，x ∈(-∞,+∞)，而113nn ∞=∑是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．(4)因为5!!n nx ee n n -≤，x ∈(-5,5)，由比值审敛法可知51!n n e n ∞=∑收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．(5)531n≤，x ∈(-∞,+∞)，而5131n n∞=∑是收敛的P -级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n ．都有|U n (x )|≤V n (x )，则当()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛时，级数()1nn Ux ∞=∑在这区间Ⅰ上也一致收敛．证：由()1nn Vx ∞=∑在Ⅰ上一致收敛知， ∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有 |V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，于是，∀ε>0，∃N (ε)>0，使得当n >N 时，∀x ∈Ⅰ有|U n +1(x )+U n +2(x )+…+U n +p (x )|≤V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x ) ≤|V n +1(x )+V n +2(x )+…+V n +p (x )|<ε，因此，级数()1nn Ux ∞=∑在区间Ⅰ上处处收敛，由x 的任意性和与x 的无关性，可知()1nn Ux ∞=∑在Ⅰ上一致收敛．11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…；(2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑；解：(1)因为11lim lim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n∞=-∑，由lim(1)0n x nn →-≠知级数1(1)nn n∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n na n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1eR ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e1lim 2x x x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+=所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n →∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．(4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数：(1)21n n nx∞+=∑；(2) 22021n n x n +∞=+∑； 解：(1)由()321lim n n n x n x nx ++→∞+=知，当|x |=<1时，原级数收敛，而当|x |=1时，21n n nx∞+=∑的通项不趋于0，从而发散，故级数的收敛域为(-1,1)．记()23111n n n n S nxxnxx ∞∞+-====∑∑易知11n n nx∞-=∑的收敛域为(-1,1)，记()111n n S nx x ∞-==∑则()1011xn n x S x x x ∞===-∑⎰于是()()12111x S x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-，所以()()()3211x S x x x =<-(2)由2422221lim 23n n n x n x n x ++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数2121n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011n n S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰即()()1111ln 021x S S x x +-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x +==<-13．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：(1)f (x )=ln(2+x )； (2)f (x )=cos 2x ；(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )；(4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-；(7)f (x )=e x cos x ； (8)()()212f x x =-．解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1) 故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()110ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞) 得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞)(3)f (x )=(1+x )ln(1+x )由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()11200111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n nn n x n ∞=-=+-∑(-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2nn n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x xn ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n xf x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞) 得()01e!n n xn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()000211e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑(7)因为ecos xx 为()()1e cos sin xxi ex i x +=+的实部，而()()[]()10002011!1!ππcos sin !44ππ2cos sin !44n xi n nn n nn n n n n ex i n x i n x i n x n n i n ∞+=∞=∞=∞==+=+⎤⎫=+⎪⎥⎭⎦⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑取上式的实部．得20π2cos4cos !nx nn n e x x n ∞==⋅∑(-∞<x <+∞)(8)由于()1211n n nx x ∞-==-∑ |x |<1而()211412f x x =⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()111001422n n n n n n x x f n x --∞∞+==⋅⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭∑∑ (|x |<2)14．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑ 所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n n n n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑15．将函数()f x =(x -1)的幂级数．解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nn n nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑16．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1)ln3（误差不超过0.0001）； (2)cos20（误差不超过0.0001）解：(1)35211ln 213521n x x x x x xn -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦-又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯． 因而取n =6则35111111ln 32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈故2π90cos2110.00060.99942!⎛⎫⎪⎝⎭≈-≈-≈17．利用被积函数的幂级数展开式，求定积分0.50arctan d xx x ⎰（误差不超过0.001）的近似值．解：由于()3521arctan 13521n n x x x x x n +=-+-++-+，（-1≤x ≤1）故()2420.50.5000.5357357arctan d d 113521925491111111292252492nx x x x x xx n x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥+⎣⎦⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭=-⋅+⋅-⋅+⎰⎰而3110.013992⋅≈，5110.0013252⋅≈，7110.0002492⋅≈．因此0.5350arctan 11111d 0.487292252x x x ≈-⋅+⋅≈⎰18．判别下列级数的敛散性：(1)111n nnn nn n +∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑； (2)21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑；(3)()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．解：(1)∵122111n nnnn nnn n n n n n n +⎛⎫>= ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而()22211221lim lim 10111nnn n n n n n n --++→∞→∞⎡⎤⎛⎫-⎛⎫==≠+⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦故级数2211nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑发散，由比较审敛法知原级数发散．(2)∵2cos 3022n nnx n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭<≤由比值审敛法知级数12nn n ∞=∑收敛，由比较审敛法知，原级数21cos 32n n nx n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛．(3)∵()()ln ln 220313nn n n n ++<<⎛⎫+ ⎪⎝⎭由()()()()11ln 33lim lim 3ln 21ln 3lim3ln 2113nn n n n nn U n U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅++=+=<知级数()1ln 23nn n ∞=+∑收敛，由比较审敛法知，原级数()1ln 213nn n n ∞=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛．19．若2lim n n n U →∞存在，证明：级数1nn U∞=∑收敛．证：∵2lim nn n U →∞存在，∴∃M >0，使|n 2U n |≤M ，即n 2|U n |≤M ，|U n |≤2M n而21n Mn ∞=∑收敛，故1n n U ∞=∑绝对收敛．20．证明，若21nn U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛．证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122nn U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛，因而1nn U n∞=∑绝对收敛．21．若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，则函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．证：U n (x )=a n cos nx +b n sin nx ，∀x ∈R 有()cos sin cos sin n n n n n n nU a nx b nx a nx b nx a b x =+≤+≤+由于1nn a∞=∑与1nn b∞=∑都绝对收敛，故级数()1nnn ab ∞=+∑收敛．由魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数()1cos sin nn n anx b nx ∞=+∑在R 上一致收敛．22．计算下列级数的收敛半径及收敛域：(1) 111nnn x n ∞=⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∑；(2)()1πsin12n n n x ∞=+∑；(3)()2112nnn x n ∞=-⋅∑解：(1)111limlim 11lim lim lim 22e e n n nn nn nnn n n a a n n n ρ+→∞+→∞→∞→∞→∞-==⋅⎝⎭⎛⎫+++⎛⎫=⋅⋅ ⎪++⎝⎭=⋅=∴1R ρ==，又当x =时，级数变为()111311333n nnn n n n n n ∞∞==⎛⎫⎛⎛++=±± ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑，因为3lim 033nn n n →∞⎛⎫+=≠ ⎪+⎝⎭所以当3x =±，级数发散，故原级数的收敛半径3R =，收敛域(-3,3)．(2)111ππsin122lim limlim ππ2sin 22n n n n n n nnn aa ρ+++→∞→∞→∞====故12R ρ==，又∵πsinπ2limsin 2lim ππ0π22n n n n n n →∞→∞⋅==≠．所以当(x +1)=±2时，级数()1πsin 12n n n x ∞=+∑发散，从而原级数的收敛域为-2<x +1<2，即-3<x <1，即(-3,1)(3)()212121lim lim 221n n n n n n a n a n ρ++→∞→∞⋅===⋅+ ∴2R =，收敛区间-2<x -1<2，即-1<x <3．当x =-1时，级数变为()2111nn n ∞=-∑，其绝对收敛，当x =3时，级数变为211n n∞=∑，收敛．因此原级数的收敛域为[-1,3]．23．将函数()0arctan d xtF tx t =⎰展开成x 的幂级数．解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）24．判别下列级数在指定区间上的一致收敛性：(1)()113n n n x ∞=-+∑，x ∈[-3,+∞)；(2)1n n n x∞=∑，x ∈(2,+∞)；(3)()()222211n nx x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑，x ∈(-∞,+∞)；解：(1)考虑n ≥2时，当x ≥-3时，有()1111133333nn n n nx x --=<<+-+ 而1113n n ∞-=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()113nn n x ∞=-+∑在[-3,+∞)上一致收敛．(2)当x >2时，有2n nn nx =<由1112lim 122n n nn n +→∞+=<知级数12n n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数1nn nx∞=∑在(2,+∞)上一致收敛．(3)∀x ∈R 有()()()22224322111nn n x n n n x n n n ≤<=⎡⎤+⋅+++⎣⎦而311n n ∞=∑收敛，由魏尔斯特拉斯判别法知，级数()()222211n n x x n n ∞=⎡⎤+++⎣⎦∑在(-∞,+∞)上一致收敛．25．求下列级数的和函数：(1)()211121nn n x n ∞-=--∑；(2)21021n n x n +∞=+∑；(3)()11!1n n nxn ∞-=-∑；(4)()11nn x n n ∞=+∑．解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，级数()111121n n n ∞-=--∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]记()()()()22111111112121n n n n n n x x S x xS x x n n -∞∞--=====----∑∑则S 1(0)=0,()()122121111n n n S x x x ∞--='==-+∑所以()()11201d arctan 01xS S x xx x -==+⎰即S 1(x )=arctan x ，所以S (x )=x arctan x ，x ∈[-1,1]．(2)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x ∞='==-∑ ()200111d d ln 121x x x S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021x S S x x +-=-，S (0)=0所以()11ln21xS x x +=-，(|x |<1)(3)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n nan +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n nS xx n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xxn n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)(4)由()()()112lim 111n n n n n →∞++=+知收敛半径R =1，当x =1时，级数变为()111n n n ∞=+∑，由()2111n n n <+知级数收敛，当x =-1时，级数变为()()111n n n n ∞=-+∑是收敛的交错级数，故收敛域为[-1,1]．记()()11nn x S x n n ∞==+∑则S (0)=0，()()111n n x xS x n n +∞==+∑， ()[]1111n n x xS x x ∞-=''==-∑ （x ≠1） 所以()[]()d ln 1xxS x x x ''=--⎰即()[]()ln 1xS x x '=--()[]()()()00d ln 1d 1ln 1xxxS x x x x x x x'=--=--+⎰⎰即()()()1ln 1xSx x x x =--+当x ≠0时，()()111ln 1S x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，又当x =1时，可求得S (1)=1（∵()1lim lim 111n n S x n →∞→∞⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭）综上所述()()[)()0,01,1111ln 1,1,00,1x S x x x x x =⎧⎪==⎪⎨⎛⎫⎪+--∈- ⎪⎪⎝⎭⎩26．设f (x )是周期为2π的周期函数，它在(-π,π]上的表达式为()32π0,0π.x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩试问f (x )的傅里叶级数在x =-π处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+27．写出函数()21π00πx f x x x --≤≤⎧=⎨<≤⎩的傅里叶级数的和函数．解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩28．写出下列以2π为周期的周期函数的傅里叶级数，其中f (x )在[-π,π)上的表达式为：(1)()π0π,4ππ0;4x f x x ⎧≤<⎪⎪=⎨⎪--≤<⎪⎩(2)()()2πx π=-≤≤f x x ；(3)()ππ,π,22ππ,,22ππ,π;22⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩x f x x x x (4)()()cosππ2=-≤≤x f x x .解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有 ()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ ()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx xn n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n xn ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…)所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nxn ∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π(n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nxn n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z ) (4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()π0π12π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x n x x n x n x n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑x ∈[-π,π]29.将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42xf x x =--<<(2)()()sin 02πf x x x =≤≤解：(1)()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰[]()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx xn -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n ∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()π022ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1nn x n x x n n n n =+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰所以()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑(0≤x ≤2π)30.设f (x )=x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx xn ==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n ∞=--+=∑(0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑(0≤x ≤π)31.将f (x )=2+|x | (-1≤x ≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑所以211π6n n ∞==∑ 32.将函数f (x )=x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cos π221n n xf x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)33.设()()011,0,2cos π1222,1,2n n x x a f x s x a n xx x ∞=⎧≤≤⎪⎪==+⎨⎪-<<⎪⎩∑，-∞<x <+∞，其中()102cos πd n a f x n x x=⎰，求52s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭34.设函数f (x )=x 2(0≤x <1)，而()1sin πn n s x b n x∞==∑，-∞<x <+∞，其中()102sin πd n b f x n x x=⎰(n =1,2,3,…)，求12s ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故.211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 35.将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为：(1)f (x )=1-x 21122x ⎛⎫-≤< ⎪⎝⎭； (2)()21,30,1,0 3.x x f x x +-≤<⎧=⎨≤<⎩ 解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰，()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n xn +∞=-=+∑ (-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn x a f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰ ()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n x b f x xn x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑(x ≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)36.把宽为τ，高为h ，周期为T 的矩形波（如图所示）展开成傅里叶级数的复数形式.解：根据图形写出函数关系式()0,22,220,22T t u t h t T t ττττ⎧-≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤≤⎪⎩()()22022111d d d 2Tl T l h c u t t u t t h t l T T Tτττ---====⎰⎰⎰()()π2π222π2π22222π2211ed ed 212πe d e d 2ππsin e 2ππn T n i t li t lTT n ln n i t i t T T n i t T c u t t u t tl Th T n h t i t T T n i T h h n n i n T τττττττ----------==-⎛⎫⎛⎫==⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤=-= ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰⎰故该矩形波的傅里叶级数的复数形式为()2π1πsin eπn i t Tn n h h n u t T n Tττ∞-=-∞≠=+∑(-∞<t <+∞，且3,22t ττ≠±±，…)37.设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x ，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式. 解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n cf x x xl n i n in in ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in xn in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)38.求矩形脉冲函数(),00,A t T f t ≤≤⎧=⎨⎩其他的傅氏变换 解：()()()01e ed ed i x Ti xi xA F f t A t t i ωωωωω-+∞---∞-===⎰⎰39.求下列函数的傅里叶积分：(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩。
高数第十二章习题答案
y 2 x 2 0 （ y y 2 x 2 Cx 2 ）
2
2. x y x xy y
（ y x tan(ln x C ) ）
3.
( xy y ) cos 2
y
y 1 2y y x0 sin C ln x 2 （ x 2 ） x x
3 x2
D. 是特解
4. y 3 xy, y Ce 2 A. 是解
（ C ） C. 是通解 D. 是特解
B. 不是解
四、求下列可分离变量的微分方程解： 1. ( xy x)dx ( y x y )dy 0 （ y 1 C ( x 1) ）
2 2 2 2
2. y e
2
（ D ） C. 是通解 D. 是特解
B. 不是解
2. y y 0, y 3sin x 4 cos x （ B ） A. 是解 B. 不是解
2 x
C. 是通解 （ B ） C. 是通解
D. 是特解
3. y 2 y y 0, y x e A. 是解 B. 不是解
2
二、指出下列微分方程的阶，同时指出它是线性的，还是非线性的： 1. x( y) 2 yy x 1 （一n x
2
（二阶线性微分方程）
1 y2 dy 3. dx 1 x 2 （一阶非线性微分方程）
4. (7 x 3 y ) dx ( x y ) dy 0 （一阶非线性微分方程） 三、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解，如果是解，是通解，还是特解？ 1. xy 2 y, y 5 x A. 是解
x y
5. (e
e x )dx (e x y e y )dy 0 （ (e x 1)(e y 1) C ）
高数下第十二章级数
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是x 的函数s( x) ,
称s( x)为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2 ( x) un ( x)
函数项级数旳部分和 sn ( x),
lim
n
sn( x)
s( x)
例 1
求级数
(1)n (
1
)n 的收敛域.
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
(2)
un1 un
(
n 1)! 10n1
10n n!
n1 10
(n ),
故级数
n! n1 10n
发散.
(3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
23
n
有
lim
n
un
0,
但发散.
练习：判别下列级数的敛散性
1. 1 1 1
1
13 35 57
(2n 1)(2n 1)
2、 1 1 1 1 ；
369
3n
3、(1 2
1) 3
1 (22
1 32
)
(
1 23
1 33
)
1 (2n
1 3n
) ；
4、 1 1 1 1 1 1 .
证明 (u1 u2 ) (u3 u4 u5 )
1 s2 , 2 s5 , 3 s9 ,
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案1. 若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则()Lx y dx +=⎰43；(3)Lx y dy -=⎰ 2 . 解：L 的方程为2,x y y =从-1变到1，而2dx ydy =，于是()1111232211104()222043Lx y dx yy ydy y dy y dy y dy ---+=+⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰.()1111222111(3)33602Lx y dy y y dy y dy ydy y dy ----=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.注意：定积分的积分区间关于原点对称，考虑被积函数的奇偶性可以简化计算. 2.已知L 为圆周 122=+y x 沿逆时针方向，则曲线积分()(sin )xLey dx y x dy -++⎰=2π.解：计算封闭曲线积分，一般考虑用格林公式，这里(),sin ,112x Q P P e y Q y x x y ∂∂=-=+-=--=∂∂.于是()222211(sin )222xLx y x y ey dx y x dy dxdy dxdy π+≤+≤-++===⎰⎰⎰⎰⎰.注意：221x y dxdy +≤⎰⎰等于圆域221x y+≤的面积.3.若曲线积分()3222(cos )1sin 30Laxy y x dx ay x x y dy -+-+=⎰，则a =__2___.解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里3222cos ,1sin 3,P axy y x Q ay x x y =-=-+2232cos ,cos 6.P Q axy y x ay x xy y x ∂∂=-=-+∂∂比较可得2a =. 4.若22xdy aydxx y-+在右半平面0x >内是某个函数的全微分，则a =__1__. 解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里2222,,ay xP Q x y x y -==++ ()()()()()()2222222222222222222222,.a x y ay y x y x x P ax ay Q x y y x x y x y x y x y -++⋅+-⋅∂-+∂-+====∂∂++++ 比较可得1a =. 5.将()1x f x x +＝展开为x 的幂级数1xx=+()1231, 1.n n x x x x x --+-+-+<或1xx=+()111,1n n n x x ∞-=-<∑.解：当1x <时，()()11x x f x x x =+--＝为首项是x 公比为x -的等比级数，所以()()1123111, 1.1n n nn n xx x x x x x x∞--==-+-+-+=-<+∑6. 幂级数∑∞=1n 3n n x n的收敛半径R= 13，收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.解：n n 113311,lim lim 33n n n n n n a n a R n a n +→∞→∞++===⋅=收敛半径，收敛区间是11-33⎛⎫⎪⎝⎭，，而当13x =-时，级数n 1131(1)n n n n x n n ∞∞===-∑∑是条件收敛的交错级数；当13x =时，级数n 1131n n n x n n∞∞===∑∑是发散的调和级数.故收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.7.下列级数发散的是（ A ）.A.11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; B. 211n n∞=∑； C. 115n n ∞=∑； D. 111(1)2n nn ∞-=-∑. 解：A.1ln 1n u n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.B 选项是p 级数，21p =>，故211n n∞=∑收敛.C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛.D选项是交错级数，而正项级数11111(1)22n n n n n ∞∞-==-=∑∑115q ⎛⎫=< ⎪⎝⎭是收敛的等比级数，故111(1)2n n n ∞-=-∑绝对收敛.8.下列级数收敛的是（ C ）. A.11sin n n ∞=∑; B. 1n ∞= C. 115n n ∞=∑；D. n ∞=解：A 选项1sin n u n =，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11sin n n ∞=∑发散.B选项15nn u -==，由0lim 510n n u →∞==≠知级数n ∞=. C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛. D选项1151n n n∞∞===∑是p 级数，115p =<，故n ∞=. 9.计算曲线积分22(3)(3),Lx y dx y x dy +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆224(0)x y x y +=≥到A(4,0)的曲线段.解：已知22(,)3,(,)3P x y x y Q x y y x =+=+，则3,3P Qy x∂∂==∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关.选取x 轴上直线段OA 路径，此时0,y x =从0 到4，0dy =，于是44222300164(3)(3)33Lx y dx y x dy x dx x +++===⎰⎰. 10.计算曲线积分3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰其中L 是从A(2, 0)沿上半圆222(0)x y x y +=≥到O(0,0)的曲线段.解： 已知3(,)(2),(,)2P x y x y Q x y y x =-+=+，则2,2,4P Q Q P y x x y∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂. 为了使用格林公式，添加辅助直线段OA ,记它与L 所围成的区域为D,D 是上半圆域222,0x y x y +≤≥，且边界封闭曲线方向是规定的正向. 而直线段OA 方程为：0,y x =从0到2，此时0dy =.则 3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰33(2)(2)(2)(2)L OAOAy x dy x y dx y x dy x y dx +=+-+-+-+⎰⎰()2342001444D Ddxdy x dx dxdy x =--=+⎰⎰⎰⎰⎰1442 4.2ππ=⋅+=+（注Ddxdy ⎰⎰等于上半圆域D 的面积）11.设dy y xy x dx y xy x du )32()23(2222+--+-=，求原函数),(y x u . 解法一：已知2222(,)32,(,)(23)P x y x xy y Q x y x xy y =-+=--+， 而22,22P Q x y x y y x ∂∂=-+=-+∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关.取折线路线0AB ：(0,0)(,0)(,)O A x B x y →→.其中直线段OA 方程为：0,y x =从0到x ，此时0dy =；直线段AB 方程为：,x x y =从0到y ，此时0dx =.则原函数 (,)OAB OAABu x y Pdx Qdy C Pdx Qdy Pdx Qdy C =++=++++⎰⎰⎰22203(23)xy x dx x xy y dy C =+--++⎰⎰3223x x y xy y C =-+-+解法二：已知2222(32),(23)u ux xy y x xy y x y∂∂=-+=--+∂∂，两式子分别对,x y 两边积分，有 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰，22223(,)(23)()u x y x xy y dy x y xy y x ψ=--+=-+-+⎰.从而，有 322223()()x x y xy y x y xy y x ϕψ-++=-+-+， 比较上式两边，有 33(),()y y C x x C ϕψ=-+=+.故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 解法三：依题意，知2232u x xy y x ∂=-+∂（1）， 22(23)ux xy y y∂=--+∂（2）.（1）式两边对x 积分，得 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰（3）（3）式两边对y 求偏导，得22()ux xy y yϕ∂'=-++∂ （4）. 比较（2）、（4）式，得 2()3y y ϕ'=-，两边对y 积分，得 3()y y C ϕ=-+. 故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 12.判别下列正项级数的敛散性：（1）12sin 3nn n π∞=∑；（2）2121n n n n ∞=+-∑；（3）13!n nn n n ∞=⋅∑；（4）121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑. 解：（1）()22sin2333nnn n nn u n πππ⎛⎫=⋅=→∞ ⎪⎝⎭，取23nn v ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由23lim lim 23nn n n n nu v ππ→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，又已知等比级数122133n n q ∞=⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛. 因此根据正项级数的比较判别法知 级数2sin3n nπ∑收敛.（2）221n n u n n =+-，取1n v n =. 由22lim lim 121n n n nu n v n n →∞→∞==+-，又已知调和级数1n ∑发散.因此根据正项级数的比较判别法知 级数221nn n +-∑发散.（3）13!n nn n n∞=⋅∑ 解：3!n n n n u n ⋅=，因为 ()()11131!13lim lim 3lim 3lim 13!1111nn n n n n n n n n n nn u n n u n n e n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+⎛⎫=⋅===> ⎪⋅+⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以根据正项级数的比值判别法知 级数3!n nn n ⋅∑发散.（4）21n n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 解：21nn n u n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，因为1lim 1212n n n n →∞==<+， 所以根据正项级数的根值判别法知 级数21nn n ⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.13.求下列幂级数的和函数：（1）111n n x n -∞=+∑；（2）11n n nx ∞-=∑. 解：（1）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设幂级数的和函数为()s x ，则11()1n n x s x n -∞==+∑ （1x <）， 1(0)2s =对121()1n n x x s x n +∞==+∑逐项求导，得()1211()11n n n n x x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ ()11x -<< 对上式从0到x 积分，得 ()[]2000111()1ln(1).111xx x t t x s x dt dt dt x x t t t --⎛⎫⎛⎫==-=--=-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是当0x ≠时，有 2ln(1)()x x s x x +-=-.从而 和函数2ln(1),01;()1,0.2x x x xs x x +-⎧-<<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.特殊的，当1x =-时，级数()()112111n nn n n n-∞∞==--=+∑∑收敛.所以2ln(1)()x x s x x +-=-在1x =-也成立.（2）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设和函数为()s x ，则11()n n s x nx∞-==∑ （1x <）.对上式从0到x 逐项积分，得111()1x xn n n n xs t dt nt dt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 对上式求导，得22(1)(1)1()1(1)(1)x x x s x x x x '--⋅-⎛⎫=== ⎪---⎝⎭，1x <.。
高等数学同济第七版第十二章课后习题答案
…I I
半径为 I,收敛区间为（-1 J）.
（4）lim %" = lim —= 0 ,故收敛半在为+8，收敛区间是（-8 , ♦ 8 ）. …14 | …2 （门♦ I）
第十二童无穷级数
221
由此可知.对任意给定的正数£ .取正整数 A m 岫十,当〃 >投时,对一切正整数 p, 都有 S--
力 < £ ,按柯西收敛原理.该级数收敛•
(4)本题与(2)类同.因 4 =丁\ + (
故对 3/1 ♦ 1 \3n +2 3n + 3) 3〃 ♦ I An
% = + .不论/!取什么正整数.取 p = 〃时.就有 1〃.,・h1 =%八+U..2 ।…+
219
解(D 此级数为公比 g =-5 的等比级数.因|°| < 1 ,故该级数收敛.
(2)此级数的部分和
即该级数发散.
lim sA = + oc , 冬■一
(3)此级数的一股项% =*，有 要条 忖％ = lim(y), = 1 ,不满足级数收敛的必
件，故该级数发散. (4)此级数为公比 4 二方的等比级数，因|q| > 1 ,故该级数发散. (5)此级数的一般项% =3.二注意到与£ 上分别是公比”;
•
・a
散,故各项乘;志的级数 Ej 也发放,由比较审敛法知原级数 s 二二■? 发散.
1 解法二 因=1,而 y 1 发故.故由极限形式的比较审敛法知原 … I 2 1n
级数发散 (2) u = Lt： >二而 f L 发散.由比较审敛法知原级数 ・
1 > n2 n n2 n Sf”
222
一• 《高等数学》(第七版)下册习咫全解
高等数学练习答案12-9
习题12-91. 求下列各微分方程的通解:(1)2y ''+y '-y =2e x ;解 微分方程的特征方程为2r 2+r -1=0, 其根为211=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.因为f (x )=2e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,解得A =1, 从而y *=e x .因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y ++=-2211.(2)y ''+a 2y =e x ;解 微分方程的特征方程为r 2+a 2=0,其根为r =±ai , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos ax +C 2sin ax .因为f (x )=e x , λ=1不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得Ae x +a 2Ae x =e x , 解得211aA +=, 从而21*a ey x +=. 因此, 原方程的通解为2211s i n c o s a e a x C a x C y x +++=.(3)2y ''+5y '=5x 2-2x -1;解 微分方程的特征方程为2r 2+5r =0,其根为r 1=0, 252-=r , 故对应的齐次方程的通解为 x e C C Y 2521-+=.因为f (x )=5x 2-2x -1, λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax 2+Bx +C ),代入原方程并整理得15Ax 2+(12A +10B )x +(4B +5C )=5x 2-2x -1, 比较系数得31=A , 53-=B , 257=C , 从而x x x y 2575331*23+-=. 因此, 原方程的通解为x x x e C C y x 2575331232521+-++=-. (4)y ''+3y '+2y =3xe -x ;解 微分方程的特征方程为r 2+3r +2=0,其根为r 1=-1, r 2=-2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -2x .因为f (x )=3xe -x , λ=-1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=x (Ax +B )e -x ,代入原方程并整理得2Ax +(2A +B )=3x , 比较系数得23=A , B =-3, 从而)323(*2x x e y x -=-. 因此, 原方程的通解为)323(2221x x e e C e C y x x x -++=---. (5)y ''-2y '+5y =e x sin2x ;解 微分方程的特征方程为r 2-2r +5=0,其根为r 1, 2=1±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =e x (C 1cos2x +C 2sin2x ).因为f (x )=e x sin2x , λ+i ω=1+2i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=xe x (A cos2x +B sin2x ),代入原方程得e x [4B cos2x -4A sin2x ]=e x sin2x , 比较系数得41-=A , B =0, 从而x xe y x 2cos 41*-=. 因此, 原方程的通解为x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=. (6)y ''-6y '+9y =(x +1)e 3x ;解 微分方程的特征方程为r 2-6r +9=0,其根为r 1=r 2=3, 故对应的齐次方程的通解为Y =e 3x (C 1+C 2x ).因为f (x )=(x +1)e 3x , λ=3是特征方程的重根,故原方程的特解设为y *=x 2e 3x (Ax +B ),代入原方程得e 3x (6Ax +2B )=e 3x (x +1), 比较系数得61=A , 21=B , 从而)2161(*233x x e y x +=. 因此, 原方程的通解为)2161()(233213x x e x C C e y x x +++=. (7)y ''+5y '+4y =3-2x ;解 微分方程的特征方程为r 2+5r +4=0,其根为r 1=-1, r 2=-4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e -4x .因为f (x )=3-2x =(3-2x )e 0x , λ=0不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ax +B ,代入原方程得4Ax +(5A +4B )=-2x +3, 比较系数得21-=A , 811=B , 从而81121*+-=x y . 因此, 原方程的通解为81121421+-+=--x e C e C y x x . (8)y ''+4y =x cos x ;解 微分方程的特征方程为r 2+4=0,其根为r =±2i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos2x +C 2sin2x .因为f (x )= x cos x =e 0x (x ⋅cos x +0⋅sin x ), λ+i ω=i 不是特征方程的根, 故原方程的特解设为y *=(Ax +B )cos x +(Cx +D )sin x ,代入原方程得(3Ax +3B +2C )cos x +(3Cx -2A +3D )sin x =x cos x , 比较系数得31=A , B =0, C =0,92=D , 从而x x x y sin 92cos 31*+=. 因此, 原方程的通解为x x x x C x C y s i n 92c o s 31s i n 2c o s 21+++=. (9)y ''+y =e x +cos x ;解 微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=f 1(x )+f 2(x ), 其中f 1(x )=e x , f 2(x )=cos x , 而方程y ''+y =e x 具有Ae x 形式的特解;方程y ''+y =cos x 具有x (B cos x +C sin x )形式的特解,故原方程的特解设为y *=Ae x +x (B cos x +C sin x ),代入原方程得2Ae x +2C cos x -2B sin x =e x +cos x , 比较系数得21=A , B =0,21=C , 从而x x e y x sin 221*+=. 因此, 原方程的通解为x x e x C x C y x s i n 221s i n c o s 21+++=. (10)y ''-y =sin 2x .解 微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为x x x f 2cos 2121sin )(2-==, 而方程21=-''y y 的特解为常数A ; 方程x y y 2cos 21-=-''具有B cos2x +C sin2x 形式的特解, 故原方程的特解设为y *=A +B cos2x +C sin2x ,代入原方程得x x C x B A 2cos 21212sin 52cos 5-=---, 比较系数得21-=A ,101=B , C =0, 从而x y 2cos 10121*+-=. 因此, 原方程的通解为212c o s 10121-++=-x e C e C y x x . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解:(1)y ''+y +sin x =0, y |x =π=1, y '|x =π=1;解 微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r =±i , 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1cos x +C 2sin x .因为f (x )=-sin2x =e 0x (0⋅cos2x -sin2x ), λ+i ω=i 是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=A cos2x +B sin2x ,代入原方程得-3A cos 2x -3B sin2x =-sin2x ,解得A =0, 31=B , 从而x y 2sin 31*=. 因此, 原方程的通解为x x C x C y 2s i n 31s i n c o s 21++=. 由y |x =π=1, y '|x =π=1得C 1=-1, 312-=C , 故满足初始条件的特解为x x x y 2s i n 31s i n 31c o s +-+-=. (2)y ''-3y '+2y =5, y |x =0=1, y '|x =0=2;解 微分方程的特征方程为r 2-3r +2=0,其根为r 1=1, r 2=2, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 2x .容易看出25*=y 为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为25221++=x x e C e C y . 由y |x =0=1, y '|x =0=2得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++221252121C C C C , 解之得C 1=-5, 272=C . 因此满足初始条件的特解为 2527521++-=x x e e y . (3)y ''-10y '+9y =e 2x , 76|0==x y , 733|0='=x y ; 解 微分方程的特征方程为r 2-10r +9=0,其根为r 1=1, r 2=9, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e x +C 2e 9x .因为f (x )=e 2x , λ=2不是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae 2x ,代入原方程得(4A -20A +9A )e 2x =e 2x , 解得71-=A , 从而x e y 271*-=. 因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y 292171-+=. 由76|0==x y , 733|0='=x y 得2121==C C . 因此满足初始条件的特解为x x x e e e y 29712121-+=.(4)y ''-y =4xe x , y |x =0=0, y '|x =0=1;解 微分方程的特征方程为r 2-1=0,其根为r 1=-1, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1e -x +C 2e x .因为f (x )=4xe x , λ=1是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=xe x (Ax +B ),代入原方程得(4Ax +2A +2B )e x =4xe x ,比较系数得A =1, B =-1, 从而y *=xe x (x -1).因此, 原方程的通解为y *=C 1e -x +C 2e x +xe x (x -1).由y |x =0=0, y '|x =0=1得⎩⎨⎧=--=+1102121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此满足初始条件的特解为y =e -x -e x +xe x (x -1).(5)y ''-4y '=5, y |x =0=1, y '|x =0=0.解 微分方程的特征方程为r 2-4r =0,其根为r 1=0, r 2=4, 故对应的齐次方程的通解为Y =C 1+C 2e 4x .因为f (x )=5=5e 0⋅x , λ=0是特征方程的单根,故原方程的特解设为y *=Ax ,代入原方程得-4A =5, 45-=A , 从而x y 45*-=. 因此, 原方程的通解为x e C C y x 45421-+=. 由y |x =0=1, y '|x =0=0得16111=C , 1652=C . 因此满足初始条件的特解为x e y x 4516516114-+=. 3. 大炮以仰角α、初速度v 0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线. 解 取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x 轴, 铅直向上为y 轴, 弹道运动的微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=022dtdx g dt y d ,且满足初始条件⎩⎨⎧='=='=====ααc o s | ,0|s i n | ,0|000000v x x v y y t t t t . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=20021s i n c o s gt t v y t v x αα. 4. 在R 、L 、C 含源串联电路中, 电动势为E 的电源对电容器C 充电. 已知E =20V , C =0.2μF(微法), L =0.1H(亨), R =1000Ω, 试求合上开关K 后电流i (t )及电压u c (t ).解 (1)列方程. 由回路定律可知E u u C R u C L c c c=+'⋅⋅+''⋅⋅, 即 LCE u LC u L R u c c c =+'+''1, 且当t =0时, u c =0, u c '=0.已知R =1000Ω, L =0.1H , C =0.2μF , 故4101.01000==L R , 76105102.01.011⨯=⨯⨯=-LC , 9771020105105=⨯⨯=⨯=E LCE . 因此微分方程为9741010510=⨯+'+''c c cu u u . (2)解方程. 微分方程的特征方程为r 2+104r +5⋅107=0,其根为r 1, 2=-5⨯103±5⨯103i . 因此对应的齐次方程的通解为])105sin()105cos([32311053t C t C e u t c ⨯+⨯=⨯-.由观察法易知y *=20为非齐次方程的一个特解.因此非齐次方程的通解为20])105sin()105cos([32311053+⨯+⨯=⨯-t C t C e u t c .由t =0时, u c =0, u c '=0, 得C 1=-20, C 2=-20. 因此])105sin()105[cos(2020331053t t e u t c ⨯+⨯-=⨯-(V), )]105sin(104102.0)(3105263t e u u C t i t c c⨯⨯='⨯='=⨯---(A).5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m 另一端离开钉子12m , 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间:(1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力;解 设在时刻t 时, 链条上较长的一段垂下x m , 且设链条的密度为ρ, 则向下拉链条下滑的作用力F =x ρg -(20-x )ρg =2ρg (x -10).由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρg (x -10), 即g x g x -=-''10. 微分方程的特征方程为0102=-g r , 其根为101g r -=,102g r =, 故对应的齐次方程的通解为 t g t g e C e C x 102101+=-.由观察法易知x *=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为10102101++=-t g t g e C e C x .由x (0)=12及x '(0)=0得C 1=C 2=1. 因此特解为101010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有101010=+-t g t g e e,解之得所需时间)625l n (10+=gt s. (2)若摩擦力为1m 长的链条的重量. 解 此时向下拉链条的作用力变为F =x ρg -(20-x )ρg -1ρg =2ρgx -21ρg 由牛顿第二定律, 有20ρx ''=2ρgx -21ρg , 即g x g x 05.110-=-''. 微分方程的通解为5.10102101++=-t g t g e C e C x .由x (0)=12及x '(0)=0得4321==C C . 因此特解为 5.10)(431010++=-t g t g e e x .当x =20, 即链条完全滑下来时有5.9)(431010=+-t g t g e e ,解之得所需时间)3224319ln(10+=g t s. 6. 设函数ϕ(x )连续, 且满足⎰⎰-+=xx x dt t x dt t t e x 00)()()(ϕϕϕ, 求ϕ(x ).解 等式两边对x 求导得⎰-='xx dt t e x 0)()(ϕϕ, 再求导得微分方程ϕ''(x )=e x -ϕ(x ), 即ϕ''(x )+ϕ(x )=e x . 微分方程的特征方程为r 2+1=0,其根为r 1, 2=±i , 故对应的齐次方程的通解为 ϕ=C 1cos x +C 2sin x .易知x e 21*=ϕ是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为x e x C x C 21s i n c o s 21++=ϕ. 由所给等式知ϕ(0)=1, ϕ'(0)=1, 由此得2121==C C . 因此)s i n (c o s 21x e x x ++=ϕ.。
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第十二章 第九次作业
1．方程032
=+'+''y y x y x
的通解是 。
解 填：()x C C x
y ln 121+=，作变换t
e x =或x t ln =，
原方程可化为022
2
=++y dt
dy
dt y d ，所以 ()()x C C x
e t C C y t
ln 12121+=+=-。
2．方程0=+'+''xy y y x 满足条件0,10
0='
===x x y y 的
解是 。
解 填： +⋅⋅-⋅+-=2226
2
24
22
6
424221x
x x y 。
由条件0,100='===x x y y ，可令
∑∞
=+++==03
32
21n n
n x C x C x C y 代入原方程后，比较
x 的同幂项的系数即可得。
3．方程02223
2
=-++'-''x x y y x y x 的通解是（）。
A ．x x x C x C y ln 3
21++=；
B ．23
12ln y
C x C x x x x =+++；
C ．x x x C x C y ln 3
221++=；
D ．x x C x C y
ln 21+=。
解 选（B ），此为欧拉方程，作变换t
e
x
=或x t ln =，原方程
可化为2
32
322t t d y dy y e e dt dt
-+=-+，所以 232
3
1212ln t
t
t
t
y C e C e te e C x C x x x x
=+++=+++。
4．方程0cos 2
2
=+t x dt
x d 满足条件0,
10
====t t dt
dx
x 的解
是（）。
A ． -+
-+-=8
642!855!69!42!211t t t t x ； B ． -+
-+-=4
32!855!69!42!211t t t t x ； C ． ++
+++=8
642!855!69!42!211t t t t x ； D ． -+
-+-=7
53!
855!69!42!211t t t t x 。
解 选（A ），由条件0,100====t t dt
dx
x ，可令
2
3
230
1n
n n y C t C t C t ∞
===+++
∑代入原方程后，比较t 的
同幂项的系数即可得。
5. 求方程2
2ln x
y xy y x x '''-+=的通解。
解 作变换
t
x e
=或
ln t x
=，原方程可化成
2
222t d y dy y te dt dt
-+=，特征方程是2
220
r r -+=，解得1,21r i =±。
于是对应的齐次方程的通解是
12[cos sin ].t
y e C t C t =+
令
*()t
y At B e
=+，代入原方程中，得
1,0A B ==，即
*t
y te
=。
所以原方程的通解是：
12[cos sin ]t
t
y e C t C t te =++
12[cos(ln )sin(ln )]ln x C x C x x x =++。
6．用幂级数解法解方程y x y +='。
解 令∑∞
==0
n n
n x
C y
代入原方程，可得
x C C x x C x C C 102
32132++=+++ ++2
2x C ，
解之得(),,1!
21
,0201 C C C C +==
()()01
1!
1C n C n ++=
+，所以得到 ()n n x n C x C C y ∑∞
=+++=2000!
111--=x Ce x
7．用幂级数解法解方程x
e y y =+'。
解 令∑∞
==0
n n
n x
C y
代入原方程，可得
+++++++2
2102
32132x C x C C x C x C C +++=2
!
211x x ，于是得到
() ,121,11201C C C C -=-=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+=+n n C n n C !1111即01
1C C -=，
02!21
C C =，
23!
31!31!2131C C C -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，
()()01
2!
121!121C n n C n ---=-，
()02!
2C n C n
= 故所求的解是
!
5!3!1!3!2!115
3
3
2
0x x x x x x C y +++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-= shx e C x x
+=++-07
!
7 。