2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I第4讲指数与指数函数理

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全国通用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数课件文北师大版

全国通用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.5指数与指数函数课件文北师大版
第5讲 指数与指数函数
最新考纲 1.了解指数函数模型的实际背景;2.理解有理指数幂的含 义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;3.理解指数函数的概 念及其单调性,掌握指数函数图像通过的特殊点,会画底数为 2,3,10,12,13的指数函数的图像;4.体会指数函数是一类重要的函数 模型.
1.根式
3.指数函数的图像与性质 a>1
0<a<1
图像
定义域 值域
R (0,+∞)
过定点 (0,1) ,即x=0时,y=1
性 当x>0时, y>1 ;
当x<0时, y>1 ;
质 当x<0时, 0<y<1
当x>0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是 减函数
诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
∈N+,且 n>1);正数的负分数指数幂的意义是
= 1 (a>0, n am
m,n∈N+,且 n>1);0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分数指数 幂 没有意义 .
(2)有理指数幂的运算性质:aras= ar+s ;(ar)s= ars ;
(ab)r= arbr ,其中 a>0,b>0,r,s∈Q.
解 (1)原式= (2)原式=-287 +5100 - 51-0 2+1 =-287 +500 -10( 5+2)+1 =49+10 5-10 5-20+1=-1697.
Байду номын сангаас
=ab-1.
规律方法 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为 分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:①必须同底数 幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母 又含有负指数.

2018高考数学文科一轮复习讲义 2.1 第一节 指数函数

2018高考数学文科一轮复习讲义 2.1  第一节  指数函数

第二板块必修1 第二章基本初等函数(Ⅰ)第三章函数的应用【学科点悟】传道解惑,高屋建瓴高考纵横:函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.《课程标准》要求能够运用函数概念建立模型的过程和方法,体会函数在数学和其他学科中的重要性,初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题;培养理性思维能力、辨证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流的能力.函数一章历来是高考的重点,试题大致分三类:一是考查函数基础知识和基本方法的基础,多采用选择题型;二是函数与其他数学问题(方程、不等式、数列等)的综合题,难度较大能力要求较高;三是与应用题结合考查,从近几年新课程高考试题可以看出,单纯函数方面的应用题将不再是高考命题的热点.因为新课标教材中的概率以及概率与统计的问题已取代传统高考中的函数应用题.因此在函数应用题的复习方面可不花过多时间,但要掌握函数模型建立的基本方法,尤其要掌握用均值不等式或导数解决简单的函数实际应用题.命题趋向:新课标关于基本初等函数与函数应用内容的高考命题趋势是:1.全方位. 新课标高考题中,函数的所有知识点都可考到.虽然近几年不强调知识点的覆盖率.但每一年函数知识点的覆盖率依然没有减小.2.巧综合. 为了突出函数在中学数学中的主线地位,新课标高考强化了函数对其他知识的渗透,加大了以函数为载体的多种方法、多种能力(甚至包括阅读能力、理解能力、表述能力、信息处理能力等学习能力)的综合程度.3.变角度. 新课标高考题中,出于“立意”和创设情况的需要,函数试题设置问题的角度和方式也不断创新.重视函数思想的考查,加大了函数建模题、探索题和信息题的考查力度,从而使函数考题显得新颖、生动、灵活.而这正是充分把握住了中学数学的精髓和灵魂的体现.状元心得:高中的数学可以分为几个大的“板块”:一是函数板块,二是三角板块,三是立体几何板块,四是解析几何板块,五是数列板块,六是排列组合及概率板块,七是复数与导数板块.其中函数板块尤为重要,学习函数要注意以下几点:1.学好函数首先要对自己有信心.因为它并不难.函数的学习不是死记硬背而是利用图形记忆它的性质与特点.基本知识解决之后就是要提高能力了,这一点是很难的.具体的说不清,不过可以告诉你,一定要与老师的思想同步,不要自搞一套,多做一些函数的题,作总结,不明白的问老师,不可放过一丝一毫.我相信你一定可以,我为你加油.2.揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系.函数是研究变量及相互联系的数学概念,是变量数学的基础,利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容.在利用函数和方程的思想进行思维中,动与静、变量与常量如此生动的辩证统一,函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.3.把握数形结合的特征和方法. 函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合,有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性,体现了数形结合的特征与方法,为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练地掌握函数图象的平移变换、对称变换.4.认识函数思想的实质,强化应用意识.函数思想的实质就是用联系与变化的观点提出数学对象,抽象数量特征,建立函数关系,求得问题的解决.纵观近几年高考题,考查函数思想方法尤其是应用题力度加大,因此一定要认识函数思想实质,强化应用意识.学科知识体系结构图:第一节 指数函数【考点点知】知己知彼,百战不殆指数函数是新课标中重要的基本初等函数之一,是函数概念的具体体现与综合应用.如同其他函数一样,对指数函数的定义、图象以及性质等综合应用仍是高考考查的重点和热点,且每年都能以新颖题目形式出现. 指数函数与一元二次函数、对数函数、三角函数、不等式、数列及实际生活生产应用等的综合问题,一直备受命题者的关注.考点一: 指数(1)n 次方根的定义若x n =a ,则称x 为a 的n 次方根,“n”是方根的记号.在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0的奇次方根是0;正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数,0的偶次方根是0,负数没有偶次方根.(2)方根的性质①当n 为奇数时,n n a =a .②当n 为偶数时,n n a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a(3)分数指数幂的意义①a nm =n m a (a >0,m 、n 都是正整数,n >1). ②anm -=nm a1=nma1(a >0,m 、n 都是正整数,n >1).考点二: 指数函数的图象与性质 (1)指数函数的定义一般地,函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象a > )1(0底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.例1.(基础·2007海淀区期中)已知函数||)(x a x f -=(a >0,1≠a ),且8)3(=f ,则( )A. )2(f >)2(-fB.)3(-f >)2(-fC.)1(f >)2(fD. )1(-f >)2(-f 思路透析:解决本题的关键在于通过已知条件先推理得参数a 的值,然后通过函数的奇偶性与单调性的角度去分析与比较大小.由3(3)8f a-==得12a =, ∴||||1()()22x x f x -==, 当0x ≥时,函数()f x 单调递增; 当0x ≤时, 函数()f x 单调递减. ∴(3)(2)f f ->-, 故应选B.点评:本题将指数函数复合,通过比较两个数的大小,考查复合函数的单调性,是高考中常见的命题方式之一.另外,该函数也具有典型的图象特征,借助于数形结合(偶函数)也可以顺利求解,体现了一题多解的命题模式.若作出该偶函数的图象的草图,从图形上去快速寻求答案也是一种速解选择题的较佳手段.例2.(基础·2007江苏卷,6)设函数()f x 定义在实数集上,它的图像关于直线1x =对称,且当1x ≥时,()31xf x =-,则有( )A .132()()()323f f f <<B .231()()()323f f f <<C .213()()()332f f f <<D .321()()()233f f f <<思路透析:∵函数()f x 的图象关于直线1x =对称, ∴()(2)f x f x =-,∴115()(2)()333f f f =-=, 224()(2)()333f f f =-=,又∵1x ≥时, ()31xf x =-为单调递增函数, 且435323<<,∴435()()()323f f f <<,即231()()()323f f f <<, 故应选B.点评:本题通过给出一个函数对称区间一侧的解析式,比较一组数的大小关系,是指指数函数命题中的常见热点题型.上述解法中将三个自变量的值通过区间对称转化到直线1x =的一侧,再通过该侧函数的单调性比较大小.也可以将通过表达式()(2)f x f x =-将1x <一侧的解析式也求解出,将三个自变量的函数值一一求出后,再比较大小,但此方法较上述解法略繁.例3.(综合·2007山东卷文科11)设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像的交点为00()x y ,,则0x 所在的区间是( )A .(01),B .(12),C .(23),D .(34),思路透析:设321()()2x f x x -=-, 由(0)4,(1)1,(2)7,f f f =-=-=∴方程()0f x =在区间(1,2)内必存在一个实根0x ,即函数3y x =与21()2x y -=的交点的横坐标0x 所在的区间为(1,2), 故应选B.点评:考本题通过两个函数的交点横坐标所在区间的判断,考查了函数建模选择及函数零点所在区间的选择策略.高考考纲对此部分的要求仅限于判断根的存在性或判根所在的大致的区间,对区间的精确程度的要求也不高,通常利用数形结合法或构建函数,通过代数式值的符号的判断法去进行求解.生多用数形结合法通过作两个函数的图像找出其交点的横坐标,确定其范围,但多因为函数212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭图像的变换作图出现一定的错误,无功而返.联系函数零点知识的概念及二分法的数学思想,可以将已知两函数作差建立新的函数模型,通过列举各区间端点的函数值来判断函数符号的变号过程,从而确定其零点所在的区间.例 4.(综合·2006天津文)如果函数2()(31)(0xxf x a a a a =-->且1)a ≠在区间[0,)+∞上是增函数,那么实数a 的取值范围是A.2(0,]3B.C.D.3[,)2+∞思路透析:解法一 设xt a =,2222223131()()(31)[]()22x xxa a f x a a a a ++=-+=-- 即22223131[]()22a a y t ++=--,根据复合函数单调性判别法则, 当(0,1)a ∈时,xt a =在[0,)+∞上单调递减,且(0,1]t ∈,所以有22223131[]()22a a y t ++=--在(0,1]区间上递减,即23112a t +=≥,解得13a ≤<, 当(1,)a ∈+∞时,同理可得a ∈∅. 综上,故应选B.解法二 由题可知2'()[2(31)]ln 0x x f x a a a a =-+⋅⋅≥在[0,)+∞上恒成立,解得13a ≤<. 点评:本题考查了复合函数的单调性及字母参数的取值范围的求解问题.与指数函数复合而得的二次型函数问题是函数单调性判断中的常见题型, 求解时要注意两个方面的问题,一是注意所换元的“整体式”的限制条件,即新引入元的定义域, 二是要注意将问题还原, 使结论出现原来问题情境.另外问题求解中还可考虑用导数法分析,此方法较通来简单得多.例5.(创新探究·2006上海文)若曲线21xy =+与直线y b =没有公共点,则b 的取值范围是_________.思路透析:分别作出两个曲线的图像,通过曲线的交 点个数来判断参数的取值范围.曲线| y |=2x +1图像如右图所示,由图像可得| y |=2x +1与直线y =b 没有公共点,则b 应满足的条件是[1,1]b ∈-.点评:本例题中涉及了曲线21xy =+,该曲线是指数函数图像的一个变换,其以指数函数图像为依托,通过变换得出一对称曲线.此曲线与圆锥曲线的轨迹属同一范畴,通过运动直线的方法在运动变化中求解直线与该曲线的交点问题. 体现了数形结合法解题的数学思想.例6.(创新探究·2008绵阳市一诊)已知函数4()12xf x a a=-+ (01)a a >≠且是定义在(,)-∞+∞上的奇函数.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的值域;(Ⅲ)当(0,1]x ∈时,()22x tf x ≥-恒成立,求实数t 的取值范围.思路透析: 解法一:(Ⅰ)∵f (x )是定义在(−∞, +∞)上的奇函数,即f (−x )=−f (x ). 令x =0得04(0)102f a a=-=⨯+,解得a =2.(Ⅱ)记y =f (x ),即2121x x y -=+, ∴121x y y+=-,由20x >知101y y+>-,∴−1<y <1即f (x )的值域为(−1, 1). (Ⅲ)原不等式tf (x )≥2x −2即为22221x x x t t⋅-≥-+. 即:(2x )2−(t +1)·2x +t −2≤0. 设2x =u ,∵x ∈(0, 1],∴u ∈(1, 2].∴x ∈(0, 1]时tf (x )≥2x −2恒成立,即为u ∈(1, 2]时u 2−(t +1)·u +t −2≤0恒成立.∴221(1)120,2(1)220,t t t t ⎧-+⨯+-≤⎪⎨-+⨯+-≤⎪⎩ 解得t ≥0.解法二:(Ⅰ) 同解法一. (Ⅱ)∵212122()1212121x x x xx f x -+-===-+++, 而2x >0,∴2x +1>1,∴20221x<<+,∴211121x-<-<+,即−1<f (x )<1. ∴f (x )的值域为(−1, 1).(Ⅲ)∵x ∈{0, 1],∴2x −1>0,∴原式变为21(22)21x x x t +≥⋅--22(2)22(21)(21)22(21)1212121x x x x x x xx ---+--===--+---. 令μ=2x −1,则μ∈(0, 1],原式变为21t μμ≥-+.而2()11g μμμ=-++在μ∈(0, 1]时是增函数, ∴当μ=1时,g (μ)max =0.∴t ≥0.点评:本题是一道策略开放型开放题,在对问题的探究过程中,可体验出指数函数的永恒魅力,如在解法二的(Ⅱ)问中, 体现了函数值域求解的对应法则式的思维模式,而(Ⅲ)问中, 则体现了分离变量的思想方法解不不等式恒成立问题中的妙用.【画龙点睛】探索规律,豁然开朗 1.规律总结:(1)本节的重点是指数函数的图象和性质的应用.对于含有字母参数的两个函数式比较大小或两个函数式由于自变量的不同取值而有不同大小关系时,必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论.用好用活指数函数单调性,是解决这一类问题的关键.(2)对于根式记号n a ,要深刻理解以下几点: ①n ∈N ,且n >1.②当n 为大于1的奇数时,n a 对任意a ∈R 都有意义,它表示a 在实数范围内惟一的一个n 次方根,(n a )n =a .③若一个数x 的n 次方等于a ,那么x 怎么用a 来表示呢?仅x =n a 这个回答是不完整的.应该是这样的:x=,,(,0,(0)n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数)为偶数为正数)不存在为偶数为负数)(3)指数函数的定义是一个形式定义, 如y= 2 a x 就不是指数函数.注意指数函数的底数不能是负数、零和1.对底数a >0且a ≠1的规定是为了使函数的定义域为实数集且具有单调性.运用指数函数性质解题时要注意对底数a 的分类讨论.注意函数有界性的运用.(4)对可化为a 2x +b ·a x +c =0或a 2x +b ·a x +c ≥0(≤0)的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.(5)根据指数函数的图像,能画出与之相关的复合函数图像,并解决相关的问题,考察“看图”、“识图”、“用图”的能力.(6)要学会正确处理由指数函数与其它函数构成的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等问题,注意分类讨论、换元法、数形结合等数学思想方法的运用.2.学以致用:(1)若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图象经过二、三、四象限,则一定有 A.0<a <1且b >0 B.a >1且b >0 C.0<a <1且b <0 D.a >1且b <0(2)(2007上海卷,4)方程 96370x x -∙-=的解是 . (3) (2006杭州一模)函数y =862)2.0(+-x x 的单调递增区间是 .(4)已知9x -10·3x +9≤0, 求函数y =(41)x -1-4(21)x +2的最大值和最小值.答案:(1)C (2)7log 3解析:由已知条件可得2(3)6370x x -⋅-=, 解之得37x =或31x =-(舍去).∴x =7log 3. (3)(]3,∞-解析:设268u x x =-+2(3)1x =--,∴当(]3,∞-∈x 上时, 862+-=x x u 为单调递减,又u y )2,0(=在R 上为减函数.∴由复合函数的单调性知862)2.0(+-=x xy 的单调递增区间是(]3,∞-.(4)解析:由9x -10·3x +9≤0得(3x -1)(3x -9)≤0,解得1≤3x ≤9. ∴0≤x ≤2.令(21)x =t ,则41≤t ≤1,y =4t 2-4t +2=4(t -21)2+1. 当t =21即x =1时,y min =1;当t =1即x =0时,y max =2. 3.易错分析:(1)利用分数指数幂的意义可以把根式的运算转化为幂的运算,从而简化计算过程,计算过程中一定要注意幂指数的正确运算.(2)指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象和性质受a 的影响,分类讨论时一定要注意分a >1与0<a <1来研究.(3)指数函数的定义重在“形式”,像y =2·3x,y =2x1,y =32+x ,y =3x +1等函数都不符合形式y =a x (a >0,a ≠1),因此,它们都不是指数函数,切记!【能力训练】学练结合,融会贯通一、选择题:1.3a ·6a -等于( )A.-a -B.-aC.a -D. a2.函数y =-e x 的图象A.与y =e x 的图象关于y 轴对称B.与y =e x 的图象关于坐标原点对称C.与y =e -x 的图象关于y 轴对称D.与y =e -x 的图象关于坐标原点对称3.函数y =23x 的图象与直线y =x 的位置关系是()4.下图是指数函数(1)y =a x ,(2)y =b x ,(3)y =c x , (4)y =d x 的图象,则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c 5.下列函数中值域为正实数的是A.y =-5xB.y =(31)1-xC.y =1)21(-xD.y =x 21-6.(2006天津文)如果函数2()(31)(0xxf x a a a a =-->且1)a ≠在区间[0,)+∞上是增函数,那么实数a 的取值范围是A .2(0,]3 B. C. D .3[,)2+∞二、填空题: 7.化简3421413223)(ab b a ab b a ⋅(a >0,b >0)的结果是___________________.8.函数y =(21)222+-x x 的递增区间是___________. 9.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围是___________________.10.满足条件22()m m m m >的正数m 的取值范围是___________________. 三、解答题:11.解方程4x +|1-2x |=11.12.已知2xx+2≤(41)x -2,求函数y =2x -2-x 的值域.13.要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈(-∞,1]上y >0恒成立,求a 的取值范围.14.设a >0,f (x )=x x eaa e +是R 上的偶函数.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)证明f (x )在(0,+∞)上是增函数.【能力训练】参考答案一、选择题:1. A2. D3. C4. B5. B6. B二、填空题:7. ba 8. (-∞,1] 9. 0<a <21 10. m >2或0<m <1 三、解答题:11. 解析:当x ≤0时,1-2x ≥0.原方程⇔4x -2x -10=0⇔2x =21±241 ⇔2x =21-241<0(无解)或2x =21+241>1知x >0(无解). 当x >0时,1-2x <0.原方程⇔4x +2x -12=0⇔2x =-21±27⇔2x =-4(无解)或2x =3⇔x =log 23(为原方程的解). 12.解析:∵2x x +2≤2-2(x -2),∴x 2+x ≤4-2x ,即x 2+3x -4≤0,得-4≤x ≤1.又∵y =2x -2-x 是[-4,1]上的增函数,∴2-4-24≤y ≤2-2-1.故所求函数y 的值域是[-16255,23]. 13.解析:由题意,得1+2x +4x a >0在x ∈(-∞,1]上恒成立, 即a >-xx421+在x ∈(-∞,1]上恒成立. 又∵-x x 421+=-(21)2x -(21)x =-[(21)x +21]2+41, 当x ∈(-∞,1]时值域为(-∞,-43],∴a >-43. 14.解析:(Ⅰ)∵f (x )=x x ea a e +是R 上的偶函数,∴f (x )-f (-x )=0. ∴0x x x x e a e a a e a e--+--=,∴11()()x x a e a e a a --+-0=, ∴1()()0x x a e e a ---= ∵e x -e -x 不可能恒为“0”,∴当a1-a =0时等式恒成立,∴a =1. (Ⅱ)在(0,+∞)上任取x 1<x 2,f (x 1)-f (x 2)=121211x x x x e e a e e+--12121()()x x x x e e e e =-+- 1221121()()x x x x x x e e e e e e =-+-⨯12121()(1)x x x x e e e e=-- ∵e >1,∴0<2121,x x x x e e e e ><>1,∴21x x e e >1212121)1)((x x x x x x e e e e e e --<0, ∴ f (x 1)-f (x 2)<0,∴f (x )是在[0,+∞)上的增函数.。

高考数学一轮复习课件:第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数

高考数学一轮复习课件:第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数
当 $a > 1$ 时,随着 $x$ 的增大,$y$ 的值无限增大;当 $0 < a < 1$ 时,随着 $x$ 的增大,$y$ 的值趋近于零。
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图象
指数函数的图象是经过原点的 一条单调曲线,其形状由底数 $a$ 的值决定。
当 $a > 1$ 时,图象位于第一 象限和第四象限;当 $0 < a < 1$ 时,图象位于第一象限和第 二象限。
指数函数在数学建模中的应用
生态种群模型
在生态学中,指数函数常 用于描述种群数量的增长 或减少。
经济模型
在经济学中,指数函数常 用于描述经济增长、消费 、投资等经济活动。
传染病模型
在流行病学中,指数函数 用于描述疾病的传播过程 。
指数函数与其他数学知识的综合应用
与导数结合
指数函数与导数结合,可以研究 函数的单调性、极值等问题。
基础习题2
已知$2^{x} = 4$,求$x$的值。
基础习题3
已知$x^{2} = 4$,求$x$的值。
提高习题
提高习题1
已知$a^{m} = 2$,$a^{n} = 8$ ,求$frac{a^{m + n}}{a^{m}}$ 的值。
提高习题2
已知$2^{x} = 4$,求$log_{2}4$ 的值。
已知$2^{x} = 4$,$log_{2}4 = y$, 求$x$和$y$的值。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
06
总结与回顾
本讲重点回顾
指数函数的定义与性质
指数函数是形如$y=a^x$ (其中 $a>0$且$aneq1$)的函数,具有增 长或减少的特性。

高考数学(理)一轮复习课件:第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数)共40页文档

高考数学(理)一轮复习课件:第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第4讲指数与指数函数)共40页文档

a a≥0, -a a<0.
⑤负数没有偶次方根.
2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正整数指数幂:an=
(n∈N*).
②零指数幂:a0=1(a≠0).
③负整数指数幂:a-p=
1 ap
(a≠0,p∈N*).
④正分数指数幂:amn =n am(a>0,m、n∈ N*,且n>1).
⑤负分数指数幂:a-mn =
又∵y=5x是增函数,∴a>c>b.
答案 C
5.(2012·天津一中月考)已知a
1 2
+a-
1 2
=3,则a+a-1=
______;a2+a-2=________.
解析 由已知条件(a12+a-12)2=9.整理得:a+a-1=7
又(a+a-1)2=49,因此a2+a-2=47.
答案 7 47
考向一 指数幂的化简与求值 【例1】►化简下列各式(其中各字母均为正数).
1 m

an
1 n am
(a>0,m、n∈N*,且n
>1).
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的性质
①aras= ar+s (a>0,r、s∈Q).
②(ar)s= ars
(a>0,r、s∈Q).
③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
3.指数函数的图2·郴州五校联考)函数f(x)=2|x-1|的图象是( ).
解析
2x-1,x≥1, f(x)=12x-1,x<1,
故选B.
答案 B
3.若函数f(x)=2x+1 1,则该函数在(-∞,+∞)上是(
).
A.单调递减无最小值
B.单调递减有最小值

高考数学微一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4节 指数与指数函数课件 理

高考数学微一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第4节 指数与指数函数课件 理

1.化简4 16x8y4(x<0,y<0)得( )
A.2x2y
B.2xy
C.4x2y
D.-2x2y
解析:4 16x8y4=4 24x24y4=2x2|y|=-2x2y. 答案:D
2.(2018·沈阳模拟)函数 y=ax-1+2(a>0,且 a≠1)的图象恒过点的坐标为( )
A.(2,2)
B.(2,4)
【即时训练】 化简下列各式: (1)0.027-13-17-2+27912-( 2-1)0; (2)56a13b-2(-3a-12b-1)÷(4a23b-3)12· ab.
解:(1)原式=(0.33)-13-72+29512-1 =130-49+53-1=-45. (2)原式=-52a-16b-3÷2a13b-32·a12b12 =-54a-12b-32·a12b12 =-45b.
考点二 指数函数的图象及应用 【典例 2】 (1)函数 f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
(2)(2018·深圳一模)若函数 y=ax+b 的部分图象如图所示,则( )
A.0<a<1,-1<b<0
B.0<a<1,0<b<1
C.a>1,0<b<1
D.a>1,-1<b<0
1 n am
(a>0,m,n∈N*,且 n >1)
0 的正分数指数幂等于 0;0 的负分数指数幂没有意义
ar·as=ar+s 运算
(ar)=ars 性质
(ab)r=arbr
a>0,b>0,r,s∈Q
3.无理数指数幂 无理数指数幂 aα(a>0,α 是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性 质同样适用于无理数指数幂.
C.(1,2)
D.(1,3)
解析:因为 a0=1,
所以令 x-1=0,

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4指数函数课件理

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.4指数函数课件理

【变式训练】1.若函数y=ax+b的图象如图所示,则函数
y= 1 +b+1的图象为 ( ) xa
【解析】选C.由图可知0<a<1,-2<b<-1. 又函数y= 1 +b+1的图象是由y= 1 向左平移a个单位, 向下平移|x b+a1|个单位而得到的.结x 合四个选项可知C正 确.
2.方程2x=2-x解的个数是________个. 【解析】方程的解可看作函数y=2x和 y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出 这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1
【加固训练】 1.函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结 论正确的是 ( ) A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0
【解析】选D.由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数 f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<a<1.函数 f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的, 所以b<0.
2.已知实数a,b满足等式2014a=2015b,下列五个关系式:
①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b.其中不可
能成立的关系式有 ( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选B.设2014a=2015b=t,如图所示, 由函数图象,可得(1)若t>1,则有a>b>0. (2)若t=1,则有a=b=0. (3)若0<t<1,则有a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.

2018版高考数学一轮温习 第二章节 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.5 指数与指数函数讲义 理 新人教A版

2018版高考数学一轮温习 第二章节 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.5 指数与指数函数讲义 理 新人教A版

1
1
a 3 -2b 3
÷
a
21
×
a×a 3 2
1
11
a 2 ×a 3 5
1
=a 3
5
1
1
(a 3 -2b 3 )×
1
a
1
×a
6 1
=a
1 3
×a×a
2 3

a 3 -2b 3 a 6
a2.
[点石成金] 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一 为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数 幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序.
当k<0时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象无交点,即方程 无解;
当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一 的交点,所以方程有一解;
当0<k<1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有两个不同 的交点,所以方程有两解.
考点3 指数函数的性质及应用
(1)[教材习题改编]函数f(x)=a- 1
1 2x+1
为奇函数,则a的值为
____2____.
(2)[教材习题改编]若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减 函数,则实数a的取值范围是__(_-___2_,__-__1_)_∪__(1_, ___2_)___.
[考情聚焦] 高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数 的性质及应用,难度偏小,属中低档题.
[题点发散2] 若将本例(3)改为:函数y=|2x-1|在(-∞,k] 上单调递减,求k的取值范围.
解:因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以 k≤0,即k的取值范围为(-∞,0].
[点石成金] 指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键 点:(1,a),(0,1),-1,1a. (2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往 往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其 图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指 数型函数图象数形结合求解.

【中小学资料】2018版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 第4讲 指数与指数函数 理

【中小学资料】2018版高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数I 第4讲 指数与指数函数 理

第4讲 指数与指数函数一、选择题1.函数y =a |x |(a >1)的图像是( )解析 y =a|x |=⎩⎪⎨⎪⎧a xx ,a -xx <当x ≥0时,与指数函数y =a x(a >1)的图像相同;当x <0时,y =a -x与y =a x的图像关于y 轴对称,由此判断B 正确. 答案 B2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x 2xx ,则f (9)+f (0)=( )A .0B .1C .2D .3 解析 f (9)=log 39=2,f (0)=20=1, ∴f (9)+f (0)=3. 答案 D3.不论a 为何值时,函数y =(a -1)2x-a2恒过定点,则这个定点的坐标是( ).A.⎝⎛⎭⎪⎫1,-12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12C.⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12D.⎝⎛⎭⎪⎫-1,12 解析 y =(a -1)2x -a 2=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -12-2x ,令2x -12=0,得x =-1,则函数y =(a -1)2x-a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12.答案 C4.定义运算:a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b ,如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x的值域为 ( ).A .RB .(0,+∞)C .(0,1]D .[1,+∞)解析 f (x )=2x*2-x=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≤0,2-x,x >0,∴f (x )在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴0<f (x )≤1. 答案 C5.若a >1,b >0,且a b+a -b=22,则a b -a -b的值为( )A. 6 B .2或-2C .-2D .2解析 (a b+a -b )2=8⇒a 2b+a -2b=6,∴(a b -a -b )2=a 2b +a-2b-2=4.又a b>a -b(a >1,b >0),∴a b-a -b=2. 答案 D6.若函数f (x )=(k -1)a x-a -x(a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数,又是减函数,则g (x )=log a (x +k )的图象是下图中的( ).解析 函数f (x )=(k -1)a x -a -x 为奇函数,则f (0)=0,即(k -1)a 0-a 0=0,解得k =2,所以f (x )=a x-a -x,又f (x )=a x -a -x为减函数,故0<a <1,所以g (x )=log a (x +2)为减函数且过点(-1,0). 答案 A 二、填空题7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x <0,a -x +4a ,x ≥0,满足对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是________.解析 对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,说明函数y =f (x )在R 上是减函数,则0<a <1,且(a -3)×0+4a ≤a 0,解得0<a ≤14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0,148.若函数y =2-x +1+m 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围是________.解析 函数y =2-x +1+m =(12)x -1+m ,∵函数的图象不经过第一象限, ∴(12)0-1+m ≤0,即m ≤-2. 答案 (-∞,-2]9.若函数f (x )=a x-x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________.解析 令a x-x -a =0即a x=x +a ,若0<a <1,显然y =a x与y =x +a 的图象只有一个公共点; 若a >1,y =a x与y =x +a 的图象如图所示.答案 (1,+∞)10.已知f (x )=x 2,g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -m ,若对∀x 1∈[-1,3],∃x 2∈[0,2],f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是________.解析 x 1∈[-1,3]时,f (x 1)∈[0,9],x 2∈[0,2]时,g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122-m ,⎝ ⎛⎭⎪⎫120-m ,即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14-m ,1-m ,要使∀x 1∈[-1,3],∃x 2∈[0,2],f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )min ≥g (x )min ,即0≥14-m ,故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞ 三、解答题11.已知函数f (x )=2x-12x +1.(1)判断函数f (x )的奇偶性; (2)求证f (x )在R 上为增函数.(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ,且f (x )=2x-12x +1=1-22x +1,所以f (-x )+f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22-x +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22x +1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫22x +1+22-x +1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫22x +1+2·2x2x +1=2-x+2x+1=2-2=0,即f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(2)证明 设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,有f (x 1)-f (x 2)=2x 1-12x 1+1-2x 2-12x 2+1=x 1-2x 22x 1+x 2+,∵x 1<x 2,2x 1-2x 2<0,2x 1+1>0,2x 2+1>0, ∴f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )在R 上是增函数.12.已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1)求f (x );(2)若不等式(1a )x +(1b)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.解析 (1)把A (1,6),B (3,24)代入f (x )=b ·a x,得⎩⎪⎨⎪⎧6=ab ,24=b ·a 3.结合a >0且a ≠1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =3.∴f (x )=3·2x.(2)要使(12)x +(13)x≥m 在(-∞,1]上恒成立,只需保证函数y =(12)x +(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.∵函数y =(12)x +(13)x在(-∞,1]上为减函数,∴当x =1时,y =(12)x +(13)x 有最小值56.∴只需m ≤56即可.∴m 的取值范围(-∞,56]13.已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2-4x +3.(1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值.解析 (1)当a =-1时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-x 2-4x +3,令t =-x 2-4x +3,由于t (x )在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数f (x )的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).(2)令h (x )=ax 2-4x +3,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x ),由于f (x )有最大值3, 所以h (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,12a -164a=-1,解得a =1.即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1.14.已知定义在R 上的函数f (x )=2x-12|x |.(1)若f (x )=32,求x 的值;(2)若2tf (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时, f (x )=0,无解; 当x ≥0时,f (x )=2x-12x ,由2x -12x =32,得2·22x -3·2x-2=0,看成关于2x 的一元二次方程,解得2x=2或-12,∵2x>0,∴x =1.(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t-122t +m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t -12t ≥0,即m (22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m ≥-(22t+1),∵t ∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故m 的取值范围是[-5,+∞).。

2018版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件 第二章 函数概念与基本初等函数I 第4讲

2018版高考数学人教A版(全国)一轮复习课件 第二章 函数概念与基本初等函数I 第4讲
4a ห้องสมุดไป่ตู้( )
基础诊断
考点突第破七页,编辑于星期六课:二堂十总二点结三十分。
1
解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)=xα,故 y=2x3不是幂函
数,(1)错. (3)由于当 b=0 时,y=ax2+bx+c=ax2+c 为偶函数,故(3)错. (4)对称轴 x=-2ba,当-2ba小于 a 或大于 b 时,最值不是4ac4-a b2, 故(4)错. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
y=x
性质
y=x2
y=x3
1 y x2
y=x-1
定义域 值域
R
R
R _[0_,__+__∞__)_ {x|x∈R, 且x≠0}
_{_y_|y_∈__R_,__ R [0,+∞) R [0,+ ∞) _且__y_≠__0_}__
奇偶性


奇 非奇非偶

基础诊断
考点突第破四页,编辑于星期六课:二堂十总二点结三十分。
基础诊断
考点突第破二十二页,编辑于星课期六堂:总二十结二点 三十分。
【训练2】 (1)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是(
)
(2)(2017·武汉模拟)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶 函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= ________.
单调性
在 -∞,-2ba 上单调 递减;
在___-__∞__,__-__2_ba___上单调 递增;
在__-__2_ba_,__+__∞___上单调 递增
在 -2ba,+∞ 上单调 递减
对称性
函数的图象关于 x=-2ba对称

最新-2018届高考数学一轮复习 函数与基本初等函数 指数与指数函数调研课件 文 新人教A版 精品

最新-2018届高考数学一轮复习 函数与基本初等函数 指数与指数函数调研课件 文 新人教A版 精品
答案 (1,+∞),(0,+∞)
4. 函数 y= ax在 [0,1]上 的最大值 与最小 值的 和
为3,则a=(
)
1 A.2 C.4
B.2 1
D.4
答案 B
解析 ∵y=ax在 [0,1]上为单调函数 ∴a0+ a1=3, ∴a=2
5. 在 如 图 中 曲 线 是 指 数 函 数 y= ax, 已 知 a的 取
• 探究2 ①研究函数的值域、单调区间应先求定义域. • ②求复合函数y=f[g(x)]的值域应先求内层u=g(x)的取值范围,再根据
u的取值范围去求y=f(u)的取值范围,即为所求.第①题求值域时应注 意y>0. • ③求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复 合而得.
思考题3 (1)求下列函数的定义域与值域.
5-1
(2)(09· 江苏 )已 知 a=
2
,函 数 f(Байду номын сангаас)= ax, 若实
数m, n满足f(m)> f(n),则m, n的大小关系为
________.
5-1
【解析】 ∵0<
2
< 1,∴ 指数函 数 f(x)= ax在
定 义域内为 减函数, 又由 f(m)> f(n), ∴结 合图象

m< n.
课时作业(7)
• (1)化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时 要注意运算顺序问题.
• (2)计算结果的形式:如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表 示;如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式给出.
• (3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. • (4)在条件求值问题中,一般先化简变形,创造条件简化运算而后再代入

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.4指数与指数函数课件理

2018版高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数I2.4指数与指数函数课件理

的取值范围是
答案
解析
A.[-3,0) B.(-∞,-3]
几何画板展示
C.[-2,0] D.[-3,0]
当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足条件.

a≠0
时,f(x)的对称轴为
3-a x= 2a ,
a<0,
由 f(x)在[-1,+∞)上递减知3-a

2a
≤-1,
解得-3≤a<0.综上,a的取值范围为[-3,0].
题型一 求二次函数的解析式 例1 (1)(2016·太原模拟)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0) 和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=__x_2+__2_x__. 答案 解析
设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),所以f(x)=ax2+2ax, 4a×0-4a2
由 4a =-1,得 a=1, 所以f(x)=x2+2x.
(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)
图象
定义域 值域
(-∞,+∞) __4_a_c4_-a__b_2,__+__∞___
f(x)=ax2+bx+c(a<0)
(-∞,+∞)

4ac-b2
__-__∞__,____4_a____
在x∈-∞,-2ba上单调递减;在x∈-∞,-2ba上单调递增; 单调性 在x∈ -2ba,+∞ 上单调递增 在x∈ -2ba,+∞上单调递减
且在区间(0,+∞)上是减函数, 所以(a-5)2-2<0,从而a=4,5,6, 又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C.
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m 的取值范围为__[_1_,2__] __. 答案 解析 几何画板展示
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第4讲 指数与指数函数一、选择题1.函数y =a |x |(a >1)的图像是( )解析 y =a|x |=⎩⎪⎨⎪⎧a xx ,a -xx <当x ≥0时,与指数函数y =a x(a >1)的图像相同;当x <0时,y =a -x与y =a x的图像关于y 轴对称,由此判断B 正确. 答案 B2.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ,x 2xx ,则f (9)+f (0)=( )A .0B .1C .2D .3 解析 f (9)=log 39=2,f (0)=20=1, ∴f (9)+f (0)=3. 答案 D3.不论a 为何值时,函数y =(a -1)2x-a2恒过定点,则这个定点的坐标是( ).A.⎝⎛⎭⎪⎫1,-12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12C.⎝⎛⎭⎪⎫-1,-12D.⎝⎛⎭⎪⎫-1,12 解析 y =(a -1)2x -a 2=a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -12-2x ,令2x -12=0,得x =-1,则函数y =(a -1)2x-a 2恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12.答案 C4.定义运算:a *b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b ,如1*2=1,则函数f (x )=2x *2-x的值域为 ( ).A .RB .(0,+∞)C .(0,1]D .[1,+∞)解析 f (x )=2x*2-x=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≤0,2-x,x >0,∴f (x )在(-∞,0]上是增函数,在(0,+∞)上是减函数,∴0<f (x )≤1. 答案 C5.若a >1,b >0,且a b+a -b=22,则a b -a -b的值为( )A. 6 B .2或-2C .-2D .2解析 (a b+a -b )2=8⇒a 2b+a -2b=6,∴(a b -a -b )2=a 2b +a-2b-2=4.又a b>a -b(a >1,b >0),∴a b-a -b=2. 答案 D6.若函数f (x )=(k -1)a x-a -x(a >0且a ≠1)在R 上既是奇函数,又是减函数,则g (x )=log a (x +k )的图象是下图中的( ).解析 函数f (x )=(k -1)a x -a -x 为奇函数,则f (0)=0,即(k -1)a 0-a 0=0,解得k =2,所以f (x )=a x-a -x,又f (x )=a x -a -x为减函数,故0<a <1,所以g (x )=log a (x +2)为减函数且过点(-1,0). 答案 A 二、填空题7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x,x <0,a -x +4a ,x ≥0,满足对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是________.解析 对任意x 1≠x 2,都有f x 1-f x 2x 1-x 2<0成立,说明函数y =f (x )在R 上是减函数,则0<a <1,且(a -3)×0+4a ≤a 0,解得0<a ≤14.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0,148.若函数y =2-x +1+m 的图象不经过第一象限,则m 的取值范围是________.解析 函数y =2-x +1+m =(12)x -1+m ,∵函数的图象不经过第一象限, ∴(12)0-1+m ≤0,即m ≤-2. 答案 (-∞,-2]9.若函数f (x )=a x-x -a (a >0,且a ≠1)有两个零点,则实数a 的取值范围是________.解析 令a x-x -a =0即a x=x +a ,若0<a <1,显然y =a x与y =x +a 的图象只有一个公共点; 若a >1,y =a x与y =x +a 的图象如图所示.答案 (1,+∞)10.已知f (x )=x 2,g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -m ,若对∀x 1∈[-1,3],∃x 2∈[0,2],f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是________.解析 x 1∈[-1,3]时,f (x 1)∈[0,9],x 2∈[0,2]时,g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122-m ,⎝ ⎛⎭⎪⎫120-m ,即g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14-m ,1-m ,要使∀x 1∈[-1,3],∃x 2∈[0,2],f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )min ≥g (x )min ,即0≥14-m ,故m ≥14.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞ 三、解答题11.已知函数f (x )=2x-12x +1.(1)判断函数f (x )的奇偶性; (2)求证f (x )在R 上为增函数.(1)解 因为函数f (x )的定义域为R ,且f (x )=2x-12x +1=1-22x +1,所以f (-x )+f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22-x +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1-22x +1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫22x +1+22-x +1=2-⎝ ⎛⎭⎪⎫22x +1+2·2x2x +1=2-x+2x+1=2-2=0,即f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数.(2)证明 设x 1,x 2∈R ,且x 1<x 2,有f (x 1)-f (x 2)=2x 1-12x 1+1-2x 2-12x 2+1=x 1-2x 2x 1+x 2+,∵x 1<x 2,2x 1-2x 2<0,2x 1+1>0,2x 2+1>0, ∴f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )在R 上是增函数.12.已知函数f (x )=b ·a x(其中a ,b 为常量,且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).(1)求f (x );(2)若不等式(1a )x +(1b)x-m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.解析 (1)把A (1,6),B (3,24)代入f (x )=b ·a x,得⎩⎪⎨⎪⎧6=ab ,24=b ·a 3.结合a >0且a ≠1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =3.∴f (x )=3·2x.(2)要使(12)x +(13)x≥m 在(-∞,1]上恒成立,只需保证函数y =(12)x +(13)x在(-∞,1]上的最小值不小于m 即可.∵函数y =(12)x +(13)x在(-∞,1]上为减函数,∴当x =1时,y =(12)x +(13)x 有最小值56.∴只需m ≤56即可.∴m 的取值范围(-∞,56]13.已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2-4x +3.(1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值.解析 (1)当a =-1时,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13-x 2-4x +3,令t =-x 2-4x +3,由于t (x )在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数f (x )的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2).(2)令h (x )=ax 2-4x +3,f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x ),由于f (x )有最大值3, 所以h (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,12a -164a=-1,解得a =1.即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1.14.已知定义在R 上的函数f (x )=2x-12.(1)若f (x )=32,求x 的值;(2)若2tf (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围. 解 (1)当x <0时, f (x )=0,无解; 当x ≥0时,f (x )=2x-12x ,由2x -12x =32,得2·22x -3·2x-2=0,看成关于2x 的一元二次方程,解得2x=2或-12,∵2x>0,∴x =1.(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t-122t +m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t -12t ≥0,即m (22t-1)≥-(24t-1), ∵22t-1>0,∴m ≥-(22t+1),∵t ∈[1,2],∴-(22t+1)∈[-17,-5], 故m 的取值范围是[-5,+∞).。

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