2019届江西省、广东省百校联考高三12月教学质量检测考试数学(文)试题(解析版)

B＝{x|x＝2n，n∈N}，
∴A∩B＝{2，4}．
故选：B．
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．
2．已知i为虚数单位，下列运算结果为实数的是（）
A．i•（1+i）B．i2•（1+i）C．i•（1+i）2D．i2•（1+i）2
【答案】C
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
A． πB． πC． πD．12π
【答案】C
【解析】取圆锥的轴截面，得出轴截面的外接圆半径等于圆锥的外接球半径，然后利用正弦定理可计算出球的直径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
解：如下图所示，
取圆锥的轴截面，则该轴截面等边△ABC的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且△ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，
【答案】
【解析】将四边形放入坐标系，结合三角函数定义求出对应点的坐标，利用向量数量积公式转化为一元二次函数进行求求解即可．
【详解】
解：当四边形ABCD放入平面直角坐标系，
∵AB⊥BC，∠BCD＝120°，△ABD是边长为2的正三角形，
∴D（2cos30°，2sin30°），即D（ ，1），
∵∠CDB＝90°﹣60°＝30°，∠BCD＝120°
【答案】5
【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【详解】
作出x，y满足约束条件 对应的平面区域如图（阴影部分）：
由z＝y﹣2x得y＝2x+z，
平移直线y＝2x+z，
由图象可知当直线y＝2x+z经过点C时，直线y＝2x+z的截距最大，此时z最大．
由 ，解得C（﹣4，﹣3），
7．函数y 在其定义域内的大致图象为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用导数明确函数在 上的单调性．
【详解】
解：函数的定义域为{x|x≠0}，
f（﹣x） f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除C，
当 时， ，
∴ ，
即 在 上单调递减，排除B，D
【点睛】
本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查多面体表面距离最小值的求法，是中档题．
12．若函数f（x） ，的值域是[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞， ]B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）
【答案】B
【解析】这是一道分段函数的最值问题，可利用分类讨论来解答，注意分段函数的值域是每个分支函数的值域的并集．
4．已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x2，则f（﹣2）＝（）
A． B．﹣8C． D．8
【答案】B
【解析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣2）＝﹣f（2），而根据x＞0时，f（x）＝2x+x2，即可得出f（2）＝8，从而求出f（﹣2）＝﹣8．
【详解】
解：∵f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝2x+x2；
【答案】
【解析】由条件通过导数求出切线的斜率，利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α的值．
【详解】
解：y′＝ex+1，
故y′|x＝0＝2，
即tanα＝2，
则sin2α
，
故答案为： ．
【点睛】
本题主要考查函数的导数的运算，切线的斜率的求法，同角三角函数的基本关系，属于基础题．
14．已知x，y满足约束条件 ，则目标函数z＝y﹣2x的最大值为_____．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．
11．某正三棱柱的三视图如图所示，正三棱柱表面上的点M、N分别对应正视图上的点A，B，若在此正三棱柱侧面上，M经过三个侧面到达N的最短距离为6，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时，它的高为（）
A． B．2C．3 D．4
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用椭圆的性质结合勾股定理转化求解即可．
【详解】
解：A、B分别为椭圆C： 1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，
可得：a2+b2+b2+c2＝（a+c）2，即：2ac＝2b2＝2a2﹣2c2，
可得e2+e﹣1＝0，解得e ，e （舍去）．
设球的半径为R，由正弦定理得 ，
因此，这个球的表面积为 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于充分利用圆锥轴截面的几何性质来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
10．已知A、B分别为椭圆C： 1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为（）
【详解】
解：当x≥a，y＝sinx的值域为[﹣1，1]，而y＝f（x）的值域也恰好是[﹣1，1]，这说明：函数 的值域是[﹣1，1]的一个子集．
则有，a≤﹣1．
故选：B．
【点睛】
本题考查了分段函数的最值问题，利用数形结合思想能够直观，形象地解答问题．
二、填空题
13．若倾斜角为α的直线l与曲线y＝ex+x相切于点（0，1），则sin2α＝_____．
可得{an}为首项为1，公比为2的等比数列，
可得an＝2n﹣1；
（2）bn＝an•log2an+1＝n•2n﹣1，
【解析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；
（2）求得bn＝an•log2an+1＝n•2n﹣1，由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和．
【详解】
（1）Sn＝2an﹣1，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，即有a1＝1，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即为an＝2an﹣1，
由2x kπ ，得x ，k∈Z，即对称轴方程为x ，k∈Z，
当k＝0时，对称轴方程为x ，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式以及性质判断，求出θ的值，利用三角函数的对称性是解决本题的关键．
9．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周均在同一个球面上，则这个球的表面积为（）
【详解】
解：i•（1+i）＝﹣1+i，
i2•（1+i）＝﹣1﹣i，
i•（1+i）2＝i•2i＝﹣2，
i2•（1+i）2＝﹣1•2i＝﹣2i．
∴运算结果为实数的是C．
故选：C．
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．
3．已知p：﹣1＜x＜2，q：2x2﹣x﹣3＜0，则p是q的（）
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），
（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），
其中高三的3位同学至少一位同学参加县里测试的有：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣（4+4）＝﹣8．
故选：B．
【点睛】
本题考查奇函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的定义，以及已知函数求值的方法，考查转化能力．
5．中国和印度是当今世界上两个发展最快且是最大的发展中国家，为了解两国经济的发展情况，收集了2008年至2017年两国GDP年度增长率，并绘制成如图折线图，则下列结论不正确的是（）
A．2010年，两国GDP年度增长率均为最大
B．2014年，两国GDP年度增长率几乎相等
C．这十年内，中国比印度的发展更为平稳一些
D．2015年起，印度GDP年度增长率均比中国大
【答案】D
【解析】根据折线图进行判断即可．
【详解】
解：由折线图可知两国GDP年度增长率均在2010年达到最大值，故A正确；
在2014年，两国GDP年度增长率几乎相等，故B正确；
在这十年间，中国GDP年度增长率变化不大，而印度GDP年度增长率变化较大，故C正确；
由折线图可知在2017年，印度GDP年度增长率低于中国，故D错误．
故选：D．
【点睛】
本题考查了数据统计，考查折线图的意义，考查数据分析能力，属于基础题．
6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，B＝30°，△ABC的面积为 ，则b＝（）
2019届江西省、广东省百校联考高三12月教学质量检测考试数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x＝2n，n∈A}，则A∩B＝（）
A．{4}B．{2，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}
【答案】B
【解析】利用交集定义直接求解．
【详解】
解：∵集合A＝{1，2，3，4，5}，
【答案】
【解析】设高三的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高一的1位同学为C1，列举可得总的基本事件有15个，符合条件的有12个，由概率公式可得．
【详解】
解：设高三的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高一的1位同学为C1，
则从六位同学中抽两位同学有15种可能，列举如下：
A． B．1C． D．4
【答案】C
【解析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求b的值．
【详解】
解：∵a＝2，B＝30°，△ABC的面积为 acsinB ，
∴c＝2 ，
∴由余弦定理可得：b ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．