2019年中考数学专题复习-第五单元 四边形 第26课时 正方形及中点四边形课件
中考数学总复习《四边形》专题基础知识回顾五
中考数学总复习专题基础知识回顾五四边形一、单元知识网络：二、考试目标要求：1.探索并了解多边形的内角和与外角和公式，了解正多边形的概念.2.掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、直角梯形、等腰梯形的概念和性质，了解它们之间的关系；了解四边形的不稳定性.3.探索并掌握平行四边形的有关性质和四边形是平行四边形的条件.4.探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质和四边形是矩形、菱形、正方形的条件.5.探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件.6.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计.三、知识考点梳理知识点一、多边形的有关概念和性质1.多边形的定义：在平面内，由不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.2.多边形的性质：(1)多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)·180°；(2)推论：多边形的外角和是360°；(3)对角线条数公式：n边形的对角线有条；(4)正多边形定义：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.知识点二、四边形的有关概念和性质1.四边形的定义：同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.2.四边形的性质：(1)定理：四边形的内角和是360°；(2)推论：四边形的外角和是360°.知识点三、平行四边形1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.2.平行四边形的性质：(1)平行四边形的对边平行且相等；(2)平行四边形的对角相等；(3)平行四边形的对角线互相平分；3.平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.面积公式：S=ah(a是平行四边形的一条边长，h是这条边上的高).知识点四、矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等；(2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.3.矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.4.面积公式：S=ab(a、b是矩形的边长).知识点五、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质；(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的判定方法：(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.4.面积公式：S=ah(a是平行四边形的边长，h是这条边上的高)或s=mn(m、n是菱形的两条对角线长).知识点六、正方形1.正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；3.正方形的判定方法：(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.4.面积公式：S=a2(a是边长)或s=b2(b正方形的对角线长).平行四边形和特殊的平行四边形之间的联系:知识点七、梯形1.梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.(1)互相平行的两边叫做梯形的底；较短的底叫做上底，较长的底叫做下底.(2)不平行的两边叫做梯形的腰.(3)梯形的四个角都叫做底角.2.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.3.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.4.等腰梯形的性质：(1)等腰梯形的两腰相等；(2)等腰梯形同一底上的两个底角相等.(3)等腰梯形的对角线相等.5. 等腰梯形的判定方法：(1)两腰相等的梯形是等腰梯形(定义)；(2)同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；(3)对角线相等的梯形是等腰梯形.6.梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.7.面积公式：S=(a+b)h(a、b是梯形的上、下底，h是梯形的高).知识点八、平面图形的镶嵌1.平面图形的镶嵌的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称做平面图形的密铺.2.平面图形镶嵌的条件：(1)同种正多边形镶嵌成一个平面的条件：周角是否是这种正多边形的一个内角的整倍数.在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.(2)n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：①n个正多边形中的一个内角的和的倍数是360°；②n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍.四、规律方法指导1.数形结合思想多边形是反映了数的抽象性与形的直观性这一对矛盾的对立统一，以及在一定条件下的互相转化，由数构形，由形思数的数形结合思想.尤其在平行四边形和矩形、菱形、正方形、梯形中，图形的特点非常鲜明，与我们现实生活的联系很大，利用它们的性质和判定能解决实际中的问题.2.分类讨论思想根据题目中的已知判断是哪种特殊的平行四边形，不同的特殊的平行四边形的性质和判定不同.结合各自的特点进行分类，得出最终的结论.3.化归与转化思想要记清和分清平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，要体会化归思想的应用，如：多边形转化为三角形；平行四边形、梯形及特殊的平行四边形性质的讨论通过对角线转化为全等三角形等.4.注意观察、分析、总结在判断边相等或角相等的问题上，常以平行四边形、梯形及特殊的平行四边形的性质或判定为依据，当条件结论的关系无法找到时，可以通过辅助线将图形适当变化，使条件集中，以便应用条件达到解题的目的，由繁变简，一般与特殊之间的转化.5.四边形知识点间的联系经典例题透析考点一、多边形及镶嵌1．若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.考点：本题考查n边形的内角和公式：(n-2)·180°和多边形的外角和是360°.解析：设正多边形边数为n，由题意得：(n-2)·180°=360°×3，解得n=8，∴这个多边形的边数是八边.2．下列正多边形中，能够铺满地面的是( )A、正五边形B、正六边形C、正七边形D、正八边形考点：镶嵌的条件：周角是这种正多边形的一个内角的整倍数.思路点拔：在正多边形里只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌.答案：B3．一个多边形从一个顶点共引出三条对角线，此多边形一定是( )A.四边形B. 五边形C.六边形D.三角形思路点拔：n边形的对角线从一个顶点共引(n-3)条对角线.解析：根据题意列式为n-3=3，∴n=6.故选C.4. 一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现少了一个内角.少了的这个内角是_________度，他求的是_________边形的内角和.思路点拔：一个多边形的内角和能被180°整除，本题内角和1125°除以180°后有余数，则少的内角应和这个余数互补.解析：设这个多边形边数为n，少算的内角度数为x，由题意得：(n-2)·180°=1125°+ x°，∴n=∵n为整数，0°＜x＜180°，∴符合条件的x只有135°，解得n=9.应填135、九.总结升华：多边形根据内角或外角求边数，或是根据边数求内角或对角线条数等题是重点，只需要记住各公式或之间的联系，并准确计算.举一反三：【变式1】如果一个多边形的每一个内角都相等，且每一个内角的度数为135°，那么这个多边形的边数为( )A.6B.7C.8D.以上答案都不对思路点拔：在本题可利用外角去求边数，每个外角为45°，外角和是360°，有几个外角就有几条边.解析：∵多边形的每个内角度数为135°，∴每个外角为45°又∵多边形外角和为360°，∴边数=360°÷45°=8，故选C.【变式2】多边形的内角和随着边数的增加而______，边数增加一条时，它的内角和增加_____度.解析：多边形每增加一边，内角和就增加180°. 答案：增加、180.考点二、平行四边形5. 平行四边形的周长为40，两邻边的比为2：3，则这一组邻边长分别为________.考点：平行四边形的边的性质.思路点拔：掌握平行四边形的对边相等.解析：∵□ABCD中，AB=CD，BC=AD，周长为40∴AB+BC=20，又∵AB：BC=2：3，令AB=2k，BC=3k，∴2k+3k=20，解得k=4，∴这一组邻边长分别为8和12.6. 已知O是□ABCD的对角线交点，AC=24，BD=38，AD=14，那么△OBC的周长等于_______.考点：平行四边形的对角线互相平分.解析：□ABCD中，OC=AC=12，OB=BD=19，BC=AD=14∴△OBC的周长=OB+OC+BC=19+12+14=45.7. 如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需要增加的一个条件是______________.考点：平行四边形的判定.思路点拔：本题可以利用平行四边形的判定中的一组对边平行且相等；也可以利用对角线互相平分来判定等.答案不唯一.条件一：增加的条件为∠AFE=∠CEF.证明：∵∠AFE=∠CEF，∴AF∥CE，∠AFD=∠CEB∵□ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∴∠ADF=∠CBE∴△ADF≌△CBE，∴AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.条件二：增加的条件为BE=DF.解法一：可利用SAS证明△ABE≌△CDF，△ADF≌△CBE，得AE=CF，AF=CE∴四边形AECF是平行四边形.解法二：连结AC交BD于O□ABCD中，OA=OC，OB=OD∵BE=DF，∴OB-BE=OD-DF，得OE=OF∴四边形AECF是平行四边形.总结升华：借助平行四边形的性质进行线段或角相等的证明，或利用平行四边形的判定条件确定四边形的形状，是考查的重点.举一反三：【变式1】在平行四边形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图，与△ABO面积相等的三角形有( )个.A、1B、2C、3D、4解析：两条对角线分成的四个小三角形面积都相等，等底等高.∴与△ABO面积相等的三角形有△AOD、△COD、△BOC.故选C【变式2】如图，△ABC中∠ACB=90°，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF=∠A.求证：四边形DECF是平行四边形.考点：本题要求会综合运用所学的知识证明结论：(1)三角形的中位线性质；(2)直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；(3)两组对边分别平行的四边形是平行四形.证明：∵D、E分别是AC，AB的中点，∴CE是△ABC的中位线∴AE=AB，DE∥BC 即DE∥CF∵△ABC中∠ACB=90°，E是AB的中点，∴CE=AB∴CE=AE，∴∠A=∠ECD∵∠CDF=∠A，∴∠CDF=∠ECD，∴CE∥DF∴四边形DECF是平行四边形.考点三、矩形8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=8，则矩形对角线的长_________.考点：矩形的性质.思路点拔：掌握矩形的对角线相等,会用一个角是60°的等腰三角形是等边三角形解析：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=AC，OB=BD∴OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形∴OA=AB=8，∴AC=2OA=16，故应填16.9. 如右图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处且与AD相交于点O.写出一组相等的线段__________.(不包括和).思路点拔：理解折叠前后图形的变化，△BCD≌△BED，也可证出△AOB≌△EOD，找出对应量相等.解析：OD=OB或OE=OA、AB=ED、BE=AD等角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质.举一反三：【变式1】四边形ABCD的对角线相交于点O，在下列条件中，不能判定它是矩形的是( )A.AB=CD，AD=BC，∠BAD=90°B.AO=CO，BO=DO，AC=BDC.∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°D.∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°思路点拔：本题应结合图形去解决，掌握矩形的判定方法.解析：A选项由AB=CD，AD=BC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；B选项由AO=CO，BO=DO判定是□ABCD，再利用对角线相等的平行四边形是矩形；D选项由∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC判定是□ABCD，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形可得；而C选项却不能判定,举反例如直角梯形.故选C.【变式2】矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm，则这个矩形的面积为__________.考点：矩形的面积公式思路点拔：在没有图形的题中，画图时应考虑全面，本题体现了分类的思想，被分的两部分长度不确定解析：如图(1)若AE=3，ED=2，则矩形边长分别3和5，面积为15cm2如图(2)若AE=2，ED=3，则矩形边长分别2和5，面积为10cm2则这个矩形面积就为10cm2和15cm2.考点四、菱形10．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC、BD的长分别为5厘米、10厘米，则菱形ABCD 的面积为_________厘米2.考点：菱形面积.思路点拔：菱形的对角线互相垂直，面积公式有两个：(1)底乘高；(2)对角线乘积的一半.解：菱形ABCD的面积=AC×BD=×5×10=25cm2.11．能够判别一个四边形是菱形的条件是( )A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角考点：菱形的判定解析：A选项可判定为矩形；B选项不能判定是平行四边形，∴也不能判定是菱形；C选项只能判定是平行四边形；D选项由等角对等边和三角形全等得到四条边都相等.故选D.总结升华：菱形在平行四边形的基础上进一步特殊化，菱形的对角线互相垂直，把菱形分成四个全等的直角三角形，常利用这一性质求线段和角，以及菱形的面积.举一反三：【变式1】已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的两个邻角度数分别为 ( )A. 45°， 135°B. 60°， 120°C. 90°， 90°D. 30°， 150°思路点拔：菱形的一条对角线与边长相等，则构成等边三角形，从而求出菱形的内角度数.答案：B【变式2】如图，已知AD平分∠BAC，DE∥AC， DF∥AB， AE=5.(1)判断四边形AEDF的形状?(2)它的周长是多少?考点：菱形的判定思路点拔：利用一组邻边相等的平行四边形是菱形的判定方法证明.证明：(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD∵DE∥AC， DF∥AB∴四边形AEDF是平行四边形，∠CAD=∠ADE∴∠BAD=∠ADE，∴AE=DE∴平行四边形AEDF是菱形.(2)∵平行四边形AEDF是菱形，AE=5∴菱形AEDF的周长=4AE=4×5=20.【变式3】如图，菱形ABCO的边长为2，∠AOC=45°，则点B的坐标为___________.思路点拔：利用数形结合的思想，可先求A点坐标，再向右平移2个单位.解析：过A作AD⊥OC于D，∵∠AOC=45°，OA=2，∴AD=OD=，∴A(，)∵AB=2，∴B(2+，).考点五、正方形12．正方形具有而矩形不一定具有的特征是( )A.四个角都是直角B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.对角线相等思路点拔：正方形是满足矩形和菱形的所有性质.∴正方形的对角线互相垂直，而矩形对角线则不一定互相垂直.答案：C.13．如图，以A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可以作( )A.1个B.2个C.3个D.4个思路点拔：本题考查学生解题能力，容易将AB是对角线的情况忽略，而错误的选B.解析：如图，共有3个.14．图中的矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，求这个矩形的长和宽各是多少？思路点拔：本题利用正方形的边长相等，及矩形的对边相等，设某个正方形的边长为x，并用x表示矩形的对这得出相应的方程，求出矩形的长和宽.解：设右下方正方形的边长为，则左下方正方形的边长为+1，左上方正方形的边长为+2，右上方正方形的边长为+3，根据长方形的对边相等可列方程2++1=+2++3，解这个方程得=4，∴长方形的长为13，宽为11.总结升华：正方形的性质很多，往往是在判定矩形或菱形的基础上再进一步判定正方形，∴做正方形的问题时，要考虑全面，有选择的运用正方形的知识解题.举一反三：【变式1】下列选项正确的是( )A.四边相等的四边形是正方形B.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形C.对角线垂直的平行四边形是正方形D.四角相等的四边形是正方形考点：正方形的判定方法.思路点拔：掌握正方形的判定方法要从边、角、对角线各方面考虑.解析：A、C选项能判定是菱形；D选项能判定是矩形；故应选B.【变式2】正方形ABCD中，对角线BD长为16cm，P是AB上任意一点，则点P到AC、BD的距离之和等于__cm.思路点拔：本题方法很多，(1)可以利用三角形面积去求：连接PO，△ABO的面积等于△APO和△BPO 的面积之和；(2)也可证明矩形PEOF，得PF=EO，再证PE=AE，从而得出结论.总之，P在AB上移动时，点P到AC、BD的距离之和总等于对角线长的一半.解析：PE+PF=OA=8cmA、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(2)顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(3)顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形(4)顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是( )A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形考点：中点四边形的判定由原四边形的对角线决定.思路点拔：规律：顺次连结任意四边形四边中点所得的四边形一定是平行四边形；顺次连结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形一定是菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是矩形；顺次连结对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形一定是正方形.答案：(1)A (2)C (3)B (4)D考点六、梯形15．等腰梯形中，，cm，cm，，则梯形的腰长是_________cm.考点：等腰梯形的性质.思路点拔：梯形常作的辅助线是作梯形的高，将梯形分成一个矩形和两个直角三角形；本题也可平移一腰，将梯形分成一个平行四边形和一个等边三角形.解析：过A作AE∥CD交BC于E∵AD∥EC，∴EC=AD=5，AE=CD，∴BE=BC-EC=9-5=4∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∴AB=AE∵∠C=60°，∴△ABE是等边三角形∴AB=BE=4cm，即梯形的腰长是4cm.16. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是( )(A)24 (B)20 (C)16 (D)12思路点拔：梯形常作的辅助线还有就是平移对角线，将梯形分成一个三角形以及一个平行四边形.解析：过D作DE∥AC交BC延长线于E，可得CE=AD，DE=AC，∴BE=10，∴△BDE的三边为6、8、10，∴△BDE为直角三角形，∵△ADB和△CED等底等高，∴梯形ABCD的面积等于△BDE的面积.即梯形ABCD的面积=6×8×=24.17．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O.•有下列四个结论：①AC=BD；②梯形ABCD是轴对称图形；③∠ADB=∠DAC；④△AOD≌△ABO.其中正确的是( ).(A)①③④ (B)①②④(C)①②③(D)②③④考点：本题考查的是等腰梯形的性质.答案：C总结升华：解决梯形问题时，辅助线是常用的方法，除上述辅助线之外，还可以延长两腰交于一点，构成三角形；若已知一腰中点，可连结一顶点和这个中点，构成两个全等的三角形.举一反三：【变式1】已知梯形的上底长为3，中位线长为6，则下底长为______.考点：梯形的中位线性质.思路点拔：梯形的中位线平行两底，且等于上、下底和的一半.答案：9.【变式2】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AD、BC的中点，∠ABC和∠BCD互余，若AD=4，BC=10，则EF=_________.解析：过E作EM∥AB，EN∥CD，交BC于M、N，可求MN=BC-AD=10-4=6∵∠ABC和∠BCD互余，可得Rt△MEN，再证EF是Rt△MEP斜边上的中线，可求EF的长=MN=×6=3.【变式3】已知等腰梯形ABCD，AD∥BC ，E为梯形内一点，且.求证：.思路点拔：利用梯形的性质可证明三角形全等.证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，∠BAD=∠CDA∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA∴∠BAD-∠EAD=∠CDA-∠EDA，即∠BAE=∠CDE∴△BAE≌△CDE，∴EB=EC.中考题萃1.(北京市)(4分)若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是( )A.5B.6C.7D.82.(赤峰市)(3分)分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有( )A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④都可以3.(湖北省襄樊市)(3分)顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是( )A.菱形B.正方形C.矩形D.等腰梯形4.(衡阳市)(3分)如图，在平行四边形中，，为垂足，如果，那么的度数是( )A. B. C. D.5.(广州)(3分)如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是( )A. B.2 C. D.6.(永春县)(3分)四边形的外角和等于__________度.7.如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，则∠CAD的度数是__________°.8.(佳木斯市)(3分)一幅图案.在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成.其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是__________.9.(江苏省宿迁市)(3分)若一个正多边形的内角和是其外角和的倍，则这个多边形的边数是______.10.(安顺市)(4分)若顺次连接四边形各边中点所得四边形是菱形，则原四边形可能是__________.(写出两种即可)11.(赤峰市)(4分)如图，已知平分，，，则________.12.(佛山市)(3分)如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是__________.13.(湖南省怀化市)(2分)如图，在平行四边形ABCD中，DB=DC、，CE BD于E，则__________.14.(海南省)(3分)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，AB=6cm，则AE=__________cm.15.(莆田市)(3分)如图，大正方形网格是由16个边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分的面积是__________.16.(广州)(3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，AD=6，BC=8，则梯形的高为.17.(莆田市)(3分)如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=______________度.18.(湖北省荆门市)(3分)如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为________.19.(江苏省宿迁市)(3分)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_________.20.(内蒙古)(6分)如图，在梯形中，AD∥BC，，，AE⊥BD于E，. 求梯形的高.21.(湖北省荆州市)(6分)如图，矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE于F，连结DE，求证：DF=DC.22.(北京市)(5分)如图，在梯形中，，，，，，求的长.23.(湖北省荆门市)(10分)某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE 和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH.(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？答案与解析1.B2.C3.A4.D5.C6.3607.368.129.八边10.矩形、等腰梯形、正方形、对角线相等的四边形11.3 12.22.5度13.25°14.6 15.1016.7 17.60 18.19.520.解：∵AD∥BC，∴∠2=∠3又AB=AD，∴∠1=∠3.∠ABC=∠C=60°∴∠1=∠2=30°在Rt△ABE中，，，∴AB=2作AF⊥BC垂足为F，在Rt△ABF中，∴梯形的高为.21.证明：∵AD=AE∴∠ADE=∠FED又AD∥BC∴∠ADE=∠DEC∴∠DEC=∠DEF又DF⊥AE，四边形ABCD是矩形∴∠DFE=∠C=90°又DE=DE∴△DEF≌△DEC(AAS)∴DF=DC.22.解法一：如图1，分别过点作于点，于点..又，四边形是矩形..，，，..，在中，，.解法二：如图2，过点作，分别交于点.，.，.在中，，，，在中，，，，..在中，，.23.解：(1) 四边形EFGH是正方形.图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE=CF=CG.∴△CEF是等腰直角三角形.因此四边形EFGH是正方形.(2) 设CE=x，则BE=0.4-x，每块地砖的费用为y，那么y=x×30+×0.4×(0.4-x)×20+=10(x-0.2x+0.24)=10［(x-0.1)2+0.23］ (0＜x＜0.4).当x=0.1时，y有最小值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1.答：当CE=CF=0.1米时，总费用最省.。
中考数学黄金知识点系列专题26四边形26--(附解析答案)
专题26 四边形聚焦考点☆温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于•-)2(n 180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
二、平行四边形 1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
中考数学系统复习第五单元四边形方法技巧训练二几何中与中点有关的计算与证明练习
方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。
2019年中考数学专题复习27——正方形(含答案解析)
2019年中考数学专题复习27——正方形（含答案解析）一、选择题1. 如图，将正方形放在平面直角坐标系中，是原点，若点的坐标为，则点的坐标为2. 若正方形的周长为A. B. C. D.3.C. D.4. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，于点，那么A. B. C. D.5. 如图，在正方形外侧，作等边三角形，，相交于点，则A. B. C. D.6. 如图，正方形的边长为，点在对角线上，且，，垂足为，则A. B. C. D.7. 如图，在边长为的正方形中，为上一点，连接．过点作，交于点，若，则A. B. C. D.8. 如图，正方形的边长为，在的延长线上，四边形也为正方形，则A. B. C. D.9. 如图所示，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使A. B. C. D.10. 如图，将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点，，，分别是正方形的中心，则这A. B. C. D.二、填空题11. 如图，已知，相邻两条平行线间的距离都相等，如果正方形的四个顶点分别在四条直线上，与交于点，则与正方形的面积之比为．12. 如图，在正方形中，为对角线，点在边上，于点，连接，，的周长为，则的长为．13. 如图，边长为的正方形的对角线相交于点，过点的直线分别交，于，，则阴影部分的面积是．14. 如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则点的旋转路径长为（结果保留）．15. 如图，是正方形的一条对称轴，点是直线上的一个动点，当最小时，16. 处，沿角画线，将正方形纸片分成部分，则中间一块阴影部分的面积为．17. 如图，正方形的边长为，点是对角线、的交点，点是的中点，连接．过点作，垂足是，连接，则的长为．18. 正方形，，，，按如图所示的方式放置．点，，，，和点，，，，分别在直线和轴上，已知点，，则点的坐标是．19. 如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，点，，都在对角线上，且四边形和均为正方形，则的值等于．20. 如图，正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，与相交于点，延长交于点．若正方形边长为，则．三、解答题21. 如图5，正方形的边长为，是对角线，平分，．（1）求证：．（2）求的长．22. 如图，正方形中，点在对角线上，连接、．（1）求证：；（2）延长交于点，若，求的度数．23. 如图，在正方形中，等边三角形的顶点，分别在和上．（1）求证：；（2）若等边三角形的边长为，求正方形的周长．24. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点．（1）求证：；（2）判断与的位置关系，并说明理由；25. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，是延长线上的点，且是等边三角形．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求证：四边形是正方形．26. 已知：如图，平行四边形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．（1）求证：；（2）连接，，当时，四边形是正方形?请说明理由．27. 中，，，点为直线上一动点（点不与，重合），以为边在右侧作正方形，连接．（1）观察猜想如图1，当点在线段上时，①与的位置关系为：．②，，之间的数量关系为：；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立?若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，延长交于点，连接．若已知，，请求出的长．28. 如图，已知是的角平分线，交与点，交与点．（1）求证：四边形是菱形；（2）当满足什么条件时，四边形是正方形?并说明理由．29. 如图，在中，，是边上一点，，，垂足分别是，，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形是正方形．30. 在正方形中，对角线，交于点，点在线段上（不含点），，交于点，过点作，垂足为，交于点．（1）当点与点重合时（如图）．求证：；（2）结合图，通过观察、测量、猜想：，并证明你的猜想；（3）把正方形改为菱形，其他条件不变（如图），若，，直接写出的值．答案第一部分1. C 【解析】如图，过点作于点．是正方形，易证，，，所以．2. C3. A ，边长为，面积为．4. A 【解析】提示：连接，，延长交于点．易证，，，．，．5. C【解析】，的角度可求，为的外角．6. C 【解析】连接交于．四边形为正方形，，，．又，，．．7. C 【解析】．8. D 【解析】设正方形的边长为，则9. A 【解析】点关于的对称点为，连接于交于一点，即为满足条件的点，此时则．由正方形的面积为，可求出．10. B，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则个这样的正方形重叠部分即为阴影部分的和．第二部分11.12.【解析】设，根据正方形的性质及题意知，由的周长为，得，根据勾股定理得，解得．13.14.15.【解析】连接，交于点，此时最小，．16.【解析】延长小正方形的一边，与大正方形的一边交于点，连接，为直角边长为的等腰直角三角形，，阴影正方形的边长，阴影正方形的面积为：．17.【解析】在上截取，连接．四边形是正方形，，，．中，，．．在与中，．，．．在中，，，．．根据射影定理得：，则．解得：．．，．．在等腰直角中，，．18.【解析】点，且四边形，，为正方形，，，．．的坐标是．【解析】连接，四边形和四边形是正方形，．由旋转的性质得：，，．在和中，．，，，，．在中，，，．第三部分21. （1）证明：，；平分故又在中，故则（2）正方形的边长为对角线由（1）得，22. （1）正方形中，为对角线上一点，，．，（）．（2）由全等可知，．在中，，在正方形中，，有．23. （1）四边形是正方形，，．是等边三角形，，，．，．（2）在中，．设正方形的边长为，则，解得．正方形的周长．24. （1）四边形，四边形都是正方形，，，．．在和中．．（2）．，．，，，．25. （1）四边形是平行四边形，．是等边三角形，，即，四边形是菱形．（2）是等边三角形，．，．，，．四边形是菱形，，四边形是正方形．26. （1）四边形是平行四边形，．，．又，．（2）当时，四边形是正方形．，．又，四边形是平行四边形．，，．四边形是平行四边形，，．．平行四边形是菱形．，，．菱形是正方形．27. （1）①垂直．正方形中，，，.在与中..，即．②．，.，．（2）①成立②不成立．正方形中，，，.在与中，.， .，，..，即 .，．（3）过作于，过作于，于 .，，...由（2）证得，，四边形是正方形，， .，，，四边形是矩形.， .，..在与中，.， .， .，.是等腰直角三角形...．28. （1），，，．四边形是平行四边形．．又是的角平分线，．．四边形是菱形．（2）由（1）知，四边形是菱形．当四边形是正方形时，，即，的时，四边形是正方形．29. （1），，，，，，，，，，垂足分别是，，，在和中，．（2），，，，是边上的高，，，，，，，，四边形是矩形，，矩形是正方形．30. （1）四边形是正方形，与重合，，．，，，．．．（2如图，过作交于，交于．，．，．．，，．（）．．，，．，．又，（）．，即．，即．（3）．【解析】如图，过作交于，交于．，，．由（2）同理可得：，．，．．、为菱形对角线，，，．．．．．。
初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形
∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式 改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长 至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．
(呼和浩特专版)中考数学复习方案 第五单元 四边形 课时训练25 正方形及中点四边形试题-人教版初中
课时训练(二十五)正方形及中点四边形(限时:45分钟)|夯实基础|1.[2019·某某]顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形2.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图K25-1),现有下列四种选法,你认为其中错误的是()图K25-1A.①②B.②③C.①③D.②④3.[2018·某某]如图K25-2,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置.若四边形AECF的面积为25,DE=2,则AE的长为()图K25-2A.5B.√23C.7D.√294.[2019·某某]如图K25-3,边长为√2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O,将正方形ABCD沿直线DF 折叠,点C落在对角线BD上的点E处,折痕DF交AC于点M,则OM=()图K25-3A .12B .√22 C .√3-1D .√2-15.[2019·某某]如图K25-4,在正方形ABCD 中,E 是BC 边上的一点,BE=4,EC=8,将正方形边的AB 沿AE 折叠到AF ,延长EF 交DC 于G.连接AG ,CF .现有如下四个结论:①∠EAG=45°;②FG=FC ;③FC ∥AG ;④S △GFC =14.其中结论正确的个数是()图K25-4A .1B .2C .3D .46.[2019·某某]如图K25-5,在正方形纸片ABCD 中,E 是CD 的中点,将正方形纸片折叠,点B 落在线段AE 上的点G 处,折痕为AF .若AD=4 cm,则CF 的长是 cm .图K25-57.[2019·某某]如图K25-6,已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上,以BE 为边在正方形ABCD 外部作正方形BEFG ,连接DF ,M ,N 分别是DC ,DF 的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=.图K25-68.[2019·某某]七巧板是我国祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”.由边长为4√2的正方形ABCD 可以制作一套如图K25-7①所示的七巧板,现将这套七巧板在正方形EFGH 内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q ,R 分别与图②中的点E ,G 重合,点P 在边EH 上),则“拼搏兔”所在正方形EFGH 的边长是.图K25-79.[2019·某某]如图K25-8,正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.(1)求证:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的长.图K25-810.[2018·]如图K25-9,在正方形ABCD中,E是边AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接DE,点A关于直线DE 的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.图K25-9|拓展提升|11.[2019·某某]如图K25-10,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满足PE+PF=9的点P的个数是 ()图K25-10A.0B.4C.6D.812.[2019·某某]如图K25-11,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点0<DM<12BD,连接AM,过点M作MN⊥AM交边BC于N.(1)如图K25-11①,求证:MA=MN;(2)如图②,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当S△AMNS△BCD =1318时,求AN和PM的长;(3)如图③,过点N作NH⊥BD于H,当AM=2√5时,求△HMN的面积.图K25-11【参考答案】1.C2.B[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形,当①AB=BC时,平行四边形ABCD是菱形,当②∠ABC=90°时,菱形ABCD是正方形,故选项A不符合题意;∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD 是矩形,当③AC=BD 时,矩形满足该性质,无法得出四边形ABCD 是正方形,故选项B 符合题意; ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当①AB=BC 时,平行四边形ABCD 是菱形,当③AC=BD 时,菱形ABCD 是正方形,故选项C 不符合题意; ∵四边形ABCD 是平行四边形,∴当②∠ABC=90°时,平行四边形ABCD 是矩形,当④AC ⊥BD 时,矩形ABCD 是正方形,故选项D 不符合题意.故选B . 3.D4.D[解析]在正方形ABCD 中,OC=OD ,AC ⊥BD ,由折叠可知,DF ⊥EC ,CD=DE=√2, ∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3, 又∵OC=OD ,∠DOM=∠COE=90°,∴△ODM ≌△OCE (ASA),∴OM=OE ,在Rt △BCD 中,BD=√(√2)2+(√2)2=2,∴OD=1,∴OE=DE -OD=√2-1,∴OM=√2-1,故选D .5.B[解析]由题易知AD=AB=AF , 则Rt △ADG ≌Rt △AFG (HL). ∴GD=GF ,∠DAG=∠GAF .又∵∠F AE=∠EAB ,∴∠EAG=∠GAF +∠F AE=12(∠BAF +∠F AD )=12∠BAD=45°,∴①正确; 设GF=x ,则GD=GF=x.又∵BE=4,CE=8,∴DC=BC=12,EF=BE=4. ∴CG=12-x ,EG=4+x.在Rt △ECG 中,由勾股定理可得82+(12-x )2=(4+x )2,解得x=6. ∴FG=DG=CG=6.∵∠AGD=∠AGF ≠60°, ∴∠FGC ≠60°,∴△FGC 不是等边三角形,∴②错误; 连接DF ,如图,由①可知△AFG 和△ADG 是对称型全等三角形,∴FD ⊥AG. 又∵FG=DG=GC ,∴△DFC 为直角三角形,∴FD ⊥CF ,∴FC ∥AG , ∴③正确;∵EC=8,CG=6,∴S △ECG =12EC ·CG=24,又∵S △FCG S △ECG =FG EG =35,∴S △FCG =35S △ECG =725.∴④错误,故正确结论为①③,选B .6.(6-2√5)[解析]由勾股定理得AE=2√5cm,根据题意得GE=(2√5-4)cm,设BF=x cm,则FC=(4-x )cm,∴(2√5-4)2+x 2=22+(4-x )2,解得x=2√5-2, ∴CF=(6-2√5)cm .7.132[解析]连接CF ,∵正方形ABCD 和正方形BEFG 中,AB=7,BE=5, ∴GF=GB=5,BC=7,∴GC=GB +BC=5+7=12, ∴CF=√GF 2+GC 2=√52+122=13.∵M ,N 分别是DC ,DF 的中点,∴MN=12CF=132.故答案为132.8.4√5[解析]如图,连接EG ,作GM ⊥EN 交EN 的延长线于M.在Rt △EMG 中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12, ∴EG=√EM 2+GM 2=√122+42=4√10, ∴EH=√2=4√5,故答案为:4√5.9.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD , ∵DE=CF ,∴AE=DF ,在△BAE 和△ADF 中,AB=AD ,∠BAE=∠ADF ,AE=DF ,∴△BAE ≌△ADF (SAS), ∴BE=AF .(2)由(1)得:△BAE ≌△ADF , ∴∠EBA=∠F AD ,∴∠GAE +∠AEG=90°,∴∠AGE=90°, ∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE=√AB 2+AE 2=5, 在Rt △ABE 中,12AB ·AE=12BE ·AG , ∴AG=3×45=125.10.解:(1)证明:连接DF ,如图.∵点A 关于直线DE 的对称点为F , ∴DA=DF ,∠DFE=∠A=90°. ∴∠DFG=90°.∵四边形ABCD 是正方形, ∴DC=DA=DF ,∠C=∠DFG=90°. 又∵DG=DG ,∴Rt △DGF ≌Rt △DGC (HL). ∴GF=GC.(2)如图,在AD 上取点P ,使AP=AE ,连接PE ,则BE=DP .由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,从而由∠ADC=90°,得2∠2+2∠3=90°, ∴∠EDH=45°. 又∵EH ⊥DE ,∴△DEH是等腰直角三角形.∴DE=EH.∵∠1+∠AED=∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.∴△DPE≌△EBH(SAS).∴PE=BH.∵△P AE是等腰直角三角形,从而PE=√2AE.∴BH=√2AE.11.D[解析] 如图,作点F关于CD的对称点F',连接PF',PF,则PE+PF=EF',根据两点之间线段最短可知此时PE+PF的值最小.连接FF',交CD于点G,过点E作EH⊥FF',垂足为点H,易知△EHF,△CFG都是等腰直角三角EF=2√2,形,∴EH=FH=FG=F'G=√22∴EF'=√EH2+F'H2=√(2√2)2+(6√2)2=4√5<9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD的每条边上都有一点P使得PE+PF值最小.连接DE,DF,易求得DE+DF=4√10>9,CE+CF=12>9,故点P位于点B,D时,PE+PF>9,点P 位于点A,C时,PE+PF>9,∴该正方形每条边上都有2个点使得PE+PF=9,共计8个点.12.解:(1)证明:如图,过点M作MF⊥AB于F,作MG⊥BC于G,∴∠MFB=∠BGM=90°.∵正方形ABCD,∴∠DAB=90°,AD=AB,∴∠ABD=45°.同理可证:∠DBC=45°,∴∠ABD=∠DBC.∵MF⊥AB,MG⊥BC,∴MF=MG.∵正方形ABCD,∴∠ABN=90°,∵∠MFB=∠FBG=∠BGM=90°,∴∠FMG=90°,∴∠FMN+∠NMG=90°,∵MN⊥AM,∴∠NMA=90°, ∴∠AMF+∠FMN=90°,∴∠AMF=∠NMG.又∵∠AFM=∠NGM=90°,∴△AMF≌△NMG,∴MA=MN.(2)在Rt△AMN中,∵∠AMN=90°,MA=MN,∴∠MAN=45°.在Rt△BCD中,∵∠DBC=45°, ∴∠MAN=∠DBC,∴Rt△AMN∽Rt△BCD,∴S△AMNS△BCD =ANBD2.∵在Rt△ABD中,AB=AD=6,∴BD=6√2.∵S△AMNS△BCD =1318,∴2(6√2)2=1318,∴AN=2√13.∴在Rt△ABN中,BN=√AN2-AB2=4.∵在Rt△AMN中,MA=MN,O是AN的中点, ∴OM=AO=ON=12AN=√13,OM⊥AN,∴PM⊥AN,∴∠AOP=90°,∴∠AOP=∠ABN=90°.又∵∠P AO=∠NAB,∴△AOP∽△ABN.∴OPBN =AO AB,∴OP4=√136,∴OP=2√133.∴PM=PO+OM=2√133+√13=53√13.(3)如图,过点A作AQ⊥BD于Q,∴∠AQM=90°,∴∠QAM +∠AMQ=90°. ∵MN ⊥AM , ∴∠AMN=90°. ∴∠AMQ +∠HMN=90°, ∴∠QAM=∠HMN. ∵NH ⊥BD ,∴∠NHM=90°, ∴∠NHM=∠AQM.∵MA=MN ,∴△AQM ≌△MHN , ∴AQ=MH.在Rt △ABD 中,AB=AD=6,∴BD=6√2. ∵AQ ⊥BD ,∴AQ=12BD=3√2,∴MH=3√2. ∵AM=2√5,∴MN=2√5.在Rt △MNH 中,HN=√MN 2-HM 2=√2. ∴S △HMN =12HM ·HN=12×√2×3√2=3. ∴△HMN 的面积是3.。
2022年中考数学复习练习-正方形及中点四边形
课时训练(二十六) 正方形及中点四边形|夯实基础|1.根据下列条件,能判定一个四边形是正方形的是()A.对角线互相垂直且平分B.对角相等C.对角线互相垂直、平分且相等D.对角线相等2.[2022最新·滨州] 下列命题,其中是真命题的为()A.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直的四边形是菱形C.对角线相等的四边形是矩形D.一组邻边相等的矩形是正方形3.[2016·河北] 关于▱ABCD的叙述,正确的是()A.若AB⊥BC,则▱ABCD是菱形B.若AC⊥BD,则▱ABCD是正方形C.若AC=BD,则▱ABCD是矩形D.若AB=AD,则▱ABCD是正方形4.[2022最新·广安] 下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形;②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形;③对角线相等的四边形一定是矩形;④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分.其中正确的个数是()A.4B.3C.2D.15.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是()A.矩形B.菱形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.如图26-5,正方形ABCD的周长为28cm,点N在对角线BD上,则矩形MNGC的周长是()图26-5A.24cmB.14cmC.18cmD.7cm7.如图26-6,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A,C到直线l的距离分别为1和3,则正方形ABCD的边长是()图26-6A.2√2B.3C.√10D.48.[2022最新·天津] 如图26-7,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是()图26-7A .AB B .DEC .BD D .AF9.[2022最新·枣庄] 如图26-8,把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN ,再过点B 折叠纸片,使点A 落在MN 上的点F 处,折痕为BE.若AB 的长为2,则FM 的长为()图26-8A .2B .√3C .√2D .110.[2022最新·泰安] 如图26-9,在正方形ABCD 中,M 为BC 上一点,ME ⊥AM ,ME 交AD 的延长线于点E.若AB=12,BM=5,则DE 的长为()图26-9A .18B .1095C .965D .25311.[2022最新·青岛] 如图26-10,已知正方形ABCD 的边长为5,点E ,F 分别在AD ,DC 上,AE=DF=2,BE 与AF 相交于点G ,H 为BF 的中点,连接GH ,则GH 的长为.图26-1012.[2022最新·德阳] 如图26-11,将边长为√3的正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°得到正方形A'BC'D',那么图中阴影部分的面积为()图26-11A.3B.√3C.3-√3D.3-√3213.正方形的对角线长为2,则正方形的周长为,面积为.14.[2022最新·兰州] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的是(填序号).15.[2015·无锡] 如图26-12,已知矩形ABCD的对角线长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长等于cm.图26-1216.[2015·广安] 如图26-13,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60°,则四边形EFGH的面积为cm2.图26-1317.[2022最新·宿迁] 如图26-14,正方形ABCD的边长为3,点E在边AB上,且BE=1.若点P在对角线BD上移动,则P A+PE的最小值是.图26-1418.[2022最新·包头样题二] 如图26-15,边长为6的大正方形中有两个小正方形,小正方形的顶点均在大正方形的边或对角线上.若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1与S2的和为.图26-1519.[2022最新·常德] 如图26-16,正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上,若设AE=x,正方形EFGH 的面积为y,则y与x之间的函数关系式为(不必写出自变量的取值范围).图26-1620.[2022最新·白银] 如图26-17,已知矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,F,G,H分别是BC,BE,CE的中点.(1)求证:△BGF≌△FHC;(2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.图26-1721.[2022最新·聊城] 如图26-18,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连接AE,过点B作BH⊥AE,垂足为H,延长BH交CD于点F,连接AF.(1)求证:AE=BF;(2)若正方形ABCD的边长是5,BE=2,求AF的长.图26-1822.[2022最新·潍坊] 如图26-19,M是正方形ABCD的边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.图26-1923.[2022最新·眉山] 如图26-20,E是正方形ABCD的边BC延长线上一点,连接DE,过顶点B作BF⊥DE,垂足为F,BF交AC于点H,交DC于点G.(1)求证:BG=DE;(2)若G为CD的中点,求HG的值.GF图26-20|拓展提升|24.[2022最新·包头样题一] 如图26-21,已知四边形ABCD 和四边形DEFG 为正方形,点E 在线段DC 上,点A ,D ,G 在同一条直线上,且AD=3,DE=1,连接CG ,AE ,并延长AE 交CG 于点H ,则EH 的长为()图26-21A .√105B .2√105C .3√55D .√55 25.[2022最新·台州] 如图26-22,在正方形ABCD 中,AB=3,点E ,F 分别在CD ,AD 上,CE=DF ,BE ,CF 相交于点G.若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3,则△BCG 的周长为.图26-2226.[2022最新·青山区一模] 如图26-23,在正方形ABCD中,AC为对角线,E为AB上一点,过点E作EF∥AD,与AC,DC 分别交于点G,F,H为CG的中点,连接DE,EH,DH,FH.下列结论:①EG=DF;②∠AEH+∠ADH=180°;③△EHF≌△DHC;④若AEAB =23,则3S△EDH=13S△DHC,其中正确的结论是(填序号).图26-2327.[2022最新·青山区二模] 如图26-24,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP,CP的延长线分别交AD于点E,F,连接BD,DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:①BE=2AE;②△DFP∽△BPH;③△PFD∽△PDB;④DP2=PH·PC.其中正确的是(填序号).图26-24参考答案1.C2.D3.C4.C[解析] 根据菱形的判定定理,四边相等的四边形一定是菱形,故①正确;由于矩形的对角线相等,根据三角形的中位线定理,可得顺次连接矩形各边中点所得四边形的四条边相等,由此可判定所得四边形是菱形,故②错误;对角线相等的平行四边形是矩形,故③错误;平行四边形是中心对称图形,根据中心对称图形的性质,经过对称中心的任意一条直线都把它分成两个全等形,面积当然相等,所以经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分,故④正确.综上所述,正确的说法有2个.故选C.5.D6.B7.C8.D[解析] 如图,取CD的中点E',连接AE',PE'.由正方形轴对称的性质可知EP=E'P,AF=AE',∴AP+EP=AP+E'P.∵AP+E'P≥AE',∴AP+EP的最小值是AE'的长,即AP+EP的最小值是AF的长.故选D.9.B[解析]∵四边形ABCD为正方形,AB=2,M,N分别为BC,AD的中点,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,∴FB=AB=2,BM=1.在Rt△BMF中,FM=√BF2-BM2=√22-12=√3,故选B.10.B[解析] 在Rt△ABM中,根据勾股定理得AM=√AB2+BM2=√122+52=13,因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB=12.因为ME⊥AM,所以∠AME=90°,所以∠AME=∠MBA.因为AD∥BC,所以∠EAM=∠AMB,所以△ABM∽△EMA,所以BMAM =AMAE,即513=13AE,所以AE=1695,所以DE=AE-AD=1695-12=1095.11.√342[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=BC=CD=5,∠BAD=∠D=∠C=90°.又∵AE=DF,∴△ABE≌△DAF,∴∠DAF=∠ABE ,∴∠ABE+∠BAG=∠DAF+∠BAG=90°,即∠BGF=90°.在Rt △BCF 中,CF=CD -DF=3,∴BF=√52+32=√34.在Rt △BGF 中,∵H 为BF 的中点,∴GH=12BF=√342.12.C[解析] 如图,连接AM.由旋转的性质可知∠1=∠4=30°,∴∠2+∠3=60°.在Rt △ABM 和Rt △C'BM 中,∵AB=C'B ,∴Rt △ABM ≌Rt △C'BM ,∴∠2=∠3=30°.在Rt △ABM 中,∵AB=√3,∠2=30°,∴AM=tan30°·AB=1.∴S △ABM =S △BMC'=√32,∴S 阴影=S 正方形A'BC'D'-(S △ABM +S △BMC')=3-√3.13.4√2214.①③④[解析]①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确;②BD 为平行四边形的对角线,AB 为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD 时,平行四边形不可能是正方形,故②错误; ③由OB=OC ,得AC=BD ,由OB ⊥OC 得AC ⊥BD ,∴▱ABCD 为正方形,故③正确;④由AB=AD ,得▱ABCD 为菱形.又∵AC=BD ,∴四边形ABCD 为正方形,故④正确.15.1616.9√317.√10[解析] 连接PC.根据正方形的对称性知P A=PC ,所以当点C ,P ,E 在同一条直线上时,P A+PE=PC+PE=CE 最小,根据勾股定理求得CE=√BC 2+BE 2=√32+12=√10.18.1719.y=2x 2-4x+4[解析] 由题中条件可知,图中的四个直角三角形是全等三角形,AE=x ,则AF=2-x.在Rt △EAF 中,由勾股定理可得EF 2=(2-x )2+x 2=2x 2-4x+4,即正方形EFGH 的面积y=2x 2-4x+4.20.解:(1)证明:∵F 是BC 边的中点,∴BF=FC.∵F ,G ,H 分别是BC ,BE ,CE 的中点,∴GF ,FH 是△BEC 的中位线,∴GF=HC ,FH=BG.在△BGF 和△FHC 中,{BF =FC ,BG =FH ,GF =HC ,∴△BGF ≌△FHC (SSS).(2)当四边形EGFH 是正方形时,∠BEC=90°,GF=GE=EH=FH.∵GF ,FH 是△BEC 的中位线,∴BE=CE ,∴△BEC 是等腰直角三角形.连接EF ,则EF ⊥BC ,EF=12BC=12AD=12a ,∴S 矩形ABCD =AD ·EF=a ·12a=12a 2.21.解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC ,∠ABC=∠C=90°.∵BH ⊥AE ,垂足为H ,∴∠BAE+∠ABH=90°.∵∠CBF+∠ABH=90°,∴∠BAE=∠CBF .在△ABE 和△BCF 中,{∠ABE =∠C =90°,AB =BC ,∠BAE =∠CBF ,∴△ABE ≌△BCF (ASA),∴AE=BF .(2)∵△ABE ≌△BCF ,∴CF=BE=2.∵正方形的边长为5,∴AD=CD=5,∴DF=CD -CF=5-2=3.在Rt △ADF 中,AF=√AD 2+DF 2=√52+32=√34.22.解:(1)证明:∵四边形ABCD 为正方形,∴AB=AD ,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°.∵BF ⊥AM ,DE ⊥AM ,∴∠DEA=∠AFB=90°,∴∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE.∴△ABF ≌△DAE ,∴AE=BF .(2)设EF=x ,则AE=x+2,BF=AE=x+2.∵△ABF ≌△DAE ,∴S 四边形ABED =S △BEF +S △ABF +S △DAE =S △BEF +2S △ABF =24,即12x (x+2)+12×2(x+2)×2=24,解得x 1=4,x 2=-10(舍去),∴EF=4,BF=6,∴BE=√42+62=2√13,∴sin ∠EBF=EF BE =2√13=2√1313. 23.[解析](1)要证明BG=DE ,只需证明△BCG ≌△DCE ,利用AAS 或ASA 证明即可;(2)设正方形ABCD 的边长为a ,先求出BG 的长,从而得出CE ,DE 的长,分别利用△ABH ∽△CGH 和△DFG ∽△DCE ,得到HG 和GF 的长,从而求出HGGF 的值. 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴BC=DC ,∠BCD=90°,∴∠DCE=180°-90°=90°,∴∠BCD=∠DCE ,∴∠CBG+∠BGC=90°.∵BF ⊥DE ,∴∠CBG+∠E=90°,∴∠BGC=∠E ,∴△BCG ≌△DCE ,∴BG=DE.(2)设正方形ABCD 的边长为a.∵G 为CD 的中点,∴CG=GD=12a.在Rt △BCG中,BG=√BC 2+CG 2=√a 2+(a 2)2=√52a. ∵△BCG ≌△DCE ,∴CE=CG=a 2,DE=BG=√52a.∵AB ∥DC ,∴△ABH ∽△CGH ,∴BH GH =AB CG =2,∴HG BG =13,∴HG=13BG=13×√52a=√56a. 又∵∠DFG=∠DCE=90°,∠FDG=∠CDE ,∴△DFG ∽△DCE ,∴GF EC =DG DE ,即GF 12a =12a √52a ,解得GF=√510a , ∴HG GF =√56a √510a =53. 24.A 25.3+√15[解析]∵在正方形ABCD 中,AB=3,∴S 正方形ABCD =32=9.∵阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2∶3,∴空白部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为1∶3,∴S 空白=3.∵四边形ABCD 是正方形,∴BC=CD ,∠BCE=∠CDF=90°.又∵CE=DF ,∴△BCE ≌△CDF (SAS),∴∠CBE=∠DCF .∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°,△BCG 是直角三角形.易知S △BCG =S 四边形FGED =32,∴S △BCG =12BG ·CG=32,∴BG ·CG=3.在Rt △BCG 中,根据勾股定理,得BG 2+CG 2=BC 2,即BG 2+CG 2=9,∴(BG+CG )2=BG 2+2BG ·CG+CG 2=9+2×3=15,∴BG+CG=√15,∴△BCG 的周长=BG+CG+BC=3+√15.26.①②③④[解析]∵四边形ABCD 为正方形,EF ∥AD ,∴EF=AD=DC ,∠ACD=45°,∠GFC=90°,∴△GFC 为等腰直角三角形,∴GF=CF ,∴EF -GF=DC -CF ,即EG=DF ,故①正确;∵△CFG 为等腰直角三角形,H 为CG 的中点,∴FH=CH ,∠EFH=∠DCH=45°.又∵EF=DC ,∴△EHF ≌△DHC ,故③正确;∵△EHF ≌△DHC ,∴∠FEH=∠CDH ,∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠FEH+∠ADF -∠CDH=∠AEF+∠ADF=180°,故②正确;∵AE AB =23,∴AE=2BE.在△EGH 和△DFH 中,∵EG=DF ,∠EGH=∠DFH=135°,GH=FH ,∴△EGH ≌△DFH ,∴EH=DH,∠EHG=∠DHF,∴∠EHD=∠EHG+∠AHD=∠AHD+∠DHF=∠AHF=90°,∴△EHD是等腰直角三角形.DH2=13x2,过点H作HM⊥CD于点M,设HM=x,则DM=5x,CD=6x,DH=√26x,∴S△EDH=12S△DHC=1HM·CD=3x2,∴3S△EDH=13S△DHC,故④正确.227.①②④。
2019年中考数学专题《四边形》复习试卷含答案解析
2019年中考数学专题复习卷: 四边形一、选择题1.下列命题正确的是（）A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.正十边形的每一个内角的度数为（）A. B.C.D.3.在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比为1：2：3：3，则∠B的度数为（）A. 30°B. 4 0°C. 80°D. 120°4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点D，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件正确的是（）A. AB=ADB. AC=BDC. ∠ABC=90° D. ∠ABC=∠ADC5.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）。
A.35°B.45°C.55°D.65°6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）。
A.20B.24C.40D.487.如图，在矩形ACBO中，A(－2，0)，B(0，1)．若正比例函数y＝kx的图像经过点C，则k的取值为（）A. －B.C. －2 D. 28.如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是（）A. AB＝EFB. AB＝2EF C. AB＝EF D. AB＝EF9.如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为（）A. 52 B . 48 C.40 D.2010.如图，将一张含有角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若，则的大小为（）A. B.C.D.11.已知图2是由图1七巧板拼成的数字“0”，己知正方形ABCD的边长为4，则六边形EFGHMN的周长为（）A. B.C.D. 1212.如图，在正方形ABCD外侧，作等边△ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（）A. 75°B.60° C. 5 5° D. 45°二、填空题13.四边形的外角和是________度．14.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠D=60°，点E、F分别在边AB、BC上．将△BEF沿着直线EF翻折，点B恰好与边AD的中点G重合，则BE的长等于________15.如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形ABCD的高AE为________cm．16.如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠BAD=120°，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点C作CF∥AE，交AD于点F，则四边形AECF的面积为________．17.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，且点A坐标为（0，4），BC在x轴正半轴上，点C在B点右侧，反比例函数（x＞0）的图象分别交边AD，CD于E，F，连结BF，已知，BC=k，AE= CF，且S四边形ABFD=20，则k=________．18.如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则AFE的度数为________19. 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN= ,则线段BC的长为________.20.如图，矩形ABCD中，BC=4，CD=2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为________．（结果保留π）三、解答题21.如图，，，，在一条直线上，已知，，，连接.求证：四边形是平行四边形.22.如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF=45°。
2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题05 四边形 (原卷版)
A．OM＝12B．MB＝MO（（专题05四边形一、选择题1．（2019山东淄博）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2C．22D．62．（2019山东临沂）如图，在平行四边形A BCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）AC C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND3．2019山东枣庄）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF 的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（）A．4B．25C．6D．264．（2019山东威海）如图，E是ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD5．2019山东潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为△x，ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）4四边形NFB =1：8．上述结论中，所有正确结论的序号是A．B．C．D．6．（2019山东菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为△xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．7．（2019山东泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．2D．228．（2019山东德州）如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AF：FB=1：2，CE⊥DF，垂足为M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接CM．有如下结论：①DE=AF；②AN=2AB；③∠ADF=∠GMF；④△SANF：SC（）A.①②B.①③C.①②③D.②③④二、填空题9．（2019山东济宁）如图，该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是．10．（2019山东枣庄）用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE．图中，∠BAC＝度．11．（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝．D CEA B12．（2019山东威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB ＝BD，则∠ADC＝°．13．（2019山东菏泽）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是．14．（2019 山东青岛）如图，在正方形纸片 A BCD 中，E 是 CD 的中点，将正方形纸片折叠，点 B 落在线段AE 上的点 G 处，折痕为 AF ．若 AD ＝4cm ，则 CF 的长为cm ．15．（2019 山东泰安）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝36 ，BC ＝12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点，将△AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 ．16．（2019 山东滨州）如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC ，BD 交于点 O ，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E ，交 BD 于点 F ，且∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接 OE ．下列结论：①EO ⊥AC ；②S △AOD ＝4△S OCF ；③AC ：BD ＝ 21 ：7；④FB 2＝OF •DF ．其中正确的结论有（填写所有正确结论的序号）DCOFAEB17．（2019 山东潍坊）如图，在矩形 ABCD 中，AD ＝2．将∠A 向内翻折，点 A 落在 BC 上，记为 A ′，折痕为 DE ．若将∠B 沿 EA ′向内翻折，点 B 恰好落在 DE 上，记为 B ′，则 AB ＝ ．（18．（2019 山东泰安）在平面直角坐标系中，直线 l ：y ＝x +1 与 y 轴交于点 A 1，如图所示，依次作正方形OA 1B 1C 1，正方形 C 1A 2B 2C 2，正方形 C 2A 3B 3C 3，正方形 C 3A 4B 4C 4，……，点 A 1，A 2，A 3，A 4，……在直线 l 上，点 C 1，C 2，C 3，C 4，……在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是．三、解答题19．（2019 山东菏泽）如图，四边形 ABCD 是矩形．（1）用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E ，交 CD 于点 F （不写作法，保留作图痕迹）；（2）若 BC ＝4，∠BAC ＝30°，求 BE 的长．20．（2019 山东枣庄）如图，BD 是菱形 ABCD 的对角线，∠CBD ＝75°，（1）请用尺规作图法，作 A B 的垂直平分线 EF ，垂足为 E ，交 AD 于 F ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接 BF ，求∠DBF 的度数．21． 2019 山东青岛）如图，在 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E ，F 分别为 OB ，OD 的中点，延长 AE 至 G ，使 EG ＝AE ，连接 CG ．（△1）求证： ABE ≌△CDF ；（2）当 AB 与 AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF 是矩形？请说明理由．22．（2019山东滨州）如图，矩形A BCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．（1）求证：四边形CEFG是菱形；（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．23．（2019山东聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（△1）ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．24．（2019山东泰安）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．25．（2019山东泰安）如图，四边形A BCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．26．（2019山东潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH ∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（△1）求证：AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．27．（2019山东临沂）如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接△AE，将ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．28．（2019山东威海）如图，在正方形A BCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．（1）求证：CE＝EF；（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（△3）求BEF面积的最大值．29．（2019山东潍坊）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线上，∠BAD＝60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l与点G，延长C′B′交AB于点E，连接△EH．当HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．30．（2019山东济宁）如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．（1）求线段CE的长；（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠D MN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；②是否存在这样的点△M，使D MN是等腰三角形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．31．（2019山东德州）（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）t （（2）将图 1 中的菱形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度，如图 2，求 HD ：GC ：EB ；（3）把图 2 中的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD ：AB =AH ：AE =1：2，此时 HD ：GC ：EB 的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．32．（2019 山东淄博）如图 1，正方形 ABDE 和 BCFG 的边 AB ，BC 在同一条直线上，且 AB ＝2BC ，取EF 的中点 M ，连接 MD ，MG ，MB ．（1）试证明 DM ⊥MG ，并求MB的值．MG（2）如图 2，将图 1 中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中 值有变化吗？若有变化，求出该值（用含 α 的式子表示）；若无变化，说明理由．MBMG的33．（2019 山东青岛）已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACB ＝90°，AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，OD 垂直平分 AC ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P 作 PE ⊥AB ，交 BC于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ，OD 于点 F ，G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 （s ） 0＜t ＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在∠BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S （cm 2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE ，OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．。
2019届中考数学专题《四边形》复习练习(含答案)
四边形一、选择题1.下列命题中，不正确的是（）.A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线互相垂直且平分C. 菱形的对角线互相垂直且平分D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分2.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A. 6B. 5C. 8D. 73.如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A=135°，则∠MCD的度数是（）A. 45°B. 55°C. 65°D. 75°4.一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为2520°，则原多边形边数为（）A. 13B. 15C. 13或15D. 15或16或175.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（）A. AB=CDB. AD=BCC. AB=BCD. AC=BD6.如下图，平行四边形ABCD的周长为40，△BOC的周长比△AOB的周长多10，则AB长为（）A. 20B. 15C. 10D. 57.如图，在□ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（）A. 7 个B. 8个C. 9个D. 11个8.如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于O点.若图中∠1,∠2,∠3,∠4的角度和为220°,则∠BOD的度数为( )A. 40°B. 45°C. 50°D. 60°9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（）A. 6cmB. 5cmC. cmD. 7.5cm10.能够铺满地面的正多边形组合是（）A. 正三角形和正五边形B. 正方形和正六边形C. 正方形和正五边形D. 正五边形和正十边形二、填空题11.一个多边形对角线的数目是边数的2倍，这样的多边形的边数是________ ．12.如图，BD是□ABCD的对角线，点E、F在BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需增加的一个条件是________13.已知平行四边形ABCD中，AB=5，AE平分∠DAB交BC所在直线于点E，CE=2，则AD=________．14.如图：矩形ABCD的对角线相交于点O，AB=4cm，∠AOB=60°，则AD=________ cm．15.八年级（3班）同学要在广场上布置一个矩形花坛，计划用鲜花摆成两条对角线．如果一条对角线用了20盆红花，还需要从花房运来________盆红花．如果一条对角线用了25盆红花，还需要从花房运来________盆红花．16.在正三角形、正方形、正五边形、正六边形中不能镶嵌成一个平面图案的是________ ．17.已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3:4，则菱形面积为________cm2．18.梯形ABCD的底AB的长度等于底CD的2倍，也等于腰AD的2倍，设对角线AC的长为3，腰BC的长为4，则梯形ABCD的高为________．19.如图，在▱ABCD中，AD=4，AB=8，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是________ ．（结果保留π）20.如图所示，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边作等边△ABE和等边△ADF，分别连接CE、CF和EF，则下列结论中一定成立的是________ （把所有正确结论的序号都填在横线上）．①△CDF≌△EBC；②△CEF是等边三角形；③∠CDF=∠EAF；④EF⊥CD．三、解答题21.如图，已知▱ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，分别交BC、AD于E、F．求证：AF=EC．22.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且AB=FC，E为AD上一点，EC交AF于点G，EA=EG．求证：ED=EC．23.如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O ，E ，F分别为OB ，OD的中点，过点O 任作一直线分别交AB ，CD于点G ，H.试说明：GF∥EH.24.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，EF∥AC．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=12，求DE的长及四边形ADEF的面积．25.如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；（3）求四边形EFGH面积的最小值．26.如图，四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．（1）如果∠B+∠C=120°，则∠AED的度数=________．（直接写出结果）（2）根据（1）的结论，猜想∠B+∠C与∠AED之间的关系，并证明．27.如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形。
广西2019届中考数学总复习_第五单元_四边形单元测试卷_含答案
单元测试(五) 四边形(时间：45分钟满分：100分)一、选择题(每小题3分，共24分)1．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是( B )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2．下列四个命题中，正确的是( D )A．菱形的对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．平行四边形的每条对角线平分一组对角D．正方形的对角线互相平分3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为( A )A．4 B．3 C．2 D．14．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是( B )A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AD＝BCC．AB∥CD，∠A＝∠CD．AB∥CD，AB＝CD5．(2016·河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是( C )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形6．(2015·本溪)如图，▱ABCD的周长为20 cm，AE平分∠BAD，若CE＝2 cm，则AB的长度是( D ) A．10 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm7．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为( A )A ．3B ．4C ．5D ．68．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝BF ＝1，CE ，DF 交于点O.下列结论：①∠DOC＝90°；②OC＝OE ；③tan ∠OCD ＝43；④S △ODC ＝S 四边形BEOF 中，正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题(每小题4分，共16分)9．如果菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足(a －5)2＋b －4＝0，那么菱形的面积等于10．10．(2016·巴中)如图，▱ABCD 中，AC ＝8，BD ＝6，AD ＝a ，则a 的取值范围是1<a<7．11．(2015·本溪)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE ＝125．12．(2016·岑溪一模)如图，正方形ABCD 的边长为8，O 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PO ＋PB 的最小值为45．三、解答题(共60分)13．(10分)在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点O 作直线EF 分别交线段AD ，BC 于点E ，F. (1)根据题意，画出图形，并标上正确的字母； (2)求证：DE ＝BF.解：(1)如图所示．(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，OB ＝OD. ∴∠EDO ＝∠OFB.在△DOE 和△BOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOD ＝∠FOB ，OD ＝OB ，∠EDO ＝∠FBO ，∴△DOE ≌△BOF (ASA )． ∴DE ＝BF.14．(12分)如图，已知点E ，F 分别是▱ABCD 的边BC ，AD 的中点，且∠BAC＝90°. (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若∠B＝30°，BC ＝10，求菱形AECF 面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD 綊BC.∵E ，F 分别为BC ，AD 中点．∴AF 綊EC.∴四边形AECF 为平行四边形．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，点E 是BC 边的中点，∴AE ＝12BC ＝CE.∴AE ＝CE ＝CF ＝AF. ∴四边形AECF 是菱形． (2)方法一：在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°∠B ＝30°，BC ＝10∴AC ＝12BC ＝5，AB ＝3AC ＝5 3.∵E 是BC 中点， ∴S △ABE ＝S △AEC .∴S 菱形AECF ＝S △ABC ＝12×5×53＝2532.方法二：∵四边形ABCD 是▱，E ，F 分别为BC ，AD 中点． ∴四边形AFEB 也是平行四边形． ∴EF ＝AB ＝5 3. ∵E 是BC 中点， ∴S △ABE ＝S △AEC .∴S 菱形AECF ＝S △ABC ＝12×5×53＝2532.15．(12分)(2015·鄂州)如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，连接BE ，CE. (1)求证：BE ＝CE ； (2)求∠BEC 的度数．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°. ∵三角形ADE 为等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠EAD ＝∠EDA ＝60°. ∴∠BAE ＝∠CDE ＝150°. 在△BAE 和△CD E 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DC ，∠BAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△BAE ≌△CDE (SAS )． ∴BE ＝CE.(2)∵AB ＝AD ，AD ＝AE ， ∴AB ＝AE. ∴∠ABE ＝∠AEB. 又∵∠BAE ＝150°， ∴∠ABE ＝∠AEB ＝15°. 同理：∠CED ＝15°.∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°.16．(12分)如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.(1)求证：AE＝DF；(2)若添加条件∠BAC＝90°(答案不唯一)，则四边形AEDF是矩形；若添加条件AD平分∠BA C(答案不唯一)，则四边形AEDF是菱形；若添加条件△AED是等腰直角三角形且∠AED＝90°(答案不唯一)，则四边形AEDF是正方形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE＝DF.17．(14分)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4.(1)求证：BE＝DE；(2)求△BED的面积．解：(1)证明：∵△BDC′是由△BDC沿直线BD折叠得到的，∴∠C′BD＝∠CBD.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠CBD＝∠EDB.∴∠C′BD＝∠EDB.∴BE＝DE.(2)设DE＝x，则AE＝AD－DE＝8－x.∵∠A＝90°，BE＝DE＝x，∴BE 2＝AB 2＋AE 2，即x 2＝42＋(8－x )2. ∴x ＝5.∴S △BED ＝12DE·AB ＝12×5×4＝10.。
(完整版)2019年中考数学专题复习第二十讲多边形与平行四边形(含详细参考答案)
2019 年中考数学专题复习第五章四边形第二十讲多边形与平行四边形【基础知识回顾】一、多边形：1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段相连组成的图形叫做多边形，各边相等、也相等的多边形叫做正多边形2、多边形的内外角和：n(n≥3)的内角和是外角和是正n 边形的每个外角的度数是，每个内角的度数是。
3、多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n 边形的一个顶点出发有条对角线，将多边形分成个三角形，一个n 边形共有条对边线【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n 边形共有条对称轴，边数为数的正多边形也是中心对称图形】二、平面图形的密铺：1、定义：用、完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间、地铺成一起，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的。
2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用、或⑵用两种正多边形密铺，组合方式有：和、和、和等几种【名师提醒：能密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于并使相等的边互相平合】三、平行四边形1、定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD 可表示为2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别⑵平行四边形的两组对角分别⑶平行四边形的对角线【名师提醒：1、平行四边形是对称图形，对称中心是过对角线交点的任一直线被一组对边截得的线段该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】3、平行四边形的判定：⑴用定义判定⑵两组对边分别的四边形是平行四边形⑶一组对边的四边形是平行四边形⑷两组对角分别的四边形是平行四边形⑸对角线的四边形是平行四边形【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形都不能保证是平行四边形】4、平行四边形的面积：计算公式×同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段两平行线之间的距离处处】【重点考点例析】考点一：多边形内角和、外角和公式例1 （2018•铜仁市）如果一个多边形的内角和是外角和的3 倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9C．10 D．11【思路分析】根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．【解答】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．考点二：平行四边形的性质例2 （2018•青岛）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC 与BD 相交于点E，点G 为AD 的中点，连接CG，CG 的延长线交BA 的延长线于点F，连接FD．（1）求证：AB=AF；（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF 的形状，并证明你的结论．【思路分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD 即可解决问题；（2）结论：四边形ACDF 是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠AFC=∠DCG，∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，∴△AGF≌△DGC，∴AF=CD，∴AB=AF．（2）解：结论：四边形ACDF 是矩形．理由：∵AF=CD，AF∥CD，∴四边形ACDF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠BAD=∠BCD=120°，∴∠FAG=60°，∵AB=AG=AF，∴△AFG 是等边三角形，∴AG=GF，∵△AGF≌△DGC，∴FG=CG，∵AG=GD，∴AD=CF，∴四边形ACDF 是矩形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．考点三：平行四边形的判定例3 （2018•东营）如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD 是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BFC．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【思路分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB 即可解决问题；【解答】解：正确选项是D．理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，∴CD=BF，∵BF=AB，∴CD=AB，∴四边形ABCD 是平行四边形．故选：D．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【备考真题过关】一、选择题1．（2018•北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（）A．360°B．540°C．720°D．900°2.（2018•乌鲁木齐）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（）A．4 B．5C．6 D．73.（2018•济宁）如图，在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P 的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°4.（2018•台州）正十边形的每一个内角的度数为（）A．120°B．135°C．140°D．144°5.（2018•宁波）如图，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1 的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．20°6.（2018•黔南州）如图在▱ABCD 中，已知AC=4cm，若△ACD 的周长为13cm，则▱ABCD 的周长为（）A．26cm B．24cmC．20cm D．18cm7.（2018•泸州）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，E 是AB 中点，且AE+EO=4，则▱ABCD 的周长为（）A．20 B．16C．12 D．88.（2018•玉林）在四边形ABCD 中：①AB∥CD②AD∥BC③AB=CD④AD=BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD 为平行四边形的选法共有（）A．3 种B．4 种C．5 种D．6 种9.（2018•呼和浩特）顺次连接平面上A、B、C、D 四点得到一个四边形，从①AB∥CD②BC=AD③∠A=∠C④∠B=∠D 四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况共有（）A．5 种B．4 种C．3 种D．1 种10.（2018•眉山）如图，在▱ABCD 中，CD=2AD，BE⊥AD 于点E，F 为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（）DEBCA．1 个B．2 个C．3 个二、填空题11．（2018•宿迁）若一个多边形的内角和是其外角和的3 倍，则这个多边形的边数是．12. （2018•山西）图1 是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2 是从图1 冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．13. （2018•抚顺）将两张三角形纸片如图摆放，量得∠1+∠2+∠3+∠4=220°，则∠5= ．14.（2018•十堰）如图，已知▱ABCD 的对角线AC，BD 交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则△OCD 的周长为．215.（2018•株洲）如图，在平行四边形ABCD 中，连接BD，且BD=CD，过点A 作AM⊥BD 于点M，过点D 作DN⊥AB 于点N，且DN=3 ，在DB 的延长线上取一点P，满足∠ABD=∠MAP+∠PAB，则AP= ．16.（2018•泰州）如图，▱ABCD 中，AC、BD 相交于点O，若AD=6，AC+BD=16，则△BOC 的周长为．17.（2018•无锡）如图，已知∠XOY=60°，点A 在边OX 上，OA=2．过点A 作AC⊥OY 于点C，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC，点P 是△ ABC 围成的区域（包括各边）内的一点，过点P 作PD∥OY 交OX 于点D，作PE∥OX 交OY 于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b 的取值范围是．三、解答题18.（2018•岳阳）如图，在平行四边形ABCD 中，AE=CF，求证：四边形BFDE 是平行四边形．19.（2018•宿迁）如图，在▱ABCD 中，点E、F 分别在边CB、AD 的延长线上，且BE=DF，EF 分别与AB、CD 交于点G、H．求证：AG=CH．20.（2018•临安区）已知：如图，E、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．21.（2018•福建）如图，▱ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，EF 过点O 且与AD，BC 分别相交于点E，F．求证：OE=OF．22.（2018•大庆）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D、E 分别是AB、AC 的中点，连接CD，过 E 作EF∥DC 交BC 的延长线于F．（1）证明：四边形CDEF 是平行四边形；（2）若四边形CDEF 的周长是25cm，AC 的长为5cm，求线段AB 的长度．23. （2018•永州）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F．（1）求证：四边形BCFD 为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形BCFD 的面积．2019 年中考数学专题复习第五章四边形第二十讲多边形与平行四边形参考答案【备考真题过关】一、选择题1.【思路分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2 倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°=6，该正多边形的内角和为：（6-2）×180°=720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答本题的关键．2.【思路分析】根据内角和定理180°•（n-2）即可求得．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n-2）•180°，∴（n-2）×180°=720°，解得n=6，∴这个多边形的边数是6．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理即180°•（n-2），难度适中．3.【思路分析】先根据五边形内角和求得∠ECD+∠BCD，再根据角平分线求得∠PDC+∠PCD，最后根据三角形内角和求得∠P 的度数．【解答】解：如图，∵在五边形ABCDE 中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠ECD+∠BCD=240°，又∵DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP 中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180（n≥3 且n 为整数）．4.【思路分析】利用正十边形的外角和是360 度，并且每个外角都相等，即可求出每个外角的度数；再根据内角与外角的关系可求出正十边形的每个内角的度数；【解答】解：∵一个十边形的每个外角都相等，∴十边形的一个外角为360÷10=36°．∴每个内角的度数为180°-36°=144°；故选：D．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系．多边形的外角性质：多边形的外角和是360 度．多边形的内角与它的外角互为邻补角．5.【思路分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA 的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，∴∠BCA=180°-60°-80°=40°，∵对角线AC 与BD 相交于点O，E 是边CD 的中点，∴EO 是△DBC 的中位线，∴EO∥BC，∴∠1=∠ACB=40°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理、三角形中位线定理等知识，得出EO 是△DBC 的中位线是解题关键．6.【思路分析】根据三角形周长的定义得到AD+DC=9cm．然后由平行四边形的对边相等的性质来求平行四边形的周长．【解答】解：∵AC=4cm，若△ADC 的周长为13cm，∴AD+DC=13-4=9（cm）．又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∴平行四边形的周长为2（AB+BC）=18cm．故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质．此题利用了“平行四边形的对边相等”的性质．7.【思路分析】首先证明：1，由AE+EO=4，推出AB+BC=8 即可解决问题；OE= BC2【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴1OE= BC，2∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD 的周长=2×8=16，故选：B．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．8.【思路分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、③④、①③、③④均可判定是平行四边形．【解答】解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4 种，分别是：①②、③④、①③、③④．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有：1、四边形的两组对边分别平行；2、一组对边平行且相等；3、两组对边分别相等；4、对角线互相平分；5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．本题利用了第1，2，3 种来判定．9.【思路分析】根据平行四边形的判定定理可得出答案．【解答】解；当①③时，四边形ABCD 为平行四边形；当①④时，四边形ABCD 为平行四边形；当③④时，四边形ABCD 为平行四边形；故选：C．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．10.【思路分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G，取AB 的中点H 连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH 是菱形即可解决问题；【解答】解：如图延长EF 交BC 的延长线于G，取AB 的中点H 连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S 四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH 是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选：D．【点评】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二、填空题11.【思路分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n 边形的内角和是（n-2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n-2）•180=3×360，解得n=8．则这个多边形的边数是8．【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．12.【思路分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【解答】解：由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为：360°．【点评】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．13.【思路分析】直接利用三角形内角和定理得出∠6+∠7 的度数，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∠1+∠2+∠6=180°，∠3+∠4+∠7=180°，∵∠1+∠2+∠3+∠4=220°，∴∠1+∠2+∠6+∠3+∠4+∠7=360°，∴∠6+∠7=140°，2 2 2 ∴∠5=180°-（∠6+∠7）=40°． 故答案为：40°．【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，正确应用三角形内角和定理是解 题关键．14. 【思路分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，∴△OCD 的周长=5+4+5=14，故答案为 14．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟 练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．15. 【思路分析】根据 BD=CD ，AB=CD ，可得 BD=BA ，再根据AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，即可得到 DN=AM=3 ，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB ，∠ABD=∠P+∠BAP ，即可得到△APM 是等腰直角三角形，进而得到 AP= AM=6．【解答】解：∵BD=CD ，AB=CD ，∴BD=BA ，又∵AM ⊥BD ，DN ⊥AB ，∴DN=AM=3 ，又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB ，∠ABD=∠P+∠BAP ，∴∠P=∠PAM ，∴△APM 是等腰直角三角形，2∴AP= AM=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解决问题给的关键是判定△APM 是等腰直角三角形．16.【思路分析】根据平行四边形的性质，三角形周长的定义即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC 的周长=BC+OB+OC=6+8=14，故答案为14．【点评】本题考查平行四边形的性质．三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【思路分析】作辅助线，构建30 度的直角三角形，先证明四边形EODP 是平行四边形，得EP=OD=a，在Rt△HEP 中，∠EPH=30°，可得EH 的长，计算a+2b=2OH，确认OH 最大和最小值的位置，可得结论．【解答】解：过P 作PH⊥OY 交于点H，∵PD∥OY，PE∥OX，∴四边形EODP 是平行四边形，∠HEP=∠XOY=60°，∴EP=OD=a，Rt △HEP 中，∠EPH=30°，∴ 1 1 EH= EP= a ， 2 2 ∴a+2b=2（ 1 a+b ）=2（EH+EO ）=2OH ， 2 当 P 在 AC 边上时，H 与 C 重合，此时 OH 的最小值 1，即 a+2b 的 最小值是 2； 当 P 在点 B 时，OH 的最大值是：1+ 3 2 =OC= OA=1 2= 5 ，即（a+2b ）的最大值是 5， 2∴2≤a+2b≤5．【点评】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形 30 度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认 a+2b 的最值就是确认 OH 最值的范围．三、解答题18. 【思路分析】首先根据四边形 ABCD 是平行四边形，判断出 AB ∥CD ，且AB=CD ，然后根据 AE=CF ，判断出 BE=DF ，即可推得四边形 BFDE 是平行四边形．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，且 AB=CD ，又∵AE=CF ，∴BE=DF ，∴BE ∥DF 且 BE=DF ，∴四边形 BFDE 是平行四边形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理 1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理 2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③ 判定定理 3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理⎨ ⎩4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理 5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．19. 【思路分析】利用平行四边形的性质得出 AF=EC ，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．【解答】证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A=∠C ，AD ∥BC ，∴∠E=∠F ，∵BE=DF ，∴AF=EC ，⎧∠A ＝∠C 在△AGF 和△CHE 中⎪ AF ＝EC ， ⎪∠F ＝∠E ∴△AGF ≌△CHE （ASA ），∴AG=CH ．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．20. 【思路分析】（1）要证△ADF ≌△CBE ，因为 AE=CF ，则两边同时加上EF ，得到 AF=CE ，又因为 ABCD 是平行四边形，得出AD=CB ，∠DAF=∠BCE ，从而根据 SAS 推出两三角形全等；（2）由全等可得到∠DFA=∠BEC ，所以得到 DF ∥EB ．【解答】证明：（1）∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+FE ，即 AF=CE ．又 ABCD 是平行四边形，∴AD=CB ，AD ∥BC ．∴∠DAF=∠BCE．在△ADF 与△CBE中AF＝CE∠DAF＝∠BCEAD＝CB，∴△ADF≌△CBE（SAS）．（2）∵△ADF≌△CBE，∴∠DFA=∠BEC．∴DF∥EB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．21.【思路分析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF（ASA），则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE 和△OCF 中，∠OAE＝∠OCFOA＝OC∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE=OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．22.【思路分析】（1）由三角形中位线定理推知ED∥FC，2DE=BC，然后结合已知条件“EF∥DC”，利用两组对边相互平行得到四边形DCFE 为平行四边形；（2）根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2DC，即可得出四边形DCFE 的周长=AB+BC，故BC=25-AB，然后根据勾股定理即可求得；【解答】（1）证明：∵D、E 分别是AB、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，∴ED 是Rt△ABC 的中位线，∴ED∥FC．BC=2DE，又EF∥DC，∴四边形CDEF 是平行四边形；（2）解：∵四边形CDEF 是平行四边形；∴DC=EF，∵DC 是Rt△ABC 斜边AB 上的中线，∴AB=2DC，∴四边形DCFE 的周长=AB+BC，∵四边形DCFE 的周长为25cm，AC 的长5cm，∴BC=25-AB，∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25-AB）2+52，解得，AB=13cm，【点评】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．23.【思路分析】（1）在Rt△ABC 中，E 为AB 的中点，则1 1CE= AB，BE= AB，得到∠BCE=∠EBC=60°．由△AEF≌△BEC，得2 2∠AFE=∠BCE=60°．又∠D=60°，得∠AFE=∠D=60 度．所以FC∥BD，又因为∠BAD=∠ABC=60°，所以AD∥BC，即FD∥BC，则四边形BCFD 是平行四边形．（2）在Rt△ABC 中，求出BC，AC 即可解决问题；【解答】（1）证明：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD 中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E 为AB 的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．在△ABC 中，∠ACB=90°，E 为AB 的中点，3 3 3 3 ∴ 1 1 CE= AB ，BE= AB ．2 2∴CE=AE ，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF ≌△BEC ，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC ∥BD ．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD ∥BC ，即 FD ∥BC ．∴四边形 BCFD 是平行四边形．（2）解：在 Rt △ABC 中，∵∠BAC=30°，AB=6， ∴ 1 BC= AB=3，AC= BC=3 ， 2∴S 平行四边形 BCFD =3×3 =9 ．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等 三角形解决问题，属于中考常考题型．。
课标通用安徽省2019年中考数学总复习单元检测5四边形试题解析版
3
7
2-1
A.4
B.16
C. 2
D. 2-1
答案 D
解析∵正方形 ABCD 的边长为 1,∴∠DCA=45°,AC= 2.又∵正方形 AB1C1D1 是由正方形 ABCD 旋转 45°
而得到的,∴∠OB1C=90°,B1C=
2-1.∴四边形
AB1OD
S 的面积=S△ADC-
△
B1OC
=
1
1
2×1×1-2×(
答案 5.5 或 0.5
1
解析如图 1,当 E 在线段 AD 上时,在菱形 ABCD 中,BE=BC=EF=5,因为 M 是 EF 的中点,所以 EM=2EF=2.5.在
矩形 ABCD 中,∠A=90°,AB=4.在 Rt△ABE 中,由勾股定理得 AE= BE2 - AB2=3,所以 AM=AE+EM=5.5;如 图 2,当点 E 在线段 AD 外时,同理可求 AM=EM-AE=3-2.5=0.5.故选填 5.5 或 0.5.
A.4
B.5Leabharlann 34C. 2D. 34
答案 B 解析∵四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥CD,AB=CD,点 O 是 AC 的中点. ∵OE∥AB,∴OE∥CD, ∴OE 是△ACD 的中位线, ∴CD=2OE=6,∴AB=6. 在 Rt△ABC 中,AB=6,BC=8,∴AC=10. ∵OB 是 Rt△ABC 斜边的中线,
A.24 答案 B
B.25
C.26
D.27
解析设长方形纸片长、宽分别为 x、y,正方形纸片边长为 z,
∵四边形 OPQR 是正方形,
∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①; ∵▱KLMN 的面积为 50,
中考数学专题复习 第五单元 四边形 第26课时 正方形及中点四边形数学课件
.
第十三页，共二十三页。
课堂考点探究
[答案] ①③④
[解析] ①有一个角是直角的平行四边形是矩形;有一组邻边相等的矩形是正方形,即①正确;
②BD 为平行四边形的对角线,AB 为平行四边形的其中一条边,所以 AB=BD 时,平行四边形不可能是正方形,即②错误;
③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形.由题意 OB=OC,得 AC=BD,由 OB⊥OC 得 AC⊥BD,即平行四边形 ABCD
正方形的性质 (3)正方形四个角都是② 直角
(4)正方形对角线相等且互相③垂直平分 ,每条对角线平分一组对角
(5)正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是对角线的交点
正方形的判定
(1)有一组邻边相等的④
矩形
(2)有一个角是直角的⑤ 菱形
是正方形
是正方形
第二页，共二十三页。
课前双基巩固
∴AB= 5EF.故选择 D.
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课堂考点探究
探究四 四边形的折叠(zhédié)问题
【命题(mìng tí)角度】
(1)求四边形折叠问题中的角度;
(2)求四边形折叠问题中的线段长;
(3)探究四边形折叠问题中的最值问题.
例 4 如图 26-9,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,将矩形折叠,使点 C 与点 A 重合,则折痕 EF 的长为
∴EF=EN=NM=MF,∠ENA=∠DMN.
∴四边形 EFMN 是菱形.
∵∠ENA=∠DMN,∠DMN+∠DNM=90°,
∴∠ENA+∠DNM=90°,∴∠ENM=90°,
图 26-1
∴四边形 EFMN 是正方形.
中考数学复习方案 第五单元 四边形 第25课时 正方形及中点四边形课件
∴∠BCE=30°,∴CE=2BE,由平移知DM=CE=2BE.∴①正确.
连接HM,BD,BD与AC交于点O,易证△BEH≌△MAH,∴HM=HB=HD,
∠MHA=∠BHE=∠OBH=∠ODH,
又∵∠ODH+∠OHD=90°,∴∠OHD+∠AHM=90°,
∠ = ∠,
∴△ ABM≌△BCE(ASA),
∴AM=BE=GH=12 cm.
4.[八下P63实验与探究]如图25-4,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正
方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕
点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的
[解析]∵点 E,F,G,H 分别是四边形
AD, BD,BC,AC的中点,连接EF,FG,GH,HE, ABCD 中 AD,BD,BC,CA 的中点,
则四边形EFGH的形状是
(
A.平行四边形
1
1
2
2
∴EF=GH= AB,EH=FG= CD,
∵AB=CD,∴EF=FG=GH=EH,
B.矩形
∴四边形 EFGH 是菱形,故选 C.
形形状的判定依据主要是三角形的中位线定理.常见结论如下:
原四边形的形状
中点四边形的形状
任意四边形
⑧ 平行四边形
平行四边形
平行四边形
矩形
菱形
菱形
⑨
矩形
正方形
⑩
正方形
对点演练
题组一
必会题
1.[2019·雅安]如图25-1,在四边形ABCD中, [答案] C
九年级数学 第五单元 四边形复习 北师大版
防错 提醒
能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的 几个角的和等于360°，但注意正五边形和正十边形 虽在同一顶点处可得n个角的和等于360°，但它们
不能镶嵌
第25课时┃ 考点聚焦
考点3 平行四边形的定义与性质
定义 性质 总结
两组对边分别平行的四边形是平行四边形 (1)平行四边形的两组对边分别__平__行____； (2)平行四边形的两组对边分别__相__等____； (3)平行四边形的两组对角分别__相__等____； (4)平行四边形的对角线互相__平__分____； (5)平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是
第25课时 多边形与平行四边形 第26课时 矩形、菱形、正方形 第27课时 梯形
第25课时┃多边形与平行四边形
第25课时┃ 冀考解读
冀考解读
考点梳理
考纲要求
平面图形的镶嵌 了解
多边形的内角 和与外角和
掌握
平行四边形的性质 掌握
平行四边形的判定 应用
常考题型 填空选择
填空选择
填空选择 解答题
2013热度预测 ☆
第25课时┃ 考点聚焦 考点2 平面图形的镶嵌
定义
用__形__状__、__大__小__完全相同的一种或几种 _平__面__图__形___进行拼接，彼此之间不留空隙、 不重叠地铺成一片，就是平面图形的_镶__嵌___
平面镶嵌 的条件
在同一顶点的几个角的和等于360°
第25课时┃ 考点聚焦
常见 形式
间距离
条直线上的距离叫做两条平行线间的距离
推论
夹在两条平行线间的平行线段__相___等___
第25课时┃ 冀考探究
冀考探究
中考数学一轮复习课件：第26课时 正方形及中点四边形
课堂考点探究
课堂考点探究 探究三 中点四边形
【命题角度】 (1)判断并证明中点四边形的形状是平行四边形; (2)证明对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形.
图26-6
课堂考点探究
课堂考点探究
针对训练
图26-7
课堂考点探究
图26-8
课堂考点探究
探究四 四边形的折叠问题
【命题角度】 (1)求四边形折叠问题中的角度; (2)求四边形折叠问题中的线段长; (3)探究四边形折叠问题中的最值问题.
课堂考点探究
[方法模型] 折叠的实质是轴对称,折叠前后对应部分重合,即对应角相等,对应边相等,对应图形全等.
课堂考点探究
针对训练
课堂考点探究
UNIT FIVE 第五单元 四边形
第 26 课时 正方形及中点四边形
课前双基巩固
考矩形 菱形
课前双基巩固
课前双基巩固 考点二 中点四边形
菱形 矩形 正方形
菱形 矩形
课前双基巩固
对点演练
题组一 教材题
课前双基巩固
课前双基巩固
题组二 易错题
【失分点】 在原四边形的基础上增加条件判定正方形知识混乱;对各 类四边形各自的中点四边形的判定出现错误.
课前双基巩固
课堂考点探究 探究一 正方形的性质
【命题角度】 (1)正方形结合等腰三角形的性质求角度或线段的长; (2)应用正方形的对称性解决线段求值或线段和(差) 的最值问题.
图26-4
课堂考点探究
图26-4
课堂考点探究
针对训练
图26-5
课堂考点探究
图26-5
课堂考点探究
探究二 正方形的判定