【全程复习方略】(全国通用)高考数学 6.4 基本不等式练习
基本不等式习题及答案
基本不等式习题及答案基本不等式习题及答案不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数值之间的大小关系。
在初等数学中，我们学习了许多基本的不等式，它们在解决实际问题和推导其他数学知识时起着重要的作用。
在本文中，我们将探讨一些基本的不等式习题，并给出相应的答案。
1. 习题一：证明对于任意的正实数a和b，有(a+b)² ≥ 4ab。
解答：我们可以使用平方差公式来证明这个不等式。
根据平方差公式，我们有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
由于a和b都是正实数，所以a²和b²都大于等于0。
因此，我们只需要证明2ab大于等于0即可。
由于a和b都是正实数，所以它们的乘积ab也是正实数。
根据乘法的性质，正实数的乘积仍然是正实数，因此2ab大于等于0。
所以，我们证明了(a+b)²≥ 4ab。
2. 习题二：证明对于任意的正实数a，b和c，有(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
解答：我们可以使用AM-GM不等式来证明这个不等式。
根据AM-GM不等式，对于任意的正实数x和y，有(x+y)/2 ≥ √(xy)。
将x替换为a+b，y替换为b+c，我们有(a+b+b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
进一步简化得到(a+2b+c)/2 ≥ √((a+b)(b+c))。
同样地，将x替换为b+c，y替换为c+a，我们有(b+c+c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
进一步简化得到(2b+2c+a)/2 ≥ √((b+c)(c+a))。
将x替换为c+a，y替换为a+b，我们有(c+a+a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
进一步简化得到(2c+2a+b)/2 ≥ √((c+a)(a+b))。
将上述三个不等式相乘，我们得到((a+2b+c)/2)((2b+2c+a)/2)((2c+2a+b)/2) ≥ (√((a+b)(b+c)))(√((b+c)(c+a)))(√((c+a)(a+b)))。
高中全程复习方略数学课件：第六章 不等式、推理与证明 6.4
解析：(1)设商品的销售价格提高 a 元， 则(10－a)(5＋a)≥50，解得 0≤a≤5. 所以商品的价格最多可以提高 5 元． (2)由题意知，技术革新后的销售收入为 mx 万元， 若技术革新后的销售收入等于原销售收入与总投入之和，只需
(2)对任意 x∈N*，f(x)≥3，即x2＋xa＋x＋1 11≥3 恒成立，即 a≥－
x＋8x＋3.设 g(x)＝x＋8x，x∈N*，则 g(x)＝x＋8x≥4 2，当 x＝2 2时 等号成立，又 g(2)＝6，g(3)＝137.
∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝137.∴－x＋8x＋3≤－83， ∴a≥－83，故 a 的取值范围是－83，＋∞.
3．设 0<x<32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________．
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋32－2x2＝92， 当且仅当 2x＝3－2x，即 x＝34时，等号成立． 又∵34∈0，23， ∴函数 y＝4x(3－2x)0<x<32的最大值为92. 答案：92
2．(2017·山东卷)若直线ax＋by＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则 2a＋b 的最小值为________．
解析：∵直线ax＋by＝1(a>0，b＞0)过点(1,2)， ∴1a＋2b＝1，
∴2a＋b＝(2a＋b)1a＋2b＝4＋4ba＋ba≥4＋2 4ba·ba＝8， 当且仅当ba＝4ba，即 a＝2，b＝4 时，等号成立． 故 2a＋b 的最小值为 8. 答案：8
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行
【全程复习方略】高考数学 6.3基本不等式课时提升作业 理 北师大版
【全程复习方略】2014版高考数学 6.3基本不等式课时提升作业理北师大版一、选择题1.设0<a<b,则下列不等式中正确的是( )(A)a<b<<(B)a<<<b(C)a<<b<(D)<a<<b2.(2013·南昌模拟)函数y=log a(x+3)-1(a>0,且a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则+的最小值等于( )(A)16 (B)12 (C)9 (D)83.(2012·湖北高考)设a,b,c∈R,则“abc=1”是“++≤a+b+c”的( )(A)充分条件但不是必要条件(B)必要条件但不是充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要的条件4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= ( )(A)20 (B)10 (C)16 (D)85.(2013·抚州模拟)设a>0,b>0,若是3a与3b的等比中项,则+的最小值为( )(A)8 (B)4 (C)2 (D)16.(2012·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则( )(A)a<v<(B)v=(C)<v<(D)v=7．已知x,y均为正数，且x≠y，则下列四个数中最大的一个是( )(A)111()2x y+(B)1x y+8.(2013·南昌模拟)设x,y是满足2x+y=20的正数,则lgx+lg(2y)的最大值为( )(A)50 (B)2(C)1+lg5 (D)19．若a>0,b>0,且a+b=1，则1abab+的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)174(D)10.(2013·余姚模拟)已知f(x)=log2(x-2),若实数m,n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值为( )(A)5 (B)7 (C)8 (D)9二、填空题11.(2013·淮南模拟)设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2,则+的最大值为.12.若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是.13.(2013·淮北模拟)已知x＞0，y＞0，若2y8xx y+＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是________.14.若当x>1时不等式>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.三、解答题15.(能力挑战题)某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的污水处理池,池的深度一定(平面图如图所示),如果池围墙建造单价为400元/米,中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价.(2)若由于地形限制,设池的长和宽都不能超过16米,试设计该水池的长和宽,使总造价最低.答案解析1.【解析】选B.方法一:令a=1,b=4,则=2,=,∴a<<<b.方法二:∵0<a<b,∴a2<ab,∴a<,a+b<2b,∴<b,∴a<<<b.【变式备选】下列结论中正确的是( )(A)若3a+3b≥2,则必有a>0,b>0(B)要使+≥2成立,必有a>0,b>0(C)若a>0,b>0,且a+b=4,则+≤1(D)若ab>0,则≥【解析】选D.当a,b∈R时,一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b≥2,A错.要使+≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,B错.当a>0,b>0,且a+b=4时,则+=,由于ab≤()2=4,所以+=≥1,C错.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以≤=,而当a<0,b<0时,显然有>,所以当ab>0时,一定有≥,故D正确.2.【解析】选D.由题意A(-2,-1),∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.∴+=(+)(2m+n)=4++≥8.当且仅当n=2m时取等号.3.【解析】选A.由于++=≤=.可知当abc=1时,可推出++≤a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,满足++≤a+b+c,但abc=1不成立.4.【解析】选A.该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,故一年的总运费与总存储费用之和为(·4+4x)万元. 而·4+4x ≥2=160,当且仅当=4x,即x=20时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 5.【解析】选B.由题意3=3a ·3b =3a+b ,∴a+b=1,∴+=(+)(a+b)=2++≥4,当且仅当=,a=b 时取等号.6.【解析】选A.设甲乙两地的路程为s,则往返时间分别是t 1=,t 2=,所以平均速度是v===,因为a<b,所以>a,<,即a<v<. 7.【解析】选A.取x=1,y=2，可得1113111()2x y 4x y 32+====+，，，因此最大的是111()2x y+，故选A. 8.【解析】选B.∵20=2x+y ≥2,∴2xy ≤100, ∴lgx+lg(2y)=lg(2xy)≤lg100=2.当且仅当2x=y 时取等号.9.【思路点拨】由已知利用基本不等式得ab 的取值范围而后换元利用函数的单调性求解.【解析】选C.由a+b=1，a>0,b>0得a+b=1,12,∴ab ≤14. 令ab=t,则0<t ≤14, 则ab+1ab =t+1t ，结合函数的图像可知t+1t 在(0,14］上是单调减小的，故当t=14时,t+1t有最小值为14+4=174. 10.【解析】选B.由已知得log 2(m-2) +log 2(2n-2)=3,即log 2[(m-2)(2n-2)]=3, 因此于是n=+1.所以m+n=m++1=m-2++3≥2+3=7.当且仅当m-2=,即m=4时等号成立,此时m+n 取最小值7.11.【解析】由题意x=log a3,y=log b3.∴+=+=log3a+log3b=log3(ab). ∵2=a+b≥2,∴ab≤3,∵+≤log33=1,当且仅当a=b时取等号.∴+的最大值为1.答案：112.【解析】∵x>0,∴x+≥2(当且仅当x=1时取等号),∴=≤=,∴()max=,∴a≥.答案：a≥【方法技巧】根据恒成立求参数的方法(1)若a≥f(x)恒成立,只需a≥f(x)max.(2)若a≤f(x)恒成立,只需a≤f(x)min.即将求参数的范围问题转化为求函数的最值问题来解决.13.【解析】∵2y8x8 x y y+≥=，当且仅当2y8xx y=，即y=2x时等号成立，∴m2+2m＜8，即m2+2m-8＜0，解得-4＜m＜2.答案：(-4，2)14.【思路点拨】关键是用基本不等式求的最小值,可将其分子按照分母x-1进行配方,然后分解为3项,再利用基本不等式求最值.【解析】由于==(x-1)++2≥2+2=6,当且仅当x=3时取等号,所以要使不等式恒成立,应有m2+1<6,解得-<m<.答案：-<m<15.【解析】(1)设污水处理池的宽为x米,则长为米,则总造价f(x)=400×(2x+2×)+248×2x+80×162=1296x++12960=1296(x+)+12960≥1296×2+12960=38880(元).当且仅当x=,x=10时取等号.∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38880元.(2)由限制条件知∴10≤x≤16.设g(x)=x+(10≤x≤16),∴g(x)在[10,16]上是增函数,∴当x=10时(此时=16),g(x)取最小值,即f(x)取最小值.∴当长为16米,宽为10米时,总造价最低.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：6.4基本不等式Word版含答案
1．基本不等式(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．知识点 基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．必记结论 活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．[自测练习]1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋bab≥2C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b2≥lg a ＋lg bD ．若x ∈R ，则x 2＋1x 2＋1>1解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b2≥ab .∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lgB.答案：C2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1x －2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2(－x )·1(－x )－2＝－4，当且仅当－x ＝－1x，即x ＝－1时等号成立．答案：C3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0<x <π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋1解析：∵y ＝x ＋4x 中x 可取负值，∴其最小值不可能为4； 由于0<x <π，∴0<sin x ≤1， ∴y ＝sin x ＋4sin x>2sin x ·4sin x＝4，其最小值大于4；由于e x >0，∴y ＝e x ＋4e －x ≥2e x ·4e －x ＝4，当且仅当e x ＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1，∴y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C4．已知x >1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析：∵x >1，∴x －1>0，∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥4＋1＝5，当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．答案：5考点一 利用基本不等式证明简单不等式|(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2.[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋ab.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”．∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．(2)由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab， 当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．考点二 利用基本不等式求最值|(1)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 3C ．2 2D ．4(2)(2015·高考重庆卷)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________．[解析] (1)由lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2得，2x ×23y ＝2x ＋3y ＝2，即x ＋3y ＝1，1x ＋13y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋13y ×(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y≥2＋23y x ×x3y＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧3yx ＝x3y ，x ＋3y ＝1，x >0，y >0，即最小值为4.故选D.(2)(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋b ＋4＋2a ＋1·b ＋3≤9＋2·(a ＋1)2＋(b ＋3)22＝9＋a ＋b ＋4＝18，所以a ＋1＋b ＋3≤32，当且仅当a ＋1＝b ＋3且a ＋b ＝5，即a ＝72，b ＝32时等号成立．所以a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.[答案] (1)D (2)3 2条件最值的求解通常有两种方法一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．1．(2016·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C ．(－2,4)D ．(－4,2)解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即4y 2＝x 2时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2，故选D.答案：D2．(2016·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z 的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12解析：∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4yx －3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.答案：D考点三 基本不等式的实际应用|某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解] (1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋(2＋4＋6＋…＋2x )x ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)．(2)由基本不等式得： y ＝x ＋100x＋1.5≥2x ·100x＋1.5＝21.5， 当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．3.某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，如图所示，长方形ABCD 的周长为4，沿AC 将△ABC 翻折，使点B 落到点B ′的位置，AB ′交DC 于点P .研究发现当△ADP 的面积最大时最节能，则最节能时△ADP 的面积为( )A ．22－2B ．3－2 2C ．2－ 2D ．2解析：设AB ＝x ，DP ＝y ，则BC ＝2－x ，PC ＝x －y .因为x >2－x ，故1<x <2.因为△ADP ≌△CB ′P ，故P A ＝PC ＝x －y .由P A 2＝AD 2＋DP 2，得(x －y )2＝(2－x )2＋y 2，即y ＝2⎝⎛⎭⎫1－1x ，1<x <2.记△ADP 的面积为S ，则S ＝⎝⎛⎭⎫1－1x (2－x )＝3－⎝⎛⎭⎫x ＋2x ≤3－22，当且仅当x ＝2x ，即x ＝2时，S 取得最大值3－2 2.答案：B11.忽视等号成立条件致误【典例】 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．(2)函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________．[解析] (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号) ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6.[答案] (1)3＋22 (2)1＋2 6[易误点评] (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝1x ＋2y ≥22xy， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ≥42，得(x ＋y )min ＝4 2. (2)没有注意到x <0这个条件误用基本不等式得2x ＋3x≥2 6.[防范措施] (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件．(2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致．[跟踪练习] 已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2时xy 取得最大值3. 答案：3A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b 2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4.答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a ＋9－a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2 (a 2·b )≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12. 答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn －4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1. 答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2B ．2C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2a ab＝ab ，且a >0，b >0， ∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2.答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4b a，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p 解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B. 答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2y x，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2. 答案： 2。
【全程复习方略】(湖北专用)高中数学 6.4基本不等式课件 文 新人教A版
【即时应用】
判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写√或×)
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R)
(2) ab ( a b ) 2 (a，b∈R)
2 2 a b a b 2 (3) ( (a,b∈R) ) 2 2 (4) b a 2(a,b均不为零) a b
(
( ( (
______.
【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式
可解.
(2)直接应用基本不等式求解.
(3)将 1 与 1 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.
a b
【规范解答】(1)由x>-3得x+3>0, 又 x 2 x 3 2 3 2 2 3，等号成立的条件是
1.基本不等式： ab a b
2
a>0,b>0 (1)基本不等式成立的条件是__________. a=b 时取等号. (2)等号成立的条件是：当且仅当_____ 算术平均数 ， ab 称为正数a， (3)其中 a b 称为正数a,b的____________
2
几何平均数 b的____________.
基本不等式的实际应用 【方法点睛】利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、 税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中 提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定 义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范
)
) ) )
2
【解析】(1)由(a-b)2≥0得a2+b2-2ab≥0，
即a2+b2≥2ab，故(1)正确. (2)由(1)可知a2+b2≥2ab，即a2+b2+2ab≥4ab,
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
【全程复习方略】高中数学 6.4基本不等式的应用配套课件 苏教版
∴周长C=l+2r≥2 l 2r =2 4S =4 S ,
当且仅当l=2r时，周长取最小值4 S ，
此时由2r2=2S,得r= S .
答案： S
4 S
与基本不等式相关的范围问题 【方法点睛】
常见的求参数取值范围的关注点
2 2 a b 利用 ≥( a b )2≥ab(a,b∈R) 2 2
第四节 基本不等式的应用
„„„„三年2考
高考指数:★★★
要 内 容 A B
求 C √
基本不等式
1.基本不等式的常见应用
基本不等式 ab ≤
ab (a≥0,b≥0)常用于证明不等式以及求某 2
最小值 最大值 或________. 些函数的________
【即时应用】 判断下列各不等式是否正确(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x2+ (2)
g(x)有最小值，即f(x)有最小值
1 800 + )+12 960=38 882( 元). 81 8 1 ∴当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元. 8
1 >1(x≠0) 2 x 1
2
( ( ( (
) ) ) )
x2 3
x 2 (3)x+ 4 ≥4 x
ab
>2
(4) 2ab ≤ ab (a,b是正实数)
【解析】(1)正确.x2+
1 1 2+1+ =x -1≥2-1=1,但等号成立 2 2 x 1 x 1
时x=0,又x≠0,故等号不成立.
1 2 2 ∴24-(a+b)=a +b ≥ (a+b)2，当且仅当a=b时取“=”，即 2 2
高中数学 高三一轮第六章 不等式 6.4 基本不等式【教师版】
高三一轮复习6。
4 基本不等式(检测教师版)时间:50分钟总分：70分班级: 姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知f（x）＝x＋错误!－2(x<0）,则f(x）有( ）A．最大值为0 B．最小值为0C．最大值为－4 D．最小值为－4【答案】C【解析】∵x〈0，∴f(x）＝－错误!－2≤－2－2＝－4,当且仅当－x＝错误!,即x＝－1时取等号．2．函数y＝log a（x＋3)－1（a〉0,且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上,其中m，n均大于0，则错误!＋错误!的最小值为（)A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】∵x＝－2时，y＝log a1－1＝－1,∴函数y＝log a(x＋3）－1（a〉0,a≠1)的图象恒过定点（－2，－1），即A(－2，－1),∵点A在直线mx＋ny＋1＝0上，∴－2m－n＋1＝0，即2m＋n＝1,∵m>0，n>0，错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2＋错误!＋错误!＋2≥4＋2·错误!＝8，当且仅当m＝错误!，n＝错误!时取等号．故选C。
3．下列函数中，最小值为4的个数为（）①y＝x＋错误!;②y＝sin x＋错误!(0<x<π）；③y＝e x＋4e －x；④y＝log3x＋4log x3.A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】①中，由于x的符号不确定,故不满足条件；②中，0<sin x≤1，而应用不等式时等号成立的条件为sin x＝2，故不满足条件；③正确;④中log3x,log x3的符号不确定,故不满足条件，综上只有③满足条件．4．要设计一个矩形,现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为（)A．50 B．25错误!C．50错误!D．100【答案】A【解析】设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤错误!＝50，当且仅当x＝y时等号成立．5．设x∈R, 对于使－x2＋2x≤M成立的所有常数M 中，我们把M的最小值1叫做－x2＋2x的上确界. 若a，b∈R＋，且a＋b＝1，则－错误!－错误!的上确界为( ）A．－5 B．－4 C.错误! D. －错误!【答案】D【解析】因为12a＋错误!＝错误!（a＋b)＝错误!＋错误!＋错误!≥错误!＋2＝错误!，所以－错误!－错误!≤－错误!，选D. 6．已知f(x）＝32x－（k＋1）3x＋2,当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．（－∞，2错误!－1)C．（－1，2错误!－1）D．(－2错误!－1,2错误!－1)【答案】B【解析】由f(x)〉0得32x－（k＋1）·3x＋2〉0，解得k＋1<3x＋错误!，而3x＋错误!≥2错误!(当且仅当3x＝错误!,即x＝log3错误!时，等号成立），∴k＋1〈22，即k<22－1。
【全程复习方略】(湖北专用)版高中数学 6.4基本不等式同步训练 理 新人教A版
【全程复习方略】（湖北专用）2013版高中数学 6.4基本不等式同步训练 理 新人教A 版(45分钟 100分)一、选择题（每小题6分，共36分）1. (易错题)下列不等式①a 2+1>2a;②x 2+21x 1+≥1;2;④224sin x sin x +≥4. 其中正确的不等式的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3(D)4 2.已知x>0,y>0,且211x y+=，若x+2y>m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围 是( )(A)m ≥4或m ≤-2 (B)m ≥2或m ≤-4(C)-2<m<4 (D)-4<m<23.(2012·武汉模拟)已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项均为正数的等比数列，且公比q ＞1,若a 1=b 1,a 2011=b 2011,则a 1006与b 1006的大小关系是( )(A)a 1006=b 1006 (B)a 1006＞b 1006(C)a 1006＜b 1006 (D)a 1006≥b 10064.（2011·乌鲁木齐模拟）已知x ＞0，y ＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是( )（A ）3 （B ）4 （C ）92 （D ）1125.(2012·鄂州模拟)某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么,要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )(A)5 km 处 (B)4 km 处(C)3 km 处 (D)2 km 处6.设x,y 满足约束条件3x y 60x y 20x 0,y 0--≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，则32a b +的最小值为( )(A)4 (B)1325 (C)1 (D)2二、填空题（每小题6分，共18分）7.(2012·武汉模拟)已知x ＞0,y ＞0,2x+y=111,3x y+则的最小值是_______. 8. (预测题)若对任意x ＞0,2x x 3x 1++≤a 恒成立，则a 的取值范围 是_______．9.x,y,z 为正实数，x-y+2z=0，则2xz y的最大值为________. 三、解答题（每小题15分，共30分）10.已知x ＞0，y ＞0，且2x+8y-xy=0，求（1）xy 的最小值；（2）x+y 的最小值.11.（2012·银川模拟）某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用最少?【探究创新】（16分）设矩形ABCD （AB>AD ）的周长为24，把它关于AC 折起来，AB 折过去后交CD 于点P ，如图，设AB=x,求△ADP 的面积的最大值，及此时x 的值.答案解析1.【解析】选A.∵a 2+1-2a=(a-1)2≥0，故①错； ∵222211x x 11x 1x 1+=++-++≥2-1=1, 等号成立的条件为x=0，故②对；当a,b 均大于零时，a+b ≥2，故③错； 224sin x sin x+≥4等号不成立， 故④错，故选A.2.【解析】选D.∵x>0,y>0，且211,x y+= ∴x+2y=(x+2y)(21x y +)=4y x 4x y ++≥4y +=8，当且仅当4y x x y =,即4y 2=x 2,x=2y ，又211x y +=即x=4,y=2等号成立.∴(x+2y)min =8,要使x+2y>m 2+2m 恒成立，只需(x+2y)min >m 2+2m 成立，即8>m 2+2m ，解得-4<m<2.3.【解析】选B.1201110061006a a a ,b 2+==∵a 1=b 1，a 2011=b 2011且b n ＞0,∴1006b =∵q ＞1，∴由基本不等式得12011a a 2+＞即a 1006＞b 1006. 4.【解题指南】由已知的等式用x 表示y,代入要求式子，转化为函数的最值问题.【解析】选B.因为x+2y+2xy=8，所以8x y 2x 2-=+，所以x+2y=x+8x x 1-+=()()x 199x x 12x 1x 1-+++=++-++≥2=4(当且仅当x+1=9x 1+，即x=2时等号成立，此时y=1），选B. 【一题多解】本题可以利用基本不等式转化为一元二次不等式求解.因为x 2y +≥所以2xy ≤(x 2y 2+)2, 所以x+2y+2xy ≤x+2y+()2x 2y 4+，设x+2y=A ，则2A A 4+≥8， 即A 2+4A-32≥0，解此不等式得A ≤-8（舍去）或A ≥4，即x+2y ≥4.∴最小值为4. 5.【解析】选A.令y 1=1k x,y 2=k 2x,当x=10 km 时， y 1=2万元，y 2=8万元，∴2=1k 10,即k 1=20, 且8=k 2×10,即2124204k ,y y y x 8.5x 5=∴=+=+≥= 当且仅当204x ,x 5=即x=5 km 时取“=”. 6.【解题指南】作出可行域确定最大值点，从而得a,b 的关系式，利用“1”的代换求解.【解析】选A.作出可行域如图由图可知目标函数过A 点时z 取最大值，由3x y 60x y 20--=⎧⎨-+=⎩得x 4,y 6=⎧⎨=⎩故4a+6b=12,即a b1, 32+=∴3232a b3b2a()()1124a b a b322a3b2a3b+=++=+++≥+=，当且仅当3b=2a时等号成立，又2a+3b=6，即3 a2=,b=1时等号成立.7.【解析】∵x＞0,y＞0,且2x+y=13,()11111()x y x y113y6x6x3y()9x yx y99∴+=⨯+=++=++≥+=+答案：9+8.【解析】因为x＞0，所以1xx+≥2（当且仅当x=1时取等号），所以有2x1111x3x1235x3x=≤=+++++，即2xx3x1++的最大值为15，故a≥15.答案：［15,+∞)【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解：c≥f(x)恒成立⇔c≥f(x)max;c≤f(x)恒成立⇔c≤f(x)min.【变式备选】已知x>0，y>0,xy=x+2y,若xy≥m-2恒成立，则实数m的最大值是_________.【解析】由x>0,y>0,xy=x+2y≥得xy≥8，等号当且仅当x=2y时取得.又m-2≤xy恒成立，故只需m-2≤8,即m≤10.∴m的最大值为10.答案：109.【解题指南】由已知用x,z代换y后，分子分母同除以xz后利用基本不等式求解.【解析】()2222xz xz xzy x4xz4zx2z==+++=1x4z4z x++≤18.等号当且仅当x=2z时取得.答案：1810.【解题指南】把2x+8y-xy=0转化为821x y+=即可.【解析】（1）由2x+8y-xy=0，得821x y +=， 又x ＞0,y ＞0， 则821x y x y xy=+≥=，得xy ≥64， 当且仅当82x y =时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.（2）方法一：由2x+8y-xy=0，得8y x y 2=-， ∵x ＞0,∴y ＞2,则()8y 16x y y y 210y 2y 2+=+=-++--≥18， 当且仅当y-2=16y 2-，即y=6,x=12时，等号成立. ∴x+y 的最小值为18.方法二：由2x+8y-xy=0，得821x y+=， 则x+y=()82()x y x y++ =2x 8y 10y x ++≥10+x=18. 当且仅当2x 8y y x =,且821x y +=时等号成立， ∴x+y 的最小值为18.11.【解题指南】平均每天所支付的费用=x x天支付的总费用天数，先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用基本不等式求其最值.【解析】设该厂应每隔x 天购买一次玉米，其购买量为6x 吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为3［6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1］=x(6x 632+⨯）=9x(x+1)， 设平均每天所支付的费用为Y 1元，则()19x x1900Y 1 8006x++=+⨯=9x+900x+10 809≥9xx+10 809=10 989，当且仅当9009xx=，即x=10时取等号.该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的费用最少.【变式备选】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面围墙利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元.（1）将y表示为x的函数；（2）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用. 【解析】（1）设矩形的另一边长为a m，则y=45x+180(x-2)+180×2a=225x+360a-360由已知xa=360,得360ax =,所以y=225x+2360x-360(x>0).(2)∵x＞0，∴2360225x10 800x+≥=,∴y=225x+2360x-360≥10 440.当且仅当225x=2360x时，等号成立.即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.【探究创新】【解析】∵AB=x,∴AD=12-x,又DP=PB′,AP=AB′-PB′=AB-DP,即AP=x-DP,∴(12-x)2+PD2=(x-PD)2,得PD=12-72x,∵AB>AD,∴6<x<12,∴△ADP的面积S=12 AD·DP=12（12-x）(12-72x)=108-6（x+72x）≤108-6·=108-当且仅当72xx=即x=∴△ADP面积的最大值为108-x=。
【全程复习方略】2013版高中数学 6.4二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件 理 新人教B版
简单的线性规划问题
【方法点睛】
1.利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)画出约束条件对应的可行域；(2)将目标函数视为动直线， 并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点； (3)将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值. 2.目标函数最值问题分析 (1)线性目标函数的最值一般在可行域的顶点处或边界上取得， 特别地对最优整数解可视情况而定. (2)目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距 离等.
x≥1 【解析】不等式组 y≤2 x-y≤0
所表示的平面区域如图所示,
作出直线x+y=0，可观察知当直线过A点时z最小. 由
x 1 得A(1,1),此时zmin=1+1=2；当直线过B点时z最大. x y 0
y2 由
x y 0
得B(2,2),此时zmax=2+2=4.
第四节 二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题
三年19考
高考指数:★★★★
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式(组)； 2.了解二元一次不等式(组)的几何意义，能用平面区域表示二
元一次不等式(组)；
3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能
加以解决.
1.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何 意义(如斜率、距离、面积等)； 2.多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常 与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解.
域，然后根据区域的形状求面积.
【提醒】在画平面区域时，当不等式中有等号时画实线，无等 号时画虚线.
x y 5 0 【例1】已知不等式组 x y 0 x 3
(1)画出该不等式组所表示的平面区域； (2)设该平面区域为S,则求当a从-3到6连续变化时，x-y=a扫过S 中的那部分区域的面积.
高考数学《基本不等式》真题练习含答案
高考数学《基本不等式》真题练习含答案一、选择题1．函数y ＝2x ＋22x 的最小值为( )A ．1B ．2C ．22D ．4 答案：C解析：因为2x >0，所以y ＝2x ＋22x ≥22x ·22x ＝22 ，当且仅当2x ＝22x ，即x ＝12时取“＝”．故选C.2．若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．2B ．12C ．4D ．14答案：B解析：∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b ，即：a ＝1，b ＝2时等号成立)，∴0<ab ≤2，1ab ≥12 ，∴1ab 的最小值为12.3．下列结论正确的是( )A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2B ．当x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2 时，sin x ＋4sin x的最小值为4 C ．当x >0时，x ＋1x ≥2D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值答案：C解析：当x ∈(0，1)时，lg x <0，故A 不成立，对于B 中sin x ＋4sin x≥4，当且仅当sinx ＝2时等号成立，等号成立的条件不具备，故B 不正确；D 中y ＝x －1x在(0，2]上单调递增，故当x ＝2时，y 有最大值，故D 不正确；又x ＋1x ≥2x ·1x＝2(当且仅当x ＝1x即x ＝1时等号成立).故C 正确． 4．下列不等式恒成立的是( )A ．a 2＋b 2≤2abB ．a 2＋b 2≥－2abC ．a ＋b ≥2|ab |D ．a ＋b ≥－2|ab | 答案：B解析：对于A ，C ，D ，当a ＝0，b ＝－1时，a 2＋b 2＞2ab ，a ＋b ＜2ab ，a ＋b ＜－2|ab | ，故A ，C ，D 错误；对于B ，因为a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a |·|b |＝2|ab |≥－2ab ，所以B 正确．故选B.5．若x >0，y >0，x ＋2y ＝1，则xy2x ＋y的最大值为( )A ．14B ．15C ．19D ．112答案：C解析：x ＋2y ＝1⇒y ＝1－x 2 ，则xy2x ＋y ＝x －x 23x ＋1 .∵x >0，y >0，x ＋2y ＝1，∴0<x <1.设3x ＋1＝t (1<t <4)，则x ＝t －13，原式＝－t 2＋5t －49t ＝59 －⎝⎛⎭⎫t 9＋49t ≤59 －2481 ＝19 ，当且仅当t 9 ＝49t ，即t ＝2，x ＝13 ，y ＝13 时，取等号，则xy 2x ＋y 的最大值为19 ，故选C.6．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( )A ．8B ．4C ．2D ．1 答案：B解析：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )，∴ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 2＋c 2＝4.7．若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，1)，所以1a ＋1b＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·b a ＝4，当且仅当a b ＝b a 即a ＝b ＝2时取“＝”，故选C.8．若向量a ＝(x －1，2)，b ＝(4，y )，a 与b 相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 C ．3 D ．6 答案：D解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(x －1，2)·(4，y )＝4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2， ∴9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ＋y ＝232 ＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，∴9x ＋3y 的最小值为6.9．用一段长8 cm 的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为( ) A ．9 cm 2 B ．16 cm 2 C ．4 cm 2 D ．5 cm 2 答案：C解析：设矩形模型的长和宽分别为x cm ，y cm ，则x ＞0，y ＞0，由题意可得2(x ＋y )＝8，所以x ＋y ＝4，所以矩形模型的面积S ＝xy ≤（x ＋y ）24 ＝424 ＝4(cm 2)，当且仅当x ＝y ＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm 时，面积最大，为4 cm 2.故选C.二、填空题10．已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为________.答案：14解析：∵a －3b ＋6＝0，∴ a －3b ＝－6，∴ 2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b＝22－6 ＝14 .当且仅当2a ＝2－3b ，即a ＝－3，b ＝1时，2a ＋18b 取得最小值为14.11．已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________．答案：36解析：∵x >0，a >0，∴4x ＋a x ≥24x ·ax＝4 a ，当且仅当4x ＝a x ，即：x ＝a 2 时等号成立，由a2 ＝3，a ＝36.12．[2024·山东聊城一中高三测试]已知a >0，b >0，3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________．答案：2＋3解析：由3a ＋b ＝2ab ， 得32b ＋12a＝1， ∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋b 2a ＋3a2b ≥2＋2b 2a ·3a 2b ＝2＋3 (当且仅当b 2a ＝3a2b即b ＝3 a 时等号成立).[能力提升]13．[2024·合肥一中高三测试]若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4ab 的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10 答案：C解析：⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9(当且仅当b a ＝4ab即b ＝2a 时等号成立).14.(多选)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b ＞12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤2 答案：ABD解析：对于选项A ，∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，∴a 2＋b 2≥12，正确；对于选项B ，易知0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴－1＜a －b ＜1，∴2a －b ＞2－1＝12，正确；对于选项C ，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 ＜－2，错误；对于选项D ，∵2 ＝2（a ＋b ） ，∴[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，∴ a ＋ b ≤2 ，正确．故选ABD.15．(多选)已知a ，b ，c 为正实数，则( )A ．若a ＞b ，则ab ＜a ＋c b ＋cB ．若a ＋b ＝1，则b 2a ＋a 2b 的最小值为1C ．若a ＞b ＞c ，则1a －b ＋1b －c ≥4a －cD ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为3 答案：BCD解析：因为a >b ，所以a b －a ＋c b ＋c ＝c （a －b ）b （b ＋c ） ＞0，所以ab ＞a ＋c b ＋c ，选项A 不正确；因为a ＋b ＝1，所以b 2a ＋a 2b ＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b －(a ＋b )≥2b ＋2a －(a ＋b )＝a ＋b ＝1，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以b 2a ＋a 2b的最小值为1，故选项B 正确；因为a ＞b ＞c ，所以a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0，所以(a －c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝[]（a －b ）＋（b －c ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c≥2＋2b －c a －b ·a －bb －c＝4，当且仅当b －c ＝a －b 时取等号，所以1a －b ＋1b －c ≥4a －c，故选项C 正确；因为a 2＋b 2＋c 2＝13 [(a 2＋b 2＋c 2)＋(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(c 2＋a 2)]≥13(a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca )＝13 [(a ＋b )2＋2(a ＋b )c ＋c 2]＝13 (a ＋b ＋c )2＝3，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立，所以a 2＋b 2＋c 2的最小值为3，故选项D 正确．16．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．答案：30解析：一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元． 总运费与总存储费用的和为⎝⎛⎭⎫3 600x ＋4x 万元．因为3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小．。
高考数学总复习第六单元 第四节 基本不等式练习
第六单元 第四节基本不等式练习一 选择题1．若a >b >0，则下列不等式正确的是( ) A.2ab a ＋b <a ＋b 2<ab B.ab ≤2ab a ＋b ≤a ＋b 2 C.2ab a ＋b <ab <a ＋b 2 D.ab <2ab a ＋b <a ＋b 2【解析】 方法一：令a ＝4，b ＝1，则2ab a ＋b ＝85，a ＋b 2＝52，ab ＝2，∴a ＋b 2>ab >2aba ＋b.方法二：∵a ＋b 2>ab ，∴2a ＋b <1ab ，∴2aba ＋b <ab ，选C.【答案】 C2．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b的最小值为( )A ．18B ．6C ．2 3D ．243【解析】 ∵3a >0,3b >0，∴3a ＋3b ≥23a ·3b＝2×3＝6，当且仅当a ＝b ，即a ＝b ＝1时，取“＝”，故选B.【答案】 B3．已知x <54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( )A ．2B ．3C ．1 D.12【解析】 ∵x <54，∴4x －5<0，∴－(4x －5)－14x －5≥25－4x ·15－4x ＝2，当且仅当－(4x －5)＝－14x －5，即x ＝1时取“＝”，∴－(4x －5)－14x －5的最小值为2，∴⎝⎛⎭⎪⎫4x －5＋14x －5max ＝－2，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 【答案】 C4．(精选考题·潍坊质检)已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值等于( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3【解析】 由两条直线垂直的充要条件可得：－b 2＋1a ·1b 2＝－1，解得a ＝b 2＋1b2，所以ab ＝b 2＋1b 2·b ＝b ＋1b ，又因为b >0，故b ＋1b≥2b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1b，即b ＝1时取等号．【答案】 B5．(精选考题·福州模拟)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．9D ．16【解析】 ∵x >0，y >0，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y＝1＋y x ＋ax y ＋a ≥a ＋1＋2y x ·axy ＝a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时取“＝”，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y min ＝a ＋2a ＋1，若(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9恒成立，则应a ＋2a ＋1≥9，解得a ≥2，∴a ≥4，a min ＝4.【答案】 B6．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点坐标是( )A ．(1,2)B ．(1，－2)C ．(1,1)D ．(0,2)【解析】 ∵x >－1，∴y ＝x ＋12＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1≥2x ＋11x ＋1＝2，当且仅当x ＋1＝1x ＋1，即x ＝0时取等号，∴y min ＝2，故最低点的坐标为(0,2)．【答案】 D7．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) A ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 B ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一 C ．ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一 D ．ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一【解析】 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号．又c >0，d >0，cd ＝4，∴c ＋d ≥2cd ＝4，当且仅当c ＝d ＝2时取等号．综上得ab ≤c ＋d ，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝2时取等号．【答案】 A 二、填空题8．已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，则lg x ·lg y 的最大值是________．【解析】 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0，∴lg x ·lg y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ，即x ＝y ＝100时取等号，∴(lg x ·lg y )max ＝4.【答案】 49．(精选考题·山东高考)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．【解析】 ∵x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，∴a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，∵x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1x 时取等号，∴a ≥15. 【答案】 a ≥1510．(精选考题·浙江高考)若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．【解析】 由基本不等式得xy ≥22·xy ＋6，令xy ＝t ，得不等式t 2－22t －6≥0，解得t ≤－2(舍去)或t ≥32，故xy 的最小值为18.【答案】 18 三、解答题11．已知M 是△ABC 内的一点，且AB →·A C →＝23，∠BAC ＝30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为12，x ，y ，求1x ＋4y的最小值．【解析】 由已知得A B →·A C →＝bc cos ∠BAC ＝23⇒bc ＝4，故S △ABC ＝x ＋y ＋12＝12bc sin∠BAC ＝1⇒x ＋y ＝12，而1x ＋4y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ×(x ＋y )＝2⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x＋4x y ≥2⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝18. 即1x ＋4y的最小值是18.12．经长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v >0)．(1)在这时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？ (2)若要求在该时段内车流量超过10(千辆/时)，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】 (1)y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920v ＋1 600v＋3≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时，等号成立，∴y max ＝92083. (2)由题意得920vv 2＋3v ＋1 600>10，整理得v 2－89v ＋1 600<0，即(v －25)(v －64)<0， 解得25<v <64.答：当汽车的平均速度为40千米/时时，车流量最大为92083千辆/时，汽车的平均速度在25千米/时至64千米/时之间时，车流量超过10千辆/时．。
高考数学知识点基本不等式(附习题)
高考数学知识点:基本不等式(附习题)最近很多同学给老师留言说，分享关于高中数学知识点的习题，今天老师给同学们提供了高中数学知识点基础不等式的习题。
先看第一个知识点：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围． 接下来是关于高考的试题：(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋4b的最小值是________．(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．规律方法：利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．角度一知和求积的最值设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )A．80 B．77C．81 D．82角度二 知积求和的最值设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12角度三 求参数的值或范围(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1 D ．2利用不等式解决实际问题，这个是同学关心的问题，下面继续给大家分享某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？这道题两个方面进行解答，在解答过程中有什么不懂，都可以留言老师。
高中全程复习方略课时提能训练：6.3基本不等式及其最值(苏教版·数学文)Word版含解析[ 高考]
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课时提能演练(三十八)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分) 1.下列不等式①a 2+1>2a;②x 2+21x 1+≥1;2;④sin 2x+24sin x ≥4. 其中说法正确的序号是______________. 2.(2012·宿迁模拟)若函数y=1x 1-+ax(a ＞0，x ＞1)的最小值为3，则a 的值为__________.3.已知x ，y 均为正实数，且满足x y 134+=，则xy 的最大值为_________. 4.已知x ＞0，y ＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是___________.5.(2012·南通模拟)函数y =_________.6.(2012·徐州模拟)已知a ＞0，b ＞0,a+b=2，则14y a b=+的最小值是_________.7.当x 2-2x<8时，函数2x x 5y x 2--=+的最小值是_____________.8.已知x>0，y>0,xy=x+2y,若xy ≥m-2恒成立，则实数m 的最大值是_________. 二、解答题(每小题15分，共45分)9.(2012·淮安模拟)x,y,z 为正实数，x-y+2z=0，求2xzy 的最大值. 10.已知x ＞0，y ＞0，且2x+8y-xy=0， 求(1)xy 的最小值；(2)x+y 的最小值.11.(2012· 无锡模拟)若圆x 2+y 2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b ∈R)对称. (1)求a,b 的关系式; (2)求ab 的取值范围.【探究创新】(15分)设x,y 满足约束条件x y 204x y 40x 0y 0，-+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12，(1)求ω=2ab 的最大值；(2)求22a b 369+的最小值.答案解析1.【解析】∵a 2+1-2a=(a-1)2≥0，故①错； ∵222211x x 11x 1x 1+=++-++≥2-1=1, 等号成立的条件为x=0，故②对； 当a,b 均大于零时，a+b≥2≥，故③错； 224sin x sin x+≥4等号不成立，故④错. 答案：② 2.【解析】∵()11y ax a x 1a,x 1x 1=+=+-+-- ∵x ＞1,a ＞0, ∴()1a x 1a a,x 1+-+≥-∴+a=3，∴a+-3=0，即+3)=0，=1，即a=1. 答案：13.【解析】∵x,y ∈R +且x y 134+=，由基本不等式有1=x y 34+≥xy ≤3，当且仅当x y 1342==，即x=32，y=2时，等号成立. 所以xy 的最大值为3. 答案：34.【解析】因为x+2y+2xy=8， 所以8x y 2x 2-=+，所以x+2y=x+8xx 1-+ =x+()x 19x 1-+++=(x+1)+9x 1+ -2≥-2=4(当且仅当x+1=9x 1+， 即x=2时等号成立，此时y=1). 答案：4【一题多解】本题可以利用基本不等式转化为一元二次不等式求解.因为x+2y ≥2xy ≤2x 2y ()2+, 所以x+2y+2xy ≤x+2y+()2x 2y 4+，设x+2y=A ，则A+2A 4≥8，即A 2+4A-32≥0，解此不等式得A ≤-8(舍去)或A ≥4，即x+2y ≥4. ∴最小值为4.5.【解析】y 2=x+2-x+=2+2+［x+(2-x)］=4，当且仅当x=1时取等号，即y max=2.答案：26.【解析】由a+b=2得a b22+=1,∴y=1414a b1b2a59 ()()22,a b a b2222a b22+=++=+++≥+=等号成立的条件是b=2a,又a+b=2，故a=23，b=43时取得.答案：927.【解析】由x2-2x<8得x2-2x-8<0, 即(x-4)(x+2)<0,得-2<x<4，∴x+2>0,而y=()()22x25x21 x x5x2x2+-++ --=++=(x+2)+1x2+-5≥2-5=-3.等号当且仅当x=-1时取得.答案：-38.【解析】由x>0,y>0,xy=x+2y≥得xy≥8，等号当且仅当x=2y时取得.又m-2≤xy恒成立，故只需m-2≤8,即m≤10.∴m的最大值为10.答案：10【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： c ≥f(x)恒成立⇔c ≥f(x)max ; c ≤f(x)恒成立⇔c ≤f(x)min .【变式备选】当x>2时，不等式x+4x 2-≥a 恒成立，则实数a 的最大值为______. 【解析】x+4x 2-=(x-2)+ 4x 2-+2≥4+2=6, 又x+4x 2-≥a 恒成立， 故a ≤6，所以a 的最大值为6. 答案：69.【解题指南】由已知用x,z 代换y 后，分子分母同除以xz 后利用基本不等式求解. 【解析】()2222xz xz xz 11.x 4z y x 4xz 4z 8x 2z 4z x===≤+++++ 等号当且仅当x=2z 时取得. ∴2xz y 的最大值为18. 10.【解题指南】把2x+8y-xy=0转化为821xy+=即可. 【解析】(1)由2x+8y-xy=0，得821xy+= 又x ＞0,y ＞0， 则821x y x y xy，=+≥=得xy ≥64， 当且仅当82xy=时，等号成立. 所以xy 的最小值为64.(2)方法一：由2x+8y-xy=0，得8yx y 2=-， ∵x ＞0,∴y ＞2, 则x+y=y+8y y 2-=(y-2)+16y 2-+10≥18， 当且仅当y-2=16y 2-，即y=6,x=12时，等号成立. ∴x+y 的最小值为18.方法二：由2x+8y-xy=0，得821xy+=， 则x+y=(82x y+)·(x+y) =10+2x 8y y x +≥10+x=18. 当且仅当2x 8y y x =,且821x y+=时等号成立， ∴x+y 的最小值为18.11.【解析】(1)由于圆关于直线对称，故圆心(-1,2)在直线上，故-2a-2b+2=0，即a+b=1.(2)①当a,b 同号时，由(1)a+b=1, ∴a ＞0,b ＞0,则ab ≤2a b 1()24+=. ②当a,b 其中一个为0时，ab=0. ③当a,b 异号时，ab ＜0, 故ab 的取值范围是(-∞,14］. 【探究创新】【解题指南】(1)作出可行域利用z 的最大值确定a,b 的关系式，利用基本不等式求解.(2)利用a 2+b 2≥()2a b 2+求解.【解析】(1)作出可行域如图所示，由图可知当目标函数过A 点时z 最大由x y 204x y 40-+=⎧⎨--=⎩得x 2,y 4=⎧⎨=⎩故2a+4b=12即a+2b=6,∴a+2b=6,∴2ab ≤9,等号当且仅当a=2b=3时取得.故ωmax =9. (2)由(1)可知a+2b=6，即ab 163+=,∴222a b()a b 163.36922++≥= 等号成立的条件是a=3，b=32,故22a b 369+的最小值为12.。
基本不等式练习题带答案
06
基本不等式的扩展 知识
基本不等式的推广形式
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平方和与平方差形式：a²+b² ≥ 2ab 和 a²-b² ≥ 2ab
• 题目：已知 x > 0，y > 0，且 xy = 4，则下列结论正确的是 ( ) A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 答案： A
• A. x + y ≥ 4 B. x + y ≤ 4 • C. x + y ≥ 8 D. x + y ≤ 8 • 答案：A
基本不等式的应用：在数学、物 理、工程等领域有广泛的应用， 用于解决最优化问题、估计值域 和解决一些数学竞赛问题等。
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基本不等式的形式：常见的形式 有AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式和Holder不等式 等。
基本不等式的证明方法：可以通 过代数、几何和概率统计等方法 证明基本不等式。
• 题目：若 a > b > c，且 a + b + c = 1，则下列结论正确的是 ( ) A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab 答案：B
• A. ac + bc ≥ ab B. ac + bc ≤ ab • C. ac + bc > ab D. ac + bc < ab
(完整版)高中数学基本不等式知识点归纳及练习题(可编辑修改word版)
W＞0，W2＝3x＋2y＋2 3x· 2y＝10＋2 3x· 2y≤10＋( 3x)2·( 2y)2 ＝10＋(3x＋2y)＝20
∴ W≤ 20＝2 5
变式: 求函数 y
2x 1
5
2x
1 (
x
5 )
的最大值。
2
2
解析：注意到 2x 1与 5 2x 的和为定值。
y2 ( 2x 1 5 2x )2 4 2 (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8
3
1
1
当 x＜0 时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2 x·=－2
x
x
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)A 1 不是常数，所以对 4x 2 要进行拆、凑项，
4x 5
x
5 4
,5
4
x
0
，
y
4
x
2
4
1 x
5
5
4x
5
1 4x
2
2
2
巧和公式等号成立的条件等．
两个变形
( ) a2＋b2 a＋b
(1)
≥
2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时取等号)；
2
2
a2＋b2 a＋b
2
(2)
≥ ≥ ab≥ (a＞0，b＞0，当且仅当 a＝b 时取等号)．
2
2
11
＋
ab
这两个不等式链用处很大，注意掌握它们．
三个注意
1
(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽 视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． (2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件． (3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．
2021年高考数学一轮总复习 6.4基本不等式练习
2021年高考数学一轮总复习 6.4基本不等式练习一、选择题1．已知a ，b∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2ab B.a b ＋b a≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析 当a ，b 都是负数时，A 不成立，当a ，b 一正一负时，B 不成立，当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的．答案 C2．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，则p是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．答案 B3．下列不等式：①a2＋1>2a；②a＋bab≤2；③x2＋1x2＋1≥1，其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析①②不正确，③正确，x2＋1x2＋1＝(x2＋1)＋1x2＋1－1≥2－1＝1.答案B4．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t的值为( ) A．2 B．4C．2 2 D．25解析当a>0，b>0时，有ab≤a＋b24＝t24，当且仅当a＝b＝t2时取等号．∵ab的最大值为2，∴t24＝2，t2＝8，∴t＝8＝2 2.答案C5．(xx·湖北黄冈月考)设a>1，b>0，若a＋b＝2，则1a－1＋2b的最小值为( )A．3＋2 2 B．6C．4 2 D．22解析由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1.因为a>1，b>0，所以1a－1＋2b＝⎝⎛⎭⎪⎫1a－1＋2b(a－1＋b)＝ba－1＋2a－1b＋3≥22＋3.当且仅当ba－1＝2a－1b，即a＝2，b＝2－2时取等号．答案A6．(xx·湖北八校联考)若x，y∈(0,2]且xy＝2，使不等式a(2x＋y)≥(2－x)(4－y)恒成立，则实数a的取值范围为( )A．a≤12B．a≤2C．a≥2 D．a≥1 2解析由x，y∈(0,2]且xy＝2，得a≥2－x4－y2x＋y＝10－22x＋y2x＋y＝102x＋y－2.又由2x＋y≥22xy＝4，∴a≥12.答案D 二、填空题7．已知函数f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析由于x>0，a>0，f(x)＝4x＋ax≥4a.此时当4x ＝a x时，f (x )取得最小值4a ，即a ＝4x 2.∴a ＝4×32＝36. 答案 368．(xx·福建卷)要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．解析 设容器的底长x 米，宽y 米，则xy ＝4.所以y ＝4x，则总造价为：f (x )＝20xy ＋2(x ＋y )×1×10＝80＋80x ＋20x＝20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ＋80，x ∈(0，＋∞)．所以f (x )≥20×2x ·4x＋80＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．所以最低总造价是160元． 答案 1609．(xx·陕西卷)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．解析 由柯西不等式，可得(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)≥(am ＋bn )2，所以5(m 2＋n 2)≥25.所以m 2＋n 2≥5，即m 2＋n 2≥5，当且仅当an ＝bm 时，等号成立． 故m 2＋n 2的最小值为 5. 答案5三、解答题10．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5y的最小值．解 (1)∵x >0，a >2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x22＝a28， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy10＝2. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2. 当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立．11．(xx·新课标全国卷Ⅰ)若a >0，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.培优演练1．若正数a，b满足1a＋1b＝1，则1a－1＋9b－1的最小值为( )A．1 B．6 C．9 D．16解析方法一：因为1a＋1b＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以1a－1＋9b－1≥21a－1×9b－1＝2×3＝6.方法二：因为1a ＋1b＝1，所以a＋b＝ab，所以1a－1＋9b－1＝b－1＋9a－9ab－a－b＋1＝b＋9a－10＝(b＋9a)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b－10≥16－10＝6.方法三：因为1a ＋1b＝1，所以a－1＝1b－1，所以1a－1＋9b－1＝(b－1)＋9b－1≥29＝2×3＝6.答案B2．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：(1)对任意a∈R，a*0＝a；(2)对任意a，b∈R，a*b＝ab＋(a*0)＋(b*0)．则函数f(x)＝(e x)*1e x的最小值为( )A．2 B．3 C．6 D．8解析依题意可得f(x)＝(e x)*1e x＝e x·1e x＋e x＋1e x＝e x＋1e x＋1≥2e x·1e x＋1＝3，当且仅当x＝0时“＝”成立，所以函数f(x)＝(e x)*1e x的最小值为3，选B.答案B3．(xx·山东淄博期末)若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．解析由基本不等式得2a＋2b≥22a2b＝2×2a＋b2，即2a＋b≥2×2a＋b2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，所以2c＝t t－1＝1＋1t－1，由t≥4，得1<tt－1≤43，即1<2c≤43，所以0<c≤log243＝2－log23，故答案为2－log23.答案2－log234．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批社会用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？解(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元，建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72(万元)，楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)，建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)，建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y＝f(x)＝72x＋x x－12×2＋100＝x2＋71x＋100，综上可知y＝f(x)＝x2＋71x＋100(x≥1，x∈Z)．(2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝f x×10 0001 000x＝10f xx ＝10x2＋71x＋100x＝10x＋1 000x＋710≥2 10x·1 000x＋710＝910.当且仅当10x＝1 000x，即x＝10时等号成立．综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．)38952 9828 頨]33956 84A4 蒤29938 74F2 瓲30022 7546 畆Y32701 7FBD 羽35296 89E0 觠21092 5264 剤24218 5E9A 庚31446 7AD6 竖d0V。
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课时提升作业(三十六)
基本不等式
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.下列不等式:①a2+1>2a;②≤2;③x2+≥1,其中正确的个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.①②不正确,③正确,x2+=(x2+1)+-1≥2-1=1.
2.(2013·福建高考)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()
A. B.
C. D.
【解析】选D.2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.
3.(2015·马鞍山模拟)设x>0,y>0,且2x+y=6,则9x+3y有()
A.最大值27
B.最小值27
C.最大值54
D.最小值54
【解析】选D.因为x>0,y>0,且2x+y=6,
所以9x+3y≥2=2=2=54,当且仅当x=,y=3时,9x+3y有最小值54.
4.圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线2ax-by+2=0(a,b∈R)对称,则ab的取值范围是
()
A. B.
C. D.
【思路点拨】圆关于直线对称,则圆心在直线上,利用此条件可解.
【解析】选A.由已知得圆心坐标为(-1,2),
故-2a-2b+2=0,即a+b=1,
故ab≤=.
5.(2015·黄冈模拟)若实数x,y,z满足x2+y2+z2=2,则xy+yz+zx的取值范围是
()
A.[-1,2]
B.[1,2]
C.[-1,1]
D.[-2,2]
【解析】选A.因为(x-y)2+(x-z)2+(y-z)2≥0,
所以x2+y2+z2≥xy+xz+yz,
所以xy+yz+zx≤2;
又(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+xz)≥0,
所以xy+xz+yz≥-(x2+y2+z2)=-1.
综上可得:-1≤xy+xz+yz≤2.
故选A.
6.设二次函数f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为()
A.3
B.
C.5
D.7
【解析】选A.由题意知,a>0,Δ=16-4ac=0,
所以ac=4,c>0,
则+≥2×=3,当且仅当=时取等号,
则+的最小值是3,故选A.
7.(2015·潍坊模拟)一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c ∈(0,1)),已知他投篮一次得分的均值为2,+的最小值为()
A. B. C. D.
【解析】选D.由题意得3a+2b=2,
+=×=6+++≥+2=,当且仅当a=,b=时取等号.
故选D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.(2015·青岛模拟)下列命题中正确的是(填序号).
①y=2-3x-(x>0)的最大值是2-4;
②y=sin2x+的最小值是4;
③y=2-3x-(x<0)的最小值是2-4.
【解析】①正确,因为y=2-3x-=2-≤2-2=2-4.
当且仅当3x=,即x=时等号成立.
②不正确,令sin2x=t,则0<t≤1,
所以g(t)=t+,
显然g(t)在(0,1]上单调递减,
故g(t)min=g(1)=1+4=5.
③不正确,因为x<0,所以-x>0,最小值为2+4,而不是2-4.
答案:①
【误区警示】此题容易出现答案为①②,是因为做题时只看到了形式,而看不到基本不等式成立的条件而造成的.
9.(2013·四川高考)已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=.
【解析】由题f(x)=4x+(x>0,a>0),根据基本不等式4x+≥4,当且仅当4x=时取等号,而由题知当x=3时取得最小值,即a=36.
答案:36
10.已知x,y为正实数,3x+2y=10,+的最大值为.
【解析】由≤
得+≤
==2,
当且仅当x=,y=时取等号.
答案:2
【一题多解】此题还可以这样解:
设W=+>0,
W2=3x+2y+2·=10+2·≤10+()2+ ()2=10+(3x+2y)=20,
所以W≤=2,
当且仅当x=,y=时等号成立.
答案:2
(20分钟40分)
1.(5分)(2015·怀化模拟)已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象经过点(0,1),则+的最小值为()
A.3+2
B.3-2
C.4
D.2
【解析】选A.由已知得2a+b=1,
又因为a,b为正实数,
所以+=(2a+b)=3++
≥3+2=3+2.
当且仅当a=1-,b=-1时取等号.
【加固训练】(2013·山东高考)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为()
A.0
B.1
C.
D.3
【解析】选B.由x2-3xy+4y2-z=0,得z=x2-3xy+4y2.
所以==
≤=1,
当且仅当=,即x=2y时取等号,此时z=2y2,=1.
+-=+-==
≤4=1.
2.(5分)(2015·吉林模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得
=4a1,则+的最小值为()
A. B. C. D.
【解析】选A.由各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5,
可得a1q6=a1q5+2a1q4,
所以q2-q-2=0,
解得q=2或q=-1(舍去).
因为=4a1,所以qm+n-2=16,
所以2m+n-2=24,所以m+n=6,
所以+=(m+n)
=
≥(5+4)=.
当且仅当=时,等号成立,
故+的最小值等于.
3.(5分)(2015·太原模拟)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m 的取值范围是()
A.[3,+∞)
B.(-∞,3]
C.(-∞,6]
D.[6,+∞)
【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,
所以a+b=(a+b)
=10++≥10+2=16,
由题意,得16≥-x2+4x+18-m,
即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立,
而x2-4x-2=(x-2)2-6,
所以x2-4x-2的最小值为-6,
所以-6≥-m,
即m≥6.
【加固训练】(2014·闵行模拟)若不等式(x+y)+≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.
【解析】因为不等式(x+y)≥16对任意正实数x,y恒成立,所以16≤.
令f(x)=(x+y)(a>0),
则f(x)=a+4++≥a+4+2=a+4+4,
当且仅当=时取等号,
所以a+4+4≥16,解得a≥4,
因此正实数a的最小值为4.
答案:4
4.(12分)(2015·郑州模拟)若a>0,b>0,且+=.
(1)求a3+b3的最小值.
(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.
【解析】(1)因为a>0,b>0,且+=,
所以=+≥2,所以ab≥2,
当且仅当a=b=时取等号.
因为a3+b3≥2≥2=4,
当且仅当a=b=时取等号,
所以a3+b3的最小值为4.
(2)由(1)可知,2a+3b≥2
=2≥4>6,
故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.
5.(13分)(能力挑战题)某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60m,AB=40m,且△EFG中,∠EGF=90°,经测量得到AE=10m,EF=20m,为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏,设计时经过点G作一直线交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m).
(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数.
(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.
【解题提示】(1)作GH⊥EF,垂足为H,过M作MT∥BC交CD于T,求出AM=,可得S五边形
MBCDN=S四边形MBCT+S四边形MTDN=(40-AM)×60+(x+60)×AM,从而可得五边形MBCDN的面积的函数表达式.
(2)将函数变形,利用基本不等式,可求市民健身广场的面积最大值.
【解析】(1)作GH⊥EF,垂足为H.
因为DN=x,所以NH=40-x,NA=60-x,
因为=,
所以=,所以AM=.
过M作MT∥BC交CD于T,
则S五边形MBCDN=S四边形MBCT+S四边形MTDN=(40-AM)×60+(x+60)×AM,
所以y=×60+
×=2400-.
由于N与F重合时,AM=AF=30适合条件,
故x∈(0,30].
(2)y=2400-
=2400-5,
所以当且仅当40-x=,
即x=20∈(0,30]时,y取得最大值2000,
所以当DN=20m时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为2000m2.。