概率论基础 贤平 第三版 复习要点(PPT文档)
概率论基础 PPT课件
正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
概率论知识点总结.ppt
************************ 典 型 问 题 ************************** 典型问题一: 事件的概率( 利用概率定义和运算法则计算 )
利用古典概型与加法定理计算
利用全概公式和贝叶斯公式计算 利用条件概率与乘法公式计算
典型问题一: 事件的概率( 利用随机变量的概率分布计算 )
概率论知识要点
随机 事件
概念 样本点、样本空间、基本事件、随机事件、必然事件、不可能事件 运算及关系 运算性质
概率 定义、 性质 条件概率
乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式、 独立、 独立重复试验
随机变量
定义 、性质、离散型/连续型、 n维 分布函数/分布律 概率密度 边缘分布、条件分布、 独立性
随机变量函数的分布
机 变
分布函数
量 及
性质
分
布
3)左连续
函
数 X落在区间内概率
定义
离
散
性质
型
与 连
与分布函数的关系
续
型
随
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机 变
X落在区间内概率
量
分布律
分布函数
6
边 边缘分布函数
缘
分
定义
布
条件分布函数
条
件
定义
分
布
P{ X = xi | Y = yj } P{ Y = yj | X = xi }
独
立
定义
性
7
r.v.的函数 的分布
所求概率
已知分布
已知分布律
已知分布密度
典型问题一: 事件的概率( 概率的近似计算 )
典型问题二: 随机变量及其函数的分布
《概率论基础》PPT课件
销售部经理认为，为减少决策风险，应根据对用户试用 反馈情况进行分析后再作是否投资生产该洗衣机的决定。 销售部经理还提供了过去许多企业在产品正式投产之前采 用类似试用或试销方法的用户反馈结果与产品正式生产上 市后销售状况之间的统计数据，见表1
表1 销售状况与试用结果间的统计资料
销售状况 试用结果
滞销
5
销售部经理的建议
为使对该新产品项目的投资决策更具科学性，总经理 召开了有销售、生产、财务、技术等部门负责人参加的 会议。会上销售部经理建议，为减小决策风险，应在决 定是否投资生产前先利用原有设备进行少量试生产（100 台），并将试生产的洗衣机免费赠送给不同地区的一些 用户进行为期3个月的试用，以取得用户的反馈信息。为 此，销售部经理还设计了用户试用后的信息反馈表，包 括功能、使用效果、方便程度、外观、可靠性五大类共 25个指标，每项指标都由用户按1～5分打分，加权平均 后的满分为100分。根据用户试用后反馈结果的总平均分， 可 将 用 户 对 该 洗 衣 机 的 评 价 分 为 ” 不 满 意 ” （ 低 于 60 分）、”尚可”（60～90分）和”满意”（高于90分） 三种可能结果。
C，… 表示。 3．样本空间——由试验E所有基本事件组成的集合，称为
E的样本空间，常用字母S表示。 4．必然事件——每次试验中必然发生的事件；样本空间S
是必然事件。 5．不可能事件——试验中不可能发生的事件；不含任何
基本事件的空集是不可能事件；记为φ。
11
【例1】掷一枚骰子，观察出现的点数.
利用概率论的知识，可以帮助决策者进行风险型决策分析， 利用所能获得的各种信息，还可以大大降低决策的风险程度， 尽可能避免重大的经济损失，并为企业带来可观的经济效益 和良好的发展机遇。
李贤平概率论基础23共36页文档
§3 伯努利试验与直线上的随机游动
一、伯努利概型 二、伯努利概型中的一些分布 三、直线上的随机游动
一 、伯努利概型
伯努利试验
如果随机试验E只有两个可能的结果，如:
• 掷一枚硬币，只出现“正面”或“反面”； • 考察一条线路，只有“通”与“不通”； • 传递一个信号，只有“正确”与“错误”； • 播下一颗种子，了解它“发芽”与否； • 观察一台机器“开动”与否… 这种随机试验称为伯努利(Bernoulli)试验.
例3: 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种 新药是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这 药给 10 个病人服用，如果这 10 人中至少有4 个人 痊愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无 效．求： ⑴ 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试 验却被否定的概率． ⑵新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概 率．
P ( C k ) C k r 1 1 p r 1 q k rp C k r 1 1 p r q k r
即 ： f( k ;r ,p ) C k r 1 1 p r q k r ,k r ,r 1 ,L
• 有时试验的可能结果虽有多种，但如果只考虑某
事件A发生与否，也可作为伯努利试验.
• 例如抽检一个产品，虽有各种质量指标，但如果 只考虑合格与否，就是伯努利试验.
• 此时，事件域可取为：F,A,A,
若 随 机 试 验 E 的 事 件 域 为 ： F ,A ,A , ， 其 中
P A = p ， P A = q ， 且 p 0 ， q 0 , p + q = 1 .
分析：此为10重伯努利试验，令A—痊愈
（1）药物本来有效的情况下，
pPA 0.35,n10
《概率论基础》(李贤平)第三版-课后答案
第一章事件与概率1、解：(1) P｛只订购A 的｝=P{A(B∪C)}＝P(A)-{P(AB)+P(AC)-P(ABC)}=0.45-0.1.-0.08+0.03=0.30.(2) P｛只订购A 及B 的｝=P{AB}-C｝=P(AB)-P(ABC)=0.10-0.03=0.07(3) P｛只订购A 的｝=0.30,P｛只订购B 的｝=P{B-(A∪C)}=0.35-(0.10+0.05-0.03)=0.23.P｛只订购C 的｝=P{C-(A∪B)}=0.30-(0.05+0.08-0.03)=0.20.∴P｛只订购一种报纸的｝=P{只订购A}＋P{只订购B}＋P{只订购C}=0.30+0.23+0.20=0.73.(4)P{正好订购两种报纸的}＝P{(AB-C) ∪(AC-B) ∪(BC-A)}=P(AB-ABC)+P(AC-ABC)+P(BC-ABC)=(0.1-0.03)+(0.08-0.03)+.(0.05-0.03)=0.07+0.05+0.02=0.14.(5)P｛至少订购一种报纸的｝= P｛只订一种的｝+ P｛恰订两种的｝+ P｛恰订三种的｝=0.73+0.14+0.03=0.90.(6) P｛不订任何报纸的｝=1-0.90=0.10.2、解：（1）ABC =A ⇒BC ⊃A( A BC ⊂A显然) ⇒B ⊃A且C ⊃A ，若A发生，则B 与C 必同时发生。
（2）A ∪ B ∪ C =A ⇒B ∪ C ⊂A ⇒B ⊂A且C ⊂ A ，B 发生或C 发生，均导致A 发生。
（3）AB ⊂C ⇒A与B 同时发生必导致C 发生。
（4）A ⊂BC ⇒A ⊂B ∪ C ，A 发生，则B 与C 至少有一不发生。
3、解： A1 ∪ A2 ∪…∪ A n =A1 + ( A2 -A1 ) +… + ( A n -A1 -… -A n-1 )(或)＝A1 +A2 A1 +…+A n A1 A2 … A n-1 ．4、解：（1）ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。
概率论基础(第三版)-李贤平-试题+答案-期末复习
第一章 随机事件及其概率一、选择题：1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ）A ．AB AC + B ．()A B C +C ．ABCD ．A B C ++2．设B A ⊂ 则 （ ）A ．()P AB I =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=-C ． P(B|A) = P(B)D ．(|)()P A B P A =3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立A ．()()()P AB P A P B =I B ．P （A|B ）=0C ．P （A|B ）= P （B ）D ．P （A|B ）= ()P A4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ）A ．a-bB ．c-bC ．a(1-b)D ．b-a5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 互不独立D ．A 与B 互不相容6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ⊃，则一定成立的关系式是（ ）A ．P （A|B ）=1 B ．P(B|A)=1C ．(|A)1p B =D ．(A|)1p B =7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ）A ．()AB B A -=U B ．()A B B A -⊃UC ．()A B B A -⊂UD ．()A B B A -=U8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0C ．A 与B 互不相容D ．A+B 是必然事件9．设事件A 与B 独立，则有 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （AB ）=0D ．P （A+B ）=110．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ）A ．P （AB ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ）C ．P （A|B ）=P （A ）D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ）11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ）A ．A 与B 互斥 B ．AB 是不可能事件C ．P （A ）=0或P （B ）=0D ．AB 未必是不可能事件12．若事件A 、B 满足A B ⊂，则 （ ）A ．A 与B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生C ．B 发生时则A 必发生D ．A 不发生则B 总不发生13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ）A ． ()()PB P AB - B ．()()()P A P B P AB -+C ．()()P A P AB -D ．()()()P A P B P AB --14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC U U 表示 （ ）A ．A 、B 、C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个C ．A 、B 、C 至多发生两个D ．A 、B 、C 至多发生一个15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ）A ．A 与B 互不相容 B ．A 与B 相互独立C ．A 与B 相互对立D ．A 与B 互不独立16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=，P （B ）=，P （C ）=，则P A B C -=U （）（ ）.A ．B ．C ．D ．17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ）A ．1/2B ．1/3C ．1/4D ．3/418．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ）A ．121p p --B ．121p p -C ．12121p p p p --+D ．122p p --19．每次试验的成功率为)10(<<p p ，则在3次重复试验中至少失败一次概率为（ ）。
《概率论基础》课件
本课程将为您介绍概率论的基础知识，包括概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及在实际问题中的应用。
课程介绍
欢迎参加《概率论基础》课程！它将帮助您理解概率论的重要性以及其在实 际生活中的应用。
在本课程中，您将学习概率的基本概念、概率的性质，以及如何使用概率模 型解决实际问题。
天气预报
探索概率在天气预报中的应 用。
医学研究
学习如何使用概率在医学研 究中进行数据分析。
总结和回顾
感谢您参加《概率论基础》课程！在本课程中，我们深入学习了概率的基本概念、性质，常见的 概率模型，概率计算方法以及概率在实际问题中的应用。 希望您通过本课程的学习，加深对概率论的理解，并能将其应用于实际生活和工作中。
连续概率分布
了解连续概率分布，如 正态分布和指数分布。
混合概率模型
探索混合概率模型和它 们的应用。
概率计算方法
1
排列组合
学习如何使用排列和组合计算概率。
条件概率树
2
掌握使用条件概率树解决复杂问题
的方法。
3
贝叶斯定理
了解贝叶斯定理在概率计算中的重 要性。
概率在实际问题中的应用
股票市场
了解如何使用概率计算股票 行情和投资决策。
概率的基本概念
1 随机事件
了解随机事件的定义和特征。
3 事件的概率
学习如何计算事件的概率。
2 样本空间
掌握样本空间的概念和表示方法。Βιβλιοθήκη 概率的性质互斥事件
研究互斥事件的特性和计算 方法。
独立事件
条件概率
探讨独立事件的概念和性质。
学习如何计算条件概率和应 用。
常见的概率模型
概率论复习知识点总结PPT课件
•事件的运算性质和集合的运算性质相同，设 A，B，C为事件，则有
•交 换 律 ：
•结 合 律 ： •分 配 律 ：
A B B A, AB BA ( A B) C A (B C), ( AB)C A(BC )
•对 偶 律 ：
( A B)C ( AC) (BC),
例1.3, ( AB) C ( A C)(B C)
i 1
i 1
作业： 三、19 FY ( y) [F( y)]n , FZ (z) 1 [1 F(z)]n
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第4章要点
一、随机变量的数学期望 •离 散 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 •连 续 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 •随 机 变 量 函 数 的 数 学 期 望
•泊松分布: X~P(), >0
例2.6，2.7 作业：一、2，3；三、6，7，9
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第2章要点
三、连续型随机变量
1.连续型随机变量及其分布
•定 义 ：
F( x) x f ( x)dx
•F ( x ) 与 f ( x ) 关 系 ：
•f(x) 性质：
F(x) f (x);(F(x)连续）
例2.6，作业：三、16，17，18
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第3章要点
一、 二维随机变量及联合分布函数
•联 合 分 布 函 数 的 定 义 ：
F(x, y) P{X x,Y y}
二、二维离散型随机变量及其联合分布律
•联 合 分 布 律 定 义 ：
P{X xi ,Y yj } pij , i, j 1,2,
•特 别 ， 当 X ， Y 是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 时 ， 有
《概率论总复习》课件
常见问题解答二：条件概率与独立性的关系？
总结词
条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们之间 存在密切的联系。
详细描述
条件概率是指在某个已知事件发生的条件下，另一个 事件发生的概率。而独立性则是指两个事件之间没有 相互影响，一个事件的发生不影响另一个事件的发生 。在条件概率中，如果两个事件在给定条件下是独立 的，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的 乘积。因此，条件概率和独立性之间存在密切的联系 ，理解它们的概念和关系有助于更好地掌握概率论中 的相关内容。
04
概率论的应用
统计学中的概率论应用
统计推断
概率论为统计学提供了理论基 础，用于估计未知参数、检验 假设和进行预测。
随机抽样
概率论确保了随机抽样的公正 性和代表性，使得样本数据能 够反映总体特征。
统计决策
基于概率论的决策分析方法， 如贝叶斯决策和风险分析，帮 助决策者做出最优选择。
计算机科学中的概率论应用
100%
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布通常由概 率质量函数或概率分布函数描述 。
80%
连续型随机变量的分布
连续型随机变量的分布由概率密 度函数描述，其总概率为1，即 ∫−∞∞f(x)dxF(x)=∫−∞∞f(x)dxF (x)=∫−∞∞f(x)dxF(x)=1。
02
概率论中的重要定理
贝叶斯定理
01
02
03
04
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
贝叶斯定理是概率论中的基本 定理之一，它提供了在已知某 些条件下，对概率进行更新和 推理的方法。
李贤平-概率论基础-Chap5
n ( ) 0. 从而，
同时， (0,1], 总有无数个 ki 1,
以及无数个 ki 0 , 所以 n 处处不收敛.
上述 n , 满足
r
P
1 E | n | E | ki | 0, as n , k r 即 n ( ) 0. 可见，矩收敛也不能蕴涵几乎处处收敛.
通常把正逆极限定理合称为连续性定理。
连续性定理 (Levy-Cramer)
分布函数列 Fn(x) 弱收敛到某一个分布函数 F (x) ，当且
仅当Fn(x) 对应的特征函数列 fn(t) 在任意有限区间内一 致收敛到某个函数 f (t)。
三、随机变量的收敛性
定义1.(依分布收敛)
设随机变量 n ( ), ( )的分布函数分别为 Fn ( x) 及 F ( x)
11 21
22
1
3 2
31
32
33
6 4 5
即
k ( k 1) n ( ) ki ( ) , n i . 2
由（*）式， 0 ,
lim P (| n ( ) | ) lim P (| ki ( ) | ) 0.
这样得到的极限函数是一个有界的非降函数，我们也 可以选得它是左连续的,但下例说明它不一定是一个分布 函数.
分布函数列的弱收敛极限不一定是分布函数.
0, x n 例2 取 Fn ( x) , 1, x n
显然, lim Fn ( x) 0 对一切 x 成立。
n
但 F ( x) 0 不是分布函数。
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
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二、分布律、概率密度的性质
离散型
连续型
pk 0
pk 1 k
P{X S} pk xk S
f (x) 0
f (x)dx 1 b
P{a X b} a f (x)dx
P{a < X ? b} = F(b) - F(a)
P{X £ b} = F (b)
fY
( y)
fX
[h( y)] 0,
h
y
,
y
其它.
,
其中， min g(x), max g(x) .
a x b
a xb
此定理的证明与前面的解题思路类似.
三、考题选讲
解
设X U(-1,2) , 求Y =X 2的概率密度。
f
X
x
1
或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度。
P{(X ,Y ) G} f (x, y)dxdy , G
边缘分布函数
FX (x) 记做
F (x, )
lim F (x
y
, y)
离散型随机变量的边缘分布律
P{X xi} pij Pi (i 1,2, ) j 1
Ⅱ. 公式法
定理 设随机变量X 具有概率密度 fX (x) ( x )
又设 Y gX 处处可导，且对于任意 x 恒有 g(x) 0
或恒有 g(x) 0 则 Y gX 是一个连续型随机变量，
它的概率密度为 (X hY 是 Y gX 的反函数)
三、几种重要的分布
离散型
(0—1)分布 二项 分布 泊松 分布 几何分布
连续型
均匀分布 指数 分布 正态 分布 标准正态分布
二、考点
1、正态分布相关概率计算
P(a X b) P{a X b }
(b ) (a )
2、连续型随机变量的函数的分布
定性 义质
条件
事件的
事件的关系和运算
概率
独立性
全概率公式与贝叶斯公式
古典 概型
几何 概率
乘法 定理
一、知识点 事件及关系和运算
概率的定义和性质
样本空间，事件的定义
事件之间的关系（和、积、差、 互不相容、对立）
运算律：交换，结合，分配， 德*摩根律
统计定义：频率稳定值 定义
公理化定义：三条
性质：可加性、单调性、和的概率
2.难点
连续型随机变量的概率密度函数的求法
二、主要内容
密度函数 分布函数
分布律
连续型 随机变量
随机变量
离散型 随机变量
均指正 匀数态 分分分 布布布
随机变量 定 的函数的
分布 义
两 二泊 点 项松 分 分分 布 布布
随机向量
二
推广
维
定义
随
机
联合分 布函数
变
量
定性
义质
随机变量 的相互独立性
联合分布律 联合概率密度
概率论总复习
第一二章随机事件及其概率
1.重点
随机事件的概念
古典概型的概率计算方法 概率的加法公式 条件概率和乘法公式的应用
全概率公式和贝叶斯公式的应用
2.难点
古典概型的概率计算 全概率公式的应用
二、主要内容
随机 现象
随机 试验
随机事件
复基 必 合本 然 事事 事 件件 件
不对
可立
能 事
事
件件
概率
x2
二维离散型随机变量
分布律 P{X xi ,Y y j} pij
分布函数 F(x, y) P{X x,Y y} pij
二维连续型随机变量
x ix y iy
yx
F(x, y)
f (u,v)dudv
f (x, y) 称为 ( X ,Y )的 概率密度,
一、知识点
联合分布函数
F(x, y) P{X x,Y y}
y (x, y)
F (x2, y2 ) F (x1, y2 ) F (x2, y1) F (x1, y1)
x
0
y y2 (x1, y2 )
y1 (x1, y1)
0 x1
(x2 , y2 )
(x2 , y1) x
条件分布
边缘分布
两个随机变量的函数的分布
三、知识点
一、分布函数的性质 F (x) P{X x}
离散型
连续型
0 ＃F(x) 1 (- ? x < + ? )
F () 0, F () 1
单调不减性
右连续性
连续性
P{X a} F (a) F (a 0) P{X a} 0
连续型随机变量的边缘概率密度
f X (x)
f (x , y) dy
二维随机变量的均匀分布
f
(
x,
y)
1 G的面积
,
(x, y) G,
0,
其它.
其中G 是 R2上某一区域，则称 ( X ,Y ) 服从G 上的均 匀分布。
两个随机变量的独立性
P{X x ,Y y} P{X x} P{Y y}
当1≤ x < 2时 1 ≤ y < 4,
3 2y 6y f (y) 1 1 1
3 2y 6y
2x
1 (3 y ),
fY ( y) 1 (6 y ),
0,
0 y 1, 1 y 4,
others.
当y=g(x)不单调时，先在每个单调区间求出，然后将每 个单调区间内按照y的取值相加即可。
/3 0
1 x 2 其它
y
x
2
4
y
1
1
当 y < 0 时 FY ( y) 0 ；当 y ≥ 4 时 FY ( y) 1
当-1≤ x ≤ 0时,0≤ y < 1 f ( y) 1 1 1
3 2y 6y
当0≤ x < 1时,0≤ y < 1 f (概率：
概 率
乘法公式：
的
计
算
全概率公式：
注意排列组合要一致！
二、考点
加法公式 P A B P A PB P AB
减法公式
乘法公式 P( A B) P( AB) P( A) P( AB)
全概率公式 P( AB) P(B | A)P( A)
n
P(A) P( A | Bi )P(Bi )
贝叶斯公式
i 1
P(Bi | A)
P( A | Bi )P(Bi ) P( A)
三、考题选讲
第三章 随机变量及其分布
一、重点与难点
1.重点
(0-1)分布、二项分布和泊松分布的分布律 正态分布、均匀分布和指数分布的分布函数、 密度函数及有关区间概率的计算