新课程高中数学 第二章平面向量精选题 苏教版必修
高中数学第2章平面向量2_1向量的概念及表示成长训练苏教版-
高中数学第2章平面向量2_1向量的概念及表示成长训练苏教版-版必修4夯基达标1.下列关于向量的说法中，正确的是（）A.长度相等的两向量必相等B.两向量相等，其长度不一定相等C.向量的大小与有向线段起点无关D.向量的大小与有向线段起点有关解析：长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错.答案：C2.下列命题中正确的是（）A.若|a|＞|b|则a＞bB.若|a|=|b|则a=bC.若a=b则a与b共线D.若a≠b则a与b一定不共线解析：因为向量是既有大小又有方向的量，两个向量间不能比较大小，因此，A不正确；两个向量的模相等，但方向却不一定相同，因此B不正确；相等的向量方向一定相同，相等向量一定共线，因此C正确；对于选项D，两个向量不相等，可能是长度不同方向可以相同或相反，所以a与b有共线的可能，故D不正确.答案：C3.关于向量的说法有以下几个，其中，说法错误的个数是（）①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.A.2B.3C.4D.5解析：①说法正确；②不正确，若a、b中有一个为零向量时，其方向不确定；③正确；④不正确，终点相同并不能说明两向量的方向相同或相反；⑤不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；⑥不正确，向量可以用有向线段来表示，但向量并不是有向线段.答案：C4.已知下列三个位移：飞机向南飞行50km；飞机向西飞行50km；飞机向东飞行50km，下列判断中正确的是（）A.这三个位移相等，且这三个位移的长度也相等B.这三个位移不相等，但这三个位移的长度相等C.这三个位移不相等，且这三个位移的长度不相等D.以上都不正确解析：由于位移是向量，题中所给的三个位移方向均不相同，但其大小是相同的.答案：B5.四边形ABCD中AB=2DC，则四边形ABCD为（）A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形解析:∵AB=2DC，∴AB∥DC且|AB|=2|DC|.故四边形为梯形.答案:C6.如图所示，C、D是线段AB的三等分点，分别以图中各点作为起点和终点的非零且不相等的向量有__________个（）A.3B.6C.8D.12解析:1个单位长度的向量有AC，CA，CD，DC，DB，BD6个.2个单位长度的向量有AD，DA，CB，BC4个.3个单位长度的向量有AB,BA2个.因此，共6+4+2=12个，但其中AC=CD=DB，BD=DC=CA，AD=CB，BC=DA，因此互不相等的向量最多只有6个.答案:B7.给出以下5个条件：①a=b；②|a|=|b|；③a与b方向相反；④|a|=0或|b|=0，其中能使a∥b成立的条件是_______________.解析：|a|=|b|并不能一定推出a∥b，其余选项均可以.答案：①②③8.⊙O的周长是2π，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点，∠BAC=|CD|=_____________.解析：∵△ABC为Rt△，且∠BAC=30°，∠ACB=90°，AB=2，∴BC=1，AC=3，，CD⊥AB于D，这时6∴CD=33，即|CD|=.2232答案：9.已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002cm到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？解析：如图所示，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形.∴AC=2000km，又∵∠ACD=45°，CD=10002.∴△ACD为直角三角形，即AD=10002km，∠CAD=45°.答：丁地在甲地的东南方向距甲地10002km.10.一位模型赛车手摇控一辆赛车向正东方向前进1m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1m，按此方向继续操作下去.（1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；（2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个.解析：（1）如图，操作8次赛车的位移为零；（2）要使赛车能到出发点，只需赛车的位移为零，按（1）的方式作图，则所作图形是内角为180°-α的正多边形，故有n（180°-α）=（n-2）·180°，∴n= 360，n为不小于3的整数.如α=30°，则n=12，即操作12次可回到起点.又如α=15°，则n=24，即操作24次可回到起点.走近高考11.(2005北京宣武区模拟)若命题甲：AB=DC，命题乙：ABCD是平行四边形，则甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分，也不必要条件解析:由AB=DC得线段AB、DC长度相等且平行或共线，所以ABCD不一定是平行四边形；由ABCD是平行四边形得ABDC,所以AB=DC.答案:B12.(2004天津统考)给出下列六个命题，其中不正确的命题的个数为（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同;②若|a|=|b|，则a=b;③若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形;④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC;⑤若m=n，n=k，则m=k;⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.A.2B.3C.4D.5解析：两个向量起点相同、终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，却不一定有起点相同，终点相同，故①不正确，根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模相等，而且方向相同，而②中方向不一定相同，故不正确.③也不正确，因为A、B、C、D可能落在同一条直线上，零向量方向不确定，它与任一向量都平行，故⑥中若b=0，则a与c就不一定平行了.因此⑥也不正确.答案：C。
苏教版必修四第二章 平面向量 全套教案 知识梳理+典型例题+练习题+答案(学生版)
二、重难点提示重点：向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。
难点：向量的概念和共线向量的概念。
知识梳理一、向量及相关概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫向量，其中向量的大小称为向量的模（也就是用来表示有向线段的长度）。
注意：向量与数量的区别向量有大小有方向，数量只有大小没有方向。
故长度能比较大小，而向量不能说哪个大哪个小，只能说相等还是不相等。
（2）零向量：长度为0的向量叫做零向量，记做0。
（3）单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
（4）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
（5）相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定零向量与任一向量平行。
【要点诠释】两个向量共线，不一定相等；而两个向量相等，则一定共线。
向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线” 的含义。
平面几何里的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为以下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等；（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任一向量共线。
二、向量的表示（1）几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如AB用AB表示。
（2）整体法：用一个小写英文字母来表示，如a,b,c等，注意此时手写（a）与书写体a不一样。
（3）坐标法：用坐标来表示向量（以后学习）。
【易错点】注意：1.零向量的手写体为0，书写体用黑体字0表示。
2. 如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB，但有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段。
3. 共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，当然向量所在的直线可以平行，也可以重合。
示例：四边形ABCD满足＝且＝，则四边形ABCD的形状是________。
【重要提示】本题是考查图形的形状的问题，把向量关系转化为图形的边的关系来解决。
高中数学 第二章 平面向量章末复习课课时训练(含解析)苏教版必修4(2021年最新整理)
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第二章平面向量章末复习课课时目标1．掌握向量线性运算及其几何意义.2.理解共线向量的含义、几何表示及坐标表示的条件.3.掌握数量积的含义、坐标形式及其应用．知识结构一、填空题1．若向量a＝（1,2），b＝(－3，4），则(a·b）（a＋b）＝________.2．已知平面向量a＝(1,－3)，b＝(4,－2)，λa＋b与a垂直，则λ＝________.3．设向量a＝（1，2）,b＝（2，3）．若向量λa＋b与向量c＝(－4,－7）共线，则λ＝________。
4．已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2,α⊥（α－2β)，则|2α＋β｜的值是________．5．在平行四边形ABCD中，错误!＝（1，2）,错误!＝（－3,2），则错误!·错误!＝________。
6．若向量a与b不共线，a·b≠0,且c＝a－错误!b，则向量a与c的夹角为________．7．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1,点P在AM上且满足错误!＝2错误!，则错误!·（错误!＋错误!）＝________.8．已知｜p|＝2错误!,｜q|＝3，p、q夹角为错误!,则以a＝5p＋2q,b＝p－3q为邻边的平行四边形的一条对角线长为________．9．已知|a|＝2|b｜≠0，且关于x的方程x2＋|a｜x＋a·b＝0有实根,则a与b的夹角的取值范围是______．10．已知平面上直线l的方向向量d＝（3,－4），点O(0，0)和A（4，－2)在l上的射影分别是O1和A1，则|错误!｜＝________.二、解答题11．已知A(1,－2)、B(2,1)、C(3，2）和D(－2,3）,以错误!、错误!为一组基底来表示错误!＋错误!＋错误!.12．设a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R 。
苏教版高中数学必修四第二章平面向量习题
平面向量一、选择题1. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r得（ ）A. AB u u u rB. DAC. BCD. 0r2. 设00,a b u u r u u r 分别是与,a b r r向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）A. 00a b =u u r u u rB. 001a b ⋅=u u r u u rC. 00||||2a b +=u u r u u rD. 00||2a b +=u u r u u r3. 已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r，（2）若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r r（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅r rg 其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34. 下列命题中正确的是（ ）A. 若a ⋅b ＝0，则a ＝0或b ＝0B. 若a ⋅b ＝0，则a ∥bC. 若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|D. 若a ⊥b ，则a ⋅b ＝(a ⋅b)25. 已知平面向量(3,1)a =r ，(,3)b x =-r ，且a b ⊥rr ，则x =（ ）A. 3-B. 1-C. 1D. 36. 已知向量)sin ,(cos θθ=a ,向量)1,3(-=b 则|2|b a -的最大值， 最小值分别是（ ）A. 0,24B. 24,4C. 16,0D. 4,0二、填空题1. 若OA =)8,2(，OB =)2,7(-，则31AB =_________2. 平面向量,a b r r 中，若(4,3)a =-r，且5a b ⋅=r r ，则向量b =____.3. 若3a =r ,2b =r ，且a 与b 的夹角为060，则a b -=r r .4. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点 所构成的图形是___________.5. 已知)1,2(=a ρ与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________.三、解答题1. 如图，ABCD Y 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB u u u r =a r ，AD =b r，试以a r ，b r 为基底表示DE 、BF u u u r 、CG u u u r .2. 已知向量r r a 与b 的夹角为60o，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模.3. 已知点(2,1)B -，且原点O 分→AB 的比为3-，又(1,3)b →=，求→b 在→AB 上的投影.4. 已知(1,2)a =r,)2,3(-=b ,当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直？（2）ka +r b 与3a -rb 平行？平行时它们是同向还是反向？C参考答案一、选择题1. D 0AD BD AB AD DB AB AB AB --=+-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r2. C 因为是单位向量，00||1,||1a b ==u u r u u r3. C （1）是对的；（2）仅得a b ⊥rr ；（3）2222()()0a b a b a b a b +⋅-=-=-=r r r r r r r r （4）平行时分00和0180两种，cos a b a b a b θ=⋅=±⋅r r r r r r g4. D 若AB DC =u u u r u u u r ，则,,,A B C D 四点构成平行四边形；a b a b +<+r r r r 若//a b rr ，则a r 在b r 上的投影为a r 或a -r ，平行时分00和0180两种20,()0a b a b a b ⊥⇒==r r r r r r g g5. C 31(3)0,1x x +⨯-==6. D 2(2cos 2sin 1),|2|a b a b θθ-=-+-=r r r r==，最大值为4，最小值为0二、填空题1. (3,2)-- (9,6)AB OB OA =-=--u u u r u u u r u u u r2. 43(,)55- 5,cos ,1,,a b a a b a b a b=<>==r r r r g r r r r r 方向相同，143(,)555b a ==-r r3.a b -====r r 4. 圆 以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆5. 45- a tb +===r r ，当45t =-时即可三、解答题1. 解：1122DE AE AD AB BE AD a b b a b =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r1122BF AF AB AD DF AB b a a b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r rG 是△CBD 的重心，111()333CG CA AC a b ==-=-+u u u r u u u r u u u r rr2. 解：22(2)(3)672a b a b a a b b +-=--=-r r r r rr r r g g2220cos 60672,2240,a a b b a a --=---=r r r r r r(4)(2)0,4a a a -+==r r r3. 解：设(,)A x y ，3AOOB=-，得3AO OB =-u u u r u u u r ，即(,)3(2,1),6,3x y x y --=--==-得(6,3)A -，(4,2),AB AB =-=u u u v u u u v ，cos b AB b ABθ==r u u u vr g u u u v 4. 解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+r r3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-r r（1）()ka b +⊥r r (3)a b -r r，得()ka b +r r g (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==r r（2）()//ka b +r r (3)a b -r r ，得14(3)10(22),3k k k --=+=-此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=--r r ，所以方向相反.。
2021年苏教版第2章平面向量测试3(苏教版必修4)
高一数学(下)单元测试题六(数学四第二章)平 面 向 量一、选择1、下列命题正确的是(D )A | a | =| b |⇒ a =bB | a | >| b |⇒ a >bC a =b ⇒ a ∥bD |a | = 0⇒ a =02、已知≠1e 0，λ∈R, a =1e +λ2e ,b =2e 1, 则a 与b 共线的条件( A )A λ=0B 2e =0C 1e ∥2eD λ=0 或1e ∥2e3、已知A(！，2)，B(4，0)，C(8，6)，D(5，8)四点，则四边形ABCD 是( B )A 、梯形B 、矩形C 、菱形D 正方形4、设点P 在有向线段AB 的延长线上，P 分所成AB 的比为λ，则(A )A λ〈 -1B -1〈 λ〈 0C 0〈 λ〈 1D λ 〉15、△ABC 中acosA=bcosB ，则△ABC 为(D )A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 等腰或直角三角形 6、若a =(1,1) b =(1,-1) c =(-1,2) 向量，则c 等于 ( B ) A -21a +23b B 21a -23b C 23a -21b D -23+21b7、设a 、b 、c 是任意的非零向量，且相互不共线，则①(a •b)c-(c •a)b=0 ②|a|-|b|<|a-b|③(b •c)a-(c •a)b 不与C 垂直 ④ (3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中正确的命题有( D )A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④8、已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)，B(4，1)C(0，-1)则△ABC 是( B )A 等腰三角形B 等腰直角三角形C 直角三角形D 以上均不对二、填空1、若点A(-1，2) B(2，3) C(3，-1)且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为(2，16)2、如果P(1，1)，A(2，3) B(8，-3)且C 、D 顺次为AB 的三等分点，则PC 和PD 的坐C E AD B xy标分别为(3，0)，(5，-2)3、设P=(2，7)，Q=(X ，-3)，则P 与Q 的夹角为钝角时X 的取值范围为( -∞, 221 )4、已知a+b=2i-8j ，a-b=-8i+16j ，则a •b= -63三、解答1、求等腰直角三角形中的两直角边上的中线所成的角为钝角。
苏教版高中数学必修4章末练测：第二章平面向量(含参考答案).docx
第2章平面向量（数学苏教版必修4）16.（15分）已知实数a，b，c，d，求函数f（x）的最小值.17.（21分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b ＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=m b+n c的实数m,n；（2）若（a+k c）∥(2b-a)，求实数k；（3）设d=(x,y)满足（d-c）∥(a+b)，且|d-c|＝1，求向量d.18.（14分）设平面内两向量a与b互相垂直，且|a|=2，|b|=1，又k与t是两个不同时为零的实数.（1）若x=a+（t-3）b与y=-k a+t b垂直，求k关于t的函数表达式k=f（t）；（2）求函数k=f（t）的最小值. 19.（15分）一条河的两岸平行，河的宽度d为500 m，一条船从A处出发航行到河的正对岸B 处，船航行的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=4 km/h，那么v1与v2的夹角（精确到1°）多大时，船才能垂直到达对岸B处？船行驶多少时间？（精确到0.1 min）第2章平面向量（数学苏教版必修4）答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．13． 14．二、解答题15.16.17.18.19.第2章平面向量（数学苏教版必修4）答案一、填空题1. a+c-b解析：如图，点O到平行四边形三个顶点A、B、C结合图形有ODuuu r=OAuu u r+ADu u u r=OAuu u r+BCuuu r=OAuu u r+OCuuu r-OBuuu r=a+c-b.2. ○2解析：|a·b|=|a||b||cos θ|≤|a|·|b|,其中θ为a与b3.45a-45b 解析：利用向量的三角形法则求解.如图，∵a·b=0，∴a⊥b，∴∠ACB=90°，∴又CD⊥AB,A D∴ AC 2=AD ·AB ，∴AD=5. ∴ AD u u u r=45AB uuu r =45（a -b ）=45a -45b . 4.5 解析：｜a +b ｜2=a 2+2a ·b +b 2=|a |2+2a ·b +|b |2=50，即5+2×10+|b |2=50,∴ |b |=5.5. 解析：利用平面向量共线和垂直的条件求解. ∵ a =（x,1）,b =（1,y ）,c =（2,-4）, 由a ⊥c 得a ·c =0,即2x-4=0,∴ x=2. 由b ∥c ,得1×（-4）-2y=0,∴ y=-2. ∴ a =（2,1）,b =（1,-2）.∴ a +b =（3,-1）,∴ |a +b6.π6解析：∵ a ∥b ，∴ 13×32-t a n cos =0，即sin =12，∴ =π6.7. P 在AC 边上 解析：∵ PA uu u r +PB uu u r +PC uuu r=AB uuu r， ∴ PA uu u r +PC uuu r =AB uuu r +BP uu u r =AP uuu r ，即PC uuu r=2AP uuu r . ∴ A 、C 、P 三点共线，即P 在AC 边上.8.○2 解析：取a =（1，0），b =（0，-1），满足条件a ·b =0，a 2=b 2，但不能推得a =0或b =0，a =b 或a =-b ，故选项○1、○3均假；向量数量积运算不满足消去律，故选项○4假. 9. 13 解析：∵ OA uuu r + OB uuu r + OC uuu r = 0 ，∴ OB uuu r + OC uuu r = AO uuu r ，设 OB uuu r + OC uuu r =OD uuu r， ∴O 是AD 的中点，要求面积之比的两个三角形是同底的三角形， ∴面积之比等于三角形的高之比，∴比值是13， 10.（2-，2） 解析：设b =（x ，y ），则|b |=|a |=，a ·b =|a ||b |·cos π4=××2=2，即x 2+y 2=5，x+2y=2，解得x=2-，y=2（舍去x=2，y=2）.故b =（2-，2）. 11.-25 解析：∵|AB uuu r|2+|BC uuu r|2=|CA uu u r|2，∴ △ABC 为直角三角形，AB ⊥BC ， cos A=35，cos C=45. ∴原式=3×4×0+4×5×(45-)+5×3×(35-)=25-.12.（5，4） 解析：设AB uuu r =（x ，y ），∵ AB uuu r与a 同向，∴ AB uuu r =λa （λ>0），即（x ，y ）=λ（2，3）.∴ 2,3.x y λλ=⎧⎨=⎩又|AB uuu r |=2，∴ x 2+y 2=52.∴ 4λ2+9λ2=52，解得λ=2（负值舍去）. ∴ 点B 的坐标为（5，4）.13. 1 解析：设OC uuu r =(x,y),由OC uuu r ⊥OB uuu r,得-x+2y=0.① 由BC uuu r =OC uuu r -OB uuu r =(x+1,y-2), BC uuu r ∥OA uuu r ,得(x+1)-3(y-2)=0.②由①②联立，解得x=14,y=7.故OD uuu r =OC uuu r -OA uuu r=(14，7)-(3，1)=(11，6).14.只要写出-4c,2c,c(c ≠0)中一组即可，如-4，2，1等 解析：由k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3＝0得12313,12323,20,421002k k k k k k k k k k ++==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩∴ k 1=-4c,k 2=2c,k 3=c(c ≠0). 二、解答题15.证明：引入向量a =（a ，b ），b =（c ，d ）. 设向量a 、b 的夹角为，则（ac+bd ）2=（a ·b ）2=（|a ||b |cos ）2≤（|a ||b |）2=（a 2+b 2）（c 2+d 2）. 16.解：引入向量a =（x+a ，b ），b =（c-x ，d ）， 则原函数变为f （x ）=|a |+|b |.∴ f （x ）=|a |+|b |≥|a +b∴ 函数f （x17.解：（1）因为a =m b +n c ,所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n ）,所以5,43,9228.9m m n m n n ⎧=⎪-+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=⎪⎩（2）因为（a +k c ）∥(2b -a ),又a + k c =(3+4k,2+k),2b -a =(-5,2), 所以2（3+4k ）+5（2+k ）＝0，即k=-1613. （3）因为d -c =(x-4,y-1),a +b =(2,4), 又（d -c ）∥(a +b ),|d -c |=1，所以22444(4)2(1)0,55(4)(1)1,1155x x x y x y y y ⎧⎧=+=-⎪⎪---=⎧⎪⎪⎨⎨⎨-+-=⎩⎪⎪=+=-⎪⎪⎩⎩解得或 所以d =（4+,或d =（4-）.18.解：（1）∵ a ⊥b ，∴ a ·b =0. 又x ⊥y ，∴ x ·y =0， 即［a +（t-3）b ］·（-k a +t b ）=0，-k a 2-k （t-3）a ·b +t a ·b +t （t-3）b 2=0.将|a |=2，|b |=1代入上式得-4k+t 2-3t=0，即k=f （t ）=14（t 2-3t ）. （2）由（1）知k=f （t ）=14（t 2-3t ）=14（t-32）2916-,∴ 当t=32时，k 最小=916-.19.解：如图，根据向量的平行四边形法则和解三角形知识可得| v 1|2=| v得| v 9.2（km/h ）. ∵ cos （π-）=21v v =410=25，∴ π-≈1130π，即≈1930π=114°，时间t=d v ≈0.59.2=592（h ）,即约3.3 min. 答：v 1与v 2的夹角约为114°时船才能垂直到达对岸B 处，大约行驶。
高中数学必修二平面向量练习题
高中数学必修二平面向量练习题1. 已知向量 a = 3i - 4j + 2k 和向量 b = i + 2j - 3k，求向量 a - b 的模长。
2. 若向量 a = 2i - 3j + 5k 和向量 b = 3i - 4j + 2k，求向量 a · b 的结果。
3. 已知向量 a = 2i - 3j + k 和向量 b = -i + 4j - 2k，求向量 a × b 的结果。
4. 已知向量 a = 3i - 2j + 5k 和向量 b = 2i + j - k，求向量 a 在向量 b 上的投影。
5. 若向量 a = 3i - 2j + k 和向量 b = 2i + j - 2k，求向量 a 与向量b 的夹角的余弦值。
6. 设直线 l 的对称式为 x - y = 1，点 A(2, 3) 在直线 l 上，求点A 关于直线 l 的对称点坐标。
7. 已知平面上点 A(1, 2, -3) 和点 B(2, -1, 4)，求向量 AB 的模长。
8. 若向量 a = 2i - 3j + 4k 和向量 b = -i + 4j - 2k，求向量 a + b 的结果。
9. 已知向量 a = 3i - j + 4k 和向量 b = -2i + 5j - 3k，求向量 a × b的结果。
10. 设平面 P 的法向量为 n = i + 2j - 3k，平面 P 上一点为 A(1, 2, -3)，求平面 P 的方程。
以上是高中数学必修二平面向量的练题，希望能帮助你巩固和练相关知识。
如需解答，请参考下面的答案。
1. 向量 a - b = (3 - 1)i + (-4 - 2)j + (2 + 3)k = 2i - 6j + 5k模长 |a - b| = √(2^2 + (-6)^2 + 5^2) = √652. 向量 a · b = (2)(3) + (-3)(-4) + (5)(2) = 6 + 12 + 10 = 283. 向量 a × b = (2)(4)i + (-3)(-1)j + (1)(-i + 4j) = 8i + 3j + 4k4. 向量 a 在向量 b 上的投影为：(向量 a ·向量 b 单位向量)b向量 a ·向量 b = (3)(2) + (-2)(1) + (5)(-1) = 6 - 2 - 5 = -1向量 b 的模长 |b| = √(2^2 + 1^2 + (-1)^2) = √6向量 b 的单位向量为：(1/√6)(2i + j - k)投影向量 = (-1)(1/√6)(2i + j - k) = (-1/√6)(2i + j - k)5. 两个向量的夹角的余弦值公式为：cosθ = (向量 a ·向量 b) / (|a| |b|)|a| = √(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = √14|b| = √(2^2 + 1^2 + (-2)^2) = √9 = 3向量 a ·向量 b = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(-2) = 6 - 2 - 2 = 2cosθ = 2 / (√14 * 3)6. 直线的对称式为 x - y = 1，斜率为1，由直线的对称性，对称点的坐标为：(2 + 2, 3 + 1) = (4, 4)7. 向量 AB = (2 - 1)i + (-1 - 2)j + (4 - (-3))k = i - 3j + 7k模长|AB| = √(1^2 + (-3)^2 + 7^2) = √598. 向量 a + b = (2 + (-1))i + (-3 + 4)j + (4 + (-2))k = i + j + 2k9. 向量 a × b = (3)(5)i + (-1)(-2)j + (4)(-2)k = 15i + 2j - 8k10. 平面 P 的方程为 A·n + d = 0，其中 A 为平面上一点的坐标，n 为法向量，d 为常数项A·n = (1)(1) + (2)(2) + (-3)(-3) = 1 + 4 + 9 = 14平面 P 的方程为 x + 2y - 3z + d = 0，代入点 A 的坐标可得 d = -14所以平面 P 的方程为 x + 2y - 3z - 14 = 0希望以上练习题和解答能为你提供帮助，并使你对高中数学必修二平面向量的相关概念和计算方法更加理解。
高中数学 2.1向量的概念及表示练习(含解析)苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题
第2章 平面向量 2．1 向量的概念及表示情景：如图，一只老鼠从A 处以30 km/h 的速度向西北方向逃窜，如果猫由B 处向正东方向以40 km/h 的速度追．思考：猫能捉到老鼠吗？为什么？1．我们把既有________又有________的量叫做向量．如：力、位移、速度、加速度等． 答案：大小 方向2．向量的表示方法有两种，即________或________． 答案：AB →a3.AB →的大小，也就是AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为零的向量叫做________，记作0.长度等于1个单位的向量，叫做________．答案：零向量 单位向量4．________的非零向量叫做平行向量，规定0与任一向量平行． 答案： 方向相同或相反5．________的向量叫相等向量．若a 与b 相等，记作________． 答案：大小相等方向相同 a ＝b6．由于向量可以平移，所以任一组平行向量都可以移到同一直线上，因此平行向量也叫________．答案：共线向量7．把与向量a ________的向量叫做a 的相反向量，记作________，a 与－a 互为________，零向量的相反向量仍是零向量．对于任一向量a 有－(－a )＝________．答案：长度相等，方向相反 －a 相反向量 a8．向量与有向线段的区别是：向量是________，只有________和________两个要素，与________无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同向量．有向线段有________、________和________三个要素，________不同，尽管大小和方向相同也是不同的有向线段．答案：自由向量 大小 方向 起点 起点 大小 方向起点9．共线向量与相等向量的关系，即共线向量________是相等向量，而相等的向量________是共线向量．答案：不一定 一定10．由向量相等的定义可以知道，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平移的，因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点．由此可知，任意一组平行向量都可以________．答案：移到同一条直线上向量的概念及表示1．既有大小又有方向的量称为向量． 2．向量的两种表示方法． (1)有向线段表示AB →. (2)字母表示a ，b ，c ，…. 零向量和单位向量零向量是一个特殊的向量，其方向不确定，是任意的，所以零向量不同于任何向量，在今后的学习中要注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目所给的是“零向量”还是“非零向量”．单位向量有无穷多个，且不同的单位向量确定不同的方向． 平行向量、共线向量、相等向量、相反向量平行向量也叫共线向量，故平行向量与共线向量没有区别，而非零的相等向量一定是平行向量，但平行向量不一定是相等向量．相反向量必为共线向量，共线向量未必为相反向量，相反向量中，只有零向量与它的相反向量相等．基础巩固1．下列各量中不是向量的是( ) A ．浮力 B ．风速 C ．位移 D ．密度 答案：D2．下列说法正确的是( ) A ．若a ∥b ，则a 与b 方向相同 B ．所有的单位向量的模都相等 C ．若|a |<|b |，则a <bD ．长度相等的向量叫做相等向量 答案：B3．下列条件中能得到a ＝b 的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a 与b 的方向相同 C ．a ＝0，b 为任一向量 D ．a ＝0，且b ＝0 答案：D4．给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是平行四边形；④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中不正确的命题的序号是________． 答案：①②⑥5．如右图所示，若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是________(填序号)． ①AB →与CD →共线； ②AC →与BD →相等； ③AD →与CB →是相反向量； ④AB →与CD →模相等．答案：①③④6．把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是________．答案：一条直线7．如下图所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，下列向量：AD →，AE →，BD →，BC →，ED →，EC →中共线向量有________对．答案：38．如上图所示，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，图中与CA →共线的向量有________个．解析：与CA →共线的向量有：AC →，DF →，FD →. 答案：39．如图，在等腰梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，EF ∥AB ，有四组向量：①AD →与BC →；②AC →与BD →；③OA →与OB →；④EO →与OF →.其中是相等向量的是________________(填序号)，模相等的向量有________________(填序号)．答案：④ ①②③④能力升级10．如下图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形．(1)写出与BC →相等的向量：________； (2)写出与BC →共线的向量：________．解析：(1)由于ABCD 和BCDE 均为平行四边形，所以AD ＝DE ＝BC .(2)只要与BC 平行的线段都可以成为与BC →共线的向量，但要注意方向．答案：(1)AD →，DE →(2)AD →，DE →，AE →，DA →，ED →，EA →，CB →11．如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个正三角形，△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH →相等的向量是________； (2)与向量EA →平行的向量是________．解析：写平行向量时要注意方向相同或相反两种情形． 答案：(1)HC →，LB ′→(2)EF →，FB →，HA ′→，HK →，KB ′→12．如图所示，已知五边形ABCDE 是边长为1的正五边形，在以A 、B 、C 、D 、E 五点中任意两点为始点和终点的向量中：模等于2cos 36°的向量个数为________．解析：由正五边形内角公式得：每个内角的角度为α＝（5－2）×180°5＝108°，∴∠BAC ＝36°.过点B 作BM ⊥AC ，∴|AC →|＝2·cos 36°.于是模等于2cos 36°的向量为AC →、CA →、BD →、DB →、CE →、EC →、DA →、AD →、EB →、BE →.共10个．答案：10个13．如右图，扇形OAB 中AB ︵＝4π5，∠AOB ＝π3，C 是弦AB 的中点，这时|AC →|＝________．解析：设半径为r ，则r ＝l |α|＝45ππ3＝125.在Rt △ACO 中，∠AOC ＝π6，∴|AC →|＝AO ·sin π6＝125×12＝65.答案：6514．河中水流自西向东流速为10 km/h ，小船自南岸A 点出发，想要沿直线驶向正北岸的B 点，并使它的实际速度达到每小时10 3 km ，该小船行驶的方向为________，小船在静水中的速度为________．解析：如下图所示：设小船的静水速度为v ，则|v |＝（103）2＋102＝20(km/h)．sin α＝1020＝12，α＝30°，即小船行驶的速度大小为20 km/h ，行驶的方向为北偏西30°.答案：北偏西30° 20 km/h15．如图，四边形ABCD ，BEFC ，CFGD 都是平行四边形，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出多少个互不相等的非零向量？解析：因为：AB →＝DC →＝GF →，BA →＝CD →＝FG →，AD →＝BC →＝EF →，DA →＝CB →＝FE →，BE →＝CF →＝DG →，EB →＝FC →＝GD →.所以图中互不相等的非零向量共有6个．16．如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC →|＝ 5.(1)画出所有的向量AC →； (2)求|BC →|的最大值与最小值．解析：(1)画出所有的向量AC →如图所示．(2)由(1)所画的图知， ①当点C 在点C 1或C 2时， |BC →|取得最小值12＋22＝5； ②当点C 在点C 5或C 6时， |BC →|取得最大值42＋52＝41.所以|BC →|的最大值为41，最小值为 5.17．已知两点A (1，2)，B (2sin α，log 2β)，α＝k π＋(－1)kπ6，k ∈Z ，且β＝4.判断AB →是否是零向量，是否是单位向量．解析：∵α＝k π＋(－1)kπ6，k ∈Z ，且β＝4， ∴2sin α＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋（－1）kπ6＝1. 又log 2β＝log 24＝2，∴B (1，2)． 又∵A (1，2)，∴|AB →|＝（1－1）2＋（2－2）2＝0. ∴|AB →|为零向量，不是单位向量．18．一架飞机从点A 向西北方向飞行200 km 到达点B ，再从点B 向东飞行100 2 km 到达点C ，再从点C 向东偏南30°飞行50 2 km 到达点D .问点D 在点A 的什么方向？点D 距点A 多远？解析：由|BC |＝1002，知点C 在点A 的正北方向，|AC |＝100 2.又由|CD |＝502，∠ACD ＝60°知∠CDA ＝90°.即∠DAC ＝30°，故DA →的方向为南偏西30°，长度为50 6 km.19．一质点从平面内点O 出发，向北前进a m 后，右转20°，再前进a m ，再右转20°，按此方法继续进行．则前进多少次，该质点第一次回到点O?解析：由题意可知，当质点第一次回到O 点时，质点的轨迹是一个正多边形，其内角为180°－20°＝160°.设其边数为n ，则(n －2)·180°＝n ·160°，∴n ＝18. 因此，质点前进18次，第一次回到O 点．20．“马走日”是中国象棋中的一个规则，即“马”在走动时必须走一种“日”字形的路径．下图是中国象棋棋盘的一部分，如“马”在点A ，那么它行走一步的路线就是如图所标的两个向量．请你用向量分别标出在点B 和C 处的“马”行走一步的所有可能路线，并讨论“马”在其他位置时行走一步的可能路线各有多少种．解析：在B 处有4种走法，在C 处有8种走法(图略)．通过作图我们可以知道，当“马”在棋盘的一个角上时，它行走的路线只有2种；如果记棋盘的一个格子的边为1，当“马”在边线上且距最近的其他边线为1时，“马”有3种走法；当“马”在边线上且距最近的其他边线不小于2时，“马”有4种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线为1时，“马”有4种或6种走法；当“马”不在边线上，且距最近的边线不小于2时，“马”有8种走法．。
高中数学第二章平面向量单元测试无答案苏教版必修
第二章 平面向量班级 姓名一、 选择题(5分×7=35分)：1、下列命题正确的个数是 （ ） ①0AB BA +=；②00AB ⋅=；③AB AC BC -=；④00AB ⋅=A 、1B 、2C 、3D 、42、若向量(1,1)a =,(1,1)b =-,(1,2)c =-,则c 等于 （ ）A 、1322a b -+B 、1322a b -C 、3122a b -D 、3122a b -+ 3、已知(1,2)a =,(2,3)b x =-且a ∥b ,则x = （ ）A 、－3B 、34-C 、0D 、344、下列命题中： ①若0a b ⋅=,则0a =或0b =; ②若不平行的两个非零向量a ,b 满足a b =,则()()0a b a b +⋅-=; ③若a 与b 平行,则a b a b ⋅=⋅ ；④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ;其中真命题的个数是 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 5、已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是 （ ）A 、150︒B 、120︒C 、60︒D 、30︒6、若)()(),1,2(),4,3(x -⊥+-==且,则实数x= （ ）A 、23B 、223C 、323D 、4237、在ΔABC 中,060,43=∠==BAC ,则=⋅ （ ）A 、6B 、4C 、-6D 、-4二、填空题（5分×4=20分）：8、已知===x x a 则,13,5(9、已知(2,4),(2,6)MA MB =-=，则12AB = 10、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A 、B 、C 三点共线,则x ＝11、已知向量(6,2)a =与(3,)b k =-的夹角是钝角,则k 的取值范围是三、解答题（共45分）：12、向量(,12)OA k =，(4,5)OB =(10,)OC k =,当k 为何值时，A,B,C 三点共线？（10分）13、在直角△ABC 中，AB ＝（2,3），AC ＝（1，k ），求实数k 的值。
苏教版高中数学必修4第二章《平面向量》
必修4第二章《平面向量》一、选择题1．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若e e 则213,5=== （） A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C ．)53(2112e e - D ．)35(2112e e -2．化简)]24()82(21[31--+的结果是 （） A ．b a -2 B ．a b -2 C ．a b - D ．b a -3．对于菱形ABCD ，给出下列各式：①= ②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 （） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4 ABCD 中，设====,,,，则下列等式中不正确的是（） A ．=+ B ．=-C ．=-D ．=-5．已知向量与反向，下列等式中成立的是 （）A ．||||||-=-B ．||||-=+C ．||||||-=+D ．||||||+=+6．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），则第四个点的坐标为 （ ）A ．（1，5）或（5，－5）B ．（1，5）或（－3，－5）C ．（5，－5）或（－3，－5）D ．（1，5）或（－3，－5）或（5，－5）7．下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e)43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （） A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③8．与向量)5,12(=平行的单位向量为 （） A ．)5,1312( B ．)135,1312(--C ．)135,1312(或)135,1312(-- D ．)135,1312(±±9．若32041||-=-，5||,4||==，则b a 与的数量积为 （） A ．103 B ．－103 C ．102 D ．1010．若将向量)1,2(=围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( ）A ．)223,22(-- B ．)223,22(C ．)22,223(- D ．)22,223(-11．设k ∈R ，下列向量中，与向量)1,1(-=一定不平行的向量是（ ）A ．),(k k =B ．),(k k --=C ．)1,1(22++=k kD ．)1,1(22--=k k12．已知12||,10||==b a ，且36)51)(3(-=，则与的夹角为 （）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°二、填空题13．非零向量||||||,+==满足，则,的夹角为 .14．在四边形ABCD 中，若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b ab a λλ++与平行，则λ= .16．已知e 为单位向量，||a =4，e a 与的夹角为π32，则e a 在方向上的投影为 .三、解答题17．已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18．已知在△ABC 中，)3,2(=AB ，),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角，求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.20．已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o ,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时，⑴c ∥d ⑵d c ⊥21．如图，ABCD 为正方形，P 是对角线DB 上一点，PECF 为矩形，求证：①PA=EF ；②PA ⊥EF.22．如图，矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ，点P 是圆周上任意一点，求证：PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2.参考答案二、填空题：13． 120°； 14． 矩形 15、 1± 16． 2-三、解答题：17．证：()()22-=+⇒+=+⇒-=+Θ0222222=⇒+-=++⇒ 又,Θ⊥∴18．解：)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k Θ0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k RT C 为Θ21330312±=⇒=-+-⇒k k k 19．()212121432e e e e e e -=+--=-=Θ 若A ，B ，D 三点共线，则与共线，λ=∴设 即212142e e e k e λλ-=+ 由于不共线与21e e 可得：221142e e k e e λλ-== 故8,2-==k λ20.⑴若∥ 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k 21.解以D 为原点为x 轴正方向建立直角坐标系则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r --=∴ )0,22(:),22,1(r F r E 点为Θ )22,122(r r --=∴ 22)221()22(||r r -+-=∴22)22()221(||r r -+-=∴ 故EF PA =⊥⇒=⋅0而22.证:-=-=,Θ22222222||2||)(||||2||)(||+-=-=+-=-=∴ 0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥AC BD 故为直径 222222||||||||||||+++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。
高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 向量的加法课时训练(含解析)苏教版必修4高中数学 第二章 平
高中数学第二章平面向量2.2.1 向量的加法课时训练（含解析）苏教版必修4高中数学第二章平面向量2.2.1 向量的加法课时训练（含解析）苏教版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.2.1 向量的加法课时训练（含解析）苏教版必修4高中数学第二章平面向量2.2.1 向量的加法课时训练（含解析）苏教版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2．2。
1 向量的加法课时目标1．理解向量加法的法则及其几何意义。
2.能用法则及其几何意义正确作出两个向量的和．1．向量的加法的定义已知向量a和b，在平面内任取一点O，作错误!＝a,错误!＝b,则向量错误!叫做a与b的和，记作________．即a＋b＝错误!＋错误!＝________.求两个向量和的运算叫做向量的加法．2．向量的加法法则（1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a，错误!＝b，则向量________叫做a与b的和（或和向量），记作________，即a＋b＝错误!＋错误!＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋________＝________。
(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线的非零向量a，b,作错误!＝a，错误!＝b,则O、A、C三点不共线，以________，________为邻边作________________,则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．(3)多边形法则已知n个向量,依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的________为始点，第n个向量的________为终点的向量叫做这n个向量的和向量．即错误!＋错误!＋…＋A n A n＋1＝____________.这个法则叫做向量求和的多边形法则．3．向量加法的运算律（1）交换律：a＋b＝________________。
高中数学苏教版第二章平面向量单元测试(省一等奖)
2．2向量的线性运算2．向量的加法情景：请看如下问题：→＋BC→(1)如图(1)，某人从A到B，再从B按原来的方向到C，则两次位移的和AB应该是________．→＋BC→应(2)如图(2)，飞机从A到B，再改变方向从B到C，则两次位移的和AB该是________．→，水流速度是BC→，则两个速度的和AB→＋BC→应该是(3)如图(3)，船的速度是AB________．思考：从(1)(2)(3)的解答，你发现了一个什么规律？1．已知向量a 、b 在平面内________，作AB→＝a ，BC →＝b ，则AC →叫做a 与b 的和，记作________，即______________，求两个向量和的运算，叫做____________，上述方法称为向量加法的________．答案：是非零向量 a ＋b a ＋b ＝AB→＋BC →＝AC → 向量的加法 三角形法则 2．以同一点A 为起点的两个已知向量a 、b 为________作▱ABCD ，则以________________就是a 与b 的和，这种方法叫做向量加法的________．答案：邻边 A 为起点的对角线AC → 平行四边形法则3．a ＋b ＝__________；(a ＋b )＋c ＝__________； a ＋0＝________＝________． 答案：b ＋a a ＋(b ＋c ) 0＋a a4．向量的加法的几何意义是______________________________． 答案：满足平行四边形法则和三角形法则向量的加法1．向量加法的定义．已知向量a 和b (如上图)，在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝OA→＋AB →＝OB →. 求两个向量和的运算叫做向量的加法． 对于零向量和任一向量a ，有a ＋0＝0＋a ＝a . 对于相反向量，有a ＋(－a )＝(－a )＋a ＝0. 2．向量加法运算律．向量的加法满足交换律和结合律，即 a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 3．向量加法运算的几何意义． (1)向量加法的三角形法则．根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 对三角形法则的理解：我们知道，向量加法的三角形法则是：若a ＝AB→，b ＝BC →，则a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →(如右图所示)． 向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量(均指用两个字母表示的向量)相加，则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加)，这样两个向量的和向量是以第一个向量的起点的字母为起点，以第二个向量的终点的字母为终点的向量．位移的合成可以看做是向量加法三角形法则的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四边形的物理模型)．(2)向量加法的平行四边形法则．如右图，以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形，则以O 为起点的对角线OC →就是a 与b 的和．我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．基础巩固1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定为矩形 B ．ABCD 一定为菱形 C ．ABCD 一定为正方形 D ．ABCD 一定为平行四边形 答案：D2．下列结论中，不正确的是( ) A ．0＋a ＝a ＋BA→＝2AB → C ．对于任意向量a ，b ，|a ＋b |≥0D ．对于任意向量a ，b ，||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案：B3．在矩形ABCD 中，AC→等于_____________________________．答案：AD→＋DC → 或AB →＋BC → 或AB →＋AD →4．如右图，已知四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、AB 、CD 的中点，则EF→等于________．答案：AG →＋DH →5．(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →化简后等于________． 答案：AC →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________． 答案：0能力升级7．已知△ABC 是正三角形，则在下列各等式中不成立的是( ) A ．|AB→＋BC →|＝|BC →＋CA →| B ．|AC→＋CB →|＝|BA →＋BC →| C ．|AB→＋AC →|＝|CA →＋CB →| D ．|AB→＋BC →＋AC →|＝|CB →＋BA →＋CA →| 解析：作出正三角形ABC ，AD 、CE 分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：|AB→＋AC →|＝2|AD →|，|CA →＋CB →|＝2|CE →|. 又∵△ABC 为正三角形，∴|AD →|＝|CE →|.故C 项正确．A 、D 两项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有B 项不正确．答案：B8．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°.则在下列各结论中，正确的结论个数为________．①|AB→＋AC →|＝|BC →| ②|AB→＋BC →|＝|CA →| ③|AB→＋CA →|＝|BC →| ④|AB→|2＋|AC →|2＝|BC →|2 解析：以AB→、AC →为邻边作平行四边形ABDC ，则ABDC 为矩形，而矩形的对角线相等，故①③均正确，另外两个可直接求解也是正确的．答案：4个9．向量a 、b 满足|a |＝6，|b |＝10，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．(1)→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b.由向量加法解析：当a、b不共线时，如图(1)，作AB的几何意义知|a＋b|＜|a|＋|b|＝16.当a、b共线同向时，如图(2)，作AB→＝a，BC→＝b，AC→＝a＋b，由向量加法的几何意义可知|AC→|＝|a＋b|＝|a|＋|b|＝16.(2)当a、b共线反向时：如图(3)所示，作AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，由向量加法的几何意义可知|a＋b|＝|b|－|a|＝10－6＝4，∴|a＋b|的最大值为16，最小值为4.(3)本题也可以直接利用||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解．答案：16 410．如图所示，用两根绳子把重为10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW ＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解析：设CE→，CF →分别表示A ，B 处所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE→＋CF →＝CG →. 因为∠ECG ＝180°－150°＝30°， ∠FCG ＝180°－120°＝60°，所以|CE →|＝|CG →|cos 30°＝10×32＝53(N)，|CF →|＝|CG →|cos 60°＝10×12＝5(N)． 故A 和B 处所受力的大小分别为5 3 N ，5 N.11．如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，求证： |BC→|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.解析：如图，由于∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，因此，若以DB ，DA 为邻边作矩形ADBE ，则|AB→|＝|DE →|，且DB →＋DA →＝DE →. 所以|DB→＋DA →|2＝|DE →|2＝|AB →|2. 同理|DC→＋DA →|2＝|AC →|2， 所以|DB→＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， 即|BC →|2＝|DB →＋DA →|2＋|DC →＋DA →|2.12．如下图：平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，P 为平面内任意一点，求证：PA→＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →.证明：PO→＝PA →＋AO →，① PO→＝PD →＋DO →，② PO→＝PB →＋BO →，③ PO→＝PC →＋CO →，④ ∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点， ∴AO→＝OC →＝－CO →，BO →＝OD →＝－DO →.①＋②＋③＋④，得4PO→＝PA→＋PB→＋PC→＋PD→＋(AO→＋CO→)＋(BO→＋DO→)＝PA→＋→＋PC→＋PD→＋0＋0，PB∴PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝4PO→.。
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高中数学必修4 平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 几何表示法 AB ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a =+=向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ⇔｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量⇔｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a=大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =⎩⎨⎧==⇔2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：记作a-,零向量的相反向量仍是零向量=b ，b =c ，则a =c ，b ； a //b ，b //c ，则a //c ，其中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．正确．∵ AB DC =，∴ |||AB DC =|，正确．∵ a =b ，∴ a ，b 的长度相等且方向相同；c ，∴ b ，c 的长度相等且方向相同，的长度相等且方向相同，故a ＝的充要条件，而是必要不充分条件．不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③． 点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．②原式= ()0DB BD AC AC AC ++=+=)()()OA OC CO AB OC CO -+--=-+设非零向量a 、b 不共线，c =k a +b ，∥d∴由向量共线的充要条件得：c =λd (λ∈R)+b =λ(a +k b ) ∴由平面向量的基本定理 1±=⇒⎧k k 叫做在y 轴上的相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关a =(x,y)，则λa =(λx, y)(()1122,,a x y x y =，则a b ⊥，则0⋅+⋅y x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法 1平行四边形法则 2三角形法则1212(,)a b x x y y +=++ a b b a+=+)()(c b a c b a ++=++AB BC AC +=向 量 的 减 法 三角形法则1212(,)a b x x y y -=-- )(b a b a-+=-AB BA =- OB OA AB -=向 量 的 乘 法aλ是一个向量,满足:λ>0时,a λ与a同向;λ<0时,a λ与a异向;λ=0时, a λ=0),(y x a λλλ= a a)()(λμμλ=a a aμλμλ+=+)( b a b aλλλ+=+)(a ∥b a bλ=⇔向 量 的 数 量 积b a•是一个数0 =a 或0 =b 时, b a •=00 ≠a 且0 ≠b 时, ><=•b a b a b a ,cos ||||1212a b x x y y •=+a b b a •=•)()()(b a b a b a•=•=•λλλ c b c a c b a •+•=•+)(22||a a =,22||y x a +=||||||b a b a ≤•例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x =+=+，2(1,2)(,1)(2,3)v x x =-=- 又因为//u v所以3(21)4(2)0x x +--=，即105x = 解得12x =例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标440x y ⎨-=⎩b ︱cos θ=|a ba ⋅∈，称为向量b 在a 方向上的投影等于a 的长度与2||a a ==222a b =-22a b +平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a ⋅=⋅()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅）结合律不成立：()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅；）消去律不成立a b a c⋅=⋅不能得到b c =⋅=0两个向量的数量积的坐标运算：a b>=•=2121y y x x +当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ非零向量之间不谈夹角这一问题两个非零向量垂直的充要条件：1判断下列各命题正确与否：b a c =⋅，则b c ≠当且仅当)()b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；）对任意向量a ，有22a a =解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对已知两单位向量a 与b 的夹角为a b ==01cos1202a b ==-， 2c (2)(2)a b a b -⋅-244a a =-7c ∴=，同理可得13d ∴=c d ⋅=(22a -，点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑m n = ()4,32,b λλ=+-()7,8n a b =+=n ()()082374=⨯-+⨯+⇒λλ-=⇒λ2）//m n ())0724=⨯⨯+⇒λλ-=⇒λm n =(4+⇒λ2±=⇒λ点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算AB =AP ，则点P 的坐标为（ ）(3,1) B 1) b 是非零向量且满足(a a ⊥，(2)b a b -⊥ ，则(,sin2二、填空题a b=ABCD CD=__________。
均为单位向量，它们的夹角为60，那么b =．已知向量a ，b 满足1,a b =与b 的夹角为 ．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( )(3,b 的最大值是．平面向量b a ,中，已知(4,a =-b =是三个向量，试判断下列各命题的真假．b ac =⋅且cos a 反的一个向量．3(3,(,23),,b y ka tb -=-+且4．如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与 的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值。
一、填空题1．若有以下命题：① 两个相等向量的模相等； ② 若a 和b 都是单位向量，则b a =；③ 相等的两个向量一定是共线向量； ④ b a //，b c //，则c a //；⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。
其中正确的命题序号是 。
2. 在水流速度为4h km /的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8h km /的速度航行，则船自身航行速度大小为____________h km /。
3. 任给两个向量a 和b ，则下列式子恒成立的有________________。
① ||||||b a b a +≥+ ② ||||||b a b a -≥-③||||||b a b a +≤- ④ ||||||b a b a -≤-4. 若a AB 3=，a CD 5-=且||||BC AD =，则四边形ABCD 的形状为________。
5．梯形ABCD 的顶点坐标为)2,1(-A ，)4,3(B ，)1,2(D 且DC AB //，CD AB 2=，则点C 的坐标二、填空题1．【济宁·理科】15．已知)3,1(,)3,1(2=-=-c b a ，且4,3==⋅|b |c a ，则b 与c 的夹角为 ．三、计算题1．【苍山诚信中学·理科】17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).23,2(ππα∈（I ）若|,|||BC AC =求角α的值； （II ）若αααtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.3．【烟台·理科】17．（本题满分12分）设函数).2sin 3,(cos ),1,cos 2(,)(m x x x x f +==⋅=b a b a 其中向量（1）求函数],0[)(π的最小正周期和在x f 上的单调递增区间；（2）当m x f x 求实数恒成立时,4)(4,]6,0[<<-∈π的取值范围。