17学年高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性学业分层测评(含解析)北师大版选修1_1
高中数学第四章导数应用1.1导数与函数的单调性课时作业含解析北师大版选修1_1
1.1 导数与函数的单调性[A组基础巩固]1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0,2)C．(－∞，2) D．(2，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝3x2－6x＝0，解得x＝0或x＝2，当x<0时，f′(x)>0，当0<x<2时，f′(x)<0，当x>2时，f′(x)>0，所以函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间是(0,2)．答案：B2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sin2x B．y＝x e xC．y＝x3－x D．y＝－x＋ln(1＋x)解析：令y＝x e x，当x∈(0，＋∞)时，y′＝e x＋x e x＝e x(1＋x)>0.答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b<0时，f(x)在R上() A．是增函数B．是减函数C．是常函数D．既不是增函数也不是减函数解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b，方程3x2＋2ax＋b＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×3b＝4(a2－3b)．因为a2－3b<0，所以Δ＝4(a2－3b)<0，所以f′(x)在R上恒大于0，故f(x)在R上是增函数．答案：A4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是()解析：由y＝f′(x)的图像可知，当x<0或x>2时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0，∴函数y＝f(x)在(－∞，0)和(2，＋∞)上为增加的，在(0,2)上为减少的．答案：C5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上是单调函数，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－3]∪[3，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－3，3)解析：f′(x)＝－3x2＋2ax－1，由题意，可知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，∴方程－3x2＋2ax－1＝0的判别式Δ＝(2a)2－4×(－3)×(－1)≤0，解得－3≤a≤ 3.答案：B6．在下列命题中，正确的是________．①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)>0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若对任意x∈(a，b)都有f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若可导函数在(a，b)内有f′(x)<0，则在(a，b)内有f(x)<0；⑤可导的单调函数的导函数仍为单调函数．解析：举反例．若f(x)＝x3，x∈(－1,1)，则f(x)是单调增函数，但f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，所以①⑤错误；若f(x)＝x2，②错误；若f(x)＝－x，x∈(－2，－1)，则④错误．答案：③7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为________．解析：∵f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，令f′(x)<0，得－1<x<11，∴函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调递减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)8．若函数f (x )＝mx ＋x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，则m 的取值范围为________． 解析：由题意f ′(x )＝m ＋12x ≥0在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，即m ≥－12x 在⎣⎡⎦⎤12，1上恒成立，令g (x )＝－12x ⎝⎛⎭⎫12≤x ≤1，g ′(x )＝14x －32，在x ∈⎣⎡⎦⎤12，1上g ′(x )>0，所以g (x )max ＝g (1)＝－12，故m ≥－12.答案：[－12，＋∞)9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝12x 2－ln x ；(2)y ＝12x ＋sin x ，x ∈(0，π)．解析：(1)∵函数的定义域为(0，＋∞)，又∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2－1x.①令y ′>0，即x 2－1x>0，又∵x >0，∴⎩⎨⎧ x 2－1>0x >0，∴x >1.②令y ′<0，即x 2－1x<0，又∵x >0，∴⎩⎨⎧x 2－1<0x >0，∴0<x <1.∴函数y ＝f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)． (2)∵y ＝12x ＋sin x ，∴y ′＝12＋cos x ，①令y ′>0，得cos x >－12，又∵x ∈(0，π)，∴0<x <2π3.②令y ′<0，得cos x <－12，又∵x ∈(0，π)，∴2π3<x <π.∴函数y ＝12x ＋sin x 的增区间为⎝⎛⎭⎫0，2π3，减区间为⎝⎛⎭⎫2π3，π. 10．已知函数f (x )＝ln x －ax 2－2x (a ∈R 且a ≠0)存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 解析：∵f (x )＝ln x －ax 2－2x ，∴f ′(x )＝1x －2ax －2(x >0)．∵函数f (x )存在单调递减区间，∴f ′(x )≤0在(0，＋∞)上有无穷多个解．∴关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解． ①当a >0时，函数y ＝2ax 2＋2x －1的图像为开口向上的抛物线， ∴关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上总有无穷多个解．②当a <0时，函数y ＝2ax 2＋2x －1的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为直线x ＝－12a>0. 要使关于x 的不等式2ax 2＋2x －1≥0在(0，＋∞)上有无穷多个解． 则Δ＝4＋8a >0，解得a >－12，此时－12<a <0.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)．[B 组 能力提升]1．函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，2]解析：∵y ′＝a －1x ，函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内y ′≥0，即a －1x ≥0，∴a ≥1x . 由x >12，得1x <2，要使a ≥1x 恒成立，只需a ≥2.答案：C2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f ′(x )<f (x )对任意的x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0) B ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)>e 2f (0) C ．f (ln 2)<2f (0)，f (2)>e 2f (0)D ．f (ln 2)>2f (0)，f (2)<e 2f (0)解析：令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，故g (x )在R 上单调递减，而ln 2>0,2>0，故g (ln 2)<g (0)，g (2)<g (0)，即f (ln 2)2<f (0)1，f (2)e 2<f (0)1，所以f (ln 2)<2f (0)，f (2)<e 2f (0)，故选A.答案：A3．函数f (x )＝(3－x 2)e x 的单调递增区间是________． 解析：∵f (x )＝(3－x 2)e x ，∴f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x . 令f ′(x )>0，则－x 2－2x ＋3>0，解得－3<x <1. ∴函数f (x )的单调递增区间是(－3,1)． 答案：(－3,1)4．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5， ∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75. 答案：－755．判断函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解析：由题意知，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减．6．设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2. (1)若a ＝12，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2，f ′(x )＝e x －1＋x e x －x ＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．(2)f (x )＝x (e x －1－ax )．令g (x )＝e x －1－ax ，则g ′(x )＝e x －a .若a ≤1，则当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，而g (0)＝0，从而当x ≥0时g (x )≥0，即f (x )≥0.若a >1，则当x ∈(0，ln a )时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，而g (0)＝0，从而当x ∈(0，ln a )时g (x )<0，即f (x )<0，综上，a 的取值范围为(－∞，1].。
高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性学业分层测评含解析北师大版选修1_1
4.1.1 导数与函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数y ＝f (x )的图像如右图411所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )图411【解析】 由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f (x )均为减函数，故在这两个区间上，f ′(x )均小于0. 【答案】 D2．函数f (x )＝x 3－8x 2＋13x －6的单调减区间为( )A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞D ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫133，＋∞ 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－16x ＋13，令f ′(x )<0，得1<x <133.∴函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，133. 【答案】 B3．y ＝8x 2－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上分别是( ) A ．增加的，增加的 B ．增加的，减少的 C ．减少的，增加的 D ．减少的，减少的 【解析】y ′＝16x －1x ＝16x2－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′＜0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上是减少的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′＞0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是增加的． 【答案】 C 4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2) D ．f (e)<f (3)<f (2) 【解析】 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝12x ＋1x >0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的， ∴f (2)<f (e)<f (3)． 【答案】 A 5．已知函数f (x )＝x 3－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥3 B．a ＞3 C ．a ≤3 D．a ＜3 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x 2＜3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． 【答案】 A 二、填空题 6．若函数f (x )＝x 3－ax ＋1既有单调增区间，又有减区间，则a 的取值范围是________. 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2－a ，由条件知，f ′(x )＝0需有两个不等实根，∴a >0. 【答案】 (0，＋∞) 7．函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在R 上单调递减，则实数m 的范围为________． 【解析】g ′(x )＝－3x 2＋4x ＋m ≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m ≤0，∴m ≤－43. 【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43 8．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 【解析】f ′(x )＝3x 2＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52＋a ＝0，∴a ＝－75. 【答案】 －75 三、解答题 9．求下列函数的单调区间：(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝x ＋9x .。
高中数学 第四章 导数应用 4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评(含解析)北师大版选修1-1
2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.2.1 实际问题中导数的意义学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1的全部内容。
4。
2。
1 实际问题中导数的意义（建议用时：45分钟)［学业达标］一、选择题1．一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s＝2t，则该物体( ）A．做匀加速运动B．做匀减速运动C．做匀速运动D．处于静止状态【解析】∵s′＝2，∴物体做匀速运动．【答案】C2．圆的面积S是半径r的函数S（r)＝πr2，那么在r＝3时，面积的变化率是( ）A．6 B．9C．9π D．6π【解析】面积S在r＝3时的变化率即为S′(3）＝2π×3＝6π。
【答案】D3．一次降雨过程中，降雨量y是时间t的函数，用y＝f(t)表示，则f′(10)表示( ) A．t＝10时的降雨强度B．t＝10时的降雨量C．t＝10时的时间D．t＝10时的温度【解析】f′(t）表示t时刻的降雨强度．【答案】A4．从时刻t＝0开始的t s内，通过某导体的电量（单位：C)可由公式q＝2t2＋t表示，则第3 s时电流强度为（）A．10 C/s B．11 C/s C．12 C/s D．13 C/s【解析】∵q′＝4t＋1，∴q′｜t＝3＝13，即第3 s时的电流强度为13 C/s.【答案】D5．人在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速度（)A．越来越慢B．越来越快C．先慢后快D．先快后慢【解析】∵气球半径与体积的关系式为r(V)＝错误!,r′（V)＝错误!·错误!·错误!随着V的增加，r′（V）越来越小．【答案】A二、填空题6．某人拉动一物体前行，他所做的功W是时间t的函数W＝W(t)，则W′（t0)表示________．【解析】因为功率是功关于时间的导数，故W′(t0)表示t＝t0时的功率．【答案】t＝t0时的功率7．某物体的运动速度与时间的关系为v（t）＝2t2－1,则t＝2时的加速度为________．【解析】v’（t)＝4t,∴v′(2）＝8.【答案】88．某收音机制造厂的管理者通过对上午上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8:00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)＝－t3＋9t2＋12t，则Q′（2）＝________，它的实际意义是________．【解析】Q′（t）＝－3t2＋18t＋12,Q′(2）＝36台/小时．【答案】36台/小时10：00时，工人装配晶体管收音机的速度为36台/小时三、解答题9．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t(时间:s）间的关系式为h（t)＝－4t2＋7t＋16.(1）求t从2 s到3 s时，高度关于时间t的平均变化率;(2）求h′(2)，h′(3)，并解释它们的实际意义．【解】(1）∵h（2）＝14，h(3）＝1,∴t从2 s到3 s时,h关于t的平均变化率为错误!＝错误!＝－13（m/s）．（2）∵h′（t）＝－8t＋7,∴h′（2)＝－9 m/s，h′(3）＝－17 m/s。
(易错题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知函数()22ln 3f x x ax x =+-在2x =处取得极小值，则()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为（ ） A ．52-B ．92ln 32-C ．1-D ．2ln 24-2．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >C ．a b <D ．,a b 的大小不能确定3．若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,-+∞D ．()1,-+∞4．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，()10f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．()()0,11,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞C ．()(),10,1-∞-⋃ D ．()()1,01,-⋃+∞5．函数3()1218f x x x =-+在区间[]3,3-上的最大值为（ ）A ．34B ．16C ．24D ．176．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞B ．[,)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞7．已知函数()ln f x x ax =-，其中[)1+x ∈∞,，若不等式()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)1,+∞ B ．1,1e⎛⎤-∞- ⎥⎦⎝C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)0,+∞8．已知函数4213(),42f x x x mx n =-++其中m ，n 为正整数，若函数()f x 有极大值，则m 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．已知函数()()()22210,0x ax x x f x e ax e x ⎧-+<⎪=⎨-+-≥⎪⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),e +∞B ．()2e ,+∞C ．()20,eD ．()0,e10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()02f x x '≤-，则必有（ ）A ．()()()1322f f f +<B ．()()()1322f f f +≤C ．()()()1322f f f +≥D ．()()()1322f f f +>11．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 12．若函数()xx f x ax e e -=+-在R 上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2a ≤B ．1a ≤C ．1a ≥D ．2a ≥二、填空题13．已知函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值，则实数m 的取值范围是_________．14．已知函数()(ln )xe f x k x x x=+-，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______.15．已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则函数()()xf xg x e =的单调递减区间为___________．16．已知函数()2ln(1)f x x ax =+-，对任意的(0,1),(0,1)m n ∈∈，当m n ≠时，(1)(1)1f m f n m n+-+<-，则实数a 的取值范围是____________.17．请写出一个使得函数()2()2xf x x ax e =++既有极大值又有极小值的实数a 的值___________．18．已知函数()2cos sin 2f x x x =+，则()f x 的最大值是__________． 19．函数()31443f x x x =-+的极大值为______. 20．已知函数()f x 是定义在区间()0,∞+）上的可导函数，若对()0,x ∀∈+∞()()20xf x f x '+>恒成立，则不等式()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+的解集为______.三、解答题21．已知函数()22xk f x e x x =--，k ∈R ． （1）当0k =时，求函数() f x 的最小值；（2）若() f x 在[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围．22．在①()14f -=-，()10f '=；②()10f =，()01f '=；③()f x 在()()1,1f --处的切线方程为84y x =+，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中求解． 已知函数()32f x x ax bx =++，且______．（1）求a 、b 的值； （2）求函数()f x 的极小值． 23．已知函数()3213 1.3f x x x x =+-- （1）求函数()f x 的极值；（2）求函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值与最小值．24．已知f (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g (x )＝ln xx，x ∈(0，e ]，其中e 是自然常数，a R ∈. （1）讨论a ＝1时，函数f (x )的单调性和极值；（2）求证：在（1）的条件下，f (x )>g (x )＋12； （3）是否存在正实数a ，使()f x 的最小值是3？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.25．已知函数()ln af x x x x=--. （1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若()2f x x x >-在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数32()24,1f x x ax x =-+=是函数()f x 的一个极值点.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）当[1,2]x ∈-，求函数()f x 的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由()20f '=求出a 的值，然后利用导数可求得函数()f x 在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值.【详解】()22ln 3f x x ax x =+-，则()223f x ax x=+-'， 由题意可得()2420f a '=-=，解得12a =，则()212ln 32f x x x x =+-， ()22323x x f x x x x-+'=+-=，令()0f x '=，可得1x =或2x =，列表如下：所以，函数()f x 的极大值为()12f =-，极小值为()22ln 24f =-， 又1112ln 228f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()932ln 32f =-，()()()95312ln 32ln 322ln 31022f f -=-+=-=->，则()()13f f <，所以，()()max 932ln 32f x f ==-. 故选：B. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数()y f x =在[],a b 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(),a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a 、f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.2．A解析：A 【分析】根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，11()1x f x x x'-=-=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，()()()11111x xx g x x e xe x x+=+--=-'，令()1xh x xe =-，则()()10xh x x e '=+>，(0,)x ∈+∞则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即001x x e=，即000x lnx +=，当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11xg x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，所以a b = 故选：A ． 【点睛】关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()11111xx x g x x e xe x x+=+--=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.3．B解析：B 【分析】通过分离参数变成ln x a x x=-，构造函数()ln x f x xx =-，利用导数求其单调区间和值域，数形结合写出a 的取值范围. 【详解】2lnx ax x -=故ln xa x x=-则()ln x f x xx=- ()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B 【点睛】方程在某区间上有解的问题，可通过分离参数，构造函数，利用导数求该区间上单调区间和值域，得出参数的取值范围.4．C解析：C 【分析】 构造函数()()f xg x x=，分析出函数()g x 为偶函数，且在()0,∞+上为减函数，由()0f x >可得出()00g x x ⎧>⎨>⎩或()00g x x ⎧<⎨<⎩，解这两个不等式组即可得解.【详解】 构造函数()()f xg x x=，该函数的定义域为{}0x x ≠， 由于函数()f x 为奇函数，则()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--， 所以，函数()()f xg x x=为偶函数. 当0x >时，()()()20xf x f x g x x'-'=<，所以，函数()g x 在()0,∞+上为减函数，由于函数()()f xg x x=为偶函数，则函数()g x 在(),0-∞上为增函数. ()10f -=，则()10f =且()00f =，所以，()()110g g -==.不等式()0f x >等价于()()010g x g x ⎧>=⎨>⎩或()()010g x g x ⎧<=-⎨<⎩，解得1x <-或01x <<.因此，不等式()0f x >的解集为()(),10,1-∞-⋃. 故选：C. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.5．A解析：A 【分析】对函数求导，求出函数()y f x =的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数()y f x =的最大值． 【详解】()31218f x x x =-+，则()2312f x x '=-，令'0f x，解得2x =±，列表如下：所以，函数y f x =的极大值为234f -=，极小值为22f =，又()327f -=，()39f =，因此，函数()y f x =在区间[]3,3-上的最大值为34， 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题．6．D解析：D【分析】由题意得32x x x a e e e =--，令32()x xx g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.【详解】 由32()0xx x f x ee e a =---=，则32x x x a e e e =--，令32()xxx g x e ee =--，则()()()3223()3211213xxx x x x x x x g x e ee e e e e e e '=--=+-=--，当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min()(0)1g x g ≥=-，()2215()124x x x x xg x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．7．C解析：C 【分析】不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x ≥在[)1,+∞上恒成立，则maxln x a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，运用导数求出函数ln xx在[)1,+∞上的最大值. 【详解】解：当[)1+x ∈∞,时，不等式()0f x ≤恒成立等价于ln xa x≥在[)1,+∞上恒成立， 令ln ()xg x x=，则21ln ()x g x x -'=当0x e <<时，()0g x '>；当x e >时，()0g x '<；所以max 1()()g x g e e==，所以1a e ≥故选：C. 【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．A解析：A 【分析】对()f x 进行求导得3()3f x x x m '=-+，构造新函数3()3,h x x x m x R =-+∈，利用导数研究函数()h x 的单调性，结合题意，可知函数()f x 有极大值，则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，求解不等式且结合m ，n 为正整数，即可得出结果.【详解】 由题可知，4213()42f x x x mx n =-++()x R ∈， 则3()3f x x x m '=-+，设3()3,h x x x m x R =-+∈，则2()33h x x '=-，令2()330h x x '=-=，解得：121,1x x =-=，则当1x <-或1x >时，()0h x '>；当11x -<<时，()0h x '<，所以()h x 在区间()(),1,1,-∞-+∞上单调递增；在区间()1,1-上单调递减， 又因为函数()f x 有极大值，则()()1010h h ⎧->⎪⎨<⎪⎩，即()()120120h m h m ⎧-=+>⎪⎨=-<⎪⎩，解得：22m -<<，而m ，n 为正整数，所以m 的值为1.故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，从而求参数值，构造新函数且利用导数求出单调区间是解题的关键，考查转化思想和运用能力.9．B解析：B 【分析】分离变量，利用导函数应用得到函数在0x <无零点，则0x >有两个零点，利用函数最值得到参数范围 【详解】当0x =时，()201e f =--，∴0x =不是函数()f x 的零点.当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=，设()221x h x x -=，()()3210x h x x-'=<，则()h x 在(),0-∞上单调递减，且()0h x <.所以0x <时无零点当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x +=，令()2x e e g x x +=，()22x x xe e e g x x--'=， 得()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，()2min (2)g x g e ==，()2g x e ≥.因为()f x 有2个零点，所以2a e >. 故选：B. 【点睛】分离变量法，利用导数求函数的单调性，极值是解题关键.10．B解析：B 【分析】根据()02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】因为()02f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '≤，则()f x 单调非递增函数，所以()()32f f ≤；当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.11．C解析：C 【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 123a--=，x 2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜． 综上可得：53-＜a 34-＜． 故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：1、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；2、若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；12．A解析：A 【分析】 由()xx f x ax e e -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0x x f x a e e -'=--≤在R 上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.【详解】 由()xx f x ax ee -=+-在R 上单调递减，可得：导函数()0xx f x a e e -'=--≤在R 上恒成立，因为0x e >，参变分离可得：min (+)x xa e e -≤，+2x x e e -≥=2a ≤故选：A 【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】利用导数求出函数的极大值点和极小值点由题意可得出关于实数的不等式组由此可解得实数的取值范围【详解】则令可得列表如下： 极大值 极小值 所以函数的极大值点为 解析：()3,2--【分析】利用导数求出函数()f x 的极大值点和极小值点，由题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】()32133f x x x =++，则()()222f x x x x x '=+=+，令()0f x '=，可得12x =-，20x =，列表如下：所以，函数f x 的极大值点为2x =-，极小值点为0x =， 由于函数()32133f x x x =++在区间(),3+m m 上存在极大值与极小值， 所以，230m m <-⎧⎨+>⎩，解得32m -<<-.因此，实数m 的取值范围是()3,2--. 故答案为：()3,2--. 【点睛】易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算()0f x '=，求得x 的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．14．【分析】首先求函数的导数由条件是函数的唯一极值点说明在无解或有唯一解求实数的取值【详解】∵∴∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点在上无解或有唯一解x=1①当x=1为其唯一解时k=e 令当时即h(x)的单 解析：(,]e -∞【分析】首先求函数的导数2(1)()()x x e kx f x x'--=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明0-=x e kx 在()0,x ∈+∞无解，或有唯一解1x =，求实数k 的取值.【详解】∵()(ln )x e f x k x x x =+-，∴22(1)1(1)()()(1)x x x e x e kx f x k x x x '---=+-=∴x ＝1是函数f （x ）的唯一极值点，0x x e k ∴-=在(0,)x ∈+∞上无解，或有唯一解x =1，①当x =1为其唯一解时，k =e ，令()(0)x h x e ex x =->，()xh x e e '=-，当(0,1)x ∈时，()0h x '<，即h (x )的单调递减区间为(0,1)， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()h x 在x =1处，取得极小值， ∴k =e 时，x =1是f (x )的唯一极值点；②当xe k x=在(0,)x ∈+∞上无解，设()x e g x x =则2(1)()x e x g x x'-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，即g (x )的单调递减区间为(0,1)，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，即()g x 的单调递增区间为(1,)+∞， ∴()g x 在x =1处，取得极小值，也是其最小值，min ()(1)g x g e ==，又k xe x=在(0,)x ∈+∞上无解，e k ∴<，综上k e ≤ 故答案为：(,]e -∞. 【点睛】易错点睛：本题考查根据函数的极值点求参数的取值范围，容易忽略k e =的情况，此时x e ex ≥恒成立.15．【分析】利用图象得出不等式的解集再利用导数可求得函数的单调递减区间【详解】由图象可知不等式的解集为由可得解得因此函数的单调递减区间为故答案为：【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求解析：()0,1、()4,+∞ 【分析】利用图象得出不等式()()0f x f x '-<的解集，再利用导数可求得函数()()x f x g x e=的单调递减区间. 【详解】由图象可知，不等式()()0f x f x '-<的解集为()()0,14,+∞，()()x f x g x e =，()()()()()()()2x x x x f x e f x e f x f x g x e e ''-⋅'-=='， 由()0g x '<，可得()()0f x f x '-<，解得()()0,14,x ∈+∞.因此，函数()()x f x g x e=的单调递减区间为()0,1、()4,+∞． 故答案为：()0,1、()4,+∞. 【点睛】思路点睛：利用导数求函数单调区间的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）解不等式()0f x '>，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调增区间； （4）解不等式()0f x '<，并与定义域取交集得到的区间为函数()f x 的单调减区间.16．【分析】把不等式恒成立转化为函数的导数小于1在内恒成立进而转化为在内恒成立结合函数的性质即可求解【详解】由题意分式的几何意义为：表示点与连线的斜率因为实数在区间内故和在区间内不等式恒成立所以函数图象解析：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】 把不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，转化为函数()f x 的导数小于1在(1,2)内恒成立，进而转化为()121a x ->+在(1,2)内恒成立，结合函数的性质，即可求解.【详解】由题意，分式(1)(1)f m f n m n+-+-的几何意义为：表示点(1,(1))m f m ++与(1,(1))n f n ++连线的斜率，因为实数,m n 在区间(0,1)内，故1m + 和1n +在区间(1,2)内， 不等式(1)(1)1f m f n m n+-+<-恒成立，所以函数图象上在区间(1,2)内任意两点连线的斜率小于1，故函数()2ln(1)f x x ax =+-的导数小于1在(1,2)内恒成立， 由函数()2ln(1)f x x ax =+-满足10x +>，即定义域为(1,)-+∞，即()2111f x ax x '=-<+在(1,2)内恒成立，即()121a x ->+在(1,2)内恒成立，设函数()()121g x x -=+，根据函数的单调性可知函数()()121g x x -=+在(1,2)上是单调增函数，可得()()126g x g <=-，所以16a ≥-， 故答案为：1,6⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.17．【分析】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根利用即可求解【详解】由题意可得：有2个不相等的实根也即有2个不相等的实根所以即解得：或故答案为：【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系属于 解析：()(),22,-∞-+∞【分析】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，利用0∆>即可求解.【详解】由题意可得：()20()22xf x x a x a e '⎡⎤=++++⎣=⎦有2个不相等的实根，也即()2220x a x a ++++=有2个不相等的实根，所以()()22420a a ∆=+-+>， 即()()2240a a ++->， 解得：2a >或2a <-， 故答案为：()(),22,-∞-+∞【点睛】本题主要考查了极值和导数的关系，属于中档题.18．【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间利用单调性求得函数的最大值【详解】由题意知是周期为的偶函数当时得的减区间为当时的增区间为所以当时取最大值故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最解析：2【分析】求导后利用导数的正负求得函数的单调区间，利用单调性求得函数的最大值. 【详解】2()2sin 2cos22sin 2(12sin )2(2sin 1)(sin 1)f x x x x x x x '=-+=-+-=--+由题意知()f x 是周期为2π的偶函数， 当()0f x '≤时，得()f x 的减区间为52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 当()0f x '≥时，()f x 的增区间为5132,2()66Z k k k ππππ⎡⎤++⎢⎥∈⎣⎦，所以当2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取最大值2．【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.19．【分析】求函数导数解得的根判断导函数在两侧区间的符号即可求解【详解】由解得或时当时是的极大值点函数的极大值为故答案为：【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式二次函数的图象以及函数极大值点的定义 解析：283【分析】求函数导数，解得()0f x '=的根，判断导函数在2x =±两侧区间的符号，即可求解. 【详解】()31443f x x x =-+,2()4,f x x '∴=-由()0f x '=解得2x =±，2x ∴<-或2x >时，()0f x '>，当22x -<<时，()0f x '<， 2x ∴=-是()f x 的极大值点，∴函数的极大值为128(2)(8)8433f -=⨯-++=， 故答案为：283【点睛】本题主要考查了基本初等函数的求导公式，二次函数的图象，以及函数极大值点的定义及其求法，属于中档题.20．【分析】令求的导数根据条件可知从而判断单调递增将不等式化为即可求解【详解】令因为的定义域为所以函数的定义域也为则所以函数在上单调递增又可以化为即所以所以故不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查利用 解析：()2020,1--【分析】令()2()g x x f x =，求()g x 的导数'()g x ，根据条件可知'()0g x >，从而判断()g x 单调递增，将不等式化为()()20202019g x g +<即可求解. 【详解】令()2()g x x f x =，因为()f x 的定义域为()0,∞+，所以函数()g x 的定义域也为()0,∞+，则()()()()()2220g x xf x x f x x f x xf x '''=+=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增， 又()()()202020202019201920192020x f x f x ++<+可以化为()()()222020202020192019x f x f ++<，即()()20202019g x g +<，所以020202019x <+<， 所以20201x -<<-， 故不等式的解集为()2020,1--. 故答案为：()2020,1--. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，构造函数求导是解题的关键，属于中档题.三、解答题21．（1）1；（2）1k e ≤-． 【分析】（1）求出()'fx ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）() f x 在[1,)+∞上单调递增，等价于()'0f x ≥ 在[1,)+∞上恒成立，即1x e k x-≤在[1,)+∞恒成立，利用导数求出1x e x -的最小值即可得答案. 【详解】（1）当0k =时， ()()',1 xx e x e f fx x =-∴=-，令'0fx，则100x e x -=⇒=，当0x >时，10x e ->，()f x 在()0,∞+上递增， 当0x <时，10x e -<，()f x 在(),0-∞上递减，()()min 01f x f ∴==；（2）因为() f x 在[1,)+∞上单调递增，所以()'0fx ≥ 在[1,)+∞上恒成立， 因为()'1xf x e kx =--，所以10x e kx --≥在[1,)+∞恒成立，即1x e k x-≤在[1,)+∞恒成立，令()1x e g x x-=，则()min k g x ≤在[1,)+∞上恒成立，()()'211x e x g x x-+=，当[1,)x ∈+∞时，()'0g x >恒成立， ()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()()1min1111e g x g e -∴===-，1k e ∴≤-．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.22．选①或②或③，（1）2a =-，1b =；（2）0. 【分析】（1）求出()232f x x ax b '=++，根据所选条件可得出关于a 、b 的方程组，即可解得a 、b 的值；（2）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极小值. 【详解】（1）方案一：选择①，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，由已知可得()()1141320f a b f a b ⎧-=-+-=-⎪⎨=++='⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；方案二：选择②，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，由已知可得()()11001f a b f b ⎧=++=⎪⎨=='⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；方案三：选择③，()32f x x ax bx =++，则()232f x x ax b '=++，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为84y x =+，所以，()()1328114f a b f a b ⎧-=-+=⎪⎨-=-+-=-'⎪⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩；（2）由（1）得()322f x x x x =-+，()2341f x x x '∴=-+，由()0f x '=得：113x =，21x =，列表如下：所以，函数f x 的极小值为10f =. 【点睛】思路点睛：求函数()f x 的极值的步骤： （1）求函数()f x 的定义域； （2）求导()f x '；（3）解方程()00f x '=，当()00f x '=； （4）利用导数分析函数()f x 的单调性； （5）将极值点代入函数解析式计算即可. 23．（1）答案见解析；（2）最大值是733，最小值是83-．【分析】（1）求得导函数，并计算()0f x '=的根，列表判断极值即可得结果； （2）根据（1）的极值再比较()853f -=-，()7343f =的大小即可得最值.【详解】解：（1）函数()321313f x x x x =+--的定义域为R ． ()()()22331f x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，解得3x =-，或1x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．因此，当3x =-时，函数f x 有极大值，并且极大值为38f -=， 当1x =时，函数()f x 有极小值，并且极小值为()318f =-． （2）由（1）知，函数()f x 在区间[]5,4-上， 极大值为()38f -=，极小值为()318f =-． 又由于()853f -=-，()7343f =， 所以函数()f x 在区间[]5,4-上的最大值是733，最小值是83-．【点晴】方法点晴：求极值的方法步骤：1、求函数定义域；2、求导函数并解方程()0f x '=的根；3、列表判断极值.24．（1）当01x <<时，()f x 单调递减；当1x e <≤时，()f x 单调递增；最小值1；（2）证明见解析；（3）存在，2a e =. 【分析】(1)根据f (x )＝x －ln x ，求导得11()1x f x x x'-=-=，分别令f ′(x )<0，f ′(x )>0求解单调性和极值.(2)要证 f (x )>g (x )＋12，即证[f (x )]min －[g (x )]max >12，由(1)知f (x )在(0，e ]上的最小值为1，再利用导数法求得[g (x )]max 即可.(3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3，求导11()ax f x a x x'-=-=，分0<1a <e ，1a ≥e 讨论求解.【详解】(1)因为f (x )＝x －ln x ， 所以11()1x f x x x'-=-=， 所以当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减； 当1<x ≤e 时，f ′(x )>0时，此时f (x )单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝1. (2)∵f (x )的极小值为1，∴f (x )在(0，e ]上的最小值为1，即[f (x )]min ＝1. 又g ′(x )＝21ln x x-， ∴当0<x <e 时，g ′(x )>0，g (x )在(0，e]上单调递增． ∴[g (x )]max ＝g (e)＝112e <， ∴[f (x )]min －[g (x )]max >12， ∴在(1)的条件下，f (x )>g (x )＋12. (3)假设存在正实数a ，使f (x )＝ax －ln x (x ∈(0，e ])有最小值3， 则11()ax f x a x x'-=-=. ①当0<1a <e 时，f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a，e ]上单调递增， [f (x )]min ＝f (1a)＝1＋ln a ＝3，a ＝e 2，满足条件； ②当1a≥e 时，f (x )在(0，e ]上单调递减， [f (x )]min ＝f (e)＝a e －1＝3，a ＝4e(舍去)， 所以，此时f (x )无最小值．综上，存在实数a ＝e 2，使得当x ∈(0，e ]时f (x )有最小值3. 【点睛】方法点睛：不等式问题.（1）证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．（2）求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．25．（1）极小值为3ln 2-，无极大值；（2）(],1-∞. 【分析】（1）对函数求导，因式分解求得()0f x '=的根，列表判断单调性与极值；（2）将()2f x x x >-转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，令新的函数()g x ，然后求导以及二次求导以后判断单调性与极值，求出()g x 的最小值即可. 【详解】解：（1） 由2a =-，得()2ln f x x x x=+-，定义域为()0,∞+， ()()()2222212121x x x x f x x x x x-+--'=--==， 令()0f x '=，得2x =（或1x =-舍去），列表：所以f x 的极小值为23ln 2=-f ，无极大值. （2）由2ln a x x x x x -->-，得2ln ax x x<-， 问题转化为3ln a x x x <-在()1,+∞上恒成立，记()()3ln ,1,g x x x x x =-∈+∞，即min ()a g x <在()1,+∞上恒成立，则()()2231ln 3ln 1g x x x x x '=-+=--，令()23ln 1h x x x =--，则()21616x h x x x x-'=-=，由1x >，知2610x ->，即()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，()()120h x h >=>，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()11g x g >=， 由()a g x <在()1,+∞上恒成立，所以1a ≤. 【点睛】方法点睛：导函数中两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 26．（1）(,0)-∞和(1,)+∞；（2）1-. 【分析】（1）由极值点求出参数3a =，再代入，解不等式()0f x '>求递增区间 （2）求()f x 在[1,2]-上的极值，与端点值比较得出最小值. 【详解】（1）由题意2()62f x x ax '=-()01f '=，则3a =32()234,()6(1)f x x x f x x x '=-+=-，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '>；当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 所以，函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞ （2）当[1,2]x ∈-时，(),()f x f x '的变化情况如下表当1,(1)2343x f ==-+=.所以当[1,2]x ∈-时，函数()f x 的最小值为1-.【点睛】用导数法求最值方法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；。
北师大版数学高二选修1-1 4-1.1导数与函数的单调性 同步测试
4-1.1导数与函数的单调性(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．当x ＞0时，f (x )＝x ＋2x ，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2，＋∞)D ．(0，2)解析： f ′(x )＝1－2x 2，当f ′(x )＜0时，－2＜x ＜0，或0＜x ＜2，又∵x ＞0，∴0＜x＜2，故选D.答案： D2．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln x C ．y ＝1x －2D ．y ＝sin x解析： 对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1(x －2)2<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.答案： C3．函数y ＝x cos x －sin x 在下列哪个区间内是增函数( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)解析： 由y ′＝－x sin x ＞0，则sin x ＜0，则π＋2k π＜x ＜2π＋2k π，k ∈Z. 答案： B4．(2，＋∞)为函数y ＝2x －ax 的单调递增区间，则a 的值为( )A ．a ≥－8B ．－8＜a ＜0C ．a ＜－8D ．a ＞0解析： y ′＝2＋ax 2≥0对x ＞2恒成立，∴a ≥－2x 2，∴a ≥－8. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2009江苏高考)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________． 解析： f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)， 当x <－1或x >11时，f ′(x )>0，f (x )单调递增； 当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 答案： (－1,11)6．若函数y ＝(a －1)ln x ＋2x －1在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围为________． 解析： y ′＝(a －1)·1x ＋2>0在(0，＋∞)上恒成立即：a －1>－2x ，而x >0，∴a －1≥0，∴a ≥1. 答案： a ≥1三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝3x 2－2x ＋1； (2)f (x )＝x 3－2x 2＋x ； (3)f (y )＝x －ln x (x >0)；解析： (1)f ′(x )＝6x －2.令6x －2>0，解得x >13.因此，当x ∈⎝⎛⎭⎫13，＋∞时，f (x )是增函数； 其单调递增区间为⎝⎛⎭⎫13，＋∞. 再令6x －2<0，解得x <13.因此，当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，13时，f (x )是减函数． 其单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－∞，13. (2)f ′(x )＝3x 2－4x ＋1.令3x 2－4x ＋1>0，解得x >1，或x <13.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫－∞，13. 再令3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.因此，y ＝x 3－2x 2＋x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫13，1. (3)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x，令y ′＝1－1x >0，则x >1，因此，函数y ＝x －ln x 在(1，＋∞)上是增函数；令y ′＝1－1x<0，则0<x <1，因此，函数y ＝x －ln x 在(0,1)上是减函数，所以函数y ＝x －ln x 的单调区间是(0,1)和(1，＋∞)． 8．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0)的单调区间．解析： f (x )的定义域为(－1,1)，易知函数f (x )是奇函数，故只需讨论函数在(0,1)内的单调性．因为f ′(x )＝b ·x ′(x 2－1)－x (x 2－1)′(x 2－1)2＝－b (x 2＋1)(x 2－1)2， 当0<x <1时，x 2＋1>0，(x 2－1)2>0，所以－x 2＋1(x 2－1)2<0.所以若b >0，则f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0,1)内是减函数；若b <0，则f ′(x )>0，所以函数f (x )在(0,1)内是增函数．又函数f (x )是奇函数，而奇函数图象关于原点对称，所以当b >0时，f (x )在(－1,1)内是减函数；当b <0时，f (x )在(－1,1)内是增函数． 9．(10分)已知f (x )＝2ax －1x 2，x ∈(0,1]．若f (x )在区间(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．解析： f ′(x )＝2a ＋2x 3.∵f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ′(x )≥0，即a ≥－1x 3在x ∈(0,1]上恒成立．而g (x )＝－1x 3在(0,1]上单调递增．∴g (x )max ＝g (1)＝－1.∴a≥－1，即a的取值范围是[－1，＋∞)．。
导数及其应用运算单调性极值与定积分章节综合考点检测练习(四)附答案新人教版高中数学名师一点通家教辅导
解：（1）由题意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中， …（6分）
（2） =
= ．…（11分）
(3)设 ，则点 处切线方程为 ，
与曲线 ： 联立方程组，得 ，即 ，
所以 点的横坐标 ．…………………………………………………………12分
由题意知， ， ，
若存在常数 ，使得 ，则 ，
即存在常数 ，使得 ，
所以 解得 ， ．………………………………………………15分
故 时，存在常数 ，使 ； 时，不存在常数 ，使 ．……16分
14．函数f(x)＝ x－sinx在区间[0，π]上的最小值为．
15．直线 是曲线 的一条切线，则实数b=▲
16．已知函数 ，当 时函数 的极值为 ，则 ．
评卷人
得分
三、解答题
17．已知函数 （ 为常数），其图象是曲线 ．
（1）当 时，求函数 的单调减区间；
（2）设函数 的导函数为 ，若存在唯一的实数 ，使得 与 同时成立，求实数 的取值范围；
9．D
解析：由题得 ，令 得 ；令 得 ； 得 ，故知函数 在区间 上为减函数，在区间 为增函数，在点 处有极小值 ；又 ，故选择D。
10．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
11．；
12．
13．
14．－
15．ln2-1
16．
评卷人
得分
三、解答题
17．(1)当 时， .………………………………………2分
答案B
8．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为 ，则导函数 的图像大致为
贵阳市十七中必修一第四单元《函数应用》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知函数()()2log 1,1212,1x x x f x x ⎧-<-⎪=⎨-+≥-⎪⎩，若函数()()F x f x k =- 恰有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．()2,3C ．(]3,4D ．()2,+∞2．已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．[2,0)- C ．(1,0)- D ．[1,0)-3．已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意R x ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，在直线l 斜率k 的取值范围是（ ）A ．80,11⎛⎫⎪⎝⎭B ．110,8⎛⎫⎪⎝⎭C ．80,19⎛⎫⎪⎝⎭D ．190,8⎛⎫⎪⎝⎭4．设函数()243,023,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x 、2x 、3x ，满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5,42⎛⎤⎥⎝⎦C ．()2,4D ．()2,65．流行病学基本参数：基本再生数0R 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔T 指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可用模型：0()rtI t N e =（其中0N 是开始确诊病例数）描述累计感染病例()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 满足01R rT =+，有学者估计出0 3.4,6R T ==．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，当0()2I t N =时，t 的值为（ln 20.69≈）（ ） A ．1.2B ．1.7C ．2.0D ．2.56．已知函数1,0(),0x x m f x e x -⎧=⎪=⎨⎪≠⎩，关于x 的方程23()(23)()20mf x m f x -++=有以下结论：①存在实数m ，使方程有2个解；②当方程有3个解时，这3个解的和为0；③不存在实数m ，使方程有4个解；④当方程有5个解时，实数m 的取值范围是331,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞ B ．[)0,2C ．[)0,4D ．[)2,48．设函数3,()log ,x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >， 若函数()2y f x =-有且仅有两个零点，则a的取值范围是（ ）A ．. ()0,2B ．()0,9C ．()9,+∞D ．()()0,29,⋃+∞9．若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数()f x 的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则称点()A B ，是函数()f x 的一个“姊妹点对”.点对()A B ，与()B A ，可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数220()20xx x x f x x e⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的“姊妹点对”有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设一元二次方程210mx m -++=的两个实根为1x ，2x ，则2212x x +的最小值为（ ） A ．178-B ．154C ．1D ．411．若函数()22f x x x a =--有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．01a <≤B ．10a -<<C ．0a =或1a >D ．01a <<12．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1θC ，空气的温度是0θC ，那么t 分钟后物体的温度θ（单位C ）可由公式：()010kt e θθθθ-=+-求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有100℃的物体，放在20C 的空气中冷却，4分钟后物体的温度是60C ，则再经过（ ）分钟，物体的温度是40C （假设空气的温度保持不变）. A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．14．已知函数11,0, ()2ln(),0,xxf xx x-⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-<⎩设函数()()g x f x a=-有4个不同的零点，则实数a的取值范围是_______.15．若y a x=的图象与直线y x a=+（0a>）有两个不同交点，则a的取值范围是__________.16．关于x的方程()142650x xk k k+⋅-⋅+-=在区间[0]1，上有解，则实数k的取值范围是________．17．已知函数()2f x x ax b=++的两个零点为1x，2x，且满足1202x x<<<，记()()f x x R∈的最小值为m，则m的取值范围是______.18．用符号[]x表示不超过x的最大整数，例如：[]0.60=；[]2.32=；[]55=.设函数()()()()2222ln22ln2f x ax x ax x=-+-有三个零点1x，2x，3x()123x x x<<且[][][]1233x x x++=，则a的取值范围是_____________.19．已知函数24()ln(1)xf x e-=+，()2g x x a=+-.若存在[](),1a n n n Z∈+∈，使得关于x的方程()()f xg x=有四个不相等的实数解，则n的最大值为_______.20．若关于x的方程1xa k-=（0a>且1a≠）恰有两个解，则k的取值范围是______.三、解答题21．如图，电路中电源的电动势为E，内电阻为r，1R为固定电阻，2R是一个滑动变阻器.其中电功率与外电阻2R满足关系式2212()EP Rr R R=++.（1）若 6.0=E V， 1.0r=Ω，10.5R=Ω，求 5.625P W=时的滑动电阻值2R.（2）当2R调至何值时，消耗的电功率P最大？最大电功率是多少？22．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km/min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？23．某产品拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m 万件与年促销费用x （0x a ≤≤）万元满足141m x =-+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要投入25万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用x 万元的函数； （2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？24．“金山银山，不如绿水青山，而且绿水青山就是金山银山”.某乡镇为创建“绿色家园”，决定在乡镇范围内栽种某种观赏树木，已知这种树木自栽种之日起，其生长规律为：树木的高度()f x （单位：米）与生长年限x （单位：年）满足关系()()41=013kx b f x x +≥+，树木栽种时的高度为12米；1年后，树木的高度达到4128米. （1）求()f x 的解析式；（2）问从种植起，第几年树木生长最快？25．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图①的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图②的抛物线段表示．（Ⅰ）写出图①表示的市场售价与时间的函数关系式()f t ；写出图②表示的种植成本与时间的函数关系式()g t ；（Ⅱ）若记市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/100kg，时间单位：天）．26．荷兰阿斯麦尔公司（ASML）是全球高端光刻机霸主，最新的EUV（极紫外光源）具备7nm工艺.芯片是手机中重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件.如果某工厂一条手机配件生产线的产量ω（单位：百个）与生产成本x（单位：百元）满足如下关系：()213(02)236(25)1x xxxxω⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪+⎩此外，还需要投入其他成本（如运输、包装成本等）2x百元，已知这种手机配件的市场售价为16元/个（即16百元/百个），且市场需要始终供不应求.记这条生产线获得的利润为()L x（单位：百元）.（Ⅰ）求()L x的函数表达式；（Ⅱ）当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】函数()()F x f x k=-恰有3个零点，即函数()y f x=与()h x k=的图象有三个交点，画两个函数的图象，观察图象即得结果.【详解】函数()()F x f x k=-恰有3个零点，即函数()y f x=与()h x k=的图象有三个交点，分别画出()y f x=与()h x k=的图象，如图所示，5(1)2f-=，观察图象可得，当522k <≤时，两图象有3个交点，即函数()()F x f x k =-恰有3个零点. 故选：A. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．B解析：B 【分析】当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =，只需当0x ≤时，20x e a +=有一个根，利用“分离参数法”求解即可. 【详解】因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时，()21f x x =-有一个零点12x =， 所以只需当0x ≤时，202x xa e a e +==-即有一个根即可，因为2xy e =单调递增，当0x ≤时，(]0,1xe ∈，所以(]0,2a -∈，即[)2,0a ∈-，故选：B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根），求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后利用数形结合求解．3．A解析：A 【分析】先由条件①②，得到函数()f x 是周期为4的周期函数；根据③求出函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，根据④得到()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象，结合图象，即可求出结果. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，由()()220f x f x +--=得()()()222f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期为4的周期函数；若[]2,0x ∈-，则[]0,2x ∈；因为当[]0,2x ∈时，()f x x =， 所以[]0,2x -∈时，()f x x -=-，因为函数()f x 是偶函数，所以()()f x x f x -=-=， 即()f x x =-，[]2,0x ∈-，则函数()f x 在一个周期[]22-,上的表达式为(),02,20x x f x x x ≤≤⎧=⎨--≤<⎩，因为()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，所以函数()()()48f x f x =，*n N ∈，故()()4f x 的周期为12，其图象可由()f x 的图象压缩为原来的18得到，作出()()4f x 的图象如图：易知过()1,0M -的直线l 斜率存在，设过点()1,0-的直线l 的方程为()1y k x =+， 则要使直线l 与()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则0MA k k <<，因为7,24A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以20871114MA k -==+，故8011k <<. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于，根据条件，由函数基本性质，得到()()4f x 的图象，再由函数交点个数，利用数形结合的方法，即可求解.4．C解析：C 【分析】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象，结合图象可得出1x 的取值范围，结合二次函数图象的对称性可得出234x x +=，进而可求得123x x x ++的取值范围. 【详解】设123x x x <<，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()123f x f x f x m ===，当0x ≥时，()()2243211f x x x x =-+=--≥-，由图象可知，13m -<<，则()()11231,3f x x =+∈-，可得120x -<<， 由于二次函数243y x x =-+的图象的对称轴为直线2x =，所以，234x x +=，因此，12324x x x <++<. 故选：C. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（或取值范围），常用方法如下： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离常数法：先将参数分离，转化为求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.5．B解析：B【分析】根据所给模型求得0.4r =，代入已知模型，再由0()2I t N =，得002rtN e N =，求解t 值得答案 【详解】解：把0 3.4,6R T ==代入01R rT =+，得3.416r =+，解得0.4r =，所以0.40()tI t N e =，由0()2I t N =，得0.4002tN eN =，则0.42t e =，两边取对数得，0.4ln 2t =，得ln 20.691.70.40.4t =≈≈， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查函数模型的实际应用，考查计算能力，解题的关键是准确理解题意，弄清函数模型中各个量的关系，属于中档题6．C解析：C 【分析】将方程的解的个数转化为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数，数形结合即可得解. 【详解】由题意，23()(23)()20[3()2][()1]0mf x m f x f x mf x -++=⇒--=， 解得2()3f x =或1()f x m=， 则方程解的个数即为函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=的交点总数， 作出函数()f x 的图象，如图，由()f x 的图象可知，2()3f x =有两个非零解，由1(0)f m =得1()f x m=至少有一个解0，故①错； 当方程有3个解时，10m <或11m ≥或123m =，由函数的对称性可得这3个解的和为0， 故②对；不存在实数m ，使方程有4个解，故③对； 当方程有5个解时，则函数()y f x =的图象与直线23y =和1y m=共有五个交点， 所以直线1y m=与函数()y f x =的图象有三个交点， 数形结合可得101123mm ⎧<<⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩，解得331,,22m ⎛⎫⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④对. 故正确结论有3个. 故选：C ． 【点睛】方法点睛：解决函数零点(方程的根)的问题常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.7．B解析：B 【分析】根据“2阶准偶函数”定义，分0a <，0a >，0a =三种情况分析即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”， 则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2yx 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B 【点睛】本题解题的关键是根据新定义的“2阶准偶函数”，将问题转化为研究函数()f x ，()f x -可能取何值，进而根据22x x =方程有两个解2x =或4x =求解.考查运算求解能力与综合分析能力，是中档题.8．D解析：D 【分析】函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，数形结合即可求出a 的取值范围. 【详解】令2x =可得12x =-，22x =；令3log 2x =得39x =函数()2y f x =-有且仅有两个零点等价于()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，作3,()log ,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩()0a >图象如图：当02a <<时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有两个交点，交点横坐标为12x =-，39x =，符合题意；当29a ≤≤时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有3个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，39x =，不符合题意；当9a >时，()y f x =与2y =两个函数图象有且仅有2个交点，交点横坐标为12x =-，22x =，不符合题意；所以a 的取值范围是：()()0,29,⋃+∞， 故选：D 【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数的范围，函数的零点转化为对应方程的根，转化为函数图象的交点，属于中档题.9．C解析：C 【解析】根据题意可知，“姊妹点对”满足两点：都在函数图象上，且关于坐标原点对称． 可作出函数()220y x x x =+<的图象关于原点对称的图象，看它与函数()20xy x e =≥ 交点个数即可．如图所示：当1x =时，201x e<<观察图象可得：它们有2个交点． 故答案选C点睛：本题主要考查了函数的性质运用，理解题目中两点都在函数图象上，且关于原点对称的意思，结合函数图象即可得出结果10．C解析：C 【分析】由一元二次方程有两个实根,可知0m ≠且0∆≥,可求出m 的取值范围,然后结合韦达定理可得到2212x x +的表达式,结合m 的取值范围可求出答案.【详解】∵一元二次方程210mx m -++=有两个实根,∴(()20410m m m ≠⎧⎪⎨∆=--+≥⎪⎩,解得21m -≤≤且0m ≠.又12x x m+=,121m x x m +⋅=,则()2221212122x x x x x x +=+-⋅212m m +-⨯=⎝⎭2822m m =-- 令1t m=,因为21m -≤≤且0m ≠,所以12t ≤-或1t ≥,则221222117822888t t t x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭+,当12t =-时,2212x x +取得最小值2111781288⎛⎫---= ⎪⎝⎭.故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用,考查韦达定理的应用,考查学生的计算能力与推理能力,属于中档题.11．D解析：D 【分析】 令0f x，可得22x x a -=，作出()22g x x x =-的图象，令直线y a =与()g x 的图象有4个交点，可求出实数a 的取值范围. 【详解】 令0f x，则22x x a -=，构造函数()22g x x x =-，作出()g x 的图象，如下图，()g x 在()0,2上的最大值为()1121g =-=，当01a <<时，直线y a =与()g x 的图象有4个交点， 所以函数()f x 有4个零点，实数a 的取值范围为01a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点，注意利用数形结合方法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】根据题意将数据120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-，可得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，再将40θ代入即可得8t =，即可得答案.【详解】由题意知：120θ=，0100θ=，60θ=，4t =代入()010kte θθθθ-=+-得：()4602010020ke-=+-，解得1412k e -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当40θ时，()1440201002012t ⎛⎫ -⎪⎭=+⎝，解得：124114212t ⎛⎫== ⎛⎫ ⎝⎪⎭⎪⎭⎝， 所以8t =，所以再经过4分钟物体的温度是40C ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的综合题，关键是弄清楚每个字母的含义，属于中档题.二、填空题13．1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝30＞2解析：1120 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．【分析】先将方程变形为根据数形结合思想与必须有两个交点即可求出的范围【详解】函数有4个不同的零点即为有4个不等实根作出的图象可得时与的图象有4个交点故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转解析：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】先将方程()0f x a -= 变形为()f x a =,根据数形结合思想,y a =与()f x 必须有两个交点,即可求出a 的范围. 【详解】函数()()g x f x a =-有4个不同的零点，即为()f x a =有4个不等实根，作出()y f x =的图象， 可得112a <时，()y f x =与y a =的图象有4个交点. 故答案为：1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】关键点睛：解题的关键在于把问题转化为即为()f x a =有4个不等实根和根据分段函数作出()f x 的图像，难度属于中档题15．【分析】首先根据已知题意画出图形然后根据数形结合分析的取值范围需要注意为的斜率【详解】根据题意的图象如图：结合图象知要想有两个不同交点的斜率要大于的斜率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查函数图象 解析：()1,+∞【分析】首先根据已知题意画出图形，然后根据数形结合分析a 的取值范围，需要注意a 为y ax =的斜率. 【详解】根据题意y a x =的图象如图：()0a >，结合图象知，要想有两个不同交点y ax ∴=的斜率要大于y x a =+的斜率a ∴的取值范围是1a >.故答案为：()1,+∞ 【点睛】本题考查函数图象的交点问题，考查数形结合能力，属于中等题型.16．【分析】换元：令则原方程化为根据题意问题转化为此方程在上有零点根据二次函数零点的判定方法即可求得结论【详解】解：令则∴方程化为：根据题意此关于t 的一元二次方程在上有零点整理得：方程当时存在实数解∴当解析：[5]6，【分析】换元：令2x t =，则[12]t ∈，，原方程化为()22650k t k t k ⋅-⋅+-=，根据题意，问题转化为此方程在[1]2，上有零点，根据二次函数零点的判定方法即可求得结论． 【详解】解：令2x t =，则[12]t ∈，， ∴方程()142650xx k k k +⋅-⋅+-=，化为：()22650k t k t k ⋅-⋅+-=，根据题意，此关于t 的一元二次方程在[1]2，上有零点， 整理，得：方程22630()k t t -+=，当[12]t ∈，时存在实数解 ∴23026k t t =-+，当[12]t ∈，时存在实数解 ∵()22261556[]t t t -+=-+∈， ∴2303030,[5,6]2665k t t ⎡⎤=∈=⎢⎥-+⎣⎦故答案为：[5]6，【点睛】本题以指数型二次方程为例，考查了根的存在性及函数零点的知识点，属于中档题．请同学们注意解题过程中变量分离思路的应用，它可以化繁为简、化难为易．17．【分析】根据二次方程根的分布得出满足的关系在坐标系中作出这个关系式表示的平面区域求出的最小值平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围【详解】由题意即在直角坐标系中作出此不等式组表示的平面区域如图 解析：()1,0-【分析】根据二次方程根的分布得出,a b 满足的关系，在坐标系O ab -中作出这个关系式表示的平面区域，求出()f x 的最小值，平移根据这个目标函数对应的曲线可得其取值范围． 【详解】由题意240(0)0(2)420022a b f b f a b a ⎧->⎪=>⎪⎪⎨=++>⎪⎪<-<⎪⎩，即240040420a b b a a b ⎧->⎪>⎪⎨-<<⎪⎪++>⎩，在直角坐标系O ab -中作出此不等式组表示的平面区域，如图阴影部分（不含边界），()f x 的最小值为24a z b =-，作出曲线204a b -=，它正好是图象阴影部分的一个曲边边界，把这个曲线向下平移，24a zb =-在减小，当它在阴影部分边界时，0z =，当它过点(2,0)-时，1z =-，所以(1,0)z ∈-．故答案为：(1,0)-．【点睛】本题考查二次方程根的分布，考查非线性平面区域的非线性规划问题（仿照简单的线性规划处理方法），解题时根据二次方程根的分布求出条件，再求出最小值的表达式，然后仿照简单的线性规划问题求解，考查了学生的创新意识．18．【分析】由题意可知得；令可知单调递增区间为单调递减为作出的草图由图可知所以而所以即可得由此即可求出结果【详解】因为所以①或②由①得由②得令则所以当时单调递增时单调递减事实上当时当时由图显然所以而所以解析：2ln 2,ln 69⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】由题意可知()()()21ln 22ln 20f x x ax x =-+=，得22ln 2x a x -=；令()22ln 2xg x x=，可知()g x 单调递增区间为0,2e ⎛ ⎝⎭，()g x 单调递减为,2e ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，作出()g x 的草图，由图可知()10,1x ∈，()21,22ex =∈，所以[]10x =，[]21x =，而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈，可得()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，由此即可求出结果.【详解】因为()()()2222ln 22ln 22ln 21ln 22ln 21ln 2f x ax ax x x x ax x x x =-+-=-+-()()21ln 22ln 20x ax x =-+=，0x >，所以1ln 20x -=①或22ln 20ax x +=②. 由①得2e x =，由②得22ln 2xa x -=. 令()22ln 2x g x x =，则()()3212ln 20x g x x -'==，所以2ex =. 当0,e x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，,2e x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减.事实上，当102x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >. 由图显然()10,1x ∈，()21,22ex =∈，所以[]10x =，[]21x =， 而[][][]1233x x x ++=，所以[]32x =，即[)32,3x ∈.所以()()23a g a g ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩，即2ln 4,42ln 6,9a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩解得2ln 6ln 29a -≤<-. 故答案为：2ln 2,ln 69⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题主要考查了导函数在函数零点中的应用，属于难题.19．2【分析】由题意得令显然为偶函数则方程有四个实根函数x ＞0有两个零点令x ＞0则关于t 的方程即在内有两个不相等的实根结合函数的图象可得由此可求出答案【详解】解：方程令则显然为偶函数∴方程有四个实根函数解析：2 【分析】由题意得242()()10x x a f x g x ee-+-=⇔+-=，令242()1x x a h x ee-+-=+-，x ∈R ，显然()h x 为偶函数，则方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x ee -+-=+-，x ＞0有两个零点，令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1ae t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根，结合函数1y t t =+的图象可得4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，由此可求出答案． 【详解】解：方程()()f x g x =⇔24ln(1)2x e x a -+=+-24210x x a e e -+-⇔+-=，令242()1x x a h x ee-+-=+-，x ∈R ，则显然()h x 为偶函数，∴方程()()f x g x =有四个实根⇔函数242()1x x a h x e e -+-=+-，x ＞0有两个零点， 令2x t e -=，x ＞0，则关于t 的方程210a t e t -+=，即1ae t t=+在()2e -+∞，内有两个不相等的实根， 结合函数1y t t=+，2t e ->的图象，得222a e e e -<<+， 即4ln 2ln(1)2a e <<+-，∵存在[],1a n n ∈+，使得4ln 2ln(1)2a e <<+-，∴4ln(e 1)2ln 21n n ⎧<+-⎨<+⎩，结合n Z ∈，得max 2n =， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查函数与方程，考查方程的实数解个数问题，考查转化与化归思想，属于中档题．20．【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数图象交点个数问题结合指数函数的性质利用数形结合进行求解即可【详解】解：不妨设则作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解则即实数k 的取值范围是故答案为：【 解析：0,1【分析】根据函数与方程之间的关系，转化为函数图象交点个数问题，结合指数函数的性质，利用数形结合进行求解即可. 【详解】解：不妨设1a >，则1,0()11,0x xxa x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩， 作出函数()f x 的图象如图：要使方程|1|xa k -=（0a >且1a ≠）恰有两个解， 则01k <<，即实数k 的取值范围是()0,1， 故答案为：()0,1【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用指数函数的性质转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键.三、解答题21．（1）0.9或2.5；（2）当2R 调至1R r +时，消耗的电功率P 最大，最大电功率是2144E R r+.【分析】（1）代入数据，解方程可得答案；（2）由已知得221212()2()E P R r R R r R =++++，再利用基本不等式可得最值． 【详解】（1）当 6.0=E V ， 1.0r =Ω，10.5R =Ω， 5.625P W =时，22222222456()2068450(109)(25)01812R R R R R R =⇒-+=⇒--=++， 解得290.910R ==，或252.52R == 故2R 的值为0.9或2.5.（2）由题意，120,0,0,0E r R R >>>>，于是222222221122211212()()2()()2()E R E E P R R r r R R R R R r R r R R r R ===++++++++++ 222211112122()2()44()22()E E R r R r R r R r R R r R ==+++++⋅++，当且仅当2122()R r R R +=，即21R R r =+时，等号成立.也就是说，当外电路的电阻等于内电阻时电源的输出功率最大；将电阻1R 与电源等效成等效电源考虑求解. 【点睛】关键点点睛：解决函数模型的应用问题时，关键在于将生活中的数据转化到函数模型中的数据，注意数据所满足的实际的意义． 22．（1）466；（2）3倍. 【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg502100x-=， 即()3log 2lg521lg 2 1.40100x==-=， 所以1.403 4.66100x==， 所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 两式相减可得：13211log 22x x =， 所以132log 1x x =，即123x x =， 故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍． 【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.23．（1）251081y x x =--+（(0,]x a ∈）；（2）当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大；当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大. 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可；（2）对函数进行配凑，使之可用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为8252mm+⨯ 所以()8252825my m m x m+=⋅-++825m x =+-. 182541x x ⎛⎫=+-- ⎪+⎝⎭251081x x =--+（(0,]x a ∈） 所以251081y x x =--+（(0,]x a ∈）. （2）当4a ≥时，由251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=当且仅当2511x x =++，即4x =时取等号.又(0,]x a ∈ 当4x =时，y 有最大值；当04a <<时，令()251091f x x x =--+ 在(]0,a 上任取12,x x 使得12x x <()()()()()121221121225252510910911111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫-=---++=--⎪ ⎪++++⎝⎭(]()()()()122112121225,0,,401125,1011x x x x x x a a x x x x ∴-∈<∴<++<∴+<<>-+()()()120f x f x f x ∴-<∴是(]0,a 上的增函数..所以x a =时，y 有最大值；答：当4a ≥时，该服装厂2020年的促销费用投入4万元时，利润最大； 当04a <<时，该服装厂2020年的促销费用投入a 万元时，利润最大.. 【点睛】关键点睛：解题关键在于，当4a ≥时，利用均值不等式得到，251081y x x =--+()2510911x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦10999≤-=；当04a <<时，令()251091f x x x =--+，利用定义法判断()f x 的单调性，进而求出x a =时，y 有最大值，最后得到答案，难度属于中档题24．（1）()441()013x f x x -+=≥+；（2）第3年与第4年.【分析】（1）由已知得1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41113241411328b k b+⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解方程即可求,k b 的值，即可求解.（2）树木第x 年的增长量为：()()344141()11313x x g x f x f x -+-+=+-=-++整理之后利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）由已知得1(0)241(1)28f f ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即41113241411328b k b +⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以381327b k b +⎧=⎨=⎩，解得1k =-，4b =，所以，()441()013x f x x -+=≥+. （2）令x ∈N ，()()()()334344141823()113131313x x x x x g x f x f x -+-+-+-+-+⋅=+-=-=++++. 问题化为，当x ∈N 时，求函数()g x 的最大值.而()3273782382()1343133427x x x x x g x -+-+-+-⋅==+⋅+++(8241224≤=.当且仅当733x x -=，即72x =，上式取等号，但x ∈N ，()()41344g g ==， 故种植之日起，第3年与第4年树木生长最快. 【点睛】关键点点睛：求第几年树木生长最快关键是构造函数()()()1g x f x f x =+-。
导数及其应用运算单调性极值与定积分章节综合考点检测练习(一)附答案新人教版高中数学名师一点通家教辅导
18．已知函数f（x）=x -3ax +3x+1。
（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；
（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。
19．设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求a的取值范围．
20．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
(1）按下列要求写出函数关系式：
4．已知函数 ;则 的图像大致为
（2020新课标理）
5．设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 最小值为（）
6．已知函数 ，则 的大小关系是( )
（A） (B)
(C) (D)
7．设 ＜b,函数 的图像可能是 学科网
学科网
8．（2020天津卷理）设函数 则
A在区间 内均有零点。B在区间 内均无零点。
C在区间 内有零点，在区间 内无零点。
f（0）f（1），f（2）f（1），故选C
3．B
4．选
得: 或 均有 排除
5．B【2020高考真题新课标理12】
【解析】函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称
函数 上的点 到直线 的距离为
设函数
由图象关于 对称得： 最小值为 ,
6．
7．
8．D
解析：由题得 ，令 得 ；令 得 ； 得 ，故知函数 在区间 上为减函数，在区间 为增函数，在点 处有极小值 ；又 ，故选择D。
2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值学业分层测评含解析北师大版选修1-1
2016-2017学年高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值学业分层测评含解析北师大版选修1-120170704114D不变号零点不是极值点，∴f(x)在开区间(a，b)内有3个极值点．【答案】 C2．函数f(x)＝1＋3x－x3( )A．有极小值，无极大值B．无极小值，有极大值C．无极小值，无极大值D．有极小值，有极大值【解析】∵f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0得x＝±1.当x∈(－1,1)时f′(x)>0，∴f(x)的单调递增区间为(－1,1)；同理，f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)．∴当x＝－1时，函数有极小值－1，当x＝1时，函数有极大值3.【答案】 D3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1没有极值，则实数a的取值范围是( )A．(－3,6) B．[－3,6]C．(－∞，－3)∪(6，＋∞) D．(－∞，－3]∪[6，＋∞)【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，由题意可知f′(x)＝0没有实根或有两个相等实根，故Δ＝4a2－12(a＋6)≤0，解得－3≤a≤6，故选B.【答案】 B4．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx的图像如图416所示，且f(x)在x＝x0与x＝2处取得极值，则f(1)＋f(－1)的值一定( )图416A．等于0 B．大于0C．小于0 D．小于或等于0【解析】f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知，x＝x0与x＝2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，由图像知，a＞0且x0＋2＜0，∴－2b6a＜0，∴b＞0.又f(1)＋f(－1)＝2b，∴f(1)＋f(－1)＞0.【答案】 B5．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，则此函数的解析式是( ) A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x【解析】设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意得f′(1)＝f′(3)＝0，f(1)＝4，f(3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＋c ＝0，27a ＋6b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＋d ＝4，27a ＋9b ＋3c ＋d ＝0，解得：a ＝1，b ＝－6，c ＝9，d ＝0. 【答案】 B 二、填空题6．(2016·湛江高二检测)函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝________处取得极小值．【解析】 f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2；由f ′(x )＞0，得x ＜0或x ＞2；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜2，∴f (x )在x ＝2处取得极小值．【答案】 27．函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，那么a ＝________.【解析】 由f ′(x )＝6x 2－6x ，知函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)，故f(x)在x＝0处取得极大值6，故a＝6.【答案】 68．已知函数f(x)＝－12x2＋4x－3ln x在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．【解析】由题意知f′(x)＝－x＋4－3x ＝－x2＋4x－3x ＝－x－1x－3x，由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，由t<1<t＋1或t<3<t＋1，得0<t<1或2<t<3.【答案】(0,1)∪(2,3)三、解答题9．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1； (2)f (x )＝x2ex .【解】 (1)函数的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝3(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫x －13.令f ′(0)>0，可得x >1或x <13；令f ′(x )<0，可得13<x <1.∴函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13和(1，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. ∴当x ＝13时，函数有极大值，且为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝4327，当x ＝1时，函数有极小值，且为f (1)＝1，(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e －2.10．是否存在实数a，使函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极值？若存在，求出a的值，并判断f(1)是极大值还是极小值；若不存在，请说明理由．【解】假设存在实数a使函数f(x)＝1 3 x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极值．又f′(x)＝x2＋2x＋a，∴f′(1)＝0，即1＋2＋a＝0，∴a＝－3当a＝－3时，f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1或x＝－3.当x>1时，f′(x)>0，当－3<x<1时，f′(x)<0，故函数f(x)在x＝1处取极小值．故存在实数a＝－3使函数f(x)＝13x3＋x2＋ax＋1在x＝1处取极小值．[能力提升]1．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是( )【解析】∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴当x＜－2时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x＞－2时，f(x)单调递增，即f′(x)＞0.∴当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0；当x＝－2时，y＝xf′(x)＝0；当－2＜x＜0时，y＝xf′(x)＜0；当x＝0时，y＝xf′(x)＝0；当x＞0时，y＝xf′(x)＞0.结合选项中图像知，选C.【答案】 C2．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)·(x－1)k(k＝1,2)，则( ) A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0.∴x＝1不是f(x)的极值点．当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)显然f′(1)＝0，且x在1的左边附近f′(x)<0，x在1的右边附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.【答案】 C3．设函数f(x)＝x3－92x2＋6x－a.(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．【解】(1)f′(x)＝3x2－9x＋6.∵x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m恒成立，即3x2－9x＋(6－m)≥0恒成立，∴Δ＝81－12(6－m)≤0，得m≤－34 .即m的最大值为－34 .(2)∵当x<1时，f′(x)>0；当1<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0；∴当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝52－a；当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a. 故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)＝0仅5 2.有一个实根，解得a<2或a>。
高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性学业分层测评(含解析)北师大版选修22
3.1.1 导数与函数的单调性(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是( ) A.(－∞，e －2) B.(0，e －2) C.(e －2，＋∞)D.(e 2，＋∞)【解析】 因为y ＝x ＋x ln x ，所以定义域为(0，＋∞). 令y ′＝2＋ln x <0，解得0<x <e －2，即函数y ＝x ＋x ln x 的单调递减区间是(0，e －2)， 故选B. 【答案】 B2.(2016·深圳高二检测)如图314是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )图314A.在区间(－2，1)上f (x )是增函数B.在区间(1，3)上f (x )是减函数C.在区间(4，5)上f (x )是增函数D.在区间(3，5)上f (x )是增函数【解析】 由导函数f ′(x )的图像知在区间(4，5)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(4，5)上单调递增.故选C.【答案】 C3.若函数f (x )＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( ) A.a ≤0 B.a <1 C.a <2D.a ≤13【解析】 f ′(x )＝3ax 2－1.因为函数f (x )在R 上是减函数，所以f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，所以a ≤0.故选A.【答案】 A4.函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A.(－1，1)B.(－1，＋∞)C.(－∞，－1)D.(－∞，＋∞)【解析】 构造函数g (x )＝f (x )－(2x ＋4)， 则g (－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f ′(x )>2. ∴g ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴g (x )是R 上的增函数. ∴f (x )>2x ＋4⇔g (x )>0⇔g (x )>g (－1)， ∴x >－1. 【答案】 B5.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－3)∪[3，＋∞)B.[－3，3]C.(－∞，－3)∪(3，＋∞)D.(－3， 3)【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a 2－12≤0⇒－3≤a ≤ 3.【答案】 B 二、填空题6.函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为__________.【解析】 令f ′(x )＝1－2cos x >0，则cos x <12，又x ∈(0，π)，解得π3<x <π，所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，π.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π7.(2016·佛山高二检测)函数y ＝13x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，则a 的取值范围是________.【解析】 由y ′＝x 2－2ax ＋1有两个不相等零点，得Δ＝(－2a )2－4>0，得a 2>1，解得a <－1或a >1.【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8.若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则b 的取值范围是__________.【解析】 若函数y ＝－43x 3＋bx 有三个单调区间，则y ′＝－4x 2＋b ＝0有两个不相等的实数根，所以b >0.【答案】 (0，＋∞) 三、解答题9.(2016·吉林高二检测)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件： ①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数； ②f (x )的导函数是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直. 求函数y ＝f (x )的解析式. 【解】 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数， 所以f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0. ① 由f (x )的导函数是偶函数，得b ＝0，②又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f ′(0)＝c ＝－1，③ 由①②③得a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3.10.若函数f (x )＝x 3－mx 2＋2m 2－5的单调递减区间是(－9，0)，求m 的值及函数的其他单调区间.【解】 因为f ′(x )＝3x 2－2mx ， 所以f ′(x )<0，即3x 2－2mx <0.由题意，知3x 2－2mx <0的解集为(－9，0)， 即方程3x 2－2mx ＝0的两根为x 1＝－9，x 2＝0. 由根与系数的关系，得－－2m 3＝－9，即m ＝－272.所以f ′(x )＝3x 2＋27x .令3x 2＋27x >0，解得x >0或x <－9.故(－∞，－9)，(0，＋∞)是函数f (x )的单调递增区间.综上所述，m 的值为－272，函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－9)，(0，＋∞).[能力提升]1.已知函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像如图315所示，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )图315【解析】 由题图，知函数g ′(x )为增函数，f ′(x )为减函数，且都在x 轴上方，所以g (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f (x )的图像上任一点的切线的斜率都大于0且在减小.又由f ′(x 0)＝g ′(x 0)，知选D.【答案】 D2.设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时有( )A.f (x )g (x )>f (b )g (b )B.f (x )g (a )>f (a )g (x )C.f (x )g (b )>f (b )g (x )D.f (x )g (x )>f (a )g (a ) 【解析】 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）g 2（x ）.又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，所以f （x ）g （x ）在R 上为减函数.又因为a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ），又因为f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x ).因此选C.【答案】 C3.(2016·亳州高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围为________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由于f (x )是R 上的单调函数，所以f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立.由于导函数的二次项系数3>0，所以只能有f ′(x )≥0恒成立.法一：由上述讨论可知要使f ′(x )≥0恒成立，只需使方程3x 2＋2x ＋m ＝0的判别式Δ＝4－12m ≤0，故m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意.所以实数m 的取值范围是m ≥13.法二：3x 2＋2x ＋m ≥0恒成立，即m ≥－3x 2－2x 恒成立.设g (x )＝－3x 2－2x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13，易知函数g (x )在R 上的最大值为13，所以m ≥13.经检验，当m ＝13时，只有个别点使f ′(x )＝0，符合题意.所以实数m 的取值范围是m ≥13.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 4.设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax (a >0). (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立. 【解】 (1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ， 其中x >0，∴f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－（x －a ）（2x ＋a ）x，由于a >0，∴f (x )的增区间为(0，a )，减区间为(a ，＋∞). (2)由题意得，f (1)＝a －1≥e －1， 即a ≥e ，由(1)知f (x )在[1，e]上单调递增， 要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －1≥e －1，f （e ）＝a 2－e 2＋a e ≤e 2， 解得a ＝e.。
高中数学第四章导数应用41函数的单调性与极值第24课时导数与函数的单调性2作业课件北师大版选修11
(3)当a<1－a，即a<12时， 由f′(x)>0，得x<a或x>1－a， 由f′(x)<0，得a<x<1－a， 故f(x)在(－∞，a)上是增加的，在(a,1－a)上是减少的，在 (1－a，＋∞)上是增加的．
综上可知，当a<
1 2
时，f(x)在(－∞，a)上是增加的，在(a,1
－a)上是减少的，在(1－a，＋∞)上是增加的；当a＝
成立，则实数a的范围为________．
三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤)
10．(12分)若函数f(x)＝
1 3
x3－
1 2
ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)
上为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范
围．
答案 1．A 2．B 函数f(x)＝x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增加的，所 以f′(x)＝3x2＋a≥0，所以a≥0，显然，若a>0则有函数f(x)＝ x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增加的，若a＝0函数f(x)＝x3＋ax在 区间(0，＋∞)上是增加的，所以“a>0”是“函数f(x)＝x3＋ax在 区间(0，＋∞)上是增加”的充分而不必要条件．故选B.
13．(15分)已知函数f(x)＝
1 3
x3－
1 2
x2＋a(1－a)x＋3(a∈
R)．试讨论函数f(x)的单调性．
答案
11.证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋
1 2
x2(x>0)．则f′(x)＝
1 x＋1
－1＋x＝1＋x2 x.
当x>0时，f′(x)>0.
∴f(x)在(0，＋∞)内是增加的．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4.1.1 导数与函数的单调性
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．函数y ＝f (x )的图像如右图411所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )
图411
【解析】 由函数的图像可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f (x )均为减函数，故在这两个区间上，f ′(x )均小于0.
【答案】 D
2．函数f (x )＝x 3
－8x 2
＋13x －6的单调减区间为( ) A ．(－∞，1) B.⎝
⎛⎭⎪⎫1，133
C.⎝
⎛⎭
⎪
⎫133，＋∞
D ．(－∞，1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫133，＋∞
【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2
－16x ＋13，令f ′(x )<0，得1<x <133
.∴函数f (x )的单调减区
间为⎝
⎛⎭⎪⎫1，133.
【答案】 B
3．y ＝8x 2
－ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14和⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上分别是( )
A ．增加的，增加的
B ．增加的，减少的
C ．减少的，增加的
D ．减少的，减少的
【解析】 y ′＝16x －1x ＝16x 2
－1x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，y ′＜0，函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，14上是减少
的；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，y ′＞0，函数在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1上是增加的． 【答案】 C
4．已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)
D ．f (e)<f (3)<f (2)
【解析】 ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝12x ＋1x >0，
∴f (x )在(0，＋∞)上为增加的， ∴f (2)<f (e)<f (3)． 【答案】 A
5．已知函数f (x )＝x 3
－ax －1，若f (x )在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．a ≥3 B ．a ＞3 C ．a ≤3
D ．a ＜3
【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2
－a ，由题意f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3x 2
－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3x 2
在(－1,1)上恒成立，又∵0≤3x 2
＜3，∴a ≥3，经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减．
【答案】 A 二、填空题
6．若函数f (x )＝x 3
－ax ＋1既有单调增区间，又有减区间，则a 的取值范围是________. 【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2
－a ，由条件知，f ′(x )＝0需有两个不等实根，∴a >0. 【答案】 (0，＋∞)
7．函数g (x )＝－x 3
＋2x 2＋mx ＋5在R 上单调递减，则实数m 的范围为________． 【解析】 g ′(x )＝－3x 2
＋4x ＋m ≤0恒成立，则Δ＝16＋4×3m ≤0，∴m ≤－43.
【答案】 ⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－43 8．若函数f (x )＝x 3＋ax ＋8的单调减区间为(－5,5)，则a 的值为________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2
＋a ，∵f ′(x )<0的解为－5<x <5，∴3×52
＋a ＝0，∴a ＝－75. 【答案】 －75 三、解答题
9．求下列函数的单调区间： (1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝x ＋9
x
.
【解】 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1
x
，
由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.
∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)． (2)函数y ＝x ＋9
x
的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．
∵y ＝x ＋9x ，∴y ′＝1－9
x
2.
当y ′>0，即x >3或x <－3时，函数y ＝x ＋9
x
单调递增；
当y ′<0，即－3<x <0或0<x <3时， 函数y ＝x ＋9
x
单调递减．
故函数y ＝x ＋9
x
的单调递增区间为(－∞，－3)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－3,0)，
(0,3)．
10．已知向量a ＝(x 2
，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增加的，求t 的取值范围．
【解】 由题意得f (x )＝x 2
(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3
＋x 2
＋tx ＋t ， ∴f ′(x )＝－3x 2
＋2x ＋t . 若f (x )在(－1,1)上是增加的， 则在(－1,1)上f ′(x )≥0恒成立． 即t ≥3x 2
－2x 在区间(－1,1)上恒成立．
考虑函数g (x )＝3x 2
－2x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132
－13
，x ∈(－1,1)，显然g (x )<g (－1)，故t ≥3x 2
－
2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.
而当t ＝5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增加的．故t 的取值范围是[5，＋∞)．
[能力提升]
1．已知函数y ＝f (x )的图像如图412所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像可能是( )
图412
【解析】 对于选项A ，y ＝f ′(x )的符号变化情况为大于0、小于0、大于0、小于0，反映在函数y ＝f (x )的图像上，即得y ＝f (x )的单调变化情况为增、减、增、减，满足条件．而其他三个选项均不满足条件．
【答案】 A
2．若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)
D ．[1，＋∞)
【解析】 由于f ′(x )＝k －1
x
，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增⇔f ′(x )
＝k －1
x
≥0在(1，＋∞)上恒成立．
由于k ≥1x ，而0<1
x
<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．
【答案】 D
3．设命题p ：f (x )＝ln x ＋2x 2
＋mx ＋1在(0，＋∞)上是增加的，命题q ：m ≥－5，则
p 是q 的________条件.
【解析】 对p ，f ′(x )＝1
x
＋4x ＋m .
∵f (x )在(0，＋∞)上是增加的， ∴1
x
＋4x ＋m ≥0在(0，＋∞)上恒成立．
∴m ≥－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋1x .
∵x >0，∴－⎝ ⎛⎭
⎪⎫4x ＋1x ≤－4.
∴m ≥－4. 又∵q ：m ≥－5，
∴“m≥－4”是“m≥－5”的充分不必要条件．
【答案】充分不必要
4．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．
(1)用关于m的代数式表示n；
(2)求函数f(x)的单调增区间．
【解】(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，
又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.
(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，
∴f′(x)＝3mx2－6mx.
令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，
当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；
当m<0时，解得0<x<2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．
综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2).。