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上海市闵行区2016届高三质量调研考试(二模)文科数学试题及答案

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闵行区2016年高三数学文科一模试卷(含答案)(新)

闵行区2016年高三数学文科一模试卷(含答案)(新)

闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格 12，则UA = .3．方程44．函数f = .56．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .7．已知中，43AB i j =+，34AC i j =-+，其中i j 、是基本单位向量，则ABC △8．在门学科中选择3门学科参加等级考试.小明同学决定在生物、政治、历史9．若n S 是等差数列n a 的前项和，且3232，则2n n n →∞ .10．若函数1()2x f x -=，且()f x 在[,)m +∞上单调递增，则实数m 的最小值等于 .11．若点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .12．已知函数cos 04()25 4x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨⎪-+>⎩，，，若实数a b c 、、互不相等，且满足)()()(c f b f a f ==，则a b c ++的取值范围是 .13．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c（*,,,a b c d ∈N ）,则b da c ++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=⋅⋅⋅，若令31491015<π<，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3116105<π<，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为 . 14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意n ∈*N ，都有1(1)32nn n n S a n =-++-，则数列{2n a - 15．若,a . (A) (C) 16．设(f .(A)(C)17．△A 的范围是（(A)⎛⎝18．函数]，图像如图2所示.{}(())0A x f g x ==,{}(())0B x g f x ==,则A B 中元素的个数为（ ）.(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4图2图1三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ，12AA AB ==，1BC =,BAC π∠=6，D 为棱1AA 中点，证明异面直线11B C 与CD 所成角为π2，并求三棱柱111ABC A B C -的体积．到2l 的距离为10千米，点P 到2l 的距离为2千米.以1l 、2l 分别为x y 、轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy .（1）求曲线段MPN 的函数关系式，并指出其定义域； （2）求直线AB 的方程，并求出公路AB 的长度（结果精确到1米）.CABDA 1B 1C 122．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2) (3)小题满分各6分．已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合，斜率为k 的直线l 交抛物线E 于A B 、两点，交椭圆Γ于C D、两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 经过点()1,0F ，设点(1,)P k -，且PAB △的面积为k 的值； （3）21k 成236分，第(3)r 项{}n a 为“（1（2（3）2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求n d ，并探究在数列{n d }中是否存在三项m d ，k d ，p d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.闵行区2015学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案和评分标准一、（第1题至第14题）1．2； 2．)0,(-∞； 3．2log 3x =； 4．π； 5．)2,0(； 6．15π； 7．252； 8．10； 9．5； 10．1； 11．2a ； 12．理(8. 二、（第三、（第[证明]或由AB =即BC ⊥又BC ∴BC ∴⊥三棱柱12分20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分6分．[解]（1）方法一: ()2cos 3αβ-=，1)(cos 2)22cos(2--=-∴βαβα=91- …3分3=4απ，即91)223cos(-=-βπ， (6)分912sin =∴β． …………………………………8分方法二: ()2cos 3αβ-=，3=4απ，即32sin 22cos 22=+-ββ， ……………3分322cos sin =-∴ββ，两边平方得，982sin 1=-β ……………………………6分 912sin =∴β． …………………………………8分（2）设直线，由24,y x⎨=⎩得l与抛物线E有两个交点，0k≠，216(1)0k∆=+>，则224(1)kABk+== (6)分(1,)P k-到l的距离d=，又PABS=△2214(1)2kk+∴⋅=8分22433k k =+，故k = ………………………10分（3）(理科)()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -，则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121()x y y x y x ym y x x x x --=-=--12分直线211121:()y y QD y y x x x x --=++，设0x =得121211212121()x y y x y x yn y x x x x -+=+=++ (14)分22222112x y x y -2211x y ，2222x y 223223 (⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩==2223．（本题满分18分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分．[解]（1） {}n a 为“6关联数列”，∴{}n a 前6项为等差数列，从第5项起为等比数列,4,51516+=+=∴a a a a 且256=a a ， 即24511=++a a ，解得31-=a (2)分54,42,5n n n n a n --≤⎧∴=⎨≥⎩（或554,54,62,62,7n n n n n n n a n n --⎧-≤-≤⎧==⎨⎨≥≥⎩⎩）． ……………………4分 （2）由（1）得2417,42227,5n n n n n S n -⎧-≤⎪=⎨⎪-≥⎩（或22441717,5,6222227,627,7n n n n n n n n n S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪-≥-≥⎩⎩） (6)分{}:3,n a -{}n n a S ，证明：6n a ，8分当6n ≥},m ，2n n a S t =10分（3）（理科）{11r r a -∴=，12rr a a -=2121112111,12,12,222,13256,13n n n n n n n n n a S n n --⎧⎧-≤-≤⎪⎪∴==⎨⎨≥⎪⎪-≥⎩⎩……………………………12分①当12k m <≤时，由221211212222k k m m -=-得(k )(k )21(k )m m m +-=-21,,12,k m k m m k +=≤>，129m k =⎧∴⎨=⎩或1110m k =⎧⎨=⎩． ②当12m k >>时，由1111256256k m ---=-得m k =，不存在 (14)分③当12,12k m ≤>时，由21112125622m k k --=-，102221112m k k -=-+ 当1k =时，10*292,m m N -=∉；当2k =时，10*274,m m N -=∉； 当3k =当5k =当7k =当9k =当11k =16分18分n d ，422n n -=假设在数列{}n d 中存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列，则：()2k m p d d d =，即：2555222111k m p k m p ---⎛⎫=⋅ ⎪+++⎝⎭，()()()21010222111k m p m p k -+-=+⋅++（*） …15分因为,,m k p 成等差数列，所以2m p k +=，（*）式可以化简为)1)(1()1(2++=+p m k ， 即：2k mp =，故k m p ==，这与题设矛盾．高三年级质量调研考试文科数学试卷 第11页共11页 所以在数列{}n d 中不存在三项,,m k p d d d （其中,,m k p 成等差数列）成等比数列． (18)分（或：因为下标成等差数列的等差数列一定还是成等差数列，而又要求成等比数列，则必为非零常数列，而521n n d n -=+显然不是非零的常数，所以不存在．）。

2016年闵行区高考数学二模试卷含答案

2016年闵行区高考数学二模试卷含答案

2016年闵行区高考数学二模试卷含答案考生注意：1．本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括三大题,第一大题为填空题,第二大题为选择题,第三大题为解答题. 3．答卷前,务必在答题纸上填写学校、##、##号.4．作答必须涂或写在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域,第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置.一、填空题〔本大题满分56分〕本大题共有14题,考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是.2．集合{}2|30A x x x =-<,{}2B x x =<,则A B 等于.3．若复数1i 11i 2b ++-〔i 为虚数单位〕的实部与虚部相等,则实数b 的值为. 4．已知函数3log 1()21x f x =,则1(0)f -=.5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍,则该圆锥的侧面积是底面积的倍. 6．平面向量a 与b 的夹角为60︒,1a =,(3,0)b =,则2a b +=. 7．已知ABC △的周长为4,且sin sin 3sin A B C +=,则AB 边的长为.8．若6x ⎛ ⎝的展开式中的3x 项大于15,且x 为等比数列{}n a 的公比, 则1234lim nn n a a a a a a →∞+++=+++. 9．若0m >,0n >,1m n +=,且1t m n+〔0t >〕的最小值为9,则t =.10．若以x 轴正方向为始边,曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数,则圆2220x y x +-=的参数方程为.1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔02θ≤<π〕 11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径,O 为坐标原点,则OA OB ⋅的值为．12．在极坐标系中,从四条曲线1:1C ρ=,2:C θπ=3〔0ρ≥〕,3:cos C ρθ=,4:sin 1C ρθ=中随机选择两条,记它们的交点个数为随机变量ξ,则随机变量ξ的数学期望E ξ=.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,22|2016|n S na n 〔0a >〕,则使得1n n a a +≤〔n ∈*N 〕恒成立的a 的最大值为.14．<理科〕若两函数y x a =+与y =A 、B ,O 是坐标原点,OAB △是锐角三角形,则实数a 的取值范围是.二. 选择题〔本大题满分20分〕本大题共有4题,每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分． 15．如果a b >,那么下列不等式中正确的是〔 〕.<A>11a b><B> 22a b ><C> ()()lg 1lg 1a b +>+<D> 22a b > 16．若l m 、是两条直线,m ⊥平面α,则"l m ⊥"是"//l α"的〔 〕.<A> 充要条件<B> 充分不必要条件<C> 必要不充分条件 <D> 既非充分又非必要条件17．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是1AA 的中点,P 为底面ABCD 内一动点,设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、〔12θθ、均不为0)．若12θθ=,则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分〔 〕. <A>直线 <B>圆 <C> 椭圆 <D> 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ〔0ϕ<<π〕个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、,有12x x -的最小值为π6．则ϕ=〔 〕.〔A 〕π3 <B> π6 〔C 〕π3或2π3<D> π6或5π6三、解答题〔本大题满分74分〕本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19.〔本题满分12分〕复数21sin i cos2z x x =+⋅,22sin i cos z x x =+⋅〔其中x ∈R ,i 为虚数单位〕. 在复平面上,复数1z 、2z 能否表示同一个点,若能,指出该点表示的复数；若不能,说明理由．20.〔本题满分14分〕如图,在直角梯形PBCD 中,//PB DC ,DC BC ⊥,22PB BC CD ===,点A 是PB 的中点,现沿AD 将平面PAD 折起,设PAB θ∠=．〔1〕当θ为直角时,求异面直线PC 与BD 所成角的大小； 〔2〕当θ为多少时,三棱锥P ABD -的体积为6．21．〔本题满分14分〕为了配合今年##迪斯尼游园工作,某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位,上午9点15分作为第1个计算人数单位,即1=n ；9点30分作为第2个计算单位,即2=n ；依次类推,把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位〔最后结果四舍五入,精确到整数〕． 〔1〕试计算当天14点至15点这一小时内,进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？〔2〕从13点45分〔即19n =〕开始,有游客离开园区,请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻,并说明理由．22．〔本题满分16分〕已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形,O 为坐标原点．〔1〕求椭圆Γ的方程；ABC DPPABD P ABCDPAD 〔2〕设点A 在椭圆Γ上,点B 在直线2y =上,且OA OB ⊥,求证：2211OA OB +为定值； 〔3〕设点C 在椭圆Γ上运动,OC OD ⊥,且点O 到直线CD 的距离为常数d02d <<,求动点D 的轨迹方程．11a =,10b =,求数列n a 、n b 的通项公式； 〔2〕证明：数列{}n c 是等差数列； 〔3〕定义2()n n n f x x a x b =++,证明：若存在k ∈*N ,使得k a 、k b 为整数,且()k f x 有两个整数零点,则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题〔第1题至第14题〕每题正确得4分,否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2； 4．9； 5．3； 6 7．1； 8．1； 9．4； 10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔02θ≤<π〕、 11．8； 12．113．1201614．33⎛ ⎝⎭、 二. 选择题〔第15题至18题〕每题正确得5分,否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题〔第19题至23题〕 19.〔本题满分12分〕解：设复数1z ,2z 能表示同一个点,则cos2cos x x =……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-, ………………………………7分 当cos 1x =时,得2sin 0x =,此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时,得23sin 4x =,此时1231i 42z z ==-； ……………11分综上,复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-．……………12分 20.〔本题满分14分〕本题共有2个小题,每小题满分各7分．解：理:〔1〕当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直,以点A 为坐标原点,,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系,………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-,(1,2,0)BD =-……3分 设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅10=………5分 故异面直线PC 与BD 所成角为7分〔2〕 沿AD 将平面PAD 折起的过程中,始终有PA AD ⊥,AB AD ⊥,AD PAB ∴⊥面,由PAB D ABD P V V --=得………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅,sin 2θ∴=……………………12分 4πθ∴=或34π．…………………………14分 21．〔本题满分14分〕本题共有2个小题,第〔1〕小题满分6分,第〔2〕小题满分8分． 解：〔1〕当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈〔人〕…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++〔人〕 ………………6分〔2〕〔理〕当0)()(≥-n g n f 时,园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时,园内游客人数递减．…………7分 ①当1932n ≤≤时,由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥,可得：当1928n ≤≤时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多；…9分 当3229≤≤n 时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少； ……11分 〔049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f 〕②当4533≤≤n 时,由()()72023600f n g n n -=-+递减,且其值恒为负数． 进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少．………………13分综上,当天下午16点时〔28n =〕园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共有77264人.……14分 22．〔本题满分16分〕本题共有3个小题,第<1><2>小题满分各5分,第<3>小题满分6分． 解：〔1〕由条件可得b c ==2a =,………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．…………………………5分 〔2〕设00(,)A x y ,则OB 的方程为000x x y y +=,由2y =得02(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 〔3〕设00(,),(,)C x y D x y ,由OC OD ⊥得000x x y y +=①又C 点在椭圆上得：2200142x y +=② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++③…………………………12分由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅,即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅,可得222111d OC OD=+,………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++, 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分23．〔本题满分18分〕本题共有3个小题,第<1>小题满分6分,第<2>小题满分5分,第<3>小题满分7分． 解：〔1〕n a n =,…………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+,∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-…………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 〔2〕221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分 ∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分<3>由解方程得：x =由条件,()0k f x =两根x =为整数, 则k c ∆=必为完全平方数,不妨设2()k c m m =∈N ,…………12分此时2k a mx -±==为整数,∴k a 和m 具有相同的奇偶性,………13分 由〔2〕知{}n c 是公差为1的等差数列,取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性,∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性, …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷答案详解一、填空题1.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. [知识内容]函数与分析/函数与其基本性质/函数的有关概念. [参考答案](1,)+∞[试题分析]依题意可知,10x ->,即1x >,所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞,故答案为[1,)+∞. 2.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.[知识内容]方程与代数/集合与命题/交集,并集,补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式〔组〕的解法、含有绝对值的不等式的解法. [参考答案](2,3)-[试题分析]集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<,{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<, 所以{|23}AB x x =-<<,故答案为(2,3)-.3.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. [知识内容]数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. [参考答案]2[试题分析]复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+,因为复数的实部与虚部相等,则有112b =,解得2b =,故答案为2.4.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.[知识内容]函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. [参考答案]9[试题分析]函数33log 1()log 221x f x x ==-,令()0f x =,解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f-=,故答案为9.5.[测量目标]空间想象能力/能根据图形想象出直观形象. [知识内容]图形与几何/简单几何体的研究/锥体.[参考答案]3[试题分析]设圆锥的母线长为l ,底面半径为r ,依题意有,3l r =,则圆锥的底面积为2πS r =底,圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧,所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底,故答案为3. 6.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. [知识内容]图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. [参考答案[试题分析]因为(3,0)b =,所以||3b =,又因为||1a =,||a 与||b 的夹角为60°,所以3||||cos602a b a b ⋅=⋅=.因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=,所以|2|19a b +=,7.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. [知识内容]函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. [参考答案]1[试题分析]因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4,即4a b c ++=,所以43,1c AB c -===.8.[测量目标]数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. [知识内容]整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. [参考答案]1[试题分析]6x⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r r r T x x --+=⋅=,令3632r -=得2r =,所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>,1x >,因为x 为等比数列{}n a 的公比,所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a x a x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11nn x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. [知识内容]方程与代数/不等式/基本不等式. [参考答案]4[试题分析]因为1m n +=,所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥ntm m n =211)t ++=,当22m nt =时,取等号,又因为1t m n+的最小值为9,即21)9=,所以4t =,故答案为4.10.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. [知识内容]图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. [参考答案]1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤[试题分析]圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=,所以圆心<1,0>,半径为1,所以圆上的点的坐标为(1cos ,sin )θθ+,(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩<θ为参数>,故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤. 11.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. [知识内容]图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. [参考答案]8[试题分析]由圆的标准方程知,圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为〔0,3〕,半径为1,因为AB 是圆的任意一条直径,不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径,则1(0,)A y ,2(0,)B y ,所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y ==,又因为当0x =时,122,4y y ==,所以128OA OB y y ==,故答案为8.12.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. [知识内容]图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布与数字特征. [参考答案]1[试题分析]曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=,y =(0)x ≥,2211()24x y -+=,1y =,从四条曲线中随机选取两条,可能的结果与它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1; 34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==.13.[测量目标]运算能力/能通过运算,对问题进行推理和探求. [知识内容]方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. [参考答案]12016[试题分析]因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥,所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥, 所以1n n n a S S -=-=212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立,所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a+-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-,又0a >,所以102016a <≤,故答案为12016.14.[测量目标]分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题.[知识内容]图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. [参考答案],33[试题分析]函数y =[,值域为[0,)+∞,联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去x 得2234210y ay a -+-=,y =因为两函数的图像有两个交点,所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得22, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形,所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩即222320,323133a a a ⎧->⎪⎪⎨⎛-±⎪ +>⎪⎪ ⎭⎝⎩,解得33a <<,所以a的取值范围为33,故答案为33. 二、填空题15.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识. [知识内容]方程与代数/不等式/不等式的性质与其证明. [正确选项]D[试题分析]选项A 中,若a b ＞＞1,则有11a b＜,所以A 不正确；选项B 中,若0a b ＞＞,且||||a b ＜,则22a b ＜,所以B不正确；同理选项C 也不正确,选项D 中,函数是R 上的增函数,所以有22ab＞,所以D 正确.16.[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. [知识内容]图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件,必要条件,充分必要条件. [正确选项]C[试题分析]因为m ⊥平面α,若l m ⊥,则l α∥或l α⊂,所以充分性不成立,若l α∥,则有l m ⊥,必要性成立,所以"l m ⊥"是"l α∥"的必要不充分条件,故答案为C.17. [测量目标]数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. [知识内容]图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. [正确选项]B[试题分析]在正方体1111ABCD A B C D -中,1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=,所以1tan tan DPD EPD ∠=∠,即1D D AE AP DP =,因为E 为1A A 的中点,所以2DPAP=,设正方体边长为2,以DA 方向为x 轴,线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系,则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=,所以=化简得22525()39x y -+=,所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.[测量目标]逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力. [知识内容]函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. [正确选项]C[试题分析]函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像, 则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++, 所以12sin()=1x x ϕ-++,因为12π||6x x -=,所以12π6x x -=±, 当12π6x x -=时,πsin()16ϕ-=,22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<,所以2π=3ϕ,同理,可得12π6x x -=-时,π=3ϕ,所以2π3ϕ=或π3,故答案为C.三、解答题19.〔本题满分12分〕[测量目标]数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.[知识内容]数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角与半角的正弦、余弦、正切. [参考答案]设复数1z ,2z 能表示同一个点,则cos2cos x x =, ……………………3分解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时,得2sin 0x =,此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时,得23sin 4x =,此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上,复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.〔本题满分14分〕本题共有2个小题,每小题满分各7分．[测量目标]〔1〕空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 〔2〕空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. [知识内容]〔1〕图形与几何/空间向量与其应用/距离和角. 〔2〕图形与几何/简单几何体的研究/锥体.[参考答案]〔1〕当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直,以点A 为坐标原点,,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-,(1,2,0)BD =- ……3分 设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅10=………………5分故异面直线PC 与BD 所成角为分MHLD1第19题图〔1〕〔2〕 沿AD 将平面PAD 折起的过程中,始终 有PA AD ⊥,AB AD ⊥,AD PAB ∴⊥面,由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分 2163PAB S DA ∴=⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯,2sin 2θ∴= ……………………12分 π4θ∴=或3π4． ……………………………14分 MHLD2第19题图〔2〕21．〔本题满分14分〕本题共有2个小题,第〔1〕小题满分6分,第〔2〕小题满分8分．[测量目标]〔1〕分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题,并能解释其实际意义.〔2〕分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型,解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题,并能解释其实际意义.[知识内容]〔1〕函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 〔2〕函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用.[参考答案]〔1〕当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈〔人〕…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++〔人〕 ………………6分 〔2〕当()()0f n g n -≥时,园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时,园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时,由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥,可得：当1928n ≤≤时,进入园区游客人数多于离开园区游客人数,总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时,进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少； ……11分 〔049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f 〕②当3345n ≤≤时,由()()72023600f n g n n -=-+递减,且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数,总人数将变少． ………………13分综上,当天下午16点时〔28n =〕园区内的游客人数最多,此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．〔本题满分16分〕本题共有3个小题,第<1><2>小题满分各5分,第<3>小题满分6分． [测量目标]〔1〕数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 〔2〕逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.〔3〕分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略,解决有关数学问题.[知识内容]〔1〕图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.〔2〕图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.〔3〕图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.[参考答案]〔1〕由条件可得b c ==2a =, …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 〔2〕设00(,)A x y ,则OB 的方程为000x x y y +=,由2y =得002(,2)y B x -………7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 〔3〕设00(,),(,)C x y D x y ,由OC OD ⊥得000x x y y +=①又C 点在椭圆上得：2200142x y +=② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y==++③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅,即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD =+, ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++ 2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++, 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．〔本题满分18分〕本题共有3个小题,第<1>小题满分6分,第<2>小题满分5分,第<3>小题满分7分．[测量目标]〔1〕数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.〔2〕逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程,能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.〔3〕数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法,对问题进行探究,寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果,并予以证明.[知识内容]〔1〕方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.〔2〕方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.〔3〕方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数与其基本性质/函数的基本性质.[参考答案]〔1〕n a n =, ………………………………………………………………2分1122n n n n n b b a b +=+=+, ∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 〔2〕221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分<3>由解方程得：x =由条件,()0k f x =两根x =为整数,则k c ∆=必为完全平方数, 不妨设2()k c m m =∈N , …………12分此时2k a m x -±==为整数,∴k a 和m 具有相同的奇偶性,………13分 由〔2〕知{}n c 是公差为1的等差数列,取21n k m =++ ∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+== k a 和m 具有相同的奇偶性,∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性, …17分 所以函数21()k m f x ++有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

上海市闵行区2016届高三质量调研考试(二模)数学(理)试

上海市闵行区2016届高三质量调研考试(二模)数学(理)试

2016年闵行区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 所以{|23}AB x x =-<<，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算. 【参考答案【试题分析】因为(3,0)b =，所以||3b =，又因为||1a =，||a 与||b 的夹角为60°，所以3||||cos 602a b a b ⋅=⋅=.因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=，所以|2|19a b +=，故7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1【试题分析】因为sin sin3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r rr T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a x a x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11nn x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥m n=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n +的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos ,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1c o s ,s i n x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤. 11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1， 因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y ==，又因为当0x =时，122,4y y ==， 所以128OA OB y y ==，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标: 数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1; 34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==. 13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n a n a n S n a n n a na n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a +-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】 【试题分析】函数y =[]22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩x 得2234210y ay a -+-=，y =,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得，设1122(,),(,)Ax y Bxy ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩即222320,32313a a ⎧->⎪⎪⎨-⎪+>⎪⎭⎝⎩,解得a <<,所以a的取值范围为，故答案为. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22ab＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A BC D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D DAE AP DP=,因为E 为1A A 的中点，所以2DPAP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=，所以=22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x =, ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分 当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =-,(1,2,0)BD =- ……3分 设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅10=………………5分故异面直线PC 与BD 所成角为．…7分MHLD1第19题图（1）（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分13PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，sin θ∴=……………………12分 π4θ∴=或3π4． ……………………………14分MHLD2第19题图（2） 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义. 【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. （2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分（049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. 【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -………7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅可得222111d OC OD =+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n n b b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =由条件，()0k f x =两根x =为整数，则kc ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

【高考模拟】上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷 理(含解析)

【高考模拟】上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷 理(含解析)

闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 理试 卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则 A B 等于 . 3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a = ，(3,0)b =，则2a b += .7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛+ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比，则1234limnn na a a a a a →∞+++=+++ .9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π） 11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 ．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:c o s C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与y =A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）. （A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）ABC DPPABCD P ABCD复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=． （1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 6 7．1； 8．1； 9．4； 10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．⎝⎭、 二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分 当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分PA BCD综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =- ,(1,2,0)BD =-……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅= (5)分 故异面直线PC 与BD 所成角为arccos 10．…7分（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴=……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 所以{|23}A B x x =-<< ，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b = ，所以||3b = ，又因为||1a = ，||a 与||b的夹角为60°，所以3||||cos 602a b a b ⋅=⋅=.因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=，所以|2|a b +7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r rr T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a xa x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11nn x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n +的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1， 因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y == ，又因为当0x =时，122,4y y ==，所以128OA OB y y ==，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1;34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==. 13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a +-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】 【试题分析】函数y =[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩x 得2234210y ay a -+-=，23a y ±=,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得[22），设1122(,),(,)A x y B x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩ 即222320,32313a a ⎧->⎪⎪⎨-⎪+>⎪⎭⎝⎩,解得33a <<,所以a的取值范围为(33，故答案为(33. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22ab＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D DAE AP DP=,因为E 为1A A 的中点，所以2DPAP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=，所以=22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x =, ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =- ,(1,2,0)BD =-……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅=………………5分 故异面直线PC 与BD所成角为arccos10．…7分MHLD1第19题图（1）（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，sin 2θ∴= ……………………12分π4θ∴=或3π4． ……………………………14分MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义. 【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. （2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++131415161212121236033]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. 【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -………7分 ∴2222200021111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y=+=+++ 2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =由条件，()0k f x =两根x =则kc ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

上海市闵行区2016届中考数学二模试卷含答案解析

上海市闵行区2016届中考数学二模试卷含答案解析

2016 年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）1．假如单项式2a nb2c 是六次单项式，那么n 的值取（）A ．6B ． 5C． 4 D ．32．在以下各式中，二次根式的有理化因式是（）A ．B．C．D．3．以下函数中，y 跟着 x 的增大而减小的是（）A ．y=3xB ． y=﹣ 3x C． D ．4．一鞋店销售一种新鞋，试销时期卖出状况以下表，对于鞋店经理来说最关怀哪一种尺码的鞋热销，那么以下统计量对该经理来说最存心义的是（）尺码22232425数目（双）351015832A ．均匀数B．中位数C．众数 D ．方差5．以下图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A ．正五边形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．圆6．以下四个命题，此中真命题有（）（1）有理数乘以无理数必定是无理数；（2）按序联络等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）假如正九边形的半径为 a，那么边心距为 a?sin20°．A ．1 个B ． 2 个 C． 3 个 D ．4 个二、填空题：（本大题共12 题，每题 4 分，满分48 分）7．计算： |﹣ 22|=．8．在实数范围内分解因式：a 3﹣ 2a=．9．方程=2 的解是．10．不等式组的解集是．11．已知对于 x 的方程 x 2﹣ x ﹣ m=0 没有实数根，那么m 的取值范围是．12．将直线向下平移 3 个单位，那么所获得的直线在y 轴上的截距为．13．假如一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形 ”．写出一个你所学过的特别的等对角线四边形的名称．14．如图，已知在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，且 BC=3AD ，点 E 是边 DC 的中点．设，，那么=（用 、 的式子表示）．15．布袋中有大小、质地完好同样的4 个小球，每个小球上分别标有数字 1、 2、 3、4，假如从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是．16．9 月 22 日世界无车日， 某校展开了 “倡议绿色出行 ”为主题的检查， 随机抽查了部分师生， 将采集的数据绘制成以下不完好的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半， 依据图中信息， 乘私人车出行的教师人数是．17．点 P 为⊙ O 内一点，过点 P 的最长的弦长为10cm ，最短的弦长为 8cm ，那么 OP 的长等于 cm ．18．如图，已知在 △ ABC 中， AB=AC ， tan ∠ B= ，将 △ ABC 翻折，使点C 与点 A 重合，折痕 DE 交边 BC于点 D ，交边 AC 于点 E ，那么的值为 ．三、解答题：（本大题共7 题，满分 78 分）19．计算： ．20．解方程：．21．如图，已知在△ ABC中，∠ ABC=30°，BC=8，sin∠ A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC 的面积；（2）∠ ABD 的余切值．22．如图，山区某教课楼后边紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD ，斜坡 AB 的坡比为i=1 ：，且AB=26米．为了防备山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘察，当坡角不超出53°时，可保证山体不滑坡．（ 1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长．（ 2）为了除去安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成 AF （以下图），那么BF 起码是多少米？（结果精准到 1 米）（参照数据：sin53°≈，cos53°≈， tan53°≈，cot53°≈）．23．如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O 作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、 F，交边DC于点G，交边AB于点H．联络AF ， CE．（ 1）求证：四边形AFCE是菱形；（ 2）假如OF=2GO ，求证：GO2=DG?GC．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+2x+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1，0）和点 B，与 y 轴相交于点 C（ 0， 3），抛物线的对称轴为直线l ．（ 1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和极点M 的坐标；（ 2）假如直线 y=kx+b 经过 C、 M 两点，且与 x 轴交于点 D，点 C 对于直线 l 的对称点为 N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（ 3）点 P 在直线 l 上，且以点 P 为圆心的圆经过 A 、 B 两点，而且与直线CD 相切，求点 P 的坐标．25．如图，已知在△ ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H ．点 D 在边 AB 上，且 AD=2 ，联络 CD 交AH于点E．（ 1）如图1，假如AE=AD，求AH的长；（ 2）如图2，⊙ A是以点 A 为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P 为边BC上一点，假如以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙ A 外切，以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙ A 内切，求边BC的长；（ 3）如图3，联络DF．设DF=x ，△ ABC的面积为y，求y 对于x 的函数分析式，并写出自变量x 的取值范围．2016 年上海市闵行区中考数学二模试卷参照答案与试题分析一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．假如单项式n 2n 的值取（）2a b c 是六次单项式，那么A ．6B ． 5C． 4 D ．3【考点】单项式．【剖析】直接利用单项式的次数确立方法得出n 的值即可．【解答】解：∵单项式2a nb2c 是六次单项式，∴n+2+1=6 ，解得： n=3，故n 的值取 3．应选： D．【评论】本题主要考察了单项式的次数，正确掌握定义是解题重点．2．在以下各式中，二次根式的有理化因式是（）A ．B．C．D．【考点】分母有理化．【剖析】直接利用有理化因式的定义得出答案．【解答】解：∵×=a﹣1，∴二次根式的有理化因式是：．应选：B．【评论】本题主要考察了有理化因式的定义，正确掌握有理化因式的定义是解题重点．3．以下函数中，y 跟着x 的增大而减小的是（）A ．y=3x B． y=﹣ 3x C． D ．【考点】反比率函数的性质；正比率函数的性质．【剖析】分别利用正比率函数以及反比率函数的性质剖析得出答案．【解答】解： A 、 y=3x ， y 跟着 x 的增大而增大，故此选项错误；B 、 y=﹣ 3x ， y 跟着 x 的增大而减小，正确；C、 y=，每个象限内，y 跟着 x 的增大而减小，故此选项错误；D 、y= ﹣，每个象限内，y 跟着 x 的增大而增大，故此选项错误；应选： B．【评论】本题主要考察了正比率函数以及反比率函数的性质，正确掌握有关性质是解题重点．4．一鞋店销售一种新鞋，试销时期卖出状况以下表，对于鞋店经理来说最关怀哪一种尺码的鞋热销，那么以下统计量对该经理来说最存心义的是（）尺码22232425数目（双）351015832A ．均匀数B．中位数C．众数 D ．方差【考点】统计量的选择．【剖析】鞋店的经理最关怀的是各样鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．【解答】解：因为众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关怀的是各样鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关怀的是众数．应选： C．【评论】本题考察学生对统计量的意义的理解与运用．要修业生对统计量进行合理的选择和适合的运用．5．以下图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A ．正五边形B ．等腰梯形C ．平行四边形D ．圆【考点】中心对称图形；轴对称图形．【剖析】依据轴对称图形与中心对称图形的观点求解．【解答】解： A 、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不就任何这样的一点，旋转180 度后它的两部分能够重合；即不知足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．应选： D．【点】此主要考了中心称形与称形的观点：称形的关是找称，形两部分折叠后可重合；中心称形是要找称中心，旋180 度后两部分重合．6．以下四个命，此中真命有（）（1）有理数乘以无理数必定是无理数；（2）次等腰梯形各中点所得的四形是菱形；（3）在同中，相等的弦所的弧也相等；（4）假如正九形的半径 a，那么心距 a?sin20°．A ．1 个B ． 2 个 C． 3 个 D ．4 个【考点】命与定理．【剖析】利用反例（1）行判断；依据等腰梯形的角相等和三角形中位性、菱形的判断方法可（ 2）行判断；依据弦两条弧可（3）行判断；依据正九形的性和余弦的定可（4）分析判断．【解答】解：有理数乘以无理数不必定是无理数，若0 乘以π得 0，因此（ 1）；次等腰梯形各中点所得的四形是菱形，因此（2）正确；在同中，相等的弦所的弧相等，因此（3）；假如正九形的半径a，那么心距a?cos20°，因此（ 4）．故 A ．【点】本考了命与定理：判断一件事情的句，叫做命．多命都是由和两部分成，是已知事，是由已知事推出的事，一个命能够写成“假如⋯那么⋯”形式．有些命的正确性是用推理的，的真命叫做定理．二、填空：（本大共12 ，每 4 分，分48 分）7．算： | 22|= 4．【考点】有理数的乘方；．【剖析】直接利用有理数的乘方运算法化，再合的性求出答案．【解答】解： | 22|=| 4|=4．故答案： 4．【点】此主要考了有理数的乘方运算以及的性，正确掌握运算法是解关．8．在数范内分解因式：a 32a= a（ a+）（a）．【考点】提公因式法与公式法的合运用．【剖析】先提取公因式a，再依据平方差公式进行二次分解即可求得答案．【解答】解： a 3﹣2a=a（ a2﹣ 2）=a（ a+）（ a﹣）．故答案为： a（ a+）（ a﹣）．【评论】本题考察了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要完全．9．方程=2 的解是．【考点】无理方程．【专题】推理填空题．【剖析】依据解无理方程的方法能够解答本题．【解答】解：=2，两边平方，得2x+3=4 ，解得 x=，查验：当x=时，，故原无理方程的解是x=．故答案为： x=．【评论】本题考察解无理方程，解题的重点是明确解无理方程的解，注意最后要进行查验．10．不等式组的解集是﹣＜x≤3．【考点】解一元一次不等式组．【剖析】分别求出每一个不等式的解集，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确立不等式组的解集．【解答】解：解不等式3﹣x≥0，得： x≤3，解不等式4x+3 ＞﹣ x，得： x＞﹣，因此不等式组的解集为：﹣＜ x≤3，故答案为：﹣＜ x≤3．【评论】 本题考察的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答本题的重点．11．已知对于 x 的方程 x 2﹣ x ﹣ m=0 没有实数根，那么m 的取值范围是 m ＜﹣ ．【考点】 根的鉴别式．【剖析】 依据根的鉴别式得出b 2﹣ 4ac ＜ 0，代入求出不等式的解集即可获得答案．【解答】 解：∵对于 x 的方程 x 2﹣ x ﹣m=0 没有实数根，∴ b 2﹣ 4ac=（﹣ 1）2﹣ 4×1×（﹣ m ）＜0，解得： m ＜﹣ ．故答案为： m ＜﹣ ．【评论】 本题主要考察对根的鉴别式、解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能依据题意得出（﹣ 1）2﹣ 4×1×（﹣ m ）＜ 0 是解本题的重点．12．将直线向下平移 3 个单位，那么所获得的直线在 y 轴上的截距为 ﹣ 2 ．【考点】 一次函数图象与几何变换．【剖析】 直接利用一次函数平移的性质得出平移后分析式，从而得出答案．【解答】 解：∵直线向下平移 3 个单位，∴平移后的分析式为：y=﹣ x ﹣ 2，∴所获得的直线在y 轴上的截距为：﹣ 2．故答案为：﹣ 2．【评论】 本题主要考察了一次函数的平移变换，正确掌握平移规律是解题重点．13．假如一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为等对角线四边形的名称 矩形 ．【考点】 多边形．“等对角线四边形 ”．写出一个你所学过的特别的【专题】 新定义；开放型．【剖析】 我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可．【解答】 解：矩形、正方形的两条对角线相等．故答案为：矩形．【评论】本题考察了多边形，知道我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等是解题的重点．14．如图，已知在梯形ABCD 中， AD ∥ BC ，且 BC=3AD ，点 E 是边 DC 的中点．设，，那么=+2（用、的式子表示）．【考点】* 平面向量．【剖析】第一连结AC ，由在梯形ABCD中， AD ∥ BC，且BC=3AD，可求得，而后由三角形法例求得，既而求得，而后由点 E 是边DC的中点，求得，既而求得答案．【解答】解：连结AC ，∵在梯形ABCD 中， AD ∥ BC，且 BC=3AD ，∴=3 =3 ，∴= + = +3 ，∴= ﹣ =（ +3 ）﹣ = +2 ，∵点 E 是边 DC 的中点，∴∴==+ ，= + = +（+）=+2．故答案为：+2．【评论】本题考察了平面向量的知以及梯形的性质．注意掌握三角形法例的应用是解本题的重点．15．布袋中有大小、质地完好同样的 4 个小球，每个小球上分别标有数字取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是．1、 2、 3、4，假如从布袋中随机抽【考点】列表法与树状图法．【剖析】依据题意画出树状图，从而利用概率公式求出答案．【解答】解：由题意可得：，故一共有 12种可能，这两个小球上的数字之和为偶数的有 4 种，故这两个小球上的数字之和为偶数的概率是：= ．故答案为：．【评论】本题主要考察了树状图法求概率，正确列举出全部可能是解题重点．16．9 月 22 日世界无车日，某校展开了“倡议绿色出行”为主题的检查，随机抽查了部分师生，将采集的数据绘制成以下不完好的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，依据图中信息，乘私人车出行的教师人数是15．【考点】条形统计图；扇形统计图．【剖析】依据骑自行车的学生人数和所占的百分比求出检查的总学生数，再依据随机抽查的教师人数为学生人数的一半，得出教师人数，再用教师人数减去步行、乘公交车和骑自行车的教师数，即可得出乘私人车出行的教师人数．【解答】解：检查的学生人数是：15÷25%=60 （人），则教师人数为30 人，教师乘私人车出行的人数为30﹣（ 3+9+3） =15 （人）．故答案为： 15．【评论】本题考察了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不一样的统计图中获得必需的信息是解决问题的重点．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反应部分占整体的百分比大小．17．点 P 为⊙ O 内一点，过点P 的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么 OP 的长等于 3 cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【剖析】依据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；依据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步依据勾股定理，能够求得OP 的长．【解答】解：以下图，CD⊥ AB 于点 P．依据题意，得AB=10cm ， CD=8cm ．∵ CD ⊥ AB ，∴ CP=CD=4cm ．依据勾股定理，得OP===3 （cm）．故答案为： 3．【评论】本题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦．18．如图，已知在△ ABC中，AB=AC，tan∠ B=，将△ ABC翻折，使点C 与点 A 重合，折痕DE 交边 BC于点 D，交边 AC 于点 E，那么的值为．【考点】翻折变换（折叠问题）．【剖析】作 AF ⊥ BC 于 F，连结 AD ，设 AF=a ，DC=x ，依据相像三角形的性质用 a 表示 CD 和 BD ，计算即可．【解答】解：作 AF ⊥ BC 于 F，连结 AD ，设 AF=a ， DC=x ，∵ tan∠ B=，∴ BF=3a，由勾股定理得，AB=a，∵DE ⊥ AC ，AF ⊥ BC ，∴△ CED ∽△ CFA ，∴=，即=，解得 x=a，∴DF=CF ﹣ CD= a，∴BD= a，∴= ．故答案为：．【评论】本题考察的是翻折变换的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，地点变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）19．计算：．【考点】二次根式的混淆运算；分数指数幂；零指数幂；负整数指数幂；特别角的三角函数值．【剖析】分别依照分母有理化、负整指数幂、特别锐角三角函数值和零指数幂、分数指数幂将各部分计算化简可得．【解答】解：原式 =﹣+（）0﹣=﹣+1 ﹣=﹣．【评论】本题主要考察了二次根式的混淆运算，运用了分母有理化、负指数幂、特别锐角三角函数值和零指数幂、分数指数幂等知识点，娴熟掌握这些计算法例是重点．20．解方程：．【考点】解分式方程．【剖析】第一去掉分母，而后解整式方程，最后验根即可求解．【解答】 解：∵，∴（ x ﹣2）（ x ﹣4） +2x=x+2 ，∴ x 2﹣ 6x+8+2x=x+2 ，x 2﹣ 5x+6=0 ，（ x ﹣ 2）（ x ﹣ 3） =0 ，解得 x 1=2， x 2=3，查验：当 x 1=2 时， x （ x ﹣ 2）（ x+2 ）=0，是增根；当 x 2=3 时， x （ x ﹣2）（ x+2） =15≠0，∴ x=2 是原方程的解．【评论】 本题主要考察认识分式方程，此中（1）解分式方程的基本思想是 “转变思想 ”，把分式方程转变为整式方程求解．（ 2）解分式方程必定注意要验根．21．如图，已知在 △ ABC 中，∠ ABC=30 °， BC=8 ， sin ∠ A=， BD 是 AC 边上的中线．求：（ 1） △ABC 的面积；（ 2）∠ ABD 的余切值．【考点】 解直角三角形．【剖析】 （ 1）过点 C 作 CE ⊥ AB 与点 E ，依据已知条件分别解△BCE 、 △ ACE 可得 BE 、CE 、 AE 的长，即可计算 S △ABC ；（ 2）过点 D 作 DH ⊥AB 与点 H 知 DH ∥ CE ，由 D 是 AC 中点可得 HE= AE 、 DH= CE ，即可得 cot ∠ ABD ．【解答】 解：（ 1）如图，过点C 作 CE ⊥ AB 与点 E ，在 RT △ BCE 中，∵ BC=8 ，∠ ABC=30 °，∴ BE=BC ?cos ∠ABC=8 × =4 ，CE=BC ?sin∠ ABC=8 × =4，在 RT△ ACE 中，∵ sin∠ A=，∴ AC===4，∴ AE===8，则 AB=AE+BE=8+4，故 S=?AB CE=×（8+44=16+8；△ABC?）×（2）过点 D 作 DH ⊥AB 与点 H，∵ CE⊥ AB ，∴ DH ∥ CE，又∵ D 是 AC 中点，∴ AH=HE= AE=4 ， DH= CE=2，∴在 RT△ BDH 中， cot∠ ABD= ==2 +2．【评论】本题考察认识直角三角形、勾股定理、三角形中位线定理，经过作协助线结构直角三角形是解题的重点．22．如图，山区某教课楼后边紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD ，斜坡 AB 的坡比为i=1 ：，且AB=26米．为了防备山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘察，当坡角不超出53°时，可保证山体不滑坡．（ 1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长．（ 2）为了除去安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成 AF （以下图），那么BF 起码是多少米？（结果精准到 1 米）（参照数据：sin53°≈，cos53°≈， tan53°≈，cot53°≈）．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【剖析】（ 1）依据坡度的观点获得BE ： EA=12 ： 5，依据勾股定理计算列式即可；（ 2）作FH ⊥ AD于 H ，依据正切的观点求出AH ，联合图形计算即可．【解答】解：（ 1）∵斜坡AB的坡比为i=1 ：，∴ BE ： EA=12 ：5，设BE=12x ，则 EA=5x ，222222，由勾股定理得， BE +EA=AB ，即（ 12x） +（ 5x）=26解得， x=2，则BE=12x=24 ， AE=5x=10 ，答：改造前坡顶与地面的距离BE 的长为 24 米；（2）作 FH ⊥ AD 于 H ，则 tan∠ FAH= ，∴ AH=≈18，∴BF=18 ﹣ 10=8，答： BF 起码是 8 米．【评论】本题考察的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的重点．23．如图，已知在矩形交边 DC 于点 G，交边ABCD 中，过对角线AC 的中点AB 于点 H．联络 AF ， CE．O 作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、 F，（ 1）求证：四边形AFCE是菱形；（ 2）假如OF=2GO ，求证：GO2=DG?GC．【考点】相像三角形的判断与性质；菱形的判断；矩形的性质．【专题】证明题．【剖析】（ 1）依据矩形的性质获得 AD ∥BC，由平行线的性质获得∠ EAC= ∠ ACF ，推出△EOA ≌△ FOC ，依据全等三角形的性质获得 AE=CF ， OE=OF ，推出四边形 AFCE 是平行四边形，依据菱形的判断定理即可获得结论；（ 2）依据相像三角形的性质获得，等量代换求得结论；【解答】证明：（ 1）∵四边形ABCD 是矩形，∴ AD ∥ BC ，∴∠ EAC= ∠ ACF ，在△ EOA 和△ FOC 中，，∴△ EOA ≌△ FOC，∴AE=CF ， OE=OF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵ AC ⊥ EF，∴四边形 AFCE 是菱形；（2）∵∠ EDG= ∠ COG=90 °，∠ EGD= ∠ CGO，∴△ EGD ∽△ CGO ，∴，∵OF=2GO ，∴ EG=GO ，∴ GO 2=DG ?GC．【评论】 本题考察了全等三角形的判断和性质，相像三角形的判断和性质，菱形的判断，矩形的性质，娴熟掌握相像三角形的性质是解题的重点．24．如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2y=ax +2x+c 与 x 轴交于点 A （﹣ 1，0）和点 B ，与 y 轴相交于点 C （ 0， 3），抛物线的对称轴为直线l ．（ 1 ）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和极点M 的坐标；（ 2 ）假如直线 y=kx+b 经过 C 、 M 两点，且与 x 轴交于点 D ，点 C 对于直线 l 的对称点为 N ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；（ 3）点 P 在直线 l 上，且以点 P 为圆心的圆经过 A 、 B 两点，而且与直线 CD 相切，求点 P 的坐标．【考点】 二次函数综合题．【剖析】 （ 1）将 A 、C 两点坐标代入分析式即可求出 a 、 c ，将分析式配成极点式即可获得对称轴方程和极点坐标；（ 2）先由 C 、M 两点坐标求出直线 CM 分析式， 从而求出 D 点坐标， 因为 C 、N 两点对于抛物线对称轴对称，则 CN ∥ AD ，同时可求出 N 点坐标，而后得出 CN=AD ，结论明显；（ 3）设出 P 点纵坐标，表示出 MP 的长度，过点 P 作 PH ⊥ DM 于 H ，表示出 PH 的长度，在直角三角形 PAE顶用勾股定理列出方程，解之即得答案．【解答】 解：（ 1）∵抛物线 y=ax 2+2x+c 经过点 A （﹣ 1， 0）和点 C （ 0， 3），∴，∴，∴ y= ﹣x 2+2x+3= ﹣（ x ﹣ 1）2+4，对称轴为直线 x=1，极点 M （ 1， 4）；（ 2）如图 1，∵点 C 对于直线l 的对称点为N ，∴ N（ 2， 3），∵直线 y=kx+b 经过 C、M 两点，∴，∴，∴y=x+3 ，∵y=x+3 与 x 轴交于点 D，∴D（﹣ 3， 0），∴AD=2=CN又∵ AD ∥CN ，∴ CDAN 是平行四边形；（ 3）设 P（ 1，a），过点P 作 PH⊥DM 于 H，连结 PA 、 PB，如图 2，则MP=4﹣ a，又∠ HMP=45 °，∴ HP=AP=，Rt△ APE 中， AP 2=AE2+PE2，即：，解得：，∴ P1（ 1，﹣ 4+2）， P2（ 1，﹣ 4﹣ 2）．【评论】本题是二次函数综合题，主要考察了待定系数法求二次函数与一次函数分析式、求抛物线的对称轴及极点坐标、平行四边形的判断与性质、等腰直角三角形的性质、圆的切线性质、勾股定理、解一元二次方程等知识点，综合性较强，难度适中．第（3）问的直线与圆相切问题常常转变为点到直线的距离与半径相等来解决．25．如图，已知在△ ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点AH 于点 E．（ 1）如图 1，假如 AE=AD ，求 AH 的长；H ．点D 在边AB上，且AD=2 ，联络CD交（ 2）如图2，⊙ A是以点 A 为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P 为边BC上一点，假如以点P 为圆心，BP 为半径的圆与⊙ A 外切，以点P 为圆心，CP 为半径的圆与⊙ A 内切，求边BC的长；（ 3）如图3，联络DF．设DF=x ，△ ABC的面积为y，求y 对于x 的函数分析式，并写出自变量x 的取值范围．【考点】圆的综合题．【剖析】（ 1）如图列出方程即可解决．1 中，过点 D 作DG ⊥AH于 G，由DG∥ BC得= = = = =，设EG=a，则EH=3a ，（2）重点两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出 PH ，设 BP=x ，依据 AH 2=AB2﹣ BH2=AP2﹣ PH2列出方程即可解决问题．（3）如图 3 中过点 D 作 DG⊥ AF 于 G，设 AG=t ，依据 AD 2﹣ AG2=DF2﹣ FG2程即求出 t 与 x 的关系，再利用三角形面积公式计算即可．【解答】解：（ 1）如图 1 中，过点 D 作 DG⊥ AH 于 G，∵ AH ⊥ BC ，AB=AC∴∠ DGE= ∠ CHG=90 °， BH=CH ，∴DG ∥ BC ，∴= = = = =，设EG=a，则EH=3a，∴= = ，∴AG=2a ， AE=3a=2 ，∴AH=6a=4 ．（2）如图 2 中，∵点 P 为圆心， BP 为半径的圆与⊙ A 外切， CP 为半径的圆与⊙ A 内切，∴AP=AD+BP ， AP=PC ﹣ AD ，∴ AD+BP=PC ﹣ AD ，∴ PC﹣ BP=2AD=4 ，∴ PH+HC ﹣（ BH ﹣ PH） =4，∴ PH=2 ，∵AH 2=AB2﹣BH2=AP2﹣ PH2，设 BP=x ，∴ 62﹣（ x+2）2=（x+2 ）2﹣ 22，∴ x=2 ﹣2，∴ BC=2BH=2 （ PB+PH ） =4 ．（3）如图 3 中，过点 D 作 DG⊥ AF 于 G，设 AG=t ，∵ AD 2﹣ AG2=DF2﹣ FG2，∴ 22﹣ t2=x2﹣（ 2﹣ t）2，∴ t=，∴y=S△ABC =18?S△ADG=18× ?AG ?DG=9 ??，∴ y=（0＜x＜2）．【评论】本题考察圆的有关知识、两圆的地点关系、勾股定理、平行线分线段成比率定理等知识，解题的重点是用转变的思想，把问题掌握方程解决，属于中考参照题型．。

闵行区高考数学二模试卷含答案

闵行区高考数学二模试卷含答案

2017年闵行区高考数学二模试卷含答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是 ．2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则M N =I ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =．4. 直线23x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N L ，且4b c =，则a 的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=u u u r u u u r，O 是坐标原点，则PQ u u u r 的取值范围是 ．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b r r 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b r r 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) 2t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) t =s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ）(B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( )(A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，BBAB CPQ D第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形， AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =． （1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中ο120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立．(1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； (2) 设1()()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++L ，求1lim n n nT T +→∞的值．闵行区2016-2017学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 1011．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h BM -=，)4,2,0(1-=A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-u u u r u u u u r u u u r……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =r由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =-r……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 5n BA n BA θ⋅===⋅r u u u r r u u u r ……………12分所以arc θ= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1A M AM ⊥，1,AB AC AB AA ⊥⊥Q ，AB ∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x=， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅o y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==．由2133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r…………………………8分得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r22919494AC AC AB AB +⋅+=…………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=u u u r， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中，ο120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500(οοC ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =u u u r u u u r ，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1(,)22a ±………2分所以214,22a a ⎛⎫±=⋅ ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky b y ky b y x=+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-=Q 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===Q()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈U 时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分 [)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭，令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=-⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分 令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分 （2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，………………6分 即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n*+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=---L ………………10分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++L 得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅L ……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦L 101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C C C n n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--L ……16分 12!nn T n +⇒=则12limlim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。

上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷 理(含解析)

上海市闵行区2016届高三数学质量调研考试(二模)试卷 理(含解析)

闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 理试 卷考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则 A B 等于 . 3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a = ，(3,0)b =，则2a b += .7．已知ABC △的周长为4，且sin sin 3sin A B C +=，则AB 边的长为 .8．若6x ⎛+ ⎝的展开式中的3x 项大于15，且x 为等比数列{}n a 的公比，则1234limnn na a a a a a →∞+++=+++ .9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．若以x 轴正方向为始边，曲线上的点与圆心的连线为终边的角θ为参数，则圆2220x y x +-=的参数方程为 .1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π） 11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 ．12．在极坐标系中，从四条曲线1:1C ρ=，2:C θπ=3（0ρ≥），3:c o s C ρθ=，4:sin 1C ρθ=中随机选择两条，记它们的交点个数为随机变量ξ，则随机变量ξ的数学期望E ξ= .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2016|n S n a n =+-（0a >），则使得1n n a a +≤（n ∈*N ）恒成立的a 的最大值为 .14． (理科）若两函数y x a =+与y =A 、B ，O 是坐标原点，OAB △是锐角三角形，则实数a 的取值范围是 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若l m 、是两条直线，m ⊥平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）. (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既非充分又非必要条件17．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1PD PE 、与底面ABCD 所成的角分别为12θθ、（12θθ、均不为0)．若12θθ=，则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分（ ）.(A)直线 (B)圆 (C) 椭圆 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕ<<π）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）. （A ）π3 (B) π6 （C ）π3或2π3 (D) π6或5π6三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）ABC DPPABCD P ABCD复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAB θ∠=． （1）当θ为直角时，求异面直线PC 与BD 所成角的大小； （2）当θ为多少时，三棱锥P ABD -．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）从13点45分（即19n =）开始，有游客离开园区，请你求出这之后的园区内游客总人数最多的时刻，并说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值； （3）设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数d ()02d <<，求动点D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，证明：若存在k ∈*N ，使得k a 、k b 为整数，且()k f x 有两个整数零点，则必有无穷多个()n f x 有两个整数零点．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2；4．9； 5．3； 6 7．1； 8．1； 9．4； 10．1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（02θ≤<π）、 11．8； 12．113．12016 14．⎝⎭、 二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分 当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分PA BCD综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：理:（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =- ,(1,2,0)BD =-……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅= (5)分 故异面直线PC 与BD 所成角为arccos 10．…7分（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⋅⋅⋅⋅⋅，sin 2θ∴=……………………12分 4πθ∴=或34π． ……………………………14分 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）（理）当0)()(≥-n g n f 时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⋅-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当3229≤≤n 时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当4533≤≤n 时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分 （2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -…7分 ∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y =+=+++2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =()0k f x =两根x =为整数，则k c ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………………18分2016年闵行区高考数学二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念. 【参考答案】(1,)+∞【试题分析】依题意可知，10x ->，即1x >，所以函数3log (1)y x =-的定义域为(1,)+∞，故答案为[1,)+∞.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，并集，补集；方程与代数/不等式/一元二次不等式（组）的解法、含有绝对值的不等式的解法. 【参考答案】(2,3)-【试题分析】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-<=<<，{|||2}{|22}B x x x x =<=-<<， 所以{|23}A B x x =-<< ，故答案为(2,3)-.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复数的概念、复数的四则运算. 【参考答案】2【试题分析】复数21i 1(1i)11i 1i 2(1i)(1i)22b b b +++=+=+--+，因为复数的实部与虚部相等，则有112b =，解得2b =，故答案为2. 4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/反函数；方程与代数/矩阵与行列式初步/二阶、三阶行列式. 【参考答案】9【试题分析】函数33log 1()log 221x f x x ==-，令()0f x =，解得9x =.根据互为反函数的两个函数之间的关系可知1(0)9f -=，故答案为9.5.【测量目标】空间想象能力/能根据图形想象出直观形象.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体. 【参考答案】3【试题分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，依题意有，3l r =，则圆锥的底面积为2πS r =底，圆锥的侧面积为212π3π2S l r r =⋅⋅=侧，所以圆锥的侧面积与底面积的比为223π3πS r S r==侧底，故答案为3. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【试题分析】因为(3,0)b = ，所以||3b = ，又因为||1a = ，||a 与||b的夹角为60°，所以3||||cos 602a b a b ⋅=⋅=.因为222|2|4419a b a a b b +=+⋅+=，所以|2|a b +7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理. 【参考答案】1【试题分析】因为sin sin 3sin A B C +=,所以3a b c +=,又ABC △的周长为4，即4a b c ++=，所以43,1c AB c -===.8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理. 【知识内容】整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理: 方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限. 【参考答案】1【试题分析】6x ⎛+ ⎝的展开式中第r 项为3662166C C rr r r rr T x x --+⎛=⋅=，令3632r -=得2r =，所以展开式的第2项为2336C 1515x x =>，1x >，因为x 为等比数列{}n a 的公比，所以121222341+(1)11lim lim =lim +1(1)n nn n n n n n n a a a a x x x a a a xa x x x x -→∞→∞→∞⎛⎫++---=⋅ ⎪ ++---⎭⎝…… =221lim 11nn x x x →∞⎛⎫--= ⎪-⎭⎝. 9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】4【试题分析】因为1m n +=，所以11()()11t t nt mm n t t m n m n m n+=++=+++++≥=211)t ++=，当22m nt =时，取等号，又因为1t m n +的最小值为9，即21)9=，所以4t =，故答案为4.10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/圆的标准方程和几何性质; 图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程. 【参考答案】1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤【试题分析】圆2220x y x +-=化为标准方程为22(1)1x y -+=，所以圆心(1,0)，半径为1，所以圆上的点的坐标为(1cos,sin )θθ+，(02π)θ≤≤,所以圆的参数方程为1cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数),故答案为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(02π)θ≤≤.11.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积. 【参考答案】8【试题分析】由圆的标准方程知，圆的圆心在y 轴上且圆心坐标为（0,3），半径为1， 因为AB 是圆的任意一条直径，不妨假设AB 是位于y 轴上的一条直径，则1(0,)A y ，2(0,)B y ，所以1212(0,)(0,)OA OB y y y y == ，又因为当0x =时，122,4y y ==，所以128OA OB y y ==，故答案为8.12.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/极坐标:数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】1【试题分析】曲线1234,,,C C C C 的极坐标方程化为普通方程分别为221x y +=，y =(0)x ≥，2211()24x y -+=，1y =，从四条曲线中随机选取两条，可能的结果及它们的交点个数为：12(,)C C ,1;13(,)C C ,1;14(,)C C ,1;23(,)C C ,1;24(,)C C ,1;34(,)C C ,1;所以1111116E ξ+++++==. 13.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求. 【知识内容】方程与代数/数列和数学归纳法/简单的递推数列. 【参考答案】12016【试题分析】因为22224032,120162|2016|24032,2017n n an a n S n a n n an a n ⎧-+⎪=+-=⎨+-⎪⎩≤≤≥，所以212(1)2(1)4032,22017(1)2(1)4032,2018n n a n a n S n a n a n -⎧---+⎪=⎨-+--⎪⎩≤≤≥，所以1n n n a S S -=-= 212,22016,4033+2,2017,212,2018n a n a n n a n --⎧⎪=⎨⎪-+⎩≤≤≤,1140301a S a ==+,因为+1n n a a ≤恒成立，所以122016201720172018,,,a a a a a a ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤即4030132,403124033+2,4033+240352a a a a a a +-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≤≤解得1,20161,2a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≤≥-，又0a >，所以102016a <≤，故答案为12016. 14.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】 【试题分析】函数y =[22-，值域为[0,)+∞，联立两函数的方程,y x a y =+⎧⎪⎨=⎪⎩x 得2234210y ay a -+-=，23a y ±=,因为两函数的图像有两个交点，所以222(4)43(21)0,210,4023a a a a⎧⎪∆=-⨯->⎪-⎨⎪-⎪->⨯⎩≥,解得[22），设1122(,),(,)A x y B x y ，则124=3a y y +,212213a y y -=,22121212121()()()=3a x x y a y a y y a y y a -=--=-++,因为OAB △是锐角三角形，所以1212221121120,0,0,0x x y y OA OB x x x y y y OA BA ⎧+>⎧⋅>⎪⇒⎨⎨-+->⋅>⎪⎩⎩ 即222320,32313a a ⎧->⎪⎪⎨-⎪+>⎪⎭⎝⎩,解得33a <<,所以a的取值范围为(33，故答案为(33. 二、填空题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/不等式/不等式的性质及其证明. 【正确选项】D【试题分析】选项A 中，若a b ＞＞1，则有11a b＜，所以A 不正确；选项B 中，若0a b ＞＞，且||||a b ＜，则22a b ＜，所以B 不正确；同理选项C 也不正确，选项D 中，函数是R 上的增函数，所以有22ab＞，所以D 正确，故答案为D.16.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 方程与代数/集合与命题/充分条件，必要条件，充分必要条件. 【正确选项】C【试题分析】因为m ⊥平面α，若l m ⊥，则l α∥或l α⊂，所以充分性不成立，若l α∥，则有l m ⊥，必要性成立，所以“l m ⊥”是“l α∥”的必要不充分条件，故答案为C. 17. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系; 图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念. 【正确选项】B【试题分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，1D D ⊥平面ABCD ,11D D A A ∥,所以112,DPD EPD θθ=∠=∠,因为12θθ=，所以1tan tan DPD EPD ∠=∠，即1D DAE AP DP=,因为E 为1A A 的中点，所以2DPAP=,设正方体边长为2，以DA 方向为x 轴，线段DA 的垂直平分线为y 轴建立如图所示的坐标系，则(1,0),(1,0)D A -,因为2DPAP=，所以=22525()39x y -+=，所以动点P 的轨迹为圆的一部分.第17题图 apnn218.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论述的能力.【知识内容】函数与分析/三角函数/正弦函数和余弦函数的性质. 【正确选项】C【试题分析】函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ个单位得到函数()2sin 2()g x x ϕ=-的图像，则1212|()()|2sin 22sin 2()f x g x x x ϕ-=--1212=4cos()sin())=4x x x x ϕϕ+--++，所以12sin()=1x x ϕ-++，因为12π||6x x -=，所以12π6x x -=±，当12π6x x -=时，πsin()16ϕ-=，22ππ()3k k ϕ=+∈Z ,又因为0πϕ<<，所以2π=3ϕ，同理，可得12π6x x -=-时，π=3ϕ，所以2π3ϕ=或π3，故答案为C.三、解答题19.（本题满分12分）【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识. 【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x =, ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-. ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==. ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-. ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. （2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系. 【知识内容】（1）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角. （2）图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】（1）当θ为直角时,即,,AB AD AP 两两互相垂直，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 为坐标轴建立空间直角坐标系, ………………1分则(1,0,0)(1,2,0)(0,2,0)(0,0,1)B C D P ,(1,2,1)PC =- ,(1,2,0)BD =-……3分设异面直线PC 与BD 所成角为α,则cos PC BD PC BDα⋅=⋅=………………5分 故异面直线PC 与BD所成角为arccos10．…7分MHLD1第19题图（1）（2） 沿AD 将平面PAD 折起的过程中，始终 有PA AD ⊥，AB AD ⊥，AD PAB ∴⊥面，由PAB D ABD P V V --=得 ……………………9分163PAB S DA =⋅⋅△11211sin 32θ=⨯⨯⨯⨯⨯，sin 2θ∴= ……………………12分π4θ∴=或3π4． ……………………………14分MHLD2第19题图（2）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 【测量目标】（1）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义.（2）分析问题与解决问题的能力/能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际或其他学科的问题，并能解释其实际意义. 【知识内容】（1）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. （2）函数与分析/指数函数与对数函数/函数的应用. 【参考答案】（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++131415161212121236033]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当()()0f n g n -≥时，园内游客人数递增；当0)()(<-n g n f 时，园内游客人数递减． ………………7分 ①当1932n ≤≤时，由812()()3603500120000n f n g n n --=⨯-+≥，可得：当1928n ≤≤时，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多；…9分 当2932n ≤≤时，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少； ……11分 （049.246)28()28(>=-g f ；013.38)29()29(<-=-g f ）②当3345n ≤≤时，由()()72023600f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午16点时（28n =）园区内的游客人数最多，此时计算可知园区大约共有77264人. ………………14分 22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题. 【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （2）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. （3）图形与几何/曲线与方程/曲线与方程的概念.【参考答案】（1）由条件可得b c ==2a =， …………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得02(,2)y B x -………7分 ∴2222200021111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得=OC OD CD d ⋅⋅，即22222=(+)OC OD OC OD d ⋅⋅ 可得222111d OC OD=+， ………………………………………………………14分 将③代入得：22222220011111d OC OD x y x y=+=+++ 2222222222221124444()22x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++， 化简得D 点轨迹方程为：22221111()()124x y d d -+-=.…………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分． 【测量目标】（1）数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）数学探究与创新能力/能运用有关的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系；能正确地表述探究过程和结果，并予以证明. 【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列. （2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列；函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由解方程得：x =由条件，()0k f x =两根x =则kc ∆=必为完全平方数，不妨设2()k c m m =∈N ， …………12分此时2k a mx -±==为整数，∴k a 和m 具有相同的奇偶性，………13分 由（2）知{}n c 是公差为1的等差数列，取21n k m =++∴()222121211k m k c c m m m m ++=++=++=+ ………………………………15分此时(21)(1)2k a m m x -++±+==k a 和m 具有相同的奇偶性，∴21k a m ++和1m +具有相同的奇偶性， …17分所以函数21()k m f x ++有两个整数零点.由递推性可知存在无穷多个()n f x 有两个整数零点.………………………18分。

上海市闵行区高三二模数学文科及答案

上海市闵行区高三二模数学文科及答案

数 学 试卷（文科）（满分150分，时间120分钟） 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为． 2．若复数满足(1i)2z ⋅+=（其中为虚数单位），则1z +=． 3．双曲线221412x y-=的两条渐近线的夹角的弧度数为. 4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α=．5．二项式5(21)x -的展开式中，项的系数为.6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12lim ()n n a a a →+∞+++=．7.如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值等于．8．空间一线段AB ，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB 的长度为.9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是．10．已知数列{}n a 满足221(1)22()n n n a a a n *+-=-+∈N ，则使20152015a >成立的正整数的一个值为．11．斜率为2的直线与焦点在轴上的椭圆2221(0)y x b b+=>交于不同的两点、.若点、在轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为.12．函数2()log 2a f x x ax =+-在区间()0,1内无零点，则实数的范围是.13．已知点是半径为的O 上的动点，线段AB 是O 的直径.则AB PA AB PB ⋅+⋅的取值范围为．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1x g x x =+，若对任意的12,x x ∈R ，均有12()()f x g x ≤，则实数的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ()(A)2a ab <.(B)2ab b -<-.(C)11a b <.(D)b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ()(A)14种. (B)48种. (C)72种.(D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A).(B)34π.(C)35π.(D). 18．如图，已知直线平面，垂足为，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===AC 的中点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为( )(A). (B)(C) 1.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点为母线的中点．若直线PQ 与所成的角为4π，求此圆锥的表面积． 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分410分．a b c 、、，且3B π=．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是若ABC △不是钝角三角形，求：(1)角的范围；(2)2a c的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前个月的需求量（万吨）与的函数关系为*0,116,)y p x x =>≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第个月石油调出后，油库内储油量（万吨）与的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定的取值范围．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分。

上海市闵行区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案

上海市闵行区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷--含答案

闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（满分150分，时间120分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考生号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．本试卷共有21道试题．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果． 1. 方程()3log 212x +=的解是 ． 2. 已知集合{}{}11,1,0,1,M x x N =+≤=-则MN = ．3. 若复数122,2z a i z i =+=+（i 是虚数单位），且12z z 为纯虚数，则实数a =．4. 直线23x y ⎧=--⎪⎨=+⎪⎩t 为参数）对应的普通方程是 ．5. 若()1(2),3n n n x x ax bx c n n -*+=++++∈≥N ，且4b c =，则a 的值为 ．6. 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的侧面积是 ．7. 若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ．8. 在约束条件123x y ++-≤下，目标函数2z x y =+的最大值为 ．9. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，则这名学生在上学的路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是 ．10. 已知椭圆()222101y x b b+=<<，其左、右焦点分别为12F F 、，122F F c =．若此椭圆上存在点P ，使P 到直线1x c=的距离是1PF 与2PF 的等差中项，则b 的最大值为 ．11. 已知定点(1,1)A ，动点P 在圆221x y +=上，点P 关于直线y x =的对称点为P '，向量AQ OP '=，O 是坐标原点，则PQ 的取值范围是 ．12. 已知递增数列{}n a 共有2017项，且各项均不为零，20171a =，如果从{}n a 中任取两项,i j a a ，当i j <时，j i a a -仍是数列{}n a 中的项，则数列{}n a 的各项和2017S =___．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13. 设a b 、分别是两条异面直线12l l 、的方向向量，向量a b 、的夹角的取值范围为A ，12l l 、所成的角的取值范围为B ，则“A α∈”是“B α∈”的 ( )(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件 14. 将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点,4P t π⎛⎫⎪⎝⎭向左平移(0)s s >个单位，得到点P '，若P '位于函数sin 2y x =的图像上，则( )(A) 12t =，s 的最小值为6π(B) t =，s 的最小值为6π(C) 12t =，s 的最小值为12π (D) 2t =，s 的最小值为12π15. 某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量x 的函数关系如下图所示（收支差额=车票收入-支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)不改变支出费用，提高车票价格，下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则 ( )(A) ①反映了建议（Ⅱ），③反映了建议（Ⅰ） (B) ①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） (C) ②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） (D) ④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ）16. 设函数()y f x =的定义域是R ，对于以下四个命题： （1）若()y f x =是奇函数，则(())y f f x =也是奇函数； （2）若()y f x =是周期函数，则(())y f f x =也是周期函数； （3）若()y f x =是单调递减函数，则(())y f f x =也是单调递减函数； （4）若函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，且函数1()()y f x f x -=-有零点，则函数()y f x x =-也有零点．其中正确的命题共有 ( ) (A)1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）直三棱柱111C B A ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AC AB ⊥，2==AC AB ，41=AA , M 是侧棱1CC 上一点，设h MC =．（1）若C A BM 1⊥，求h 的值；（2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成的角．18. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设函数()2xf x =，函数()g x 的图像与函数()f x 的图像关于y 轴对称． （1）若()4()3f x g x =+，求x 的值；（2）若存在[]0,4x ∈，使不等式(+)(2)3f a x g x --≥成立，求实数a 的取值范围．BMBA B CPQ D19. （本题满分14分，本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120=∠PAQ ，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC △的面积最大，那么AB 和AC的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？20. (本题满分16分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)设直线l 与抛物线24y x =相交于不同两点A B 、，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．(1) 若AOB △是正三角形（O 为坐标原点），求此三角形的边长；(2) 若4r =，求直线l 的方程；(3) 试对()0,r ∈+∞进行讨论，请你写出符合条件的直线l 的条数（只需直接写出结果）．21. (本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分)已知()y f x =是R 上的奇函数，(1)1f -=-，且对任意(),0x ∈-∞，()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭都成立． (1) 求12f ⎛⎫-⎪⎝⎭、13f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2) 设1()n a f n n*=∈N ，求数列{}n a 的递推公式和通项公式；(3) 记121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++，求1limn n nT T +→∞的值．闵行区2016学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准一. 填空题 1．4x =； 2．{1,0}-； 3．1； 4．10x y +-=； 5．16； 6．； 7．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； 8．9； 9．29； 10．2； 11．； 12．1009；二. 选择题 13．C ； 14．A ； 15．B ； 16．B ． 三. 解答题17．[解]（1）以A 为坐标原点，以射线AB 、AC 、1AA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则)0,0,2(B ,)4,0,0(1A ，)0,2,0(C ，),2,0(h M ……………………2分),2,2(h -=，)4,2,0(1-=C A ……………………4分由C A BM 1⊥得01=⋅C A BM ，即0422=-⨯h解得1=h ． ……………………6分 (2) 解法一：此时(0,2,2)M()()()12,0,0,0,2,2,2,0,4AB AM BA ===-……………8分设平面ABM 的一个法向量为(,,)n x y z =由00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得00x y z =⎧⎨+=⎩所以(0,1,1)n =- ……………………10分 设直线1BA 与平面ABM 所成的角为θ则11sin 52n BA n BA θ⋅===⋅ ……………12分 所以arc θ= 所以直线1BA 与平面ABM 所成的角为arc ………………14分 解法二：联结1A M ，则1AM AM ⊥， 1,AB AC AB AA ⊥⊥，AB∴⊥平面11AAC C …………………8分 1AB A M ∴⊥1A M ∴⊥平面ABM所以1A BM ∠是直线1BA 与平面ABM 所成的角； ……………………10分 在1A BM Rt △中，11A M A B ==所以111sin 5A M A BM AB ∠===……………………12分所以1arcsin5A BM ∠= 所以直线1BA 与平面ABM所成的角为arc ………………14分 18．[解]（1）由()4()3f x g x =+得2423xx-=⋅+ ……………………2分223240x x ⇒-⋅-=所以21x =-（舍）或24x =， ……………………4分 所以2x = ……………………6分 （2）由()(2)3f a x g x +--≥得2223a xx +-≥ ……………………8分2223a x x +≥+2232a x x -⇒≥+⋅ ……………………10分而232xx-+⋅≥，当且仅当[]4232,log 30,4x x x -=⋅=∈即时取等号…12分所以2a ≥211log 32a ≥+．………………………………14分 19．[解]（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=， ………………………………2分1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅y x ⋅⋅=43 …………………………4分 y x ⋅⋅=28322283⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤y x=2m 当且仅当y x =2，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC △的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米……6分 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ …………………………8分 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22919494AC AC AB AB +⋅+= …………………………10分 2244117507501500()15009929=⨯+⨯⨯⨯-+⨯250000= ||500AD ∴=， …………………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分 解法二：在ABC ∆中， 120cos 222AC AB AC AB BC ⋅-+==7750= ………8分在ABD ∆中，ACAB AC BC AB B ⋅-+=2cos 222775075021500)7750(750222⨯⨯-+=772= …………………………10分 在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 222⋅-+=772)7250(7502)7250(75022⋅⨯⨯-+==500 …………12分 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,0(A ，)0,750(B)120sin 1500,120cos 1500( C ,即)3750,750(-C ，设),(00y x D ………8分由2CD DB =，求得⎪⎩⎪⎨⎧==325025000y x ，所以(D …………10分所以，22)03250()0250(||-+-=AD 500=……………………12分1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． …………………………14分20．[解] (1)设AOB △的边长为a ，则A的坐标为1,)2a ±………2分所以214,2a ⎛⎫±= ⎪⎝⎭所以a =此三角形的边长为 ……………………………4分 (2)设直线:l x ky b =+当0k =时，1,9x x ==符合题意 ……………………………6分当0k ≠时，224404x ky by ky b y x =+⎧⇒--=⎨=⎩…………………8分222121216()0,4,42(2,2)k b y y k x x k b M k b k ∆=+>+=+=+⇒+11,AB CM AB k k k k⋅=-= 2223225CM k k k b k k b ∴==-⇒=-+- 22216()16(3)003k b k k ∴∆=+=->⇒<<4r ===()230,3k ∴=∉，舍去综上所述，直线l 的方程为：1,9x x == ……………………………10分 (3)(][)0,24,5r ∈时，共2条；……………………………12分()2,4r ∈时，共4条； ……………………………14分[)5,r ∈+∞时，共1条． ……………………………16分21．[解]（1）对等式()11x f x f x x ⎛⎫=⎪-⎝⎭， 令11(1)12x f f ⎛⎫=-⇒-=-=-⎪⎝⎭所以112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ……………………………2分 令1111222233x f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以1132f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭……………………………4分 （2）取1x n =-，可得111()()1f f n n n =--+，………………6分 即111()()1f f n n n=+，所以11()n n a a n n *+=∈N1(1)(1)1,a f f ==--=所以数列{}n a 的递推公式为1111,()n n a a a n n*+==∈N ……………………………8分 故()13212211111111221!n n n n n a a a a a a a a a a n n n ---⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅=--- ………………10分 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)!n a n =-． …………………12分（3）由（2）1(1)!n a n =-代入121321n n n n n T a a a a a a a a --=++++得111110!(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(1)!0!n T n n n n n =+++++⋅-⋅-⋅-⋅--⋅……14分1(1)!(1)!(1)!(1)!11(1)!1!(2)!2!(3)!3!(3)!(2)!1!n n n n n T n n n n n ⎡⎤----⇒=++++++⎢⎥-⋅-⋅-⋅--⋅⎣⎦101232111111112(1)!(1)!n n n n n n n n n n T C C C C CCn n ---------⎡⎤⇒=++++++=⎣⎦--……16分12!nn T n +⇒=则12limlim 0n n n nT T n +→∞→∞== ……………………………18分。

上海市闵行区2016届中考数学二模试卷(含答案)

上海市闵行区2016届中考数学二模试卷(含答案)

22．如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面 BC 平行于地面 AD，斜坡 AB 的坡比为 i=1： ，
且 AB=26 米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡 角不超过 53°时，可确保山体不滑坡． （1）求改造前坡顶与地面的距离 BE 的长． （2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡 AB 改造成 AF（如图所示），那么 BF 至少是多少米？（结 果精确到 1 米） （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．
．
13．如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学
过的特殊的等对角线四边形的名称
．
14．如图，已知在梯形 ABCD 中，AD∥ BC，且 BC=3AD，点 E 是边 DC 的中点．设
，
，
那么 =
（用 、 的式子表示）．
15．布袋中有大小、质地完全相同的 4 个小球，每个小球上分别标有数字 1、2、3、4，如果从布袋
交边 BC 于点 D，交边 AC 于点 E，那么 的值为
．
479749745 群资料
三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）
19．计算：
．
20．解方程：
．
21．如图，已知在△ ABC 中，∠ ABC=30°，BC=8，sin∠ A= ，BD 是 AC 边上的中线．求： （1）△ ABC 的面积； （2）∠ ABD 的余切值．
中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是
．
16．9 月 22 日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收

2016年上海市闵行区中考数学二模试卷(含解析)

2016年上海市闵行区中考数学二模试卷(含解析)

2016年上海市闵行区中考数学二模试卷一、选择题1.如果单项式2a n b2c是六次单项式，那么n的值取（）A．6B．5C．4D．32.在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．3.下列函数中，y随着x的增大而减小的是（）A．y=3x B．y=-3x C．D．4.一鞋店销售一种新鞋，试销期间卖出情况如下表，对于鞋店经理来说最关心哪种尺码的鞋畅销，那么下列统计量对该经理来说最有意义的是（）尺码2222.52323.52424.525数量（双）351015832A．平均数B．中位数C．众数D．方差5.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．正五边形B．等腰梯形C．平行四边形D．圆6.下列四个命题，其中真命题有（）（1）有理数乘以无理数一定是无理数；（2）顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形；（3）在同圆中，相等的弦所对的弧也相等；（4）如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•sin20°．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7.计算：|-22|=__________．8.在实数范围内分解因式：a3-2a= __________ ．9.方程=2的解是__________．10.不等式组的解集是__________．11.已知关于x的方程x2-x-m=0没有实数根，那么m的取值范围是__________．12.将直线向下平移3个单位，那么所得到的直线在y轴上的截距为__________．13.如果一个四边形的两条对角线相等，那么称这个四边形为“等对角线四边形”．写出一个你所学过的特殊的等对角线四边形的名称__________．14.如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，点E是边DC的中点．设，，那么=__________（用、的式子表示）．15.布袋中有大小、质地完全相同的4个小球，每个小球上分别标有数字1、2、3、4，如果从布袋中随机抽取两个小球，那么这两个小球上的数字之和为偶数的概率是__________．16.9月22日世界无车日，某校开展了“倡导绿色出行”为主题的调查，随机抽查了部分师生，将收集的数据绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是__________．17.点P为⊙O内一点，过点P的最长的弦长为10cm，最短的弦长为8cm，那么OP的长等于__________cm．18.如图，已知在△ABC中，AB=AC，tan∠B=，将△ABC翻折，使点C与点A重合，折痕DE交边BC于点D，交边AC于点E，那么的值为__________．三、解答题19.计算：．20.解方程：．21.如图，已知在△ABC中，∠ABC=30°，BC=8，sin∠A=，BD是AC边上的中线．求：（1）△ABC的面积；（2）∠ABD的余切值．22.如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比为i=1：，且AB=26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长．（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB改造成AF（如图所示），那么BF至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75）．23.如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD 和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）如果OF=2GO，求证：GO2=DG•GC．24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l．（1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标；（2）如果直线y=kx+b经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标．25.如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，AH⊥BC，垂足为点H．点D在边AB上，且AD=2，联结CD交AH于点E．（1）如图1，如果AE=AD，求AH的长；（2）如图2，⊙A是以点A为圆心，AD为半径的圆，交AH于点F．设点P为边BC 上一点，如果以点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，以点P为圆心，CP为半径的圆与⊙A内切，求边BC的长；（3）如图3，联结DF．设DF=x，△ABC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．2016年上海市闵行区中考数学二模试卷试卷的答案和解析1.答案：D试题分析：试题分析：直接利用单项式的次数确定方法得出n的值即可．试题解析：∵单项式2a n b2c是六次单项式，∴n+2+1=6，解得：n=3，故n的值取3．故选：D．2.答案：B试题分析：试题分析：直接利用有理化因式的定义得出答案．试题解析：∵×=a-1，∴二次根式的有理化因式是：．故选：B．3.答案：B试题分析：试题分析：分别利用正比例函数以及反比例函数的性质分析得出答案．试题解析：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；B、y=-3x，y随着x的增大而减小，正确；C、y=，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；D、y=-，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；故选：B．4.答案：C试题分析：试题分析：鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号．试题解析：由于众数是数据中出现最多的数，鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最多的鞋号．故鞋店的经理最关心的是众数．故选：C．5.答案：D试题分析：试题分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．试题解析：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选：D．6.答案：A试题分析：试题分析：利用反例对（1）进行判断；根据等腰梯形的对角线相等和三角形中位线性质、菱形的判定方法可对（2）进行判断；根据弦对两条弧可对（3）进行判断；根据正九边形的性质和余弦的定义可对（4）解析判断．试题解析：有理数乘以无理数不一定是无理数，若0乘以π得0，所以（1）错误；顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，所以（2）正确；在同圆中，相等的弦所对的弧对应相等，所以（3）错误；如果正九边形的半径为a，那么边心距为a•cos20°，所以（4）错误．故选A．7.答案：试题分析：试题分析：直接利用有理数的乘方运算法则化简，再结合绝对值的性质求出答案．试题解析：|-22|=|-4|=4．故答案为：4．8.答案：试题分析：试题分析：先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．试题解析：a3-2a=a（a2-2）=a（a+）（a-）．故答案为：a（a+）（a-）．9.答案：试题分析：试题分析：根据解无理方程的方法可以解答本题．试题解析：=2，两边平方，得2x+3=4，解得x=，检验：当x=时，，故原无理方程的解是x=．故答案为：x=．10.答案：试题分析：试题分析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．试题解析：解不等式3-x≥0，得：x≤3，解不等式4x+3＞-x，得：x＞-，所以不等式组的解集为：-＜x≤3，故答案为：-＜x≤3．11.答案：试题分析：试题分析：根据根的判别式得出b2-4ac＜0，代入求出不等式的解集即可得到答案．试题解析：∵关于x的方程x2-x-m=0没有实数根，∴b2-4ac=（-1）2-4×1×（-m）＜0，解得：m＜-．故答案为：m＜-．12.答案：试题分析：试题分析：直接利用一次函数平移的性质得出平移后解析式，进而得出答案．试题解析：∵直线向下平移3个单位，∴平移后的解析式为：y=-x-2，∴所得到的直线在y轴上的截距为：-2．故答案为：-2．13.答案：试题分析：试题分析：我们学过的等腰梯形、矩形、正方形的对角线相等，任选一个即可．试题解析：矩形、正方形的两条对角线相等．故答案为：矩形．14.答案：试题分析：试题分析：首先连接AC，由在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，可求得，然后由三角形法则求得，继而求得，然后由点E是边DC的中点，求得，继而求得答案．试题解析：连接AC，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，且BC=3AD，∴=3=3，∴=+=+3，∴=-=（+3）-=+2，∵点E是边DC的中点，∴==+，∴=+=+（+）=+2．故答案为：+2．15.答案：试题分析：试题分析：根据题意画出树状图，进而利用概率公式求出答案．试题解析：由题意可得：，故一共有12种可能，这两个小球上的数字之和为偶数的有4种，故这两个小球上的数字之和为偶数的概率是：=．故答案为：．16.答案：试题分析：试题分析：根据骑自行车的学生人数和所占的百分比求出调查的总学生数，再根据随机抽查的教师人数为学生人数的一半，得出教师人数，再用教师人数减去步行、乘公交车和骑自行车的教师数，即可得出乘私家车出行的教师人数．试题解析：调查的学生人数是：15÷25%=60（人），则教师人数为30人，教师乘私家车出行的人数为30-（3+9+3）=15（人）．故答案为：15．17.答案：试题分析：试题分析：根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10cm；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．试题解析：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10cm，CD=8cm．∵CD⊥AB，∴CP=CD=4cm．根据勾股定理，得OP===3（cm）．故答案为：3．18.答案：试题分析：试题分析：作AF⊥BC于F，连接AD，设AF=a，DC=x，根据相似三角形的性质用a表示CD和BD，计算即可．试题解析：解：作AF⊥BC于F，连接AD，设AF=a，DC=x，∵tan∠B=，∴BF=3a，由勾股定理得，AB=a，∵DE⊥AC，AF⊥BC，∴△CED∽△CFA，∴=，即=，解得x=a，∴DF=CF-CD=a，∴BD=a，∴=．故答案为：．19.答案：试题分析：试题分析：分别依据分母有理化、负整指数幂、特殊锐角三角函数值和零指数幂、分数指数幂将各部分计算化简可得．试题解析：原式=-+（）0-=-+1-=-．20.答案：试题分析：试题分析：首先去掉分母，然后解整式方程，最后验根即可求解．试题解析：∵，∴（x-2）（x-4）+2x=x+2，∴x2-6x+8+2x=x+2，x2-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，解得x1=2，x2=3，检验：当x1=2时，x（x-2）（x+2）=0，是增根；当x2=3时，x（x-2）（x+2）=15≠0，∴x=3是原方程的解．21.答案：试题分析：试题分析：（1）过点C作CE⊥AB与点E，根据已知条件分别解△BCE、△ACE 可得BE、CE、AE的长，即可计算S△ABC；（2）过点D作DH⊥AB与点H知DH∥CE，由D是AC中点可得HE=AE、DH=CE，即可得cot∠ABD．试题解析：（1）如图，过点C作CE⊥AB与点E，在RT△BCE中，∵BC=8，∠ABC=30°，∴BE=BC•cos∠ABC=8×=4，CE=BC•sin∠ABC=8×=4，在RT△ACE中，∵sin∠A=，∴AC===4，∴AE===8，则AB=AE+BE=8+4，故S△ABC=•AB•CE=×（8+4）×4=16+8；（2）过点D作DH⊥AB与点H，∵CE⊥AB，∴DH∥CE，又∵D是AC中点，∴AH=HE=AE=4，DH=CE=2，∴在RT△BDH中，cot∠ABD===2+2．22.答案：试题分析：试题分析：（1）根据坡度的概念得到BE：EA=12：5，根据勾股定理计算列式即可；（2）作FH⊥AD于H，根据正切的概念求出AH，结合图形计算即可．试题解析：（1）∵斜坡AB的坡比为i=1：，∴BE：EA=12：5，设BE=12x，则EA=5x，由勾股定理得，BE2+EA2=AB2，即（12x）2+（5x）2=262，解得，x=2，则BE=12x=24，AE=5x=10，答：改造前坡顶与地面的距离BE的长为24米；（2）作FH⊥AD于H，则tan∠FAH=，∴AH=≈18，∴BF=18-10=8，答：BF至少是8米．23.答案：试题分析：试题分析：（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC=∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE=CF，OE=OF，推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换求得结论；试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠ACF，在△EOA和△FOC中，，∴△EOA≌△FOC，∴AE=CF，OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形；（2）∵∠EDG=∠COG=90°，∠EGD=∠CGO，∴△EGD∽△CGO，∴，∵OF=2GO，∴EG=GO，∴GO2=DG•GC．24.答案：试题分析：试题分析：（1）将A、C两点坐标代入解析式即可求出a、c，将解析式配成顶点式即可得到对称轴方程和顶点坐标；（2）先由C、M两点坐标求出直线CM解析式，进而求出D点坐标，由于C、N两点关于抛物线对称轴对称，则CN∥AD，同时可求出N点坐标，然后得出CN=AD，结论显然；（3）设出P点纵坐标，表示出MP的长度，过点P作PH⊥DM于H，表示出PH的长度，在直角三角形PAE中用勾股定理列出方程，解之即得答案．试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A（-1，0）和点C（0，3），∴，∴，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，对称轴为直线x=1，顶点M（1，4）；（2）如图1，∵点C关于直线l的对称点为N，∴N（2，3），∵直线y=kx+b经过C、M两点，∴，∴，∴y=x+3，∵y=x+3与x轴交于点D，∴D（-3，0），∴AD=2=CN又∵AD∥CN，∴CDAN是平行四边形；（3）设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图2，则MP=4-a，又∠HMP=45°，∴HP=AP=，Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：，解得：，∴P1（1，-4+2），P2（1，-4-2）．25.答案：试题分析：试题分析：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，由DG∥BC得== ===，设EG=a，则EH=3a，列出方程即可解决．（2）关键两个圆内切、外切半径之间的关系，先求出PH，设BP=x，根据AH2=AB2-BH2=AP2-PH2列出方程即可解决问题．（3）如图3中过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，根据AD2-AG2=DF2-FG2程即求出t与x的关系，再利用三角形面积公式计算即可．试题解析：（1）如图1中，过点D作DG⊥AH于G，∵AH⊥BC，AB=AC∴∠DGE=∠CHG=90°，BH=CH，∴DG∥BC，∴=====，设EG=a，则EH=3a，∴==，∴AG=2a，AE=3a=2，∴AH=6a=4．（2）如图2中，∵点P为圆心，BP为半径的圆与⊙A外切，CP为半径的圆与⊙A内切，∴AP=AD+BP，AP=PC-AD，∴AD+BP=PC-AD，∴PC-BP=2AD=4，∴PH+HC-（BH-PH）=4，∴PH=2，∵AH2=AB2-BH2=AP2-PH2，设BP=x，∴62-（x+2）2=（x+2）2-22，∴x=2-2，∴BC=2BH=2（PB+PH）=4．（3）如图3中，过点D作DG⊥AF于G，设AG=t，∵AD2-AG2=DF2-FG2，∴22-t2=x2-（2-t）2，∴t=，∴y=S△ABC=18•S△ADG=18וAG•DG=9••，∴y=（0＜x＜2）．。

上海市闵行区2016届高三4月质量调研(二模)考试数学(文)试卷

上海市闵行区2016届高三4月质量调研(二模)考试数学(文)试卷

闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数3log (1)y x =-的定义域是 .2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B x x =<，则 A B 等于 . 3．若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 . 4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= .5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍.6．平面向量a 与b 的夹角为60︒，1a = ，(3,0)b =，则2a b += .7．在ABC △中，2AB =，A =45︒，60C =︒，则BC = . 8．若n a 为()1nx +的展开式中的2x 项的系数，则22lim 1nn a n →∞=+ .9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = . 10．设点(,)x y 满足y x ≥且2y x ≤-+，则6z x y =-的最大值为 .11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 ．12．从集合{}0,1,2,3的所有非空．．子集中，等可能地取出一个，则取出的非空子集中所有元素之和恰为5的概率为 .13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2|n S n a n =+-（n ∈*N ），数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围 .14． 若两函数y x a =+与y =A 、B ，O 是坐标原点，当OAB△是直角三角形时，则满足条件的所有实数a 的值的乘积为 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B) 22a b > (C) ()()lg 1lg 1a b +>+ (D) 22a b > 16．若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形， 则其侧面积．．．等于（ ）.（A）（C ）6 (D) 217．平面上有两个定点A B 、和动点P ，2PA PB =，则动点P 的轨迹为（ ）.（A ）椭圆 (B)圆 （C ）双曲线 (D) 抛物线 18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕπ<<2）个单位后得到函数()g x 的图像．若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）. （A ）π6 (B) π4 （C ）π3 (D) 5π12三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19.（本题满分12分）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．ABC DPPABCD20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，E 是BC 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，使得PA AB ⊥． （1）求异面直线PC 与AE 所成角的大小； （2）求四棱锥P AECD -的体积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分． 为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ：以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）假设当日园区游客总人数达到或超过8万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天16点（即28n =）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值；（3） 设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 求动点D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n n b b a +=+,记24n n n c a b =-． （1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果有，求出n 满足的集合，如果没有，说明理由．PA BCDF参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分． 1．()1,+∞； 2．()2,3-； 3．2； 4．9； 5．3；6 7．1； 8．1； 9．4； 10．5； 11．8； 12．152； 13．11(,)22-；14．3. 二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分． 15．D ； 16．C ； 17．B ； 18． C 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分）解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分 综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．解：（1）取AD 中点F ，连CF ，则//CF AE PCF ∠是异面直线PC 与AE 所成角（或补角）…1分PCF △中,CF AE ==PF =,PC =…3分cos PCF∠==……………5分所以异面直线PC与BD所成角为6π．…………7分（2）易知：四棱锥P AECD-的高1PA=,底面四边形为直角梯形，其面积231)21(21=⨯+=AECDS…………………………………10分∴2131=⋅⋅=-PASVAECDAECDP，………………………………12分从而四棱锥P AECD-的体积为12．…………………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f+++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人）…………………3分离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g+++（人）………………6分（2）当天下午16点（28n=）时进入园区人数为28[(1)(2)(8)][(9)(10)(28)]S f f f f f f=+++++++1201212112873603(31)[22008200][]2(31)⨯⨯⨯-=⨯+⨯+-300020+⨯2320021563.560000104764=++≈（人）………10分此时，离开园区的人数28(19)9(20)(28)T g g=+++109500105002⨯=⨯+⨯27500=人………12分此时，园区共有游客为282877264S T-=（人）………13分因为7726480000<，所以当天不会采取限流措施．………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．解：（1）由条件可得b c==2a=，…………………………3分椭圆Γ的方程为22142x y+=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y，则OB的方程为00x x y y+=，由2y=得02(,2)yBx-…7分∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分 （3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y += ② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y==++ ③ …………………………12分 由OC OD ⊥得OC OD ⋅，即2222=3(+)OC OD OC OD ⋅ 可得22111=3OC OD +， ……………………………………………………………14分 将③代入得：222222001111OC OD x y x y+=+++22222222222211241=444()322x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++. 化简得D 点轨迹方程为：221126y x -=．……………………………………………16分 23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．解： （1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n n b b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- …………………4分 1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分（2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分(3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=，……………………………………12分函数的零点为2n x -==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2()n m m =∈*N ，此时()2122m m m m x -±-±==，……………………………14分 又因为1m m ±与是连续的两个整数，∴ (1)m m -±能被2整除，即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数，………………………………16分∴所求n 的集合为{}2|,n n m m =∈*N .……………………………………………18分。

上海市闵行区高三数学下学期质量调研考试试题(二模)文

上海市闵行区高三数学下学期质量调研考试试题(二模)文

闵行区2014学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）（满分150分，时间120分钟） 考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚．2．请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．本试卷共有23道试题．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．用列举法将方程33log log (2)1x x ++=的解集表示为 ． 2．若复数z 满足(1i)2z ⋅+=（其中i 为虚数单位），则1z += ．3．双曲线221412x y -=的两条渐近线的夹角的弧度数为 .4．若4cos 5α=，且()0,απ∈，则tg 2α= ．5．二项式5(21)x -的展开式中，2x 项的系数为 . 6．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12lim ()n n a a a →+∞+++= ．7.如果实数,x y 满足线性约束条件20,3501,x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+-的最小值等于 ．8．空间一线段AB，若其主视图、左视图、俯视图的长度均为，则线段AB 的长度为 .9．给出条件：①12x x <，②12x x >，③12x x <，④2212x x <．函数()sin f x x x =+，对任意12,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦、，能使12()()f x f x <成立的条件的序号是 ． 10．已知数列{}n a 满足221(1)22()n n n a a a n *+-=-+∈N ，则使20152015a >成立的正整数1a 的一个值为 ．11的直线与焦点在x 轴上的椭圆2221(0)y x b b +=>交于不同的两点P 、Q .若点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为椭圆的两焦点，则该椭圆的焦距为 .学校_______________________ 班级__________ 准考证号_________ 姓名______________ …………………………密○………………………………………封○………………………………………○线…………………………12．函数2()log 2a f x x ax =+-在区间()0,1内无零点，则实数a 的范围是 . 13．已知点P 是半径为1 的O 上的动点，线段AB 是O 的直径.则AB PA AB PB ⋅+⋅ 的取值范围为 ．14．已知函数2131()1log 12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1x g x x =+，若对任意的12,x x ∈R ，均有12()()f x g x ≤，则实数k 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，选对得5分，否则一律得0分． 15．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是 ( )(A) 2a ab <. (B) 2ab b -<-. (C)11a b <. (D) b a a b>. 16．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单， 要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有 ( )(A) 14种. (B) 48种. (C)72种. (D) 120种. 17．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是( )(A) π. (B) 34π. (C) 35π.(D) π2.18．如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===P 是边AC 的中点. 该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈. 则OP PB +的最大值为 ( )(A) 2. (B) 1三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．ABl CαNPO20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．设三角形ABC 的内角A B C 、、所对的边长分别是a b c 、、，且3B π=．若ABC △不是钝角三角形，求：(1) 角C 的范围；(2)2ac的取值范围． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x 个月的需求量y （万吨）与x 的函数关系为*0,116,)y p x x >≤≤∈N ，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x 个月石油调出后，油库内储油量M （万吨）与x 的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围． 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3) 小题满分6分。

闵行区2016年数学二模卷答案

闵行区2016年数学二模卷答案
b 3 k 1 ∴ ，解得 ，∴直线 CD 的解析式为 y x 3 ．……（1 分） 4 k b b 3
∴点 D 的坐标为（-3，0） ．∴AD = 2．………………………………（1 分） ∵点 C 关于直线 l 的对称点为 N， ∴点 N 的坐标为（2，3） ．……………………………………………（1 分） ∴CN = 2=AD． 又∵CN // AD，∴四边形 CDAN 是平行四边形．……………………（1 分） （3）过点 P 作 PH⊥CD，垂足为点 H． ∵ 以点 P 为圆心的圆经过 A、B 两点，并且与直线 CD 相切， ∴PH = AP，即： PH 2 AP2 ．………………………………………（1 分） 设点 P 的坐标为（1，t） ，∴ PM 4 t ， AP2 22 t 2 ． ∵在 Rt△MED 中，点 D 的坐标为（-3，0） ，点 M 的坐标为（1，4） ， ∴DE = ME = 4．∴∠DME = 45º ．∴ PH MH
22．解： （1）在 Rt△BEA 中， AE2 BE2 AB2 ． 5 ∵i =1∶ ，∴设 AE = 5k，BE = 12k．………………………………（1 分） 12 又∵AB=26，∴ ( 5k )2 ( 1 2 ) k 22 6
2
，…………………………………（1 分）
解得 k 2 ． ……………………………………………………………… （1 分） ∴AE = 10，BE = 24． …………………………………………………（1 分） 答： 改造前坡顶与地面的距离 BE 的长为 24 米． …………………… （1 分） （2）过点 F 作 FH⊥AD，垂足为点 H． ∵BC // AD，BE⊥AD，FH⊥AD， ∴ FH BE 24 ．……………………………………………………（1 分） 在 Rt△FHA 中，∴ cot FAH

上海市闵行区高考二模数学文科试题

上海市闵行区高考二模数学文科试题

（闵行区 2011 学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）说明：本试卷共有 23 道题，共 4 页．满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、填空题： 本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．不等式1 ≤ 2x ≤ 8 的解是 ．2．计算 limn →∞2 +3 + + n n (n + 2)= ．3．在等差数列{a}中， an 3= 3 ， a = 5 ，则 a = ．4 134．已知复数 z =i 2 + i（ i 为虚数单位），则 z ⋅ z = ．5．已知两条直线 l ： ax - 2 y - 3 = 0 ， l ： 4 x + 6 y - 1 = 0 ．若 l 的一个法向量恰为 l 的一个方向向量， 1 212则 a =．6．函数 y = cos 2 x + 3 sin x c os x 的最小值为．7．二项式 (3 3x + 1 )4的展开式的各项系数的和为 p ，所有二项式系数的和为 q ，则 p : q 的值为．x8．如右图，若输入的 a = -5.5，b = 2，c = -4 ，则执行该程序框图所得的结果是．9．已知大小、形状、颜色完全相同的 n （ n ∈ N * ）个乒乓球中有 5 个是次品，从中随机抽取 5 个加以检验，若 至 少 抽 到 3 个 次 品 的 概 率 是 P(0 < P < 1) ， 则 至 多 抽 到 2 个 次 品 的 概 率 是 ( 用 含 P 的 式 子 表⎧⎪x ≤ 313．问题“求不等式 3x + 4x ≤ 5x 的解”有如下的思路：不等式3x + 4x ≤ 5x 可变为 ( ) x + ( ) x ≤ 1 ，考察函数 f (x) = ( ) x + ( ) x可知，函数 f (x) 在 R 上单调递减，且 f (2) = 1 ，∴原不等式的解是 x ≥ 2 ．仿照此解( A ．| x | y | y |B ．C ．D ．+ = -1 的曲线即为函数 y = f ( x ) 的图像，对于函数 y = f ( x ) ，有如下结论：① f ( x ) 在 16 9 + = 1 确定．其中所有正确的命题序号是（ ）示)．10．已知实数 x ，y 满足 ⎨x + y - 3 ≥ 0 ，则 x 2 + y 2 的最小值是．⎪⎩x - y + 1 ≥ 0x 2 11．设 P 为双曲线- y 2 = 1虚轴的一个端点，Q 为双曲线上的一个动点，则 PQ 的最小值为．312．已知曲线 C ： x 2 + y 2 = 9 ( x ≥ 0, y ≥ 0) 与直线 x + y = 4 相交于点 A( x ，y )，B( x ，y ) ，则1 12 2x y + x y 的值为．1 2 2 13 45 53 4 5 5法可得到不等式： x 3 - (2 x + 3) > (2 x + 3)3 - x 的解是 ．14．若 f ( x ) =x x + 1， f ( x ) = f ( x ) ， f (x) = f 1 n n -1 [ f (x )](n ≥ 2，n ∈ N * ) ,则 f 1)+ f (2)+ … + f (2012 ) + f (1) + f (1) + + f 122012 (1) = ．二、选择题：（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案．考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．15．已知向量 a 、b 都是非零向量，“ a ⋅ b =| a | ⋅ | b | ”是“ a // b ”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分也非必要条件．16．将 y = sin 2 x 的图像向右平移π个单位，即得到 y = f ( x ) 的图像,则（6）ππA ． f ( x ) = sin(2 x - ) ．B ． f ( x ) = sin(2 x + ) ．6 6 ππC ． f ( x ) = sin(2 x - ) ．D ． f ( x ) = sin(2 x + ) ．3317．如图几何体由前 向后方向的正投影面是平面 EFGH ，则该几何体的主视图是（） EFx18．方程R 上单调递减；②函数 F(x) = 4 f (x) + 3x 不存在零点；③函数 y = f ( x ) 的值域是 R ；④若函数 g (x) 和 f ( x )HG的图像关于原点对称，则 y = g (x) 由方程y | y | x | x |16 9z+ = 1 的两焦点分别为 F 、F ， P 是椭圆在第一象限内的一点，并满足PF ⋅ PF = 1 ，4 2A ．①③．B ． ①④．C ．①③④．D ．①②③．三 、解答题：（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分 12 分）-3 x 2已知 p ： = (x - 1) + 4i (其中 x ∈ R ， i 是虚数单位 )的模不大于 5 ，和 q ： 2 x x < 3 ，若利用 1 0 0p 、q 构造一个命题“若 p ，则 q ”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由．20．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 7 分．如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， P A ⊥ 平面 ABCD ， P A = AD = 2AB = 2 ， E 是 PB 的中点． P （1）求三棱锥 P - ABC 的体积；（2）求异面直线 EC 和 AD 所成的角(结果用反三角函数值表示)．EAD21．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，每小题满分各 7 分．如图，两铁路线垂直相交于站 A ，若已知 AB =100 千米，甲火车从 A 站出BC发，沿 AC 方向以 50 千米/小时的速度行驶，同时乙火车从 B 站出发，沿 BA 方向以 v 千米/小时的速度行 驶，至 A 站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）． （1）求甲、乙两车的最近距离（用含v 的式子表示）；（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为t 小时，问 v 为何值时 t 最大？BA22．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第（2）小题满分 6 分，第（3）小题 满分 6 分．C已知椭圆 x 2 y 21 2 1 2过 P 作倾斜角互补的两条直线 P A 、PB 分别交椭圆于 A 、B 两点．（1）求 P 点坐标 ；（2）当直线 P A 经 过点 (1， 2) 时，求直线 AB 的方程； （3）求证直线 AB 的斜率为定值．23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分．如 图 ， 在 y 轴 的 正 半 轴 上 依 次 有 点 A 、A 、 、A 、 ， 其 中 点 A (0, 1) 、 A (0, 10) ， 且1 2 n 1 2| A A |= 3 | A A| (n = 2,3,4, ) ，在射线 y = x( x ≥ 0) 上依次有点 B 、B 、 、B 、 ,点 B 的坐标n -1 nnn +11 2 n1为（3，3），且 | OB |=| OB | +2 2 (n = 2,3,4, ) ．nn -1（1）求 | A A| （用含 n 的式子表示）；nn +1（2）求点 A 、 B 的坐标（用含 n 的式子表示）；nn（3）设四边形 A B Bn n n +1A n +1面积为 S ，问 { S } 中是否存在两项 S ，S (1< n < k , n 、k ∈ N) ，使得 S ，n n n k 1S ， S 成等差数列？若存在，求出所有这样的两项，若不存在，请说明理由．n kA n +1 A n yA 2B nB n+1B 2A 1B 1Ox闵行区 2011 学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1．本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分．2．14．；6．-110．文92，理a2+1-1学习必备欢迎下载2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．一、1．[0,3]；2；3．23；135．3；2；7．文16，理4；8．2（或b）；9．文1-P，理30；2，理2；11．文151a2+1；12．9；13．文x<-3，理x<-1或x>3；14．2012．二、15．A；16．C；17．D；18．D．三、19．解：由p得(x-1)2+42≤25⇒-2≤x≤4，-3x2由q得2x x<3⇒x2-2x-3≤0⇒-1≤x≤3，100由[-2，4][-，3]，即p⇒q，但q⇒p，∴命题“若p则q”是假命题而其逆命题“若q则p”是真命题．20．解：（文）（1）依题意，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高P A=2，BC=AD=2,AB=1（4分）（8分）（10分）（12分）（2分）∴S△ABC =12⋅2⋅1=1（4分）PEA DB C= 1 ⨯1⨯ 2 = 2 ． 于是在 Rt ∆CEB 中， BC = 2 ， BE = 1 PB = 1 1 + 2 = 5 2 2 2 ， tan θ = BE = 5 = 5 ∴异面直线 EC 和 AD 所成的角是 arctan 5 （或 arccos 4 21 0 0 0 = 2 = 2 , （6 分） sin α =0 2 4 ∴直线 EC 与平面 P AD 所成的角为 arcsin 6 ．1 GD 17 17 ，∴直线 EC 与平面 P AD 所成的角为 arctan 17 ．2学习必备欢迎下载故 V P - ABC3 3 （7 分）（2）∵ BC / / A D ,所以 ∠ECB 或其补角为异面直线 EC 和 AD 所成的角θ ， （2 分） 又∵ P A ⊥ 平面 ABCD ，∴ P A ⊥ BC ，又 BC ⊥ AB ，∴ BC ⊥ 面P AB ，∴ BC ⊥ PB ,2 2BC 2 ⨯ 2 4 ，4 21 ）．解：（理）（1）【解法一】分别以 AB 、AD 、AP 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立 空间直角坐标系，（4 分）（6 分）（7 分）依题意， AD = 4，AB = 2 ，则各点坐标分别是 A(0，，0) ， B(2，，0) ， C(2，4，0) ， D(0，4，0) ， P(0，，2) ，Pz∴ E(1，，1) ， F(1，，1) ， EC = (1， ，- 1) , 又∵ AB ⊥ 平面 P AD ，∴平面 P AD 的法向量为 n = AB = (2,0,0) ， （2 分） 设直线 EC 与平面 P AD 所成的角为 α ，则B yEC ⋅ n | EC | ⋅ | n | 18 ⋅ 2 6EAFCD x2 （7 分）【解法二】∵ P A ⊥ 平面 ABCD ，∴ CD ⊥ P A ，又 CD ⊥ AD ,P ∴ CD ⊥ 平面 P AD ，取 P A 中点 G ， CD 中点 H ，联结 EG 、GH 、GD ， G EF则 EG / / AB / /CD 且 EG =AB =1，2A∴ EGHC 是平行四边形，∴ ∠HGD 即为直线 EC 与平面 P AD 所成的角．（2 分）BC在 Rt ∆GAD 中， GD = 12+42= 17 ，HD在 Rt ∆GHD 中， tan ∠HGD =HD = 1 = 17（6 分）17 解：（2）【解法一】由（1）解法一的建系得， AF = (1， ，1) , AD = (0，4，0) ，设平面 AFD 的法向量为 n = ( x , y , z) ，点 P 到平面 AFD 的距离为 d ， 由 AF ⋅ n = 0 ， AD ⋅ n = 0 得 x + 2 y + z = 0 且 4 y = 0 ，取 x = 1 得 n = (1,0, -1) ，（7 分）AP ⋅ n = 2= 2 ，（2 分）= 1 ⨯ 2 2 ⨯ 2 = 4 ． （7 分） V = 1 ⨯ 1 ⨯ 4 ⨯ 2 ⨯ 2 = 4 ． （7 分） =1⨯1⨯1⨯P A ⨯AB ⨯AD =1⨯2⨯2⨯4=43 2 2 12则 d 2 = (100 - vt)2 + (50t)2 = (v 2 + 2500)t 2 - 200vt + 10000(0 ≤ t ≤ 100)100v < 100 ，v 2 + 2500 时， d v 2 + 即两车的最近距离是5000 v 2 + 2500 = 100 v + 2500 即当车速 v = 50 千米/小时，两车相距最近所用时间t 最大，最大值是1小时． 4 + 0 = 1 ， ⎪⎩ 4 + 2 = 1 ⇒ 3x 2 - 4( 2 + 1)x + 2 + 4 2 = 0 得， x = 2, x = 2 + 4即 x = 2 + 4 ，故 y = 2 2 - 1∴ d =n 2又 AF = FD = 6 ，∴ S△ AFD ∴ VP - AFD= 2 ⨯ 6 - 4 = 2 2 , （4 分）3 3 【解法二】易证 PE 即为三棱锥 P - AFD 底面上的高，且 PE = 2 ， （2 分） 底面 △AFD 边 AD 上的高等于 AE ，且 AE = 2 ， ∴ S = 2 2 （4 分）△ AFDP - AFD 3 2 3【解法三】依题意， EF // 平面 P AD ，∴ V = V = V = V P - AFDF -P ADE -P ADD -PAEV21． 解：（1）设两车距离为 d ，v（4 分）（7 分）（3 分）0 <v 2 + 2500 v∴当 t = 100v min = 50002500v 2 + 2500 千米；（7 分）（2）当两车相距最近时， t = 0100vv≤ 1 ，（3 分） 此时 v = 50 千米/小时．22． 解：（1）由题可得 F (- 2,0) ， F ( 2,0) ，12设 P ( x , y ) ( x > 0, y > 0)则 PF = (- 2 - x , - y ) ， PF = ( 2 - x , - y ) ，（5 分） （7 分）12∴ PF ⋅ PF = x 2 + y 2 - 2 = 1 ，（1 分）1 2 0 0∵点 P( x , y ) 在曲线上，则 0 0 x 2y 2 02（2 分）解得点 P 的坐标为 ( 2,1) ．解：（2）当直线 P A 经过点 (1， 2) 时，则 P A 的斜率为 -1，因两条直线 P A 、PB 的倾斜角互补，故 PB 的斜率为1，（4 分）⎧⎪ y - 1 = -x + 2 由 ⎨ x 2 y 2 1 2 3A3A3， （2 分）， y =- 2 2 + 1（4 分） B 2 x - 2 （6 分） 由 ⎨ x 2 y + 2= 1 2k 2 + 1 2k 2 + 1 2k 2 + 1 2k 2 + 12k 2 + 1B = 解：（1）| A A= , 且 | A A |= 10 - 1 = 9 ， （2 分）| A A | 33 3 3 |2 23 - |n +1 ，设四边形 A B B A ∆A n A n +1B n +1∆B n B n +1An由 S ， S ， S (1< n < k , n 、k ∈ N ) 成等差数列， 2( + 2 3 2 2 3同理得 x =B2 - 43 3∴直线 AB 的方程为 y =2 3解：（3）依题意，直线 P A 、PB 的斜率必存在，不妨设 BP 的方程为：y - 1 = k(x - 2)(k > 0) ．⎧⎪ y - 1 = k(x - 2)⎪⎩ 4 2得 (2 k 2 + 1)x 2 - 4k ( 2k - 1)x + 4k 2 - 4 2k - 2 = 0 ， （2 分）4k ( 2k - 1) 2 2k 2 - 4k - 2设 B( x , y ) ，则 2 + x = ， x = ，B B B B2 2k 2 + 4k - 2 8k同理 x = ，则 x - x =A AB ，4 2k同理 y - y = -k ( x + x - 2 2) = ． （4 分）A B A B所以： AB 的斜率 k AB y - y 2= A 为定值． （6 分）x - x 2AB23．| 1 n n +1 1 2n -1n1 1 1∴ A A|=| A A | ( ) n -1 = 9( ) n -1 = () n -3 （4 分）n n +11 2解：（2）由（1）的结论可得| A A | + | A A | ++ | A A | = 9 + 3 + 1 +1 223n -1n1 27 1 1+ ( )n -4 = - ( )n -43 2 2 3（2 分）∴ 点A 的坐标 (0, 29 1 ( 1 )n -4) ， （3 分）n| OB | - | OB |= 2 2 （ n = 2,3,）且 | OB |= 3 2nn -11∴{| OB |} 是以 3 2 为首项， 2 2 为公差的等差数列（5 分） n ∴ OB |= 3 2 + (n -1)2 2 = (2n + 1) 2 ∴ B 的坐标为 (2n + 1,2n + 1) ．（6 分）n解：（3）（文）连接 A Bnn n n +1 n +1则 S = S+ Snn的面积为 S ， n1 1 1 29 1 1 2= [( )n -3 ] ⋅ (2n + 3) + ⋅ 2 2 ⋅[ - ( )n -4 ]2 3 2 2 2 3 2 29 n = + 2 3n -3（2 分）1nkn -3k -329n 29 29 k ) = ( + 9) + (+) 即 k = 2 ⋅ 3k (n 3n 1- ) ，①（4 分）6∵ n + 1 n 1 - 2n - =3n +1 3n 3n +1< 0 ，⎧ n ⎫∴ ⎨ ⎬ 是单调递减数列．⎩ 3n ⎭∆A n A n +1B n +1 + S ∆B n B n +1A n< 0, 即S 3 S S ⎬ 是单调递减数列．当 n ≥ 3 时， ∵ n + 1 - n = 1 -2n < 0 ， ∴数列{ } 是递减数列，m = 3m ≥ 2(m + 1) ≥ 2n综上所述，在数列{S } 中，有且仅有 S ， S ， S 成等差数列． （8 分）当 n ≥ 3 时， n 1≤ ，①式右边小于 0，矛盾， （6 分）3n 9当 n = 2 时，得 k = 3k -2 ，易知 k = 3 是唯一解，∴ S ， S ， S 成等差数列．1 2 3即当 n ≥ 3 时，{S } 中不存在 S ， S ， S 三项成等差数列．n 1 n k综上所述，在数列{S } 中，有且仅有 S ， S ， S 成等差数列． （8 分）n1 2 3（理）连接 A B，设四边形 A B BA 的面积为 S ，nn +1 n n n +1 n +1n则 S = Sn1 1 1 29 1 12 29 n = [( )n -3 ] ⋅ (2n + 3) + ⋅ 2 2 ⋅[ - ( )n -4 ] = + 2 3 2 2 2 3 2 2 3n -3（2 分）不妨设 S ， ， (1≤ m < n < k ，m 、n 、k ∈ N) 成等差 数列，m n k1 - 2n又 S - S =< S , n +1 n n -2n +1 n ∴ {S } 是单调递减数列．n∴ S 是等差中项，即 2S = S + S ，n n m k 29 n 29 m 29 k 2n m k∴ 2( + ) = ( + ) + ( + ) ，即 = +2 3n -3 2 3m -3 2 3k -3 3n 3m 3k①当 m = 1, n = 2 时，得 k = 3k -2 , k = 3 是唯一解， ∴ S ， S ， S 成等差数列（4 分）1 2 3n 1 ②当 m = 1， n ≥ 3 时，即 k = 2 ⋅ 3k ( - ) ，①3n 6 ∵ n + 1 n 1 - 2n - =3n +1 3n 3n +1< 0 ，⎧ n ⎫∴ ⎨ ⎩ 3n ⎭n 1 ≤ ，3n 9①式右 边小于 0，矛盾，（6 分）③当 m ≥ 2 时， 2S = S + S 不可能成立． n mk3n +1 3n 3n +1n3n当 m ≥ 2 时， 3m ≥ 2(m + 1) ，由 2 ≤ m < n < k （ m 、n 、k ∈ N ）知， n ≥ m + 1 ∴ 3m 3m +1 3m +1 3n （当且仅当 m = 2，n = 3 时等号成立）∴ m k 2n + >3m 3k 3n对任意 2 ≤ m < n < k （ m 、n 、k ∈ N ）恒成立，即当 m ≥ 2 时，{S } 中不存在不同的三项恰好成等差数列．nn12 3。

上海市闵行区高考二模数学文科试题

上海市闵行区高考二模数学文科试题

闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷（文科）说明：本试卷共有23道题，共4页.满分150分，考试时间120分钟.一、填空题：（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4分，否则一律得零分.1•不等式1 <2^<8的解是 ____________ .3.在等差数列:a n} 中，a 3 = 3,= 5，贝U a n = ________ 4.已知复数z i . （ i 为虚数单位），则z z -丁2 +i5.已知两条直线l 1 : ax-2y-3=0，12 : 4x ，6y —1=0 .若l 1的一个法向量恰为l 2的一个方向向量,贝 H a = ______ .6. _______________________________________________ 函数 y =cos 2x ■ .3sin xcosx 的最小值为 .7.二项式（33x ，丄）4的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为 q ，则p:q 的值为 _____________x&如右图，若输入的 a = -5.5, b = 2, c = -4，则执行该程序框图所得的结果是 _____________________ 9.已知大小、形状、颜色完全相同的n （ n ，N ）个乒乓球中有5个是次品，从中随机抽取5个加以检验, 若至少抽到3个次品的概率是P （0 ”： P ”： 1）,则至多抽到2个次品的概率是（用含P 的式子表2.计算lim n _ac2 3 ||( • nn(n 2)示) _________ .x _ 310. ____________________________________________________________ 已知实数x, y 满足 x • y -3_0，则x 2 y 2的最小值是 ______________________________________________________ .x - y +1 兰02x11. 设P 为双曲线一 -y 2 =1虚轴的一个端点，Q 为双曲线上的一个动点，贝U PQ 的最小值为32 212. 已知曲线 C : x y =9(x_0,y_0)与直线 x ，y=4 相交于点 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2)，贝UX°2 - X 2『1的值为 __________ .13 •问题“求不等式3x - 4^ 5x 的解”有如下的思路：不等式 3x - 4^ 5x 可变为(|)x (4)x 乞1，考察函 数f(x) =(|)x (|)x 可知，函数f(x)在R 上单调递减，且f(2)=1 ,•••原不等式的解是 X — 2 .仿照此解 法可得到不等式：x^(2x 3) (2x3)^x 的解是 _______________________________________________________ .14•若 f (x) x , f 1(x) = f (x) , f n (x) = f n_j 〔f x 1 n — 2 n N * ,则 f 1 f 2…x +1f 2012 f 1 1f 2 1 •山f 2012 1 = ________ .二、选择题：(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题 纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.4 斗斗斗 T 4 415•已知向量a 、b 都是非零向量，“ ab=|a 「|b|”是“ a//b ”的()A .充分非必要条件；B .必要非充分条件；C .充要条件；D .既非充分也非必要条件.7116.将y =sin 2x 的图像向右平移个单位，即得到6JIA . f (x) =sin(2x ).6C . f (x)二 sin(2x ).3y = f (x)的图像，则( )31B . f (x)二 sin(2 x ). 6TtD . f (x)二 sin(2x).317 .如图几何体由前 向后方向的正投影面是平面EFGH ，则该几何体的主视图是(A 18 .方程x| x| . y 丨 yI169 B .二-1的曲线即为函数 C . D .y = f(x)的图像，对于函数y = f (x)，有如下结论：①f (x)在R 上单调递减；②函数F(x^4f(x) 3x 不存在零点；③函数y = f(x)的值域是R :④若函数g(x)和f(x)的图像关于原点对称，则y = g(x )由方程 专古|■ &9灯=1确定.其中所有正确的命题序号是( F)EHG19. （本题满分12分） 已知p ： z =（x _1） • 4（其中X • R , i 是虚数单位）的模不大于5，和q ： p 、q 构造一个命题“若 p ，则q ”试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由.20. （本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各 7分.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA _平面ABCD ，PA =： AD = 2AB =： 2，E 是PB 的中点. （1） 求三棱锥P - ABC 的体积；（2）求异面直线EC 和AD 所成的角（结果用反三角函数值表示）.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各 7分.如图，两铁路线垂直相交于站 A ，若已知AB=100千米，甲火车从 A 站出 发，沿AC 方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从 B 站出发，沿BA 方向以v 千米/小时的速度行 驶，至A 站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）（1）求甲、乙两车的最近距离（用含 V 的式子表示）； （2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题 满分6分.x 2 yt t已知椭圆1的两焦点分别为 片、F 2，P 是椭圆在第一象限内的一点，并满足 PF 「PF 2=1，4 2过P 作倾斜角互补的两条直线 PA 、PB 分别交椭圆于 A B 两点. （1） 求P 点坐标;（2） 当直线PA 经过点（1, ■ 2）时，求直线 AB 的方程； （3）求证直线 AB 的斜率为定值.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8 分.如图，在y 轴的正半轴上依次有点A 、A 2、|l|、代、、1，其中点A （0,1）、 A ＞（0, 10），且 | AzA n |=3|A n A n1I （n = 2,3,4,），在射线 y =x （x — 0）上依次有点 B/l ］、B n ^，点 B 1 的坐标为（3，3），且 |OB n 円OB n4|+2』2 （n= 2,34 …）. （1）求| A n A n 1 | （用含n 的式子表示）； (2) 求点 A 、B n 的坐标(用含n 的式子表示)；A .①③.B .①④.C .①③④.D .①②③.三、解答题：（本5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的x 22 x x v 3，若利用1 0 0t 0小时，问V 为何值时t 0最大?D(3)设四边形A n B n B n 1代1面积为&，问｛ S.｝中是否存在两项S n，S k (仁：n ::：k,n、Q N)，使得S,，S n，S k成等差数列？若存在，求出所有这样的两项，若不存在，请说明理由.闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷参考答案与评分标准说明：1 •本解答仅列出试题的一种或两种或三种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分.2 •评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.1 0,31;12.23. 23;4.5. 3 ;6.7.文16,理4;8. 2 （或b ）；9.文1 -P，理30；10.文9，理、；11 .文，理J a2+1 -一^1—;2 \ a +112. 9;13 .文x ：：： -3，理x ：：： -1 或x 3;14. 2012.15.A;16. C ;17. D ;18. D .19.解：由p得（x_1）2 42 _25二-2_x_4,-3x2 由q 得2 x xv3n x2—2x —3兰0= —1Ex^3 ,1 0 0由[-2 4]Y [-1,3]，即p = q，但q= p ,二命题若p则q ”是假命题而其逆命题若q则p ”是真命题.20.解：(文)(1 )依题意，PA —平面ABCD，底面ABCD是矩形,高PA=2 , BC=AD=2,AB=11…S A ABC 2 1=1（4分）（8 分）（10（4分）故 V P _ABC =^3^1= .（ 7 分）（2 ）••• BC//AD ,所以.ECB 或其补角为异面直线 EC 和AD 所成的角（2分） 又pA _ 平面 ABCD ,••• PA _ BC ，又 BC _ AB ,••• BC _ 面 PAB ,• BC _ PB ,于是在 Rt. CEB 中，BC=2 , BE =2P B =； J 2 22 二当, （4 分）心2=器=/2召，（6分）•••异面直线EC 和AD 所成的角是arctan 窄（或arccos 4^1）.（7 分）4 21•直线EC 与平面PAD 所成的角为• CD _ PA ，又 CD _ AD , ••• CD _ 平面 PAD ,取PA 中点G , CD 中点H ，联结EG 、GH 、GD ,1则 EG II AB II CD 且 EG 二丄 AB=1 ,2-EGHC 是平行四边形，•HGD 即为直线EC 与平面PAD 所成的角.(2 分) 在 Rt GAD 中,GD = 12+42=、17,在 Rt GHD 中，tan HGD 二器=二寺， •直线EC 与平面PAD 所成的角为arctan^ .解：(2)【解法一】由(1 )解法一的建系得，科AF =(1, 2 , 1),AD =(0, 4 , 0),设平面AFD 的法向量为n =(x,y,z)，点P 到平面AFD 的距离为d , T ■+ T 彳 由 AF n = 0 , AD n = 0 得 x 2y z=0 且 4y=0,取 x =1 得 n =(1,0,-1),解：(理)(1)【解法一】分别以 AB AD 、AP 为 x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 依题意，AD =4, AB =2 , 则各点坐标分别是 A （0, 0 0）, D （0, 4, 0） , P （0, 0 2）,— • E （1 0 1）, F （1 2 1） , EC 又• AB _平面PAD , I••平面PAD 的法向量为n =.._ 设直线EC 与平面 iC EC 平面sin :I EC| 1 n|B （2, 0 0）, 0（2, 4, = （1,4, -1）, n = AB PAD 所成的角为 _ 2 72 _718 2 _ "6，= （2,0,0）, :•，则 （6分）（2 分） 【解法二】• PA_ 平面 ABCD ,（6分）（7分）D21. 解：（1）（2）••• d 二又AF =FD…AFD=-22- 2 , （2分）6 ,=2 .，口=2 2,• V p 公FD =3 2 2 2=4 -【解法二】易证PE即为三棱锥P-AFD底面上的高，且PE = ；2 , _底面△ AFD边AD上的高等于AE，且AE =柩,•S^ AFD =21 1 4V PMD =3 2 42、2=3 .【解法三】依题意，EF //平面PAD ,•V p丄FD 二V F _PAD =V E _PAD =V D _PAEV D_PAE =3 11 PA I l AB l I AD =1 2 2 4 詔-322 12 3设两车距离为d,则d2=（100 —vt）2（50t）2=（v2 2500）t2 -200vt 10000（0^20. 100v 1000它議P，•当t —100v时d —5000•当t —v2 2500 时，d讪一..v7 2500即两车的最近距离是-25000千米；&2 +2500100v v22500当两车相距最近时，t0此时v =50千米/小时.即当车速v=50千米/小时，两车相距最近所用时间t0最大，最大值是1小时.（4分）（7 分）（2 分）（4分）（7 分）（4分）（7 分）（3 分）（7 分）（3 分）（5分）（7 分）22.解：（1）由题可得已（-\2,0）, F2（.2,o）,设卩。

上海闵行区高三数学质量监控考试试卷文科及答案

上海闵行区高三数学质量监控考试试卷文科及答案

2008 学年第一学期闵行区高三质量监控考试数学试卷（文科）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸大将学校、班级、学号、姓名等填写清楚．2．本试卷共有 21 道题，满分150 分，考试时间 120 分钟．一 . 填空题（本大题满分60 分）本大题共有 12 题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 5 分，不然一律得零分．1．设全集U1,2,3,4,5，会合 A1,2,3 ， B2,3,4 ，则 e U A I B. 2．在等比数列{ a n}中，a28 ， a164 ，则公比q为.3．不等式| 3x2| 1的解是.4．已知点Z是复数z2i在复平面内对应的点，则点Z 在第象限 .1i5．函数f ( x)log 2 ( x1)的反函数是 f 1 ( x).6．在( x1)6的二项睁开式中，中间项的系数是.7．已知圆锥的底面积为，母线长为2，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是.8．依据右边的框图，打印的最后一个数据是.开始9．已知数列{ a n}是以13为首项，以 2 为公差的等差数列，A←3 S n是其前 n 项和，则 S n的最大值是.A← 2A+1 10．四位同学各自制作了一张贺卡，分别装入 4 个空白信封打印内，这四位同学每人随机地抽取一封，则恰巧有一人是A＜ 60抽取到的贺卡是其自己制作的概率是.否11．已知x是1、 2 、x、 4 、 5 这五个数据的中位数，又知结束15、 1 、y这四个数据的均匀数为3，则x y最、x小值为.12．若对于 x 的不等式 x 21 x ( 1 ) n 0 对随意 n N 在 x (, ] 恒建立，则实常数2 2的取值范围是.二 . 选择题（本大题满分16 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案，选对得 4 分，答案一定涂在答题纸上．考生应将代表答案的小方格用铅笔涂黑，注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不可以错位．13．某人在商场一次性购置了20 斤大米和 10斤食用油，大米的价钱是 1.9 元／斤，食用油的价钱是 15元／斤，则购置这两种商品的总花销能够用以下各式计算获得的是[ 答（]）(A)201520(C) 20 10.(D)10 . 10. (B).15 2010151514 ym log n x 的图像，此中 m 、 n 为常数，则以下结论正确的选项是．如图为函数y[ 答]（ ）(A) m 0 ， n 1 . (B)m 0 ， n 1 .1 2(C)m0 ， 0n1.(D)m0 ， 0 n 1.Ox15．给定空间中的直线l 及平面，条件“直线 l 与平面内无数条直线都垂直”是“直线 l 与平面垂直”的[答]（）(A) 充足非必需条件 . (B) 必需非充足条件 .(C)充要条件 .(D) 既非充足也非必需条件 .uuuur16．如图， 一质点 A 从原点 O 出发沿向量 OA 1(2,0) 抵达点 A 1 ，再沿 y 轴正方向从点 A 1uuuuruuuuruuuur行进 1| OA 1 | 抵达点 A 2 ,再沿 OA 1的方向从点 A 2 行进12 | OA 1 | 抵达点 A3 ,再沿 y 轴正21 uuuur2方向从点 A 3 行进 |抵达点 A 4 ， L ，这样无穷行进下去，则质点 A 最后抵达3 | OA 12的点的坐标是[答]（ ）42yA 4(A)(4 2n,22n ) .(B) (4, 2) .A 2(88n ,44n ) .(8,4). A 3(C)(D)3 34 3 3 43 3OA 1 (2,0)x三 . 解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答以下各题一定在答题纸上与题号对应的地区内写出必需的步骤．17.（此题满分 12 分）D 1C 1如图，直四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是直A 1B 1角梯形， AB // DC ，AD AB ，且 AD DC 2 ，AB3 ，求异面直线 D 1C 1 与 DB 所成角的大小（结果用反三角函数值D C表示） .AB18.（此题满分 14 分）某医药研究所开发一种新药，据监测：服药后每毫升血液中的含药量f ( x) 与时间 x 之间知足如下图曲线． 当 x [0, 4] 时，所示的曲线是y (微克 )二次函数图像的一部分，知足4f ( x)1( x 4) 2 4 ，当 x (4,19] 时，所示的曲4线是函数 y log 1 ( x3) 4 的图像的一部分．据测x2定：每毫升血液中含药量许多于1微克时治疗疾病有O419 (小时 )效．请你算一下，服用这类药一次大体能保持多长的有效时间？(精准到 小时 )19.（此题满分 14 分）此题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．已知角的极点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点 P( 3, 3) ．sintan （ 1）求队列式的值；1cos（ 2）若函数 f ( x) cos(x )cos sin( x )sin ( x R )，求函数 y3 f ( 2x) 2 f 2 ( x) 的最大值，并指出取到最大值时 x 的值．220.（此题满分16 分）此题共有 3 个小题，第1、 2 小题满分各 4 分，第 3 小题满分8 分．r2r(3, x) ， f ( x)r r已知向量 a (x1, p 2) ， b a b ，p是实数．（ 1）若存在独一实数r r r(1, 2) 平行，试求p 的值；x ，使 a b 与 c（ 2）若函数y f ( x) 是偶函数，试求函数 f ( x) 在区间 [1, 3] 上的值域；（ 3）已知：函数 f (x) 在区间[1 , ) 上是增函数，：方程 f (x)p 有小2于 2 的实根．试问：是的什么条件（指出充足性和必需性）？请说明原因．21.（此题满分18 分）此题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第题满分 10 分．第 3 小题依据不一样思想层次予以不一样评分．2 小题满分 5 分，第3 小对于函数y f ( x)，定义：若存在非零常数M 、T，使函数 f (x) 对定义域内的随意实数x ，都知足 f (x T ) f ( x)M，则称函数y f (x)是准周期函数，常数T 称为函数 y f (x)的一个准周期．如函数 f (x)x ( 1)x(x Z )是以T 2 为一个准周期且M 2 的准周期函数．(1)试判断 2 是不是函数 f (x) sin x的准周期，说明原因；(2)证明函数 f ( x) 2x sin x 是准周期函数，并求出它的一个准周期和相应的M 的值；(3)请你给出一个准周期函数（不一样于题设和 (2) 中函数），指出它的一个准周y 5期和一些性质，并画出它的大概图4像．321-5 -4 -3 -2 -1O123 4 5 x-1-2-32008 学年第一学期闵行区高三质量监控考试数学试卷（文科）参照答案和评分标准一、填空题： （每题 5 分）1.1,4,5 ；2.1 ；83. (1,1) ；34. 四；5. f1( x) 2x 1；6.20；7. 60o；8. 63 ；9. 49 ； 10.1 ； 11. 101；12.， 1 .32二、选择题： （每题 4 分） 13. C ； 14. D ； 15.B ； 16. D .三、解答题：17.（此题满分 12 分）解法一： Q 直四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， D 1C 1 // DC // AB ，(3 分)∴ABD 的大小即为异面直线D 1C 1 与 DB 所成的角的大小，(6 分)在 Rt ABD 中， AD 2， AB3∴ tanABDAD2 (10 分)AB 3∴BDCarctan 2，即异面直线 D 1C 1 与 DB 所成的角的大小为 arctan 2． (12 分)33 解法二： Q 直四棱柱 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， D 1C 1 // DC ，(3 分)∴BDC 的大小即为异面直线D 1C 1 与 DB 所成的角的大小，(6 分)作 CE AB 于 E ，由已知条件及平面几何知识，得：DC 2， BD13， BC 5 ，在BDC 中，由余弦定理得：22 ( 13)2 ( 5)23 13 cos BDC2 2 13(10 分)13∴ BDC arccos3 1313即异面直线 D 1C 1 与 DB 所成的角的大小为arccos313 (12 分)1318.（此题满分 14 分）x 4由1( x 4)24 ，解得： 4 2 3 x 4①(4 分)144 x 19，解得： 4 x 11(8 分)由log 1 ( x 3)4②12由①、②知： 4 2 3 x 11 ，(10 分)Q 11 (4 2 3) 10.5 ，(12 分)∴服用这类药一次大体能保持的有效时间为小时． (14 分)19. （本体满分 14 分）（ ） Q 角 终边经过点 P( 3, 3) ，1∴ sin 13， tan3 ．（3 分）， cos232sintan sin costan33 3 （6 分）1cos4312（2） Q f ( x)cos( x )cos sin( x )sincos x ( xR )，（2 分）∴函数 y3 cos(2 x) 2cos 2 ( x)23 sin 2x 1 cos2x2sin(2 x) 1( x R )，（4分）6∴ y max 3 ，（6分）此时 x k (k Z ) ．（8 分）620.（此题满分 16 分）r( x 2 rr r(x 24, x p 2) ,(1) Q a1， p 2) ， b(3 ， x) ，∴ a br r r4) x p 2 ，又 Q a b 与 c (1,2) 平行，∴ 2( x 2即 2x 2x p 6 0 ，（2 分）由题意知方程 2 x 2 xp 6 0 有两个相等的实根，∴1 8(6p)47（4 分）0 ，∴ p．8(2) Q f (x)r r 3x 2 ( p2) x 3 是偶函数，a b∴p 20 ，∴ p2 ，（2 分）6∴ f ( x) 在 [ 1,3] 上的值域是 [3,30] ．（4 分）(3) 由 ：函数 f ( x) 在区间 [1 , ) 上是增函数，知p 21 ，262∴ p 1，记 A [1,) ，（3 分）由，即方程 3x 2 ( p 2) x 3 p0有小于 2 的实根，∴ p3x 2 2x 3 ，且 x2 ，1 xQ p3x 2 2x 33(1 x)8 8 （ x 2 ）的值域为 11 ,，1 x1 x3∴ p11，记 B (11,) ，（6 分）33Q BA ，∴是 的必需不充足条件．（8 分）21.（此题满分 18 分）(1) Q f ( x)sin x ，∴ f ( x 2 ) f (x) sin( x 2 ) sin x sin x sin x 0 ，上海闵行区高三数学质量监控考试试卷文科及答案∴ 2 不是函数 f (x)sin x 的准周期．（ 3 分）(2) ∴ f ( x 2 ) f ( x) [2( x 2 ) sin( x 2 )] (2 x sin x)2x 4sin x 2x sin x 4（非零常数）， （3 分）∴函数 f ( x)sin x 是准周期函数， T 2 是它的一个准周期，相应的M 4 ．（5 分）(3)①写出一个不一样于题设和 (2)中函数， 如 y3x sin x, y 2x ( 1)x , y 2x 3sin x ， y [ x] 等 得 1 分y kx b(k 0) ， y (kx b) Asin( x ) ，y (kx b) Acos( x) ， L ，或其余一次函数（正比率函数）与周期函数的线性组合的详细形式，得3 分②指出所写出函数的一个准周期，得 2 分③指出它的一些性质，如定义域、值域、奇偶性、单一性、最值、L ，(写出一条得 1 分，两条以上得 2 分，能够不证明 )④画出其大概图像． 得 3 分部分参照图像：66444222-5510-51552010 -51520525101520-2-2-2-4-4-4-6-6-8-8-10g xx+sin x+g x = 2 x+1+2 sin 2 x+3g x = x+sinx+-1033-1266444-18222-5510-51520510-51520251015-2-2-2-4-4。

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闵行区2015-2016学年第二学期高三年级质量调研考试数 学 试 卷（文科）考生注意：1．本试卷共4页，23道试题，满分150分。

考试时间120分钟。

2．本考试分设试卷和答题纸。

试卷包括三大题，第一大题为填空题，第二大题为选择题，第三大题为解答题。

3．答卷前，务必在答题纸上填写学校、姓名、准考证号。

4．作答必须涂或写在答题纸上，在试卷上作答一律不得分。

第二大题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，第一、第三大题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数3log (1)y x =-的定义域是 . 2．集合{}2|30A x x x =-<，{}2B xx =<，则 A B 等于 .3．若复数1i 11i2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 .4．已知函数3log 1()21x f x =，则1(0)f -= . 5．若一个圆锥的母线长是底面半径的3倍，则该圆锥的侧面积是底面积的 倍. 6．平面向量a与b的夹角为60︒，1a = ，(3,0)b =，则2a b +=.7．在ABC △中，AB =A =45︒，60C =︒，则BC = . 8．若na 为()1n x +的展开式中的2x 项的系数，则22lim1nn a n →∞=+ . 9．若0m >，0n >，1m n +=，且1t m n+（0t >）的最小值为9，则t = .10．设点(,)x y 满足y x≥且2y x ≤-+，则6z x y=-的最大值为 .11．若AB 是圆22(3)1x y +-=的任意一条直径，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为．12．从集合{}0,1,2,3的所有非空．．子集中，等可能地取出一个，则取出的非空子集中所有元素之和恰为5的概率为 . 13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，22|2|n S n a n =+-（n ∈*N ），数列{}n a 为递增数列，则实数a 的取值范围 .14． 若两函数y x a =+与y =A 、B ，O是坐标原点，当OAB △是直角三角形时，则满足条件的所有实数a 的值的乘积为 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．如果a b >，那么下列不等式中正确的是（ ）. (A)11a b> (B)22a b > (C)()()lg 1lg 1a b +>+ (D)22a b >16．若一个正三棱柱的主视图是如图所示的两个并列的正方形，则其侧面积．．．等于（ ）. （A）（C ）6 (D) 217．平面上有两个定点A B 、和动点P ，2PA PB =，则动点P 的轨迹为（ ）.（A ）椭圆 (B)圆 （C ）双曲线 (D) 抛物线18．将函数()2sin 2f x x =的图像向右平移ϕ（0ϕπ<<2）个单位后得到函数()g x 的图像 ． 若对满足12()()4f x g x -=的12x x 、，有12x x -的最小值为π6．则ϕ=（ ）.（A ）π6(B)π4（C ）π3(D)5π12三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．ABC DPPABCDE19.（本题满分12分）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 如图，在直角梯形PBCD 中，//PB DC ，DC BC ⊥，22PB BC CD ===，点A 是PB 的中点，E 是BC 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，使得PA AB ⊥．（1）求异面直线PC 与AE 所成角的大小； （2）求四棱锥P AECD -的体积．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．为了配合今年上海迪斯尼游园工作，某单位设计了统计人数的数学模型()n ∈*N ： 以8122002000,(18)()36033000,(932)32400720,(3345)n n n f n n n n -⋅+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-⋅≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以0,(118)()5009000,(1932)8800,(3345)n g n n n n ≤≤⎧⎪=⋅-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定以15分钟为一个计算单位，上午9点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；9点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午9点到晚上8点15分分成45个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试计算当天14点至15点这一小时内，进入园区的游客人数(21)(22)(23)(24)f f f f +++、离开园区的游客人数(21)(22)(23)(24)g g g g +++各为多少？（2）假设当日园区游客总人数达到或超过8万时，园区将采取限流措施．该单位借助该数学模型知晓当天16点（即28n =）时，园区总人数会达到最高，请问当日是否要采取限流措施？说明理由．22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分．已知椭圆Γ：22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点． （1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥， 求证：2211OA OB +为定值；（3） 设点C 在椭圆Γ上运动，OC OD ⊥，且点O 到直线CD 的距离为常数D 的轨迹方程．23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分．已知n ∈*N ,数列{}n a 、{}n b 满足:11n n a a +=+,112n n nb b a +=+,记24n n n c a b =-．（1）若11a =，10b =，求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）证明：数列{}n c 是等差数列；（3）定义2()n n n f x x a x b =++，在（1）的条件下，是否存在n ，使得()n f x 有两个整数零点，如果有，求出n 满足的集合，如果没有，说明理由．参考答案与评分标准一、填空题（第1题至第14题）每题正确得4分，否则一律得0分．1．()1,+∞；2．()-；3．2；2,34．9；5．3；67．1；8．1；9．4；2；10．5；11．8；12．1513．11-；14(,)22二. 选择题（第15题至18题）每题正确得5分，否则一律得0分．15．D；16．C；17．B；18．CPAB CDEF 三、解答题（第19题至23题） 19.（本题满分12分） 解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos 2cos x x = (3)分解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； (9)分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i或31i 42-． ……………12分20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分． 解：（1）取AD 中点F ，连CF ，则//CF AE PCF ∠是异面直线PC 与AE 所成角（或补角） (1)分PCF△中,CF AE ==PF PC =3分cos 2PCF ∠== ……………5分所以异面直线PC 与BD 所成角为6π．…………7分（2）易知：四棱锥P AECD -的高1PA =,底面四边形为直角梯形，其面积231)21(21=⨯+=AECD S …………………………………10分∴2131=⋅⋅=-PA S V AECD AECD P ， ………………………………12分 从而四棱锥P AECD-的体积为12． …………………………………14分21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分．解：（1）当天14点至15点这一小时内进入园区人数为(21)(22)(23)(24)f f f f +++1314151612121212360[3333]30004=⨯++++⨯17460≈（人） …………………3分 离开园区的人数(21)(22)(23)(24)=9000g g g g +++（人） ………………6分 （2）当天下午16点（28n =）时进入园区人数为28[(1)(2)(8)][(9)(10)(28)]S f f f f f f =+++++++1201212112873603(31)[22008200][]2(31)⨯⨯⨯-=⨯+⨯+-300020+⨯ 2320021563.560000104764=++≈（人） ………10分 此时，离开园区的人数28(19)9(20)(28)T g g =+++ 109500105002⨯=⨯+⨯27500=人………12分此时，园区共有游客为282877264S T -=（人） ………13分 因为7726480000<，所以当天不会采取限流措施． ………14分22．（本题满分16分）本题共有3个小题,第(1)(2)小题满分各5分,第(3)小题满分6分． 解：（1）由条件可得b c ==，2a =， …………………………3分 椭圆Γ的方程为22142x y +=．………………………………………………………5分（2）设00(,)A x y ，则OB 的方程为000x x y y +=，由2y =得002(,2)y B x - (7)分∴22222000201111=44y OA OB x y x ++++22002222000044=4()4(2)2x x x x y x ++=++-12=．…10分（3）设00(,),(,)C x y D x y ，由OC OD ⊥得000x x y y += ①又C 点在椭圆上得：2200142x y +=② 联立①②可得222200222244,22y x x y x y x y ==++③ …………………………12分由OC OD ⊥得OC OD ⋅，即2222=3(+)OC OD OC OD ⋅可得22111=3OC OD +， ……………………………………………………………14分 将③代入得：222222001111OC OD x y x y +=+++22222222222211241=444()322x y x y x y x y x y x y ++=+=+++++. 化简得D点轨迹方程为：221126y x -=．……………………………………………16分23．（本题满分18分）本题共有3个小题,第(1)小题满分6分,第(2)小题满分5分，第(3)小题满分7分． 解：（1）n a n =， ………………………………………………………………2分1122n n n n nb b a b +=+=+，∴由累加法得121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+- (4)分1(1)0[12(2)(1)]24n n n n -=+++⋅⋅⋅+-+-=．……………………………………6分 （2）221114(4)n n n n n n c c a b a b +++-=---……………………………………………8分221(1)4()(4)12n n n n n a a b a b =+-+--=∴{}n c 是公差为1的等差数列．……………………………………………………11分 (3)由（1）（2）得24n n n c a b n =-=， (12)分函数的零点为2n x -==，要想为整数，则n 必为完全平方数，不妨设2()n m m =∈*N ，此时()2122m m m m x -±-±==， (14)分又因为1m m ±与是连续的两个整数，∴ (1)m m -±能被2整除， 即函数的零点()2122m m m m x -±-±==为整数，………………………………16分∴所求n的集合为{}2|,n n m m =∈*N .……………………………………………18分。

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