应用统计-第04章-抽样与抽样分布
统计学-抽样分布与抽样方法
保持不变，每一次抽样中各总体单位被抽到的机会 都相同，每次抽样结果相互独立。 ②每一总体单位都有被重复抽取的可能。
5.2 抽样调查的方法
一、两种抽样方式（续）：
(2)不重复抽样 ——也称不放回抽样，指被抽到的单位不再放回总
体，每次仅在余下的总体单位中抽取下一个样本的 抽样方法。 特点： ①任一总体单位都不会被重复抽到； ②每次抽样结果都受到以前各次抽取结果的影响，因 此各次抽取结果是不独立的； ③可以一次抽取所需要的样本单位数。 ❖ 在实际应用中通常采用的都是不重复抽样方法。
总体
群1
群2
…… 群k
个体1 个体2 个体3 个体4 个体5 个体6
5.2 抽样调查的方法
3.整群抽样
❖特点：
▪ 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 ▪ 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便
调查的实施 ▪ 当群中的元素差异性大时，整群抽样得到的
结果比较好。在理想状态下，每一群是整个 总体小范围内的代表。如对人口普查资料进 行复查，就采用整群抽样的方式。
5.1 抽样调查的概念、特点和作用
五、全及总体和抽样总体 ❖全及总体，简称总体，是指所要认识对象的全
体，是许多同质性单位的集合。通常用大写字 母N来表示（容量）。 ❖抽样总体，简称样本，是从全及总体中随机抽 取出来，代表全及总体部分单位的集合。通常 用小写字母n来表示（容量） 。
▪ 样本容量(Sample size)：样本中所含个体的数量。分为 大样本(>30)、小样本(<30)。
▪ 样本个数：又称为样本可能数目。是指从一个总体中可以 抽取的样本个数。
5.2 抽样调查的方法
第四篇抽样和分布(药学)课件
目 录
• 抽样的基本概念 • 分布的基本概念 • 抽样分布 • 药学中的抽样和分布
contents
01 抽样的基本概念
抽样的定义
抽样是从总体中选取一部分个体 进行观察或测量，以获得对总体
特性的代表性数据的过程。
抽样是一种统计学方法，用于估 计总体参数、检验假设或进行预
抽样分布是统计ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中描述样本统计量的分布规律的重要概念。
抽样分布的性质
随机性
每次从总体中抽取的样本 统计量都是随机的，具有 不确定性。
稳定性
当样本量足够大时，样本 统计量将趋于稳定，表现 出一定的规律性。
近似性
当样本量有限时，样本统 计量的分布可能与理论分 布存在一定偏差。
抽样分布的应用
估计总体参数
分布的种 类
列举常见的分布类型
常见的分布类型包括正态分布、二项分布、泊松分布、指数分布等。这些分布各有特点，适用于不同 的情况和场景。了解各种分布的特点和应用范围，有助于更好地理解和应用统计学知识。
03 抽样分布
抽样分布的定义
抽样分布：描述样本统计量（如样本均值、样本中位数等）如何分散和变化的分布。 抽样分布描述了从总体中随机抽取不同样本时，样本统计量的可能取值及其概率。
测。
抽样方法的选择取决于研究目的、 总体规模、总体异质性和可操作 性等因素。
抽样的目的
01
02
03
降低研究成本
通过抽样，可以在较短时 间内收集到具有代表性的 数据，从而减少研究时间 和资源消耗。
提高研究效率
通过抽样，可以更准确地 估计总体参数，提高研究 的准确性和可靠性。
揭示总体规律
通过抽样，可以揭示总体 中隐藏的规律和趋势，为 决策提供科学依据。
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
第四节--抽样分布
志存高远，顽强拼搏
▪ 抽样分布：某一种统计量的频数分布。 ▪ （一）当总体为正态分布，总体方差已知时，样本平均数的
分布为正态分布。此时，样本平均数的平均数等于总体的平 均数；样本平均数的标准差，等于总体标准差除以N的平方 根。 ▪ 当总体为正态分布，总体方差未知，且样本为大样本时，样 本平均数的分布为渐近正态分布。
本统计量
t
X S
的分布。t分布是统计分析中应用较多的
n 1
一种随机变量函数的分布,是统计学者高赛特(Goeset)1908年
在以笔名"Student"发表的一篇论文中推导的一种分布。
志存高远，顽强拼搏
（二） t分布的特征
▪ 1. t分布的平均值为0。 ▪ 2. t分布是以过平均值0的垂线为轴的对称分布,分布左侧t
（四）依随机取样的原则,自正态分布的总体中抽取 容量为n的样本,当n足够大时(n≥30),样本方差及 标准差的分布,渐趋于正态分布。
志存高远，顽强拼搏
二、t分布
▪ 当总体为正态分布，但总体方差未知，而且N＜30时，样本
平均数的分布为t分布。 ▪ （一）什么是t分布
若干个来自已知平均数为U，而方差未知的正态分布总体的样
自由度的变化而变化。 ▪ 联系：当自由度趋于无穷大时， t分布接近标准正态分布。
统计学之抽样与抽样分布课件
期望 —
E X x f x dx
方差 — σ 2 X x E X 2 f x dx
标准差 — σX x E X 2 f x dx
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
13
第四章 抽样与抽样分布
第三节 抽样分布
3.1 抽样及抽样分布的含义 3.2 重置抽样下的抽样分布 3.3 不重置抽样下的抽样分布
1
F x P3X/4 x
1
4
当
2/4
3 4 当
1/4
4 4 当
0 x1 1 x2 2 x
2020/8/8
1
2
X
第四章 抽样和抽样分布
8
2.2 连续型随机变量概率分布
连续X❖型的密 随概率机度分变函布量数函的数的概性 率分质布：
1.
f
F
xx
0；x
f x dx
2. f x dx 1 ；
X 的概率密度函数
由于连续型随机变量在某点处的概率等于零。 对于连续性随机变量：
P x1 X x2 F x2 F x1
2020/8/8
第四章 抽样和抽样分布
5
2.2 离散型随机变量概率分布
设：正面向上的次数为 X，
则 X ＝ 0、1、2
P X 0 1 1 1
22 4
PX
1
1 2
1 2
1 2
1 2
方差：σ 2 X X i E X 2 Pi i 1
N
标准差： σ X X i E X 2 Pi i 1
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第四章 抽样和抽样分布
11
2.3 随机变量的数字特征
概 数学期望 率 论
(04)第4章+抽样与抽样分布
4-6
统计学
STATISTICS
例题分析
♦ 假定我们刚刚已取了飞机制造所用的铆钉的25个 假定我们刚刚已取了飞机制造所用的铆钉的25个
一组的样本。检测铆钉的抗剪强度，破坏每个铆 钉所需的力是响应变量。对这组样本，可以求得 各种描述性的测量（均值、方差等）。 ♦ 然而，我们的感兴趣的是总体，并不是样本自身。 被测试的铆钉在测试时已被破坏，不能再用在飞 机的制造上，所以我们肯定不能测试所有的铆钉。 我们必须从这组样本或几组这样的样本来决定总 体的某些特性。 ♦ 因此，我们必须设法推断信息，也即基于样本的 观测结果作出总体的推断
(例题分析) 例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
4 - 32
样本均值的抽样分布
统计学
STATISTICS
(例题分析) 例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 设一个总体，含有4个元素(个体) 数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总 个个体分别为x 体的均值、 体的均值、方差及分布如下 总体分布
4 - 17
统计学
STATISTICS
分层抽样
分层抽样
统计学
STATISTICS
(stratified sampling) sampling)
♦ 分层抽样：在抽样之前先将总体的单位按 分层抽样：
某种特征或某种规则划分为若干层（类）， 然后从不同的层中独立、随机地抽取一定 数量的单位组成一个样本，也称分类抽样 数量的单位组成一个样本，也称分类抽样 sampling） （stratified sampling） ♦ 在分层或分类时，应使层内各单位的差异 尽可能小，而使层与层之间的差异尽可能 大
《应用统计学》(04)第4章 用样本推断总体
1500 1520 1510 1470
*
应用统计学
Applied Statistics
一个总体均值的区间估计
(例题分析—小样本)
解：已知Ｘ~N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根据样本数据计算得：x 1490 ， s 24.77 总体均值在1-置信水平下的置信区间为
资 料 来 源 ： GUDMUND R.IVERSEN 和 MARY GERGRN著，《统计学—基本概念和方法》
4-5
*
应用统计学
Applied Statistics
统计应用
小儿麻痹症实验
1954年，为了检验沙克疫苗对小儿麻痹症预防的有效 性而进行了一项实验。大约有20万名儿童注射了无效 的盐水，而另外20万名儿童注射了疫苗 这项实验是“双盲的”，因为接受注射的儿童不知道 是被注射了疫苗还是安慰剂，进行注射并评价结果的 医生也不知道 在20万名注射疫苗的儿童中，只有33人后来患了小儿 麻痹症，而注射了盐水的 20万名儿童中后来有 115 人 患了小儿麻痹症。根据这些结果和其他一些结果的统 计分析得出结论，沙克疫苗在预防小儿麻痹症方面确 实是有效的
4 - 20
应用统计学
Applied Statistics
无偏性
(unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
P(ˆ ) 无偏 有偏Biblioteka A4 - 21
B
ˆ
*
应用统计学
Applied Statistics
有效性
(efficiency)
量，有更小标准差的估计量更有效
怎样解决下面的问题？
一个水库里有多少鱼？ 一片原始森林里的木材储蓄量有多少？
统计学第四章：抽样与抽样分布
样本空间（Ω ）
– 基本事件的全体（全集）
3－8
统计学
STATISTICS
随机事件（续）
复合事件 – 由某些基本事件组合而成的事件 – 样本空间中的子集 随机事件的两种特例
– 必然事件
• 在一定条件下，每次试验都必然发生的事件 • 只有样本空间 才是必然事件
– 不可能事件
• 在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件 • 不可能事件是一个空集（Φ ）
相互独立其方差为33404001060333414143一重置抽样分布放回二不重置抽样分布不放回334242简单随机抽样分层抽样整群抽样系统抽样多阶段抽样概率抽样方便抽样判断抽样自愿样本滚雪球抽样配额抽样非概率抽样抽样方式抽样方法抽样方法334343概率抽样概率抽样probabilitysamplingprobabilitysampling根据一个已知的概率来抽取样本单位也称随机抽样抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时要考虑到每个样本单位被抽中的概率334444简单随机抽样简单随机抽样simplerandomsamplingsimplerandomsampling从总体n个单位中随机地抽取n个单位作为样本使得每一个容量为样本都有相同的机会概率被抽中没有利用其他辅助信息以提高估计的效率334545分层抽样分层抽样stratifiedsamplingstratifiedsampling将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层然后从不同的层中独立随机地抽取样本保证样本的结构与总体的结构比较相近从而提高估计的精度既可以对总体参数进行估计也可以对各层的目标量进行估计334646整群抽样整群抽样clustersamplingclustersampling将总体中若干个单位合并为组群抽样时直接抽取群然后对中选群中的所有单位全部实施调查调查的地点相对集中节省调查费用方便调查的实施缺点是估计的精度较差334747系统抽样系统抽样systematicsamplingsystematicsampling将总体中的所有单位抽样单位按一定顺序排列在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位以后依次取rkr2k
统计学抽样与抽样分布
总体和参数（续）
通常所要估计的总体指标有
X
NX
一、 几个概念
（二）样本总体与样本指标
样本总体。简称样本（Sample），它是按照随机原则， 从总体中抽取的部分总体单位的集合体 。
样本容量：样本中所包含的个体的数量，一般用n表示。 在实际工作中，人们通常把n≥30的样本称为大样本， 而把n<30的样本称为小样本。
可以看成是一组随机变量。
设X1, X2,… , Xn是来自总体X 的一个样本，g(X1, X2,… , Xn) 是 X1, X2,… , Xn的一个函数。若 g 是连续函数，且 g 中不含任何未 知参数，则称 g(X1, X2,… , Xn) 是一个统计量。统计量也是一个随
机变量。
设x1, x2,… , xn 是相应于样本X1, X2,… , Xn的一个样本值， 则 称 g(x1, x2,… , xn ) 是统计量 g(X1, X2,… , Xn) 的一个观测值。
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
,
（4）样本比例：P =k/n，其中k为样本中某属性出现次数 s
概率抽样
(probability sampling)
u概率抽样也叫随机抽样，是指按随机原则抽取样本。
u随机原则，就是排除主观意识的干扰，使总体每一个单位都有
一定的概率被抽选为样本单位，每个单位能否入选是随机的。
u 特点
能有效地避免主观选样带来的倾向性误差（系统偏差）， 使样本资料能够用于估计和推断总体的数量特征，而且 这种估计和推断得以建立在概率论和数理统计的科学理 论之上
可以计算和控制抽样误差，说明估计的可靠程度。
u作用：
在不可能或不必要进行全面调查时，利用概率抽样来推 断总体；
抽样检验和抽样分布
抽样检验和抽样分布1. 引言抽样是统计学中非常重要的概念，通过对总体的一局部样本进行研究和分析，可以得出关于总体的推断和结论。
抽样检验是统计推断的一种方法，用于判断样本与总体之间是否存在显著差异。
抽样分布是抽样统计量的概率分布，是基于样本的随机变量，用于进行统计推断和估计。
2. 抽样检验抽样检验是统计推断的一种方法，用于判断样本与总体之间是否存在显著差异。
在抽样检验中，我们首先提出一个原假设和一个备择假设，然后通过计算样本统计量的概率来判断原假设是否成立。
常用的抽样检验方法包括：2.1 单样本 t 检验单样本 t 检验用于判断一个样本的均值是否与总体均值存在显著差异。
通过计算样本的 t 统计量来进行判断，如果 t 统计量的值较大，说明样本均值与总体均值之间存在显著差异。
2.2 双样本 t 检验双样本 t 检验用于判断两个样本的均值是否存在显著差异。
通过计算两个样本的 t 统计量来进行判断，如果 t 统计量的值较大，说明两个样本的均值之间存在显著差异。
2.3 卡方检验卡方检验用于判断两个或多个分类变量之间是否存在关联性。
通过计算卡方统计量来进行判断，如果卡方统计量的值较大，说明分类变量之间存在关联性。
2.4 方差分析方差分析用于判断一个因变量在不同组之间是否存在显著差异。
通过计算方差比率统计量来进行判断，如果方差比率统计量的值较大，说明不同组之间的因变量存在显著差异。
3. 抽样分布抽样分布是抽样统计量的概率分布，是基于样本的随机变量，用于进行统计推断和估计。
常用的抽样分布包括：3.1 正态分布在很多情况下，当样本容量足够大时，抽样分布可以近似地认为是正态分布。
正态分布是一种对称的连续概率分布，其概率密度函数可由均值和标准差完全描述。
3.2 学生 t 分布学生 t 分布是在样本容量较小、总体标准差未知的情况下使用的抽样分布。
学生 t 分布相比于正态分布，具有更宽的尾部，适用于小样本量的情况。
3.3 卡方分布卡方分布是基于正态分布的样本推断中经常使用的一种抽样分布。
应用统计硕士(MAS)专业学位研究生入学统一考试科目《432统计学》题库-统计学(第4～5章)【圣才
D．N（μ，σ2/n）
【答案】A
【解析】设样本标准差为 s，则在正态总体下，有
n
Y i1
Xi X 2
n 1 s2
2
~
2 n 1
5．设 X～N（0，σ2），则服从 t（n－1）的随机变量为（ ）。[山东大学 2016 研]
A． n X S
B． n 1X S
C． n X S2
D． n 1X S2
【答案】A
【解析】设 X1，X2，…，Xn 是来自正态分布 N（0，σ2）的一个样本，则有
X
1 n
n i 1
Xi,S2
1 n 1
n i 1
Xi X
2
因此
n X 0
nX ~ t(n 1)
S
S
6．在抽样推断中，样本统计量是（ ）。[中央财经大学 2015 研]
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3．设总体X～N（μ，σ2），其中μ已知，σ2未知，X1，X2，X3是从总体中抽取的样本， 下列各项不是统计量的是（ ）。[浙江工商大学2017研]
A．X1＋X2－2X3 B．X2＋3μ C．max（X1，X2，X3） D．（X1＋X2）/σ 【答案】D 【解析】统计量是不含未知参数的样本的函数。ABC 三项均不含参数，而 D 项中，σ 为未知参数。
分布为（ ）。[中国科学技术大学 2013 研] A．自由度为 1，1 的 F 分布 B．自由度 1，2 的 F 分布 C．自由度为 2，1 的 F 分布 D．自由度 2，2 的 F 分布 【答案】A
2
A．均值为μ，方差为
n
μ
2
B．均值为 ，方差为
n
n
μ
C．均值为 ，方差为
应用统计--抽样与抽样分布
x x t or Z S S n n
分布未知
t分布
•
t-分布是由W.S.Gosset(1876-1937)于 1908年在一篇署名为“student”的论文中 首次提出，因此又称为“学生氏”分布。
• 设随机变量X～ N(0,1), Y～ χ 2 (n) ，且X和Y X 相互独立，则随机变量 T 的分布称
– 样本均值, 样本比例，样本方差等
3. 结果来自容量相同的所有可能样本
4. 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行 推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要 依据
抽样分布的形成过程
(sampling distribution)
总体
样 本
计算样本统计 量 如：样本均值 、比例、方差
一个总体参数推断时样本
.3
均值和方差
x
i 1
N
i
.2 .1 0
1 2 3 4
N
N i 1
2.5
2
2 ( x ) i
N
1.25
样本均值的抽样分布
(例题分析)
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均 值的抽样分布
16个样本的均值（x） 第一个 观察值 1 2 1 1.0 1.5 第二个观察值 2 1.5 2.0 3 2.0 2.5 4 2.5 3.0
整群抽样
1. 将总体中若干个单位合并为组 ( 群 ), 抽样时直接
抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施
调查
2.
– –
原则：群间差异小，群内差异大。
3. 特点
抽样时只需群的抽样框，可简化工作量 调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实 施
–
应用统计单项选择题
应用统计单项选择题-第01章-绪论1.社会经济统计是（ C）的有利工具。
A.处理问题B. 进行交流C. 认识社会D. 引进外资2.（A ）是用图形、表格和概括性的数字对数据进行描述的统计方法。
A.描述统计B. 推断统计C. 理论统计D.应用统计3.（ A）是我们所要研究的所有基本单位（通常是人、物体、交易或事件）的总和。
A.总体B. 变量C. 样本D. 统计4.经济数据是对（B ）进行计算的结果。
A. 主观现象B. 客观现象C. 数字特征D. 社会现象5.美国盖洛普(Gallup)调查公司在美国总统大选前通常会从全美国的选民中随机抽取1500人左右，对大选结果进行调查和预测，并会给出2%左右的预测误差。
这是利用样本信息和概率论原理进行（B ）的过程。
A. 统计描述B. 统计推断C. 统计分析D. 统计应用6.统计学的核心内容是（C ）。
A. 统计数据的收集B. 统计数据的整理C. 统计数据的分析D. 统计数据的应用7.（A ）在《政治算术》一书中用大量的数字对英国、法国、荷兰三国的经济实力进行比较，用数字、重量、尺度等定量的方法进行分析和比较，表达他的思想和观点。
A.威廉•配第B. 约翰•格朗特C. 帕斯卡D. 费马8.统计整理主要是对（ C）的整理。
A. 历史资料B. 分析资料C. 原始资料D. 综合资料9.著名统计学家（B ）给出了F统计量、最大似然估计、方差分析等方法和思想。
A. 戈赛特B. 费希尔C. 奈曼和皮尔逊D. 沃尔德10.统计数据的搜集活动是（ B）。
A.应用统计B. 统计工作C.统计数据D. 统计学第02章-统计数据的描述1.某企业男性职工占60%，月平均工资为550元，女性职工占40%，月平均工资为500元，该企业全部职工的平均工资为（ B）。
A. 525元B. 530元C. 535元D. 540元2.如果数据是左偏分布，则有（C ）。
A. 平均数=中位数=众数B. 平均数>中位数>众数C. 平均数<中位数<众数D. 无法确定3.乡镇企业局为总结推广先进生产管理经验，选择几个先进乡镇企业进行调查，这种调查属于（ B）。
抽样分布的概念及重要性
抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。
在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。
抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。
本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。
一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。
在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量的取值也会有所不同。
抽样分布描述了样本统计量的所有可能取值及其对应的概率分布。
常见的样本统计量包括样本均值、样本方差、样本比例等。
以样本均值为例，假设总体均值为μ，样本均值为x̄，抽样分布描述了在相同样本容量的情况下，样本均值的所有可能取值及其对应的概率分布。
根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。
二、抽样分布的重要性抽样分布在统计学中具有重要的意义，它对统计推断和假设检验提供了理论基础，具体体现在以下几个方面：1. 参数估计：抽样分布可以用于估计总体参数。
通过抽取样本并计算样本统计量，我们可以对总体参数进行估计。
例如，通过计算样本均值来估计总体均值，通过计算样本比例来估计总体比例等。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，帮助我们确定估计值的可信度和置信区间。
2. 假设检验：抽样分布可以用于假设检验。
在假设检验中，我们通常需要比较样本统计量与假设值之间的差异，以判断差异是否显著。
抽样分布提供了样本统计量的分布情况，可以帮助我们计算出观察到的差异在抽样误差范围内的概率，从而判断差异是否显著。
3. 抽样方法选择：抽样分布可以帮助我们选择合适的抽样方法。
不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生不同的影响。
通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，以提高样本统计量的准确性和可靠性。
4. 统计推断：抽样分布是统计推断的基础。
统计推断是指通过样本数据对总体特征进行推断。
统计学第4章抽样与抽样分布
思考与练习
二、实验题 1.利用Excel的“抽样”工具或“RAND”函数，从本 班级的全体同学总体中抽出5名同学构成一个随机 样本。 2.假设一个总体共有8个数值：32，33，35，40， 41，43，46，50。从该总体中按重复抽样方式抽 取n = 2的随机样本。 要求：（1）计算出总体的平均数与标准差。 （2）一共有多少个可能的样本？ （3）抽出所有可能的样本，并计算出每个样 本的平均数。 （4）计算所有样本平均数的平均数与标准差 ，并与总体的平均数与标准差进行比较，得到的 结论是什么？
E( p ) X p P
sp
2
P(1 P) n
p sp
n
P(1 P) n (1 ) n N
2.在不重复抽样条件下
E( p ) X p P
sp
2
P(1 P) N n P(1 P) n (1 ) n N 1 n N
p sp
本章小结
1.抽样的相关概念包括：总体、样本、参数、统计 量、样本容量、样本个数、抽样误差和非抽样误 差；基本的抽样方法是重复抽样和不重复抽样。 2.基本的抽样组织方式有以下几种：简单随机抽样 、等距抽样、类型抽样、整群抽样和多阶段抽样 等,这些组织方式各有其特点。 3.抽样分布就是样本统计量的概率分布。 4.常用的抽样分布有样本平均数的抽样分布和样本 比率 的抽样分布，两种分布又都可以分为重复抽 样和不重复抽样两种情况。 5.抽样分布在推断统计中具有重要作用，只有掌握 了统计量的抽样分布，才能进行参数估计和假设 检验。
思考与练习
3.利用Excel的“随机数发生器”工具产生100个服 从标准正态分布N（0，1）的数据，然后利用RAND 、INDEX和CEILING函数抽取20个样本容量n = 30 的样本，来验证样本平均数的抽样分布与总体分 布之间的关系。 三、实践题 如果总体容量为100，抽取样本容量为10的样本， 按重复抽样和不重复抽样的方法，样本可能数目 分别是多少？
第四章 统计抽样与抽样分布
(10)
= 15.987
，即指
{ ∫ P
χ 2(10 ) > 15.978} =
+∞
15.978 f ( x;n )dx = 0.1 ，见图 4-5。
（4-4a）
（4-4b）
（4-5）
- 47 -
第四章 统计抽样与抽样分布
f（x；n）
α
χα 2
χ2
图 4-5 χ 2 分布函数概率密度计算示意图 4. χ 2 分布的性质：
u − x2
e 2 dx
σ/ n
2π −∞
上述的关于均值和方差的公式以及中心极限定理都是对无限总体而言
的。 但对于有限总体若采取有放回抽样，则与无限总体等价。若有限总体容
量为 N 而采取无放回抽样，且 n/N≤0.1，仍可视为无限总体，而当 n/N>0.1 时则
E(X ) = μ
D(X ) = σ 2 ⋅ N − n n N −1
∞ Fα
f ( x )dx = α
( 0 <α < 1) 。
4. 性质：
F1− α
(n1,n2 )
=
Fα
1 (n2 , n1 )
F 分布表给出了 F 分布的上侧 100α 百分位数，表中没有列出的某些值 可利用上面提到的性质求出。
4.2.4 t 分布 （Students 分布） 1. 定义：设随机变量 U 服从标准正态分布，随机变量 W 服从自由度为 n 的
统计量的概率分布称为抽样分布sampledistribution42几种与正态分布有关的概率分布通常我们把总体看作是一个随机变量x有它自身的分布大多数均视为正态分布其分布中有参数这些参数往往与总体特征数有关正态分布有两个参数2其中就是x的期望2就是x的方差
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σ =10
n=4 σx = 5 n =16 σx = 2.5
应 用 统 计 第 四 章
18
μ = 50
X
μx = 50
x
总体分布
抽样分布
E ( p1 − p 2 ) = π 1 − π 2
方差为各自的方差之和
σ
2 p1 − p 2
2分布(图示) χ 应 用 统 计 第 四 章
30
选择容量为n 的
总体
不同自由度的抽样分布
n=1 n=4 n=10
简单随机样本σ μ来自计算样本方差s2 计算
n=20
χ2 = (n-1)s2/σ2
计算出所有的
χ2
χ2值
样本统计量的抽样分布
应 用 统 计 第 四 章
31
六、两个样本统计量的抽样分布 应 用 统 计 第 四 章
i =1
N
= 1.25
应 用 统 计 第 四 章
15
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重 复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本 的结果为
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 第二个观察值 2 3 1,2 1,3 2,2 2,3 3,2 3,3 4,2 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4
应 用 统 计 第 四 章
5
非概率抽样也叫非随机抽样，是指从研究目 的出发，根据调查者的经验或判断，从总体 中有意识地抽取若干单位构成样本。 重点调查、典型调查、配额抽样、方便抽样 等就属于非随机抽样。
优点
应 用 统 计 第 四 章
6
在及时了解总体大致情况、总结经验教训、进行 大规模调查前的试点等方面，非随机抽样具有随 机抽样无法取代的优越性。
抽样分布的形成过程
应 用 统 计 第 四 章
12 总体
样 本
计算样本统计量 如：样本均值、 比例、方差
二、样本均值的抽样分布 应 用 统 计 第 四 章
13
均值抽样分布的形式与原有总体的分布和样 本容量n的大小有关。 如果原有总体是正态分布，那么，无论样本 容量的大小，样本均值的抽样分布都服从正 态分布。 如果原有总体的分布是非正态分布，就要看 样本容量的大小了。
三、系统抽样(systematic sampling) 应 用 统 计 第 四 章
9
在抽样中先将总体各单位按某种顺序排列，并按某种 规则确定一个随机起点，然后，每隔一定的间隔抽取 一个单位，直至抽取n个单位形成一个样本。也称等距 抽样或机械抽样。 优点 简便易行。有了总体单位的排序，只要确定出抽样 的随机起点和间隔后，样本单位也就随之确定，而 且可以利用现有的排列顺序，以方便于操作。 系统抽样的样本在总体中的分布一般也比较均匀， 由此抽样误差通常要小于简单随机抽样。
应 用 统 计 第 四 章
16
计算出各样本的均值，如下表。并给出样本 均值的抽样分布
16个样本的均值（x） 第一个 观察值 1 2 3 4 第二个观察值 1 1.0 1.5 2.0 2.5 2 1.5 2.0 2.5 3.0 3 2.0 2.5 3.0 3.5 4 2.5 3.0 3.5 4.0
0.1 0 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.3 0.2 P(x)
中心极限定理(central limit theorem)
应 用 统 计 第 四 章
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中心极限定理：设从均值为μ，方差为σ2的一 个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分 大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、 方差为σ 2/n的正态分布。
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
4.2 抽样分布
一、抽样分布的概念 应 用 统 计 第 四 章
11
抽样分布(sampling distribution)就是由样本n个 观察值计算的统计量的概率分布 。 样本统计量本身是随机变量，因为不同的样 本会导致样本统计量取不同的值。 作为随机变量，判断和比较样本统计量必须 要在其概率分布的基础上进行，即在大量重 复抽样试验的基础上，得到统计量取值的集 合以及相应的概率，进而做出判断和比较。
表 4.3 x P（x） 0 1/3 观察值的概率分布 3 1/3 12 1/3
解：解答过程见下列文档
例3解答过程
四、样本比率的抽样分布 应 用 统 计 第 四 章
25
比率是指总体(或样本)中具有某种属性的单位 与全部单位总数之比
不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比
7
从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使 得总体中每一个元素都有相同的机会 (概率)被抽 中； 抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样。 特点 简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取 样本； 用样本统计量对目标量进行估计比较方便。 局限性 当N很大时，不易构造抽样框； 抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难； 没有利用其他辅助信息以提高估计的效率。
( n − 1) s 2
σ
2
的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的χ2分布，即
( n − 1) s 2
σ2
~ χ 2 ( n − 1)
2分布(χ2 χ 应 用 统 计 第 四 章
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distribution)
由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨 特(Hermert)和卡·皮尔逊(K. Pearson) 分别于1875年 和1900年推导出来。 设 X ~ N ( μ , σ 2 ) ，则 z = X − μ ~ N ( 0 ,1) σ 令 Y = z 2 ，则 Y 服从自由度为1的χ2分布，即
分层抽样 系统抽样
方便抽样 自愿样本 配额抽样
判断抽样 滚雪球抽样
应 用 统 计 第 四 章
4
概率抽样也叫随机抽样，是指按照随机原则 抽取样本。 概率抽样最基本的组织方式有：简单随机抽 样、分层抽样、等距抽样和整群抽样。 特点
能有效避免主观选样带来的倾向性误差（系统偏 差），使得样本资料能够用于估计和推断总体的 数量特征，而且使这种估计和推断得以建立在概 率论和数理统计的科学理论之上，可以计算和控 制抽样误差，能够说明估计结果的可靠程度。
E ( x1 − x 2 ) = μ1 − μ 2
方差为各自的方差之和
σ x2 − x =
1 2
σ 12
n1
+
σ 22
n2
两个样本比例之差的抽样分布
应 用 统 计 第 四 章
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两个总体都服从二项分布 分别从两个总体中抽取容量为n1和n2的独立 样本，当两个样本都为大样本时，两个样本 比例之差的抽样分布可用正态分布来近似 分布的数学期望为
样本比例的方差 重复抽样
σ =
2 p
π (1 − π )
n
⎜ ⎟ ⎝ N −1 ⎠
不重复抽样
σ =
2 p
π (1 − π ) ⎛ N − n ⎞
n
五、样本方差的抽样分布 应 用 统 计 第 四 章
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在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有 可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值
μx = μ
x
应 用 统 计 第 四 章
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x 的分 布趋于 正态分 布的过 程
抽样分布与总体分布的关系
应 用 统 计 第 四 章
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总体分布
正态分布
大样本
非正态分布
小样本
正态分布
正态分布
非正态分布
三、样本均值抽样分布的特征 应 用 统 计 第 四 章
22
样本均值的数学期望
E (x ) = μ
四、整群抽样(cluster sampling) 应 用 统 计 第 四 章
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调查时先将总体划分成若干群，然后再以群 作为调查单位从中抽取部分群，进而对抽中 的各个群中所包含的所有个体单位进行调查 或观察，这样的抽样方式称为整群抽样。 优点 抽样时只需群的抽样框，可简化工作量； 调查的地点相对集中，节省调查费用，方 便调查的实施； 当群为总体的一个缩影时，抽样估计误差 小，否则误差较大。
32
两个样本均值之差的抽样分布 两个样本比例之差的抽样分布 两个样本方差比的抽样分布
两个样本均值之差的抽样分布
两个总体都为正态分布，即
应 用 统 计 第 四 章
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X 1 ~ N ( μ1 , σ 12 )
2 X 2 ~ N (μ 2 ,σ 2 )
两个样本均值之差 x1 − x2的抽样分布服从正态分 布，其分布的数学期望为两个总体均值之差
Y ~ χ 2 (1)
当总体 X ~ N (μ , σ 2 ) ，从中抽取容量为n的样本， n 则 2
∑ (x
i =1
i
− x)
σ2
~ χ 2 ( n − 1)
2分布(性质和特点) χ 应 用 统 计 第 四 章
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分布的变量值始终为正； 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常 为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大 逐渐趋于对称； 期望为E(χ2)=n，方差为D(χ2)=2n(n为自由 度)； 可加性：若U和V为两个独立的服从χ2分布的 随机变量，U~χ2(n1)，V~χ2(n2),则U+V这一 随机变量服从自由度为n1+n2的χ2分布。
样本均值的方差 重复抽样
σ x2 =
不重复抽样
σ2
n