1.3.2函数的极值与导数

o
a x1
Q(x2,f(x2)) x2 x3 x4 b
x
探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？
y y
分析yx3
O
由f ( x) x , 得f ' ( x) 3x ，
3 2
yf(x)
x
a
在x 0处，f（ ' 0） 0,
x2x
O
x1
0是极值点吗？ x3 b
x
f (x1)=0
f (x2)=0 f (x3)=0
结论:极值点处，切线水平的.即: f (x)=0 思考;若 f (x )=0，则x0是否为极值点？ 导数等于零的点不一定是极值点．
0
进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?
极大值
极小值
即: 极值点两侧单调性互异
探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
例1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为 10,求a、b的值. 解: f ( x ) =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
注意代 a4 a 3 . 由①、②解得 或 入检验 b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意. 2 f ( x ) 3 x 8 x 11 (3 x 11)( x 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
例2 :(1)已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值，求a的取值范围。
2 2
x
(–∞, –1) –1 (–1, 0) –
0
(0, 1)
1 ( 1, +∞)
f ( x)
f (x)
0
–
0
+
0
+
1
0
1
所以, 当 x = 0 时, f (x)有极小值 1 . 练习：求函数f(x)=x3(x-5 )2 的极值 y极大值=f(3)=108，y极小值=f(5)=0
6x 练习1:求函数 y 1 x 2 的极值.
0
+
f (x) 单调递增
54 单调递减
54 单调递增
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6x x 2; 3 (3) f ( x) 6 12x x ;
2
1 3 例1 求函数 f ( x) x 4 x 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) x 4 x 4, 所以 f ( x) x 4. 3 令 f ( x) 0, 解得 x 2, 或 x 2. 当 f ( x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ; 当 f ( x) 0 , 即 2 x 2 .
用导数法求解函数极值的步骤： (1) 求导函数f `(x)； (2) 求解方程f `(x)=0； (3) 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右 的符号，并根据符号确定极大值与极小 值. （列表格） 口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
注意：不要忽略函数的定义域
变式
求下列函数的极值:
3 3
(3) f ( x) 6 12x x ; (4) f ( x) 3x x . 解: (2) 令f ( x) 3x 2 27 0, 解得 x1 3, x2 3. 列表:
x
(–∞, –3) –3 (–3, 3) –
3 0
( 3, +∞)
f ( x )
+
分析：问题等价于f ( x) 0必 有两个不同的实根，即 0
a<-3或a>6
（2）已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在 区间[-1，1]上有极大值和极小值，求a的 （ 2， 3）（ 3， 2） 取值范围。
分析：问题等价于f ( x) 0在（ 11 ， ） 有两个不同的实根，即 0, a ' ' 1 1, f (1) 0, f (1) 0 3
a 2 ( x a )( x a ) f ( x ) 1 2 . 2 x x 令 f ( x ) 0 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).
当x变化时, f ( x ) ,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-a) + ↗ -a 0 (-a,0) (0,a) ↘ a 0 (a,+∞) +
f (e)=0 f (e)<0
ab c
d
o
e
f
g
h
x
f (d ) <0
f (d ) =0
对于 d点 d叫做函数 我们把点 y= () x的极小值点， )在点x=d的函 f (d ) >0 函数 y= f(fx 数值 f(d)比在其附 f ( d ) 叫做函数 y=f(x) y 近其他点的函数 的极小值。 值都小， f (d ) =0 。
选修2-2 第一章：导数及其应用
1.3.2函数的极值与导数
知识回顾
1、一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
王新敞
奎屯 新疆
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
2.求函数f(x)单调区间的步骤：
练习:y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处
有极值，求a、b的值
解： y ' (a ln x bx 2 x) '
a 2bx 1 x
因为在x=1和x=2处,导数为0
2 a a 2b 1 0 3 a 1 4b 1 0 b 2 3+c在x= 1处有极值,且极大值为
• • • •
一般地，求可导函数y=f(x)的极值的方法是： 解方程f’(x)=0，当f’(x0)=0时： （1）如果x0 附近的左侧f’(x)>0，在x0附近 的右侧附近f’(x)<0，那么f(x0)是函数f(x)的 一个极大值 （2）如果 x0 附近的左侧 f ’(x)<0，在 x 0 附 近的右侧f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的 一个极小值. （3）如果x0 附近的两侧f’(x)符号相同， 区间上单调函数有极值吗？ 那么x0不是函数f(x)的极值点
(1)求f’(x)
(2)解不等式f’(x)>0(或f’(x)<0)
(3)确认并指出递增区间（或递减区间）
注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接
引入
跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位：米)与起跳后的时间t(单位：秒) 存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 h
减 极小值 增
结论：极值点处，f(x) =0
注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点 (2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条件
二：函数极值的求法
x
f ( x )
f (x)
1 ( , ) 12
–
1 12
1 ( , ) 12
0
49 24
+
单调递增
单调递减
1 49 1 . 所以, 当 x 时, f (x)有极小值 f ( ) 12 24 12
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6x x 2;
2 3
(2) f ( x) x 27x;
a
b
学生活动
（1）极值是对某一点附近的小区间而 言的,是函数的局部性质,不是整体的最值; （2）函数的极值不一定唯一,在整个定 义区间内可能有多个极大值和极小值； （3）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小. （4）极大值点与极小值点交替出现的 y P(x1,f(x1)) y=f(x)
(2) f ( x) x 27x; 3 (4) f ( x) 3x x .
3
2 解: (3) 令f ( x) 12 3x 0, 解得 x1 2, x2 2.
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极小值 – 10 ;
当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .
(4) 令f ( x) 3 3x 2 0, 解得 x1 1, x2 1.
所以, 当 x = –1 时, f (x)有极小值 – 2 ; 当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .
a2 例2:求函数 f ( x ) x x (a 0) 的极值.
解:函数的定义域为( ,0) (0, ),
f’ ( ↘ 极小值2a ↗ 极大值-2a x) 故当 f(x) x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极 小值f(a)=2a.
练习: 求函数 f ( x) ( x2 1)3 1 的极值.
解:
令f ( x) 3( x 1) 2x 0, 解得 x1 1, x2 0, x3 1. 列表: