第六讲函数的综合应用
高中数学知识点——函数的综合应用
3.“对勾”函数的性质
函数f(x)=x+ a (a>0).
x
(1)该函数在(-∞,- a ]和[ a ,+∞)上单调递增,在(- a ,0)和(0, a )上单调递减.
(2)当x>0时,x= a 时取最小值2 a ;
当x<0时,x=- a 时取最大值-2 a .
4.解函数应用题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数 学知识建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
从而f '(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f
'(x)=0,得x=10
3
,易知在
2,
10 3
上,
f
'(x)>0,函数f(x)单调递增;在
10 3
,6
上,
f '(x)<0,函数f(x)单调递减.所以f(x)在x=130 处取得极大值,即最大值.所以当x=
10 ≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,利润最大.
3
方法总结 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函 数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际 意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础:
考法二 函数的综合应用
例5
解;
(2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重不漏;
第6讲 函数的综合应用(1)
第6讲 函数的综合应用（1）一、教学目标1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力。
2．掌握高中数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合思想方法的运用和推理论证能力的培养。
3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识解决问题的能力。
4．强化函数思想，培养学生运用运动变化的观点分析问题的能力。
二、课前诊断1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。
上课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。
2、结合课件点评。
题1：对于任意]1,1[-∈k ，函数()()4242+--+=k x k x x f 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________【点评】（1）所给的函数是一个多项式()4242+--+k x k x ，它的值随k 和x 的变化而变化，题目条件中“恒大于零”是对哪一个变量而言的？（是针对[-1，1]上变化的k 而言的）（2）这样我们将k 看成变量，而将x 看成参数，将多项式表示成k 的函数()k g 。
()k g 是怎样的函数，画出满足题目条件的草图，结合草图列出“求范围”的不等关系。
（3）信息“恒成立”、“求x 的范围”，我们联想解题方法——分离变量，但我们期望得到的形式是)(k x ϕ>（或)(k x ϕ<），是有困难的，但注意到这个多项式是可以因式分解的，用这个方法试试看。
22x x k >⎧⎨>-⎩恒成立 或22x x k <⎧⎨<-⎩时恒成立。
最后所求的x 的范围是“交”还是“并”？为什么？题2：设21()2f x x x =++的定义域为*[,1]()n n n +∈N ,则在()f x 的值域中含有的整数的个数是_____. 【点评】（1）所研究的函数是确定的，也是熟悉的，图象是可以画出来的。
函数的综合应用_PPT课件
x
[a,b]时g(x)=f(x)且g(x)的值域为[
1 b
,1 a
]？
若存在，求出a、b的值；若不存在，说明理由.
典例分析
引例 已知定义在[1,m]上的函数
f(x)=
1 2
x2
-x+
3 2
的值域也是[1,m]，
则实数m的值为. 3
典例分析
例3 二次函数f(x)= log3
x2
ax x
b
,
x (0, ),是否存在实数a,b，使f a(x-1)-x+3的 图象经过点（5，-4），求证：f(x)在 其定义域上仅有一个零点.
典例分析
例2 已知定义在R上的函数y=f(x)满足
f(x)+f(-x)=0,且x 0时，f(x)=2x-x2.
(1)求x<0时，函数f(x)的解析式；
(2)是否存在这样的正实数a、b，使得当
(2)当且仅当x [4,m](m>4)时,f(x-t) x 恒成立，试求t、ｍ的值.
方法提炼
1.理解函数的概念，掌握函数的图象和 性质是解决函数综合问题的基础，也是 历年高考的重点、热点和难点。
2.解决函数的综合问题,要认真分析,把 握问题的主线,把问题化归为基本问题来 解决.
3.注意等价转化,数形结合等思想的运用.
同时满足下列两个条件: ① f(x)在
（０，１］上单调递减,在[1,+)上
单调递增: ② 最小值为1.若存在,
求出a、b的值；若不存在，说明理由.
典例分析
例4 二次函数f(x)=ax2 +bx(a 0) 满足条件: ① 对任意x R,均有f(4-x)=f(2-x); ② 函数f(x)的图象与直线y=x相切. (1)求f(x)的解析式；
函数的综合运用初中教案
教案：函数的综合运用教学目标：1. 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。
2. 学会运用函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
教学重点：1. 函数的概念和表示方法。
2. 函数的实际应用。
教学难点：1. 理解函数的定义。
2. 运用函数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备相关的教学材料和实例。
2. 学生准备笔记本和笔。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问方式引导学生回顾已学过的函数知识，如函数的定义、表示方法等。
2. 学生分享自己的回顾和疑问。
二、新课（20分钟）1. 教师介绍函数的概念，明确函数的定义和特点。
2. 教师讲解函数的表示方法，如函数表格、函数图象等。
3. 学生跟随教师的讲解，进行实例分析和练习。
三、实例分析（15分钟）1. 教师提出一个实际问题，如“一家工厂生产两种产品，产品A每件利润为50元，产品B每件利润为60元。
如果工厂每天生产的产品数量不同，请问如何分配生产数量才能使得总利润最大？”2. 学生分组讨论，尝试运用函数解决该问题。
3. 各组学生汇报解题过程和结果。
四、总结与拓展（10分钟）1. 教师引导学生总结本节课所学的内容，强调函数的概念和表示方法。
2. 教师提出一些拓展问题，如“函数在实际生活中有哪些应用？”、“如何解决复杂一点的函数问题？”等，鼓励学生思考和讨论。
五、作业布置（5分钟）1. 教师布置一些有关函数的练习题，要求学生巩固所学知识。
教学反思：本节课通过实例分析和讨论，让学生掌握了函数的概念和表示方法，并能够运用函数解决实际问题。
在教学过程中，教师引导学生积极参与，培养了学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
同时，通过拓展问题的讨论，激发了学生的学习兴趣和思考能力。
然而，由于时间有限，学生可能对函数的理解还不够深入，需要在今后的学习中继续加强。
函数基本性质的综合应用
课前预学
课堂导学
(2)函数 f(x)在(-3,3)上的图象如图所示.
由图可知,函数 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是
(-3,-1),(1,3),值域是[-2,2].
(3)由 x2+2x-1=0(-3<x<0),得 x1=-1- 2,
由函数图象的对称性得 x2=1+ 2,
> 0,
< 0,
由 xf(x)>0,得
或
() > 0 () < 0,
由图可得该不等式的解集是(-1- 2,0)∪(0,1+ 2).
课前预学
方法总结
课堂导学
因为函数的图象很好地反映了函数的性质,所以在研究函数的
性质时要注意结合图象,在解方程和不等式时有时需画出图象,利用数形结合
能达到快速解题的目的.
由-3<x<0,得 f(x)=x2+2x-1,
设 0<x<3,则-3<-x<0,则 f(-x)=x2-2x-1,
又函数 f(x)为奇函数,
所以 f(x)=-f(-x)=-x2+2x+1,
2 + 2-1,-3 < x < 0,
综上可得 f(x)= 0, = 0,
- 2 + 2 + 1,0 < < 3.
课前预学
探究2:函数性质的综合
已知函数 f(x)=
+
1+ 2
是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f
(1)确定函数 f(x)的解析式;
(2)用定义证明 f(x)在(-1,1)上是增函数.
方法指导 (1)用 f(0)=0 及 f
函数的综合应用
高三第一轮复习数学---函数的综合应用一、教学目标：函数综合问题的应用 二、教学重点：函数综合问题的思路分析 三、教学过程：（一）主要知识：函数思想是高中数学的主线，函数知识贯穿高中代数始终，函数知识是高中数学最重要的内容。
函数综合问题主要表现在以下几个方面：1、 函数的概念、性质和方法的综合问题；2、 函数与其它代数知识，主要是方程、不等式、数列的综合问题；3、 函数与解析几何知识结合的问题（二）主要方法：在解决函数综合问题时，要进行等价转化、分类讨论、数形结合思想的综合运用 （三）例题分析：例1．已知奇函数)(x f 满足)18(log ,2)(,)1,0(),()2(21f x f x x f x f x则时且=∈-=+的值为 。
解：())4()2()()2(+=+-=∴-=+x f x f x f x f x f892)89(log )89log ()98(log )18log 4()18log ()18(log 89log 22222212-=-=-=-==-=-=f f f f f f例2．已知定义在R 上的函数)(x f 满足：2)1(,0)(,0),()()(-=<>+=+f x f x b f a f b a f 时且（1）求证：)(x f 是奇函数（2）求)(x f 在[-3，3]上的最大值和最小值。
解：（1）令)()()0(,a f a f f b a -+=-=则，0)0()0()0()0(,0=∴+===f f f f b a 则令.)(),()(是奇函数x f a f a f ∴--=∴（2）0)()()()()(,,0)(,012121221<-=-+=-<∴<>x x f x f x f x f x f x x x f x 则设时 )()(12x f x f <∴∴函数)(x f 在R 上是递减的,∴)(x f 在[-3,3]上的最大值是)3(-f ,而最小值是)3(f ,又6)3(,6)1()2()3(4)1()1()2(2)1(=--=+=∴-=+=∴-=f f f f f f f f即)(x f 在[-3，3]上的最大值为6和最小值是-6. 例3．已知二次函数c bx ax x f ++=2)((1)若a>b>c,且f(1)=0,证明f(x)的图象与x 轴有2个交点;(2)在(1)的条件下,是否存在m ∈R,使池f(m)= - a 成立时,f(m+3)为正数,若存在,证明你的结论,若不存在,说明理由. (3)若对,2)]()([21)(),()(,,,21212121个不等实根有方程且x f x f x f x f x f x x R x x +=≠<∈),(21x x 证明必有一个根属于.解:(1))(,04,00,0)1(2x f ac b c a c b a c b a f ∴>-=∆∴<>∴>>=++=且且 的图象与x 轴有两个交点.(2)0)(1,0)1(=∴=x f f 为 的一个根,由韦达定理知另一根为a c ,,,10,00c abc b a acc a --=>><<∴<>∴又且 10)1)((<<∴<-=--m a c a m a c m a 则13233=+->+>+∴acm)(x f 在(1,+∞)单调递增,0)1()3(=>+∴f m f ,即存在这样的m 使0)3(>+m f(3)令)]()([21)()(21x f x f x f x g +-=,则)(x g 是二次函数. 0)]()([41]2)()()(][2)()()([)()(22121221121≤--=+-+-=⋅x f x f x f x f x f x f x f x f x g x g0)(0)()(),()(2121=∴<⋅≠x g x g x g x f x f 又的根必有一个属于),(21x x .例4．已知x x f 2log )(=,当点M(x,y)在函数)(x f y =的图象上运动时,点(x-2,ny)在函数)(x q y n =的图象上运动(n ∈N+)(1)求)(x q n 的表达式 (2)设),()()(;)21()(11)(x q x H x F x H x q n n -==求F(x)的表达式,判断其单调性,并给予证明.(3)求集合},)2()({21R a a x q x q a A ∈+-==有实数根使方程解：（1）由点M(x,y)在函数)(x f y =的图象运动上，点(x-2,ny)在函数)(x q y n =的图象上，可得))(2)(2(log )(2N n x x n x q n ∈->+=（2）),2(log 21)(,)2(1)21()(2)2(log 2+-+=∴+==+x x x F x x H nx n n 从而可知F （x ）是（-2，+∞）上的减函数，事实上，令)]2(log )2([(log )2121()()(,22212212121+-+-+-+=-<<-x x x x x F x F x x 时 22log )2)(2(2122112++-++-=x x x x x x 022l o g ,021212<++>-x x x x 从而)(),()(0)()(2121x F x F x F x F x F 故即>>-在（-2，+∞）上为减函数。
数学函数综合运用教案
数学函数综合运用教案教案标题：数学函数综合运用教案教学目标：1. 学生能够理解数学函数的概念和基本特性。
2. 学生能够应用数学函数解决实际问题。
3. 学生能够通过函数图像分析和解释相关问题。
教学重点：1. 函数的定义和基本特性。
2. 函数的应用解决实际问题。
3. 函数图像的分析和解释。
教学难点：1. 如何将实际问题转化为数学函数的形式。
2. 如何通过函数图像分析和解释相关问题。
教学准备：1. 教师准备教案、教具、课件等教学资源。
2. 学生准备教材、笔记本等学习工具。
教学步骤：引入活动：1. 教师通过实例引导学生思考函数的概念和基本特性。
2. 教师展示一些实际问题，并引导学生思考如何将其转化为数学函数的形式。
知识讲解：1. 教师讲解函数的定义和基本特性，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
2. 教师讲解函数的应用解决实际问题的方法，包括建立函数模型、解方程等。
3. 教师讲解函数图像的分析和解释方法，包括图像的凹凸性、零点、极值点等。
示范演练：1. 教师通过示例演示如何将实际问题转化为数学函数的形式。
2. 学生跟随教师的指导，通过练习将实际问题转化为数学函数的形式。
合作探究：1. 学生分组合作，选择一个实际问题，通过讨论和合作，将其转化为数学函数的形式。
2. 学生通过解方程等方法，求解函数的相关问题。
3. 学生通过函数图像的分析和解释，解释问题的意义和结论。
拓展应用：1. 学生自主选择一个实际问题，通过函数的应用解决问题，并进行展示和分享。
2. 学生通过进一步的探究，发现函数的更多特性和应用。
总结反思：1. 教师对本节课的教学进行总结，强调函数的重要性和应用。
2. 学生对本节课的学习进行反思，总结所学的知识和技能。
教学延伸：1. 学生可以通过更多的实际问题，进一步应用函数解决问题。
2. 学生可以通过更多的函数图像分析和解释，深入理解函数的特性。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 学生完成课后作业，包括将实际问题转化为数学函数的形式，求解函数的相关问题等。
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
函数的综合应用
函数综合应用【例题精讲】 例1.已知()538f x x a x b x =++-，()210f -=，则()2f =________．解：设()()538g x fx x a x b x=+=++，则()g x 是奇函数，∵()()22g g -=-，又()()22818g f-=-+=，∴()()21828g f=-=+，所以()226f =-．例2.已知函数()21a x f x b x c+=+（a 、b 、c Z∈）是奇函数，且()12f =，()23f <，求a 、b 、c ，并且指出函数的单调区间． 解：∵函数()f x 是奇函数，∴()()f x fx -=-，即()b xc b x c -+=-+，故0c=．∵()12f =，∴12a b +=① ， ∵()23f <，∴4132a b+<，将①代入得到413121a a a +<⇔-<<+，∵a Z ∈，∴0a =或1，分别代入①得到12b=或1b =（舍去） 所以1a=，1b =，0c =，于是()211x f x x xx+==+，因此函数的单调递减区间是()1,0-和()0,1， 单调递增区间是(),1-∞-和()1,+∞．例3.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，且对于任意正数t ，()()2222lo glo g 2lo g 0ft t fk t --+<总成立，求实数k 的取值范围．解：∵()f x 在R 上是奇函数，()()2222lo glo g 2lo g 0ft t fk t --+<，()()2222lo g lo g 2lo g f t t fk t ⇔--<-()()2222lo glo g 2lo g ft t fk t ⇔--<-∵()f x 在R 上是增函数， ∴原不等式2222lo g lo g 2lo g t t k t⇔--<- ()222lo g 1lo g 20t k t ⇔-++>，∵对0t >，即2lo g t R∈恒成立，∴()2180k ∆=+-<，解得()221,221k ∈---．例4.设0a>，()xxea f x ae=+在R 上是偶函数，（1） 求实数a 的值；（2） 证明函数()f x 在()0,+∞上是增函数． 解：（1）∵函数()f x 在R 上是偶函数，∴()()f x fx =-，即xxxxea ea aeae--+=+，∴110x x ae a e ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对一切x R∈都成立，所以10a a-=，即21a =，又0a>，因此1a =．（2）任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x <，()()()122112121211x x x x x x x x ea ea fx fx eeaeaee +⎛⎫-=+--=-- ⎪⎝⎭()1221121x x x x x x e eee++-=-∵12x x <，∴21xx e e>，即21xx e e->，又∵1x 、()20,x ∈+∞，∴120x x +>，即121x xe +>，1210x x e+-<，∴()()120f x fx -<，即()()12f x fx <，所以函数()f x 在()0,+∞上是增函数．例5.对于满足4≤≤p 的一切实数，不等式342-+>+p x px x 恒成立，试求：x的取值范围． 分析： 不等式342-+>+p x px x很容易让我们联想到二次函数：()()243fx x p x p=+-+-本题实质上就是：对于二次曲线系()()px pxx f -+-+=342（4≤≤p ），考虑使得()0>x f 恒成立的x 的取值范围．对于每一个给定的p ，由于()0=x f 的二根分别为p-3,1， 记{}()m ax 1,3u p p =-，{}()m in 1,3v p p =-，则()0>x f 的解集为：()p M=()()()()+∞⋃∞-,,p u p v所以，当p 在区间[]4,0上变化时，使得()0>x f 恒成立的x的取值范围就是所有()p M 的交集．因为40≤≤p ，所以，)(p u 的最大值为3，()p v 的最小值为1-．所以，本题的答案应该为：()()+∞⋃-∞-,31,．上述解法实际上源于我们思维的一种定势，即习惯于把x 当作变量，而把其余的字母作为参数．而事实上，在上面的不等式中，x 与p 的地位是平等的．如果我们换一个角度看问题，即把p 作为自变量，而把x 作为参数，则可以得到下面的另一种较为简洁的解法：考虑关于p 的函数：()()()3412+-+-=x xp xp g ，可以看到：()p g 是关于p 的一次函数或常数函数，要使得对于满足4≤≤p 的一切实数，()0>p g 恒成立，由函数的单调性可知，需且只需：()()⎩⎨⎧>>0400g g解之得：3>x 或1-<x ．例6.设()x f 是定义在[-1，1]上的偶函数，()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x 对称．且当[]3,2∈x 时，()()()()32242g x a x x a R=⋅---∈（1）求函数()x f 的表达式；（2）在(]6,2∈a 或()+∞,6的情况下，分别讨论函数()x f 的最大值， 并指出a 为何值时，()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．分析： （1）注意到()x g 是定义在区间[]3,2上的函数，因此，根据对称性，我们只能求出()x f 在区间[]0,1-上的解析式，()x f 在区间[]1,0上的解析式，则可以根据函数的奇偶性去求．当01≤≤-x 时，322≤-≤x ，由于()x g 与()x f 的图象关于直线01=-x对称，()()()()33222242242fx g x a x x x a x ⇒=-=⋅-----=-当10≤≤x 时，01≤-≤-x ，由()x f 为偶函数，可知：()()()()axxx a x x f x f 242433+-=---=-=()3342104201x a x x f x x a x x ⎧--≤≤⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（3） 因为()x f 为偶函数，所以，()x f （11≤≤-x ）的最大值，必等于()x f 在区间[]1,0上的最大值． 故只需考虑10≤≤x 的情形，此时，()axxx f 243+-=．对于这个三次函数，要求其最大值，比较容易想到的方法是：考虑其单调性．因此，我们不妨在区间[]1,0上任取21,x x ， 设21x x <，则：()()21x f x f -()()2321312424axx ax x +--+-=()()ax x x x x x -++-=212122122222如果()+∞∈,6a ,则0222212122<-++a x x x x ，故()()21x f x f -<0，即()x f 在区间[]1,0上单调递增． 所以，()x f 的最大值在1=x 取得，为()421-=a f ．令()421-=a f =12可解得：8=a如果(]6,2∈a ，则ax x x x -++212122222的符号不能确定，为确定()x f 的单调区间，可令ax x x x -++212122222<0由于21x x <，要使上式成立，只需：0222222222≤-++a x x x x ，即62a x ≤，由此我们不难得知：()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0a 上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,6a上单调递减．（证明略）所以，()x f 在区间[]1,1-上的最大值为9626aa a f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛．令9626a a a f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12，解之得：61833>=a，与 (]6,2∈a 矛盾．综上可知：当(]6,2∈a 时，()x f 的最大值为9626aa a f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±，当()+∞∈,6a 时，()x f 的最大值为()421-=±a f ．并且，当8=a时，函数()x f 的图像的最高点恰好落在直线12=y 上．例7.甲、乙两地相距s km , 汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （km/h ）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a 元． （1） 把全程运输成本y （元）表示为速度v （km/h ）的函数，并指出这个函数的定义域；（2） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？错解 （1）依题意，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间是v s，全程运输成本为 y=a vs +bv 2vs =s(va +bv) 故所求函数即定义域为y= s(va +bv) , 0＜v≤c（2）由题意s,a ,b,v 均为正数，故s(v a+bv)≥2sab（当且仅当va =bv 时，即 v=ba 时，等号成立）∴v=ba 时，全程运输成本最小．分析 在（2）中，结论成立的条件是v=ba ，但速度ba 能否达到呢？没有注意实际问题中的条件限制，使解答不够完整．应分以下两种情况讨论：①若ba ≤c,则当v=ba 时，全程运输成本最小．②若ba ＞c,当0＜v≤c 时,易证y 是v 的增函数，因此，当v=c 时，全程运输成本最小．事实上，s(v a+bv)- s(ca +bc)=s[a (v1-c1)+b(v-c)]=vcs (c-v)(a -bcv)∵c-v≥0且a ＞bc 2 ∴a -bcv≥a -bc 2＞0 ∴s(v a+bv)≥s(ca +bc) （当且仅当v=c 时，等号成立）综上所述，为使全程运输成本最小，当ba ≤c 时，行驶速度v=ba ；当ba ＞c 时，行驶速度v=c ．【拓展提高】例8某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q （百件）与销售价p （元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．（Ⅰ）若当销售价p 为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解 本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q 、单位商品的销售价p 之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润． （Ⅰ）设该店的月利润为S 元，有职工m 名．则()4010060013200S q p m =-⨯--．又由图可知：()()2140, 405882 5881p p qp p -+≤≤⎧⎪=⎨-+<≤⎪⎩．所以，()()()()()()21404010060013200 4058824010060013200 58<81p p m p S p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯--≤⎪⎩由已知，当52p=时，0S=，即()()214040100600132000p p m -+-⨯--=，解得50m=．即此时该店有50名职工．124584060qp81（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润()()()()()()21404010037200 4058824010037200 58<81p p p S p p p -+-⨯-≤≤⎧⎪=⎨-+-⨯-≤⎪⎩．当4058p ≤≤时，求得55p=时，S 取最大值7800元．当5881p <≤时，求得61p =时，S取最大值6900元．综上，当55p =时，S 有最大值7800元．设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有 1278002680002000000n ⨯--≥．解得5n ≥．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．点评 求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题． （3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．例9.一位救生员站在边长为100米的正方形游泳池ABCD 的A 处（如图），发现C 处有一位溺水者．他跑到E 处后，马上跳水沿直线EC 游到C 处，已知救生员跑步的速度为米v ／分，游泳的速度为2v 米／分．试问，救生员选择在何处入水才能最快到达C 处，所用的最短时间是多少？讲解：我们可以选择以AE 的长度x （米）作为变量，但此时()222100100x x t v v+-=+，求最值较为困难．注意到：AE 和EC 的长度，可以方便的用角表示，不必用到根号，所以我们可以尝试以C E B ∠作为变量．设C E Bα∠=，则100100100c o t ,sin A EC E αα=-=，所以，100100c o t 2001002c o s 1s in s in t vv v αααα--⎛⎫=+=+ ⎪⋅⎝⎭EDCAB22221ta n221ta n13ta n 10010010050122113ta n 22ta n2ta n ta n 2221ta n 210050100100323v v v v vv vαααααααα⎛⎫-⎪-⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪=+=+=++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭+≥+⨯=等号当且仅当13ta n2ta n2αα=，即3ta n23α=，即3πα=时成立．此时，10031003A E=-，1001003tv+=．也即，救生员应该在AB 边上距B10033米处入水，才能最快到达C 处，所用的最短时间为1001003t v+=．例10.某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：()()()1 1,96 962 ,3x c x NxP x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c 为小于的正常数．注：次品率P=次品数生产量，如0.1P =表示每生产10件产品约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A 元，故厂方希望定出合适的日产量．（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数；（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解：（Ⅰ）当xc>时，23P=，所以，每天的盈利额120332A Tx A x =-⋅=．当1x c≤≤时，196Px=-，所以，每日生产的合格仪器约有1196xx ⎛⎫-⎪-⎝⎭件，次品约有196xx ⎛⎫⎪-⎝⎭件．故，每天的盈利额()113196962296A x T x A x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：()3, 12960, xx A x cT x x c⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当xc>时，每天的盈利额为0．当1x c ≤≤时，()3296xT x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭．为表达方便，令96x t-=，则09695c t <-≤≤．故()39611441144147969797202222t T t A t A t A A t t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（等号当且仅当144t t=，即()1288tx ==即时成立）．所以， （1）当84c≥时，m a x1472T A=（等号当且仅当88x=时成立）．（2） 当184c ≤<时，由1x c≤≤得129695c t <-≤≤，易证函数()144g t t t=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）． 所以，()()96g t g c ≥-．所以，()2114411441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=> ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即2m a x14418921922c c T Ac ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭．（等号当且仅当xc=时取得）综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．点评 基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段．【巩固练习】1方程lgx ＋x ＝3的解所在的区间为（ ）A (0,1)B (1,2)C (2,3)D (3,+∞)2如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对于任意实数t ，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（ ）A f(2)<f(1)<f(4)B f(1)<f(2)<f(4)C f(2)<f(4)<f(1)D f(4)<f(2)<f(1)3已知函数()f x 满足：()()()f a b f a f b +=⋅，(1)2f =，则2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++=4设函数f(x)=lg(ax 2+2x+1)(1)若f(x)的定义域是R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域是R ，求实数a 的取值范围5 设f(x)＝lg1243++xxa ，如果当x ∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a 的取值范围参考答案1图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C ； 2函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A ；3运用条件知：(1)(1)()f n f f n +==2，且2222(1)(2)(2)(4)(3)(6)(4)(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f f f f f +++++++=2(2)2(4)2(6)2(8)(1)(3)(5)(7)f f f f f f f f +++=164分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax 2+2x+1和y=lgu 并结合其图象性质求解解：(1)2()lg (21)f x a x x =++的定义域是R 2210u a x x ⇔=++>对一切实数x 恒成立因为a=0或a ＜0不合题意，所以00a >⎧⎨∆<⎩，解得a ＞1(2)2()lg (21)f x a x x =++的值域是R 221u a x x ⇔=++能取遍一切正实数当a ＜0时不合题意；当a=0时，u=2x+1，u 能取遍一切正实数；当a ＞0时，其判别式Δ=22-4×a ×1≥0，解得0＜a ≤1所以当0≤a ≤1时f(x)的值域是R5分析：当x ∈(-∞,1]时f(x)＝lg1243++xxa 有意义的函数问题，转化为1＋2x ＋4xa>0在x ∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题解：由题设可知，不等式1＋2x ＋4xa>0在x ∈(-∞,1]上恒成立， 即：(12)2x＋(12)x＋a>0在x ∈(-∞,1]上恒成立设t ＝(12)x, 则t ≥12，又设g(t)＝t 2＋t ＋a ，其对称轴为t ＝－12∴ t 2＋t ＋a ＝0在[12,+∞)上无实根， 即 g(12)＝(12)2＋12＋a>0，得a>－34所以a 的取值范围是a>－34。
高三数学课件： 函数的综合应用共35页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
函数的综合应用PPT教学课件
3.在区间
1 2
，2上函数f(x)＝x2+px+q与g(x)＝x2-2x在同一
点值取 是得( C最) 小值(，A)f5(x4)min＝(B3)1，34那么f((xC)在)4 区间(D12)，82上最大
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4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2， x3的大小关系是( C )
1
x
1 x2
来判断函数的
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽 与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、右 各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所 用纸张面积最小?
【解题回顾】应用基本不等式求函数最值时，一定要注意
等式成立的充要条件.另外本题也可它
们当成已知数，根据题设各量之间的制约关系，列出方程 ，求得未知数；或如果变量间的数量关系是用解析式的形 式(函数形式)表示出来的，那么可把解析式看作是一个方 程，通过解方程或对方程的研究，使问题得到解决，这便 是方程的思想.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程知识或方程观点观察处理问题.
【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次 函数，当然因x∈N*，故实际上是两个等差数列.
2.已知函数 f x x2 2x a ，x 1，
x (1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 最小值或单调性.
世界气温的分布规律
➢赤道及其附近地区气温最高，由赤道向两极，气 温逐渐降低。
函数的综合应用
(2010·荆州 国家推行“节能减排，低碳经济” 荆州) 2、(2010·荆州)国家推行“节能减排，低碳经济”政 策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求． 策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该 企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围， 企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每 套产品的生产成本不高于50万元， 50万元 套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低 90万元 已知这种设备的月产量x( 万元． x(套 于90万元．已知这种设备的月产量x(套)与每套的售价 万元)之间满足关系式y 170－2x，月产量x( x(套 y1(万元)之间满足关系式y1＝170－2x，月产量x(套)与 生产总成本y 万元)存在如图所示的函数关系． 生产总成本y2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出 直接写出y 之间的函数关系式； (1)直接写出y2与x之间的函数关系式； (2)求月产量 的范围； 求月产量x (2)求月产量x的范围； (3)当月产量x(套 为多少时，这种设备的利润W(万元) 当月产量x( W(万元 (3)当月产量x(套)为多少时，这种设备的利润W(万元) 最大？最大利润是多少？ 最大？最大利润是多少？
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第六讲函数的综合应用（高三）
2010-2-20
一.高考目标:能综合应用函数的概念，图像，性质等方面的知识解决有关函数的综合问题。
二.要点再现：(你能回顾一下函数的主要内容和解题方法吗？) 1.函数的概念:
2.函数的图像⎩⎨
⎧图像变换
基本函数的图像
3.函数常见问题研究⎩⎨
⎧性，对称性
单调性，奇偶性，周期
定义域，值域，解析式
三.典例分析：
例1．对于函数①)1|2lg(|)(+-=x x f ;②2)2()(-=x x f ;③)2cos()(+=x x f 判断如下三个命题的真假:命题甲:)2(+x f 是偶函数;命题乙:)(x f 在)2,(-∞上是减函数,在),2(+∞上是增函数;命题丙:)()2(x f x f -+在),(+∞-∞上是增函数. 能使命题甲,乙,丙均为真的所有函数序号是( ).
A.①③
B.①②
C.③
D.②
例2.已知定义域为R 的函数a x f x
++=1
21)(是奇函数，（1）求a 的值.
（2）证明f(x)在R 上是减函数.
（3）若对于],1,1[-∈∀t 不等式0)2()2(2
2
>-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围.
例3.已知函数12)(2
-++-=m ex x x f ,)0()(2
>+
=x x
e
x x g
(1) 若g(x)=m 有零点，求m 的取值范围.
(2) 确定m 的取值范围，使g(x)-f(x)=0有两个相异实根.
四．作业
1．函数1
2
2
)(log
1)(+-=+=x x g x x f 与在同一直角坐标下的图象大致是
2. 在下列函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是（ ） A.0
2
4
)()(,)()(.ln 4)(,ln )(x x g x
x x f B x
x g x x f ==
==
C.)1,0(log
)(),1,0()(log
≠>=≠>=a a a x g a a a x f x
a
x
a
D.*1
21
222;)(,)(N
n x
x g x
x f n n n
n
∈=
=
-=
3. 已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数,且函数)8(+=x f y 为偶函数,则(
)
A.)7()6(f f >
B. )9()6(f f >
C. )9()7(f f >
D. )10()7(f f > 4. 函数⎩⎨⎧>+-≤-=1
,
341,
44)(2
x x x x x x f 的图象和函数x x g 2
log
)(=的图象的交点个数是
( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
5．给出四个函数，分别满足：①f(x+y)=f(x)+f(y); ②g(x+y)=g(x)g(y)；
③Φ(xy)= Φ(x)+Φ(y)；④)()()(y h x h y x h ⋅=⋅．又给出四个函数的图象，则如何对应：
6. 设函数⎪⎭⎫
⎝⎛
+-=a x x f 12
lg )(是奇函数,则使0)(<x f 的x 的取值范围为( ).
A.)0,1(-
B.)1,0(
C.)0,(-∞
D.),1()0,(+∞-∞
7．定义在R 上的函数f (x) 是奇函数，又是以2为周期的周期函数，那么f (1) + f (2)+f (3)+f (4) + f (5) + f (6) + f (7)的值为： A. -1
B. 0
C. 1
D. 4
8.函数)2(log )(2x a x f -= 在)1,(-∞上是减函数，则a 的取值范围（ ） A.(1,2] B.(0,1) C.(0,1)∪(1,2) D.)1,(-∞∪(2,+∞) 9.已知二次函数y=f(x)的最大值等于13，且5)1()3(=-=f f , 则f(x)的解析式为
10. 如果函数 ⎩
⎨⎧<>-=)0(),()
0(,32x x f x x y 是奇函数，则=)(x f .
11.函数f （x ）=x 2
+ax+5,对x ∈R 恒有f(x)=f(-4-x),若x ∈[m,0](m<0)时，f(x)的值域为[1，
5],则实数m 的取值范围是__________
12.函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图像恒过定点A,若点A 在直线01=++ny mx 上,其中0>mn ,若t=(m+1)(n-1),则t 的取值范围是__________
13.已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤+<<+=-)
1(12)
0(1)(2x c c x cx x f c x
满足8
9)(2
=
c f .
（1）求常数c 的值;（2）解不等式182)(+＞x f .
14.已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f(x)+g(x)=x 2+x+2
(1)求f (x )和g (x )的解析式；
(2)若不等式f(x)≥ag(x)对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.
第五讲答案
例1.略. 例2.略. 变式训练1.2. 例3.03k ≤<. 变式训练2.2. 作业 1.A 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7. 2()log ()f x x =--
8. (2,3) 9. 33log (2)2
y x =-
10. ②④ 11. 1 12. -lg()1+x 13. ②③
14. s t x t x y +---=)()()1(3 (2) 证明两方面.
第六讲
例1．D ；例2.(1)2
1-
=a ；(2)略；(3)5>k .例3.(1)e m 2≥；(2)122++->e e m .
四．作业： 1.C 2. B 3.D 4.C 5.甲----②；乙---③；丙---④；丁---①. 6.A 7.B 8.A 9.1142)(2++-=x x x f ; 10.32+x ; 11.[]2,4--; 12.⎪⎭
⎫
⎝⎛
-
0,23
; 13.(1)21=c ;
(2)⎭⎬⎫⎩
⎨⎧<<8542x x . 14.(1);)(;2)(2
x x g x x f =+= (2)2222≤≤-a .。