七年级数学下册85垂直与垂直有关的错解分析素材青岛版!
青岛版七年级数学下册 8.5《垂直》教案设计
8.5垂直教学案【教学目标】1.理解两条直线互相垂直、垂线及垂线段的概念，会用符号表示两条直线互相垂直.2.会借助三角尺、量角器等工具过一点画已知直线的垂线，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,进一步丰富动手操作活动经验.3.通过动手实践，理解点到直线距离的意义，垂线段最短的性质，能度量点到直线的距离. 【教学重难点】重点：垂线的性质.难点：垂线的画法.【教学过程】一、导入环节（一）导入新课，板书课题导入语：前面学习了两条直线相交形成对顶角，如果这两组对顶角相等两条直线的位置关系怎样呢？这一节课学习８.５垂直.下面我们来看本节课的学习目标.（二）出示教学目标课件展示教学目标，让学生识记学习目标.过渡语：让我们带着学习目标，带着问题进入自主学习环节.二、先学环节（一）出示自学指导自学课本19页-21页的内容，思考下列问题（约8分钟）：1.两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的，它们的交点叫做.2.结合课本实验与探究掌握画垂线的方法，会过一点画已知直线的垂线，总结垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，.４.，叫做点到直线的距离.(二)自学检测反馈过渡语：通过自学和同学的帮助你感到学的怎么样？学的好不好，自己测一测就知道了.请合上课本完成自学检测题目.要求：用6分钟的时间在学案上完成自学检测题目，要求书写认真、规范，不能乱勾乱画.1.下列说法中,正确的是( )A.过直线外一点和直线上一定点可以画无数条直线与这条直线垂直B.过直线上一点和直线外一定点可以画这条直线的垂线C.过射线外一点可以画这条射线的一条垂线三、后教环节（过渡语）针对自学中存在的问题，小组同学展开交流互助.请将你们组的疑惑提出来让大家帮你解决吧！组内交流，大约用3分钟，将课本中的疑问和自学检测中疑难问题进行交流，组长负责组员的发言秩序，记录没解决的问题.发言要求：言简意赅，明确清晰.（过渡语）现在你能完成前面提出的问题了吧？下面请同学们完成学案上合作探究二展示要求：根据本小组交流情况，组长确定人员组内展示，其他小组进行点评和纠正.小组展示时要尽可能的提高效率，节约时间.本环节用时不超过10分钟.四、训练环节（过渡语）下面请认真规范完成当堂训练题目.训练要求：认真规范完成训练题目，书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化.（10分钟）1.点到直线的距离是指( )A.直线外一点到这条直线的垂线段B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度C.直线外一点到这条直线的垂线的长度D.直线外一点到这条线上任意一点的距离２.完成课本第22页习题第1题。
青岛版数学七年级下册8.5《垂直》教学设计
青岛版数学七年级下册8.5《垂直》教学设计一. 教材分析青岛版数学七年级下册8.5《垂直》是几何学习的重要内容，主要让学生理解垂直的概念，掌握垂直的判定和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解在同一平面内，两条直线相交成90度角的关系，能够运用垂直的性质和判定解决实际问题。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了平行线的相关知识，对直线、射线有了初步的认识。
但是，对于垂直的概念和相关性质的理解还需要进一步的引导和培养。
此外，学生的空间想象力还需要进一步的提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解垂直的概念，掌握垂直的判定和性质，能够运用垂直的性质和判定解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：垂直的概念，垂直的判定和性质。
2.难点：垂直的判定和性质的理解和应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、观察操作法等教学方法。
通过问题驱动引导学生思考，合作学习促进学生交流，观察操作培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.教具准备：直尺、三角板、多媒体课件等。
2.学具准备：直尺、三角板、练习本等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中常见的垂直现象，如墙壁与地面、门框与地面等，引导学生观察并思考这些现象的特点。
提问：你们能发现这些现象之间有什么共同点吗？2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，引导学生认识垂直的概念，讲解垂直的判定和性质。
同时，引导学生进行实际操作，用直尺和三角板找出教室里的垂直现象。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，运用垂直的性质和判定判断给定的线段是否垂直。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）教师出示一些实际问题，引导学生运用垂直的性质和判定解决问题。
8.5垂直(青岛版)
猜一猜，当∠1= 90°时，直线AB、CD的关 系如何？
如果两条直线相交成直角，那么这两 条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线； 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。 图中，直线AB与直线CD垂 直 记作： AB⊥CD； 直线 m 与直线 n 垂直 记作：m⊥n ；
注意
n C
A O D B
试一试
如图，已知直线AB、CD和AB上一点M， 过点M分别画直线AB、CD的垂线。
知识梳理：
已知P是直线外的一点，过点P画直线L的垂线，交 直线L于点A，则线段PA叫做点P到直线L的垂线段。 直线外一点与直线上各点连结的所有线段 中，垂线段最短。 也可简单地说成：垂线段最短。 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离。 垂线段PA的长度，就是点P到直线L的距离。
1、请利用三角尺作出 两条互相垂直的直线。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
画一画
0
1
2
3
4
5
6 5
7 0
8 1
9 10 4 2 3
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0
1
2
3
4
想一想
垂 线 的 性 质
（2）在下列两个图中，分别过点A作c的垂线， 你能作出来吗？每个图中您能作几条？
步骤： 1、落 2、过 3、画
您得到了什么结论？不妨说说看！
Ｃ
Ｂ
Ｄ
Ａ
例3、 如图，直线L表示一条公路，直线L上的
点B表示车站，直线L外的点A表示村庄。
（1）从村庄A到车站B筑一条公路，应按怎样的
路线筑路，才能使路程最短？ （2）从村庄A到公路L筑一条公路，应按怎样的 路线筑路，才能使路程最短？ A
青岛版初一下8.5垂直 教案(两个课时)
8.5垂直垂直(第一课时)教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力.2.了解垂直概念,能说出垂线的性质"经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线",会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.教学重点两条直线互相垂直的概念、性质和画法.教学过程一、创设问题情境,研究垂直等有关概念1.学生观察教室里的课桌面、黑板面相邻的两条边, 方格纸的横线和竖线……,思考这些给大家什么印象?在学生回答之后,教师指出:"垂直"两个字对大家并不陌生, 但是垂直的意义,垂线有什么性质,我们不一定都了解,这可是我们要学习的内容.2.教师出示相交线的模型,演示模型,学生观察思考:固定木条a,转动木条, 当b的位置变化时,a、b所成的角a是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a、b所成的四个角有什么特殊关系?教师在组织学生交流中,应学生明白:当b的位置变化时,角a从锐角变为钝角,其中∠a是直角是特殊情况.其特殊之处还在于:当∠a是直角时,它的邻补角,对顶角都是直角,即a、b所成的四个角都是直角,都相等.3.师生共同给出垂直定义.师生分清"互相垂直"与"垂线"的区别与联系:"互相垂直"指两条直线的位置关系;"垂线"是指其中一条直线对另一条直线的命名。
如果说两条直线"互相垂直"时,其中一条必定是另一条的"垂线", 如果一条直线是另一条直线的"垂线",则它们必定"互相垂直"。
4.垂直的表示法.垂直用符号"⊥"来表示,结合课本图9-25说明"直线AB垂直于直线CD, 垂足为D",则记为AB⊥CD,垂足为D,并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.5.简单应用(1)学生观察课本P16图中的一些互相垂直的线条, 并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流, 使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.教师板书学生的结论:经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)经过直线L外一点B画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?教师板书学生的结论:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.教师让学生通过画图操作所得两条结论合并成一条,并板书:垂线性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.2.变式训练,巩固垂线的概念和画法,如图根据下列语句画图:(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.学生画完图后,教师归结:画一条射线或线段的垂线, 就是画它们所在直线的垂线.三、小结本节学习了互相垂直、垂线等概念, 还学习了过一点画已知直线的垂线的画法,并得出垂线一条性质,你能说出相关的内容吗?四、作业1.课本P18练习,一、判断题.1.两条直线互相垂直,则所有的邻补角都相等.( )2.一条直线不可能与两条相交直线都垂直.( )3.两条直线相交所成的四个角中,如果有三个角相等,那么这两条直线互为垂直.( )二、填空题.1.,OA⊥OB,OD⊥OC,O为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.2.AO⊥BO,O为垂足,直线CD过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.3.直线AB、CD相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB的位置关系是_________.三、解答题.1.已知钝角∠AOB,点D在射线OB上.(1)画直线DE⊥OB;(2)画直线DF⊥OA,垂足为F.2.已知:如图,直线AB,垂线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD 与OE的位置关系.3.你能用折纸方法过一点作已知直线的垂线吗?作业答案:一、1.× 2.∨ 3.∨二、1.145° 2.60° 3. 互相垂直三、1.略 2.互相垂直 3.可以.将已知直线折叠使折线过这个已知点,那么这条折线是已知直线的垂线,因为折线把平角分成两个相等的角,所以每个角为90°.9.5垂直(第2课时)教学目标1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力。
七年级数学下册第8章角8.5垂直教案新版青岛版
对应练习：用刻度尺分别量出P到直线AB、BC和AC的距离。
学生自主学习小组讨论（提问问题、导学探究讨论内容、方式等）
一．学生小组、如图，经过直线L上一点A或直线l外一点B，你能用三角板画出直线l的垂线吗？能画几条？
2、如图，经过直线l上一点A或直线l外一点B，你能用量角器画出直线l的垂线吗？能画几条？
对应练习：如图：直线AB和CD互相垂直记作：或。
任务二：垂线公理
1、经过直线l上的一点A或直线l外一点B你能用三角板画出直线的垂线吗？
2、你能用量角器画吗？
3、无论用什么方法你画出的直线有几条？
于是可以得到结论：。
任务三：垂线性质
1、过直线外一点用三角尺作已知直线的垂线,在直线上找几个点与直线外的已知点连接起来，自己度量一下你能的出什么结论？得到的结论：，简称：。
3.教师释难解疑
归纳总结（教师总结、释难解疑及师生互动探究）
1、本节课你学会了什么？请你写出来
2、还有哪些不明白？
练习反馈：
1.在同一平面内如果两条直线互相垂直，那么这两条直线相交所成的角一定是( )
A．平角B．直角C．钝角D．锐角
2.如图，PO⊥OR，OQ⊥PR，能表示点到直线(或线段)的距离的线段有( )
8.5 垂直
课题
8.5 垂直
教学目标
1.了解垂直概念,能说出垂线的性质,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线.
2.了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离.
教学重点：
1、垂直，垂线的定义
2、 垂线公理及垂线段最短的性质。
教学难点：
"垂线段最短"的性质,
2024青岛版七下数学8.5垂直教学设计
2024青岛版七下数学8.5垂直教学设计一. 教材分析《2024青岛版七下数学8.5垂直》这一节主要讲述的是平面内的直线垂直关系。
通过这一节的学习，学生能够理解垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法，并能够运用垂直的知识解决实际问题。
教材通过丰富的实例和图示，引导学生探究垂直的性质，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了直线、射线、线段的基本概念，对图形的认识有一定的基础。
但是，对于直线垂直的概念和判断方法，学生可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要结合学生的认知水平，循序渐进地引导学生理解和掌握垂直的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重难点：理解垂直的概念，掌握判断两条直线是否垂直的方法。
2.突破策略：通过丰富的实例和图示，引导学生观察、操作、交流，从而理解和掌握垂直的知识。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例和图示，引导学生观察和思考，让学生在实际情境中理解和掌握垂直的知识。
2.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，激发学生的学习兴趣和求知欲。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在交流中相互学习，共同进步。
六. 教学准备1.教学资源：准备相关的实例和图示，制作PPT。
2.教学工具：黑板、粉笔、直尺、三角板。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如房间的墙面和地面，引导学生观察和思考直线垂直的现象。
提问：你们知道为什么房间的墙面和地面是垂直的吗？让学生发表自己的观点。
2.呈现（10分钟）展示PPT，呈现直线垂直的定义和判断方法。
通过图示和实例，解释垂直的概念，引导学生理解两条直线垂直的含义。
青岛版数学七年级下册8.5垂直优秀教学案例
3.设计具有挑战性的数学问题，让学生在解决问题的过程中自然地引入垂直知识，如：在平面上有三条直线，如何判断它们是否垂直？
4.创设互动环节，让学生分组讨论，分享彼此对垂直的理解和看法，促进学生之间的思维碰撞。
（二）讲授新知
青岛版数学七年级下册8.5垂直优秀教学案例
一、案例背景
本案例背景以青岛版数学七年级下册8.5垂直为主题，主要针对七年级学生的认知特点和接受能力进行设计。在教学案例中，我以教材内容为基础，结合学生的实际需求，制定了一系列具有针对性和实用性的教学活动。
在本章节内容中，学生需要掌握垂直的定义、性质以及判定方法。为了让学生更好地理解和运用这些知识，我以生活实际为切入点，设计了一系列与学生生活密切相关的教学活动。通过这些活动，让学生在轻松愉快的氛围中掌握垂直的相关知识，提高他们的数学素养。
4.通过对垂直知识的学习，使学生认识到数学在生活中的重要性，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识。
5.培养学生热爱祖国、热爱人民、热爱社会主义的高尚情操，增强学生的社会责任感和使命感。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实际案例，创设垂直情境，引导学生发现垂直现象，激发学生对垂直知识的兴趣。如：展示房屋建筑中的垂直墙面、楼梯间的垂直扶手等，让学生观察并描述垂直关系。
（三）学生小组讨论
1.设计梯形、矩形等图形，让学生分组讨论，探索垂直的判定方法，培养学生的合作交流能力。
2.引导学生分工合作，共同完成垂直相关的问题解决任务，提高学生的团队协作能力。
3.组织小组竞赛，激发学生的竞争意识和团队精神。如：哪个小组能最快地找出生活中的垂直现象？
4.鼓励学生互相评价、互相学习，培养学生的反思能力和自我提升意识。
青岛版七下数学8.5垂直教学设计
青岛版七下数学8.5垂直教学设计一. 教材分析青岛版七下数学8.5节的内容主要是垂直与平行的性质和判定。
这一节的内容是学生学习几何的基础知识，对于学生来说，掌握好这部分内容对于后续的几何学习有着重要的影响。
教材通过实例和图形，引导学生探究垂直与平行的性质，让学生在实践中掌握知识。
二. 学情分析七年级的学生已经初步掌握了小学数学的知识，对于图形有一定的认识，但是对与垂直与平行的性质和判定还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过实例和图形，让学生直观的理解垂直与平行的性质，引导学生进行思考和探究。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握垂直与平行的性质，能够运用性质判定两条直线是否垂直或平行。
2.过程与方法：通过实例和图形，让学生在实践中掌握垂直与平行的性质。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，让学生感受数学的美。
四. 教学重难点1.教学重点：垂直与平行的性质。
2.教学难点：如何判断两条直线是否垂直或平行。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例和图形，引导学生探究垂直与平行的性质，让学生在实践中掌握知识。
同时，采用分组讨论法，让学生分组进行讨论，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备实例和图形，用于引导学生探究垂直与平行的性质。
2.准备分组讨论的题目，用于培养学生的合作能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问的方式，引导学生回顾小学数学中学到的图形知识，为新课的学习打下基础。
2.呈现（10分钟）通过实例和图形，呈现垂直与平行的性质，引导学生进行观察和思考。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作，运用垂直与平行的性质，判断给定的两条直线是否垂直或平行。
4.巩固（10分钟）通过练习题，让学生巩固所学的内容，确保学生能够熟练运用垂直与平行的性质。
5.拓展（5分钟）引导学生思考，垂直与平行的性质在实际生活中的应用，让学生感受数学的实用性。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生总结垂直与平行的性质，以及如何判断两条直线是否垂直或平行。
青岛版数学七年级下册8.5《垂直》说课稿
青岛版数学七年级下册8.5《垂直》说课稿一. 教材分析青岛版数学七年级下册8.5《垂直》这一节的内容是在学生已经掌握了直线、射线、线段的基本概念和性质的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解垂直的概念，理解垂直的性质，并能够运用垂直的知识解决实际问题。
教材通过丰富的实例和直观的图示，引导学生探究垂直的性质，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了直线、射线、线段的基本概念和性质，对数学图形有了初步的认识。
但是，学生对垂直的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和图示来帮助理解和掌握。
此外，学生的空间想象能力和逻辑思维能力还需要进一步培养。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生了解垂直的概念，理解垂直的性质，并能够运用垂直的知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察实例和图示，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂直的概念和性质。
2.教学难点：理解垂直的性质，并能够运用垂直的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法和实例教学法。
2.教学手段：利用多媒体课件和实物模型进行教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些实际的垂直实例，如墙角、楼梯等，引导学生观察和思考，引出垂直的概念。
2.探究垂直的性质：让学生分组合作，观察和分析实例和图示，引导学生发现垂直的性质，并通过讨论和交流得出结论。
3.应用垂直的知识：通过一些实际问题，让学生运用垂直的知识进行解决，巩固所学的内容。
4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并通过一些拓展问题，激发学生的思考和兴趣。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点内容。
可以设计如下板书：概念：垂直是指两条直线或平面在相交处形成的角度为90度的关系。
青岛版七年级数学QD下册精品授课课件 第8章 角 8.5 垂直
P
垂线段PO的长度，就是点P到直线l的距离.
A3 A2 A1 O
B3 B2 B1 l
课堂练习
1. 以下两条直线互相垂直的是( D )
(1)两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;
(2)两条直线相交所成的四个角相等;
(3)两条直线相交,有一组邻角相等;
∠COE的度数.
解：因为OE⊥AB，
E D
所以∠AOE=90°， 因为∠AOC=∠BOD==∠AOC+∠AOE=135°.
C
2.垂线的画法
(1)借助三角尺画出过点C的直线AB的垂线:
①当点C在直线上时，画法如右图.
步骤：一靠，二移，三画，四延长.
A
B
C
②当点C在直线外时，画法如右图.
解析：根据垂线的性质知：点的位置可以在直线上，也可以在 直线外，且只有一条．由此可知，①②正确，故选B.
4.如图，三角形ABC中，∠C＝90°. (1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离是哪些线段的长； (2)三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？
解：(1) 点A到直线BC的距离是线段AC的长； 点B到直线AC的距离是线段BC的长. (2) AB最长，因为直线外一点与直线上各点连接的所有线段 中，垂线段最短.故线段AC的长度小于线段AB的长度，线段 BC的长度小于线段AB的长度，故线段AB最长.
(4)两条直线相交,对顶角互补.
A.(1)(3)
B.(1)(2)(3)
C.(2)(3)(4)
D.(1)(2)(3)(4)
2.下列说法正确的有( B ) ①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线； ③在平面内，过一点任意画一条直线垂直于已知直线； ④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
青岛版七年级数学下册8.5垂直
D
O
B
实践活动：
借助一副三角尺，大家都能画出哪些度 数的角？
75°
角平分线
已知∠AOC，画出一个角使其等于2 ∠AOC
A
O C
角的平分线的定义：
从一个角的顶点引出的一条射线,把这个角 分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的 平分线
A
C 1 2 O B
试一试: 如何找出一个角的平分线？
角的平分线
B
1 A 2 的差
记作
AOC =
1–
2 ）
D
C
( 1 )
DAB =
DAC+
CAB
( 2 ) A B
ACB =
DCB – A
DCA D
（ 1 ） ABC =
ABD +
CBD
B
C
（ 2 ） BDC =
ADC –
BDA
2、按图填空
（1）∠AOD= ∠COD + ∠COB + ∠BOA ； （2）∠BOC= ∠BOD - ∠COD=∠AOC- ∠AOB ； （3） ∠AOB= ∠AOC - ∠BOC； （4） ∠AOC+ ∠BOD- ∠BOC= ∠AOD 。
（1）如果∠AOB=700， ∠BOE=600，那么∠1+ ∠2= -------0
65
（2） 如果∠1+ ∠2 =550，则∠AOE= -------1100
B
2 1 O
C
A
5、如图，点O在直线AB上，OD、OE分别是
∠AOC 、∠BOC的平分线，则 ∠EOD=
E C 90o
D
B
O
A
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB,求∠EOF的大小？ C 解：∵ OE平分 ∠ AOC，OF平分 ∠COB ∴∠EOC=1／2∠AOC, F ∠COF=1／2∠COB（角平分线的意义）
七年级数学下册8.5垂直与垂直有关的错解分析素材青岛版(new)
与垂直有关的错解分析在垂直一节中,我们主要学习了垂直、垂线、垂线段等知识，对于这些知识应正确理解.为了帮助你理解这些知识，下列就在学习中易出现的一些错误分析如下：例1直线外一点到这条直线的___________叫做点到直线的距离。
错解:填“垂线段"。
图1分析：点到直线的距离是垂线段的长度,是一种数量，它表示的是一种长度，不是图形.垂线段是一条线段，是图形。
不能认为点到直线的距离就是垂线段.如图1，点C到直线AB的距离不是垂线段CD，而是垂线段CD的长度.正解:填“垂线段的长度”.例2 判断正误:过一点有且只有一条直线与已知直线垂直( ）错解：正确.图2分析:平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
如果不是同一平面内，就有可能有无数条直线和已知直线垂直.如图2，正方体中，AB与EF垂直，AH与EF垂直，这样过一点与EF垂直的直线就不是一条了.所以一定要强调在同一平面内。
正解:错。
例3判断正误：如图3，如果PO<PA<PB<PC，则PO的长度就是点P到直线l的距离. ( ）错解:对。
分析：本题错解在于对“垂线段最短"没有正确理解。
题目所给的PO 是线段PO、PA、PB、PC中最短线段，但PO是不是和直线l垂直没有确定.只有当PO是垂线段时，其长度才是点P到直线l的距离。
否则不是。
正解：错.图3例4 如图4，直线AB与CD相交,点P在AB上，PQ⊥CD于Q，线段PQ的长度是________的距离。
错解：填“点Q到直线AB”。
分析：点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，图4因为，PQ⊥CD，垂足为Q，但QP不垂直于AB，所以线段PQ的长度不是Q到直线AB距离.而是点P到直线CD的距离.正解:填“点P到直线CD”。
例5如图5，过线段AB外一点M，画线段AB的垂线.图5 图6 图7错解：如图6.MN⊥AB，垂足为N分析：过线段外一点画线段的垂线，就是过已知点画这条线段所在直线的垂线,垂足不一定在线段上.错解在对垂线理解不准确，所画的不是垂线。
2019-2020学年七年级数学下册 8.5垂直检测青岛版.doc
2019-2020学年七年级数学下册 8.5垂直检测青岛版
什么道理?
1.过点 P 向线段 AB 所在直线引垂线，正确的是（ ）
A B
第八章《角》第五节《垂直》
评测练习
之垂直、垂线的应用专项练习
1.已知四条直线围成一个长方形ABCD。
（1）说出图中和直线AB垂直的直线及垂足，并用符号“⊥”表示；
（2）说出图中所有各对互相垂直的直线（用“⊥”表示）
A C
B D
2.如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB.已知
之当堂检测
1.点到直线的距离是指这点到这条直线的( )．
A.垂线段
B.垂线
C.垂线的长度
D.垂线段的长度
2.已知OC OA ⊥,且AOB ∠∶AOC ∠=2∶3，则BOC ∠的度数是( )．
A.30 °
B.150°
C.30°或150°
D.不能确定
3.如图中的1∠与2∠满足_____________条件时，能使OB OA ⊥．(只要添一个条件即可)
4.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O ，则
BOC AOD ∠+∠=__________．
第八章 《 角 》第五节 《垂直》
评 测 练 习 之挑战自我
取一张长方形纸片,按下列方法折纸,然后回答问题：
第4 题
D
C
B
O
A
1.∠1与∠AEC, ∠3与∠BED分别有怎样的关系?
2.AE与DE垂直吗?为什么?
3. ∠1与∠3有怎样的关系?说明理由。
初中数学青岛七年级下8.5垂直
观察思考
如图，直线AB与CD相交于点O。如果AOD是直角， 那么图中其他三个角是什么角？为什么？
1、垂直的定义
在两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角, 就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条 直线的垂线, 它们的交点叫做垂足。
垂直符号记做
ＡＢ⊥ＣＤ
例1：如图直线AB与直线CD相交于点O， OE⊥AB.已知∠BOD=45°，求∠COE的度数.
解： ∵OE⊥AB （已知）
E D
∴∠AOE=90°（垂直的定义）
∵∠AOC和∠BOD是对顶角
┓
A
O
B
∴∠AOC=∠BOD=45° （对顶角相等）
∴∠COE = ∠AOC+ ∠AOE
C
= 45°+90°
= 135° （角的和）
练习1 如图，直线AB、CD相交于点O，
OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
（4）点C到AB的垂线段是线段AB；
（5）点A到BC的距离是线段AD的长度√； （6）线段AB的长度是点B到AC的距离√；
（7）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ D ）
A
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
B
D
C
2 能表示点到直线（线段）的距离的线段有AB⊥OE（已知）
CE
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
1(
∵ ∠BOD和∠1是对顶角 A
O
B
∴ ∠BOD=∠1=5（5对°顶角相等）
D
∴ ∠EOD= ∠EOB+∠ BOD
=90 °+55 ° =145 °
二.垂线的画法
初中数学青岛版七年级下册高效课堂资料8.5垂直
┓
A
O
B
C
活动一：已知直线l，分别过直线外一点B和直 线上一点A，画l的垂线，你有几种画法?
方法一:用三角尺
Ｂ
l
A
画垂线的方法
画垂线的方法可归纳为“一落、二过、三画”
1.一落：把三角尺的一条直角边落在已知直线上； 2.二过：让三角尺的另一条直角边经过已知的点 3.三画：沿着直角边经过已知点画直线。
义务教育课程标准实验教科书数学·七年级·下册（泰山版）
第八章：角
学习目标
1.通过阅读课本内容，理解垂线、垂线 段的概念. 2.通过动手用三角尺或量角器过一点画 已知直线的垂线，掌握垂线的两条基本 事实. 3.通过知晓垂线的两条基本性质，进一 步应用垂线的基本性质.
‹# ›
自学指导
阅读课本,思考下列问题 一．垂直的定义与表示法是什么? 二．怎样画垂线? 三．垂线段的性质是什么? 四．什么是点到直线的距离?
垂直的定义与表示法是什么?
概念 1. 垂直
２.垂线
Cl
A
O
B m３.垂足源自表示法Dm⊥l
ＡＢ⊥ＣＤ
∠BOC=90°
合作探究
个人独立思考，在小组内发表自己 的思路，小组长统一点评后，个人整理。
‹# ›
例：如图直线AB与直线CD相交于点O， OE⊥AB. 已知∠BOD=45°，求∠COE的度数.
E D
反思归纳
一节课的学习有很多的收获， 请将本节课的收获用思维导图的 形式呈现出来。
P
A
B
如何画一条线段或一条射线的垂线？
C
C
01 23 4 5
01 23 4 5
01 2 3 45
01 2 3 45
七年级数学下册 8.5 垂直《垂直》中三个注意点素材 (新版)青岛版
可修改 欢迎下载1垂直?中三个注意点垂直的关系是两条直线之间常见而又重要的一种关系，我们现在提出三个注意点，供同学们参考。
一、垂直的几种理解方法。
我们知道两条直线垂直的定义：两条直线相交，当它们的交角中有一个是90°时，这两条直线垂直。
我们可换个角度理解看。
如图1，两条直线相交，有两组对顶角，对顶角必相等， 假设有一个交角中有一个是90°时。
那么它的对顶角也是90°， 它的补角也是90°，得这四个角都是90°，所以，我们可以这样说：〔1〕两条直线相交，当它们的交角都是90°时〔都相等时〕，这两条直线垂直；〔2〕两条直线相交，当它们的交角中互补的两角相等时，这两条直线垂直；〔3〕两条直线相交，当它们的交角中对顶角互补时，这两条直线垂直。
二、理解垂线段最短。
直线外一点到直线的所有点的连线中，垂线段最短。
这里，要注意是直线外一点与直线的所有点的连线所构成的所有的线段进行比照的，同时，这里有一个唯一最短的线段--垂线段！点到直线的距离。
例1 如图2，直线AB 外有一点O ，它和直线AB 上三点ACB 相连，AO 长5cm ，OC 长3cm ，OB 长4cm ，那么你认为点O 到直线AB 之间的距离〔 〕A ．等于3cmB ．大于等于3cm C．小于等于3cm 。
分析：这里仅出现了三条线段而不是所有的连线， 所以3cm 长未必最短，假设它不是垂线段，那么还有 更短的距离。
解：选C评：理解清其中的关键词！ 三、点到直线的距离。
点到直线的距离，是一个数值，它等于直线外一点到这条直线上垂线段的长度，而不是指垂线段，因为垂线段是一个几何图形。
例2 如图3，在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3cm,BC=4cm,那么点C 到线段AB 的距离是〔 〕A ．垂线段ABB ．过点B 向线段AC 作垂线段，再量出距离 C ．3cm ，D ：4cm 。
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与垂直有关的错解分析
在垂直一节中，我们主要学习了垂直、垂线、垂线段等知识，对于这些知识应正确理解.为了帮助你理解这些知识，下列就在学习中易出现的一些错误分析如下：
例1直线外一点到这条直线的___________叫做点到直线的距离.
错
解:填“垂线段”. 图1
分析: 点到直线的距离是垂线段的长度，是一种数量，它表示的是一种长度，不是图形.垂线段是一条线段，是图形.不能认为点到直线的距离就是垂线段.如图1，点C 到直线AB 的距离不是垂线段CD ，而是垂线段CD 的长度.
正解:填“垂线段的长度”.
例2 判断正误：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（ ）
错解：正确.
分析：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.如果不是同一平面内，就有可能有无数条直线和已知直线垂直.如图2，正方体中，AB 与EF 垂直，AH 与EF 垂直，这样过一点与EF 垂直的直线就不是一条了.所以一定要强调在同一平面内.
正解：错.
例3判断正误: 如图3，如果PO<PA<PB<PC,则PO 的长度就是点P 到直线l 的距离. （ ） 错解：对.
分析：本题错解在于对“垂线段最短”没有正确理解.题目所给的PO 是线段PO 、PA 、PB 、PC 中最短线段，但PO 是不是和直线l 垂直没有确定.只有当PO 是垂线段时，其长度才是点P 到直线l 的距离.否则不是.
正解：错.
图3 例4 如图4，直线AB 与CD 相交，点P 在AB 上，PQ⊥CD 于Q ，线段PQ 的长
度是________的距离.
错解：填“点Q 到直线AB”.
分析：点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 图4
因为，PQ ⊥CD ，垂足为Q ，但QP 不垂直于AB ，所以线段PQ 的长度不是Q 到直线AB 距离.而是点P 到直线CD 的距离
. 图2
正解：填“点P到直线CD”.
例5如图5，过线段AB外一点M，画线段AB的垂线.
图5 图6 图7
错解：如图6.MN⊥AB，垂足为N
分析：过线段外一点画线段的垂线，就是过已知点画这条线段所在直线的垂线，垂足不一定在线段上.错解在对垂线理解不准确，所画的不是垂线.
正解：如图7.MN⊥AB，垂足为N.。