黑龙江省哈三中2011-2012学年上学期高一年级期末考试数学试卷

黑龙江省哈三中2011-2012学年上学期高一年级期末考试数学试卷
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．
考试时间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1． 已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 A ．2 B ． 3 C ．6 D ．9 2． 已知函数sin()3y x π=--，则函数的最小正周期为 A ．3 B ．π C ．2 D ．2π 3．已知ABC ∆
中，a =，60B = ，45A = ，则b = A ．2 B
． C
D
． 4．化简
sin()cos()
cos(
)
22
παπαπ
α+-+所得结果为
A ．sin α
B ．sin α-
C ．cos α
D ．cos α-
5．已知cos sin 3αα=，则sin sin cos cos sin cos 3223ααααα
α
-+=
A ．
13 B ．727 C ．19 D ．1327
6．
函数log (sin 32y x =-的定义域为 A ．(,)224
2
k k π
π
ππ++
（k Z ∈） B ．(,)3224
4
k k π
π
ππ+
+
（k Z ∈） C ．(,)3222
4k k π
πππ+
+
（k Z ∈） D ．(,)2244
k k ππ
ππ-+ （k Z ∈） 7． 已知函数254
m m y x
-+=（m Z ∈）为偶函数且在区间(,)0+∞上单调递减，则m =
A ．2或3
B ．3
C ．2
D ．1 8． 已知函数sin sin 2
31y x x =-+（[,]6
x π
π∈），则函数的值域为
A ．[1,1]-
B ．1
[,1]4
-
C ．1[1,]4
-- D ．[1,5]-
9．sin cos sin sin 4424
1αααα
---= A ．
3
2
B ．2
C ．3
D ．1 10．设tan 1a =，tan 2b =，tan 3c =，tan 4d =，则,,,a b c d 大小关系为 A ．d a c b >>> B ．a d b c >>> C ．a d c b >>> D ．d a b c >>> 11． 已知sin()124
13π
α+
=
，且(,)042
ππ
α+∈，则sin α=
A C ． D ．12． 已知,[,]22
ππ
αβ∈-，tan ,tan αβ是关于方程2201120120x x ++=的两根，
则αβ+= A ．
4
π
B ． 34π-
C ．4π或34π-
D ．4π-或4
π 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上) 13． 函数sin sin 22
x
y x =
+的值域为__________________.
14. ABC ∆中，若5a =，3b =，23
C π
=
，则c =________________.
15． 已知(
,)2
π
θπ∈，cos
2
a θ
=+=________________. 16. 若函数()()2
21f x x m x m =+-+在区间[,]11-内有零点，则m 的取值范围是 ________________________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题10分）
已知：函数()sin()32f x x ϕ=+（(,)0ϕπ∈-）的一条对称轴方程为712
x π=， （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）利用五点作图法画出函数()y f x =在区间[
,]433
ππ
内的图象.
18．（本大题12分）
求实数a 的取值范围使不等式sin cos sin cos 410x x x x a ++⋅+-≤恒成立.
19．（本大题12分） 已知函数()sin()6
g x x π
=+
，()cos ()122
f x x
g x =⋅-
（1）求函数()f x 的最小正周期及其对称中心坐标； （2）当[,
]02
x π
∈时，求函数()f x 的值域；
（3）由sin y x =可以按照如下变换得到函数()y f x =， sin y x =()
1→sin()6
y x π
=+()
2→sin()26
y x π
=+
，写出（1）（2）的过程.
20．（本大题12分）
在ABC ∆中，sin()1C A -=，sin 13
B = （1）求sin A 的值；
（2）设AC =，求ABC ∆的面积.
21．（本大题12分）
已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,0002
A π
ωϕ>>≤≤
）在(,)05π内只取到一个最
大值和一个最小值，且当x π=时，函数取到最大值2，当4x π=时，函数取到最小值
2-
（1）求函数解析式； （2）求函数的单调递增区间；
（3）是否存在实数m 使得不等式f f >成立，若存在，求
出m 的取值范围.
22. （本大题12分）
已知函数()lg ||11f x x p =-，()lg(||)222f x x p =-+（x R ∈，,12p p 为常数） 函数()f x 定义为对每个给定的实数x （1x p ≠），()()()()()
()()
112221f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨≤⎩
（1）当12p =时，求证：()1y f x =图象关于2x =对称；
（2）求()()1f x f x =对所有实数x （1x p ≠）均成立的条件（用1p 、2p 表示）； （3）设,a b 是两个实数，满足a b <，且1p ，2p (,)a b ∈，若()()f a f b = 求证：函数()f x 在区间[,]a b 上单调增区间的长度之和为
2
b a
-.（区间[,]m n 、(,)m n 或(,]m n 的长度均定义为n m -）
高一数学答案
一、选择题
112- DCBCB BAABC BB
二、填空题
13．[,]223
- 14．7 15 16．2m ≥或1m ≤- 三、解答题
20．（1）sin A =
（2）ABC S ∆= 21．
（1）()sin(
)1236
f x x π=+ （2）单调增区间为[,]626k k ππππ-+（k Z ∈） （3）1
22
m <≤ 22
（1）当12p =时
x x x f x x x f x x f -=--=-=-+=+∴-=lg 22lg )2(,lg 22lg )2(,2lg )(111 )2()2(21x f x f -=+∴，所以对称轴为2=x
（2）若对任意实数)()(,),()(211x f x f R x x f x f ≤∈∀∴=均成立
即()
2lg lg 21+-≤-p x p x ，由对数的单调性可知221+-≤-p x p x 均成立
212121,2p p p x p x p x p x ----≤---∴的最大值为又
所以21,p p 满足 （3）① 当221≤-p p 时，由（2）可知11lg )()(p x x f x f -==
由（1）可知函数)()(1x f x f =关于1p x =对称，由)()(b f a f =，可知2
1b
a p += 而⎩⎨
⎧<->-=)
)(lg())(lg()(11111p x x p p x p x x f 由单调性可知，单调增区间长度为22a
b b a b -=
+-
故由()1y f x =与()2y f x =单调性可知，增区间长度之和为
()()012x p b p -+-，由于()()f a f b =，得122p p a b +=++
所以()()1201212p p x p b p b +-+-=-
+2
b a
-=
. 当12p p >时，同理可证增区间之和仍为2
b a
-.。