概率与数理统计-1.2随机事件

3 {0, 1, 2, 3, }
在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命. 则样本空间为：
4 {t t 0}
注：⑴建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数 学模型. 因此一个样本空间可以概括许多内容 大不相同的实际问题.
如：包含两个样本点的样本空间
{H, T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的模 型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型， 又能用于排队现象中有人排队与无人排队的模型 …………
并，记作 A B 或 A B ，即：
A B A发生或B发生
A, B中至少有一个发生
维恩图表示：
A
B

注： n 个事件 A1 , A2 ,, An的和，记为： n A1 A2 An Ak
k 1
3、事件的积（交）
如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， B “出现偶数点“，C=“出现2点”，请思考： C与A、B关系？
B A

注：⑴事件 A 是事件 B 的子事件即 A B ，换一说 法：如果事件 B 不发生必然导致事件 A 不发生； ⑵由于必然事件在每一次试验中都发生，所以对 任一随机事件 A ，都有 A .
如：抛两颗骰子， A “两颗骰子点数之和为奇数”， B “两颗骰子的点数为一奇一偶“，请思考A与
7、完备事件组
设 A1 , A2 ,, An 满足: ⑴ Ai Aj ，（i j ）即两两互不相容； ⑵ A1 A2 An 即它们的和为必然事件. 则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组
事件运算满足如下规律
⑴交换律 A B B A ⑵结合律 ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ⑶分配律 ( A B) C ( A C ) ( B C )
3、观察这一次出现的所有可能的偶数点结果，并把 此结果写成集合形式.
{2,4,6}
这就是这次随机试验的随机事件，随机事 { 1,4,5} {2,5} 等. 件还如：
基本事件：在试验 E 中，每一种可能结果称为基本 事件，或称为样本点. 常用字母 表示. 样本空间：所有基本事件（或样本点）组成的集合 称为试验 E 的样本空间，记为 . 例1：写出下列随机试验的样本空间
⑵样本空间的元素是由试验的目的所确定的.
如：将一枚硬币连续抛掷两次，观察正面H、反面 T出现的情况. 则样本空间为：
{HH , HT , TH , TT }
第 1次
第 2次
H
T H T
HH HT TH TT
H
H T T
在每次试验中必 有一个样本点出 现且仅有一个样 本点出现 .
随机事件：在随机试验中，有可能发生也有可能不发 生的结果，称之为随机事件，简称为事件，
A1 A2 An Ak
k 1
n
4、事件的差
事件 A 发生而事件 B 不发生，称为事件 A 关于
事件 B 的差，记作 A B ，即：
A B A发生而B不发生
维恩图表示：
A B A B

如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， A B {1,3} B “出现偶数点“，则：
二、事件间的关系及运算
事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的
运算自然按照集合论中集合之间的关系和集合 运算来处理. 根据“事件发生”的含义，下面给 出事件的关系和运算在概率论中的提法.
设试验E的样本空间为 ，而 A, B, A1 , A2 ,, An
分别为 的子集.
1、事件的包含与相等 如：抛一颗骰子，事件 A “出现4点”， B
例2：将一枚硬币连续抛掷3次，观察正面H、反面T 出现的情况，试写出下列事件： ⑴第一次出现正面H；
A1 {H H H ,H H T ,H TT , H TH }
⑵出现两次正面H；
A2 {H H T ,H TH , TH H}
⑶三次出现同一面T；
A3 {TTT }
⑷四次出现反面T.
A4
C A B
事件的积（交）：事件 A与事件 B 同时发生，称为事件
A与事件 B 的积，也称为事件 A 与事件 B 的交，记 作 A B 或 AB ，即： A B A发生且B发生
A, B同时发生
维恩图表示：
A
B

注： n 个事件 A1 , A2 ,, An的积，记为：
A A
AA
⑵ 对立事件一定是互不相容事件，但互不相容 的事件未必是对立事件. 如：抛一颗骰子， A “出现点数不超过3”， B “出现点数大于4“，则：
A {1,2,3} B {5,6}
A {4,5,6}
显然： A 与 A 互为对立事件，同时也是互斥事 件； A 与 B 互为互斥事件，但不是对立事件.
⑹ A1 A2 A2 A3 A的发生，而且 B 的发 生必然导致 A 的发生，所以 A B 事件的相等：若事件 A 包含事件 B ，同时事件 B 也 包含事件 A . 即：A B 且 A B ，则称事件 A 与事件 B 相等，或称 A 与 B 等价，记为 A B . 即： A B
抛一枚硬币,观察正面H、反面T出现的情况. 则样本空间为：
1 {H , T }
将一枚硬币连续抛掷三次，观察正面H、反面T出 现的情况. 则样本空间为：
2 {HHH , HHT , HTT , HTH , THH , TTH , THT , TTT }
记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. 则样本空间为：
A B 且 A B
维恩图表示：

A B
2、事件的和（并） 如：抛一颗骰子，事件
A {1,2,4}
B {2,4,6} C {1,2,4,6}
请思考：C与A、B的关系？
C A B A B
事件的和( 并 )：事件A 与事件B 中至少有一个发生，称 为事件 A 与事件 B 的和，也称为事件 A 与事件 B 的
常用大写字母 A, B, C …表示.
注：随机事件实际上是样本空间的一个子集，即 是由样本点所构成的集合. 事件发生：当事件A所包含的基本事件或样本点有一个 出现，就说事件A发生了；否则就说事件A 没发生.
必然事件：在每次试验中，一定出现的事件称为必
然事件，记为
不可能事件：在每次试验中，一定不出现的事件称 为不可能事件，记为 注：必然事件和不可能事件是每次试验之前都可以 准确预言的，其结果不是随机事件. 但为了讨 论问题的方便，我们把它们看成是特殊的随机 事件，作为随机事件的两个极端情况.
显然，对偶公式表明：
“至少有一个事件发生”的对立事件是“所有事件都不发生” “所有事件都发生”的对立事件是“至少有一个事件不发生”
四、利用事件间的关系及运算写出相应的事件
例3：某人连续三次购买体育彩票，每次一张，令 A, B, C 分别表示其第一、二、三次所买彩票 中奖的事件. 试用A, B, C 及运算写出下列事件. ⑴第三次未中奖；
C
A BC
⑵只有第三次中了奖；
⑶恰有一次中奖；
ABC
⑷至少有一次中奖； ⑸不止一次中奖； ⑹至多中奖两次.
AB C U ABC U A BC
ABC
AB U BC U AC
例4：甲、乙、丙三人各进行一次试验，事件A1 , A2 , A3 分别表示甲、乙、丙试验成功，说明下列事件
所表示的试验结果.
乙 、 丙 中 至 少 有 一 人 不 成 功 ⑴ A1 ⑷A A 2 3 ⑵ A1 A2 ⑸ A1 A2 A3 ⑶ A2 A3 乙、丙中至 多有一人成功
第一章 随机事件与概率
1.2 随机事件
1.2节需要弄清楚下述问题：
1、基本事件、样本空间的概念，并举例说明？ 2、随机事件的概念，并举例说明？ 3、事件发生的含义是什么？必然事件与不可能事件的概念， 并举例说明？ 4、事件的包含关系是指？并举例说明？ 5、事件的相等关系是指？并举例说明？ 6、事件的和（并）概念，并举例说明？ 7、事件的积（交）的概念，并举例说明？ 8、事件的差的概念，并举例说明？ 9、互不相容事件是指？并举例说明？ 10、对立事件是指？并举例说明？ 11、完备事件组的概念，并举例说明？ 12、事件之间的运算满足哪些规律？
”出现偶
数点”，请思考：
1、事件 A 发生会导致事件 B 的发生吗？ 会 2、事件 B 发生会导致事件 A 的发生吗？ 不会 事件的包含关系：若事件 A 发生必然导致事件 B 发 生，则称事件 B 包含事件 A ，也称事件 A 包含 于事件 B . 记为 A B（或 B A ）.
维恩图表示：
( A B) C ( A C ) ( B C )
⑷对偶公式（De Morgan定理）
A B A B
A B A B
对偶公式也可推广到多个事件的情形，设 A1 , A2 ,, An 是
n个事件，有：
A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An A1 A2 An
一、样本空间与随机事件
随机试验：请掷一枚均匀的骰子 1、观察出现的所有可能结果，并把此所有可能结果 写成集合形式；
{1,2,3,4,5,6}
事实上这就是这次随 机试验的样本空间
2、观察这一次可能出现的结果，并把这一次可能结果 写成集合形式；
{1},{2},{3},{4},{5},{6}
这些可能结果就是这次 随机试验的基本事件
如：抛一颗骰子，A “出现偶数点”， B 现奇数点“，则： “出
A {2,4,6} B {1,3,5}
A B AB 于是 A, B 互斥
6、对立事件