12.1 随机事件的概率 2021年高中总复习优化设计一轮用书理数
【步步高】高考数学大一轮复习 12.1 随机事件的概率(含解析)新人教A版
12.1 随机事件的概率一、选择题1．把12人平均分成两组，再从每组里任意指定正、副组长各一人，其中甲被指定为正组长的概率是( ) A.112 B.16 C.14 D.13解析 甲所在的小组有6人，则甲被指定正组长的概率为16.答案 B2．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( ) A.368 B.369 C. 370D.170 解析 加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得 加工出来的零件的次品率6968673170696870p =-⨯⨯=. 答案 C3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( ) A.115 B.35 C.815D.1415解析 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案 B4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90解析 依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40. 答案 A5．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．A.110B.310C.35D.910解析 法一 (直接法)：所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类：两红一白有6种取法；一红两白有3种取法，而从5个球中任取3个球的取法共有10种，所以所求概率为910，故选D.法二 (间接法)：至少一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球，即只有3个红球共1种取法，故所求概率为1－110＝910，故选D. 答案 D6．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( )．A ．P (M )＝13，P (N )＝12B ．P (M )＝12，P (N )＝12C ．P (M )＝13，P (N )＝34D ．P (M )＝12，P (N )＝34解析 Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P (M )＝12，P (N )＝34.答案 D7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )．A.16B.13C.19D.12解析 采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13.答案 B 二、填空题8. 甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为_______．答案349．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为________． 解析 因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.答案 2310．从装有大小相同的4个红球，3个白球，3个黄球的袋中，任意取出2个球，则取出的2个颜色相同的概率是________．解析 概率P ＝C 24C 210＋C 23C 210＋C 23C 210＝415.答案 41511．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是_______．解析 要使△ABC 有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b sin A ，b ＞a 因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案 1612．甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为________．解析 由对立事件的性质知在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为1－(1－0.8)(1－0.75)＝0.95. 答案 0.95 三、解答题13．已知7件产品中有2件次品，现逐一不放回地进行检验，直到2件次品都能被确认为止． (1)求检验次数为3的概率； (2)求检验次数为5的概率．解析 (1)设“在3次检验中，前2次检验中有1次检到次品，第3次检验到次品”为事件A ，则检验次数为3的概率为 P (A )＝C 12C 15C 27·1C 15＝221.(2)记“在5次检验中，前4次检验中有1次检到次品，第5次检验到次品”为事件B ，记“在5次检验中，没有检到次品”为事件C ，则检验次数为5的概率为 P ＝P (B )＋P (C )＝C 12C 35C 47·1C 13＋C 55C 57＝521.14．由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：求：(1)至多(2)至少2人排队的概率．解析 记“没有人排队”为事件A ，“1人排队”为事件B ，“2人排队”为事件C ，A 、B 、C 彼皮互斥．(1)记“至多2人排队”为事件E ，则P (E )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)记“至少2人排队”为事件D .“少于2人排队”为事件A ＋B ，那么事件D 与事件A ＋B 是对立事件，则P (D )＝1－P (A ＋B )＝1－[P (A )＋P (B )]＝1－(0.1＋0.16)＝0.74.15．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为14，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率是12，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解析 分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D .由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎩⎪⎨⎪⎧ 14＋P B ＋P C ＋P D ＝1，P B ＋P C ＝512，PC ＋PD ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧P B ＝14，PC ＝16，PD ＝13.∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是14，16，13.16．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．(1)求再赛2局结束这次比赛的概率； (2)求甲获得这次比赛胜利的概率．解析记A i表示事件：第i局甲获胜，i＝3,4,5，B j表示事件：第j局乙获胜，j＝3,4.(1)记A表示事件：再赛2局结束比赛．A＝A3A4＋B3B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)＝P(A3A4＋B3B4)＝P(A3A4)＋P(B3B4)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B＝A3A4＋B3A4A5＋A3B4A5，由于各局比赛结果相互独立，故P(B)＝P(A3A4)＋P(B3A4A5)＋P(A3B4A5)＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.。
2021年高考数学第一轮复习 课后练习册子及其答案和详细解析
强化练习题
目录
第 1 讲 集合与简易逻辑...........................................................................................................................- 1 第 2 讲 函数及其性质经典精讲 ...............................................................................................................- 2 第 3 讲 函数及其性质 2019 高考真题赏析 .............................................................................................- 3 第 4 讲 函数及其性质 2018 高考真题赏析 .............................................................................................- 4 第 5 讲 平面向量.......................................................................................................................................- 5 第 6 讲 三角函数与三角恒等变换经典精讲 ............................................................
优化方案2021数学一轮课件：随机事件的概率
2020/8/25
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考纲展示
备考指南
1.互斥事件和对立事件的概
1.了解随机事件发生的不 率是高考重点考查的内容,
确定性和频率的稳定性， 其中对立事件的概率是“
了解概率的意义，了解频 正难则反”思想的具体应
率与概率的区别．
用，在高考中经常考查.
2.了解两个互斥事件的概 2.多以选择题、填空题的形
率加法公式.
式考查，有时也渗透在解
答题中，属容易题.
本节目录
知能演练轻松闯关 名师讲坛精彩呈现 考点探究讲练互动 教材回顾夯实双基
教材回顾夯实双基
基础梳理
1．频率和概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出 现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,
称事件A出现的比例fn(A)＝_____为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着 试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频__率__fn_(_A_)__ 来估计概率P(A)．
思考探究 频率与概率有什么区别与联系？ 提示：频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数, 它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率 靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的 概率．
答案：0.74
考点探究讲练互动
考点突破
考点1 随机事件的概率与频率 例1 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专
用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结 果如表所示：
(1)计算表中乒乓球优等品的频率； (2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检测为优等品的概率 是多少？(结果保留到小数点后三位) 【解】 (1)表中乒乓球优等品的频率依次为 0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951. (2)根据概率的定义，表中所有优等品数除以取出球的总数的 商，非常接近于优等品概率，约为0.950. 【题后感悟】 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可 以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发 生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数 的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就 是概率．
2021版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第12章 概率、随机变量及其分布 12.3 文档
1．几何概型假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型中，大事A 的概率的计算公式 P (A )＝构成大事A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).3．要切实理解并把握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能消灭的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性． 4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机大事的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赐予每个随机数肯定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M 和总的随机数个数N ；③计算频率f n (A )＝MN 作为所求概率的近似值．【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )(2)几何概型中，每一个基本大事就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．( √ ) (4)随机模拟方法是以大事发生的频率估量概率．( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的外形有关．( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )1．(教材改编)在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( )A.12B.13C.14 D ．1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1]，长度为1，[0,3]区间长度为3，故所求概率为13.2．(2021·山东)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则大事“－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.14 答案 A解析 ∵由－1≤12log ⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1，得12≤x ＋12≤2， ∴0≤x ≤32.∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 P ＝32－02－0＝34.3．(2022·辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB ＝2，BC ＝1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2B.π4C.π6D.π8 答案 B解析 设质点落在以AB 为直径的半圆内为大事A ， 则P (A )＝阴影面积长方形面积＝12π·121×2＝π4.4．(2022·福建)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估量阴影部分的面积为________．答案 0.18解析 由题意知，这是个几何概型问题， S 阴S 正＝1801 000＝0.18， ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.5．(教材改编)如图，圆中有一内接等腰三角形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．答案 1π解析 设圆的半径为R ，由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形，其直角边长为2R ，则所求大事的概率为： P ＝S 阴S 圆＝12×2R ×2R πR 2＝1π.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 (1)(2021·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．(2)在区间[－π2，π2]上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________．答案 (1)23 (2)13解析 (1)方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＜0，x 1·x 2＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p ＜0，3p －2＞0，解得p ≥2或23＜p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为13.(3)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM <1的概率．解 由于∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°. 在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°， 所以BD ＝ADtan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记大事N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时大事N 发生． 由几何概型的概率公式，得：P (N )＝30°75°＝25.引申探究1．本例(2)中，若将“cos x 的值介于0到12”改为“cos x 的值介于0到32”，则概率如何？解 当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤32，得－π2≤x ≤－π6或π6≤x ≤π2，依据几何概型概率公式得所求概率为23.2．若本例(3)中“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ”改为“在线段BC 上找一点M ”，求BM <1的概率．解 依题意知BC ＝BD ＋DC ＝1＋3，P (BM <1)＝11＋3＝3－12.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特殊留意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建大事的区域(长度或角度)．(1)如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．(2)已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则大事“x ∈(A ∩B )”的概率是________． 答案 (1)16 (2)16解析 (1)如题图，由于射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.(2)由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{}x | 2<x <3，故A ∩B ＝{x |2<x <3}．由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈(A ∩B )的概率为P ＝16.题型二 与面积有关的几何概型 命题点1 与平面图形面积有关的问题例2 (2021·福建)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12 答案 B解析 由图形知C (1,2)，D (－2,2)，∵S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32.∴P ＝326＝14.命题点2 与线性规划学问交汇命题的问题例3 (2022·重庆)某校早上8：00开头上课，假设该校同学小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)． 答案932解析 设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟，依据题意可画出图形，如图所示，则总大事所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的大事A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.命题点3 与定积分交汇命题的问题例4 (2021·福建)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.思维升华 求解与面积有关的几何概型的留意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某大事对应的面积，必要时可依据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．(1)在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8B ．1－π4C ．1－π2D ．1－3π4(2)(2022·湖北)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.78(3)如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0,1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 (1)B (2)D (3)B解析 (1)由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点， 可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}， 其面积S Ω＝(2π)2＝4π2. 大事A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4，所以选B.(2)如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C (－12，32)，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB＝2－142＝78.(3)依据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为⎠⎜⎛π4π(sin x －cos x )d x ＝(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪ππ4＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.题型三 与体积有关的几何概型例5 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为______________________ __________________________________________________． 答案 1－π12解析 V 正＝23＝8，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 正＝2π8×3＝π12， 故点P 到O 的距离大于1的概率为1－π12.思维升华 求解与体积有关问题的留意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及大事的体积(大事空间)，对于某些较简单的也可利用其对立大事去求．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A －A 1BD 内的概率为________．答案 16解析 由于VA －A 1BD ＝VA 1－ABD ＝13·S △ABD ·AA 1＝16·S 矩形ABCD ·AA 1＝16V 长方体，故所求概率为VA －A 1BD V 长方体＝16.18．混淆长度型与面积型几何概型致误典例 (12分)在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，试求这三条线段能构成三角形的概率． 易错分析 不能正确理解题意，无法找出精确 的几何度量来计算概率． 规范解答解 设x 、y 表示三段长度中的任意两个． 由于是长度，所以应有0<x <1,0<y <1,0<x ＋y <1， 即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．[4分]要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．[8分] 由于阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14.[12分]温馨提示 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确推断大事是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证大事是否具有等可能性，导致错误．[方法与技巧]1．区分古典概型和几何概型最重要的是看基本大事的个数是有限个还是无限个． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式． (1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机大事需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本大事，然后利用平面直角坐标系就能顺当地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机大事需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本大事，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型． [失误与防范]1．精确 把握几何概型的“测度”是解题关键；2．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在大事之内不影响所求结果．A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2022·湖南)在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15 答案 B解析 在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1，即－2≤X ≤1的概率为P ＝35.2．在区间[－1,4]内取一个数x ，则2x －x 2≥14的概率是( )A.12B.13C.25D.35 答案 D解析 不等式2x －x 2≥14，可化为x 2－x －2≤0，则－1≤x ≤2，故所求概率为2－(－1)4－(－1)＝35.3．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23 答案 C解析 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE (不包含B 、E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF (不包含C 、F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12.4．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6 D.4－π4 答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.5.从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为( )A.12B.13 C.14 D.16 答案 B解析 依据题意由定积分的几何意义可得如图所示阴影部分的面积为S ＝ʃ10(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3|10＝13，所以点M 取自阴影部分的概率为S S 正方形OABC ＝131×1＝13.6．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________． 答案 23解析 V 圆柱＝2π，V 半球＝12×43π×13＝23π，V 半球V 圆柱＝13， 故点P 到O 的距离大于1的概率为23.7．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是________．答案 12解析 ∵方程x 2m 2＋y 2n2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好将矩形平分，∴所求的概率为P ＝12.8．随机地向半圆0<y <2ax －x 2(a 为正常数)内掷一点，点落在圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4的概率为______．答案 12＋1π解析 半圆域如图所示：设A 表示大事“原点与该点的连线与x 轴的夹角小于π4，由几何概型的概率计算公式得P (A )＝A 的面积半圆的面积＝14πa 2＋12a 212πa 2 ＝12＋1π. 9．随机向边长为5,5,6的三角形中投一点P ，则点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率是________． 答案24－π24解析 由题意作图，如图则点P 应落在深色阴影部分，S 三角形＝12×6×52－32＝12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积为π2，故点P 到三个顶点的距离都不小于1的概率为12－π212＝24－π24.10．已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y )．(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、其次次消灭的点数，求满足a ·b ＝－1的概率；(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率．解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本大事总数为6×6＝36(个)； 由a ·b ＝－1有－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本大事为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个； 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本大事的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}； 满足a ·b <0的基本大事的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，矩形的面积为S 矩形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.B 组 专项力量提升 (时间：30分钟)11．一个长方体空屋子，长，宽，高分别为5米，4米，3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器(大小忽视不计)，可捕获距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内回旋，则苍蝇被捕获的概率是( )A.π180B.π150C.π120D.π90 答案 C解析 屋子的体积为5×4×3＝60立方米，捕蝇器能捕获到的空间体积为18×43π×13×3＝π2立方米．故苍蝇被捕获的概率是π260＝π120.12．(2021·湖北)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为大事“x ＋y ≥12”的概率，p 2为大事“|x －y |≤12”的概率，p 3为大事“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1 答案 B解析 如图，点(x ，y )所处的空间为正方形OBCA 表示的平面区域(包括其边界)，故本题属于几何概型中的“面积比”型．分别画出三个大事对应的图形，依据图形面积的大小估算概率的大小．满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 及其边界上．大事“x ＋y ≥12”对应的图形为图①所示的阴影部分；大事“|x －y |≤12”对应的图形为图②所示的阴影部分；大事“xy ≤12”对应的图形为图③所示的阴影部分．对三者的面积进行比较，可得p 2<p 3<p 1.13．(2022·辽宁)正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是_________________________________________________________．答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－(－23)＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.14．已知集合A ＝[－2,2]，B ＝[－1,1]，设M ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，在集合M 内随机取出一个元素(x ，y )． (1)求以(x ，y )为坐标的点落在圆x 2＋y 2＝1内的概率； (2)求以(x ，y )为坐标的点到直线x ＋y ＝0的距离不大于22的概率． 解 (1)集合M 内的点形成的区域面积S ＝8.因圆x 2＋y 2＝1的面积S 1＝π，故所求概率为S 1S ＝π8.(2)由题意|x ＋y |2≤22，即－1≤x ＋y ≤1，形成的区域如图中阴影部分，阴影部分面积S 2＝4，所求概率为S 2S ＝12.15．甲、乙两船驶向一个不能同时停靠两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．假如甲船停靠时间为1 h ，乙船停靠时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记大事A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求大事构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}． A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.。
人教版高三数学一轮复习精品课件2：12.1 事件与概率
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君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。
高
自 主
君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。
考 体
落 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。
验
实 ·
天生我材必有用，千金散尽还复来。
固 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。
· 明 考
基 础
岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。
情
与君歌一曲，请君为我倾耳听。
【答案】
3 5
5．从一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事 件 A 为 “ 抽 得 红 桃 K” ， 事 件 B 为 “ 抽 得 黑 桃 ” ， 则 概 率 P(A∪B)＝________．(结果用最简分数表示)．
【解析】 ∵P(A)＝512，P(B)＝1532，∴P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)＝512＋1532＝1542＝276.
∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
【答案】 C
4．(2012·江苏高考)现有10个数，它们能构成一个以1 为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取 一个数，则它小于8的概率是________．
【解析】 这 10 个数分别为 1，－3，9，－27，81，…， (－3)8，(－3)9，小于 8 的数有 6 个，所以 P(小于 8)＝160＝35.
【尝试解答】 (1)是互斥事件，不是对立事件． “恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女 生”，它与“恰有两名男生”不可能同时发生；但其并事件 不是必然事件．所以是互斥事件，不是对立事件． (2)不是互斥事件，也不是对立事件．
“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“两 名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生 和1名男生”与“两名都是女生”两种结果，它们可能同时 发生．
2021版高考数学(理)人教A版(全国)一轮复习 第12章 概率、随机变量及其分布 12.1 文档
1．概率和频率(1)在相同的条件S 下重复n 次试验，观看某一大事A 是否消灭，称n 次试验中大事A 消灭的次数n A 为大事A 消灭的频数，称大事A 消灭的比例f n (A )＝n An为大事A 消灭的频率．(2)对于给定的随机大事A ，在相同条件下，随着试验次数的增加，大事A 发生的频率会在某个常数四周摇摆并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机大事A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机大事A 的概率，记作P (A )． 2．大事的关系与运算定义符号表示 包含关系 假如大事A 发生，则大事B 肯定发生，这时称大事B 包含大事A (或称大事A 包含于大事B )B ⊇A (或A ⊆B ) 相等关系 若B ⊇A 且A ⊇BA ＝B 并大事 (和大事) 若某大事发生当且仅当大事A 发生或大事B 发生，称此大事为大事A 与大事B 的并大事(或和大事) A ∪B (或A ＋B ) 交大事 (积大事) 若某大事发生当且仅当大事A 发生且大事B 发生，则称此大事为大事A 与大事B 的交大事(或积大事) A ∩B (或AB )互斥大事若A ∩B 为不行能大事(A ∩B ＝∅)，则称大事A 与大事B 互斥A ∩B ＝∅对立大事若A ∩B 为不行能大事，A ∪B 为必定大事，那么称大事A 与大事B 互为对立大事P (A )＋P (B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必定大事的概率P (E )＝1. (3)不行能大事的概率P (F )＝0. (4)概率的加法公式假如大事A 与大事B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )． (5)对立大事的概率若大事A 与大事B 互为对立大事，则P (A )＝1－P (B )．【学问拓展】互斥大事与对立大事的区分与联系互斥大事与对立大事都是两个大事的关系，互斥大事是不行能同时发生的两个大事，而对立大事除要求这两个大事不同时发生外，还要求二者之一必需有一个发生，因此，对立大事是互斥大事的特殊状况，而互斥大事未必是对立大事． 【思考辨析】推断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)大事发生频率与概率是相同的．( × ) (2)随机大事和随机试验是一回事．( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (4)两个大事的和大事是指两个大事都得发生．( × )(5)对立大事肯定是互斥大事，互斥大事不肯定是对立大事．( √ ) (6)两互斥大事的概率和为1.( × )1．一个人打靶时连续射击两次，大事“至少有一次中靶”的互斥大事是( ) A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶 答案 D解析 射击两次的结果有：一次中靶；两次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥大事是两次都不中靶．2．从某班同学中任意找出一人，假如该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身超群过175 cm 的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.7 D ．0.8答案 B解析 由于必定大事发生的概率是1，所以该同学的身超群过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3，故选B. 3．(2021·湖北)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( ) A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．1 365石答案 B解析 由于样品中米内夹谷的比为28254，所以这批米内夹谷为1 534×28254≈169(石)．4．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次消灭正面，因此正面消灭的概率是37；③随机大事发生的频率就是这个随机大事发生的概率．答案 0解析 ①错，不肯定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．5．(教材改编)袋中装有9个白球，2个红球，从中任取3个球，则①恰有1个红球和全是白球；②至少有1个红球和全是白球；③至少有1个红球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个红球．在上述大事中，是对立大事的为________． 答案 ②解析 ①是互斥不对立的大事，②是对立大事，③④不是互斥大事.题型一 大事关系的推断例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民订阅，记大事A 为“只订甲报纸”，大事B 为“至少订一种报纸”，大事C 为“至多订一种报纸”，大事D 为“不订甲报纸”，大事E 为“一种报纸也不订”．推断下列每对大事是不是互斥大事；假如是，再推断它们是不是对立大事． (1)A 与C ；(2)B 与E ；(3)B 与C ；(4)C 与E .解 (1)由于大事C “至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即大事A 与大事C 有可能同时发生，故A 与C 不是互斥大事．(2)大事B “至少订一种报纸”与大事E “一种报纸也不订”是不行能同时发生的，故B 与E 是互斥大事．由于大事B 不发生可导致大事E 肯定发生，且大事E 不发生会导致大事B 肯定发生，故B 与E 还是对立大事． (3)大事B “至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，大事C “至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个大事可能同时发生，故B 与C 不是互斥大事．(4)由(3)的分析，大事E “一种报纸也不订”是大事C 的一种可能，即大事C 与大事E 有可能同时发生，故C 与E 不是互斥大事．思维升华 对互斥大事要把握住不能同时发生，而对于对立大事除不能同时发生外，其并大事应为必定大事．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把全部试验结果写出来，看所求大事包含哪几个试验结果，从而判定所给大事的关系．推断下列各对大事是不是互斥大事或对立大事：某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参与演讲竞赛，其中： ①恰有1名男生和恰有2名男生； ②至少有1名男生和至少有1名女生； ③至少有1名男生和全是女生． 解 ①是互斥大事，不是对立大事．“恰有1名男生”实质选出的是“1名男生和1名女生”，与“恰有2名男生”不行能同时发生，所以是互斥大事，不是对立大事．②不是互斥大事，也不是对立大事．“至少有1名男生”包括“1名男生和1名女生”与“2名都是男生”两种结果，“至少有1名女生”包括“1名女生和1名男生”与“2名都是女生”两种结果，它们可能同时发生． ③是互斥大事且是对立大事．“至少有1名男生”，即“选出的2人不全是女生”，它与“全是女生”不行能同时发生，且其并大事是必定大事，所以两个大事互斥且对立． 题型二 随机大事的频率与概率例2 (2021·北京)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品 顾客人数甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98×√××(1)估量顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙， 所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估量为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为1001 000＝0.1.所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．思维升华 (1)概率与频率的关系：频率反映了一个随机大事消灭的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机大事发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机大事概率的估量值．(2)随机大事概率的求法：利用概率的统计定义求大事的概率，即通过大量的重复试验，大事发生的频率会渐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球竞赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位) 解 (1)依据公式f ＝mn，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的四周摇摆，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.题型三 互斥大事、对立大事的概率 命题点1 互斥大事的概率例3 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？解 方法一 从袋中选取一个球，记大事“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则有P (A )＝13，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝512，P (C ∪D )＝P (C )＋P (D )＝512，P (B ∪C ∪D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝23，解得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝14，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14，16，14.方法二 设红球有n 个，则n 12＝13，所以n ＝4，即红球有4个．又得到黑球或黄球的概率是512，所以黑球和黄球共5个． 又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．又得到黄球或绿球的概率也是512，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 312＝14，212＝16，312＝14. 命题点2 对立大事的概率例4 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的大事分别为A 、B 、C ，求： (1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． 解 (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120. 故大事A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个大事为M ，则M ＝A ∪B ∪C . ∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为大事N ，则大事N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立大事，∴P (N )＝1－P (A ∪B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000. 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.思维升华 求简单的互斥大事的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求大事的概率分解为一些彼此互斥的大事的概率的和；二是间接法，先求该大事的对立大事的概率，再由P (A )＝1－P (A )求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成果，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：命中环数 10环 9环 8环 7环 概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次： (1)射中9环或10环的概率； (2)命中不足8环的概率．解 记大事“射击一次，命中k 环”为A k (k ∈N ，k ≤10)，则大事A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为大事A ，那么当A 9，A 10之一发生时，大事A 发生，由互斥大事的加法公式得P (A )＝P (A 9)＋P (A 10)＝0.28＋0.32＝0.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的大事为B ，则B 表示大事“射击一次，命中不足8环”． 又B ＝A 8∪A 9∪A 10，由互斥大事概率的加法公式得 P (B )＝P (A 8)＋P (A 9)＋P (A 10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.故P (B )＝1－P (B )＝1－0.78＝0.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.23．用正难则反思想求互斥大事的概率典例 (12分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，支配一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%. (1)确定x ，y 的值，并估量顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)思维点拨 若某一大事包含的基本大事多，而它的对立大事包含的基本大事少，则可用“正难则反”思想求解． 规范解答解 (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.[2分]该超市全部顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简洁随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估量，其估量值为 1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．[6分](2)记A 为大事“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示大事“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.[9分]P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.[11分]故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[12分]温馨提示(1)要精确理解题意，擅长从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．(2)正确判定大事间的关系，擅长将A转化为互斥大事的和或对立大事，切忌盲目代入概率加法公式．易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x，y，难以用样本平均数估量总体．(2)不能正确地把大事A转化为几个互斥大事的和或对立大事，导致计算错误．[方法与技巧]1．对于给定的随机大事A，由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A)．2．从集合角度理解互斥大事和对立大事从集合的角度看，几个大事彼此互斥，是指由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，大事A的对立大事A所含的结果组成的集合，是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集．[失误与防范]1．正确生疏互斥大事与对立大事的关系：对立大事是互斥大事，是互斥大事中的特殊状况，但互斥大事不肯定是对立大事，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．2．需精确理解题意，特殊留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义．A组专项基础训练(时间：35分钟)1．下列命题：①将一枚硬币抛两次，设大事M：“两次消灭正面”，大事N：“只有一次消灭反面”，则大事M 与N互为对立大事；②若大事A与B互为对立大事，则大事A与B为互斥大事；③若大事A与B为互斥大事，则大事A与B互为对立大事；④若大事A与B互为对立大事，则大事A∪B为必定大事，其中，真命题是() A．①②④B．②④C．③④ D．①②答案 B解析对①，一枚硬币抛两次，共消灭{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则大事M与N 是互斥大事，但不是对立大事，故①错；对②，对立大事首先是互斥大事，故②正确；对③，互斥大事不肯定是对立大事，如①中两个大事，故③错；对④，大事A、B为对立大事，则一次试验中A、B肯定有一个要发生，故④正确．故B正确．2．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是()A.17 B.1235 C.1735D．1答案 C解析设“从中取出2粒都是黑子”为大事A，“从中取出2粒都是白子”为大事B，“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C，则C＝A∪B，且大事A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝17＋1235＝1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若大事“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的大事是()A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡答案 A解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个大事，它是“2张全是移动卡”的对立大事，故选A.4．从存放的号码分别为1,2,3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并登记号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A．0.53 B．0.5 C．0.47 D．0.37答案 A解析取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100＝0.53.故选A.5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，下图为检测结果的频率分布直方图．依据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估量概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为( )A ．0.09B ．0.20C ．0.25D ．0.45 答案 D解析 设区间[25,30)对应矩形的另一边长为x ，则全部矩形面积之和为1，即(0.02＋0.04＋0.06＋0.03＋x )×5＝1，解得x ＝0.05.产品为二等品的概率为0.04×5＋0.05×5＝0.45. 6．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列大事： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．其中________是必定大事；________是不行能大事；________是随机大事． 答案 ③ ② ①7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现接受随机模拟的方法估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估量，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________． 答案 0.25解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为520＝0.25，以此估量该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.8．若随机大事A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是________________． 答案 (54，43]解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1，0<P (B )<1，P (A )＋P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<13a －3≤1，⇒⎩⎨⎧1<a <2，54<a <32，a ≤43⇒54<a ≤43. 9．(2022·陕西)某保险公司利用简洁随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)0 1 000 2 000 3 000 4 000 车辆数(辆)500130100150120(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估量赔付金额大于投保金额的概率；(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估量在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解 (1)设A 表示大事“赔付金额为3 000元”，B 表示大事“赔付金额为4 000元”，以频率估量概率得 P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估量概率得P (C )＝0.24.10．从某学校的800名男生中随机抽取50名测量其身高，被测同学身高全部介于155 cm 和195 cm 之间，将测量结果按如下方式分组：第一组[155,160)，其次组[160,165)，…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4.(1)求第七组的频率；(2)估量该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180 cm 以上(含180 cm)的人数；(3)若从身高属于第六组和第八组的全部男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x，y，大事E＝{|x－y|≤5}，大事F＝{|x－y|>15}，求P(E∪F)．解(1)第六组的频率为450＝0.08，所以第七组的频率为1－0.08－5×(0.008×2＋0.016＋0.04×2＋0.06)＝0.06.(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5＝0.04，身高在其次组[160,165)的频率为0.016×5＝0.08，身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5＝0.2，身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5＝0.2，由于0.04＋0.08＋0.2＝0.32<0.5,0.04＋0.08＋0.2＋0.2＝0.52>0.5，估量这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175.由0.04＋0.08＋0.2＋(m－170)×0.04＝0.5，得m＝174.5，所以可估量这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5.由直方图得后三组频率为0.08＋0.06＋0.008×5＝0.18，所以身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800＝144.(3)第六组[180,185)的人数为4，设为a，b，c，d，第八组[190,195]的人数为2，设为A，B，则从中选两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15种状况，因大事E＝{|x－y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以大事E包含的基本大事为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB，共7种状况，故P(E)＝7 15.由于|x－y|max＝195－180＝15，所以大事F＝{|x－y|>15}是不行能大事，P(F)＝0.由于大事E和大事F是互斥大事，所以P(E∪F)＝P(E)＋P(F)＝715.B组专项力量提升(时间：30分钟)11．在一次随机试验中，彼此互斥的大事A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是() A．A＋B与C是互斥大事，也是对立大事B．B＋C与D是互斥大事，也是对立大事C．A＋C与B＋D是互斥大事，但不是对立大事D．A与B＋C＋D是互斥大事，也是对立大事答案 D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且A＋B＋C＋D是一个必定大事，故其大事的关系可由如图所示的Venn 图表示，由图可知，任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事，任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事，故选D.12.如图所示，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成果，其中一个数字被污损，则甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为________．答案45解析记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5次综合测评的平均成果是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成果是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝15(442＋x)，令90>15(442＋x)，解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成果超过乙的平均成果的概率为810＝45.13．若A，B互为对立大事，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为________．答案9解析由题意可知4x＋1y＝1，则x＋y＝(x＋y)(4x＋1y)＝5＋(4yx＋xy)≥9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时等号成立．14.如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间/分钟10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)试估量40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，故用频率估量相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)<P(B2)，∴乙应选择L2.15．(2021·陕西)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气状况进行统计，结果如下：(1)在4月份任取一天，估量西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开头进行连续2天的运动会，估量运动会期间不下雨的概率．解(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估量概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为P＝2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)，这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估量概率，运动会期间不下雨的概率为78.。
2021高考数学一轮复习第十章第4讲随机事件的概率学案含解析.doc
第4讲随机事件的概率[考纲解读] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别.2.会用频率估计概率，掌握概率的基本性质．(重点)3.了解两个互斥事件的概率加法公式．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲内容一般不作独立考查，预测2021年将会考查：①对立、互斥与古典概型结合考查随机事件概率的计算；②随机事件与统计图表相结合考查用频率估计概率．试题难度不大，属中、低档题型.1．事件的分类2．频率和概率(1)在相同的条件S下重复n次实验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的□01次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝□02n An为事件A出现的频率．(2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的□03频率f n(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．3．事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B□01一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)□02B⊇A (或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当□03事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)续表定义符号表示交事件(积事件)若某事件发生当且仅当□04事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)□05A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为□06不可能事件，那么称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为□07不可能事件，A∪B为□08必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U4．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：□010≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(E)＝□021.(3)不可能事件的概率P(F)＝□030.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝□04P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝□051－P(B)．1．概念辨析(1)“方程x2＋x＋1＝0有两个实根”是不可能事件．()(2)频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．()(3)两个事件的和事件发生是指两个事件同时发生．()(4)对于任意事件A，B，总有公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．()答案(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√2．小题热身(1)现有3个红球和2个白球，从中任选2个球，事件“至少有1个白球”与事件“全是红球”()A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件答案 C解析3个红球和2个白球，从中任选2个球有以下可能：①全是红球；②恰有1个白球；③全是白球，所以“至少有1个白球”与“全是红球”既是互斥事件，也是对立事件．(2)给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．答案0解析由概率的概念，知从中任取100件，可能有10件次品，并不是必有10件次品，则①是假命题；抛硬币时出现正面的概率是12，不是37，则②是假命题；频率和概率不是同一个概念，则③是假命题．综上可知，正确的命题有0个．(3)从一箱产品中随机抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为________．答案0.35解析“抽到的不是一等品”与“抽到一等品”是对立事件，所以抽到的不是一等品的概率P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.(4)刘老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是刘老师这门课3年来学生的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小明下学期将选修刘老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：①90分以上的概率是________；②不及格(60分及以上为及格)的概率是________．答案①0.07②0.1解析用已有的信息估计王小明得90分以上的概率为42600＝0.07，不及格的概率为52＋8600＝0.1.题型一互斥、对立事件的判断1．有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，任意两人不能同一方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对答案 A解析“甲向南”与“乙向南”不会同时发生，但有可能都不发生，所以这两个事件互斥但不对立．2．从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，则下列各对事件是互斥而不是对立事件的是()A．恰有1个是奇数和全是奇数B．恰有1个是偶数和至少有1个是偶数C．至少有1个是奇数和全是奇数D．至少有1个是偶数和全是偶数答案 A解析从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数，共有三种情况：A＝{两个奇数}，B＝{一个奇数，一个偶数}，C＝{两个偶数}，且两两互斥，A中两个事件是互斥事件而不是对立事件；B，C，D中两个事件不互斥.判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，在任何一次试验中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.②事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集.某小组有3名男生和2名女生，从中选2名同学去参加演讲比赛，下列有4个事件：①恰有1名男生和恰有2名男生；②至少有1名男生和至少有1名女生；③至少有1名男生和全是男生；④至少有1名男生和全是女生，其中是互斥事件的是________(填序号).答案 ①④解析 对于事件①，恰有1名男生是1男1女和恰有2名男生互斥；对于事件②，至少有1名男生和至少有1名女生两者有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于③，至少有1名男生和全是男生也有可能同时发生，所以不是互斥事件；对于事件④，至少有1名男生和全是女生不可能同时发生，是互斥事件.题型二 随机事件的频率与概率1.(2019·石家庄模拟)袋中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率．利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：343 432 341 342 234 142 243 331 112 342 241 244 431 233 214 344 142 134由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为( ) A.19 B.16 C.29 D.518 答案 C解析 由题意，得随机数的前两位只能出现1或2中的一个，第三位出现另外一个，所以满足条件的随机数为142,112,241,142，故恰好第三次就停止摸球的概率为418＝29.故选C.2.某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每道题10分，然后作了统计，结果如表.贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)(2)根据频率估计两地区参加测试的儿童得60分以上的概率.解(1)贫困地区表格从左到右分别为0.53,0.54,0.52,0.52,0.51,0.50；发达地区表格从左到右分别为0.57,0.58,0.56,0.56,0.55,0.55.(2)根据频率估计贫困地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.52，发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率为0.56.1.概率与频率的关系2.随机事件概率的求法对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：抽取件数n 50100200500600700800次品件数m 021*********次品率mn(1)(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？解(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045,0.05,0.05.(2)由(1)，知出现次品的频率mn在0.05附近摆动，故P(A)＝0.05.(3)设需进货x件，则x(1－0.05)≥1000，解得x≥1053，故至少需进货1053件.题型三互斥事件与对立事件的概率角度1互斥事件概率公式的应用1.(2018·全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3 B．0.4C.0.6 D．0.7答案B解析设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B.角度2对立事件概率公式的应用2.某班选派5人参加学校举行的数学竞赛，获奖的人数及其概率如下：获奖人数/人012345概率0.10.16x y 0.2z(1)(2)若获奖人数最多4人的概率为0.96，最少3人的概率为0.44，求y，z的值.解记事件“在数学竞赛中，有k人获奖”为A k(k∈N，k≤5)，则事件A k彼此互斥.(1)∵获奖人数不超过2人的概率为0.56，∴P(A0)＋P(A1)＋P(A2)＝0.1＋0.16＋x＝0.56.解得x＝0.3.(2)由获奖人数最多4人的概率为0.96，得P(A5)＝1－0.96＝0.04，即z＝0.04.由获奖人数最少3人的概率为0.44，得P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＝0.44，即y＋0.2＋0.04＝0.44，解得y＝0.2.求复杂的互斥事件概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)1.(2019·天津红桥一模)经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下表：排队人数01234≥5概率0.10.160.30.30.10.04答案0.74解析由已知条件可得，至少有2人排队的概率是0.3＋0.3＋0.1＋0.04＝0.74.2.某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率). 解 (1)由已知，得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟).(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”和事件“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.。
【志鸿优化设计】高考数学一轮总复习 12.1 事件与概率课件(含高考真题)文 新人教版
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十二章
12.1
事件与概率 -22-
解:(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 100 =0.3, 所以用 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3.由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为
32+10 =0.42,所以用 100
22+8
率
第十二章
12.1
事件与概率 5 -5-
想一想“频率”与“概率”有何区别? 答案:频率是个试验值,具有随机性,试验次数不同则得到的频率
也不尽相同,当试验次数很大时,一个事件的试验频率就会稳定接近 于它的理论概率.因此频率只能近似地反映事件发生可能性的大小, 频率是通过大量试验得到的,它的变化始终围绕着一个常数值,即概 率.概率是个理论值,是由事件的本质所决定的,与试验的次数无关, 它能准确反映事件出现可能性的大小,试验频率与理论概率是不能 等同的.
所用时 间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十二章
12.1
事件与概率 -18-
(3)A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站; B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2), ∴ 甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1), ∴ 乙应选择 L2.
备战2024年高考数学大一轮老教材人教A版理第十二章随机事件的概率
(2)新高考实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历 史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同 学已选了物理，记事件A＝{他选择政治和地理}，事件B＝{他选择化学 和地理}，则事件A与事件B
√A.是互斥事件，不是对立事件
B.既是互斥事件，也是对立事件 C.既不是对立事件，也不是互斥事件 D.无法判断
(2)从某班级中任意选出三名学生，设A＝{三名学生都是女生}，B＝{三 名学生都不是女生}，C＝{三名学生不都是女生}，则下列结论不正确的是 A.A与C为互斥事件
√B.A与B互为对立事件
C.B与C存在包含关系 D.B与C不是对立事件
事件C的可能情况有：一女二男、二女一男、三男，事件B为“三 男”，事件A为“三女”. 故A与C为互斥事件，A正确； A与B为互斥事件，但不互为对立事件，B错误； B与C存在包含关系，C，D正确.
Y
0.012
Z
0.001
根据上表回答： (1)若使用了1 000次键盘的按键，字母M键约使用了多少次？
因为使用字母M键的频率是0.021，所以使用1 000次键盘的按键，字 母M键约使用了1 000×0.021＝21(次).
(2)若字母Y键使用了6次，那么键盘的按键约使用了多少次？
因为使用字母 Y 键的频率是 0.012，而字母 Y 键使用了 6 次，所以键 盘的按键约使用了0.0612＝500(次).
√B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
射击两次中“至多有一次中靶”即“有一次中靶或两次都不中靶”， 与该事件不能同时发生的是“两次都中靶”.
教材改编题
3.从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为
2021年高考文科数学(人教A版)一轮复习讲义：第1讲随机事件的概率
第 1 讲随机事件的概率一、知识梳理1 •事件的分类2•概率与频率(1) 在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例LLL n(A)=〒■为事件A出现的频率.⑵对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).3 •事件的关系与运算概率的几个基本性质⑴概率的取值范围：O W P(A) < 1.(2) 必然事件的概率：P(A) = 1.(3) 不可能事件的概率：P(A) = 0.(4) 概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A U B) = P(A) + P(B).(5) 对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A U B为必然事件.P(A U B) = 1 , P(A) = 1 —P(B).二、习题改编1. (必修3 P121练习T5改编)袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则①恰有1个白球和全是白球；②至少有1个白球和全是黑球；③至少有1个白球和至少有2个白球；④至少有1个白球和至少有1个黑球.在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为 ___________ .答案：①2.(必修3 P123A组T3改编)容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：一、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”)(1) 事件发生的频率与概率是相同的. ()(2) 随机事件和随机试验是一回事. ()(3) 在大量重复试验中，概率是频率的稳定值. ()(4) 两个事件的和事件是指两个事件都得发生. ()(5) 对立事件- -定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件. ()(6) 两互斥事件的概率和为 1.( )答案：(1)X (2) X (3) V ⑷X (5) V ⑹X二、易错纠偏常见误区(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误；(2)频率与概率的关系理解不清致错.1•李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计他得以下分数的概率：(1)90分以上的概率：_________ ；⑵不及格(60分及以上为及格)的概率：__________ .42 解析：(1)600=0.07;52 + 8⑵ 600 = 0.1.答案：(1)0.07 (2)0.12.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A = ｛抽到一等品｝，事件B = ｛抽到二等品｝, 事件C=｛抽到三等品｝，且P(A) = 0.65, P(B) = 0.2, P(C) = 0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为_________ .解析：因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A) = 0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为P= 1 —P(A) = 1—0.65= 0.35.答案：0.35解析】 ③中“ 至少有一个是奇数 即“两个奇数或一奇一偶”而从1〜7中任取两随机事件的关系 (师生共研 )从1 , 2, 3,…，7这7个数中任取两个数，其中：① 恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ② 至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是 ( )A .① C .③B .②④ D .①③个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：两个都是奇数奇一偶”“ 两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件．【答案】C判断互斥、对立事件的 2 种方法(1)定义法判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．(2)集合法①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；②事件A 的对立事件A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集．1. 设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，条件乙：“概率满足P(A)+ P(B)= 1 ”，则甲是乙的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析：选A.若事件A 与事件B 是对立事件，则A U B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A) + P(B)= 1•设掷一枚硬币3次，事件A : “至少出现一次正面”，事件B : “ 3次 7 1都出现正面”，则P(A)= 7，P(B) = 1,满足P(A) + P(B) = 1 ,但A , B 不是对立事件.8 8 2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球，其中红球3个，白球2个，从中任取2B .两个小球都是白球C .至多有一个红球D .至少有一个红球7 3 7解析：选C.因为10= 1 - 10,所以概率为10的事件是“2个小球全是红球”的对立事件，个小球，若事件“ 2个小球全是红球”的概率为3_ 10，则概率为和勺事件是(A •恰有一个红球应为：“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件，即为“至多有一个红球”随机事件的频率与概率（师生共研）某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物•根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X 之间的关系如表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1米.(1)完成下表，并求所种作物的平均年均收获量；⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率.【解】 ⑴所种作物的总株数为 1+ 2+ 3+ 4 + 5= 15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相 近”作物株数为4的作物有3株，列表如下:所种作物的平均年收获量为故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为 48 kg 的概率为P(Y > 48) = P(Y = 51) + P(Y = 48)=磊 + 春=|.51 X 2+ 48X 4 + 45X 6 + 42X 31569015 =46. (2)由(1)知，P(Y = 51)= 154P(Y = 48)=-某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关.据统计,当X= 70时，Y= 460; X每增加10, Y增加5•已知近20年X的值为140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160.(1)完成频率分布表；(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为⑵由已知可得Y=号+ 425,故P( “发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)=P(Y<490 或Y>530) = P(X<130 或X>210)=P(X= 70)+ P(X= 110)+ P(X= 220)13 2 3490万千瓦时或超过530 =20+ 20+ 20=10.故今年六月份该水力发电站的发电量低于万千瓦时的概率为10.互斥事件、对立事件的概率(师生共研)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A, B, C,求：(1) 1张奖券的中奖概率；(2) 1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.1【解】(1)设“1张奖券中奖”为事件M ,贝U M = A U B U C,依题意，P(A) = 1000P(B)=」^ = —, P(C)^5^ =丄，因为A, B, C两两互斥，1 000 100 1 000 20所以P(M) = P(A U B U C) = P(A) + P(B)+ P(C)1+ 10+ 50 61=1 000 = 1 000,61故1张奖券的中奖概率为 1000.(2)设“ 1张奖券不中特等奖且不中一等奖 ”为事件N ,则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P(N)= 1-P(A U B)求复杂互斥事件的概率的两种方法(1)直接法1 10 1 000 + 1 000989 1 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为989 1 000.（2）间接法（正难则反，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解简单）1.某人去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 乘火车或乘飞机去的概率为 _________ .解析：设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件 件A , B , C , D 是互斥事件，P(A U D) = P(A) + P(D)= 0.3+ 0.4 = 0.7,所以他乘火车或乘飞 机去的概率为0.7.答案：0.72.（一题多解）经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:0.3, 0.2, 0.1 , 04则他A ,B ,C ,D 表示，则事。
2021届高考人教A版数学(理)总复习配套文档：12.1随机事件的概
2021届高考人教A版数学（理）总复习配套文档：12.1随机事件的概§12.1随机事件的概率1.随机事件和确定性事件(1)在条件s下，一定会发生的事件，叫做相对于条件s的必然事件．(2)在条件s下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件s的不可能事件．(3)必然事件与不可能事件统称为相对于条件s的确定事件．（4）在条件s下可能发生或可能不发生的事件称为相对于条件s的随机事件。
（5）确定性事件和随机事件统称为事件，通常使用大写字母a、B、C？代表权。
2.频率和概率(1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a 出Na Na的发生次数是事件a的发生频率，事件a的发生比例FN（a）=事件a的发生频率n(2)对于给定的随机事件a，如果随着试验次数的增加，事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上，把这个常数记作p(a)，称为事件a的概率，简称为a的概率．3．事件的关系与运算定义如果事件a发生，则事件b一定发生，这包含关系时称事件b包含事件a(或称事件a包含于事件b)相等关系并事件(和事件)若b?a且a?b若某事件发生当且仅当事件a发生或事件b发生，称此事件为事件a与事件b的并a＝ba∪b(或a＋b)b?a(或a?b)符号表示事件（或和事件）如果事件发生，如果且仅当事件a发生且事件与事件（产品事件）B相交，则该事件称为事件a和事件B的交叉事件（或产品事件）。
如果∩ B是不可能的事件，那么事件a和事件B是相互排斥的。
如果∩ B是不可能的事，a是不可能的事∪ B是不可避免的事件，那么事件a和事件B是相互对立的事件。
A.∩ B=？A.∩b＝什么？P （a）∪ b） =P（a）+P（b）=1a∩ B（或AB）相反事件4概率的一些基本性质(1)概率的取值范围：0≤p(a)≤1.(2)必然事件的概率p(e)＝1.(3)不可能事件的概率p(f)＝0.(4)互斥事件概率的加法公式① 如果事件a和事件B相互排斥，那么p（a∪ b） =P（a）+P（b）。
【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 12.1 随机事件的概率高效作业 理 新人教A版(1)
【解密高考】2021届高考数学大一轮总温习 12.1 随机事件的概率高效作业 理新人教A 版时刻：45分钟 总分值：100分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题(本大题共6小题，每题6分，共36分，在以下四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．(2021·新疆农七师高中二模)从12个同类产品中(其中有10个正品，2个次品)，任意抽取3个，以下事件是必然事件的是( )A ．3个都是正品B ．至少有一个是次品C ．3个都是次品D ．至少有一个是正品解析：A 、B 是随机事件，C 是不可能事件． 答案：D2．(2021·苏州质检)某城市的天气预报中，有“降水概率预报”，例如预报“明天降水概率为90%”，这是指( )A ．明天该地域约90%的地址会降水，其余地址不降水B ．明天该地域约90%的时刻会降水，其余时刻不降水C ．气象台的专家中，有90%的人以为明天会降水，其余的专家以为不降水D ．明天该地域降水的可能性为90%解析：“降水概率预报”预报的是降水的可能性，而不是降水的范围与时刻，因此选D. 答案：D3．(2021·广州一模)甲、乙、丙、丁4个足球队参加竞赛，假设每场竞赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组(每组两个队)进行竞赛，胜者再赛，那么甲、乙相遇的概率为( )A.16B.14C.13D.12解析：初赛中分组有三种：(1)甲乙，丙丁； (2)甲丙，乙丁； (3)甲丁，乙丙．∴甲乙初赛相遇的概率为13，甲乙不相遇的概率为23，假设甲乙复赛相遇，那么初赛必不相遇．同时初赛都战胜对手，概率为12×12＝14，∴甲乙复赛相遇的概率为23×14＝16.∴P ＝13＋16＝12.答案：D4．(2021·阜阳二模)掷一枚质地均匀的骰子，显现点数为偶数的概率是( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：记“显现i 点”为事件A i ，i ＝一、二、3、…、6，那么6个事件彼此互斥，且概率都为16.显现点数为偶数，即A 2∪A 4∪A 6发生，故其概率为12，选C.答案：C5．(2021·成都二模)某城市2020年的空气质量状况如下表所示：空气污染指数T ≤50时，空气质量为轻微污染．该城市2020年空气质量达到良或优的概率为( )A.35B.1180 C.119D.56解析：良与优是彼此互斥的，故空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：A6．(2021·南阳一中模拟)在一次随机实验中，彼此互斥的事件A 、B 、C 、D 的概率别离是0.二、0.二、0.3、0.3，那么以下说法正确的选项是( )A ．A ＋B 与C 是互斥事件，也是对立事件 B ．B ＋C 与D 是互斥事件，也是对立事件 C ．A ＋C 与B ＋D 是互斥事件，但不是对立事件 D ．A 与B ＋C ＋D 是互斥事件，也是对立事件解析：由于A ，B ，C ，D 彼此互斥，且A ＋B ＋C ＋D 是一个必然事件，故其事件的关系可由如下图的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2021·乌鲁木齐一中月考)甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，两人下成和棋的概率为0.5，那么甲不输的概率是________．解析：P ＝0.3＋0.5＝0.8. 答案：0.88．(2021·焦作质检)以下说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机实验，事件A 发生m 次，那么事件A 发生的频率m n确实是事件的概率；③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能离开n 次实验的实验值，而概率是具有确信性的不依托于实验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳固值． 其中正确的选项是________解析：频率是概率的近似值，概率是频率的稳固值．百分率能够表示频率，也能够表示概率． 答案：①④⑤9．(2021·沈阳二模)为保护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间踊跃提倡反对地址贸易爱惜主义，并许诺包括汽车在内的入口商品将最多在5年内把关税全数降低到世贸组织要求的水平，其中21%的入口商品恰好5年关税达到要求，18%的入口商品恰好4年关税达到要求，其余入口商品将在3年或3年内达到要求，那么入口汽车在不超过4年的时刻内关税达到要求的概率为________．解析：法一：设“入口汽车恰好4年关税达到要求”为事件A ，“不到4年达到要求”为事件B ，那么“入口汽车在不超过4年的时刻关税达到要求”是事件A ＋B ，而A 、B 互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) ＝0.18＋(1－0.21－0.18) ＝0.79法二：设“入口汽车在不超过4年的时刻内关税达到要求”为事件M ，那么M 为“入口汽车恰好5年关税达到要求”，因此P (M )＝1－P (M )＝1－0.21＝0.79.答案：0.7910．(理)(2021·济宁二模)设A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,3,5,7,9}，集合C 是从A ∪B 中任取2个元素组成的集合，那么C(A ∩B )的概率是________．解析：A ∪B ＝{1,2,3,4,5,6,7,9}，则A ∪B 中有8个元素，在A ∪B 中任取两个元素的取法有C 28种． 又A ∩B ＝{1,3,5}，且C (A ∩B )，∴P (C (A ∩B ))＝C 23C 28＝328.答案：328(文)(2021·北京海淀期末)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外爱好小组，3个小组别离有3九、3二、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情形如下图．现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________． 解析：“至少2个小组”包括“2个小组”和“3个小组”两种情形，故他属于至少2个小组的概率为P ＝11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝35.“不超过2个小组”包括“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝1315.答案：35 1315三、解答题(本大题共3小题，共40分，1一、12题各13分，13题14分，写出证明进程或推演步骤) 11．(2021·北京模拟)对某校全部教师在教学中是不是常常利用信息技术实施教学的情形进行了调查，取得统计数据如下：(1)(2)在教龄10年以下，且常常利用信息技术实施教学的教师中任选2人，其中恰有一人教龄在5年以下的概率是多少？解：(1)该校教师人数为8＋10＋30＋18＝66.该校常常利用信息技术实施教学的教师人数为2＋4＋10＋4＝20.设“该校教师在教学中常常利用信息技术实施教学”为事件A ， 则P (A )＝2066＝1033，1－P (A )＝2333.∴该校教师在教学中不常常利用信息技术实施教学的概率是2333.(2)设常常利用信息技术实施教学，教龄在5年以下的教师为a i (i ＝1,2)，教龄在5至10年的教师为b j (j ＝1,2,3,4)，那么任选2人的大体事件是(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，b 4)，(b 2，b 3)，(b 2，b 4)，(b 3，b 4)，共15个．设“其中恰有一人的教龄在5年以下”为事件B .包括的大体事件为(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，b 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(a 2，b 4)，共8个，那么P (B )＝815.∴恰有一人教龄在5年以下的概率是815.12．有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每一个玩具的各个面上别离写着数字1,2,3,5.同时抛掷这两枚玩具一次，记n 为两个朝下的面上的数字之和．(1)求事件“n 不大于6”的概率；(2)“n 为奇数”的概率和“n 为偶数”的概率是不是相等？证明你的结论？ 解：因玩具质地是均匀的，因此玩具各面朝下的可能性相等， 所有可能显现的情形共16种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)． (1)事件“n 大于6”包括(2,5)，(3,5)，(5,2)，(5,3)，(5,5)， 共5个大体事件，因此P (n ≤6)＝1－516＝1116.(2)“n 为奇数”的概率和“n 为偶数”的概率不相等．证明：“n 为奇数”的概率为： P (n ＝3)＋P (n ＝5)＋P (n ＝7)＝216＋216＋216＝38，“n 为偶数”的概率为1－38＝58，因此这两个概率值不相等．13．(理)(2021·长沙一中期末)口袋中有大小、质地均相同的8个球，4个红球，4个黑球，此刻从中任取4个球．(1)求掏出的球颜色相同的概率；(2)假设掏出的红球数很多于黑球数，那么可取得奖品，求取得奖品的概率．解：(1)假设掏出4个球都是红球，那么概率为C 44C 48＝170；假设掏出4个球都是黑球，那么概率为C 44C 48＝170.∴掏出4个球同色的概率为170＋170＝135.(2)假设掏出4个红球，那么概率为C 44C 48＝170；假设掏出3红1黑，那么概率为C 34C 14C 48＝835；假设掏出2红2黑，那么概率为C 24C 24C 48＝1835.∴获奖概率为170＋835＋1835＝5370.(文)(2021·烟台市联考)PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM 2.5标准采纳世卫组织设定的最宽限值，PM 2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米及其以上空气质量为超标．某试点城市环保局从该市市区2020年全年天天的PM2.5监测数据中随机抽取6天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶)，假设从这6天的数据中随机抽出2天．(1)求恰有一天空气质量超标的概率；(2)求最多有一天空气质量超标的概率．解：由茎叶图知：6天有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标．记未超标的4天为a，b，c，d，超标的两天为e，f.那么从6天中抽取2天的所有情形为：ab，ac，ad，ae，af，bc，bd，be，bf，cd，ce，cf，de，df，ef，大体事件数为15.(1)记“6天中抽取2天，恰有1天空气质量超标”为事件A，可能结果为：ae，af，be，bf，ce，cf，de，df，大体事件数为8.∴PA＝815.(2)记“最多有一天空气质量超标”为事件B，“2天都超标”为事件C，其可能结果为ef，故P(C)＝115，∴P(B)＝1－P(C)＝1－115＝14 15.。