【下】2.3三角形的内切圆

D O C F A
B
E
例:已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D， 交外接圆于E。求证：EB=EI=EC
A
2
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI 又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
1、什么是三角形的外接圆与内切圆？
2、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
①经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆。 ②与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。
画圆的关键： 1、确定圆心 2、确定半径
三角形的外接圆的圆心是各边垂直平分线的交点；其半 径是交点到顶点的距离。 三角形的内切圆的圆ห้องสมุดไป่ตู้是各内角平分线的交点；其半径 是交点到一边的距离。
A
L
B
∴AL+BL+CN+DN=AP+BM+CM+DP
即 AB+CD=AD+BC
2．某梯形中位线为18cm,且梯形有内切 圆，求梯形周长。
A
B
D
C
圆的外切等腰梯形有什么特点？
腰长和中位线长相等。
圆的外切平行四边形有什么特点？
圆的外切平行四边形是菱形
课堂练习：练习册69
学生归纳小结：
2 （1）（2）
1、三角形内切圆的作法
2、三角形的内切圆，内心，圆外切三角形的概念。
3、利用三角形的内心的性质证解有关问题。
课后作业： 书102－102 B组题 3
F
2
E
4 C
B D （3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，DE分别交PA， PB于D、E，已知P到⊙O的切线长为8CM，则Δ PDE的周长为 A （ ） A 16cm B 14cm A C12cm D C B E P D 8cm
7
A
r=
b
C c r
a+b-c 2
.
a
B
例：直角三角形的两直角边分别是5cm， 12cm 则其内切圆的半径为 ______。
BL=BM=w
典型例题： 求证：圆的外切四边形的两组对边的和相等． 已知：四边形ABCD是⊙O的外切四边形， D 切点分别是点P、L、M、N。 求证：AB+CD=AD+BC
P M O N C
证明：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形， 切点分别是点P、L、M、N。 ∴AL=AP， BL=BM， CN=CM，DN=DP
C
B
D
O就是所求的圆。
想一想：根据作法,和三角形各边都 相切的圆能作出几个？ 概念；
1、和三角形各边都相切的圆叫做三角形 的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内 心，这个三角形叫做圆的外切三角形。 2、和多边形的各边都相 切的圆叫做多边形的内 切圆，这个多边形叫做 圆的外切多边形。
B A
O
C
三角形的外接圆与内切圆
例3 如图，△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC 的外接圆相交于点D. A 求证：DE＝DB
12
B
3 4 5
O C D
练习 分析作出已知的锐角三角形、直角三角形、 钝角三角形的内切圆，并说明三角形的内心是否 都在三角形内．
2、如图，菱形ABCD中，周长为40，∠ABC=120°， 则内切圆的半径为（ ） 5 2 2 5 2 （D） 3 （A） 3 （B） 2 （C） 2 3 3 2 3 、如图，⊙ O 是△ ABC 的内切圆， D 、 E 、 F 是切点， ∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ） （A）70° （C）120° （B）110° （D）130°
c b
b
c
d
d
如图：四边形ABCD的边 AB、BC、CD、DA和⊙O
a
a
分别相切于点L、M、N、P。
根据已知条件可以得出什么结论？
圆的外切四边形的两组对边的和相等。
例：已知在△ABC中，BC=14cm,AC=9cm,
AB=13cm,它的内切圆分别和BC、AC、 AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。
B
F
E
D
C
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
直角三角形外接圆、内切圆 半径的求法
B
R= — 2
c
c O
a
I A
a+b-c r = ————
2
b
C
例： 已知：点I是△ABC的内心，AI交BC于D，交外接圆于E。 求证：EB=EI=EC
1
A
2
证明： 连结BI ∵I是△ABC的内心 ∴∠3=∠4 ∵ ∠ 1= ∠ 2， ∠ 2= ∠ 5 ∴ ∠ 1= ∠ 5 ∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5 ∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI 又 ∵EB=EC ∴EB=EI=EC
I
3
B
4 5
D
E
C
课堂练习：
1、判断
（1）三角形的外心是三边中垂线的交点。（√ ） （3）若O为△ABC的内心， 则OA＝OB＝OC。（ ×） 因此三角形的内心是三个内角的角平分线的交点 ， 它到 三边的距离相等 距离相等
（2）三角形三边中线的交点是三角形内心。（× ）
例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ，点O是内心，求∠ BOC的度数。 提示：关键是利用
提出问题：
从一块三角形的材料上截下一块圆 形的用料，怎样才能使圆的面积尽 可能最大呢？
作圆: 使它和已知三角形的各边都相切
已知：△ABC 求作：和△ABC的各边都相切的圆
作法：
A
1、作∠ B, ∠ C的平分线 BM和CN，交点为O
M
O
N
2、过点O作OD 足为D。
BC。垂
3、以O为圆心，OD为半 径作圆O
10、11、12
练习2 已知：△ABC是⊙O外切三形，切 点为D，E，F。若BC＝14 cm ，AC＝9cm， AB＝13cm。求AF，BD，CE。 A x F y B y x E
x+y=13
y+z=14 x+z=9 C
O
D z
z
圆的外切四边形的两组对边和相等。 已知：四边形ABCD的边 AB，BC，CD， DA和圆O分别相切于L，M，N，P。 探索圆外切四边形边的关系。 DN=DP=x D N C P O M A L B AP=AL=y CN=CM=z
2cm 。 6.5cm，内切圆半径———— 半径————
C
）
A、三角形外心到三边距离相等 B、三角形的内心不一定在三角形的内部 C、等边三角形的内心、外心重合 D、三角形一定有一个外切圆
4、等边三角形的内切圆半径、外接圆的半径和高的比为 （ ） （A）1∶ 2 ∶ 3 （B）1∶2∶ 3
（C）1∶ 3∶2
1
I
3
B
4 5
D
E
C
达标检测
一、判断。 1、三角形的外心到三角形各边的距离相等。 2、直角三角形的外心是斜边的中点。 二、填空： （ × ） （√ ）
1、直角三角形的两条直角边分别是5cm和12cm，则它的外接圆
2:1 。 2、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比————
三、选择题： 下列命题正确的是（
x
y y z
x z
看 比 谁 一 做 比 得 快
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9， AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、 AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE 的长。
（2）如图，Δ ABC的内切圆分别和BC，AC，AB切于D，E， F；如果AF=2cm,BD=7cm,CE=4cm,则BC=11 cm,AC= 6cm AB= 9cm A
A
x
F
. I E
z
C
B
y
D
分析：设 AF=x，BD=y， CE=z y+z=a x+z=b x+y=c
若已知圆的四条切线呢？
想一想
圆的外切四边形 具有什么性质？
圆的外切四边形 的两组对边的和 相等。
D
例：等腰梯形各边都与 ⊙O相切， ⊙O的直径为 6cm，等腰梯形的腰等于 8cm，则梯形的面积为 _____。 8 6 8
（D）1∶2∶3
5、存在内切圆和外接圆的四边形一定是（ ）
（A）矩形（B）菱形 （C）正方形 （D）平行四边形
巩固练习：
1、如图，△ABC中，∠A=55度，I是内 112.5 心 则，∠BIC＝————度。
B
A
I
C A
2、如图，△ABC中，∠A=55 度，其内切圆切△ ABC 于D、 67.5 E、F，则∠FDE＝———— 度。
A
O
内心的性质 如果∠ A＝120 ° ，∠
BOC=？
如果∠ A=n ° ， ∠ BOC=?
B C
因此：在△ABC中，∠A＝n ° ，点O是 1 △ABC的内心，∠BOC＝90 ° ＋ n °
2
例1、如图，在△ABC中， ∠A=55 ° ， 点O是外心，求∠ BOC的度数。
A
A
B C
O
O
B
C
如果∠ A＝120 °呢？
例2、如图：点I是△ABC的内心，AI交边 BC于点D，交△ABC外接圆于点E.
求证：BE＝IE
A
提示：欲证BE＝IE
需证∠ BIE＝ ∠ IBE 把∠ BIE转化为两圆周角之和
1 2
3 4
B
I D C
5
E
若已知圆的三条切线呢？ 设△ABC的BC=a，CA=b，AB=c， 内切圆I和BC、AC、AB分别相 切于点D、E、F