三角形外接圆与内切圆半径求法
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。
一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。
解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示） 分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式） 所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式
三角形内切球的半径公式是一个与三角形面积和边长有关的公式。
设三角形的边长分别为a、b、c，面积为S，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，那么内切圆的半径r = S/s（s为半周长，s=（a+b+c）/2）。
此外，根据海伦公式，可求出三角形的面积S，公式为S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
将海伦公式代入内切圆半径的公式中，可得r = √[(s-a)(s-b)(s-c)/s]。
这是求解三角
形内切圆半径的一个常用方法。
同时，在具体的应用中，还需要针对三角形的具体类型（如等边三角形、直角三角形等）采取不同的求解方法。
例如，对于等边三角形，其内切圆半径r = a√3 / 6，其中a为三角形的边长。
另外，根据三角形的边角关系，亦可以推导出一种更通用的内切圆半径的公式：r = 4RsinA/2sinB/2sinC/2，其中A、B、C分别为三角形的三个内角，R为三角形的外接圆半径。
值得注意的是，在具体计算时，要确保所有的计算都在合理的范围内进行，以避免出现数学错误。
总的来说，求解三角形内切圆半径的公式既考验了解题者的基础知识水平，也考察了解题者的综合运用能力。
三角形外接圆与内切圆的关系
三角形外接圆与内切圆的关系在数学中，三角形是一种基础的几何形状，而外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的几何概念。
本文将探讨三角形外接圆与内切圆的关系，并介绍它们的性质和特点。
一、外接圆外接圆是指可以完全包围三角形的圆，也就是通过三角形三个顶点的圆。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接三个顶点形成的边AB、BC、CA，外接圆的圆心为O，半径为R。
根据外接圆的性质可以得出以下结论：1. 外接圆的半径是三角形三边的中线之积的一半。
即 R = (AB × BC × CA) / (4×S)，其中S为三角形的面积。
2. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
3. 三角形的三条边与圆的切点构成的割线长度相等。
二、内切圆内切圆是指可以切刚好与三角形的三边相切的圆。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接三个顶点形成的边AB、BC、CA，内切圆的圆心为I，半径为r。
根据内切圆的性质可以得出以下结论：1. 内切圆的半径可以通过三角形的三条边之和与面积的比值计算得出。
即 r = 2×S / (AB + BC + CA)，其中S为三角形的面积。
2. 内切圆的圆心是三角形三个角的角平分线的交点。
3. 内切圆的切点是三角形三条边的垂直平分线的交点。
三、外接圆与内切圆的关系通过观察可以发现，三角形的外接圆和内切圆具有一定的关系。
根据欧拉定理，三角形的外接圆和内切圆的圆心，以及三角形的垂心、重心、外心四点共线，并且这条直线称为欧拉线。
具体而言，外接圆和内切圆的圆心与三角形的垂心、重心、外心四点共线。
垂心是指三角形三个顶点所形成的垂直平分线的交点，重心是指三角形三个顶点与它们所对边中点形成的线段的交点，外心是指三角形三个垂直平分线的交点。
此外，外接圆的半径大于内切圆的半径，且内切圆的圆心位于外接圆的圆心与三角形各顶点之间。
四、应用领域三角形外接圆和内切圆的关系在各个学科和领域中都有广泛的应用。
三角形的外接圆与内切圆计算
三角形的外接圆与内切圆计算三角形是数学中的基本几何形状之一，而与三角形相关的外接圆与内切圆是其重要的特殊圆形。
本文将介绍外接圆与内切圆的定义以及它们的计算方法。
一、外接圆外接圆是指一个圆正好能够通过三角形的三个顶点，即三角形的顶点在这个圆上。
外接圆的圆心与三角形的三个顶点构成的直径相等。
对于一个已知三角形，我们可以根据其三个顶点在平面直角坐标系中的坐标来计算外接圆的圆心和半径。
假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，圆心的坐标计算公式为：圆心坐标的 x 坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3圆心坐标的 y 坐标 = (y1 + y2 + y3) / 3半径的计算公式为：半径= √[(x1 - 圆心 x 坐标)² + (y1 - 圆心 y 坐标)²]二、内切圆内切圆是指一个圆正好与三角形的三条边相切，即三角形的每条边都与这个圆相切。
内切圆的圆心与三角形的三条边的交点构成的点相等。
对于一个已知三角形，我们可以根据三边的长度来计算内切圆的圆心和半径。
假设三角形的三边长度分别为a、b和c，半周长(semiperimeter)的计算公式为：半周长 = (a + b + c) / 2内切圆的半径的计算公式为：半径= √[(s - a) * (s - b) * (s - c) / s]其中，s 为半周长。
圆心的坐标计算公式比较复杂，默认三角形的三边长已知，可用海伦公式计算面积，进而计算出三角形的高。
内切圆的圆心坐标的 x 和 y 坐标可分别计算为：圆心坐标的 x 坐标 = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心坐标的 y 坐标 = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)三、示例现在我们以一个具体的三角形来计算外接圆与内切圆的圆心坐标和半径。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(0, 0)、B(4, 0)和C(0, 3)。
三角形内切圆和外接圆半径的计算方法
三角形内切圆和外接圆半径的计算方法下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式.doc
任意三角形外接圆半径、内切圆半径的求法及通用公式一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R,（如右图所示）a2 b2 c2cos cos sin sin 则 cos( ) 2ab (余弦定理) bb 而 cos , sin R2Raa cos , sin R2Rb22R 4 Ra2R 4 R22b2a22R R a2 b2 c2ba44 即有： 2ab2R2RRR2222a2 b2 c2ab (4R b) (4R a)即有： ab2R2)(4R2 b2) (4R2 a2)所以：ab 2R(ab2a2 b2 c22) 16R4 4(a2 b2)R2 a2b2 即有：(ab) 4R(a b c) 4R(ab222224a2 b2 c22)],即：a2b2c2 R2[4a2b2 (a2 b2 c2)2]所以：c R[4 (ab22所以：R abc(a b c) (a b c) (a c b) (b c a)而三角形而积：4S a b c) (a b c) (a c b) (b c a)(海伦公式)所以, 有:R abc 4Sab2 c2 a22R,而cosA 另一求法,可用正弦定理,B|J： sinA2bc所以：R aa 22sinA2 (cosA)ab2 c2 a222 ()2bc abc4b2c2 (b2 c2 a2)2二、任意三角形内切圆的半径设三角形各边边长分别为a, b, c内切圆半径为r,(如右图所示)因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点，所以，会有x z aa b c x y bx ,解得 2 y z c (cos2 )2sin2 显然：r xtan ,而 tan 1 cos2 1 cos2a2 b2 c2而由余弦定理有：cos2 2ab21 () 2ab所以：tan (a b c) (a b c)222a b cl 2ab4(ab)2 (a2 b2 c2)2222224 (ab)2 (a2 b2 c2)2a b c4(ab) (a b c)即有：r2 (a b c) (a b c)2(a b c)2 (a b c)2(a b c)a b c即：r (a b c) (a b c) (a c b) (b c a)4S2S。
内切球与外接球常见解法
内切球与外接球常见解法一、内切球内切球是指一个球体恰好能够被另一个球体包围，且两个球体相切于球面上的一个点。
在数学中，内切球经常与三角形、四面体等几何图形相关联。
1. 三角形的内切圆对于一个任意形状的三角形，都存在唯一一个内切圆，该内切圆的圆心与三角形的三条边相切。
下面介绍一种常见的求解方法：以三角形的三个顶点为A、B、C。
1) 求解三个边长a、b、c。
利用两点之间的距离公式可以得到三条边的长度：a = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]b = √[(x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2]c = √[(x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2]2) 求解三角形的半周长s。
s = (a + b + c)/23) 求解内切圆的半径r。
r = √[(s - a)(s - b)(s - c)/s]4) 求解内切圆的圆心坐标。
利用三角形面积公式可以求解内切圆的圆心坐标：x = (a*x1 + b*x2 + c*x3)/(a + b + c)y = (a*y1 + b*y2 + c*y3)/(a + b + c)2. 四面体的内切球对于四面体，即由四个平面三角形组成的几何图形，也存在一个内切球。
下面介绍一种常见的求解方法：以四面体的四个顶点为A、B、C、D。
1) 求解四个面的面积S1、S2、S3、S4。
利用三角形面积公式可以求解四个面的面积。
S1 = 1/2 * |(B - A) × (C - A)|S2 = 1/2 * |(C - B) × (D - B)|S3 = 1/2 * |(D - C) × (A - C)|S4 = 1/2 * |(A - D) × (B - D)|2) 求解四面体的体积V。
四面体的体积可以通过以下公式求解：V = 1/6 * |(B - A) · [(C - A) × (D - A)]|3) 求解四面体内切球的半径r。
求三角形外切圆和内接圆半径公式
08-10 00:49
S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/4；
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，则：
∵S=(ar/2)+(br/2)+(cr/2)，∴r=2S/(a+b+c)，
即r=√[(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]/[2√(a+b+c)]；
由正弦定理可知：a/sinA=2R和S=bcsinA/2，
已知A（0，2）B（0，0）C（2，0）三角形ABC的内切圆半径是？圆的一般方...
圆中，直角三角形内切圆半径公式：r=(a+b-c)÷2的推导过程是什么？请详...
求直角三角形的内接圆半径有什么公式吗？
求直角三角形内接圆，外接圆半径计算公式
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知道>数学> 问题页已解决求三角形外切圆和内接圆半径公式老师上课时，没记得清，请问求两个的公式王者回归zx 2010-1-28最佳答案大哥，是外接圆和内切圆
两边之积=第三边的高*外接圆直径
r（内切）=2SC
S为三角形面积，C为三角形周长
wj1232944 2010-1-28其他答案哈哈，真是闹不了，这样还不如不听课！！
wuxch21 2010-1-28外接圆半径R=a/(2sinA)=b/(2sinB)=c/(2sinC)
内切圆半径r=三角形面积×2/三角形的周长
=2S/(a+b+c)
xiangshl 2010-1-29已知△ABC的三个顶点A、B、C所对的边长依次为a、b、c，
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多引人注目的性质和特点。
其中，外接圆和内切圆是三角形中常见的两种圆，它们与三角形的关系引起了广泛的研究和应用。
一、外接圆外接圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意给定的三角形，它都存在一个唯一的外接圆。
外接圆有许多特点，其中一些被广泛应用于几何学和其它相关领域。
首先，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三条边分别延长，然后找到它们垂直平分线的交点，这个交点就是外接圆的圆心。
其次，外接圆的半径等于三角形的边长的一半除以正弦值的倒数。
这个性质被称为外接圆定理，可以用来计算外接圆的半径。
再次，外接圆的直径等于三角形的任一边的长度除以正弦值。
这个性质被称为外接圆直径定理，也是计算外接圆直径的一个重要公式。
此外，外接圆对于三角形的角度关系也有一定的影响。
例如，对于直角三角形来说，外接圆的直径等于斜边的长度，这个性质被广泛应用于解决直角三角形相关的问题。
二、内切圆内切圆是一个与三角形的三条边都相切的圆。
与外接圆类似，任意给定的三角形都存在一个唯一的内切圆。
内切圆同样具有一些重要的性质和应用。
首先，内切圆的圆心是三角形的内角平分线的交点。
也就是说，如果我们将三角形的三个内角的平分线延长，这三条延长线的交点就是内切圆的圆心。
其次，内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长来计算。
内切圆半径公式为：r = Δ / s，其中Δ 表示三角形的面积，s 表示三角形的半周长。
再次，内切圆与三角形的边长和内角关系也有重要的性质。
例如，内切圆的半径等于三角形任意一条边的长度乘以正切值的倒数。
最后，内切圆还有一个重要的性质，即它与三角形的三条边的交点构成三角形的角平分线。
这个性质有助于解决一些与角平分线相关的问题。
结论三角形的外接圆和内切圆是在几何学中经常遇到的两种圆形。
它们分别与三角形的三个顶点或三个内角相切，具有许多有趣的性质和应用。
三角形的外接圆和内切圆的性质与计算
三角形的外接圆和内切圆的性质与计算三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形的外接圆和内切圆又是三角形的重要性质之一。
本文将详细探讨三角形的外接圆和内切圆的性质，并介绍如何计算它们。
【一、三角形的外接圆】外接圆是指可以与三角形的三个顶点相切的圆。
具体而言，三角形的外接圆满足以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线的交点。
即三角形的三条垂直平分线的交点是外接圆的圆心。
2. 外接圆的半径等于三角形三边的中线的一半。
其中，中线是连接三角形的一个顶点和对立边中点的线段。
3. 外接圆的直径等于三角形的外角平分线的长度。
在计算外接圆时，我们可以利用以下公式：1. 外接圆的圆心坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得出。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。
外接圆的圆心坐标为：圆心横坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3圆心纵坐标 = (y1 + y2 + y3) / 32. 外接圆的半径可以通过三角形的顶点坐标计算得出。
假设外接圆的半径为R。
则R的长度等于三角形任意一条边的一半，可以使用以下公式计算：R = (a + b + c) / (4 * S)其中，a、b、c分别为三角形的三条边长，S为三角形的面积，可以使用海伦公式或其他计算方法得出。
【二、三角形的内切圆】内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
具体而言，三角形的内切圆满足以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形的内角平分线的交点。
即三角形的三条内角平分线的交点是内切圆的圆心。
2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
其中，半周长等于三角形的周长除以2。
在计算内切圆时，我们可以利用以下公式：1. 内切圆的圆心坐标可以通过三角形的顶点坐标计算得出。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。
内切圆的圆心坐标为：圆心横坐标 = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心纵坐标 = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)其中，a、b、c分别为三角形的三条边长。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
在研究三角形属性时，我们常常会遇到外接圆和内切圆这两个重要的概念。
本篇文章将详细探讨三角形的外接圆与内切圆，包括它们的定义、性质以及相关定理等内容。
一、外接圆1. 定义：三角形的外接圆是能够完全包围该三角形的一个圆，使得该圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上。
换句话说，外接圆的直径等于三角形的三条边的其中一个边所对的角的边。
外接圆也被称为三角形的园外接圆。
2. 性质：（1）外接圆的圆心与三角形的顶点在一条直线上，这条直线叫做欧拉直线；（2）外接圆的半径等于三角形任意一条边的弦长的一半；（3）外接圆的直径等于三角形的某一条边的边长；（4）外接圆的周长等于三角形的周长。
3. 相关定理：（1）圆周角定理：对于三角形的外接圆，其圆周角等于其所对的弦对应的角；（2）中线定理：三个边上的中线交于一点，且此点到三角形的顶点的距离等于外接圆半径的一半；（3）外心定理：三角形的外接圆的圆心就是三条中垂线的交点。
二、内切圆1. 定义：三角形的内切圆是与该三角形的三条边都相切的一个圆，也就是说，内切圆的切点分别位于三角形的三条边上。
内切圆也被称为三角形的园内切圆。
2. 性质：（1）内切圆的圆心位于三角形的重心、内心、垂心的连线上；（2）内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长；（3）内切圆的半径等于三角形的三边距离之差的一半；（4）内切圆的半径是三角形内角平分线的交点到三边的距离之积的比值。
3. 相关定理：（1）切线定理：对于三角形的内切圆，从切点到对角顶点的线段相互平行；（2）切线长度定理：切点到对边的距离等于三角形周长的一半。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆在几何学中具有重要的地位和性质。
通过研究它们的定义、性质和相关定理，我们可以更深入地理解三角形的特性，运用它们解决实际问题，甚至在其他数学领域中进行应用。
因此，在学习几何学时，对于三角形的外接圆与内切圆的研究是不可或缺的一部分。
8.5三角形外接圆半径和内切圆半径
3a 6
2
R 2r
做一做:
一三角形的三边长分别为3cm、4cm、 5cm，则其内切圆的 半径为——1cm——。
达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离
相等。
（×）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是 5cm和12cm，则它的外接圆
2
1
Or
s (abc)
2
r=
s ( s a )( s b )( s c )
B
(其中s
1
(a
b
a
c)）
s
s
2
b C
三角形的内切圆半径
求三角形内切圆的半径的公式
A
r= s
c
s( sa )( sb)( sc )
s
(其中s 1 (a b c)）
2
B
a
b
c
2 sin A 2sin B 2sin C R
三角形的内切圆
如图 圆O是 ABC 的内切圆的半径为r，则
= OBC+ OAC+ OAB
A
111
= ar br cr s( sa)(sb)( sc)
222
c
1
rr
= r(abc) s( sa)( sb)( sc)
三角形的外接圆的圆心是各边 垂直平分线的交点；其半径是交 点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内 角平分线的交点；其半径是交点 到一边的距离。
三角形的外接圆：
A
O
B
C
三角形的内切圆：
求解三角形的内切圆和外接圆
求解三角形的内切圆和外接圆三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
在三角形内切圆和外接圆的研究中，确定这两个圆的圆心和半径是关键问题。
本文将介绍如何求解三角形的内切圆和外接圆。
一、求解三角形的内切圆内切圆是与三角形的三条边均相切的圆，它的圆心被称为内心，圆心到三角形三边的距离相等，且垂直于三边。
根据三角形的性质，我们可以通过以下步骤求解内切圆：1. 计算三角形的半周长半周长可以通过三角形的三条边长之和除以2得到，即s=(a+b+c)/2，其中a、b、c分别表示三角形的三条边长。
2. 根据海伦公式计算三角形的面积海伦公式是一种计算任意三角形面积的公式，它的形式为S=sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))，其中sqrt表示开平方根。
3. 根据面积计算内切圆的半径内切圆的半径可以通过三角形的面积除以半周长得到，即r=S/s。
4. 根据垂直关系确定内切圆的圆心坐标内切圆的圆心坐标可以通过三角形的三边方程相交点的坐标求解。
这里不进行具体推导，直接给出结论：内切圆的圆心横坐标为x=(a*A.x+b*B.x+c*C.x)/(a+b+c)，其中A、B、C分别表示三角形的三个顶点，A.x、B.x、C.x分别表示它们的横坐标。
内切圆的圆心纵坐标为y=(a*A.y+b*B.y+c*C.y)/(a+b+c)，其中 A.y、B.y、C.y分别表示它们的纵坐标。
二、求解三角形的外接圆外接圆是能够完全包围三角形的圆，它的圆心被称为外心，外心到三角形的三个顶点距离相等。
求解外接圆的步骤如下：1. 计算三角形的垂直平分线方程三角形的垂直平分线是将三个内角平分并垂直于对边的线段，可以通过三角形的两个顶点坐标求解。
这里同样不进行具体推导，直接给出结论：三角形的垂直平分线方程为(ax+by+c=0)，其中(a,b,c)为方程的系数。
2. 计算垂直平分线的交点坐标垂直平分线的交点坐标即为外接圆的圆心坐标。
三角形的内切圆半径公式
《三角形的内切圆半径公式》
1、对于任意一个三角形,其内切圆的半径等于外接圆直径减去内切圆直径。
2、在解析几何中,以三角形内切圆为顶点的三角形面积,等于两条高线与该三角形面积的比值(S\/ A);以边角为顶点的三角形面积,是以同样大小的外接圆面积(πA)再除以同样大小的内切圆面积(πr)。
当S\/ A>3时,三角形面积大于内切圆面积, S\/ A<3时,三角形面积等于内切圆面积.在这些情况下,都存在唯一的最大面积。
[1]
1、内切圆半径=外接圆半径-
2、内切圆面积=外接圆面积-4、外接圆面积=2倍底乘以高÷2。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，与之相关的几何定理也非常多。
其中，三角形的外接圆和内切圆是两个重要的概念。
本文将探讨这两个圆的性质及其与三角形的关系。
一、三角形的外接圆外接圆，即能够完全包围三角形的圆，是指与三角形三边上的各个顶点都相切的圆。
首先，我们来看一下外接圆的性质。
1. 外接圆的圆心：三角形的外接圆的圆心恰好位于三角形的三条边的垂直平分线的交点处，称为"外心"。
2. 外接圆的半径：外接圆的半径等于三角形边长的一半的倒数，即 R = (a*b*c) / (4*Δ)，其中 a、b、c分别为三角形的三边长，Δ为三角形的面积。
3. 外接圆的特点：外接圆与三角形的三条边互相相切，因此，任意一条边的中点如果与另外两条边的中点相连，则这条线段恰好是外接圆的直径。
二、三角形的内切圆内切圆，顾名思义，是能够与三角形内接的圆，也就是恰好与三角形的三条边相切的圆。
接下来，我们来了解一下内切圆的性质。
1. 内切圆的圆心：三角形的内切圆的圆心位于三角形三条边的角平分线的交点处，称为"内心"。
2. 内切圆的半径：内切圆的半径等于三角形面积与半周长（s = (a+b+c)/2）之比（r = Δ / s）。
3. 内切圆的特点：内切圆与三角形的三条边互相相切，而且三角形的三条边的切点恰好是内切圆的圆心。
三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆是紧密相关的，它们之间存在一些有趣的关系。
1. 欧拉定理：三角形的外心、内心和重心三点共线，而且重心将外心和内心分成两个倍长的线段。
2. 内接圆与外接圆的半径关系：内切圆与外接圆的半径满足关系式：R = 2r，其中 R为外接圆的半径，r为内切圆的半径。
3. 内接圆与外接圆的位置关系：无论三角形的形状如何变化，内切圆始终位于外接圆的内部。
四、应用举例外接圆和内切圆的概念在实际应用中也有很多重要的应用。
例如，在工程建设中，外接圆和内切圆的关系可以用来设计合适的桥梁、隧道和弧形道路的曲线。
关于三角形中内切圆、旁切圆和外接圆半径的几个关系式
关于三角形中内切圆、旁切圆和外接圆半径的几个关系式
三角形中内切圆、旁切圆和外接圆是三角形的重要概念，它们之间有着密切的关系。
首先，三角形的内切圆半径等于三角形的三条边长的乘积除以4倍的三角形面积，即：
R=abc/4S
其中，R为内切圆半径，a、b、c分别为三角形的三条边长，S为三角形的面积。
其次，三角形的旁切圆半径等于三角形的三条边长的乘积除以4倍的三角形周长，即：
R=abc/4L
其中，R为旁切圆半径，a、b、c分别为三角形的三条边长，L为三角形的周长。
最后，三角形的外接圆半径等于三角形的三条边长的乘积除以4倍的三角形外接圆的周长，即：
R=abc/4C
其中，R为外接圆半径，a、b、c分别为三角形的三条边长，C为三角形的外接圆的周长。
以上就是三角形中内切圆、旁切圆和外接圆半径的几个关系式，它们之间有着密切的关系，可以帮助我们更好地理解三角形的特性。
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形.解：作直径BD ，连结AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°∴BD ＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310. ②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131. ③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C∴△ADB ∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2∴132-x 2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5 ∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865. 二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2cb a -+. 2、一般三角形 ①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先求出△ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S △ABC ＝84，从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4 ②已知两边夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13， 因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311-B③已知两角夹一边求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条线段组成，且任意两边之和大于第三边。
在三角形的研究中，外接圆和内切圆是重要的概念。
一、外接圆外接圆是指能通过三角形的三个顶点构成的圆，它的圆心位于三角形外部，但与三角形的每一条边都相切。
在研究外接圆时，我们首先需要了解外接圆的性质。
根据外接圆的定义，我们可以得到以下结论：1. 外接圆的半径等于三角形三条边的中线的乘积除以四倍三角形的面积。
这是外接圆半径的一个重要计算公式。
2. 三角形的三条高线的交点即为外接圆的圆心。
这意味着圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
3. 外接圆的直径等于三角形的周长。
有了这些性质，我们可以利用它们来解决一些与外接圆相关的问题。
比如，我们可以通过外接圆的半径和圆心，求解三角形的面积。
我们还可以利用外接圆与三角形边的关系，推导出其他几何问题的解决方法。
外接圆的研究不仅能帮助我们深入理解三角形的特性，还可以为其他几何形状的研究提供一些启示。
二、内切圆与外接圆相反，内切圆是指能够与三角形的三条边相切的圆，它的圆心位于三角形的内部。
内切圆也有一些重要的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
这也是内切圆半径的计算公式。
2. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点。
这说明圆心是三个顶点的角平分线的交点。
内切圆与外接圆一样，可以用来解决一些几何问题。
通过内切圆和三角形的关系，我们可以推导出一些有关三角形的性质。
例如，我们可以利用内切圆半径和圆心的位置，求解三角形的高和角平分线的长度。
三、外接圆与内切圆的关系外接圆和内切圆是三角形内在的两个圆，它们之间存在一些有趣的关系。
首先，外接圆的直径等于内切圆的半径的两倍。
这是因为内切圆的圆心与三角形的三个顶点相辐，而外接圆的圆心位于三角形三个顶点的角平分线的交点。
根据角的性质，我们可以得知外接圆的直径等于内切圆的半径的两倍。
其次，外接圆和内切圆的圆心与三角形的关系也非常特殊。
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三角形的外接圆与内切圆半径的求法
江苏省海安县曲塘镇花庄初中（226661）马金全
一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形
如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，
∴AB 2＝BC 2＋AC 2
， ∴∠C ＝90°，
∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形
①已知一角和它的对边
例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形.
解：作直径BD ，连结AD.
则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°
∴BD ＝
D sin AB ＝︒
80sin 10
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为
︒
80sin 5
. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.
例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°
求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
分析：可转化为①的情形解题.
解：作直径AD ，连结BD.
则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°
∴AD ＝
D sin AB ＝︒60sin 10＝
33
20
∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为
33
10
. ②已知两边夹一角
例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.
则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝2
1
AC ＝1，AE ＝3，
BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7 ∴AD ＝
D sin AB ＝︒
60sin 7
＝2132 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为
213
1
. ③已知三边
例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD.
解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C
∴△ADB ∽△ACE ∴
AB
AE
AD AC = 设CE ＝x, ∵AC 2
-CE 2
＝AE 2
＝AB 2
-BE 2
∴132
-x 2
＝152
-(14-x)2
x=5,即CE ＝5 ∴AE ＝12 ∴
15
12
AD 13= AD ＝465 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.
二、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
例6已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.
解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c,
∴r=2c b a -+,即△ABC 内接圆⊙O 的半径为2
c b a -+.
2、一般三角形
①已知三边
例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
分析：考虑先求出△ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：利用例5的方法，或利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2
c
b a ++)可求出S △ABC ＝84，从而
21AB •r+21BC•r+2
1
AC•r=84, ∴r=4 ②已知两边夹一角
例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝
3
4
,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13，
B
因为
21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=6
1311 ③已知两角夹一边
例9已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°,BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(精确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.
总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径
.。