2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时课件新人教A版必修1
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高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法
[ 规 律 方 法 ] 1. 若 已 知 函 数 的 类 型 ， 可 用 待 定 系 数 法 求 解．由函数类型设出函数解析式，再利用题目中的条件列方 程(或方程组)，通过解方程(组)求出待定系数． 2．对于已知f[g(x)]的表达式，求f(x)常用“换元法”，需特 别说明一点：需保证换元前后自变量的范围不变！否则易弄 错函数的定义域．
互动探究 探究点1 判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？ 提示 作垂直于x轴的直线，并沿x轴平移，如果图象始终与 此直线至多有一个交点，则此图形可以作为函数的图象，否 则不能作为函数的图象． 探究点2 任何一个函数都能用解析法表示吗？ 提示 不一定．如某一地区绿化面积与年份关系等受偶然因 素影响较大的函数关系就无法用解析法表示.
解 法一 由已知条件得f(0)＝1， f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)， 设x＝y，则f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)， 所以f(x)＝x2＋x＋1. 法二 令x＝0，得f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)， 即f(－y)＝1－y(－y＋1)， 将－y用x代换到上式中得f(x)＝x2＋x＋1. [题后反思] 当所给的函数中含有两个变量时，可对这两个变量交 替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再根据已知条件求 出函数解析式．具体取什么特殊值，根据题目特征而定．需要说 明的是依据这样的关系式不是都可以求出函数解析式的．
【活学活用2】 (1)已知g(x－1)＝2x＋6，求g(3)． (2)若二次函数f(x)满足：f(0)＝0，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．
解 (1)法一 令 x－1＝t，则 x＝t＋1， ∴g(t)＝g(x－1)＝2(t＋1)＋6＝2t＋8， ∴g(x)＝2x＋8，∴g(3)＝2×3＋8＝14. 法二 令 x－1＝3，则 x＝4，∴g(3)＝2×4＋6＝14.
2018版高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系课件新人教A版必修120170801252
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)0⊆{x|x<5，x∈N}．( ) ) )
(2)设 A 是一个集合，则 A A.(
(3)若集合 A 中有 3 个元素，则集合 A 共有 7 个真子集．(
【解析】 (1)×.“⊆”用来表示集合与集合间的关系，所以(1)错误． (2)×.集合A是它本身的子集，但不是真子集，故(2)错误． (3)√.若集合A的元素个数为n，则其真子集的个数为2n－1，(3)正确．
)
【解析】 满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅. 【答案】 B
教材整理3 子集的性质 阅读教材P7“思考”以下部分，完成下列问题． 子集的性质： (1)任何一个集合是它本身的 子集 ，即A⊆A； (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么 A⊆C .
对于集合 A，B，C，若 A⊆B，且 B C，那么 A 与 C 的关系是________．
【精彩点拨】 利用子集、真子集的定义逐一进行判断．
【自主解答】
(1)因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍，所以集
合B是集合A的真子集，故选D. (2)根据子集的定义，①正确；②中只有正方形才既是菱形，也是矩形，其他的 菱形不是矩形，故②错误；③{x|x2＝0}＝{0}，故③正确；④中{(0,1)}的元素是 有序实数对，而{0,1}是数集，元素不同，故④错误；⑤中两个集合之间使用了 “∈”符号，这是用来表示元素与集合的关系时使用的符号，不能用在集合与 集合之间；⑥中两集合的关系应该是{x|x>1} {x|x≥2}，故⑥错误． 因此正确的是①③，错误的是②④⑤⑥.
【答案】 (1)× (2)× (3)√
教材整理2 空集 阅读教材P7第二段和第三段，完成下列问题． 1．定义： 不含任何 元素的集合，叫做空集． 2．符号表示为： ∅ . 3．规定：空集是任何集合的 子集 ．
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法课件新人教A版必修1
②形如y=-f(x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称. ③形如y=-f(-x),其函数图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称. ④形如y=f(|x|),其图象是关于y轴对称的,在y轴的右侧,它的图象与函数 y=f(x)位于y轴右侧的图象重合,然后将y轴右侧的图象沿y轴翻折到左侧, 就得到y=f(|x|)的图象. ⑤形如y=|f(x)|,将函数y=f(x)的图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上 方,x轴上方的部分不变,从而得到函数y=|f(x)|的图象. (3)利用函数的性质画图. 先对函数y=f(x)的性质进行分析,然后画图,常用的函数的性质有定义域、 值域、奇偶性、单调性、周期性等(奇偶性、单调性下节学习).
解:(1)令 x 1 =t,则 t≥0,且 x=t2+1, 所以 f(t)=3-(t2+1)=2-t2(t≥0), 即 f(x)=2-x2(x≥0). (2)因为 f(x)是二次函数,设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
由 f(0)=1,得 c=1, 由 f(x+1)-f(x)=2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,
因为
0＜x＜a,
2a
x
2x
t,
所以
0＜x＜a,
0＜x
2at t
=a 1 2t
>0,
所以 0<x≤ 2at . 1 2t
所以铁盒容积 V=4x(a-x)2,定义域为{x|0<x≤ 2at }. 1 2t
误区警示 利用函数解决实际问题时函数的定义域不仅要考虑使函数解 析式有意义,还要考虑使实际问题有意义.
(3)y=|x-1|.
解:(3)所给函数去掉绝对值符号得 y是=端1x点x1,,为xx＜(111,, ,0)的两条射线,如图所示.
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第一课时函数的表示法课件新人教A版必修13
图象在x轴上 的投影
使解析式有意义的自 变量x的取值范围
值域
表格中,相应y的取值 集合
图象在y轴上的投影
因变量y的取值 范围
优点
不需要计算就可以直接 看出与自变量的值相对 应的函数值
能直观、形象地表示 自变量的变化情况及 相应的函数值的变化 趋势;可以直接应用图 象来研究函数的某些 性质
一是简明、全面地 概括了变量间的关 系;二是可以通过 解析式求出在定义 域内任意自变量所 对应的函数值
f f
x
2
f
1 x
1 x
2
f
x
x, 1. x
解得 f(x)= 2 - x (x≠0). 3x 3
(3)已知f(x)是一次函数,且f(x+1)+3f(1-x)=20-4x,求f(x)的解析式.
解:(3)设 f(x)=kx+b(k≠0),
则 f(x+1)=kx+k+b,f(1-x)=k-kx+b, 由 f(x+1)+3f(1-x) =kx+k+b+3k-3kx+3b =-2kx+4k+4 b=20-4x,
1.2.2 函数的表示法 第一课时 函数的表示法
[目标导航]
课标要求
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、 列表法. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当方法表 示函数.
素养达成
通过函数三种表示方法的学习,培养学生直观想象与 数学运算的核心素养.
新知导学·素养养成
1.函数的表示方法 解析法,就是用 数学表达式 表示两个变量之间的对应关系. 图象法,就是用 图象 表示两个变量之间的对应关系. 列表法,就是 列出表格 来表示两个变量之间的对应关系.
度高中数学第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示1.2.1第一课时函数的概念课件新人教A版必修1
想一想 1:表中比赛天数与金牌数这两个变量之间存在什么关系? (每一个比赛天数都唯一对应着一个确定的金牌数,即金牌数是比赛天数 的函数) 想一想 2:比赛天数是金牌数的函数吗? (不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要 检验: ①定义域和对应关系是否给出; ②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一 确定的函数值y与之对应)
答案:集合A,B是非空数集,函数的值域是集合B的子集.
自我检测
1.(函数概念)下列对应: ①M=R,N=N*,对应关系f:“对集合M中的元素取绝对值与N中的元素对应”; ②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈M,y∈N; ③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素 对应.” 是集合M到集合N上的函数的有( (A)1个 (C)3个 (B)2个 (D)0个 A )
(A)① (C)③ (B)② (D)④
)
解:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对 应关系在N中都有唯一的数与之对应, ①中,当x=4时,y=42=16∉N,故①不能构成函数; ②中,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故②不能构成函数; ③中,当x=-1时,y=-1-1=-2∉N,故③不能构成函数;
方法技巧 判定图象是否是函数的图象的方法: (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内移动直线l; (3)若l与图象有一个交点,则是函数,若有两个或两个以上的交点,则不是 函数.
即时训练2-1:(2017·上海高一月考)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤ x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
高中数学第一章集合与函数概念122函数的表示法第1课时函数的表示法课件新人教A版必修1
3.作出下列函数图象并求其值域. (1)y＝1－x(x∈Z)； (2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3). 【解析】(1)因为x∈Z，所以图象为一直线上的孤立点 (如图①)，由图象知，y∈Z.
(2)因为x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图②)， 由图象知，y∈[－5,3).
因忽略函数的定义域而出错
复习课件
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法课 件新人教A版必修1
2021/4/17
高中数学第一章集合与函数概念122函数的表示法第1课时 函数的表示法课件新人教A版必修1
1.2 函数及其表示
1.2.2 函数的表示法
第1课时 函数的表示法
目标定位
1.掌握函数的三种表示方 法：解析法、图象法、列表 法. 2.会根据不同的需要选择恰 当方法表示函数.
联系
解析、列 表和图象 三法各有 优缺点， 面对实际 问题时根 据需要恰 当选择
2.作函数图象时应注意以下几点 (1)在定义域内作图. (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线 来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标 轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点.
系.
2.对三种表示法的说明 (1)解析法：利用解析式表示函数的前提是变量间的对 应关系明确，且利用解析法表示函数时要注意注明其定义域. (2)图象法：图象既可以是连续的曲线，也可以是离散 的点. (3)列表法：采用列表法的前提是函数值对应清楚，选 取的自变量要有代表性.
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个函数都可以用解析法表示.( ) (2)一个函数可以用不同的表示方法来表示.( ) (3) 函 数 的 图 象 一 定 是 定 义 区 间 上 一 条 连 续 不 断 的 曲 线.( ) 【答案】(1)× (2)√ (3)×
高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法课件新人教A版必修1
由恒等式原理知a2＋a＝b＝2，0， 解得ab＝ ＝1－，1. ∴f(x)＝x2－x＋1.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次 函数的解析式.
解 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， 由 题 意 得
解析答案
题型二 列表法表示函数 例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； 解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1) 所示.
解析答案
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)). 解 因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3 之间的一部分，如图(2)所示.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； 解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1). (2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1). 解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉 －1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
c＝1， a＋b＋c＝2，
4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次 函数的解析式.
解 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， 由 题 意 得
解析答案
题型二 列表法表示函数 例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
答案
返回
题型探究
重点突破
题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； 解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1) 所示.
解析答案
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)). 解 因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3 之间的一部分，如图(2)所示.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； 解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1). (2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1). 解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉 －1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
c＝1， a＋b＋c＝2，
4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，
2018学年高中数学必修一课件：第一章1.2-1.2.2第1课时函数的表示法 精品
(2)令 t＝ x－1，则 t≥－1，且 x＝t＋1， 所以 f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. 故所求的函数为 f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1)． 答案：(1)x2－x＋1(x≠1) (2)x2＋4x＋3(x≥－1)
[迁移探究 3] 已知的式子中含有 f(x)，f1x(或 f(x)， f(－x))形式的函数，求 f(x)的解析式：解决此类问题的方 法为“方程组法”，即用－x 替换 x，或用1x替换 x，组成 方程组进行求解．
[典例] 设 f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的一个函数，
且有 f(x)＝2 xf1x－1，则 f(x)＝______________．
解析：因为 f(x)＝2 xf1x－1，①
所以用1x代换
x，得
1 fx＝2
1xf(x)－1.②
解①②组成的方程组，消去
1 fx，
得 f(x)＝4f(x)－2 x－1， 所以 f(x)＝23 x＋13. 又因为 x∈(1，＋∞)， 所以 f(x)＝23 x＋13，x∈(1，＋∞)． 答案：23 x＋13，x∈(1，＋∞)
答案：D
(2)解：设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为 f(0)＝1，所以 c＝1. 又因为 f(x＋1)－f(x)＝2x， 所以 a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x. 整理得：2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式性质知上式中对应项系数相等．
2a＝2，
所以
解得 a＝1，b＝－1，
3．连线，用光滑的曲线把这些点按自变量由小到大 的顺序连接起来．
[变式训练] 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； (2)y＝x2－2x(x∈(－1，2])． (1)解：这个函数的图象由一些点组成，这些点都在
高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.1函数的概念课件
一
二
2.实数集R及x≥a,x>a,x≤a,x<a如何用区间表示?
提示:
定义 R
{x|x≥a}
符号 (-∞,+∞) [a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
3.判断正误:
(1)所有的数集都能用区间表示.(
(2)所有的区间都能用数集表示.(
答案:(1)× (2)√
{x|x≤a}
(-∞,a]
)
)
{x|x<a}
答案:①④
一
二
二、区间的概念及表示
1.阅读教材17页上半部分,关于区间的概念,请填写下表:
设a,b∈R,且a<b,规定如下:
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间
[a,b]
{x|a<x<b}
开区间
(a,b)
{x|a≤x<b}
半开半闭区间 [a,b)
{x|a<x≤b}
半开半闭区间 (a,b]
数轴表示
故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).
4- ≥ 0,
≤ 4,
(2)要使函数有意义,自变量 x 的取值必须满足
即
≠ 1.
-1 ≠ 0,
故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
当堂检测
反思感悟求函数的定义域时,常有以下几种情况:
(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;
(+2)0
(1)y=
||-
2 -1
; (2)f(x)= -1 − 4-.
2018年秋高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法
第1课时 函数的表示法学习目标：1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]函数的表示法思考：(1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？[提示] (1)三种表示方法的优、缺点比较：并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．[基础自测]1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用列表法表示．( )(2)任何一个函数都可以用解析法表示．( )(3)函数的图象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．已知函数f (x )由下表给出，则f (3)等于( )C ．3D ．不存在 C [∵当2<x ≤4时，f (x )＝3，∴f (3)＝3.]3．已知函数y ＝f (x )的图象如图121所示，则其定义域是________．图121[－2,3] [由图象可知f (x )的定义域为[－2,3]．]4．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y 轴，则二次函数的解析式可以为( )【导学号：37102097】A ．y ＝－14x 2＋1 B ．y ＝14x 2－1 C ．y ＝4x 2－16D ．y ＝－4x 2＋16 B [把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B 正确．][合 作 探 究·攻 重 难]函数表示法的选择某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[解] ①列表法如下：。
高中数学第一章集合与函数概念1.2.2第1课时函数的表示法课件新人教A版必修10718210
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
第二十六页，共32页。
探究(tànjiū)
一
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
变式训练 已知一个面积为 100 cm2 的等腰梯形,上底长为 x
cm,下底长为上底长的 3 倍,则把它的高 y 表示成 x 的函数为(
得f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2
=x2+2x+1-5x-5+6=(x+1)2-5(x+1)+6,
∴f(x)=x2-5x+6.
(2)设所求的二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
∵f(0)=1,
∴c=1,则f(x)=ax2+bx+1.
4
12
所以 = ,即 = .所以 y= .
3
连接 BD,因为 BA≤BP≤BD,而 BA=3,CB=AD=4,
所以 BD= 32 + 42 =5,所以 3≤x≤5.
12
故所求的函数表达式为 y= (3≤x≤5).
如图所示,曲线 MN 就是所求的函数图象.
第二十五页，共32页。
= 2,
= - 2,
解得
或
= 1- 2
= 1 + 2.
故 f(x)= 2x+1- 2或 f(x)=- 2x+1+ 2.