【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2第二课时直线和椭圆的位置关系课件 新人教A版选修1-1
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.2直线与圆的位置关系课件 苏教版必修2
法二： 几何法 几何法) 法二：(几何法 圆 C：(x－1)2＋y2＝1 的圆心为 C(1,0)，半径 r＝1. ： － ， ＝ |k＋5| ＋ . 设圆心 C 到直线 l 的距离为 d，则 d＝ 2 ， ＝ k ＋1 |k＋5| ＋ 12 当 d＞r，即 2 ＞， ＞1 时，k＞－ ， ＞－ 5 k ＋1 相离． 此时直线 l 与圆 C 相离．
本题满分14分 求过点 求过点(1， 且与圆x 本题满分 且与圆 例2 (本题满分 分 )求过点 ， － 7)且与圆 2 ＋ y2 相切的直线方程． ＝25相切的直线方程． 相切的直线方程 【思路点拨】 思路点拨】 由于直线过定点(1， 由于直线过定点 ，－7)，故可设 ，
切点或直线的斜率，采用几何法或代数法求解． 切点或直线的斜率，采用几何法或代数法求解．
法二：已知圆的方程可化为 － 法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即 － ， 圆心坐标为(2,1)，半径 r＝2. 圆心坐标为 ， ＝ 圆心(2,1)到直线 mx－y－m－1＝0 的距离为 圆心 到直线 － － － ＝ |2m－1－m－1| |m－2| － － － － d＝ ＝ ＝ 2 2 . 1＋m 1＋m ＋ ＋ 4 直线与圆相交； 当 d＜2，即 m＞0 或 m＜－ 时，直线与圆相交； ＜ ， ＞ ＜－ 3 4 直线与圆相切； 当 d＝2，即 m＝0 或 m＝－ 时，直线与圆相切； ＝ ， ＝ ＝－ 3 4 直线与圆相离． 当 d＞2，即－ ＜m＜0 时，直线与圆相离． ＞ ， ＜ 3
l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8. ： ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ (1)证明：不论m为何实数，直线 与圆 恒相交； 证明：不论 为何实数 直线l与圆 恒相交； 为何实数， 与圆C恒相交 证明 (2)当直线 被圆 截得的弦长最短时，求m的值． 当直线l被圆 截得的弦长最短时， 的值． 当直线 被圆C截得的弦长最短时 的值
高中数学第二章椭圆的简单几何性质第二课时直线与椭圆的位置关系学案含解析
第二课时 直线与椭圆的位置关系[导入新知]1．直线与椭圆的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入椭圆的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，椭圆方程为f (x ，y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，f x ，y ＝0消元，如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. 设Δ＝b 2－4ac .①Δ＞0时，直线和椭圆相交于不同两点； ②Δ＝0时，直线和椭圆相切于一点； ③Δ＜0时，直线和椭圆没有公共点． 2．椭圆的弦直线与椭圆相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做椭圆的弦，线段的长就是弦长，简单地说，椭圆的弦就是连接椭圆上任意两点所得的线段．[化解疑难]1．直线与椭圆有三种位置关系，即相交、相切和相离．2．解决直线与椭圆的位置关系，一般是联立直线方程和椭圆方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与椭圆的公共点的个数，从而确定位置关系．[例1] 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆4＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0，直线与椭圆相离． [类题通法]判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ＞0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ＜0⇔直线与椭圆相离．[活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，求m 的取值范围．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1，消去y ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， ∴Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)． ∵直线与椭圆总有公共点， ∴Δ≥0对任意k ∈R 都成立． ∵m ＞0，∴5k 2≥1－m 恒成立． ∵5k 2≥0，∴1－m ≤0，即m ≥1. 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴0＜m ＜5， ∴1≤m ＜5，即m 的取值范围为[1,5)．[例2] 已知斜率为2的直线经过椭圆5＋4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B两点，求弦AB 的长．[解] 法一：∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，且直线的斜率为2，∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.|AB |＝x A －x B2＋y A －y B2＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝⎛⎭⎪⎫－2－432＝ 1259＝553.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的解．消去y 得，3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋k 2AB＝＋k 2ABx 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. [类题通法] 当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法．(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋kx 1－kx 22＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2，其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程得到．[活学活用]椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆的方程．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2. ∴椭圆的方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ， 得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0， 由Δ＞0，得a 2＞32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.[例3] 已知点P (4,2)是直线l 被椭圆36＋9＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程．[解] 法一：由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆的方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. ∴x 1＋x 2＝8kk －4k 2＋1＝8，∴k ＝－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.法二：设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减，有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即k ＝－12.∴直线l 的方程为x ＋2y －8＝0. [类题通法]解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②，得1a2(x 21－x 22)＋1b2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.[活学活用]已知中心在原点，一个焦点为F (0，50)的椭圆被直线l ：y ＝3x －2截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．解：设所求椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．弦两端点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由y 2a 2＋x 2b2＝1及y ＝3x －2得 (a 2＋9b 2)x 2－12b 2x ＋b 2(4－a 2)＝0， x 1＋x 2＝12b2a 2＋9b 2，由已知x 1＋x 22＝12， 即12b 2a 2＋9b 2＝1，所以a 2＝3b 2. 又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以得a 2＝75，b 2＝25， 所以椭圆的方程为y 275＋x 225＝1.2.求解直线和椭圆的综合问题[典例] (12分)(北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N . (1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值．[解题流程][活学活用](浙江高考)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)； (2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k 21＋a 2k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)． ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.所求离心率的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，22.[随堂即时演练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1解析：选A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－2≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝c a ＝1－b 2a2＝ 1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线与椭圆的交点，中点M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，得3x 2＋4x －2＝0.x 0＝x 1＋x 22＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13.3．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32(负值舍去)．答案：324．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x 2m ＋y23＝1，y ＝x ＋2，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.又∵直线与椭圆有两个公共点， ∴Δ＝(4m )2－4m (m ＋3)＝16m 2－4m 2－12m ＝12m 2－12m ＞0， 解得m ＞1或m ＜0.又∵m ＞0且m ≠3，∴m ＞1且m ≠3. 答案：(1,3)∪(3，＋∞)5．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋[k x 1－x 22＝1＋k2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆x 225＋y 24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18 解析：选B ∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12.2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m ＝( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：选A 将椭圆方程化为标准方程为x 2＋y 21m＝1，∵焦点在y 轴上，∴1m＞1，∴0＜m＜1.由方程得a ＝1m ，b ＝1.∵a ＝2b ，∴m ＝14. 3．两个正数1,9的等差中项是a ，等比中项是b 且b ＞0，则曲线x 2a ＋y 2b＝1的离心率为( )A.105 B.2105 C.25 D.35解析：选A ∵a ＝9＋12＝5，b ＝1×9＝3，∴e ＝25＝105. 4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．0，12C ．0，22 D.22，1 解析：选C ∵MF 1―→⊥MF 2―→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c ＜b ，∴c 2＜b 2＝a 2－c 2，即2c 2＜a 2， ∴c 2a 2＜12，即c a ＜22.又e ＞0，∴0＜e ＜22. 5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA ―→＝3FB ―→，则|AF ―→ |＝( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)．由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝1，即c ＝1.∴右焦点F (1,0)．由FA ―→＝3FB ―→，得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)．∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0.∴x 0＝43，y 0＝13n .将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1， 得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1，∴|AF ―→|＝－2＋n 2＝1＋1＝ 2. 二、填空题6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎨⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 54＋＝35.答案：357．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM ―→|＝1，且PM ―→·AM ―→＝0，则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0，∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，∴|AP ―→|min ＝2，∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 38．(江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b 2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y ＝b 2代入椭圆的标准方程，得x 2a 2＋b 24b 2＝1， 所以x ＝±32a ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2. 又因为F (c,0)，所以BF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2， CF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2. 因为∠BFC ＝90°，所以BF ―→·CF ―→＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，即c 2－34a 2＋14b 2＝0，将b 2＝a 2－c 2代入并化简，得a 2＝32c 2，所以e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63(负值舍去)． 答案：63三、解答题9．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点， 所以Δ＝16b 2－12(2b 2－2)＝24－8b 2＞0， 解得－3＜b ＜ 3.所以b 的取值范围为(－3，3)．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当b ＝1时，方程①为3x 2＋4x ＝0.解得x 1＝0，x 2＝－43. 相应地y 1＝1，y 2＝－13. 所以|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝423.10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35. (1)求C 的方程； (2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1， ∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925， 即1－16a 2＝925，∴a ＝5， ∴C 的方程为x 225＋y 216＝1. (2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0， 解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标 x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.。
【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结同步课件 新人教B版必修3
想及其初步应用， 回归直线的意义和求法， 想及其初步应用 ， 回归直线的意义和求法 ， 数据处理的基本方法和能力， 数据处理的基本方法和能力 ， 考查运用统计 知识解决简单实际应用问题的能力． 知识解决简单实际应用问题的能力．
我国是世界上严重缺水的国家之一， 我国是世界上严重缺水的国家之一， 城市缺水问题较为突出， 城市缺水问题较为突出，某市为了节约生活 用水， 用水，计划在本市试行居民生活用水定额管 即确定一个居民的月用水量标准， 理，即确定一个居民的月用水量标准，用水 量不超过该标准的部分按平价收费， 量不超过该标准的部分按平价收费，超出的 部分按议价收费，如果希望大部分居民的日 部分按议价收费， 常生活不受影响， 常生活不受影响，并假设该市即为你所处的 请设计一个调查方案， 市，请设计一个调查方案，制定一个合理的 标准用水量． 标准用水量． 随机抽取某市100位居民某年的月用水量 单 位居民某年的月用水量(单 随机抽取某市 位居民某年的月用水量 位：t)： ：
同区间内取值的频率， 同区间内取值的频率，相应的直方图是用图 形的面积的大小来表示各区间内取值的频率 的．
线性回归 分析两个变量的相关关系时， 分析两个变量的相关关系时，我们可根据样 本数据散点图确定两个变量之间是否存在相 关关系，还可利用最小二乘法求出回归直线 关关系， 方程． 方程．利用线性回归方程对两个变量间的线 性相关关系进行估计， 性相关关系进行估计，实际上就是将非确定 性的相关关系转化为确定性的函数关系进行 研究． 研究．
对预处理后的数据， 对预处理后的数据，容易算得 x ＝0， y ＝3.2. ，
^
b＝ (－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2 ) ) ) ) × ＋ × － × × (－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02 ) ) × 260 ＝ ＝6.5， ， 40
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2求曲线的方程课件 新人教A版选修2-1
互动探究 1 → → OP·QF， 其他条件不变， 的方程． 其他条件不变， 求动点 P 的轨迹 C 的方程．
→ → 若本例中的等式关系改为QP 若本例中的等式关系改为 ·FP ＝
解：设点 P(x，y)，则 Q(－1，y)． ， ， － ， ． → → → → 由QP·FP＝OP·QF， ，－y)， 得(x＋1,0)·(x－1，y)＝(x，y)·(2，－ ， ＋ － ， ＝ ， ，－ 2 2 2 2 ∴x －1＝2x－y ，∴x ＋y －2x－1＝0. ＝ － － ＝ 2 2 即轨迹 C 的方程为 x ＋y －2x－1＝0. － ＝
定义法求曲线方程 如果所给几何条件正好符合所学过的已知曲 线的定义， 线的定义 ， 则可直接利用这些已知曲线的方 程写出动点的轨迹方程． 程写出动点的轨迹方程． 例2 长为 的线段的两个端点分别在 轴 、 y 长为4的线段的两个端点分别在 的线段的两个端点分别在x轴 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程． 轴上滑动，求此线段的中点的轨迹方程． 思路点拨】 【 思路点拨 】 利用直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半， 求出中线长， 等于斜边的一半 ， 求出中线长 ， 再利用圆的 定义求中点的轨迹方程． 定义求中点的轨迹方程．
动点M在曲线 上移动， 和定 动点 在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定 在曲线 上移动 连线的中点为P， 点的轨迹方程． 点B(3,0)连线的中点为 ，求P点的轨迹方程． 连线的中点为 点的轨迹方程
设M，P点坐标 → 由中点坐标公式列方程 ， 点坐标
例3
【思路点拨】 思路点拨】
点坐标表示M点坐标 点坐标代入曲线x → 用P点坐标表示 点坐标 → 把M点坐标代入曲线 2＋y2＝1 点坐标表示 点坐标代入曲线 → 得P点的轨迹方程 点的轨迹方程
高中数学 2.1.2 第2课时 椭圆的简单几何性质教案 选修1-1
第2课时椭圆方程及性质的应用(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能掌握利用根的判别式判断直线与椭圆位置关系的方法，初步探寻弦长公式有关知识．2．过程与方法通过问题的提出与解决，培养学生探索问题、解决问题的能力．领悟数形结合和化归等思想．3．情感、态度与价值观培养学生自主参与意识，激发学生探索数学的兴趣．●重点、难点重点：掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透．难点：应用直线与椭圆位置关系的知识解决一些简单几何问题和实际问题．教学内容是在熟练椭圆方程与性质的基础上的习题课，涉及直线与椭圆的位置关系、椭圆的实际应用问题，掌握好椭圆方程与性质，类比直线与圆的位置关系的研究方法是突破重点与难点的关键．(教师用书独具)●教学建议由于学生已经学习了直线与圆位置关系及相关知识的推导及运用过程，但大部分还停留在经验基础上，主动迁移能力、整合能力较弱，所以本节课宜采用启发引导式教学；同时借助多媒体，充分发挥其形象、生动的作用．●教学流程创设问题情境，引出命题：能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？⇒引导学生结合以前学习过的直线与圆的位置关系，通过比较、分析，得出判断方法——代数法.⇒引导学生分析代数法判断直线与椭圆位置关系的步骤，引出解题关键与注意事项.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交、相切、相离的条件及应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线与椭圆相交问题，学会求直线方程和弦长的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第25页)课标解读1.掌握椭圆的方程及其性质的应用．(重点)2．掌握直线与椭圆位置关系的判断方法，初步探寻弦长公式．(难点)点与椭圆的位置关系【问题导思】点与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：点在椭圆上，点在椭圆内，点在椭圆外．设点P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.直线与椭圆的位置关系【问题导思】1．直线与椭圆有几种位置关系？【提示】 三种位置关系：相离、相切、相交．2．我们知道，可以用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判断直线与椭圆的位置关系？【提示】 不能．3．用什么方法判断直线与椭圆的位置关系？ 【提示】 代数法．直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消y 得一个一元二次方程．位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ＞0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ＜0(对应学生用书第26页)直线与椭圆的位置关系的判定当m 为何值时，直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1相交、相切、相离？【思路探究】 错误!→错误!→错误!→错误! 【自主解答】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①x 24＋y 2＝1， ②将①代入②得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0③Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当Δ＞0，即－5＜m ＜5时，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交；当Δ＝0，即m ＝－5或m ＝5时，方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切；当Δ＜0，即m ＜－5或m ＞5时，方程③没有实数根，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆位置关系的步骤：试判断直线y ＝x －12与椭圆x 2＋4y 2＝2的位置关系．【解】 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －12，x 2＋4y 2＝2，消去y ，整理得5x 2－4x －1＝0，(*)Δ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，即方程(*)有两个实数根，所以方程组有两组解，即直线和椭圆相交．直线与椭圆相交问题已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．【思路探究】 (1)你能写出直线方程吗？怎样求此直线在椭圆上截得的弦长的长度？ (2)点P 与A 、B 的坐标之间有怎样的关系？能否用根与系数的关系求得直线的斜率？ 【自主解答】 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋14x 1－x 22＝52x 1＋x 22－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k x －4，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12.这时直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0.由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 从而(x 2－x 1)＋2(y 2－y 1)＝0，k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，于是直线AB ，即为l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 1．求直线与椭圆相交所得弦长问题，通常解法是将直线方程与椭圆方程联立，然后消去y (或x )得到关于x (或y )的一元二次方程，根据两点间的距离公式以及根与系数的关系求解．也可以直接代入弦长公式：|P 1P 2|＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2y 1＋y 22－4y 1y 2求解．2．解决直线与椭圆相交弦的中点有关的问题时，通常有两种方法：法一：由直线的方程与椭圆的方程组成的方程组消去y 后转化为关于x 的一元二次方程，再利用根与系数的关系，运用中点坐标公式建立方程组求解．法二：通过弦AB 的端点的坐标是椭圆的方程的解，得到两个“对称方程”，然后将两个方程相减，再变形运算转化为直线的斜率公式，这种方法通常称为“点差法”．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由于A ，B 两点在椭圆上， ∴x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4. 两式相减，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0 ①显然x 1≠x 2， 故由①得：k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2. ②又点P (－1,1)是弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ③把③代入②得：k AB ＝12，∴直线AB 的方程为y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.与椭圆相关的实际应用问题 图2－1－3如图2－1－3，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？【思路探究】 恰当建系→设椭圆方程→错误!→错误!→错误!【自主解答】 如图建立直角坐标系，则点P (11,4.5)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1.∵P (11,4.5)在椭圆上， ∴112a 2＋4.52b2＝1，又b ＝h ＝6代入①式，得a ＝4477.此时l ＝2a ＝8877≈33.3(米)．因此隧道的拱宽约为33.3米．1．解答与椭圆相关的应用问题，事物的实际含义向椭圆的几何性质的转化是关键，其次要充分利用椭圆的方程对变量进行讨论，以解决实际问题．2．实际问题中，最后的结论不可少，一定要结合实际问题中变量的含义做出结论． 有一椭圆形溜冰场，长轴长100 m ，短轴长60 m ，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？【解】 分别以椭圆的长轴、短轴各自所在的直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，设矩形ABCD 的各顶点都在椭圆上．因为矩形的各顶点都在椭圆上，而矩形是中心对称图形，又是以过对称中心且垂直其一边的直线为对称轴的轴对称图形， 所以矩形ABCD 关于原点O 及x 轴，y 轴都对称． 已知椭圆的长轴长2a ＝100 m ，短轴长2b ＝60 m ， 则椭圆的方程为x 2502＋y 2302＝1.考虑第一象限内的情况，设A (x 0，y 0)， 则有1＝x 20502＋y 20302≥2x 20502·y 20302＝2x 0y 01 500， 当且仅当x 20502＝y 20302＝12，即x 0＝252，y 0＝152时，等号成立，此时矩形ABCD 的面积S ＝4x 0y 0取最大值3 000 m 2.这时矩形的周长为4(x 0＋y 0)＝4(252＋152)＝160 2 (m).(对应学生用书第27页) 运用“设而不求”法研究直线和椭圆位置关系问题(12分)(2013·本溪高二检测)已知椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，原点到该直线的距离为32.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D (－1,0)与椭圆分别交于点E ，F ，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程；(3)对于D (－1,0)，是否存在实数k ，使得直线y ＝kx ＋2分别交椭圆于点P ，Q ，且|DP |＝|DQ |，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【思路点拨】 【规范解答】 (1)由b a ＝33，12ab ＝12×32×a 2＋b 2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆的方程是x 23＋y 2＝1.2分(2)设EF ：x ＝my －1(m ＞0)代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2，4分 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3，y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3得 (－2m m 2＋3)2＝1m 2＋3，∴m ＝1，m ＝－1(舍去)， 直线EF 的方程为x ＝y －1，即x －y ＋1＝0. 7分(3)记P (x ′1，y ′1)，Q (x ′2，y ′2)．将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx＋9＝0(*)，x ′1，x ′2是此方程的两个相异实根．设PQ 的中点为M ，则x M ＝x ′1＋x ′22＝－6k 3k 2＋1，y M ＝kx M ＋2＝23k 2＋1.由|DP |＝|DQ |，得DM ⊥PQ ，∴k DM ＝y M x M ＋1＝23k 2＋1－6k 3k 2＋1＋1＝－1k，∴3k 2－4k ＋1＝0，得k ＝1或k ＝13.10分但k ＝1，k ＝13均不能使方程(*)有两相异实根，∴满足条件的k 不存在.1．直线和椭圆位置关系问题中设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用．2．直线和椭圆相交时要切记Δ＞0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分．1．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ来判定．直线与椭圆相交的弦长公式： |P 1P 2|＝[x 1＋x 22－4x 1x 2]1＋k2或|P 1P 2|＝[y 1＋y 22－4y 1y 2]1＋1k 2.2．直线和椭圆相交时的弦的中点坐标或弦中点的轨迹方程常由韦达定理来解决，设点而不求点是解析几何中重要的解题方法．3．解决与椭圆有关的实际问题时首先要仔细审题，弄懂题意，再把实际问题中的量化归为椭圆的性质，从而得以解决.(对应学生用书第28页)1．下列在椭圆x 24＋y 22＝1内部的点为( )A ．(2，1)B ．(－2，1)C ．(2,1)D ．(1,1)【解析】 点(2，1)，(－2，1)满足椭圆方程，故在椭圆上；把点(1,1)代入x 24＋y 22得：14＋12＝34＜1，故点(1,1)在椭圆内．【答案】 D2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则此椭圆的焦点坐标是( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±5，0)D ．(0，±5)【解析】 ∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1，∴c ＝3， 椭圆焦点坐标为(±3，0)． 【答案】 A3．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)【解析】 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)．∴x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13，∴中点坐标为(－23，13)．【答案】 C4．直线2x －y －2＝0与椭圆x 25＋y 24＝1交于A 、B 两点，求弦长|AB |.【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0，∴|AB |＝1＋k 2AB ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22·532－4×0＝553.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1【解析】 ∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1内部，∴a 24＋12＜1.∴a 24＜12. 则a 2＜2，∴－2＜a ＜ 2. 【答案】 A2．已知直线y ＝kx ＋1和椭圆x 2＋2y 2＝1有公共点，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－22或k ＞22 B ．－22＜k ＜22 C ．k ≤－22或k ≥22D ．－22≤k ≤22【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋2y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx ＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点． ∴Δ＝16k 2－4(2k 2＋1)≥0，则k ≥22或k ≤－22. 【答案】 C3．直线l 交椭圆x 216＋y 212＝1于A ，B 两点，AB 的中点为M (2,1)，则l 的方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．3x －2y －4＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0【解析】 根据点差法求出k AB ＝－32，∴l 的方程为：y －1＝－32(x －2)．化简得3x ＋2y －8＝0. 【答案】 D4．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个【解析】 若直线与圆没有交点，则d ＝4m 2＋n 2＞2，∴m 2＋n 2＜4，即m 2＋n 24＜1.∴m 29＋n 24＜1，∴点(m ，n )在椭圆的内部，故直线与椭圆有2个交点．【答案】 A5．椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A ，B 是它的两个焦点，其长轴长为2a ，焦距为2c (a ＞c ＞0)，静放在点A 的小球(小球的半径不计)，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( )A ．2(a －c )B ．2(a ＋c )C ．4aD ．以上答案均有可能【解析】 如图，本题应分三种情况讨论：当小球沿着x 轴负方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a －c )；当小球沿着x 轴正方向从点A 出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是2(a ＋c )；当是其他情况时，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是4a .【答案】 D 二、填空题6．(2013·济宁高二检测)已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与直线方程联立消去x 得(a 2＋3b 2)y 2＋83b 2y ＋16b 2－a 2b 2＝0，由Δ＝0及c ＝2得a 2＝7，∴2a ＝27.【答案】 277．(2013·合肥高二检测)以等腰直角三角形ABC 的两个顶点为焦点，并且经过另一顶点的椭圆的离心率为________．【解析】 当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有b ＝c ，此时可求得离心率e ＝c a＝cb 2＋c2＝c2c＝22；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m ，故有2c ＝m,2a ＝(1＋2)m ，所以离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝m1＋2m＝2－1.【答案】2－1或228．(2013·石家庄高二检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________．【解析】 直线方程为y ＝2x －2，与椭圆方程x 25＋y 24＝1联立，可以解得A (0，－2)，B (53，43)，∴S △＝12|OF |·|y A －y B |＝53(也可以用设而不求的方法求弦长|AB |，再求出点O 到AB 的距离，进而求出△AOB 的面积)．【答案】 53三、解答题9．已知椭圆的短轴长为23，焦点坐标分别是(－1,0)和(1,0)． (1)求这个椭圆的标准方程；(2)如果直线y ＝x ＋m 与这个椭圆交于不同的两点，求m 的取值范围． 【解】 (1)∵2b ＝23，c ＝1，∴b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝4. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y23＝1，消去y 并整理得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.若直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 23＝1有两个不同的交点，则有Δ＝(8m )2－28(4m 2－12)＞0，即m 2＜7，解得－7＜m ＜7. 即m 的取值范围是(－7，7)．10．椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程．【解】 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝k 2＋1x 1－x 22＝2·4b 2－4a ＋bb －1a ＋b 2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝ba ＋b，y ＝1－x ＝aa ＋b，∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23.∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.图2－1－411．(2013·亳州高二检测)如图2－1－4所示，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22，左、右焦点分别为F 1、F 2.点P 为直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D ，O 为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2. 证明：1k 1－3k 2＝2.【解】 因为椭圆过点(1，22)，e ＝22， 所以1a 2＋12b 2＝1，c a ＝22，又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，b ＝1，c ＝1， 故所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋1，k 2＝y 0x 0－1， 因为点P 不在x 轴上，所以y 0≠0，又x 0＋y 0＝2， 所以1k 1－3k 2＝x 0＋1y 0－3x 0－1y 0＝4－2x 0y 0＝2y 0y 0＝2. (教师用书独具)(2012·北京高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (2,0)，离心率为22.直线y ＝k (x －1)与椭圆C 交于不同的两点M ，N .(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为103时，求k 的值． 【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝ 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y22＝1得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－4＝0.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.所以|MN |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝21＋k 24＋6k21＋2k2.又因为点A (2,0)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|k |1＋k2，所以△AMN 的面积为 S ＝12|MN |·d ＝|k |4＋6k 21＋2k 2. 由|k |4＋6k 21＋2k 2＝103，解得k ＝±1.(2013·济南高二检测)设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．【解】 (1)设焦距为2c ，由已知可得F 1到直线l 的距离3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. 直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 22＋2a 3a 2＋b 2，y 2＝－3b 22－2a 3a 2＋b2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2.则3b 22＋2a 3a 2＋b 2＝2·－3b 22－2a3a 2＋b 2. 解得a ＝3.又b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5. ∴b ＝ 5.故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件 新人教B版必修2
3 比如点 C(－ ，－ ∈l， － ，－1)∈ ， 2 3 x＝－ ＝－ 2 不是该方程的解， 不是该方程的解， 但 ＝－1 ＝－ y＝－ 所以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方 ＋ ＋ ＝ ∈ 不是直线 程， 的直线． 直线 l 也不是方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线． ＋ ＋ ＝ ∈ 的直线
2．直线的斜率 ． (1) 直 线 y ＝ kx ＋ b 被 其 上 的 任意两个不同 的点所唯一 ________________的点所唯一 确定(右图 ． 因此 ， 由这条直 确定 右图)． 因此， 右图 线上任意两点A(x1 ， y1)，B(x2 ， 线上任意两点 ， y2)的坐标可以计算出 的值， 的坐标可以计算出k的值 的坐标可以计算出 的值，
解：(1)∵m≠1，a≠0， ∵ ≠ ， ≠ ， b－mb b － ∴k＝ ＝ ＝a. a－ a－ma (2)当 m＝2 时，斜率 k 不存在； 不存在； 当 ＝ 当 m≠2 时， ≠ 1－2 － 1 k＝ . ＝ ＝ 2－m m－2 － －
斜率公式的应用
y 2－ y 1 的形式， 构造斜率公式 k＝ ＝ 的形式， 利用数形结 x 2－ x 1 合解题． 合解题．
＋ ＋ ＝ 例1 已知方程 2x＋3y＋6＝0. (1)求方程所对应直线的斜率； 求方程所对应直线的斜率； 求方程所对应直线的斜率 (2)画出这个方程所对应的直线 l； 画出这个方程所对应的直线 ； 3 (3)点( ，1)是否在直线 l 上？ 点 是否在直线 2 (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？ 方程 ＋ ＋ ＝ ∈ 是不是直线 的方程？ 是不是该方程的直线？ 直线 l 是不是该方程的直线？
(2)斜率的定义 斜率的定义 通常， 我们把直线y＝ ＋ 中的 系数k 中的________叫做 通常 ， 我们把直线 ＝ kx＋ b中的 系数 叫做 这条直线的斜率．垂直于x轴的直线 不存在斜率 ． ____________． 斜率反映直线的_____________． 斜率反映直线的 倾斜程度 ． 3．直线的倾斜角 ． (1)定义 定义 x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直 线的倾斜角．我们规定， 线的倾斜角．我们规定，与x轴平行或重合的直 轴平行或重合的直 线的倾斜角为________． 线的倾斜角为 零度角 ．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
【解】
名师点评】 【 名师点评 】
(1)已知直线上的两点坐标时 ， 通 已知直线上的两点坐标时， 已知直线上的两点坐标时
常用两点式求直线方程． 常用两点式求直线方程． (2)由于减法运算的顺序性 ， 一般用两点式求直线 由于减法运算的顺序性， 由于减法运算的顺序性 方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错， 错 方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错 ， 误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字 母对应起来造成的， 只有深刻理解公式， 母对应起来造成的 ， 只有深刻理解公式 ， 才能避 免类似“低级”错误． 免类似“低级”错误．
y－y1 y2－y1 － 提示：不能． 提示：不能．因为方程 ＝ 所表示的图形 x－x1 x2－x1 － 不含点(x 不含点 1，y1)，故不能代表整条直线，故不能用其 ，故不能代表整条直线， 代替两点式方程． 代替两点式方程．
x y a＋b＝1 ， 它 表 示 经 过 点 4 ． 截 距 式 方 程 ： _________
【名师点评】 名师点评】
(1)求直线的点斜式方程． 求直线的点斜式方程． 求直线的点斜式方程
(2)将直线的方程求出后，为了统一答案的形式，如 将直线的方程求出后，为了统一答案的形式， 将直线的方程求出后 果没有特别要求，一般都将直线的方程化为 ＋ 果没有特别要求，一般都将直线的方程化为Ax＋By 不全为0)的形式 ＋C＝0(A、B不全为 的形式． ＝ 、 不全为 的形式．
x y ∴直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x＋4y－8＝0. ， ＋ － ＝ 8 2
直线的一般式方程 直线方程的四种特殊形式， 直线方程的四种特殊形式 ， 都可以化为直线的一 般式， 但一般式不一定都能化为四种特殊形式， 般式 ， 但一般式不一定都能化为四种特殊形式 ， 这要看A、 、 是否为零才能确定 是否为零才能确定． 这要看 、B、C是否为零才能确定．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.2.1第二课时课件 新人教B版必修5
【点评】 点评】
利用等差数列的定义巧设未知量， 利用等差数列的定义巧设未知量，
从而简化计算．一般地有如下规律： 从而简化计算．一般地有如下规律：当等差数 的项数n为奇数时 列{an}的项数 为奇数时，可设中间一项为 ， 的项数 为奇数时，可设中间一项为a， 再用公差为d向两边分别设项： a－2d， 再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a 向两边分别设项 －d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数为偶数项 ， ， ＋ ， ＋ ， 时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为 可设中间两项为 － ， ＋ ， 2d向两边分别设项：…a－3d，a－d，a＋d，a 向两边分别设项： 向两边分别设项 － ， － ， ＋ ， 这样可减少计算量． ＋3d，…，这样可减少计算量． ，
第二课时
课前自主学案 第 二 课 时
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基 1． 等差数列的定义 ： 如果一个数列从第 项 ． 等差数列的定义： 如果一个数列从第2项 起 ， 每一项与它的前一项的差都等于同一个 常数， 那么这个数列叫做等差数列， 常数 ， 那么这个数列叫做等差数列 ， 这个常 数叫做等差数列的_____，通常用字母 表示 表示. 数叫做等差数列的 公差 ，通常用字母d表示 － 2．等差数列的通项公式： _______________. ．等差数列的通项公式： an＝a1＋(n－1)d
64 4 故 a75＝a1＋74d＝ ＋74× ＝24. ＝ × 15 15 法二：因为 为等差数列， 法二：因为{an}为等差数列， 为等差数列 所以 a15，a30，a45，a60，a75 也成等差数列，其 也成等差数列， 为其第四项， 公差为 d，a15 为首项，则 a60 为其第四项， ， 为首项， ， ＝ 所以 a60＝a15＋3d，得 d＝4. 所以 a75＝a60＋d⇒a75＝24. ⇒
教学设计直线和椭圆的位置关系的教案
教学设计直线和椭圆的位置关系教学目标：1. 理解直线和椭圆的基本概念。
2. 掌握直线和椭圆的位置关系的判定方法。
3. 能够应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题。
教学内容：第一章：直线和椭圆的基本概念1.1 直线的定义和性质1.2 椭圆的定义和性质第二章：直线和椭圆的位置关系的判定2.1 直线与椭圆相交的判定2.2 直线与椭圆相切的判定2.3 直线与椭圆相离的判定第三章：应用直线和椭圆的位置关系解决实际问题3.1 直线与椭圆的位置关系在几何中的应用3.2 直线与椭圆的位置关系在物理中的应用3.3 直线与椭圆的位置关系在计算机图形学中的应用第四章：直线和椭圆的位置关系的综合练习4.1 判断直线与椭圆的位置关系4.2 解决实际问题第五章：总结和复习5.1 直线和椭圆的位置关系的总结5.2 复习直线和椭圆的基本概念教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示直线和椭圆的位置关系。
3. 提供丰富的练习题，让学生通过实践来巩固所学知识。
教学评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问回答情况。
2. 练习题完成情况：检查学生完成练习题的正确性和解题思路。
3. 综合练习：评估学生在综合练习中的表现，包括判断直线与椭圆的位置关系和解决实际问题。
教学资源：1. 教学PPT：提供直线和椭圆的基本概念、位置关系判定和应用实例。
2. 练习题：提供丰富的练习题，包括判断题、选择题和解答题。
3. 综合练习：提供实际问题案例，让学生应用直线和椭圆的位置关系进行解决。
教学安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：3课时4. 第四章：2课时5. 第五章：1课时六章：直线和椭圆的位置关系的深入探究6.1 直线与椭圆的交点个数的判定6.2 直线与椭圆的交点坐标的计算方法七章：直线和椭圆的位置关系的几何性质7.1 直线与椭圆的切线性质7.2 直线与椭圆的割线性质八章：直线和椭圆的位置关系在实际问题中的应用8.1 直线与椭圆的位置关系在工程中的应用8.2 直线与椭圆的位置关系在设计中的应用九章：直线和椭圆的位置关系的综合练习9.1 判断直线与椭圆的位置关系及交点个数9.2 解决实际问题十章：总结和复习10.1 直线和椭圆的位置关系的总结10.2 复习直线和椭圆的基本概念及位置关系的判定方法教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和实践来理解和掌握直线和椭圆的位置关系。
数学第二章2.1.2第二课时直线和椭圆的位置关系课件(人教A版选修1-1)
当Δ>0,即－5<m<5时,直线和椭圆相交; 当Δ＝0,即m＝±5时,直线和椭圆相切; 当Δ<0,即m>5或m<－5时,直线和椭圆相离. 综上所述,当m>5或m<－5时直线与椭圆相离; 当m＝±5时,直线与椭圆相切;当－5<m<5时,直 线与椭圆相交.
【名师点评】 判断直线与椭圆的位置关系 的常用方法为：联立直线与椭圆方程,消去y或 x,得到关于x或y的一元二次方程,记该方程的判 别式为Δ,则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0;(2)直线与 椭圆相切⇔Δ＝0;(3)直线与椭圆相离⇔Δ <0.
横【坐解标】为12,法求一此：椭圆设的所方求程方.
程
为
x2 b2
＋
y2 a2
＝
1(a>b>0),且 a2－b2＝(5 2)2＝50.①
由xb22＋ya22＝1, y＝3x－2
得(a2＋9b2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0,
设 y ＝ 3x － 2 与 椭 圆 的 交 点 坐 标 为
(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为 y＝45(x －3), 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线方程 y＝45(x－3)代入 C 的方程, 得2x52 ＋（x－253）2＝1, 即 x2－3x－8＝0,
∴x1＋x2＝3.又4523－3＝－65,
∴中点坐标为32，－65.
题型三 弦长问题 (本题满例分3 6分)已知椭圆4x2＋5y2＝20的
一个焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线lBiblioteka 椭圆于A、B两点,求弦长|AB|.
【 思 路 点 拨 】 求出焦点F的坐标 → 求出直线l的斜率 → 设直线l的方程 → 联立方程 → 利用根与系数的关系设而不解 → 由弦长公式求解
直线与椭圆的位置关系教案
2.2.2直线与椭圆的位置关系教案教学目标知识与技能目标: 1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；过程与方法目标进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想情感态度价值观 通过椭圆的学习，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．教学重点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学难点：利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系 教学方法：学导式例1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k （1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例2、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求|AB|解: ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=1122222y x x y 可得061692=++x x ，又92101212=-+=x x k AB 例3、已知椭圆195222=+y x , 直线:45400l x y -+=,椭圆上是否存在一点,它到直线的距离最小?最小距离是多少?解: 22450{1259x y k x y -+=+= 消y 得 222582250x kx k ++-= 当0∆=时,得:2264100(225)0k k --= 得: 125k =225k =-当25k =时,直线与椭圆的交点到直线L 的距离最近,此时直线m 的方程为45250x y -+=d = 例4、已知中心在原点，长轴在x 轴上的椭圆,c a 32=，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32-，求椭圆的方程 解法一：令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+--=1122ny mx x y 可得012)(2=-+++n nx x n m ，m n n m n x x 234221=-=+-=+即 又c a 32=即2221131n m m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 解法二：（点差法）令椭圆方程为)(122n m ny mx <=+，),(),,(2211y x B y x A 由题得：32221-=+x x ，31221-=+y y 由⎩⎨⎧=+=+1122222121ny m x ny m x 作差得)()(21212121y y x x y y x x n m +--=+- m n 2=∴ 又c a 32=即2221131nm m -=34,32==∴n m 椭圆方程为1343222=+y x 小结：理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；作业：板书设计：教学反思。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.1圆锥曲线与方程课件 新人教A版选修2-1
(3)定义的实质是平面曲线上的点集和方程f(x， y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对 应关系．曲线和方程的这一对应关系，既可 以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲 线的方程．
例2 (1)方程(x＋y－1) x－1＝0 表示什么 曲线？ (2)方程 2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0 表示什么曲
线？Байду номын сангаас
【思路点拨】 判断方程表示什么曲线问题， 若给出的方程不易看出是什么曲线时，可对原 方程变形．
【解】 (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0 可得
x－1≥0 x＋y－1＝0
知新益能
曲线的方程、方程的曲线
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集 合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个 二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关 系： (1)曲线上点的坐标都___这__个__方__程__的__解______；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是 __曲__线__上__的__点__．_____ 那么，这个方程叫做___曲__线__的__方__程_____；这条 曲线叫做__方__程__的__曲__线__．___
(1)求第一、三象限两轴夹角平分线l上点的坐 标满足的关系；
(2)作出函数y＝x2的图象，指出图象上的点与 方程y＝x2的关系；
(3)说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x| ＝2之间的关系．
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2系统抽样课件 新人教A版必修3
名普通工人用随机方式编号． 【解】 (1)将 1001 名普通工人用随机方式编号． 将 (2)从总体中剔除 1 人(剔除方法可用随机数法 ， 剔除方法可用随机数法)， 从总体中剔除 剔除方法可用随机数法 将 剩 下 的 1000 名 职 工 重 新 编 号 ( 分 别 为 0001,0002，…，1000)，并平均分成 40 段，其中 ， ， 1000 个个体． 每一段包含 ＝ 25 个个体． 40 (3)在第一段 0001,0002，… ， 0025 这 25 个编号 在第一段 ， 中用简单随机抽样法抽出一个(如 中用简单随机抽样法抽出一个 如 0003)作为起 作为起 始号码． 始号码．
例3 某工厂有工人 某工厂有工人1021人，其中高级工程师 人
20人，现抽取普通工人 人，高级工程师 人 人 现抽取普通工人40人 高级工程师4人 组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？ 组成代表队去参加某项活动，应怎样抽样？ 【思路点拨】 思路点拨】 普通工人总体容量和样本容
量都较大，可采用系统抽样，高级工程师总 量都较大，可采用系统抽样， 体容量和样本容量都较小，可用抽签法． 体容量和样本容量都较小，可用抽签法．
课堂互动讲练
考点突破 系统抽样的基本概念 系统抽样的实质是“等距抽样” 即在抽样过 系统抽样的实质是 “ 等距抽样”(即在抽样过 程中，抽样的间隔相等)， 程中 ，抽样的间隔相等 ， 要取多少个个体就 将总体分成多少组，每组中取一个． 将总体分成多少组，每组中取一个．
例1 下列问题中 ， 最适合用系统抽样法抽样 下列问题中，
系统抽样与简单随机抽样的综合 应用 选择抽样方法的规则： 选择抽样方法的规则： (1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签 当总体容量较小， 当总体容量较小 样本容量也较小时， 简单，号签容易搅匀，可采用抽签法． 简单，号签容易搅匀，可采用抽签法． (2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用 当总体容量较大， 当总体容量较大 样本容量较小时， 随机数法． 随机数法． (3)当总体容量较大，样本容量也较大时，适合 当总体容量较大， 当总体容量较大 样本容量也较大时， 用系统抽样法． 用系统抽样法．
【优化方案】2012高中数学 第2章本章优化总结课件 苏教版必修2
例1 过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－
4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k
的取值范围及倾斜角的范围．
【思路点拨】
直线l过点M，斜率变化时，可以
理解为直线l绕定点M旋转，数形结合进行分析．
【解】 如图所示， (1)直线 l 过点 A(3,0)时， 即为直线 MA， 倾斜角 α1 0－－3 为最小值，所以 tanα1＝ ＝1，即 α1＝45° . 3－0
若 C1C2＝r1＋r2，即 5＝ 50－k＋1⇒k＝34 时， 两圆外切； 若 r1－r2<C1C2<r1＋r2，即| 50－k－1|<5< 50－k ＋1⇒14<k<34 时，两圆相交； 若 C1C2＝|r1－r2|， 5＝| 50－k－1|⇒k＝14 时， 即 两圆内切； 若 C1C2<|r1－r2|，即| 50－k－1|>5⇒k<14 时，两 圆内含．
【解析】 由 x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，得(x＋2)2 ＋(y－1)2＝1，则圆心 C(－2,1)，半径 r＝1，当所 求的切线 l 的斜率 k 存在时，设 l 的方程为 y－2 ＝ k(x ＋ 1) ， 即 kx － y ＋ k ＋ 2 ＝ 0 ， 则 d ＝ |k×－2－1＋k＋2| ＝r＝1，解得 k＝0，则切线 l 2 2 k ＋－1 的方程为 y＝2，当切线 l 的斜率不存在时，切线 l 的方程为 x＝－1.所以所求的切线 l 的方程为 y＝2 或 x＝－1.
【名师点评】
当直线绕定点旋转时，若倾斜角
为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越
来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率也
越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规
律．但倾斜角不确定是锐角或钝角时，逆时针旋
高二数学课件：必修2-1 第二章 2.1.2直线与椭圆的位置关系2
练习:
x2 y2 1..椭圆 1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离 16 4
3 10 是________. 10 最小距离是＿＿＿＿。 5
2.已知椭圆的焦点 F1 (3,0), F2 (3,0) 且和直线 x y 9 0 有
ห้องสมุดไป่ตู้x y 1 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______. 45 36
l
F
O
y
M E
x
变式2:已知直线l过点M(1,0.5),且与椭圆 x2+4y2=4相交于E,F两点，求弦EF的中点的轨 迹方程.
x2 y2 1、已知椭圆 1 的焦点为 F1 , F2 ,在直线 9 5 l : x y 6 0 上找一点 M ,求以 F1 , F2 为焦点, 通过点 M 且长轴最短的椭圆方程.
y kx b x1 x2 y1 y2 2 2 直线与椭圆关系： ( , ) 中点坐标计算公式： x y 2 2 1 2 a b2
弦长公式： | AB |
(1 k )[( x1 x2 ) 4 x1 x2 ]
2 2
1 2 (1 2 )[( y1 y2 ) 4 y1 y2 ] k
2、试确定实数 m 的取值范围,使得椭圆 2 2 x y 1 上 存 在 关 于 直 线 y 2x m 对 称 的 4 3 点.
作业:已知直线l:y=x+m (m∈R)与椭 圆x2+4y2=4相交于E,F两点，求弦 EF的中点的轨迹方程.
2
2
例 中心在原点、一个焦点为F( 3 ,0)的椭圆被 直线x-2y-2=0截得的弦的中点的横坐标为1，求 此椭圆的方程.
y
高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系省公开课一等奖新优
第14页
【备用例1】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,AB中点,试判 断以下各对线段所在直线位置关系:(1)AB与CC1;(2)A1B1与DC;(3)A1C与 D1B;(4)DC与BD1;(5)D1E与CF.
22
2
因为 OM 是 Rt△AOC 斜边 AC 上的中线, …………………………………8 分
所以 OM= 1 AC=1, …………………………………………………………9 分 2
取 EM 的中点 H,连 OH, 则 OH⊥EM, …………………………………………………………………10 分 在 Rt△OEH 中,
第31页
即 时 训 练 3-1:(1) 在 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,CC1 与 BD1 所 成 角 正 弦 值
为
;
解析:(1)连接 B1D1,因为 ABCD-A1B1C1D1 为正方体, 所以 CC1∥BB1, 所以∠D1BB1 为异面直线 BD1 与 CC1 所成的角,
在 Rt△D1B1B 中,sin∠D1BB1= B1D1 = BD1
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1.异面直线 (1)定义:不一样在 任何一个平面内
(2)画法:
两条直线叫做异面直线.
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2.空间两条直线位置关系
位置关系 相交
共面情况 在同一平面内
• 有没有公共点
有且只有一个公共点 .
平行
在同一平面内
第二章2.1-2.1.2第2课时直线与椭圆的位置关系
A．4
B．2 3
C．1
D．4 3
解析：a2＝4，b2＝1，则 c2＝a2－b2＝3，
则直线 AB 为 x＝ 3，代入椭圆得 y2＝1－x42＝14，
所以 A
3，12，B
3，12.则|AB|＝1.
答案：C
10
3.
直线
y＝x＋1
与
椭圆
x2 5
＋
y42＝
1
的位置关系是
() A．相交
B．相切
C．相离
D．无法判断
8
解析：(1)当直线与椭圆有一个公共点时直线与椭圆 相切，则正确．(2)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相 切，则错误．(3)过椭圆内部的点的直线必与椭圆有两个 交点，则相交，正确．
答案：(1)√ (2)× (3)√
9
2.过椭圆x42＋y2＝1 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直
线与椭圆相交于 A，B 两点，则|AB|等于( )
21
2x－y－2＝0， 法一：解方程组x52＋y42＝1， 得交点 A(0，－2)，B53，43. 所以|AB|＝ （xA－xB）2＋（yA－yB）2 ＝ 0－532＋－2－432
解析：法一：直线过点(0，1)，而 0＋14＜1，即点(0，
1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．
11
y＝x＋1， 法二：联立直线与椭圆的方程得x52＋y42＝1，消去 y 得 9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直 线与椭圆相交． 答案：A
12
4．若直线 kx－y＋3＝0 与椭圆1x62＋y42＝1 有两个不同 的公共点，是实数 k 的取值范围是________．
第二章 圆锥曲线与方程
1
湘教版高中数学选修1-1第2章 2.1.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系
第二课时 直线与椭圆的位置关系[读教材·填要点]1．点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b 2＝1，消去y 得一个一元二次方程.[小问题·大思维]1．若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是什么？提示：∵点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，∴a 24＋12<1，解得－2<a <2， 即a 的取值范围为(－2，2)．2．直线与椭圆的位置关系能用中心到直线的距离来判断吗？为什么？ 提示：不能．因为椭圆不是圆，中心到椭圆上点的距离不完全相等．3．直线(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x ＋3；(3)y ＝x ＋2分别与椭圆x 22＋y 2＝1各有什么样的位置关系？提示：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1得3x 2＋4x ＝0. ∵Δ＝16＞0， ∴直线与椭圆相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，x 22＋y 2＝1得3x 2＋43x ＋4＝0.∵Δ＝(43)2－4×3×4＝0， ∴直线与椭圆相切．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 22＋y 2＝1得3x 2＋8x ＋6＝0. ∵Δ＝64－4×3×6＝－8＜0， ∴直线与椭圆相离．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[自主解答] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切； 当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系的常用方法为：联立直线与椭圆方程，消去y 或x ，得到关于x 或y 的一元二次方程，记该方程的判别式为Δ，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.1．k 为何值时，直线y ＝kx ＋2和曲线2x 2＋3y 2＝6有两个公共点？有一个公共点？没有公共点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6，消去y ，得2x 2＋3(kx ＋2)2＝6， 即(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0. Δ＝144k 2－24(2＋3k 2)＝72k 2－48. 当Δ＝72k 2－48>0，即k <－63或k >63时， 直线和曲线有两个公共点． 当Δ＝72k 2－48＝0，即k ＝63或k ＝－63时， 直线和曲线有一个公共点． 当Δ＝72k 2－48<0时，即－63<k <63时， 直线和曲线没有公共点．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[自主解答] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝ 3.∴右焦点F (3，0)． ∴直线l 方程为y ＝x － 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(x 1－3－x 2＋3)2 ＝2(x 1－x 2)2 ＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8352－4×85＝85.即弦AB 的长为85.当直线与椭圆相交时，两交点间的距离，称为弦长．(1)求弦长的方法：将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，然后运用根与系数的关系，再求弦长．不必具体求出方程的根，即不必求出直线与椭圆的交点．这种方法是求弦长常采用的方法.(2)求弦长的公式：设直线l 的斜率为k ，方程为y ＝kx ＋b ，设端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝ 1＋k 2·(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 后得到关于x 的一元二次方程求得．2．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为1625.求椭圆方程． 解：∵a ＝2b ，且焦点在x 轴上， ∴设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24b 2＋y 2b 2＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0， ∴⎩⎨⎧Δ＝162－20(16－4b 2)＝16(5b 2－4)>0，x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝16－4b 25.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2· (x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝425·5b 2－4＝1625. ∴5b 2－4＝16. ∴b 2＝4，即b ＝2. ∴a ＝2b ＝4.∴椭圆的标准方程为x 216＋y 24＝1.已知椭圆x 22＋y 2＝1，求过点P ⎝⎛⎭⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程． [自主解答] 法一：由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －12＝k ⎝⎛⎭⎫x －12， 即y ＝kx ＋12－12k .由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋12－12k ，得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0， 设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝－4k (1－k )2＋4k 2＝1，解得k ＝－12.∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.法二：设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得y 21－y 22＝－12(x 21－x 22)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，即k ＝－12，∴直线方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋4y －3＝0.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1， ②由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB＝－b 2x 0a 2y 0.3．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1， ∴b ＝4.又e ＝c a ＝35得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5.∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)，设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x 225＋(x －3)225＝1，即x 2－3x －8＝0，则x 1＋x 2＝3， ∴AB 的中点坐标x ＝x 1＋x 22＝32， y ＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65， 即中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－65.解题高手 多解题 条条大路通罗马，换一个思路试一试已知椭圆x 24＋y 23＝1，直线l ：y ＝4x ＋m ，若椭圆上总有两点P ，Q 关于直线l 对称，求m 的取值范围．[妙解] 法一：(根与系数的关系)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上关于直线l ：y ＝4x ＋m 对称的两个点，则k P Q ＝－14.设P Q 所在直线方程为y ＝－x4＋b .由⎩⎨⎧y ＝－x4＋b ，x 24＋y23＝1，消去y ，得13x 2－8bx ＋16b 2－48＝0.∴Δ＝(－8b )2－4×13×(16b 2－48)>0. 解得b 2<134.①x 1＋x 2＝8b13，x 1x 2＝16b 2－4813.设P Q 中点为M (x ，y )，则有 x ＝x 1＋x 22＝4b 13，y ＝－14·4b13＋b ＝12b 13. ∵点M ⎝⎛⎭⎫4b 13，12b 13在直线y ＝4x ＋m 上， ∴12b 13＝4·4b 13＋m .∴b ＝－134m .② 把②代入①，得：⎝⎛⎭⎫－134m 2<134，解得－21313<m <21313. 故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－21313，21313.法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是椭圆C 上的两点， M (x ，y )是P Q 的中点．则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋4y 21＝12，3x 22＋4y 22＝12，两式相减，得 3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋4(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ∵x 1≠x 2，x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ， ∴3x4y ＝－y 1－y 2x 1－x 2＝－k P Q . ∵k P Q ＝－14，∴y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，y ＝4x ＋m ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m ，y ＝－3m .∴M (－m ，－3m )． ∵点M 应在椭圆C 的内部， ∴(－m )24＋(－3m )23<1.解得－21313<m <21313. 故m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－21313，21313.[点评] P ，Q 关于直线l 对称包括两层含义：①P ，Q 的中点在直线l 上；②直线P Q 与直线l 垂直．1．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交解析：把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0.∵Δ＝242－4×5×32＝－64＜0， ∴直线与椭圆相离． 答案：C2．若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B ．－63C ．±63D ．±33解析：把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得，(3k 2＋2)x 2＋12kx ＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k )2－4(3k 2＋2)×6＝0，解得k ＝±63.答案：C3．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,1)∪(1,5)D ．[1,5)∪(5，＋∞)解析：∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， 若5＞m ，则m ≥1， 若5＜m ，则必有公共点， ∴m ≥1且m ≠5. 答案：D4．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．解析：由x 23＋y 24＝1得－2≤y ≤2，∴－2<a <2. 答案：(－2,2)5．椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x 23＋y 2＝1得交点坐标(0,1)，⎝⎛⎭⎫－32，－12， 则|AB |＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫1＋122＝322.答案：3226．过点P (2,1)的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，求l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程．解：设直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦AB 的中点M (x ，y )，则⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1， ①x222＋y 22＝1， ②由①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12·xy .又∵直线l 的斜率为k PM ＝y －1x －2，∴y －1x －2＝－x2y .整理得x 2＋2y 2－2x －2y ＝0.∴直线l 被椭圆截得的弦的中点的轨迹方程为 x 2＋2y 2－2x －2y ＝0⎝⎛⎭⎫在椭圆x22＋y 2＝1内的部分.一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B. 答案：B2．已知椭圆x 2＋y 22＝a 2(a ＞0)与以A (2,1)，B (4,3)为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，322B.⎝⎛⎭⎫0，322∪⎝⎛⎭⎫822，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫0，13 D.⎝⎛⎭⎫322，822 解析：分两种情况：(1)A 点在椭圆外，4＋12＞a 2，解得0＜a ＜322；(2)B 点在椭圆内，16＋92＜a 2，解得a ＞822. 答案：B3．经过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ―→·OB ―→＝( ) A ．－3B ．－13C ．－13或－3 D ．±13解析：椭圆右焦点为(1,0)，设l ：y ＝x －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2.把y ＝x －1代入x 22＋y 2＝1得，3x 2－4x ＝0. ∴A (0，－1)，B ⎝⎛⎭⎫43，13.∴OA ―→·OB ―→＝－13. 答案：B4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．∵点A ，B 在椭圆上，∴y 219＋x 21＝1，① y 229＋x 22＝1.②①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③ ∵P ⎝⎛⎭⎫12，12是线段AB 的中点，∴x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9. 故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝⎛⎭⎫x －12， 整理得9x ＋y －5＝0.答案：B二、填空题5．已知点A ，B 是椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >0，n >0)上两点，且AO ―→＝λBO ―→，则λ＝________. 解析：由AO ―→＝λBO ―→知点A ，O ，B 共线，因椭圆关于原点对称，∴λ＝－1.答案：－16．若直线y ＝x ＋m 与椭圆4x 2＋y 2＝1有公共点，则实数m 的取值范围为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m 得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. 答案：⎣⎡⎦⎤－52，52 7．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1， 消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6.∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 54[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝ 54(4＋24)＝35. 答案：358．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，以F 1为圆心，且经过椭圆中心的圆与椭圆有一个公共点为P ，若PF 2恰好与圆F 1相切，则该椭圆的离心率为________．解析：由已知圆F 1的半径r ＝c ，即|PF 1|＝c ，又PF 2与圆F 1相切，所以PF 2⊥PF 1，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝3c .∴|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)c ＝2a .∴e ＝c a ＝21＋3＝3－1. 答案：3－1三、解答题9．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ： (1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．解：将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ， ①x 24＋y 22＝1， ② 将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144. (1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．10．设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点． (1)求实数b 的取值范围；(2)当b ＝1时，求|AB |.解：(1)将y ＝x ＋b 代入x 22＋y 2＝1， 消去y ，整理得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0.①因为直线y＝x＋b与椭圆x22＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2>0，解得－3<b< 3.所以b的取值范围为(－3，3)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.解得x1＝0，x2＝－4 3.相应地y1＝1，y2＝－1 3.所以|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝42 3.。
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则 x1、x2 是(*)方程的两个根， 82k2－k ∴x1＋x2＝ . 2 4k ＋1 ∵P 为弦 AB 的中点， 2 x1＋x2 42k －k ∴2＝ ＝ . 2 2 4k ＋1 1 解得 k＝－ ， 2 ∴所求直线的方程为 x＋2y键是充分利
2
2
因为直线与椭圆有公共点， 所以 Δ＝4m2－20(m2－1)≥0. 5 5 解得－ ≤m≤ . 2 2
弦长问题
弦长的求法： (1)求出直线与椭圆的交点， 利用两点间的距离 公式求弦长． (2)设而不求得弦长， 设直线 y＝kx＋m(k∈R， m∈R)，弦长|AB|，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联 立直线与椭圆的方程， 消去 y(或 x)得关于 x(或 y) 的 一 元 二 次 方 程 ， 利 用 弦 长 公 式 |AB| ＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋k2 · 1 － x2| ＝ |x 1＋k2· x1＋x22－4x1x2求解．
中点弦问题
关于中点的问题一般可采用两种方法解决：(1) 联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设 而不解，从而简化运算解题；(2)利用“点差法 ”，求出与中点、斜率有关的式子，进而求解． 2 2 x y 例3 过椭圆 ＋ ＝1 内一点 P(2,1)作一条 16 4
直线交椭圆于 A、B 两点，使线段 AB 被 P 点 平分，求此直线的方程．
【解析】
2
b 由题意知点 P 的坐标为(－c， )或(－c， a
2
b － )，∵∠F1PF2＝60° ， a 2c ∴ 2 ＝ 3，即 2ac＝ 3b2＝ 3(a2－c2)． b a 3 ∴ 3e ＋2e－ 3＝0，∴e＝ 或 e＝－ 3(舍去)． 3
2
【答案】
B
变式训练3 已知椭圆的两个焦点为F1、F2， A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝ 60°，求该椭圆的离心率．
第二课时
直线和椭圆的位置关系
x 2 y2 例3 过椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的左焦点 F1 作 a b x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠ F1PF2＝60° ，则椭圆的离心率为( ) 2 3 A. B. 2 3 1 C. 2 1 D. 3
【思路点拨】 本题先求得P点坐标，再利用 直角三角形，得出a，b，c的关系．
方程组无解 方程组有一组解 方程组有两组解 <0 =0 >0
例1
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直
线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围．
【思路点拨】
转化
有公共点 ――→ 方程组有解 ――→
转化
消元
方程有解 ――→ 判别式非负 ―→ 结果
【解】
4x ＋y ＝1 由 得 5x2＋2mx＋m2－1＝0. y＝x＋m
【思路点拨】 由于弦所在直线过定点 P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点 为P，得出k的值．也可以通过设而不求的 思想求直线的斜率．
【解】 法一：如图，设所求直线的方程为 y－1＝ k(x－2)， 代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0， (*) 又设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
例2
x2 2 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 ＋y ＝1 的 4
右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
【思路点拨】 求直线l方程 ―→ 构造方程组 ―→ 解方程组 距离公式 求弦长 ――→
两点间
【解】 ∵a2＝4，b2＝1，∴c＝ a2－b2＝ 3， ∴右焦点 F( 3，0)，∴直线 l 的方程为 y＝x－ 3.
解：不妨设椭圆的焦点在 x 轴上，画出草图如图 所示． 由 AF1⊥AF2 知△AF1F2 为 直角三角形，且∠AF2F1＝60° . 由椭圆定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则在 Rt△AF1F2 中，由∠AF2F1＝60° 得|AF2|＝c，|AF1| ＝ 3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝( 3＋1)· c，所以 c 离心率 e＝ ＝ 3－1. a
用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及
根与系数的关系．本题中的法一是设出方程，根
据中点坐标求出k；法二是“设而不求”，即设 出交点坐标，代入方程，整体求出斜率．
法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 )， ∵P 为弦 AB 的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又∵A、B 在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，x2＋4y2＝16. 1 1 2 2 两式相减，得(x2－x2)＋4(y2－y2)＝0， 1 2 1 2 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. y1－y2 －x1＋x2 1 ∴ ＝ ＝－ ， 2 x1－x2 4y1＋y2 1 即 kAB＝－ . 2 1 ∴所求直线方程为 y－1＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y－4＝0.
∴b2＝4，a2＝4b2＝16. x2 y2 ∴椭圆方程为16＋ 4 ＝1.
方法感悟 1．直线与椭圆有三种位置关系
(1)相交——直线与椭圆有两个不同的公共点；
(2)相切——直线与椭圆有且只有一个公共点； (3)相离——直线与椭圆没有公共点．
2．直线与椭圆的位置关系的判断 把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆 的公共点问题，而直线与椭圆的公共点问题，又 可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问 题，而它们的方程所组成的方程组的解的问题通 常又可以转化为一元二次方程解的问题，一元二 次方程解的问题可以通过判别式来判断，因此， 直线和椭圆的位置关系，通常可由相应的一元二 次方程的判别式来判断．
已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直
线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围． 试求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
解：设直线与椭圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由例 1 知，5x2＋2mx＋m2－1＝0， 由根与系数的关系， 2m 1 2 得 x1＋x2＝－ ，x1x2＝ (m －1)． 5 5 所以 d＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x2 2 4m2 4 2 ＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝ 2[ － m －1] 25 5 2 ＝ 10－8m2， 5 所以当 m＝0 时，d 最大，此时直线方程为 y＝x.
y＝x－ 3， 2 2 由x 消去 y 并整理得 5x －8 3x＋8＝0. 2 4 ＋y ＝1，
设直线 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 8 3 8 则 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 5 5 ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋x1－ 3－x2＋ 32 2 2 ＝ 2x1－x2 ＝ 2[x1＋x2 －4x1x2] 8 3 2－4×8＝8， ＝ 2 5 5 5 8 即弦 AB 的长为 . 5
2 y2 x 2＋ 2＝1， 由4b b y＝x＋2
得 5x2＋16x＋16－4b2＝0，
16 16 4 2 则 x1＋x2＝－ 5 ，x1x2＝ 5 －5b ，
162 64 16 2 ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ 52 － 5 ＋ 5 b 16 2 4 ＝ 5 b －5， ∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1－y2＝x1－x2， ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ 2x1－x22， ∴ 16 2 4 16 2× 5 b －5＝ 5 2，
例、椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，且焦点在 x 轴上，又椭 16 圆截直线 y＝x＋2 所得线段长为 2，求椭圆的标准方程． 5
解析： x2 y2 设椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)， a b
由题设条件知 a＝2b， 又椭圆与直线 y＝x＋2 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
课堂互动讲练
考点突破 直线与椭圆的位置关系
1.交点问题
x y 设椭圆的方程为： 2 2 1 a b y 直线的方程为： kx b
如何求椭圆与直线的交点呢？
2 2
x2 y 2 2 2 1 联立椭圆与直线的方程得： a b y kx b
相离 相切 相交