福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考数学(理)试卷
2014年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕数学〔理科〕第Ⅰ卷〔选择题 共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 〔1〕【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于〔 〕〔A 〕23i -- 〔B 〕23i -+ 〔C 〕23i - 〔D 〕23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】此题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．〔2〕【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是〔 〕 〔A 〕圆柱 〔B 〕圆锥 〔C 〕四面体 〔D 〕三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】此题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．〔3〕【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，假设132,12a S ==，则6a =〔 〕 〔A 〕8〔B 〕10 〔C 〕12 〔D 〕14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =， 则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】此题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．〔4〕【2014年福建，理4，5分】假设函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则以下函数图象正确的选项是〔 〕〔A 〕 〔B 〕 〔C 〕 〔D 〕【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不 正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函 数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】此题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．〔5〕【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于〔 〕 〔A 〕18 〔B 〕20 〔C 〕21 〔D 〕40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】此题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键． 〔6〕【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的〔 〕〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充分必要条件 〔D 〕既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =，AB =OAB ∆的面积为1122=； 当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ． 【点评】此题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决此题的关键．〔7〕【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则以下结论正确的选项是〔 〕 〔A 〕()f x 是偶函数 〔B 〕()f x 是增函数 〔C 〕()f x 是周期函数 〔D 〕()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】此题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．〔8〕【2014年福建，理8，5分】在以下向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是〔 〕〔A 〕12(0,0),(1,2)e e ==〔B 〕12(1,2),(5,2)e e =-=-〔C 〕12(3,5),(6,10)e e ==〔D 〕12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】此题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．〔9〕【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是〔 〕〔A 〕 〔B 〔C 〕7 〔D 〕【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值，则P ，Q 两点间的最大距离为r =D ． 【点评】此题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．〔10〕【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出假设干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，以下各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出假设干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是〔 〕 〔A 〕()()()523455111a a a a a b c +++++++ 〔B 〕()()()552345111a b b b b b c +++++++ 〔C 〕()()()523455111a b b b b b c +++++++ 〔D 〕()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出假设干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出假设干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ． 【点评】此题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷〔非选择题 共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．〔11〕【2014年福建，理11，4分】假设变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为 ． 【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．〔12〕【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于 ． 【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒， 则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23． 【点评】此题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．〔13〕【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 〔单位：元〕．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】此题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．〔14〕【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e 〔e 为自然对数的底数〕的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 ．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰， 故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =． 【点评】此题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．〔15〕【2014年福建，理15，4分】假设集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且以下四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】假设①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；假设②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．假设③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；假设④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】此题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．〔16〕【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-． 〔1〕假设02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值； 〔2〕求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：解法一： 〔1〕因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=． 〔2〕2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==． 由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 解法二：2111cos 21112()sin cos cos sin 2sin 2cos 2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+， 〔1〕因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==． 〔2〕22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈． 所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈． 【点评】此题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．〔17〕【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．〔1〕求证：AB CD ⊥；〔2〕假设M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：〔1〕因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．〔2〕过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由〔1〕知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-． 设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩． 取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】此题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题． 〔18〕【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．〔1〕假设袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；〔2〕商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾 客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：〔1〕设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====． 即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=〔元〕． 〔2〕根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不 可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可 能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同 理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=． 由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】此题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．〔19〕【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．〔1〕求双曲线E 的离心率；〔2〕如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点〔,A B 分别在第一，四象限〕，且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？假设存在，求出双曲线E 的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =． 〔2〕由〔1〕知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，假设直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=． 假设存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=． 以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件． 设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ． 由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<， 所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=． 【点评】此题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．〔20〕【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-〔a 为常数〕的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．〔1〕求a 的值及函数()f x 的极值；〔2〕证明：当0x >时，2x x e <；〔3〕证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <． 解：解法一：〔1〕由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln 2x =．当ln 2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln 2x >时，'()0,()f x f x >单调递 增．所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．〔2〕令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由〔1〕得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．〔3〕①假设1c ≥，则x x e ce ≤．又由〔2〕知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②假设01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只 要 2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln 2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <． 综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：〔1〕同解法一．〔2〕同解法一．〔3〕对任意给定的正数c，取o x =，由〔2〕知，当0x >时，2x e x >， 所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】此题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．此题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．总分值14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．〔21〕【2014年福建，理21〔1〕，7分】〔选修4-2：矩阵与变换〕已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ． 〔1〕求矩阵A ；〔2〕求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：〔1〕因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ． 〔2〕矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特 征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】此题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．〔21〕【2014年福建，理21〔2〕，7分】〔选修4-4：坐标系与参数方程〕已知直线l 的参数方程为24x a t y t=-⎧⎨=-⎩，〔t 为参数〕，圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，〔θ为参数〕． 〔1〕求直线l 和圆C 的普通方程；〔2〕假设直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：〔1〕直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．〔2〕因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤≤【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．〔21〕【2014年福建，理21〔3〕，7分】〔选修4-5：不等式选讲〕已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．〔1〕求a 的值；〔2〕假设p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：〔1〕因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．〔2〕由〔1〕知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】此题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。
福建省福州市2014届高三毕业班质检数学理试题含答案
2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={(x ,y )|y =lg x },B ={(x ,y )|x=a },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( ). A. a <1 B. a ≤1 C. a <0 D. a ≤02.“实数a =1”是“复数(1)ai i +( a ∈R ,i 为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M 的值是（ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4. 命题”x R ∃∈,使得()f x x =”的否定是( )A.x R ∀∈,都有()f x x =B.不存在x R ∈,使()f x x ≠C.x R ∀∈,都有()f x x ≠D.x R ∃∈,使 ()f x x ≠5. 已知等比数列{a n }的前n 项积为∏n ,若8843=⋅⋅a a a ,则∏9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,若OC ＝λOA ＋μOB ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )7. 函数f (x )的部分图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A.2B.5C.2D.2 9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3 10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ,则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 .13. 若直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为 .14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩, 若数列{a m }满足))(2(+∈=N m mf a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.17. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，090ABC ∠=2===AD BC AB =4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD ⊥CG ； （Ⅱ）当B ADGED GBCF V V --=2时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, ①当βα+=2π时,求证直线AB 恒过一定点M ;②若αβ+为定值(0)θθπ<<,直线AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数1()ln +)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠ （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围; （Ⅲ）若存在110x a-<<，20x >，使得()()f x f x ==120，求证：120x x +>. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,属于特征值1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=232α.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵; （Ⅱ）计算A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=,直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222(t 为参数),两曲线相交于M ,N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若P (－2,－4),求|PM |+|PN|的值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )=|x －4|+|x －3|, （Ⅰ）求f (x )的最小值m（Ⅱ）当a +2b +3c=m (a ,b ,c ∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分 所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分 17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分 令-222,262k xk k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 因为向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线，所以sin 1sin 2A B =， 由正弦定理得:21=b a ①……………10分 由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC 又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分 翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小. EG =12BC =2,又∵EA=EB =2．则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG =(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD ⊥CG ………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0), ∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =- …………………10分 面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n>=1212||||n n n n =-…………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角, ……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BG C --的平面角. …………9分由于HG =1,在∆OHG 中OH =,又DH=2，在∆DOH 中tan DHDOH OH∠==分分 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分 其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0 由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分 当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0).,当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分 20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<)11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=,于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4233A . ………… 2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A …………4分 法二:033)3(0332=-++-=----c d d d c λλλλ即的两个根为6和1,故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A -…………4分 (Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分 法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1, 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分 当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。
数学高考真题-2014福建卷理科
2014年普通高等学校招生考试福建卷(理科数学)第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．复数z＝(3－2i)i的共轭复数z等于()A．－2－3i B．－2＋3iC．2－3i D．2＋3i2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝2，S3＝12，则a6等于()A．8 B．10 C．12 D．144．若函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图像如图1-1所示，则下列函数图像正确的是()图1-1A BC D 图1-2图1-35．阅读如图1-3所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 的值等于( )A ．18B ．20C ．21D ．406．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)8．在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( )A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)9．设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 210．用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a )(1＋b )的展开式1＋a ＋b ＋ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球、而“ab ”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是( )A ．(1＋a ＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)(1＋b 5)(1＋c )5B ．(1＋a 5)(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c )5C ．(1＋a )5(1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5)(1＋c 5)D ．(1＋a 5)(1＋b )5(1＋c ＋c 2＋c 3＋c 4＋c 5)二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）11．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．12．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2 3，则△ABC 的面积等于________．13．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．14．如图1-4，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．图1-415．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分13分）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．17．（本小题满分13分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD .将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图1-5所示．(1)求证：AB ⊥CD ；(2)若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．图1-518．（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： (i)顾客所获的奖励额为60元的概率；(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．19．（本小题满分13分）已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图1-6，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图1-620．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值；(2)证明：当x >0时，x 2<e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2<c e x .21.本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分.请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，按所做的前两题计分.(Ⅰ)选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝2112⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求矩阵A ；(2)求矩阵A －1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．(Ⅱ)选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．(Ⅲ)选修4-5：不等式选讲已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.。
2014年福建省普通高中毕业班质量检测(理科)
2014年福建省普通高中毕业班质量检测理科数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)，第II 卷21题为选考题，其他题为必考题，本试卷共5页，满分150分，考试时间120 分钟。
参考公式：样品数据x 1, x 2.....x n 的标准差 椎体体积公式s=)].....()()[(n 121----+-+-x x x x x x n V=31Sh其中-x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh S=4πR 2, V=34πR 3其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列函数中，值域为(0,+ ∞)的函数是A. f(x)=2xB. f(x)=xC. f (x )=lg xD. f(x)= x 22. 执行下图所示的程序框图。
若输入的n 的值为3，则输出的K 为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 53. “a=1”是关于x的方程x2 —2x + a=0的实数根”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.向圆内随机投掷一点，此点落在该圆的内接正n(n≧3, n∈N)边形内的概率为p n , 下列论断正确的是A.随着n的增大，p n增大B. 随着n的增大，p n减小C. 随着n的增大，p n先增大后减小D. 随着n的增大，p n先减小后增大x2 + y2≦ 1 ，5.已知x，y满足x+y≦ 1 ，则z = x－y的取值范围是y≥0，A.[－2，1]B. [－1，1]C. [－2，2]D. [－1，2]6.如图，AB是圆O的直径，V A垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B 的任意的一点，M 、N 分别为V A 、VC 的中点，则下列结论正确的是 A. MN//AB B. MN 与BC 所成的角是45o C. OC ⊥平面V AC D. 平面V AC ⊥平面VBC7. 若直线a x +b y -1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sin πx （0 ＜ x ＜ 2）的对称中心，则b 2a 1+ 的最小值为A. 2+1B. 24C. 3+22D. 68. 已知双曲线C 1：1by a 2222=-x （a ＞0，b ＞0）的离心率为2，一条渐近线为l ，抛物线C 2：y 2 = 4x 的焦点为F ，点P 为直线l 与抛物线C 2异于原点的交点，则 |PF|=A. 2B. 3C. 4D. 5e x － 1，x ≦19. 若曲线y= 与直线y=kx －1有两个不同的交点，则实数kx-11，x ＞1取值范围是A. (223-，223+)B. (0，223-)C. (－∞，0)∪(0，223-)D. (－∞，223-)VACBOMN10. 在平面直角坐标系x O y 中，Ω是一个平面点集，如果存在非零平面向量a ，对于任意点P ∈Ω，都有点Q ∈Ω，使得OQ =OP +a ，则称a 为平面点集Ω的一个向量周期，现有以下四个命题：① 若平面点集Ω存在向量周期a ，则k a (k ∈Z ，k ≠0)也是Ω的向量周期。
2014年全国高考理科数学试题及答案-福建卷
2014年福建高考数学试题（理）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、1、复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2、某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3、等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4、若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5、 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D6、 直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“ABC ∆的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7. 已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A 、()x f 是偶函数B 、 ()x f 是增函数C 、()x f 是周期函数D 、()x f 的值域为[)+∞-,18. 在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是（ ）A 、 12(0,0),(1,2)e e ==B 、 12(1,2),(5,2)e e =-=-C 、 12(3,5),(6,10)e e ==D 、 12(2,3),(2,3)e e =-=-9、 设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A 、25 B 、246+ C 、27+ D 、2610、用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来、以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A 、()()()555432111c b a a a a a +++++++ B 、()()()554325111c b b b b b a +++++++C 、 ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D 、()()()543255111c c c cc b a +++++++二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 14、如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______、 15、若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________、三．解答题：本大题共6小题，共80分、 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-、（1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间、17、（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥、将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图、（1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值、 18、（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额、 （Ⅰ）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求（ⅰ）顾客所获的奖励额为60元的概率 （ⅱ）顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（Ⅱ）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成、为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由、19、（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==、（Ⅰ）求双曲线E 的离心率；（Ⅱ）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于BA ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
2014福建省普通高中毕业班质量检查(理科数学)试卷及答案
1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分 所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分 解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分 所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分 所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分 所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税， 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分 （Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分 设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =， 所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=． 故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分 （Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '． （ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分 （ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=， 所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分 由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦． （*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。
(福建省)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理工类）第I 卷（共60分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(32)z i i =-的共轭复数z 等于（ ）.23A i -- .23B i -+ .23C i - .23D i +2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）.A 圆柱 .B 圆锥 .C 四面体 .D 三棱柱3.等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D4.若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（ ）.18A .20B .21C .40D 6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（ ）.A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件7.已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A ．()x f 是偶函数 B. ()x f 是增函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 的值域为[)+∞-,18.在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ）A ．)2,1(),0,0(21==e eB .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e9.设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是（ ） A ．25 B.246+ C.27+ D.2610.用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()b a ++11的展开式ab b a +++1表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a ”表示取出一个红球，面“ab ”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A ．()()()555432111c b a a a a a +++++++ B.()()()554325111c b b b b b a +++++++C. ()()()554325111c b b b b b a +++++++ D.()()()543255111c c c cc b a +++++++二、填空题11、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≤+-008201x y x y x 则y x z +=3的最小值为________12、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则ABC ∆等于_________13、要制作一个容器为43m ，高为m 1的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元） 14.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______.15.若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的， 则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________. 三．解答题：本大题共6小题，共80分. 16.（本小题满分13分）已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-. （1）若02πα<<，且sin 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17.（本小题满分12分）在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BCD CD BD ⊥⊥.将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图. （1）求证：CD ⊥CD ；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.18.（本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾 客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率 ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.19.（本小题满分13分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的两条渐近线分别为x y l x y l 2:,2:21-==. （1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线21,l l 于BA ,两点（B A ,分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由。
福建省政和县第一中学第一学期高三数学第四次月考试卷
高三数学第四次月考试卷一、选择题（每小题5分，共60分）⒈设复数i z +=11，i z 322-=，则21z z ⋅等于（ ）(A) i --1 （B ）i 51-- （C ）i -5 （D ）i 55- 2.已知函数)10(log 1)(≠>+=a a x x f a 且 ，)(1x f -是)(x f 的反函数，若)(1x f y -=的图象过点（3,4），则a 等于A ．2B ．3C ．33D ．2 3．已知与则,7||,3||,2||=-==的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．45°D ．90°4．已知函数)12cos()12sin(ππ--=x x y ，则下列判断正确的是A 、此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,12(πB 、此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,12(πC 、此函数的最小正周期为π，其图象的一个对称中心是)0,6(πD 、此函数的最小正周期为π2，其图象的一个对称中心是)0,6(π5．过点（1，1）的直线与圆22(2)(3)9x y -+-=相交于A 、B 两点，则|AB|的最小值为：A 、、4 C 、、56. 设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：（1）//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭； （2）//m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭；（3）//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭； （4）////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭，其中，假命题．．．是（ ） (A)（1）（2） (B) （2）（3） (C)（1）（3） (D)（2）（4） 7．设)(x f 是定义在R 上的一个函数，则函数)()()(x f x f x F --=在R 上一定是（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数8、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且102=S ，364=S ，则过点),(n a n P 和))(,2(2*+∈+N n a n Q n 的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）(A) (1-，1-) (B) )2,21(--(C) )1,21(-- (D) )21,2( 9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长为a 2，侧棱长为a ，则异面直线AB 1与BC 1所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π10．．若函数))4(,4(,sin )(f x e x f x 则此函数图象在点=处的切线的倾斜角为 （ ）A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角 11. 数列n b a b n a a n nn n n 的前则中}{,1,321,}{=++++= 项和为 （ ）A ．12+n B ．12+n nC ．)1(2+n n D ．1+n n12．函数b a b a x f x f x R x f y >->'=满足且常数恒成立上可导且满足不等式在,,)()()( ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．)()(a bf b af >B ．)()(b bf a af >C ．)()(b bf a af <D ．)()(a bf b af <二、填空题（每小题4分，共16分）13．正方体的全面积是24cm 2，它的顶点都在一个球面上，这个球的半径是 cm ；这个球的表面积是 cm 2 14函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________．15. 在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短，该点的坐标是 ．16．定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和. 已知数列{}n a 是等和数列, 且a 1=2, 公和为5,那么a 18的值为 ,且这个数列的前21项和S 21的值为 .三、解答题17已知函数x x x x x f cos sin 3)2sin()cos()(++-=ππ．（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求当]2,0[π∈x 时，)(x f 的最大值及最小值；（Ⅲ）求)(x f 的单调递增区间．18如图，三棱锥ABC P -中，0=⋅=⋅=⋅AC AB AC PA AB PA ，2224AB AC PA ==．（Ⅰ）求证：⊥AB 平面PAC ； （Ⅱ）若M 为线段PC λ=|PC |，问λ为何值时能使直线PC ⊥平面MAB ； （Ⅲ）求二面角P —CB —A 的余弦值．19（本小题共12分）函数2()ln f x x a x =+，若(2)3f '=,(1)求a 的值； (2)求f (x )的递增区间和极小值。
福建省政和一中、周宁一中2014届高三化学第四次联考试卷新人教版
2013-2014政和一中、周宁一中第四次联考化学试题（12.21）（满分300分，考试时间150分钟）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷。
第Ⅰ卷均为必考题，第II卷包括必考和选考两个部分。
相对原子质量：H-1 O-16 C-12 S-32 N-14 Fe-56 Cl-35.5 Ca-40 Na-23第Ⅰ卷（必考）本卷共18小题，每小题6分，共108分。
选择题（本题共18小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）6．“化学是一门中心学科，与社会、生活有密切的关系”。
下列叙述中正确的是A．液化石油气的主要成分是甲烷B．不锈钢餐具和目前流通的硬币都属于合金C．医院给病人做X光透视时，常给病人服用“钡餐”，其主要成分是碳酸钡D．制作航天服的聚酯纤维和用于通讯光缆的光导纤维都是新型无机非金属材料7．中国科学技术大学的钱逸泰教授等以CCl4和金属钠为原料，在700℃时制造出纳米级金刚石粉末。
该成果发表在世界权威的《科学》杂志上，立刻被科学家们高度评价为“稻草变黄金”。
同学们对此有下列一些理解，其中错误的是A、金刚石属于金属单质B、制造过程中元素种类没有改变C、CCl4是一种化合物D、这个反应是置换反应8．下列实验装置设计正确的是9．课堂学习中，同学们利用铝条、锌片、铜片、导线、电流计、橙汁、烧杯等用品探究原电池的组成。
下列结论错误的是A．原电池是将化学能转化成电能的装置B．原电池由电极、电解质溶液和导线等组成C．图中a极为铝条、b极为锌片时，导线中会产生电流D．图中a极为锌片、b极为铜片时，电子由铜片通过导线流向锌片10．下列叙述正确的是A．标准状况下，1.12 L16O2和1.12 L18O2均含有0．1N A个氧原子B．第三周期非金属元素含氧酸的酸性从左到右依次增强C．能使甲基橙显红色的溶液中大量存在：Mg2＋、Fe2＋、Cl—、NO—3D．从C（石墨）===C（金刚石）；ΔH＝+1．9 kJ·mol－1，可知金刚石比石墨更稳定11．根据表中信息判断，下列选项不正确的是A22B．第②组反应中Cl2与FeBr2的物质的量之比为1∶2C．第③组反应中生成1 mol Cl2，转移电子2 molD．氧化性由强到弱顺序为MnO－4>Cl2>Fe3＋>Br212．关于浓度均为0.1 mol/L的三种溶液：①氨水、②盐酸、③氯化铵溶液，下列说法不正确的是A．c(NH4+)：③＞①B．水电离出的c(H+)：②＞①C．①和②等体积混合后的溶液：c(H+)＝c(OH—)+c(NH3·H2O)D．①和③等体积混合后的溶液：c(NH4+)＞c(Cl—)＞c(OH—)＞c(H+)第Ⅱ卷（必考）第Ⅱ卷必考部分共9题，共157分23.（14分）氮可形成多种氧化物，如NO、NO2、N2O4等。
福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考数学理试卷 含答案
2013—2014学年周宁，政和一中第四次联考数学（理）试卷审核人：高三备课组一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|03},{|320,}A x xB x xx x Z ==-+∈≤≤≤，则AB等于 （ ）A ．(1,3)-B ．［1,2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．函数()34xf x x =+的零点所在的区间是（）A ．(一2，一1）B ．（一1，0）C ．(0,1）D ．（1，2）3．如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -=（ )A ．FDB ．FCC ．FED ．BE4．已知直线()0112:,013:21=+++=++y a x l y ax l互相平行，则a 的值是（ )A ．3-B ．2C ．3-或2 D ． 3或2-5．下列选项中,说法正确的是（ )A ．命题“0,0200≤-∈∃x x xR ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R "B ．命题“p q ∨为真"是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件C ．命题“若22ambm ≤，则a b ≤”是假命题D ．命题“若sin sin x y =，则x y ="的逆否命题为真命题6.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y xx =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ）Ａ3 Ｂ 2 Ｃ 1 Ｄ2-7．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥; ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α;③若,,l m n αββγγα===，则l ∥m ∥n ;④若,,,m l n αββγγα===且n ∥β,则l ∥m .其中正确命题的个数是 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．48.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ )A.)(x f 的图象过点)21,0(B.)(x f 在]32,12[ππ上是减函数C.)(x f 的一个对称中心是)0,125(πD 。
福建省政和一中、周宁一中高三数学第四次联考试卷 文 新人教A版
周宁一中、政和一中2014届高三第四次联考数学（文科）试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）审核人：文科集备组第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．若集合A ＝{|2}x x >-，B ＝{|33}x x -<<，则A B U 等于( ) A ．{|2}x x >- B ．{|23}x x -<< C ．{|3}x x >- D ．{|33}x x -<<2．已知(0,3)A -，(3,3)B ，(,1)C x -，若AB u u u r 与BC uuur 共线，则x 等于( )A ．5B ．1C ．1-D ．5-3．输入1x =时，运行如图所示的程序，输出的x 值为( ) A ．4 B ．5 C ．7 D ．94. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)n n S a =-，则2a 等于( ) A. 2- B. 1 C. 2D. 45．设p ：0202>--x x ，q ：2log (5)2x -<，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值是( )A ．1-B ．2，2-C ．1D ．1- ,17. 若实数x y ，满足1000x y x y x -+⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤则2z x y =-的最小值是 ( )A ．0B ．32- C ． 2- D ．1- 8． 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若7,5,8a b c ===，则△ABC 的面积S 等于( )A ．10 B．．20 D．9．已知双曲线2221y x b-=(0)b >的一条渐近线为2y x =，且右焦点与抛物线22y px =(0)p >的焦点重合，则常数p 的值为( )A ． 25B ．5C ．23D ．310.在ABC ∆中, 1AB =,2BC =，E 为AC 的中点 ,则()BE BA BC •-u u u r u u u r u u u r=（ ）A ．3B ．32C ．-3D ．32-11、函数b x A x f ++=)sin()(ϕω的图象如图，则)(x f 的解析式和)2013()2()1()0(f f f f S Λ+++=的值分别为（ ）A ．2013,12sin 21)(=+=S x x f π B ．212013,12sin 21)(=+=Sx x f πC ．2014,12sin 21)(=+=Sx x f πD ．212014,12sin 21)(=+=Sx x f π12．在透明塑料制成的正方体容器中灌进16体积的水，密封后可以任意摆放，那么容器内水面形状可能是：①三角形；②梯形；③长方形；④五边形． 其中正确的结果是A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②③④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．已知复数1i z =+（其中i 是虚数单位），则2z z +=________.15．已知函数22 (0),()log (0),x x f x x x ⎧<=⎨>⎩若直线y m =与函数()f x 的图象有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是 .16、在平面直角坐标系中，若点N M ,同时满足：①点N M ,都在函数()y f x =图象上；②点N M ,关于原点对称，则称点对),(N M 是函数()y f x =的一个“望点对”（规定点对),(N M 与点对),(M N 是同一个“望点对”）。
福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考政治试卷 含答案
政和一中、周宁一中高三第四次联考政治试卷（满分300分完卷时间150分钟）第I卷选择题(共144分) 12。
22命题人:文综备课组本卷共36小题，每小题4分,满分144分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。
请将答案填涂于答题卡中。
25。
某商品在2012年9月至2013年2月的价格走势如图所示,对该图理解正确的是( ）①价格处于C点时，该商品的生产者可能会扩大生产规模②价格处于D点时，该商品的生产者可能会扩大生产规模③价格从C点到D点，该商品的互补品需求量会减少④价格从B点到C点，该商品的替代品需求量会增加A．①②B．②③C．①④D．③④26。
近几年来,无论经济环境是好是坏，GDP增长是快是慢，我国财政收入一直保持高速增长，影响到了民众生活水平的稳步提高。
对此民众要求减税的呼声一度高涨。
“结构性减税"是针对特定税种、基于特定目的而实行的税负水平削减；是“有增有减、结构性调整”的一种税制改革方案.2013年国务院《政府工作报告》指出“要结合税制改革完善结构性减税政策,重点是加快推进营业税改征增值税试点工作.实行结构性减税（)①意味着我国的税收将大幅下降②有利于促进经济增长和就业③是运用行政手段调控经济的重要体现④是实施积极的财政政策的表现A．①②B．②④C．①③ D．③④27．2012年，我国对外承包工程业务完成营业额1166亿美元，同比增长12。
7%；同时，多地变“招商引资”为“招商选资”，引进了一批科技含量高、产业关联度强的企业，推动了当地经济发展.这表明（）①我国与跨国公司联合经营,努力实现利益最大化②我国积极创新利用外资方式，优化利用外资结构③我国坚持独立自主的原则,排除经济全球化风险④我国实施“走出去”战略，提高开放型经济水平A．①②B．①③C．②④D．③④28.网络日益成为反腐利器，—批腐败官员纷纷因网络举报落马，同时也出现了诸如虚假爆料等情况.但总的来说，网络反腐的积极作用还是得到了普遍肯定。
福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考物理试卷 含解析zhangsan
2013-2014政和一中、周宁一中第四次联考物理试题（12.21）(满分300分，考试时间150分钟）本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷。
第Ⅰ卷均为必考题，第II 卷包括必考和选考两个部分。
相对原子质量：H-1 O —16 C —12 S-32 N-14 Fe —56 Cl-35。
5 Ca —40 Na-23第Ⅰ卷（必考)本卷共18小题,每小题6分，共108分。
选择题（本题共18小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）13.我国正在自主研发“北斗二号”地球卫星导航系统，此系统由中轨道、高轨道和同步卫星等组成,可将定位精度提高到 “厘米"级，会在交通、气象、军事等方面发挥重要作用．已知三种卫星中，中轨道卫星离地最近，同步卫星离地最远．则下列说法中正确的是 A ．中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速度 B ．中轨道卫星的角速度小于同步卫星的角速度C ．若一周期为8h 的中轨道卫星,某时刻在同步卫星的正下方，则经过24 h 仍在该同步卫星的正下方D ．高轨道卫星的向心加速度小于同步卫星的向心加速度 【答案】CA 、根据万有引力提供向心力22Mm v G mr r=,得:GMv r=卫星中，离地越近,线速度越大，所以中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速度,故A 错误； B ：22Mm G m r r ω=,得3GM r ω=,离地越近，角速度越大，所以中轨道卫星的角速度小于同步卫星的角速度，故B 错误;C ：地球同步卫星运行周期是24h,当同步卫星运转一周后，中轨卫星恰好运行三周，故C 正确；D ：由2Mm G ma r =，可得2GM a r =，所以高轨道卫星的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，故D 错误。
故选C.【考点】人造卫星的加速度、周期和轨道的关系 14。
某物体由静止开始做直线运动，物体所受合力F 随时间t 的变化图象如图所示，下列关于该物体运动情况的说法正确的是 A ．物体在2～4 s 内做匀加速直线运动B ．物体在4 s 末离出发点最远C ．物体始终向同一方向运动D ．物体在0～4 s 和在4～8 s 内的位移相同 【答案】BA 、在0∽2s 内,物体受到向正方向的恒力，物体向正方向做匀加速直线运动,在2~4s 内，物体受到向负方向的恒力，物体继续向正方向做匀减速直线运动,故A 错误；B 、4s 末物体的速度为零．在4∽6s 内，物体受到向负方向的恒力,物体向负方向做匀加速直线运动．在6~8s 内，物体受到向正方向的恒力,物体继续向负方向做匀减速直线运动,8s 末速度为零．综上，物体在4s 末离出发点最远,故B 正确；C 、4s 末物体的运动方向改变,做往复运动,故C 错误;D 、根据对称性,物体在0∽4s 和4∽8s 内位移大小相等,但方向相反，位移不同，故D 错误。
福建省政和一中、周宁一中2014届高三第四次联考理科综合试卷.pdf
2013-2014政和一中、周宁一中第四次联考 理科综合试题（12.21） （满分分，考试时间1分钟 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II卷。
第Ⅰ卷均为必考题，第II卷包括必考和选考两个部分。
相对原子质量：H-1 O-16 C-12 S-32 N-14 Fe-56 Cl-35.5 Ca-40 Na-23 第Ⅰ卷（必考） 本卷共18小题，每小题6分，共108分。
选择题（本题共18小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
） 1．如图为一高等雄性动物细胞分裂某时期结构示意图。
已知基因A位于①上，基因b位于②上，则该动物体产生Ab配子的可能是 注：四条染色体大小形状不一样。
①100% ②50% ③25% ④12.5% A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ （ ） 据图分析，下列叙述错误的是 A.次级卵母细胞形成的过程需要激素调节 B.细胞 III 只有在精子的作用下才能形成成熟卵子 C.II、III 和 IV 细胞分裂后期染色体数目相同 D.培育转基因动物应选择细胞 IV 作为受体细胞 5.下图为四个物种的进化关系树（图中百分数表示各物种与人类的 DNA 相似度）。
DNA 碱基进化速率按 1% / 百万年计算，下列相关论述合理的是 A. 四个物种都由共同祖先通过基因突变而形成 B. 生殖隔离是物种朝不同方向发展的决定性因素 C.人类与黑猩猩的DNA差异经历了约99万年的累积 D. 大猩猩和人类的亲缘关系，与大猩猩和非洲猴的亲缘关系的远近相同 6．“化学是一门中心学科，与社会、生活有密切的关系”。
下列叙述中正确的是 A．液化石油气的主要成分是甲烷 B．不锈钢餐具和目前流通的硬币都属于合金 C．医院给病人做X光透视时，常给病人服用“钡餐”，其主要成分是碳酸钡 D．制作航天服的聚酯纤维和用于通讯光缆的光导纤维都是新型无机非金属材料 7．中国科学技术大学的钱逸泰教授等以CCl4和金属钠为原料，在700℃时制造出纳米级金刚石粉末。
政和一中周宁一中高三第四次联考
政和一中、周宁一中高三第四次联考地理试卷（满分300分完卷时间150分钟）第I卷选择题 (共144分) 12.22命题人：文综备课组本卷共36小题，每小题4分，满分144分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
请将答案填涂于答题卡中。
下图为我国东南某区域示意图。
读图，回答1～2题。
1. 下列说法正确的是A. 图中地层形成的顺序为①②③④⑤B. 先形成断层，后发生②处的岩浆侵入活动C. 图中褶皱和断层是同时形成的D. 华北平原与M地形成原因相同2. 若图示河流长度为153千米，两岸的地质条件相似。
则A. 河口附近的岛屿更容易和e岸相连ks5uB. a b c三地自然带差异的主导因素为水分C. a河段以沉积为主，b河段以侵蚀为主D. 甲可能是夏季风，不可能是台风右图中，a、b为等高线，c、d、e为等压线，箭头表示风向，回答3～4题。
3．对图中地理事物描述正确的是A．该地区位于北半球B．图中湖泊是外流湖C．图中等压线的数值关系为c＜d＜eD．图中等高线的数值关系为a＜b4．未来一两日，该湖泊经历的天气变化最可能是A．转阴雨，气温降低B．阴转晴，气温升高C．阴转晴，气温降低D．转阴雨，气温升高下面两图分别是是我国公路、水运、铁路、民航货运周转量与客运周转量所占百分比示意图，读图完成5—6题。
5.按W、X、Y、Z顺序分别对应的交通运输方式是( )ABCD6. 导致X运输方式的货运和客运周转量，1996年比1985年明显增长的原因是（）A．高速公路里程大幅增长B．铁路全面提速CD．水运条件明显改善读世界某区域某月盛行风示意图，回答7～9题。
7．图中①②③④四地中，气压最高的是（）A．① B．② C．③ D．④8．图示风盛行时（）A．华北平原正值小麦收获B．好望角炎热干燥ks5uC．北印度洋洋流自西向东流D．夏威夷高压处于最强盛时期9．图中④地的风（）A．能发展成为台风B．使澳大利亚北部地区进人旱季C．为巴西高原带来降水D．与影响南亚的西南季风成因相同福建某学校地理兴趣小组到该省一无人海岛进行野外考察活动。
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2013-2014学年周宁，政和一中第四次联考数学（理）试卷审核人：高三备课组一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合2{|03},{|320,}A x x B x x x x Z ==-+∈≤≤≤，则A B 等于 （ ）A ．(1,3)-B ．[1，2]C ．{}0,1,2D ．{}1,22．函数()34x f x x =+的零点所在的区间是（ ） A ．（一2，一1） B ．（一1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）3．如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -=（ ）A ．FDB ．FCC ．FED ．BE4．已知直线()0112:,013:21=+++=++y a x l y ax l 互相平行，则a 的值是( )A ．3-B ．2C ． 3-或2D ． 3或2-5．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“0,0200≤-∈∃x x x R ”的否定是“0,2>-∈∃x x x R ” B ．命题“p q ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 C ．命题“若22am bm ≤，则a b ≤”是假命题D ．命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题6.已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ）Ａ3 Ｂ 2 Ｃ 1 Ｄ 2-7．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α；③若,,l m n αββγγα=== ，则l ∥m ∥n ； ④若,,,m l n αββγγα=== 且n ∥β,则l ∥m . 其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4DCBA 'D CBA 8.设函数)22,0)(sin(3)(πφπωφω<<->+=x x f 的图像关于直线32π=x 对称,它的周期是π,则（ ）A.)(x f 的图象过点)21,0( B.)(x f 在]32,12[ππ上是减函数C.)(x f 的一个对称中心是)0,125(πD.将)(x f 的图象向右平移||φ个单位得到函数x y ωsin 3=的图象.9．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为（ ）（A ）6 3 （B ）8（C ）8 3 （D ）1210．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数,a b R ∈满足**(2)(2)()()(),(2)2,(),()2n n n n nf f f a b af b bf a f a n N b n N n ⋅=+==∈=∈ 考察下列结论：①(0)(1)f f =；②()f x 为偶函数；③数列{}n a 为等比数列；④数列{}n b 为等差数列。
其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．已知0t >，若(21)6tx dx -=⎰，则t 的值等于12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若,11=a 公差,24,22=-=+k k S S d 则=k 13.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=14．若实数x ，y 满足20,,,x y y x y x b -⎧⎪⎨⎪-+⎩≥≥≥且2z x y =+的最小值为4，则实数b 的值为15.如图，平面四边形ABCD 中，1===CD AD AB ，CD BD BD ⊥=,2，将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥BD A '平面BCD ，若四面体BCD A -'顶点在同一个球面上，则该球的体积为三、解答题：本大题共6小题，共80分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分13分）已知动点C 到点A (－1,0)的距离是它到点B (1,0)的距离的2倍．(1)试求点C 的轨迹方程；(2)已知直线l 经过点P (0,1)且与点C 的轨迹相切，试求直线l 的方程．17. （本题满分13分）四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，//AB CD ，1AD CD ==，12090.BAD PA ACB ∠=︒=∠=︒，（Ⅰ）求证：BC PAC ⊥平面；（Ⅱ）求二面角D PC A --的平面角的余弦值；`18. (本题满分13分)各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：().4121412*∈++=N n a a S n n n （1）求n a ；（2）设函数()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛=为偶数，为奇数，n n f n a n f n ,2,()(),42*∈+=N n f C n n 求数列{}.n n C n T 的前项和19. (本题满分13分)20 . （本小题满分14分） 已知函数x x x g ln sin 1)(+⋅=θ在[1，＋∞）上为增函数，且()πθ,0∈，1()ln m f x mx x x-=--，m ∈R ． （1）求θ的值；（2）若()()f x g x -在[1，＋∞）上为单调函数，求m 的取值范围； （3）设2()eh x x=，若在[1，e ]上至少存在一个0x ，使得000()()()f x g x h x ->成立，求m 的取值范围。
21.（本小题满分14分）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。
（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知二阶矩阵M 有特征值3λ=及对应的一个特征向量111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换成(3,0)，求矩阵M 。
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程是22cos ,2sin x θy θ=+⎧⎨=⎩（θ为参数）.（Ⅰ）将C 1的方程化为普通方程；（Ⅱ）以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线C 2的极坐标方程是()3πθρR =∈， 求曲线C 1与C 2交点的极坐标．．．. (3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|3|2f x x =--，()|1|4g x x =-++．（Ⅰ）若函数()f x 的值不大于1，求x 的取值范围；（Ⅱ）若不等式()()1f x g x m -≥+的解集为R ，求m 的取值范围．2014届政和一中周宁一中第四次联考高三数学参考答案(总分150分，考试时间120分钟)注：请在规定区域内答题，否则不予计分。
11、3 12、5 13、1 14、315 三、解答题（80分） 16、（13分）解：(1)设点C (x ，y )，则|CA |＝(x ＋1)2＋y 2，|CB |＝(x －1)2＋y 2. 由题意得(x ＋1)2＋y 2＝2×(x －1)2＋y 2， 两边平方得(x ＋1)2＋y 2＝2×[(x －1)2＋y 2]，整理得(x －3)2＋y 2＝8.故点C 的轨迹是一个圆，其方程为(x －3)2＋y 2＝8. (2)由(1)得圆心为M (3,0)，半径r ＝2 2.(i)若直线l 的斜率不存在，则方程为x ＝0，圆心到直线的距离d ＝3≠22，故该直线与圆不相切；(ii)若直线l 的斜率存在，设为k ， 则直线l 的方程为y ＝kx ＋1.由直线和圆相切得：d ＝|3k ＋1|1＋k2＝22，整理得k 2＋6k －7＝0，即(k －1)(k ＋7)＝0，解得k ＝1或k ＝－7. 故所求直线的方程为y ＝x ＋1或y ＝－7x ＋1， 17、（13分）（Ⅰ）证明：∵PA ABCD ⊥底面，BC ⊂底面ABCD ，PA BC ∴⊥，又∠ACB=90°所以BC AC ⊥，而AC PA A = ，所以BC PAC ⊥平面；（Ⅱ）120//BAD AB CD∠=︒ ,，601ADC AD CD ∴∠=︒==，又，ADC ∴∆为正三角形以A 为原点，CD 边的中线所在直线为x 轴，直线AB 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则11(0,0,0),,0),,0),(0,2,0)22A P D CB -，由（1）取面PAC 的法向量3,0)2BC =- ，由于//AB CD ，知//AB 面PCD ，故可设面PCD 的法向量(,0,1)n x = ，则1(,0,1)(02n DP x x ⋅=⋅=+= ，2x ∴=，即(2,0,1)n =cos ,||||n BCn BC n BC ⋅∴<>===⋅所以，二面角D PC A --的平面角的余弦值18、（13分） 解：（1）由2111424n n n S a a =++①得，当n ≥2时，2111111424n n n S a a ---=++②； 由①－②化简得：11()(2)0n n n n a a a a --+--=，又∵数列{}n a 各项为正数，∴当n ≥2时，12n n a a --=，故数列{}n a 成等差数列，公差为2，又21111111424a S a a ==++，解得11,21n a a n =∴=-；……………………………………5分（2）由分段函数,()(),2n a n f n n f n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 可以得到：1321(6)(3)5,(8)(4)(2)(1)1c f f a c f f f f a ==========…………………………7分当n≥3，n N *∈时，1221(24)(22)(21)2(21)121n n n n n n c f f f ----=+=+=+=+-=+， 2312n 351(21)(21)(21)4(12)6(2)2125,12,2n n n n n nT n nn T n n --≥=++++++++-=++-=+-=⎧∴=⎨+≥⎩ 故当，时，19、（13分）20、（14分）解：（1）由题意，211()sin g x x x θ'=-+⋅≥0在[)1,+∞上恒成立，即2sin 10sin x xθθ⋅-⋅≥． ∵θ∈（0，π），∴sin 0θ>．故sin 10x θ⋅-≥在[)1,+∞上恒成立， 只须sin 110θ⋅-≥，即sin 1θ≥，只有sin 1θ=．结合θ∈（0，π），得π2θ=． （2）由（1），得()()f x g x -=2ln mmx x x--．()222()()mx x m f x g x x -+'∴-=．∵()()f x g x -在其定义域内为单调函数，∴220mx x m -+≥或者220mx x m -+≤在[1，＋∞）恒成立．220mx x m -+≥ 等价于2(1)2m x x +≥，即221xm x +≥， 而22211x x x x =++，（21x x+）max =1，∴1m ≥．220mx x m -+≤等价于2(1)2m x x +≤，即221xm x +≤在[1，＋∞）恒成立， 而221xx +∈（0，1]，0m ≤． 综上，m 的取值范围是(][),01,-∞+∞ ． （3）构造()()()()F x f x g x h x =--，2()2ln m e F x mx x x x=---． 当0m ≤时，[1,]x e ∈，0m mx x -≤，22ln <0ex x--，所以在[1，e ]上不存在一个0x 使得000()()()f x g x h x ->成立．当0m >时，22222222(())'m e mx x m eF x m x x x x-++=+-+=． 因为[1,]x e ∈，所以220e x -≥，20mx m +>，所以(())'0F x >在[1,]x e ∈恒成立． 故()F x 在[1,]e 上单调递增，max ()()4m F x F e me e ==--，只要40mme e-->， 解得241em e >-故m 的取值范围是24(,)1ee +∞-．21、（14分）由①②联立解得1221abcd=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，∴1 22 1M⎛⎫= ⎪⎝⎭…………7分（2）。