线面平行
线面平行面面平行的性质与判定定理
提问
一、直线与平面有什么样的位置关系？
1.直线在平面内——有无数个公共点；
2.直线与平面相交——有且只有一个公共点；
3.直线与平面平行——没有公共点。
a
a
a
精面外一条直线和这个平面内的一条直 线平行，那么这条直线和这个平面平行。
线//面
面//面
由a //, 通过构造过直线 a 的平面 与平面
相交于直线b，只要证得a // b即可。
精选课件
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二、两个平面平行具有如下的一些性质：
⑴如果两个平面平行，那么在一个平面内的所 有直线都与另一个平面平行
⑵如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交线平行.
⑶如果一条直线和两个平行平面中的一个相交， 那么它也和另一个平面相交
⑷夹在两个平行平面间的所有平行线段相等
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精选课件
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证明：∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
这个结论可做定理用
定理 如果两个平行平面同时和 第三个平面相交，那么它们的交 线平行。
用符号语言表示性质定理：
//=a,=ba//b
想一想：这个定理的作用是什么?
答:可以由平面与平面平 行得出直线与直线平行
小结：一、直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直
线的任意平面和这个平面相交,那么这条直线和
交线平行。
a// ,
a
a ,
a // b
b
= b
注意：
1、定理三个条件缺一不可。
线面平行的性质定理
AB1C，求线段EF的长度
应用巩固
例3、如图所示的一块木料中，棱BC平行于 面A´C´.
（1）要经过面A´C´内的一点P和棱BC将木 料锯开，应怎样画线？
（2）所画的线和平面AC有什么关系?
F
E
课堂小结：
1.直线与平面平行的性质定理
判定定理：找（作） 面内一条直线与已知
2.线线平行 直线平行
性质定理：找（作） 一个过已知直线的平 面，确定其与已知平 面的交线
应用巩固
例1、已知平面外的两条平行直线中的一 条平行于这个平面，求证:另一条也平行于这 个平面.
如图，已知直线a,b,平面 α ,且a//b, a//α, a,b都在平面α外，求证：b//α.
ab
应用巩固
例变式2、：如如图图，，用用平一行个于平四面面去体截A四B面C体D 的一组对 棱ABACBD，，C得D 的到平的面截截面此M四NP面Q体是．平求行证四：边截面 M形N．P求Q证是:平AB行//M四N边形．
若如“果共一面条”直必线平和行一，个换平句面话平说行，，如经果过过该直直线线a的平面
的某个平面与平面相交，则直线a就和这条交
线平和行这.个平面相交，那么这条直线和交线平行.
线面平行的性质定理： 一条直线和一个平面平行，则过这条直线 的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
β a
b α
作用：判定直线与直线平行的重要依据. 关键：寻找平面与平面的交线.
*
1. 定义: 直线与平面无公共点.
2. 判定定理: 线线平行 线面平行
若平面外一条直线与此平面内的
一条直线平行，则该直线与此平面
平行.
a
b
a /
b
a
//
线面平行的性质
• 在判断方向向量与法向量是否垂直时，需要计算向量的点积 • 在判断方向向量与法向量所成的点积是否为零时，需要计算向量的点积
利用空间几何性质判定线面平行
利用空间几何性质判定线面平行的方法有以下几种
• 判断直线与平面内的任意一条直线是 否不相交 • 判断直线与平面内的任意一条直线是 否平行
• 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系 • 判断一条直线是否与一个平面平行，需要考虑直线与平面内的其他直线的关系
线面平行的几何表示
线面平行的几何表示方法有多种
• 利用角度关系表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线所成的同位角相等 • 利用向量关系表示线面平行，即直线的方向向量与平面的法向量垂直 • 利用空间几何性质表示线面平行，即直线与平面内的任意一条直线都不相交
• 在工程制图中，往往需要判断线与平面是否平行 • 在工程制图中，往往需要利用线面平行的性质进行绘图和计算
线面平行在立体几何中有广泛应用
• 在求解立体几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解立体几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计 算
线面平行在解析几何中也有广泛应用
• 在求解解析几何问题时，往往需要判断直线与平面是否平行 • 在求解解析几何问题时，往往需要利用线面平行的性质进行推理和计 算
线面平行解题技巧主要包括：
• 熟练掌握线面平行的性质和判定方法 • 灵活运用线面平行的性质和判定方法解决问题 • 注意解题步骤，避免计算错误
线面平行相关习题精选与解答
线面平行相关习题精选包括：
• 判断直线与平面是否平行的题目 • 利用线面平行性质进行推理和计算的题目 • 求解线面平行问题的题目
线面平行的判定
线面平行的判定
线面平行的判定原理是，当两条直线或则弧线之间的夹角是0度，也就是说他们实际上在一个水平方向上，这时候就可以判断他们互为平行。
如果这个夹角不是0度，而是180度，那么这两条直线或者弧线就是相互垂直的。
更具体地说，线面平行的判定包括几个步骤：
（1）首先，要求两条直线或弧线之间必须存在一个共同的垂直于X-Y平面的法向量。
（2）然后，将这两条直线或弧线投射到X-Y平面上，看看它们投射后的夹角是多少。
（3）如果投射后的夹角为0度，即它们在X-Y平面上是平行的，则说明它们之间是平行的；
（4）如果投射后的夹角不为0度，即它们在X-Y平面上不是平行的，则说明它们之间是不平行的。
判断任意两条直线或弧线之间的平行性，除了要求它们有一个共同的法向量外，还需要对它们投射到X-Y平面上的夹角做出具体的判断，以便决定它们之间的平行性。
由此可见，线面平行的判定是一个具有技巧性的过程，要求空间几何知识扎实，有着灵活的运用能力，才能正确地判断两条直线或弧线之间的平行性。
线面平行的性质定理
• 可以理解为直线与平面之间距离恒定的一种关系。
的所有直线都保持相同的距离。
线面平行的性质及证明
线面平行的性质
• 性质1：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的所有直线都平行。
• 性质2：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的任意一个投影都平行。
• 性质3：如果两条直线分别与一个平面平行，那么这两条直线平行。
• 利用线面平行的性质定理，可以求解立体几何中的角度问题，如求
圆锥曲线、球面曲线等的角度。
应用实例1：求解三垂线问题
• 利用线面平行的性质定理，可以证明三垂线相互平行，从而求解三垂
线的长度关系。
应用实例2：证明空间中的相似三角形
• 利用线面平行的性质定理，可以证明空间中的两个三角形相似，从而
求解未知长度和角度。
视觉效果。
升力。
感。
02
线面平行性质定理的证明
线面平行性质定理的
表述
• 线面平行性质定理的表述
• 定理：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平
面内的所有直线都平行。
• 定理：如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平
面的任意一个投影都平行。
• 定理：如果两条直线分别与一个平面平行，那么这两条直线平
用价值。
教学方法
• 利用板书讲解，清晰地展示线面平行性质定理的证明过程，帮助学生理解定理。
• 利用多媒体教学，通过动画、视频等形式，形象地展示线面平行性质定理的应用，
提高学生的学习兴趣。
线面平行性质定理的教学评价与反馈教学评价教学反馈
• 通过课堂提问，了解学生对线面平行性质定理的理解程
• 通过学生反馈，了解学生对线面平行性质定理的疑惑和
线面平行的性质
4、已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1， 点P是面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，
且PQ//面AB1，则线段 PQ长为
．
D1 A1
C
Q
1
B1
P D
A
C B
6、在长方体ABCD - A1B1C1D1中,点 P BB（1 不与B、B1重合）, PA BA1 M, PC BC1 N,求证 : MN//平面ABCD
证明：∵AB∥平面 MNPQ， 平面 ABC∩平面 MNPQ＝MN， 且 AB⊂平面 ABC， ∴由线面平行的性质定理，知 AB∥MN. ∴MN∥PQ.同理可得 MQ∥NP.
∴截面四边形 MNPQ 为平行四边形．
已知：直线a、b，平面，且a//b，a //,a，b ,
求证： b//
证明：过a作平面，且
例4.四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，Ｍ是PC的中点，在DM上取一点Ｇ，
过Ｇ和AP作平面交平面BDM于GH．
求证：ＡＰ//ＧＨ
Ｐ
Ｍ
Ｇ
提示：连结AC 交BD于O，连
Ｄ Ｈ
Ｃ
结OM
Ｏ
Ａ
Ｂ
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接 MO.∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是AC的中点，又M是PC的中点， ∴MO∥PA.又MO⊂平面BDM，
D1
提示 : 连结AC、 A1C1 A1
C1 B1
M D
P N
C
A
B
解 : 连结AC、 A1C1 长方体中A1A//C1C A1C1//AC
AC 面A1C1B A1C1 面A1C1B
D1 A1
M D
C1
B1
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
线面平行的证明
线面平行的证明线面平行三个重要的定理：1.线面平行的判定定理： 如果存在平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行2.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的平面和这个平面相交，得到的绞线平行3.面面平行的判定定理：如果一个平面内存在两条相交直线和另外一个平面平行，则这两个平面平行4.平面与平面平行的性质定理（1）：两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行5.平面与平面平行的性质定理（2）：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
方法一：三角形中位线法例：（06北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.求证：证明：连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO.∵ABCD 是平行四边形，∴O 是 BD的中点 又 E 是 PD 的中点∴EO ∥PB.又 PB ∉平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ，∴PB ∥平面 AEC.在三棱锥S ABC -中，已知点D 、E 、F 分别为棱AC 、SA 、SC 的中点. ①求证：EF ∥平面ABC .16：如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥， D 、E 分别是AB 、PB 的中点.（1）求证：DE ∥平面PAC ；BACPBDE如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心， PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点． 求证：（1）PA∥平面BDE ；如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形， 侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是P C 的中点， 作EF ⊥PB 交PB 于点F ．（1）证明 P A //平面EDB ；四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中M AC ∈，N BF ∈，求证：ＭＮ∥平面BCE9. 如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长AA 1=2，AB=1，E 是AA 1的中点． （Ⅰ）求证：A 1C ∥平面BDE ； （Ⅱ）求点A 到平面BDE 的距离．方法二：构造平行四边形（08浙江卷）如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE//CF ，∠BCF=∠CEF=︒90,AD=3,EF=2。
线面平行知识点总结
线面平行知识点总结一、线面平行的定义1. 线面平行是指在三维空间中，两条直线或者一个直线与一个平面的关系。
如果两条直线在同一个平面上且不相交，则它们是线面平行的；如果一条直线与一个平面平行，则它们是线面平行的。
2. 线面平行的判断方法：- 根据定义，两条直线在同一个平面上且不相交即为线线平行，可以通过观察二维平面投影来进行判断；- 通过向量的性质来判断，如果两条直线在同一个平面上且它们的方向向量平行，则它们是线线平行的；- 对于线面平行，直线的方向向量与平面的法向量平行。
3. 线面平行的特点：- 对于线线平行，它们在同一个平面上且不相交；- 对于线面平行，直线的方向向量与平面的法向量平行。
二、线面平行的应用1. 几何形状的判断- 在空间几何中，线面平行的概念常常用于判断几何形状的性质。
例如，在判断一个立方体的对角线是否在同一个平面上时，就可以利用线面平行的性质来进行推理。
2. 建模与设计- 在工程建模和设计中，线面平行的概念也有着重要的应用。
例如在建筑设计中，为了保证构件的安装与连接，需要考虑构件之间的线面平行关系，以确保各构件之间的准确配合。
三、线面平行的相关定理1. 平行线性质定理- 定理1：两条直线在同一个平面上且平行，则它们的方向向量成比例；- 定理2：如果一条直线与一个平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离等于这个点到平面的法向量的点积的绝对值。
2. 平面平行性质定理- 定理1：如果两个平行的平面被交叉一条直线所截，则它们的法向量成比例；- 定理2：如果两个平面平行，那么它们的法向量成比例，且它们之间的距离是相等的。
3. 线面平行的性质定理- 定理1：如果一条直线与一个平面平行，则直线上的任意一点到平面的距离等于这个点到平面的法向量的点积的绝对值；- 定理2：如果一条直线与一个平面平行，并且与这个平面内的直线相交，则这两条直线的夹角等于直线的方向向量与平面的法向量的夹角。
四、线面平行的相关问题1. 直线在平面内的投影问题- 给定一个直线和一个平面，在平面上求直线的投影。
线面平行性质定理
线面平行性质定理《线面平行性质定理》是数学中一个重要的定理。
它涉及到两组线段、两个面、以及它们之间的关系。
线面平行性质定理的基本内容是：如果两组线段分别在两个平面内，并且两个平面是平行的，那么这两组线段也是平行的。
线面平行性质定理是由于对数学中平行性质的研究而提出的。
古希腊几何学家们曾经研究过平行性质，比如亚里士多德和欧几里德。
他们的研究为测量几何图形的平行性提供了关键的思路，比如他们发现如果两条线段在同一条直线上，那么它们一定是平行的。
以及如果两条线的垂直平分线条对称，那么它们一定是平行的。
尽管古希腊几何学家们曾经提出了众多的定理来研究平行性质，但是线面平行性质定理却直到17世纪才被提出。
17世纪时，英国数学家亨利洛克斯顿提出了线面平行性质定理。
在他的定理中，如果两个线段分别位于两个平行的面上，那么他们一定是平行的。
以后，线面平行性质定理也受到了不断的改进和精化，使它变得更加完善。
19世纪末，约翰本尼斯特布鲁克斯森在他的《几何学教程》中提出了一种更为完善的线面平行性质定理。
线面平行性质定理主要用于几何图形中，它被广泛应用于几何设计、机械设计、建筑设计和建筑绘制等各种领域。
例如，在机械设计中，线面平行性质定理常用于规定机器的结构尺寸，以确保机器的部件之间处于平行关系。
同样，线面平行性质定理也可以用于绘制建筑图纸，确定建筑的结构尺寸，同时确保建筑物的主要部分之间保持平行关系。
线面平行性质定理是数学历史上重要的定理，它对于理解平行性质以及几何设计有着重要的意义。
它不仅可以用于各种几何图形中，而且也可以应用于建筑设计、机械设计、造型设计等各种领域，十分重要。
现在，线面平行性质定理也在各种数学课程中被教授，同时也是数学竞赛的重要考题之一。
总之，线面平行性质定理是数学的重要定理，是由古希腊几何学家的研究进一步发展作出的重要贡献。
它主要用于研究几何图形的平行性，广泛适用于机械设计、建筑设计和造型设计，为数学研究带来了重要的帮助。
线面平行
PEDCBA DE B 1A 1C 1C A B FM第二章 点、线、面之间的位置关系平行关系1.线线平行：在同一个平面内没有公共点的两条直线称为平行直线。
2.线面平行定义：直线a 与平面α没有公共点，叫做直线a 与平面α平行，记作：//a α。
判定定理：若平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
性质定理：若一直线与一平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平行。
3.面面平行定义：平面α与平面β没有公共点，则称平面α与平面β平行，记作//αβ。
判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：（1）通过“平移”。
（2）利用三角形中位线的性质。
（3）利用平行四边形的性质 （3）利用对应线段成比例。
（4）利用面面平行，等等。
第一类 通过“平移”再利用平行四边形的性质1、如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM.第二类 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD、BC的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
求证： PA ∥平面BDE7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；第三类 利用平行四边形的性质9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E . 求证：AE ∥平面PBC ；第四类：利用对应线段成比例12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =NDBN，求证：MN ∥平面SDCEFBACDP（第1题图）A B CD EF G MDEB 1A 1C 1C AB FM 第五类：利用面面平行14、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ；（2）求证：//CM 平面BEF ；面面平行证明：1、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．2、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、11C D 的中点. 求证：平面1D EF ∥平面BDG .3、如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面P AO?强化练习：1、在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：AC 1//平面CDB 1；2、 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2，M 为PC 的中点。
线面平行知识点
线面平行知识点线面平行是几何学中的一个重要概念，指的是两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。
线面平行的性质与应用在现实生活和工程领域中都有着广泛的应用。
下面将介绍线面平行的概念、性质以及其在几何学和工程领域中的应用。
一、线面平行的概念线面平行是指两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。
具体来说，如果两个平面P1和P2的法线向量分别为n1和n2，那么线面平行的条件可以表示为n1∥n2。
二、线面平行的性质1.平行平面的法线向量相互平行：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们的法线向量n1和n2相互平行，即n1∥n2。
这是线面平行的基本性质。
2.平行平面之间的距离相等：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们之间的距离是恒定的。
这是因为两个平面之间的距离可以通过一个垂直于这两个平面的向量来定义，而这个向量的大小是恒定的。
3.平行平面的投影关系：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们在一个垂直于它们的共同法线上的投影长度是相等的。
这意味着如果我们从一个平面上垂直投影到另一个平面上，投影的长度是保持不变的。
三、线面平行的应用1.几何学中的应用：线面平行的概念和性质在几何学中有广泛的应用。
例如，在计算两个平面之间的距离时，可以利用线面平行的性质来简化计算。
此外，在计算两个平面的夹角时，线面平行的概念也可以起到辅助的作用。
2.工程领域中的应用：线面平行的概念和性质在工程领域中也有重要的应用。
例如，在建筑设计中，如果希望两个墙面之间保持平行，可以利用线面平行的性质来进行构造。
此外，在机械设计中，线面平行的概念可以应用于零件的安装和对位，保证机械零件之间的平行关系。
四、总结线面平行是几何学中一个重要的概念，指的是两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。
线面平行的性质包括平行平面的法线向量相互平行、平行平面之间的距离相等以及平行平面的投影关系。
线面平行的概念和性质在几何学和工程领域中都有广泛的应用，可以用于简化计算、辅助设计和保证零件之间的平行关系。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
一、直线面平行定理
定理：如果两条直线平行，那么任何一个由两条直线夹成的角都是相等的。
证明：设直线AR、AB为两直线，角A、A’R为AR与AB所成角，角A’B为AB与AR
所成角，设AR ∥ AB，则知AR与AB所成的角A = A’B（因两条直线平行），∴角A＝
A’R，证毕。
证明：设平面Alpha、Beta为两个平面，角α为Alpha与Beta所成角，角β为
Beta与Alpha所成角，设Alpha ∥ Beta，则β＝α（因两个平面平行），∴角β＝α，证毕。
证明：设直线AB与平面S、T垂直，则知AB∥S；AB∥T；∴S∥T，证毕。
结论：当直线与两个不同的平面都垂直时，两个平面一定是平行的。
这就是平面八大定理。
它揭示了直线与平面之间的相互关系，也提供了重要的绘画几
何图形的基础。
证明线面平行的条件
证明线面平行的条件线面平行是几何学中一个非常重要的概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
为了证明线面平行，需要满足一定的条件。
下面我们将详细介绍证明线面平行的条件。
一、线面平行的定义首先，我们需要了解线面平行的定义。
在三维空间中，当两条直线或两个平面没有任何交点时，它们被称为相互平行。
如果一条直线和一个平面没有任何交点，那么它们也被称为相互平行。
二、证明两条直线相互平行的条件1. 两条直线在同一平面内且不重合，并且它们与该平面内的一条直线垂直，则这两条直线相互平行。
2. 两条直线在同一空间内且不重合，并且它们分别与另外两个不共面的直线垂直，则这两条直线相互平行。
3. 如果有一组对应角度相等，则这两条直线相互平行。
例如，如果有两组对应角度分别为同侧内角、同侧外角或对顶角，则这两条直线相互平行。
4. 如果有一个角是锐角或者钝角，则这两条直线不可能相互平行。
5. 如果两条直线相交，且它们的夹角为90度，则这两条直线不可能相互平行。
三、证明两个平面相互平行的条件1. 两个平面不重合，并且它们分别与一个共同的直线垂直，则这两个平面相互平行。
2. 两个平面在同一空间内且不重合，并且它们分别与另外两个不共面的直线垂直，则这两个平面相互平行。
3. 如果有一组对应角度相等，则这两个平面相互平行。
例如，如果有两组对应角度分别为同侧内角、同侧外角或对顶角，则这两个平面相互平行。
4. 如果一个角是锐角或者钝角，则这两个平面不可能相互平行。
5. 如果两个平面交于一点，且它们的交线与其中一个垂直，则这两个平面不可能相互平行。
四、总结综上所述，证明线面之间是否相互平行需要满足一定的条件。
对于证明两条直线相互平行，需要考虑它们在同一空间内或者同一平面内，并且与其他直线垂直等条件。
而证明两个平面相互垂直则需要考虑它们在同一空间内或者同一平面内，并且与其他直线垂直等条件。
这些条件都是非常重要的，可以帮助我们更好地理解线面平行的概念。
怎样证明线面平行
解题宝典线面平行是指直线与平面平行，是一种常见的位置关系.证明线面平行是立体几何试题中的常考内容.证明直线与平面平行一般需要运用直线与平面平行的判定定理，设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，合理运用三角形的中位线定理、面面平行的性质定理、平行四边形的性质证明两直线平行.如何在平面内寻找或求作一条与已知直线平行的直线是解题的关键.一、利用三角形的中位线定理我们知道，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线定理是指三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.在证明线面平行时，可以构造合适的三角形，使已知直线为三角形的中位线，以便利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平行线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找或求作中位线.例1.如图1，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH //平面PAD .分析：通过观察图形，我们可以发现平面[PAD ]内的直线PD //GH ，G ，H 为PB ，AC 的中点，可构造三角形PBD ，使GH 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理来证明线面平行.证明：连接BD ，易知AC ⋂BD =H ,BH =DH .由BG =PG ，故GH //PD ，又因为GH ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以GH //平面PAD .例2.如图2，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD为矩形，E 为PD 的中点.证明：PB ∥平面AEC .证明：如图2所示，连接BD 交AC 于点F ,连接EF ,因为ABCD 为矩形，所以F 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以EH //PB .EF ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ，所以PB //平面AEC .由E 为PD 的中点，可以联想到三角形的中位线，于是连接BD ，构造三角形PBD ，又由矩形的性质可知F 为BD 的中点，于是便证明EF 为三角形的中位线，利用三角形的中位线定理以及线面平行的判定定理即可证明PB ∥平面AEC .二、利用平行四边形的性质平行四边形的性质有很多，如（1）平行四边形的两组对边相等；（2）平行四边形的两组对角相等；（3）夹在两条平行线间平行的高相等；（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形.在证明线面平行时，我们可以结合几何体的结构特征，构造平行四边形，使已知直线为四边形的边或高，然后利用平行四边形的性质和线面平行判定定理证明线面平行.例3.如图3，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.求证：MN //平面C 1DE .分析：要证MN //平面C 1DE ，需要在平面C 1DE 内找到一条直线与MN 平行，才能运用线面平行判定定理证明结论.观察图3，我们可以猜测平面C 1DE 内的直线DE 与MN 平行且相等，不妨构造四边形MNDE ，证明它是平行四边形，这样就可以运用平行四边形的性质证明结论.证明：如图3所示，连接B 1C ,ME ，因为M ，E 分别为BB 1,BC 的中点，所以ME //B 1C ，且ME =12B 1C.谭治华图1图2图340解题宝典又因为N 为A 1D 的中点，所以ND =12A 1D.由题设知A 1B 1=//DC ，可得B 1C =//A 1D ，故ME =//ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，则MN //ED .又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ,所以MN //平面C 1DE .例4.如图4，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，E ，F 分别为AD ，PB 的中点.求证：EF //平面PCD ．证明：如图4，取PC 中点G ，连接FG ,GD ．∵F ,G 分别为PB 和PC 的中点，∴FG //BC ，且FG =12BC ．∵四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，∴ED //BC ,DE =12BC ，∴ED //FG ，且ED =FG ，∴四边形EFGD 为平行四边形，∴EF //GD ．又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ，∴EF //平面PCD ．上面通过构造平行四边形EFGD ，利用平行四边形的性质证明EF //GD ，然后利用线面平行的判定定理证明EF //平面PCD .三、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理是若两个平面平行，则在一个平面内的直线平行于另一个平面.在解题时，可首先运用面面平行的性质定理证明已知直线与在平面内的直线平行，然后便可运用线面平行的判定定理证明线面平行.例5.如图5(1)，已知公共边为AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内，P ，Q 分别是对角线AE ,BD 上的点，且AP =DQ .求证：PQ //平面CBE .证法一：如图5（2），作PH //BE 交AB 于H ,连接HQ ，∴AP AE =AH AB，∵AP =DQ ,AE =DB ,∴AP AE =DQ DB ∴AH AB =DQDB ，∴HQ //AD ,∴HQ //BC ,又HQ ⊄平面CBE ,BC ⊂平面CBE ,∴HQ //平面CBE ,∵PH //EB ,又PH ⊄平面CBE ,EB ⊂平面CBE ,∴PH //平面CBE ,又PH ⋂HQ =H ,∴平面PHQ //平面CBE ,∴PQ //平面CBE .通过观察图5（1）可知，很难在平面CBE 内找到一条与直线PQ 平行的直线，故需要添加辅助线，构造一个平面PQH ，运用面面平行的判定定理证明两个平面平行，然后运用面面平行的性质定理证明PQ //平面CBE .本题还可以运用平行四边形的性质来求解.结合图形的特征，构造出平行四边形PMNQ ，利用平行四边形的性质：两组对边平行，证明结论.证法二：如图5(3)，作PM //AB 交BE 于点M ，作QN //AB 交BC 于点N ，连接MN ，∴PM //QN ,PM AB =EP EA ,QN CD =BQBD.易知EA =BD ,∵AP =DQ ,∴EP =BQ .又∵AB =CD ,∴PM =QN ，四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ //MN .又∴PQ ⊄平面CBE ,MN ⊂平面CBE ，∴PQ //平面CBE .综上所述，无论运用哪种方法证明线面平行，都需要结合几何图形的特征，构造合适的三角形中位线、平行四边形、两平行的平面，寻找或求作已知直线在平面内的平行直线，然后运用线面平行的判定定理证明线面平行.这就要求同学们熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的性质、面面平行的性质定理、线面平行的判定定理，巧妙地作出辅助线，来提升解题的效率.（作者单位：广东省清远市英德市第一中学）图4图5（1）图5（2）图5（3）41。
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
立体几何---线面平行
直线、平面平行的判定【要点梳理】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.符号语言：a a a、b u a,a//b n a//a.要点诠释：(1)用该定理判断直线a与平面a平行时，必须具备三个条件：①直线a在平面a外，即a a a；②直线b在平面a内，即b u a；③直线a,b平行，即a〃b.这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．(2)定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平行,只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.图形语言：j n符号语言：若au a、b u a,ab=A，且a//p、b//p，则a//p.要点诠释：(1)定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的.(2)定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行n面面平行.要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点,有时直接证明非常困难,往往采用反证法．2．利用判定定理：要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内找两条相交直线,分别证明它们平行于另一个平面,于是这两个平面平行,或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面,则这两个平面互相平行．【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1.已知AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段，E,F,G分别是AB,BC,CD的中点，求证：AC//平面EFG,BD//平面EFG.例2.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一个平面内，P、Q分别为对角线AE、BD上的点，且AP=DQ,如右图.求证：PQ〃平面CBE.【变式1】在正方体ABCD—ABCD中，O是正方形ABCD的中心，求证：AO//面BCD.11111111111【变式2】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF〃平面PEC.【变式3】如右图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA，平面ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F分别是PB,PC的中点.(1)证明：EF〃平面PAD；(2)求三棱锥E-ABC的体积V.类型二、平面与平面平行的判定例3.如右图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1,求证：平面AB1D1〃平面BDC1.例4.如右图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点.求证：平面AMN〃平面EFDB.【变式1】点P是^ABC所在平面外一点，G,G,G分别是△PBC,△APC,△ABP的重心，求123证：面GGG//面ABC.123【变式2】如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1c l中，点D,E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB〃平面ADC1.【变式3】已知在正方体ABCD—A'B'C'D'中，M,N分别是A'D',A'B'的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN平行的平面，并证明你的结论.【巩固练习】1．下列说法中正确的是（）A.如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B.如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C.如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D.如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2.已知三条互相平行的直线a、b、c中，a u a,b,c u a，则平面a、p的位置关系是（）A.平行B.相交C.平行或相交D.重合3.已知m,n是两条不重合的直线，a、p是两个不重合的平面，给出下列三个命题：「m//p[m与n异面「m//n①\n m//n:②\n n与p相交；③\n m//a。
线面平行
1线面平行线面平行的判定定理：平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 面面平行的判定定理：一个平面内存在两条相交直线和另外一个平面平行，则这两个平面平行 二、方法：三角形法、平行四边形法、平行截面法。
策略：线线平行⇒线面平行；面面平行⇒线面平行。
三、典例：（中位线，平行四边形，）（一）三角形法：在直线和平面外找一个点，作（找）这个点和直线上两个点的连线，再作（找）出两条连线与平面的交点，证明两个交点连线与已知直线平行，即可证明线面平行。
例1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，a AB PA ==,点E 在棱PC 上。
问点E 在何处时，EBD //PA 平面，并加以证明。
练： 1、如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长AA 1=2，AB=1，E 是AA 1的中点。
求证：A 1C ∥平面BDE ；。
（二）平行四边形法：在直线上取两个点，过这两个点作（找）一对互相平行的直线与平面相交，证明所得交点的连线与已知直线平行，即可证明线面平行。
正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2。
问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？EPA B CDD 1 A BCD A 1B 1C 1E ABC EF NMB 1A １C 1 图322．如图直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1，D ，M 分别是棱AA 1，BC 的中点 证明：AM ∥平面BDC 1；（三）平行截面法：过直线作（找）一个平面与已知平面平行，即可证明线面平行。
2、已知正方体1111D C B A ABCD -，O 是底面ABCD 对角线的交点。
求证：⑴111D AB //D OC 平面平面；⑵111D AB //O C 平面。
练习：1、如图,在直三棱柱111C B A ABC -中,D 为AC 的中点,求证:D BC //AB 11平面。
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' B平行的平面是 ' C ' D'、平面 CC ' D ' D 平面 ①与A AB
所以 EF//平面BCD.
B
C
变式1:
如图,四棱锥A-DBCE中,O为底面正方 形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.
证明:连接OF,
因为 O为正方形DBCE对角线的交点, 所以BO = OE 又AF = FE 所以AB//OF（三角形中位线的性质） 因为 AB 平面DCF ， OF 平面DCF 所以 AB//平面DCF.
A1
D1 B1 E D
A O B
C1
C
P62习题2.2A组：3
§2.2.1 直线与平面平行的判定
新课导入：
1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面 有 哪几种位置关系？并完成下表： 公共点 无数个 一个 直线与 平面相交 无 直线与 平面平行
位置关系 直线在 （直线与平面） 平面内 符号表示 图形表示
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a A
a
a //
a
a
A
新课探究：
证明：∵a//b, ∴经过a，b确定一个平面 b a , a b ∴ , b 是两个不同的平面 b ,b b
β
a
b
α
p
∩ b b 假设a与 有公共点P,则 P ∩ b b，即 P是a与b的公共点，这与a//b矛盾。 a / /
学生练习
如图，长方体 ABCD A' B' C ' D' 中，
（1）这两条直线共面吗？ （2）直线 a 与平面 相交吗？
探索结果
二.直线与平面平行判定定理 定理： 平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行，则该直线与此平面平行．
a
b
a b a // a // b
简述：（内外）线线平行 则 线面平行
验证定理 已知：a , b , a / /b. 求证：a / /
B
A
F
D
E
O
C
变式2:
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC 与C1D1的中点。求证：EF//平面BDD1B1
D1 A1 F C1 A1 B1 B1 D1 F C1
M
D E A B
C A
N
D
C
M
E B
方法一
方法二
课堂小结
证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义: 直线与平面没有公共点
（2）利用判定定理: 线线平行 应用判定定理判定线面平行时应注意: 线面平行
（1）面外（2）面内（3）平行
应用判定定理判定线面平行的关键是找平行线。
方法一：三角形的中位线定理、相似三角形 方法二：平行四边形的平行关系。
巩固练习
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点.
求证:BD1//平面AEC.
2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判 定直线与平面平行如何操作？谈谈你的看法，并 指出是否有别的判定途径。
a
实例感受
将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘 与桌面的关系如何呢？ C A
D
发现问题
一.直线与平面平行
平面 外有直线 a 平行于平面 内的直线 b．
a
b
b
P 共面 不可能相交
应用定理，巩固提高
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的 连线平行于经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别AB，AD的中点。
求证：EF//平面BCD。 证明：连接BD
因为 AE=EB , AF=FD, 所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
A
E
F D
因为 EF 平面BCD，BD 平面BCD