数学：3.5.3对数函数 教案 (北师大必修1)
北师大版高一数学必修一对数函数的概念说课稿
北师大版高一数学必修一《对数函数的概念》说课稿（逐字稿）尊敬的各位考官大家好，我是今天的06号考生，今天我说课的题目是对数函数的概念。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《对数函数的概念》选自北师大版高中数学必修一第四章第三节第一课时，本节课的主要内容是：对数函数的概念。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生已经学习了指数和对数的互化，以及对数的基本运算，并且这一阶段高一学生具有较强的逻辑思维能力，教师在教学过程中要着重抓住这一特点。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1.学生掌握对数函数的概念以及反函数的求法。
2.学生经过思考和讨论的过程，提高发现和解决问题的能力。
3.提升数学抽象、数学运算素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为掌握对数函数的概念。
教学难点为反函数的求法。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课良好的导入是激发学生求知欲与好奇心的有效方法，因此，我将出示关于细胞分裂的过程视频，请同学们写出分裂次数x与细胞总数y的函数关系。
即y=2x，请同学们思考一下，分裂出一万个细胞，需要经过多少次呢？就此引入本节课的主要内容。
3.3对数函数y=logax的图像和性质-北师大版高中数学必修第一册(2019版)教案
3.3 对数函数y=loga x的图像和性质-北师大版高中数学必修第一册（2019版）教案一、前置知识1.指数函数的定义及其图像和性质2.对数函数的定义及其图像和性质二、知识解析1. 对数函数y=loga x的定义对数函数y=loga x (a>0，且a≠1)表示以a为底数，x的对数，其中a称为底数，x称为真数，y为对数。
可以用以下公式表示：y=loga x ⇔ a^y=x (a>0，且a≠1，x>0，y∈R)其中，a>0，a≠1是对数函数的定义域。
2. 对数函数y=loga x的图像对数函数y=loga x的图像可以通过构造表格得到，具体如下：x loga xa^-2 -2a^-1 -1a^0 0a^1 1a^2 2……a^(1/k) 1/ka^k k……将表格中的x和y坐标对应，可以得到对数函数y=loga x的图像。
对数函数y=loga x的图像的主要特点如下：1.当x=a^0=1时，y=0。
2.当0<x<1时，-∞<loga x <0，即函数的值单调减少。
3.当x>1时，0<loga x <+∞，即函数的值单调增加。
4.对于任何底数a，当x=a时，y=1。
3. 对数函数y=loga x的性质对数函数y=loga x的性质如下：1.对于任何底数a，当x=a时，y=1。
2.对于任何底数a和正整数k，有loga (x^k)=k·loga x。
3.对于任何底数a、正整数m和n，有loga (x m·y n)=m·loga x+n·loga y。
4.对于任何底数a和正整数k，有loga (1/x^k)=-k·loga x。
5.对于任何底数a和正实数x、y，有loga x+loga y=loga (xy)。
6.对于任何底数a和正实数x、y，有loga x-loga y=loga (x/y)。
高中数学北师大版必修一：3.5.3《对数函数的图像和性质》课件
[解析]
由 3＋2x－x2>0 解得函数 y＝log1 (3＋2x－x2)的
2
定义域是{x|－1<x<3}． 设 u＝3＋2x－x2(－1<x<3)，又设－1<x1<x2≤1，则 u1<u2， 从而 log1 u1>log1 u2， 即 y1>y2， 故函数 y＝log1 (3＋2x－x2)在区
知能自主梳理
对数函数的图像与性质
[答案] 0)
(0，＋∞)
R 增函数 (－∞，0]
减函数
(1,0)
(－∞，
[0，＋∞)
(0，＋∞)
思路方法技巧
对数函数的图像
[例 1] 作出下列函数的图像：
(1)y＝log2(x＋1)；(2)y＝lgx＋1； (3)y＝|log2x|；(4)y＝log2|x|； (5)y＝log2|x－1|. [分析] 根据对数函数的图像作出变换后的图像．
3
[方法总结] 比较两个对数值的大小，常用的三种方法：
3 若 loga4<1，则 a 的取值范围是________． 3 [答案] (0， )∪(1，＋∞) 4 3 3 [解析] loga <1⇔loga <logaa. 4 4 3 当 a>1 时，4<a，∴a>1. 3 3 当 0<a<1 时，4>a，∴0<a<4. 3 ∴a 的取值范围是(0， )∪(1，＋∞). 4
1
＝loga x的比较(a1>0，a1≠1，a2>0，a2≠1)．
2
①当a1>a2>1时，曲线y1比y2的图像(在第一象限内)上升 得慢．即当x>1时，y1<y2；当0<x<1时，y1>y2.而在第一象限 内，图像越靠近x轴的对数函数的底数越大． ②当0<a2<a1<1时，曲线y1比y2的图像(在第四象限内)下 降得快．即当x>1时，y1<y2；当0<x<1时，y1>y2即在第四象限 内，图像越靠近x轴的对数函数的底数越小．
高中数学：3.5.3对数函数的图像与性质(第一课时) 学案 (北师大1)
普通高中课程标准实验教科书 ［北师版] –必修1第三章 指数函数与对数函数 §3。
5对数函数§3.5.3。
对数函数的图像与性质(第一课时)(学案）［学习目标］ 1、知识与技能（1）由前面学习指数函数的图像和对数函数2y log x 的图像的基础上,画出一般的对数函数的图像．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质． (3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法（1)掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系，熟练地进行画图．(2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质．3、情感．态度与价值观通过学习对数函数，了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[学习重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系．[学习难点］：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系．［课时安排]： 2课时[学习方法］：思考、探究．［学习过程]【新课导入】［互动过程1]复习:1．对数函数2y log x =的图像与性质，以及与指数函数xy 2=的图像与性质之间的关系2．练习:画出下列函数的图像x x 121(1)y 2;(2)y log x;(3)y ();(4)y lg x 3====填表:对数函数a y logx(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:例4．求下列函数的定义域：2a a (1)y log x ;(2)y log (4x)==-练习1:求下列函数的定义域1(1)y lg(x 5);(2)y ln 3x=-=-例5．比较下列各题中两个数的大小：22(1)log 5.3,log 4.7;0.20.2(2)log 7,log 9 3(3)log ,log 3;ππa a (4)log 3.1,log 5.2(a 0,a 1)>≠练习2:比较下列各组数中两个值的大小：（1)4.32log ，5.82log （2）8.13.0log ，7.23.0log(3）1.5log a ，9.5log a（a ＞0，且a ≠1） 课堂补充练习：1．求下列函数的定义域：（1）)1(log 3x y -= （2)x y 3log = （3）x y 311log 7-= （4)xy 2log 1=2．比较大小．4log 5log )3(01.0log 31log )2(log 3log )1(5321.05.05.0和和和π课堂小结：对数函数的图像与性质作业:习题3-5A组3,4,5，6。
高中数学北师大版必修1 3.5 教学课件 《 对数函数的概念》(数学北师大必修一)
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3. 复习对数运算法则
(1)
log b
N
log a N log a b
＝ (a、b>0，a、b≠1，N>0)
(2) log a b.log b a ＝1 (a>0且a≠1，b>0且b≠1)
(3) log a b.logb c.log c d ＝ (a，b，c，d>0，且a，b，c≠1)
即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形式，否
则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝loga x＋ 1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．
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指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)有什么关系？ 指数函数y＝ax和对数函数x＝logay刻画的是同一对变量x，y之间的关系， 所不同的是：在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数．其定义 域 是R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函 数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数， 就是说，对数函数x＝logay是指数函数y＝ax的反 函数，指数函数y＝ax是 对数函数x＝logay的反函数．
③为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1? ④你能求出对数函数的定义域、值域吗？ ⑤如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请 你说出它的步骤．
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漂洗讨1论次结存果留：污(垢1)x若＝每1 4次能，洗漂去洗污2次垢存的留污43垢，x＝则每(次1 4剩)余2污，的…1 4 ， ， 漂洗y次后存留污垢x＝y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对
数学：3.5.3-《对数函数的图像和性质》课件(北师大版必修1)
解
14C的半衰期
为5730年，所以建立方程
1/2=e-5730r 解得r=0.000121,由此可知14C的衰减服从指数型函数 C（t）=C0 e -0.000121 t 设发现Hammurbi 王朝木炭的时间（1950年）为t0年， 放射性物质的衰减速度是与质量成正比的，所以 C（t0）/C0= 4.09/6.68 于是 e -0.000121 t0 = 4.09/6.68 两边取自然对数，得-0.000121 t0 =㏑ 4.09- ㏑6.68, 解得 t0 ≈4050（年） 即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年。
例4 求下列函数定义域： （1）y=㏒a x2
;
（2） y=㏒a (4-x)
解 （1）因为 x2 >0, 即x≠0， 所以函数的定义域为{x| x≠0 }; （2）因为4-x>0即x<4， 所以函数的定义域为{x| x<4}.
例5 比较下列各题中两个数的大小： (1)㏒25.3, ㏒24.7 (2) ㏒ 0.27,㏒0.29 (3) ㏒3 ∏ ,㏒∏ 3 (4) ㏒a 3.1,㏒a5.2 (a>0,a≠1)
∴ log67＞log76
∴
log3π＞log20.8
说明:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小. 当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入 一 个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大 小
例6 观察在同一坐标系内函数y=㏒2x与 函数y=2x的图象，分析他们之间的关系
解 可以看出，点P（a,b）与点Q（b,a）关于直线y=x对称。 函数 y=㏒2x与函数y=2x互为反函数， 对应于函数图象y=㏒2x上任意一点P（a,b）， P点关于直线y=x的对称点Q(b,a)总在函数y=2x图象上， 所以，函数y=㏒2x的图象与y=2x的图象关于直线对称。
北师大版必修一数学对数函数的图像与性质2
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第十周 集体备课一、课题： 3.5.3对数函数的图像与性质（2）二、学习目标（1）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质．（2）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系．三、落实目标【自主预习】问题1、．对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:【合作探究】问题1：观察在同一坐标系内函数2y log x =与函数x y 2=的图像，分析它们之间的关系．从图上可以看出点P （a,b ）与点_____________关于直线_________对称,函数_______________与函数________________互为反函数,对应于函数2y log x =图像上任意一点P （a,b ）,P 关于直线y=x 的对称点___________总在函数_____________-的图像上,所以,函数2y log x =的图像与函数____________的图像关于直线_____________对称．问题2：对数函数a y log x =,当底数a>1时,a 的变化对函数图像有何影响?结论：问题3．仿照前面的方法,请你猜想,对数函数a y log x =当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响?结论：例7、人们早就发现放射性物质的衰减现象,在考古工作中,常用14C 的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律:rt 0C(t)C e -=,其中t 表示衰减的时间,0C 表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t 年后剩余的质量．为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期, 14C 的半衰期大约是5730年,由此可确定系数r,人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比的．1950年在巴比伦发现一根刻有Hammmurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C 分子的衰减速度为4．09个/（g ·min ）,而新砍伐烧成的木炭中14C 的衰减速度为6．68个/（g ·min ）,,请估算出Hammmurbi 王朝所在的年代．解:【检测反馈】1、对数函数a y log x =,当底数a>1时和当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响?2、p96课后练习1、2、3反思栏。
数学：3.5.3《对数函数的图像与性质》课件(北师大版必修1)
新 课 标 资 源 网
老 师 都 说 好
!
y = log2 x与y = log 0.5 x的图像分
新 函数
课
析 y = log2 x
y = log 0.5 x
标
资
源
网
图像
老 定义域
师
值域
都
说 单调性
好
过定点
取值范围
（0，＋∞）
R 增函数
（1，0）
0<x<1时，y<0 x>1时，y>0
（0，＋∞）
R 减函数
（1，0）
0<x<1时，y>0 x>1时，y<0
!
对数函数y = loga x的性质分析
函数
新 课 标 资
源 图像
网
y = loga x （a>1)
y = loga x (0<a<1)
定义域
老
师 值域
（0，＋∞） R
都
说 单调性
好
在（0，＋∞）上是 增函数
练习：课本P113练习第2题
!
例5，比较下列各题中两个数的大小：
新
课
标 资
（1） log25.3与 log24.7 （2） log 0.27与 log 0.2 9
源
网
解：(1)∵底数a=2 > 1, ∴函数y＝ log2x是增函数；
老
又∵ 5.3 > 4.7
师 都
∴ log25.3 > log24.7
老
在（0，log＋a3.1∞ lo）g a5.上2 是
师
增函数，此时
都
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数 3.
3．5．2．对数函数的图像与性质（1）[教学目标]1、知识与技能（1）由前面学习对数函数的图像与性质的基础上,进一步应用对数函数的图像和性质解答问题．（2）会利用指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质．（3）能够理解指数函数的图像和性质与对数函数的图像与性质之间的关系． 2、 过程与方法 （1）让学生掌握指数函数的图像与对数函数的图像之间的关系,会利用它们的对称关系, 熟练地进行画图．（2）学会类比研究问题,利用数性结合的思想研究函数的性质． 3、情感．态度与价值观使学生通过学习对数函数,了解指数函数与对数函数图像和性质之间的关系．在学习的过程中体会类比、转化、数形结合的方法研究问题．直观明了,增强学习对数函数的积极性和自信心．[教学重点]: 对数函数的图像和性质以及与指数函数图像与性质之间的关系． [教学难点]：对数函数图像与性质与指数函数的图像与性质之间的关系． [课时安排]: 2课时[学法指导]：学生思考、探究． [讲授过程] 【新课导入】 [互动过程1]复习:1．对数函数a y log x(a 0,a 1)=>≠分别就其底数a 1>和0a 1<<这两种情况的图像和性质:（0，+∞）（0，+∞）y<0 :1．在同一直角坐标系中画出下列函数的图像211323(1)y log x;(2)y log x;(3)y log x;(4)y lo g x;(5)y lg x=====2．求下列函数的定义域:31(1)y log (2)y ln4x==-解:（10>,即x 2>,所以函数3y log ={x |x 2}>;（2）因为104x >-,即x 4<,所以函数1y ln4x=-的定义域为{x |x 4}< 3．比较下列各题中两个数的大小:(1)lg 0.3,lg 0.4; 0.50.5(2)log 3,log 0.23(3)log e,ln 3; a a (4)log 0.9,log 1.2(a 0,a 1)>≠解: （1）因为10>1,函数y lg x =是增函数,0．3<0．4,所以lg0.3lg0.4;> （2）因为0．5<1,函数0.5y log x =是减函数,3>0．2,所以0.50.5log 3log 0.2<; （3）因为函数3y log x =是增函数,e 3<,所以33log e log 31<=,同理1lne ln3=<,所以3log e ln 3;<（4）当a 1>时,函数a y log x =在(0,)+∞上是增函数,此时, a a log 0.9log 1.2<, 当0a 1<<时,函数a y log x =在(0,)+∞上是减函数,此时, a a log 0.9log 1.2> [互动过程2]观察在同一坐标系内函数2y log x =与函数xy 2=的图像，分析它们之间的关系． 解:从图上可以看出点P （a,b ）与点Q （b,a ）关于直线y=x 对称,函数2y log x =与函数xy 2=互为反函数,对应于函数2y log x =图像上任意一点P （a,b ）,P 关于直线y=x的对称点Q （b,a ）总在函数x y 2=的图像上,所以,函数2y log x =的图像与函数xy 2=的图像关于直线y=x 对称．[结论]:一般地,函数y f (x)=的图像和它的反函数的图像关于直线y=x 对称． [互动过程3]1．根据表中的数据（精确到0．01）,画出函数2y log x =,3y log x =5y log x =的图像,并观察图像,说明三个函数图像的相同与不同之处．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时,a 的变化对函数图像有何影响?3．仿照前面的方法,请你猜想,对数函数a y log x =当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 4．练习:1[实际应用]人们早就发现放射性物质的衰减现象,在考古工作中,常用14C 的含量来确定有机物的年代．已知放射性物质的衰减服从指数规律:rt0C(t)C e-=,其中t 表示衰减的时间,0C 表示放射性物质的原始质量,C(t)表示经衰减了t 年后剩余的质量． 为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,14C 的半衰期大约是5730年,由此可确定系数r,人们又知道,放射性物质的衰减速度与其质量成正比的．1950年在巴比伦发现一根刻有Hammmurbi 王朝字样的木炭,当时测定,其14C 分子的衰减速度为4．09个/（g ·min ）,而新砍伐烧成的木炭中14C 的衰减速度为6．68个/（g ·min ）,,请估算出Hammmurbi 王朝所在的年代．解:因为14C 的半衰期大约是5730年,所以建立方程5730r 1e 2-=,解得r 0.000121=,由此可知14C 的衰减规律服从指数型函数0.000121t0C(t)C e-=设发现Hammmurbi 王朝字样的木炭的时间（1950年）为0t 年,因为放射性物质的衰减速度与其质量成正比的,所以00C(t ) 4.09C 6.68=,所以0.000121t4.09e 6.68-=,两边取自然对数,得00.000121t ln 4.09ln 6.68-=-,解得0t 4054≈（年）．即Hammmurbi 王朝所在的年代大约在公元前2100年．课堂小结:1．互为反函数的图像之间的关系．2．对数函数a y log x =,当底数a>1时和当0<a<1时, a 的变化对函数图像有何影响? 3．指数函数、对数函数在考古中的应用． 作业:习题3-5 B 组1,2,3,4。
2013年秋北师大版必修1示范教案3.5.3对数函数的图像和性质(2)
5．3 对数函数的图像和性质(2)导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝a x与函数y＝log a x到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数．思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图像和性质的基础上，利用对数函数的图像和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图像和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝a x与函数y ＝log a x的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．推进新课新知探究提出问题①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图像.②通过图像探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.④探索y＝2x与x＝log2y的图像间的关系.⑤探索y＝2x与y＝log2x的图像间的关系.⑥结合②与⑤推测函数y＝a x与函数y＝log a x的关系.xy图7②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．③由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫作函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x、y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x ∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y是同一个函数图像．⑤通过观察图像可知，y＝2x与y＝log2x的图像关于直线y＝x对称．⑥通过②与⑤类比，归纳知道，y＝a x(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝log a x(a＞0且a≠1)，且它们的图像关于直线y＝x对称．由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y ＝x对称．提出问题1用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图像：①y＝log3x；②y＝log2x；③y＝log5x.2从图像上观察它们之间有什么样的关系？3函数y＝log a x，a＞1时，a的变化对图像有何影响？4函数y＝log a x，0＜a＜1时，a的变化对图像有何影响？活动：学生动手画出函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点．讨论结果：(1)如图8.图8(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log2x，y＝log5x的图像间有如下关系：都过(1,0)点，都在y轴右边，都是定义域上的增函数，不同的是函数增长的速度不同．(3)y＝log a x，a＞1时，a越大，函数增长得越慢，向右离x轴越近，向下离y轴越近．(4)y＝log a x,0＜a＜1时，a越小，向右离x轴越近，向上离y轴越近．应用示例例1 观察在同一坐标系内函数y＝log2x与y＝2x的图像，分析它们之间的关系．活动：学生独立在同一坐标系内作出两个函数的图像，要抓住关键点和关键步骤，教师指点、引导学生动手、动脑，注意观察的方法．解：图9是函数y＝log2x与y＝2x的图像．从图像上可以看出，函数y＝log2x与函数y ＝2x的图像关于直线y＝x对称．事实上，函数y＝log2x与函数y＝2x互为反函数，对应于函数y＝log2x的图像上的任一点P(a，b)，P点关于直线y＝x的对称点Q(b，a)总在函数y ＝2x的图像上．图9例2 课本例7.活动：学生仔细阅读题目，分析问题的实际意义．列出数学模型，从而达到解决问题的目的．解：因为14C 的半衰期是5 730年．所以建立方程12＝e －5 730r .解得r ＝0.000 121，由此可知14C 的衰减规律服从指数型函数 C (t )＝C 0e －0.000 121t .设发现Hammurbi 王朝木炭的时间(1950年)为t 0年．因为放射性的物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以C t 0C 0＝4.096.68.于是e －0.000 121t 0＝4.096.68.两边取自然对数，得－0.000 121 t 0＝ln 4.09－ln 6.68，解得t 0≈4 054(年)． 即Hammurbi 王朝大约存在于公元前2100年．例3 若1＜x ＜2，比较(log 2x )2，log 2x 2，log 2(log 2x )的大小．活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log 2(log 2x )小于0，只要比较(log 2x )2与log 2x 2的大小即可．解：log 2(log 2x )＜(log 2x )2＜log 2x 2.解法一：因为log 2x 2－(log 2x )2＝log 2x ·(2－log 2x )＝log 2x ·lo g 24x，又因为1＜x ＜2，所以1＜x ＜4x.所以log 24x＞0，log 2x ＞0.所以log 2x 2＞(log 2x )2＞0.又因为log 2x ＜1，log 2(log 2x )＜0，所以log 2(log 2x )＜(log 2x )2＜log 2x 2.解法二：因为(log 2x )2－log 2x 2＝(log 2x )2－2log 2x ＋1－1＝(log 2x －1)2－1，又1＜x ＜2，所以0＜log 2x ＜1，即0＜(log 2x )2＜1.因此(log 2x －1)2－1＜0.又log 2(log 2x )＜0，故log 2(log 2x )＜(log 2x )2＜log 2x 2. 点评：比较数的大小方法：①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小． ③计算出每个数的值，再比较大小．④若是两个以上的数，有时采用中间量比较． ⑤利用图像法．⑥利用函数的单调性． 知能训练已知集合M ＝{x |x ＜3}，N ＝{x |log 2x ＞1}，则M ∩N 等于( )． A ．∅B ．{x │0＜x ＜3}C ．{x │1＜x ＜3}D ．{x │2＜x ＜3} 答案：D 拓展提升 对于区间[m ，n ]上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的x ∈[m ，n ]，均有|f (x )－g (x )|≤1，则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[m ，n ]上是非接近的．现有两个函数f 1(x )＝log a (x －3a )与f 2(x )＝log a 1x －a(a ＞0，a ≠1)，给定区间[a ＋2，a ＋3]．(1)若f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上都有意义，求a 的取值范围； (2)讨论f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是否是接近的．活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f (x )与g (x )在[m ，n ]上是接近的定义解题．解：(1)依题意a ＞0，a ≠1，a ＋2－3a ＞0，a ＋2－a ＞0，所以0＜a ＜1.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝|log a (x 2－4ax ＋3a 2)|. 令|f 1(x )－f 2(x )|≤1，得－1≤log a (x 2－4ax ＋3a 2)≤1.①因为0＜a ＜1，又[a ＋2，a ＋3]在x ＝2a 的右侧，所以g (x )＝log a (x 2－4ax ＋3a 2)在[a ＋2，a ＋3]上为减函数．从而g (x )max ＝g (a ＋2)＝log a (4－4a )，g (x )min ＝g (a ＋3)＝log a (9－6a )． 于是①成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧log a 4－4a ≤1，log a 9－6a ≥－1，0<a <1.解此不等式组得0＜a ≤9－5712.故当0＜a ≤9－5712时，f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是接近的；当a ＞9－5712且a ≠1时，f 1(x )与f 2(x )在给定区间[a ＋2，a ＋3]上是非接近的．课堂小结1．互为反函数的概念及其图像间的关系． 2．对数函数图像的平移变换规律．3．本节课又复习了对数函数的图像与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．4．指、对数函数图像性质对比． 作业习题3—5 B 组1,2,3,4.设计感想学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图像和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图像的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．备课资料【备用习题】 1．f (x 2－3)＝log a x 26－x2(a ＞0，a ≠1)，判断f (x )的奇偶性．活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．解：∵f (x 2－3)＝log a x 2－3＋33－x 2－3， ∴f (x )＝log a 3＋x 3－x .由3＋x3－x＞0，得f (x )的定义域为(－3,3)．又∵f (－x )＝log a 3－x 3＋x ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 3－x －1＝－log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 3－x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论．2．已知常数a 、b 满足a ＞1＞b ＞0，若f (x )＝lg(a x －b x)， (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)证明y ＝f (x )在其定义域内是增函数；(3)若f (x )恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f (2)＝lg 2，求a ，b 的值． (1)解：由a x－b x＞0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1. 因为a ＞b ＞0， 所以a b＞1.所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x 是增函数．而且由⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x＞1得x ＞0，即函数f (x )的定义域是(0，＋∞)．(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，因为a ＞1，所以g 1(x )＝a x是增函数．所以ax 1－ax 2＜0， (ax 1－ax 2)－(bx 1－bx 2)＜0，即(ax 1－bx 1)－(ax 2－bx 2)＜0.因此0＜ax 1－bx 1＜ax 2－bx 2，于是lg(ax 1－bx 1)＜lg(ax 2－bx 2)，故f (x )＝lg(a x －b x)在(0，＋∞)内是增函数． (3)解：因为f (x )在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x ∈(1，＋∞)内每一个x 值，都有f (x )＞f (1)．要使f (x )恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f (x )＞0，只需f (1)＝0. 于是f (1)＝lg(a －b )＝0，得a －b ＝1.又f (2)＝lg 2，所以lg(a 2－b 2)＝lg 2.所以a 2－b 2＝2，即(a ＋b )(a －b )＝2. 而a －b ＝1，所以a ＋b ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝12.经检验知a ＝32，b ＝12为所求．点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．。
(完整版)高中数学《对数函数的概念》教案北师大必修1
对数函数一．教学目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉2log xy =的图象,②了解对数函数的反函数. 2．过程与方法让学生通过类比思想由指数函数的概念得出对数函数的概念 3．情感、态度与价值观①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数2log xy =的图象,2、难点：用对称性画2log xy =的图象,.四．教学过程 1．设置情境在科学上，考古学家利用logP 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xa y =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．2．探索新知一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为ya x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．3、研究对数函数的反函数提问：指数函数y=a x(a>0且≠1)和对数函数y=log a x(a>0且a ≠1)有什么关系? 答：指数函数y=a x和对数函数y=log a x 刻画的是同一对变量 x, y 之间的关系， 但是，在指数函数y=a x中,x 是自变量, y 是x 的函数, 其定义域是R,值域是 (0,+ ∞)；在对数函数x=log a y 中, y 是自变量, x 是y 的函数,其定义域是 (0,+ ∞),值域是R 。
数学必修Ⅰ北师大版3.5.3对数函数的图像与性质1课件
比较下列各组中两个值的大小: 例3 比较下列各组中两个值的大小 ⑴ log 67 , log 7 6 ; ⑵ log 3π , log 2 0.8 . log aa＝1 提示: log a1＝0 提示 : 提示 ＝ 解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1 ＞ ＝ log76＜log77＝1 ＜ ＝ ∴ log67＞log76 ＞ ∴ ⑵ ∵ log3π＞log31＝0 ＞ ＝ log20.8＜log21＝0 ＜ ＝ log3π＞log20.8 ＞
6
7
8
0
1
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5
#43;∞） (−∞,+∞)
x ∈ (0,1)
过点（ ， ），即当x=1时 ），即当 性 过点（1，0），即当 时，y=0 质 x ∈ (0,1) ⇒ y<0
x ∈ (1,+∞)
⇒ y>0
x ∈ (1,+∞ )
⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a＞0 , a≠1 ) ＞ (对数函数的增减性决定于对数的底数是大于 还是小于 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于 对数函数的增减性决定于对数的底数是大于 还是小于1. 而已知条件中并未指出底数a与 哪个大 哪个大, 而已知条件中并未指出底数 与1哪个大 因此需要对底数a进行讨论 因此需要对底数 进行讨论) 进行讨论 a＞1时,函数 函数y=log x在(0,+∞)上是增函数 上是增函数,于是 解：当a＞1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1＜log a5.9 ＜
北师大版必修一数学对数函数的图像与性质1
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：第十周集体备课一、课题： 3.5.3对数函数图像和性质(1)二、学习目标１.画出具体对数函数的图像，探索对数函数的单调性与特殊点； ２.通过比较、对照的方法，探索研究对数函数的性质； ３.培养数形结合的思想。
三、落实目标 【自主预习】问题1 画出y=2x，y=10x, y=x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21,y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛101的图像;问题2说出指数函数的性质【合作探究】1.对数定义：一般地，如果 （10≠>a a 且），即 ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作 ，其中， 叫做对数的底数， 叫做真数。
b N Log a =读作 。
问题1、什么是常用对数，什么是自然对数，它们怎么表示？问题2、小组讨论完成P 79页思考交流，你们的结果什么？并总结对数的性质 阅读教材P93-P95页。
问题1、在同一坐标系中画出下列函数的图像 （1） y=log 2x y=lgx （底数大于１）（2） y=log 0.5x y=log 0.1x （底数大于0小于1） 问题2、（1）对数函数y=logax（a>0,且a≠1）的图像和性质:a>1 0<a<1 图像性质定义域值域过定点单调性（2）图像的分布规律如何？（单调性）若a>1，当x>1时， y __________；当0<x<1时，y _________ 若0<a<1,当x>1时,y___________；当0<x<1时,y__________例１.比较下列对数值的大小(1) log30.5____log30.8 （2）log0.50.2_____log0.56(3) log0.23___log23 （4）log53_____log23(5) log35_____log53 (6) log20.5_____lg0.1(7) log0.30.7_____1 (8) lg0.005____0 例2、已知下列不等式的大小，比较m、n的大小(1) log5m>log5n （2）log0.3m<log0.3n(3) logm 0.6>logn0.6 (4) logm3>logn3【检测反馈】（1）比较大小log67_____log76 log31.5____log20.8lg0.9____ln2.3 ln2.6_____1log23_____log23.5 log0.34______log0.20.7log0.21.3_____log0.21.8 log23_____log32（2）比较正数m、n的大小lgm>lgn log0.2n>log0.2mlog3m<log3m log0.3m<log0.3n反思栏。
高一数学5.3对数函数的图像与性质
§5.3 对数函数的图像和性质【教学目标】1.知识与技能：（1）由前面学习指数函数的图像和对数函数2y log x 的图像的基础上,画出一般的对数函数的图像． （2）会类比指数函数对数函数的图像研究对数函数的性质及之间的关系． （3）解掌握对数函数的概念、对数函数的图像和性质，应用性质解决一些简单问题。
2、 过程与方法： （1）在解决问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型，体会数形结合的数学思想。
（2）学会类比研究问题,类比指数函数研究对数函数的图像与性质．3.情感、态度与价值观：通过对数函数的研究，使学生深刻认识到函数是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型，感受运用对数函数概念建立模型的过程与方法。
【课时安排】 1课时。
【教学重点和难点】教学重点：对数函数的图像和性质。
教学难点：对于底数a>1与0<a<1时，对数函数的不同性质及变化规律。
【学法与教学用具】1、学法指导：结合导学案阅读、探究课本的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。
完成解决单练习题，加深对知识的理解。
2、教学用具：多媒体课件展示、直尺。
【教学过程】一、复习引入：（结合导学案、课件展示）1.对数函数的概念，指数函数与对数函数的关系。
2.指数函数的图像与性质。
3.对数函数x y 2log =与x y 21log =的图像与性质。
类比指数函数的图像与性质，上节课学习了对数函数x y 2log =的图像与性质。
本节课主要学习由特例归结一般结论对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的图像与性质。
二、新知探究：（一）、（教学设计）类比指数函数的图像与性质，由特例归结一般的结论。
1、学生小组合作讨论——动手展示——体会过程 学生填写对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 分别就其底数1a >和01a <<这两种情况的图像和性质:教师指导（课件展示），及时点拨。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数问题导学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1
§3.5 对数函数问题导学一、对数函数的概念及对数函数与指数函数的关系活动与探究1(1)下列函数是对数函数的是( )． A ．y ＝log 2(3x ) B ．y ＝log 2x 3C ．14log y x =D ．121log y x= (2)写出下列函数的反函数：①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x；②y ＝ln x.迁移与应用1．若对数函数f (x )的图像经过点(16，－2)，那么f (x )的解析式为__________．2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )等于( )．A ．log 2xB ．12log x C ．12x D ．x 2(1)判断一个函数是否是对数函数，主要根据解析式的特征来判定，求对数函数解析式时，主要利用待定系数法求出底数a 的值．(2)函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)；函数y ＝a x的反函数是y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)．二、求与对数函数有关的函数的定义域活动与探究2求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(4－x )x －3；(2)y ＝log 0.1(4x －3).迁移与应用求下列函数的定义域：(1)y ＝1lg(x ＋1)－3；(2)y ＝log 3x －1.求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要注意对数函数自身的要求：真数大于零．三、对数函数的图像活动与探究3作出函数f (x )＝|log 3x |的图像，并求出其值域和单调区间．迁移与应用函数f (x )＝log 41x的大致图像为( )．1．作函数的图像通常采用描点法和图像变换法，可灵活选用； 2．一般地，函数y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图像关于x 轴对称，函数y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图像关于y 轴对称，函数y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图像关于原点对称．四、对数函数单调性的应用活动与探究4(1)比较下列各组数的大小：①124log 5与log 1267；②12log 3与15log 3；③log a 2与log a 3.(2)若log a (1－2x )＞log a (1＋2x )，求实数x 的取值范围．迁移与应用1．设a ＝log 2π，b ＝log 23，c ＝log 32，则( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．b ＞c ＞a2．若log a 3＜1，求a 的取值范围．(1)比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同，真数不同时，用对数函数的单调性来比较；②底数不同，而真数相同时，常借助图像比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．④分类讨论：当底数与1的大小关系不确定时，要对底数与1比较，分类讨论．(2)解与对数有关的取值范围问题通常转化为不等式(组)求解，其依据是对数函数的单调性．(3)解决与对数函数相关的问题时，要遵循“定义域优先”的原则，切勿忘记真数大于0这一条件．当堂检测1．若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数是y ＝g (x )，则g (3)＝( )．A ．127B ．27C ．－1D ．12．若log 5x ＜－1，则x 的取值范围是( )．A ．x ＜15B ．0＜x ＜15C ．x ＞15 D ．x ＞53．下列不等式成立的是( )． A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 324．函数y =__________．5．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域、值域以及单调区间： (1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|12log x |.答案：课前预习导学 【预习导引】1．y ＝log a x 底数 10 e预习交流1 提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．例如y ＝log 3x (x ＞0)，12log y x =(x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，212log y x =等都不是对数函数．2．反函数 互换 y ＝x3．(1)描点法 先画函数x ＝log 2y 的图像，再变换为y ＝log 2x 的图像． (2)(1,0) y 轴右边 x 轴上方 x 轴下方 (0，＋∞)4．(0，＋∞) (－∞，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞)预习交流2 提示：不论a (a ＞0，且a ≠1)取何值，总有log a 1＝0，因此对数函数图像过定点(1,0)，对于函数y ＝log a f (x )，若令f (x )＝1解得x ＝x 0，那么其图像经过定点(x 0,0)．预习交流3 提示：当a ＞1时，a 值越大，图像越靠近x 轴； 当0＜a ＜1时，a 值越大，图像越远离x 轴．课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)根据对数函数的定义进行判断；(2)根据指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 的关系直接写出函数的反函数．(1)C 解析：由对数函数的定义知，只有函数14log y x =是对数函数，其余选项中的函数均不是对数函数，故选C.(2)解：①指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，它的底数是12，它的反函数是对数函数12log y x =.②对数函数y ＝ln x ，它的底数是e ，它的反函数是指数函数y ＝e x.迁移与应用 1．()14log f x x = 解析：设f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)，由已知得log a 16＝－2，因此a －2＝16，解得a ＝14，故()14log f x x =.2．B 解析：由题意，知f (x )＝log a x . ∵其图像过(a ，a )，∴a ＝log a a .∴a ＝12.∴()12log f x x =.活动与探究2 思路分析：(1)x 取值需使分母不等于零且真数为正实数； (2)x 取值需使被开方数为非负数且真数为正实数．解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，解得x ＜4，且x ≠3，所以函数的定义域为(－∞，3)∪(3,4)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，log 0.1(4x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1.所以函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 迁移与应用 解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧lg(x ＋1)－3≠0，x ＋1>0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠103，x >－1，∴x ＞－1，且x ≠999，∴函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠999}． (2)要使函数有意义，应有log 3x －1≥0， 即log 3x ≥1，所以x ≥3， 即函数的定义域为{x |x ≥3}． 活动与探究3 思路分析：将函数f (x )化为分段函数，结合对数函数及图像变换可作出函数图像，然后通过图像求出值域和单调区间．解：f (x )＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ≥1，－log 3x ，0<x <1，所以f (x )的图像在[1，＋∞)上与y ＝log 3x 的图像相同，在(0,1)上的图像与y ＝log 3x的图像关于x 轴对称，据此可画出其图像如下：从图像可知：函数f (x )的值域为[0，＋∞)，递增区间是[1，＋∞)，递减区间是(0,1)．迁移与应用 D 解析：由于f (x )＝log 41x＝－log 4x ，其图像与y ＝log 4x 的图像关于x轴对称，故选D.活动与探究 4 思路分析：(1)①中两数同底不同真，可利用对数函数的单调性；②中同真不同底，可结合图像判断；③中底数中含有字母，需分类讨论．(2)对底数a 进行讨论，结合对数函数的单调性求解． 解：(1)①12log y x =在(0，＋∞)上递减，又因为45＜67，所以112246log >log 57.②因为在x ∈(1，＋∞)上，15log y x =的图像在12log y x =图像的上方，所以1125log 3<log 3.③当a ＞1时，y ＝log a x 为增函数，所以log a 2＜log a 3.当0＜a ＜1时，y ＝log a x 为减函数， 所以log a 2＞log a 3.(2)当a ＞1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x >0，1＋2x >0，1－2x >1＋2x ，解得－12＜x ＜0；当0＜a ＜1时，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1＋2x >0，1－2x <1＋2x ，解得0＜x ＜12.因此当a ＞1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，当0＜a ＜1时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 迁移与应用 1．A 解析：∵函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 2π＞log 23，即a ＞b .又∵b ＝12log 23＞12，c ＝12log 32＜12，∴b ＞c .∴a ＞b ＞c .2．解：当a ＞1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＞3.当0＜a ＜1时，原不等式可化为log a 3＜log a a ， ∴a ＜3.又∵0＜a ＜1，∴0＜a ＜1.综上知，所求a 的取值范围是(0,1)∪(3，＋∞)． 【当堂检测】1．C 解析：依题意g (x )＝13log x ，所以g (3)＝13log 3＝－1.2．B 解析：由log 5x ＜－1可得log 5x ＜log 515，所以0＜x ＜15.3．A 解析：∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 25＞log 23＞log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32＜log 33＝1. ∴log 32＜log 23＜log 25.4．[0,1) 解析：∵由12log (1)x -≥0，得0＜1－x ≤1，∴0≤x ＜1.5．解：(1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位长度得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增函数．(2)y ＝|12log x |＝122log ,01,log ,1,x x x x <≤⎧⎪⎨⎪>⎩其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在(1，＋∞)上是增加的．。
高中数学 第三章 指数函数和对数函数 3.5 对数函数学案 北师大版必修1-北师大版高一必修1数学学
3.5 对数函数第1课时 对数函数的概念 对数函数y ＝log2x 的图像和性质[核心必知]1．对数函数的概念 (1)对数函数的定义：一般地，函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)叫作对数函数，a 叫作对数函数的底数． (2)两种特殊的对数函数：我们称以10为底的对数函数y ＝lg_x 为常用对数函数；称以无理数e 为底的对数函数y ＝ln_x 为自然对数函数．2．反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数． 3．函数y ＝log 2x 的图像和性质图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x ＝1，y ＝0 (4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 (5)单调性：在(0，＋∞)上是增函数[问题思考]1．函数y ＝log 3x (x >0)，y ＝log 12x (x >0)，y ＝2log 2x ，y ＝log 12x 2都是对数函数吗？为什么？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合y ＝log a x (a ＞0，a ≠1，x ＞0)形式的函数才是对数函数．因此y ＝log 3x (x ＞0)，y ＝log 12x (x ＞0)是对数函数，而y ＝2log 2x ，y＝log 12x2等都不是对数函数．2．函数y ＝log a x 2与y ＝2log a x (a ＞0且a ≠1)是同一个函数吗？为什么？提示：不是，因为定义域不同． 3．对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x有何关系？提示：(1)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称；(2)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的定义域与值域互换，即y ＝log 2x 的定义域(0，＋∞)是y ＝2x的值域，而y ＝log 2x 的值域R 恰好是y ＝2x 的定义域．(3)对数函数y ＝log 2x 与指数函数y ＝2x的单调性一致，即都是增函数．讲一讲1．求下列函数的定义域．(1)y ＝－log 2(1－x )；(2)y ＝lg(x －1)＋log (x ＋1)(16－4x)．[尝试解答] (1)要使函数有意义， 需有⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，－log 2(1－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，log 2(1－x )≤0，解得0≤x <1，所以函数的定义域为[0,1)．(2)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，16－4x>0，x ＋1>0，x ＋1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x <2，x >－1，x ≠0.∴1<x <2，故所求函数的定义域为(1,2)．求函数的定义域时，若遇到简单的对数不等式，可利用对数函数的单调性或结合函数的图像求解．注意保证真数有意义：如log 2x <1，有人常由此得到x <2，而忘记x >0.同时应保证底数大于0且不等于1.对于含有字母的函数求定义域时应注意分类讨论，切记不能将结果写成交或并的形式．练一练1．求下列函数的定义域． (1)y＝1－log 2x ；(2)y ＝lg(x ＋1)＋1log 2(－x )＋1.解：(1)要使函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1－log 2x ≥0，即0<x ≤2，∴所求函数的定义域为(0,2]． (2)要使函数有意义，需有：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，－x ＞0，log 2(－x )＋1≠0.即－1＜x ＜0且x ≠－12.∴所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.讲一讲2．写出下列函数的反函数． (1)y ＝log 0.13x ；(2)y ＝3.05x. [尝试解答] (1)y ＝log 0.13x 的反函数是y ＝0.13x .(2)y ＝3.05x的反函数是y ＝log 3.05x .函数y ＝log a x 的反函数是y ＝a x(a ＞0，a ≠1)；函数y ＝a x 的反函数是y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)．练一练2．写出下列函数的反函数．(1)y ＝lg x ；(2)y ＝ln x ；(3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.解：(1)y ＝lg x 的反函数为y ＝10x. (2)y ＝ln x 的反函数为y ＝e x. (3)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x的反函数为y ＝log 13x .讲一讲3．根据函数f (x )＝log 2x 的图像和性质解决以下问题．(1)若f (a )＞f (2)，求a 的取值范围；(2)y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最值．[尝试解答] 函数y ＝log 2x 的图像如图．(1)因为y ＝log 2x 是增函数， 若f (a )＞f (2)， 即log 2a ＞log 22， 则a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵2≤x ≤14， ∴3≤2x －1≤27，∴log 23≤log 2(2x －1)≤log 227. ∴函数y ＝log 2(2x －1)在x ∈[2,14]上的最小值为log 23，最大值为log 227.(1)研究函数y ＝log 2x 的性质，应让学生熟悉其图像，由图像可一览无余地发现其相应的性质．(2)函数y ＝log 2x 的图像和性质的应用，突出表现在可用来比较大小、解相关不等式、求最值等，尤其要注意单调性的应用．练一练3．(1)比较log 245与log 234的大小；(2)若log 2(2－x )＞0，求x 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝log 2x 在(0，＋∞)上为增函数，又∵45＞34，∴log 245＞log 234.(2)log 2(2－x )＞0即log 2(2－x )＞log 21，∵函数y ＝log 2x 为增函数，∴2－x ＞1，即x ＜1.∴x 的取值范围为(－∞，1)．当m 为何值时，关于x 的方程|log 2(x －1)|＝m 无解？有一解？有两解？[巧思] 将关于x 的方程解的问题转化为函数y ＝|log 2x －1|的图像与直线y ＝m 的交点个数问题，利用数形结合法求解．[妙解] 在同一坐标系，分别作出函数y ＝|log 2(x －1)|和y ＝m 的图像，如图所示．由图像得：当m <0时，方程无解，当m ＝0时，方程有一解，当m >0时，方程有两解．1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log a (2x ) B ．y ＝lg(10x) C ．y ＝log a (x 2＋x ) D ．y ＝ln x 解析：选D 形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数为对数函数，所以只有y ＝ln x 符合此形式．2．函数y ＝log 2x (1≤x ≤8)的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．(－∞，3]D ．[0,3]解析：选D ∵y ＝log 2x 在[1,8]上为增函数，∴log 21≤y ≤log 28，即y ∈[0,3]．3．图中所示图像对应的函数可能是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2x的反函数 C ．y ＝2－xD ．y ＝2－x 的反函数解析：选D 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图像以及与其反函数间的关系知，图中的图像对应的函数应为y ＝的图像．4．若函数f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数图像过点(2，－1)，则a 的值是________．解析：依题意，f (x )的图像过点 (－1,2)，∴a －1＝2，即a ＝12.答案：125．函数y ＝log 2(3x －1＋1)的定义域为________，值域为________．解析：由已知得x －1≥0，得x ≥1，故定义域为[1，＋∞)．又x －1≥0得3x －1≥30＝1，∴3x －1＋1≥2.∴y ＝log 2(3x －1＋1)≥log 22＝1.∴值域为[1，＋∞)．答案：[1，＋∞) [1，＋∞)6．已知对数函数f (x )＝log 2(x ＋3)－1. (1)求此对数函数的定义域；(2)若f (a )＞f (1)，求a 的取值范围． 解：(1)由题意知x ＋3＞0，即x ＞－3， ∴函数的定义域为(－3，＋∞)． (2)f (a )＝log 2(a ＋3)－1，f (1)＝log 2(1＋3)－1＝1，∵f (x )为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0log 2(a ＋3)－1＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＞0a ＋3＞4∴a ＞1.即a 的取值范围是(1，＋∞)．一、选择题1．(重庆高考)函数y ＝lg(x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1，x ≠1，故选C.2．函数y ＝log 2|x |的图像大致是( )解析：选Ay ＝log 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)，log 2(－x ) (x <0)，分别作图知A 正确．3．已知函数y ＝log 2x ，其反函数y ＝g (x )，则g (x －1)的图像是( )解析：选C 由已知g (x )＝2x，∴g (x －1)＝2x －1，故选C.4．设f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x ，则当x <0时，f (x )等于( )A ．－log 2xB ．log 2(－x )C ．log x 2D ．－log 2(－x ) 解析：选 D ∵x <0，∴－x >0，∴f (－x )＝log 2(－x )．又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－log 2(－x )． 二、填空题5．集合A ＝{y |y ＝log 2x ，x ＞1}，B ＝yy＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＞1，则(∁R A )∩B ＝________. 解析：∵x ＞1，∴log 2x ＞log 21＝0，∴A＝{y |y ＞0}．而当x ＞1时，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫121，∴B ＝y 0＜y ＜12.∴(∁R A )∩B ＝{y |y ≤0}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫y 0＜y ＜12＝∅.答案：∅6．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图像经过点(a ，a )，则f (x )＝________.解析：∵y ＝f (x )的图像过点(a ，a )， ∴其反函数y ＝a x的图像过点(a ，a )，∴a a＝a ＝，∴a ＝12，∴f (x )＝.答案：7．若log 2a ＜log 2b ＜0，则a ，b,1的大小关系是________．解析：log 2a ＜log 2b ＜0⇔log 2a ＜log 2b ＜log 21，∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，∴a ＜b ＜1.答案：a ＜b ＜18．函数f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ](a >0)上的最大值与最小值之差为________．解析：∵f (x )＝log 2x 在区间[a,2a ]上是增函数，∴f (x )max －f (x )min ＝f (2a )－f (a )＝log 22a －log 2a ＝log 22＝1.答案：1 三、解答题9．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg(x ＋1)＋2x 2－x；(2)y ＝log (x －2)(5－x )．解：(1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，∴函数的定义域为(－1,2)．(2)要使函数有意义．需⎩⎪⎨⎪⎧ 5－x >0，x －2>0，x －2≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x <5，x >2，x ≠3.∴定义域为(2,3)∪(3,5)．10．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，g (x )＝log 2(1－x )．(1)若函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围；(3)判断函数F (x )＝f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)由题意知，3≤x ≤63，∴4≤x ＋1≤64，∵函数y ＝log 2x 是增函数，∴log 24≤log 2(x ＋1)≤log 264，∴2≤f (x )≤6，∴f (x )的最大值为6，最小值为2. (2)f (x )－g (x )＞0⇔f (x )＞g (x )， 即log 2(x ＋1)＞log 2(1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，得：0＜x ＜1，∴x 的取值范围为(0,1)．(3)要使函数F (x )＝f (x )＋g (x )有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞0，1－x ＞0，即－1＜x ＜1，∴定义域为(－1,1) 又F (－x )＝f (－x )＋g (－x ) ＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)＝f (x )＋g (x )＝F (x )， ∴F (x )为偶函数．第2课时 对数函数的图像和性质[核心必知]对数函数的图像和性质底数a ＞1 0＜a ＜1图 像性质定义域 (0，＋∞) 值域(－∞，＋∞)过定点恒过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0有界性当x ＞1时，y >0；当0＜x ＜1时，y <0当x ＞1时，y <0； 当0＜x ＜1时，y >0 单调性在定义域内是增函数在定义域内是减函数[问题思考]对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的底数变化对图像位置有何影响？提示：在同一坐标系中作出对数函数y ＝log 2x ，y ＝log 5x ，y ＝log 12x ，y ＝log 15x 的图像如图所示：观察这些图像，可得如下规律： (1)上下比较：在直线x ＝1的右侧，a ＞1时，a 越大，图像越靠近x 轴，0＜a ＜1时，a 越小，图像越靠近x 轴．(2)左右比较(比较图像与y ＝1的交点)：交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．讲一讲1．比较大小(1)log23.4，log28.5;(2)log0.31.8，log0.32.7；(3)log67，log76;(4)log3π，log20.8；(5)log712，log812.[尝试解答] (1)考察对数函数y＝log2x，∵2＞1，∴它在(0，＋∞)上是增函数．∴log23.4＜log28.5.(2)考察对数函数y＝log0.3x，∵0＜0.3＜1，∴它在(0，＋∞)上是减函数，∴log0.31.8＞log0.32.7.(3)∵log67＞log66＝1，log76＜log77＝1，∴log67＞log76.(4)∵log3π＞log31＝0，log20.8＜log21＝0，∴log3π＞log20.8.(5)法一：在同一坐标系中作出函数y＝log7x与y＝log8x的图像，由底数变化对图像位置的影响知：log7 12＞log8 12.法二：log7 12log 8 12＝lg 12lg 7lg 12lg 8＝lg 8lg 7＝log78＞1.∵log812＞0，∴log712＞log812.比较对数值大小的类型及相应方法：[注意] 当底数为字母时要分类讨论．练一练1．比较下列各组中两个值的大小 (1)ln 0.3，ln 2； (2)log 23，log 0.32； (3)log a π，log a 3.141；解：(1)(单调性法)因为y ＝ln x 在(0， ＋∞)上是增函数，所以ln 0.3＜ln 2.(2)(中间量法)因为log 23＞log 21＝0，log 0.32＜0，所以log 23＞log 0.32.(3)(分类讨论)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在定义域上是增函数，则有log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在定义域上是减函数，则有log a π＜log a 3.141.综上所得，当a ＞1时，log a π＞log a 3.141；当0＜a ＜1时，log a π＜log a 3.141. (4)(图像法)借助y ＝log 14x 及y ＝log 15x的图像，如图，在(1，＋∞)上，y ＝log 14x的图像在y ＝log 15x 图像的下方，∴log 143＜log 153.讲一讲2．画出下列函数的图像，并根据图像写出函数的定义域与值域以及单调区间：(1)y ＝log 3(x －2)； (2)y ＝|log 12x |.[尝试解答] (1)函数y ＝log 3(x －2)的图像可看作把函数y ＝log 3x 的图像向右平移2个单位得到的，如图①.其定义域为(2，＋∞)，值域为R ，在区间(2，＋∞)上是增加的；(2)y＝|log12x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，0＜x ≤1，log 2x ，x ＞1，其图像如图②.其定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，在(0,1]上是减少的，在[1，＋∞)上是增加的．把例2(2)变为y ＝，画出其图像，并根据图像写出定义域，判断奇偶性及单调性．解：y ＝＝其图像如图所示．其定义域为{x |x ≠0}，为偶函数． 在(－∞，0)为增加的，在(0，＋∞)上为减少的．(1)与对数函数有关的一些对数型函数，如y ＝log a x ＋k ，y ＝log a |x |，y ＝|log a x ＋k |等，其图像可由y ＝log a x 的图像，通过平移，对称或翻折变换而得到．(2)对能画出图像的对数型函数性质及对数型方程解的研究，常先画出图像，再利用数形结合法求解．练一练2．已知函数f (x )＝|log 2(x ＋1)|. (1)画出其图像，并写出函数的值域及单调区间；(2)若方程f (x )＝k 有两解，求实数k 的取值范围．解：(1)函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像如图．由图像知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是[0，＋∞)．(2)由(1)的图像知，k ＞0即可．讲一讲3．已知f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1.(1)求函数f (x )－g (x )的定义域； (2)判断函数f (x )－g (x )的奇偶性，并予以证明；(3)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．[尝试解答] (1)要使函数f (x )－g (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞01－x ＞0，解得－1＜x ＜1，所以f (x )－g (x )的定义域为(－1,1)． (2)任取x ∈(－1,1)，则－x ∈(－1,1)f (－x )－g (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x )＝－[f (x )－g (x )]，所以f (x )－g (x )在(－1,1)上是奇函数． (3)由f (x )－g (x )＞0得log a (1＋x )＞log a (1－x )，①当a ＞1时，则①可化为⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＞1－x－1＜x ＜1，解得0＜x ＜1；当0＜a ＜1时，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x－1＜x ＜1，解得－1＜x ＜0.所以当a ＞1时，x 的取值范围是(0,1)， 当0＜a ＜1时，x 的取值范围是(－1,0)．(1)判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称．而对于类似于f (x )＝log a g (x )的函数，利用f (－x )±f (x )＝0来判断奇偶性更简捷．(2)判断函数的单调性有两种思路，①利用定义；②利用图像．练一练3．已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)讨论f (x )的单调性．解：(1)要使函数f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1)有意义，则a x－1＞0.当a ＞1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＞0，故函数的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a ＜1时，由a x－1＞0得a x＞1，即x ＜0，故函数的定义域为(－∞，0)． (2)当a ＞1时， 设0<x 1<x 2，则∴f (x 1)－f (x 2)＝＝，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数．同理可证，当0＜a ＜1时，f (x )在(－∞，0)上也是增函数．设函数y ＝f (x )，且log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，求f (x )的值域．[错解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )，∴y ＝23x (3－x )．∵3x (3－x )＝－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274≤274， ∴函数的值域为(－∞，2274]．[错因] 产生错解的原因在于未掌握对数函数、指数函数需满足真数大于0，a x＞0(a ＞0，且a ≠1)．此题因在未确定定义域前求值域，从而把值域扩大了．[正解] 由log 2(log 2y )＝log 23x ＋log 2(3－x )，得log 2y ＝3x (3－x )， ∴y ＝23x (3－x )，且⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，3－x ＞0，log 2y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜3，y ＞1.而－3x 2＋9x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋274.∵0＜x ＜3，∴0＜－3x 2＋9x ≤274，.1．已知函数f (x )＝log (a ＋1)x 是(0，＋∞)上的增函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,0) D ．(0，＋∞)解析：选D 由题意得a ＋1>1，解得a >0. 2．函数y ＝1＋log 3x 的图像一定经过点( ) A ．(1,0) B ．(0,1) C ．(2,0) D ．(1,1)解析：选D ∵y ＝log 3x 一定过定点(1,0)．∴y ＝1＋log 3x 的图像一定过点(1,1)． 3．(天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a解析：选A a ＝21.2>2，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8＝20.8，所以1<b <2，c ＝2log 52＝log 54<1，所以c <b <a .4．函数y ＝lg(4－x )x －3的定义域是________．解析：要使该函数有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－x >0，x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <4，x ≠3.∴x ∈(－∞，3)∪(3,4)． 答案：(－∞，3)∪(3,4)5．已知0＜a ＜1,0＜b ＜1，如果a log b (x －3)＜1，那么x 的取值范围为________． 解析：a log b (x －3)＜1即a log b (x －3)＜a 0. ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x在(－∞，＋∞)上是减函数， ∴log b (x －3)＞0， 又∵0＜b ＜1，∴y ＝log b x 在(0，＋∞)上是减函数， ∴0＜x －3＜1，解得3＜x ＜4.答案：(3,4)6．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤1，log 3x 3·log 3x9，x >1.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值． 解：(1)∵log 232<log 22＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12，即f (x )min ＝12.当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)， 令log 3x ＝t ，则t >0，∴f (x )＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14.∵t >0，∴当t ＝32时，f (x )min ＝－14<12.∴f (x )的最小值是－14.一、选择题1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A a ＝log 3π＞log 33＝1，log 71＜b ＝log 76＜log 77， ∴0＜b ＜1，c ＝log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c .2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图像大致是( )解析：选A 依题意，得f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，即函数f (x )的图象关于y 轴对称，故排除C.因为函数f (x )过定点(0,0)，排除B ，D ，应选A.3．函数y ＝log a (x －3)＋2的图像恒过定点( ) A ．(3,0) B ．(3,2) C ．(4,0) D ．(4,2)解析：选D 令x ＝4，则y ＝log a (4－3)＋2＝2， ∴函数的图像恒过定点(4,2)． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(－x )，x ＜0，log 12x ， x ＞0，若f (m )＜f (－m )，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析：选C 当m ＞0时，－m ＜ 0，f (m )＜f (－m )⇒log 12m ＜log 2m ⇒log 21m ＜log 2m ⇒1m ＜m ，可得m ＞1；当m ＜0时，－m ＞0，f (m )＜f (－m )⇒log 2(－m )＜log 12(－m )⇒log 2(－m )＜log 2(－1m )⇒－m ＜－1m，可得－1＜m ＜0.故m 的取值范围是－1＜m ＜0或m ＞1. 二、填空题5．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是________．解析：由题意知－1≤2log 12x ≤1，即－1≤－2log 2x ≤1.∴－12≤log 2x ≤12，即log 222≤log 2x ≤log 22， ∴22≤x ≤ 2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，2 6．已知f (x )＝|lg x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，f (2)的大小关系为________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝lg 14＝－lg 4＝lg 4， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝lg 13＝－lg 3＝lg 3，f (2)＝|lg 2|＝lg 2，∴f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14.答案：f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 7．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |＝|log 13x |的根的个数为________．解析：同一坐标系中作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |与y ＝|log 13x |的图像，可知有两个交点，故有两解．答案：28．已知函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有以下命题：(1)h (x )的图像关于原点(0,0)对称； (2)h (x )的图像关于y 轴对称； (3)h (x )的最小值为0；(4)h (x )在区间(－1,0)上单调递增．其中正确的是________．解析：∵函数f (x )的图像与函数g (x )＝3x的图像关于直线y ＝x 对称，∴f (x )与g (x )互为反函数，∴f (x )＝log 3x ；∴h (x )＝f (1－|x |)＝log 3(1－|x |)． 由1－|x |＞0得－1＜x ＜1. ∵h (x )的定义域关于原点对称，且h (－x )＝log 3(1－|－x |)＝log 3(1－|x |)＝h (x )． ∴h (x )是偶函数，其图像关于y 轴对称，(2)正确； 又当x ∈(－1,0)时，h (x )＝log 3(1＋x )， 显然h (x )在(－1,0)上是递增的，∴(4)正确；利用特殊点验证可知，(1)不正确；由于h (x )在(－1,0)上单调递增，且h (x )为偶函数， ∴h (x )在[0,1)上单调递减，∴h (x )在(－1,1)上有最大值，h (0)＝log 31＝0，无最小值，故(3)不正确． 答案：(2)(4) 三、解答题9．(1)已知函数f (x )＝log 3(3x＋1)＋12ax 是偶函数，求a 的值；(2)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a ＞0且a ≠1)． ①求函数的定义域和值域；②若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值． 解：(1)函数的定义域是R ，由于f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即对任意x ∈R ，总有log 3(3－x ＋1)－12ax ＝log 3(3x＋1)＋12ax ，∴log 3(3－x＋1)－log 3(3x＋1)＝ax ，即(a ＋1)x ＝0，由于x 是任意实数，∴a ＝－1.(2)①由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0得－3＜x ＜1.∴函数的定义域为{x |－3＜x ＜1}．f (x )＝log a (1－x )(x ＋3)．设t ＝(1－x )(x ＋3)＝4－(x ＋1)2， ∴t ≤4，又t ＞0，则0＜t ≤4.当a ＞1时，y ≤log a 4，值域为(－∞，log a 4]． 当0＜a ＜1时，y ≥log a 4，值域为[log a 4，＋∞)； ②由题意及①知，当0＜a ＜1时，函数有最小值． ∴log a 4＝－2.∴a ＝12.10．设函数f (x )＝x 2－x ＋b ，且满足f (log 2a )＝b ，log 2[f (a )]＝2(a >0，a ≠1)，求f (log 2x )的最小值及对应的x 值．解：由f (log 2a )＝b 可得，(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， ∴log 2a ＝1或log 2a ＝0.∴a ＝2或a ＝1(舍去)． 又∵log 2[f (a )]＝2，即log 2(2＋b )＝2， ∴2＋b ＝4，b ＝2.∴f (x )＝x 2－x ＋2. ∴f (log 2x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.∴当log 2x ＝12，即x ＝2时，y min ＝74.。
北师大版数学必修1《3.5.1对数函数的概念》教学设计
§5.1 对数函数的概念----教学设计教材分析函数是高中数学中的重点内容，函数的思想贯穿于整个高中数学之中．对数函数作为基本初等函数之一，在高中数学中有着重要的地位和作用．本节课是在“函数的概念、函数的单调性、二次函数性质的再研究、简单的幂函数、指数函数”的基础上，学习对数函数的，因此它是“函数的概念、图象和性质”的巩固与深化，也为今后进一步学习“三角函数、等比数列等”内容打下坚实的基础．教学目标1．知识目标①理解对数函数的概念；②理解对数函数与指数函数互为反函数的关系．2.能力目标①注重思考方法的渗透，培养学生由已知探求未知的能力；②通过实例培养学生抽象概括、类比联想能力．3.情感目标通过对《对数函数的概念》的教学，引导学生从现实生活的经历与体验出发，激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能与价值，形成主动学习的态度．教学重点与难点教学重点：对数函数的概念．教学难点：理解对数函数与指数函数互为反函数的关系．教学方法与手段教学方法：启发引导．教学手段：多媒体辅助教学．教学过程一﹑创设情境问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，依此类推，当细胞个数为x时，细胞分裂次数y与x之间的关系式是什么？y是关于x的函数吗？(多媒体展示)学生思考后回答：2yx =⇔y 是关于x 的函数，因为对于每一个细胞x ，通过关系式，都有唯一确定的细胞分裂次数y 与之对应．问题2：《庄子-天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，试问当木棰剩余部分长度为x 时，被截取的次数y 与x 之间的关系式是什么？(多媒体展示)学生思考后回答：x y x y21log )21(=⇔=，y 是关于x 的函数，因为对于木棰被截取后不同的剩余部分的长度x ，通过关系式，都有唯一确定的木棰被截取的次数y 与之对应．引导学生归纳:同理，对于每一个对数式x y a log =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一确定的值与之对应，所以log a y x =是关于x 的函数．二﹑形成概念1.对数函数（学生归纳对数函数的定义）一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。
数学：3.5.2对数函数 教案 (北师大必修1)
3.5.2对数函数一．教学目标：1．知识技能：①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题.2．过程与方法：让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质.3．情感、态度与价值观：①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力；②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教法1．学法：通过让学生观察、思考、交流、发现函数的性质；2．教法：探究交流，讲练结合。
三．教学重难点：1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a对图象的影响及对数函数性质的作用.四．教学过程（一）、复习对数函数的概念、图象与性质图 象性质 （1）定义域（0，+∞）；（2）值域R ； （3）过点（1，0），即当x =1，y =0；（4）在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）是上减函数（二）例题探析（Ⅰ）求函数的定义域 1、已知函数)23lg()(2+-=x x x f 的定义域是F,函数)2lg()1lg()(-+-=x x x g 的定义域是N, 确定集合F 、N 的关系？2、求下列函数的定义域：（1）3)1log(1)(-+=x x f （2）2312log )(--=x x x f（Ⅱ）求函数的值域1、]2,1[log )(2∈=x xx f ； 2、]2,1[log )(∈=x xx f a ； 3、2log )(22+=x x f 4、求函数（1）)2(log )(22+=x x f （2）21log )(22+=x x f 的值域 （Ⅲ）函数图象的应用 x y a log = x y b log = x y c log =的图象如图所示，那么a,b,c 的大小关系是2.已知0)3(log )3(log <-<-=ππn m y ，m,n 为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（ ）（A ）1<m<n (B)m<n<1 (C)1<m<n (D)n<m<12．画出下列函数的图象：（1）|lg |x y = （2）||lg x y = （Ⅳ）函数的单调性1、 求函数)2(log 22x x y +=的单调递增区间。
北师大版高中数学高一3.5.3对数函数的图像和性质
梳理 一般地，对于底数a>1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数 越大越靠近x轴；对于底数0<a<1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底 数越小越靠近x轴.
[思考辨析 判断正误] 1.y＝log2x2在[0，＋∞)上为增函数.( × )
2. y log1 x2 在(0，＋∞)上为增函数.( × )
知识点二 对数不等式的解法
思考 log2x<log23等价于x<3吗？ 答案 不等价.log2x<log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0， ∴log2x<log23⇔0<x<3.
梳理 一般地，对数不等式的常见类型：
fx＞0可省略， 当 a＞1 时，logaf(x)＞logag(x)⇔gx＞0，
2
解答
命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围 例 2 已知函数y log1 (x2 ax a) 在区间(－∞， 2)上是增函数，求实
2
数 a 的取值范围.
解答
反思与感悟 若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同， 若0<a<1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相反.另外应注意单 调区间必须包含于原函数的定义域.
∴11－－a42xx22＝1，即 1－a2x2＝1－4x2 对定义域内任意 x 恒成立，∴a2＝4.
又a≠2，∴a＝－2.
12345
解析 答案
5.函数f(x)＝ln x2的减区间为__(－__∞__，__0_)___.
12345
答案
1.判断函数奇偶性的三个步骤
规律与方法
(1)一看：定义域是否关于原点对称.
函数分解为基本初等函数，利用“同增异减”的规律判断单调性.
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3.5.3对数函数
一．教学目标：
1．知识与技能：了解反函数的概念，加深对函数思想的理解.
2．过程与方法：学生通过观察和类比函数图象，体会两种函数的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观：（1）体会指数函数与指数；（2）进一步领悟数形结合的思想. 二．重点、难点：
重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反函数概念的理解 三．学法与教法：
学法：通过图象，理解对数函数与指数函数的关系. 教法：探究交流，讲练结合。
四．教学过程： （一）、复习 1、函数的概念
2、用列表描点法在同一个直角坐标点中画出22log x
y y x ==与的函数图象.`
（二）、新知探究
2x y =
2log y x =
图象如下：
探究：在指数函数中，为自变量，y 为因变量，如果把y 当成自变量，x 当成因变量，那么x 是y 的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
引导学生通过观察、类比、思考与交流，得出结论.
在指数函数2x y =中，x 是自变量， y 是x 的函数（,x R y R +
∈∈），而且其在R 上是单调递增函数. 过y 轴正半轴上任意一点作x 轴的平行线，与2x
y =的图象有且只有一个交
点.由指数式与对数式关系，22log x
y x y ==得，即对于每一个y ，在关系式2log x y =的
作用之下，都有唯一的确定的值x 和它对应，所以，可以把y 作为自变量，x 作为y 的函数，
我们说2log 2()x
x y y x R ==∈是的反函数.
从我们的列表中知道，22log x
y x y ==与是同一个函数图象.
（三）、引出反函数的概念（只让学生理解，加宽学生视野）
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数为反函数. 由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.
如3log 3x
x y y ==是的反函数，但习惯上，通常以x 表示自变量，y 表示函数，对调3log x y
=中的3,log x y y x =写成，这样3log (0,)y x
x =∈+∞是指数函数3()x y x R =∈的反函数.
以后，我们所说的反函数是,x y 对调后的函数，如2()x
y x R =∈的反函数是
2log (0,)y x
x =∈+∞.
同理，(1x
y a a =≠且a ＞1）的反函数是log (a y x a =＞0且1)a ≠. （四）、课堂练习：求下列函数的反函数
（1）5x
y = （2）0.5log y x =
2x
（五）、归纳小结：1. 今天我们主要学习了什么？ 2．你怎样理解反函数？ （六）、课后思考：（供学有余力的学生练习）
我们知道(x
y a a =＞01)a ≠且与对数函数(a y x a =log ＞0且1)a ≠互为反函数，探索下列问题.
1．在同一平面直角坐标系中，画出2log x
y y x ==2与的图象，你能发现这两个函数有什
么样的对称性吗？
2．取2x
y =图象上的几个点，写出它们关于直线y x =的对称点坐标，并判断它们 是否在2log y x =的图象上吗？为什么？
3．由上述探究你能得出什么结论，此结论对于log (x
a y a y x
a ==与＞01)a ≠且成立
吗？
五、教后反思：。