山西省山大附中2013届高三数学5月月考试题 理 新人教A版 2

山西大学附中2012-2013学年高三(5月)月考数学（理科）试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设集合2{40}A x x =->，124x B x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭＜，则A B = （ ）A ．{}2x x > B. {}2x x <- C. {}22或x x x <-> D. 12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭2.如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b ＝（ ）(A)2(B)32(C)32-(D)23．程序框图如下：如果上述程序运行的结果S 的值比2013小，若使输出的S 最大，那么判断框中应填入（ ）A ．10k ≤B ．10k ≥C ．9k ≤D ．9k ≥4．右图为一个空间几何体的三视图，其中俯视图是下边一个等边三角形，其内切圆的半径是1，正视图和侧视图是上边两个图形，数据如图，则此几何体的体积是（ ）A ．3πB ．23πC ．3πD ．43π 5．从集合{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}----中选出5个数组成子集，使得这5个数中的任意两数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为（ ）A ．5126B ．55126 C.55163 D ．8636．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F的直线与圆222x y b +=相切于点A ，并与椭圆C 交与不同的两点P ，Q ，如图，若A 为线段2PF 的中点，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 7. 将数(4)30012转化为十进制数为：（ ）A. 524B. 774C. 256D. 2608.设不等式组 1230x x y y x ≥,⎧⎪-+≥,⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线0943=--y x 对称.对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B,AB 的最小值等于( )A.285B.4C.125D.29．函数2ln 2(0),()21(0),x x x x f x x x ⎧-+>=⎨+≤⎩的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知函数()|sin |(0)f x x y kx k ==>的图象与直线有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为α，则α等于（ ）A ．cos α-B ．αsin -C ．αtan -D ．αtan11．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知310061006(1)2013(1)1,a a -+-=310081008(1)2013(1)1,a a -+-=-则（ ）A.2013100810062013,S a a =>B.2013100810062013,S a a =<C.2013100810062013,S a a =->D.2013100810062013,S a a =-< 12．已知函数2222012()ln,(),201320132013ex e e ef x a b a b e x =++- 若f()+f()++f()=503则的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．9D ．12二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 已知53)4sin(=-x π，则x 2sin =________．14．如图，在圆O 中，O 为圆心，AB 为圆的一条弦，4=AB ，则=⋅AB AO ．15. 已知1F 、2F 为双曲线C :221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，21PF F ∠=060，则=⋅|PF ||PF |21_______________16．在直线2-=y 上任取一点Q ，过Q 作抛物线y x 42=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过的点是 三、解答题：17．（本小题满分12分）ABO14图在成且已知的对边分别为角中c b a B c b a C B A ABC ,,,135sin ,,,,,,=∆等比数列． （1）求CA tan 1tan 1+的值； （2）若c a B ac +=求,12cos 的值． 18.（本小题满分12分）某市文化馆在春节期间举行高中生“蓝天海洋杯”象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为23，且各局比赛胜负互不影响. （Ⅰ）求比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分的概率；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．19. (本小题满分12分）如图，正三棱柱ABC -111C B A 的所有棱长都为2，)(1R CC CD ∈=λλ20.(本小题满分12分）设点(,)P x y 到直线2x =的距离与它到定点(1,0)并记点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程;（Ⅱ）设(2,0)M -，过点M 的直线l 与曲线C 相交于,E F 两点，当线段EF 的中点落在由四点1212(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)C C B B --构成的四边形内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围． 21．（本小题满分12分） 已知函数1)(2++=x bax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：222ln ln b a aa b a b +>--.请考生在第22、23题中任选一题作答。

若多做，则按所做的第一题计分。

22. 已知直线1C ⎩⎨⎧=+=a t y a t x sin cos 1’（t 为参数），曲线2C ⎩⎨⎧==θθsin cos y x (θ为参数).(II)过坐标原点O 作1C 的垂线,垂足为A ,P 为OA 中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.(II)在（I)的条件下,若m x f x f ≥++)5()(对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.山西大学附中 2012-2013学年高三(5月)月考数学（理科）答案 1~6 BCCBDC 7~12 BBDDBB 13.25714. 8 15. 4 16. （0，2） 17. （1）依题意，ac b =2由正弦定理及.16925sin sin sin ,135sin 2===B C A B 得 -------------------3分.51325169135sin sin sin sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1=⨯==+=+=+C A B C A C A C C A A C A --6分 （2）由.0cos 12cos >=B B ac 知由.1312cos ,135sin ±==B B 得（舍去负值）-------------------------------8分 从而，.13cos 122===Bac b --------------------------------------------9分 由余弦定理，得.cos 22)(22B ac ac c a b --+=代入数值，得).13121(132)(132+⨯⨯-+=c a解得：.73=+c a -----------------------------------------12分18解（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为21133-=.…………1分 比赛进行4局结束，且乙比甲多得2分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则12212114333381P C =⋅⋅⋅=. …………4分（Ⅱ）由题意知，ξ的取值为2,4,6. ………5分 则22215(2)()()339P ξ==+=…………6分12122212212120(4)()()33333381P C C ξ==+= …………7分1221216(6)()3381P C ξ=== …………9分所以随机变量ξ的分布列为ξ2 4 6P59 2081 1681………10分则520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=…………12 19.解：（Ⅰ）取BC 的中点为O ，连结AO在正三棱柱111ABC A B C -中面ABC ⊥面1CB ，ABC ∆为正三角形，所以AO BC ⊥， 故AO ⊥平面1CB ．以O 为坐标原点建立如图空间直角坐标系O xyz -，――――2分则A ，1(1,2,0)B ，(1,1,0)D -，1A ，(1,0,0)B ．所以1(1,3)AB =，1(1,1DA = ，(2,1,0)DB =-，因为1111230,220AB DA AB DB ⋅=+-=⋅=-=，所以111,AB DA AB DB ⊥⊥，又1DA DB D = ，所以1AB ⊥平面1A BD ． ――――－6分（Ⅱ）由⑴得(1,2,0)D λ-，所以1(1,223)DA λ=- ，(2,2,0)DB λ=-，(1,2DA λ=-，设平面1A BD 的法向量1(,,)n x y z = ，平面1AA D 的法向量2(,,)n s t u =，由1110,0,n DA n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得平面1A BD的一个法向量为1(n λ= ， 同理可得平面1AA D的一个法向量21)n =-，由1212121cos ,2||||n n n n n n ⋅<>==⋅，解得14λ=，为所求．――――12分 20.解:= ………………2分整理得2212x y +=，所以曲线C 的方程为2212x y +=………………4分 （Ⅱ）显然直线l 的斜率k 存在，所以可设直线l 的方程为(2)y k x =+. 设点,E F 的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 线段EF 的中点为G 00(,)x y ，由22(2)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(12)8820k x k x k +++-=由2222(8)4(12)(82)0k k k ∆=-+->解得k <<．…(1) …………7分 由韦达定理得2122812k x x k-+=+，于是 1202x x x +==22412k k-+，0022(2)12k y k x k =+=+ ……………8分因为2024012k x k =-≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线1211,C B C B ,方程分别为1,1y x y x =+=-- 所以点G 在正方形内（包括边界）的充要条件为000011y x y x ≤+⎧⎨≥--⎩ 即22222224112122411212k k k k k k k k ⎧-≤+⎪⎪++⎨⎪≥-⎪++⎩ 亦即222210,2210.k k k k ⎧+-≤⎪⎨--≤⎪⎩ ………………10分解得k ≤≤，……………(2) 由（1）（2）知，直线l斜率的取值范围是11[,].22-………………12分 21.解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ∴211)1(-=+-=-ab f ，化简得4-=-a b …………………………………………2分222)1(2)()1()(x xb ax x a x f +⋅+-+=' 12424)(22)1(-===-+=-'bb a b a f解得：2,2-==b a . ∴122)(2+-=x x x f . …………………………………………4分（Ⅱ）由已知得122ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立 化简22ln )1(2-≥+x x x即022ln ln 2≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立 设22ln ln )(2+-+=x x x x x h ，21ln 2)(-++='xx x x x h …………………………………………6分∵1≥x ∴21,0ln 2≥+≥xx x x ，即0)(≥'x h ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 …………………………………………8分 （Ⅲ）∵b a <<0 ∴1ba>， 由（Ⅱ）知有222ln ()1b baa a->+， …………………………………………10分 整理得222ln ln b a aa b a b +>--∴当b a <<0时，222ln ln ba aa b a b +>--. …………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）当3π=a 时，C 1的普通方程为)1(3-=x y ，C 2的普通方程为122=+y x ，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=1)1(322y x x y ，解得C 1与C 2的交点坐标为（1，0），)23,21(-．――――5分 （Ⅱ）C 1的普通方程为0sin cos sin =--αααy x ，A 点坐标为)cos sin ,(sin 2ααα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为21sin ,21sin cos ,2x y ααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（α为参数）P 点轨迹的普通方程为161)41(22=+-y x ． 故P 点轨迹是圆心为)0,41(，半径为41的圆．――――10 23．解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33+≤≤-x x a ．又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得2=a .――――4分（Ⅱ）当2a =时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ， 于是⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,3,12|3||2|)(x x x x x x x x g ――――6分所以当3-<x 时，5)(>x g ；当23≤≤-x 时，5)(=x g ； 当2x >时，5)(>x g ．综上可得，()g x 的最小值为5．――――9分从而若m x f x f ≥++)5()(，即m x g ≥)(对一切实数x 恒成立， 则m 的取值范围为（-∞，5]．――――10分。