平行四边形的判定(一)]

18.2 平行四边形的判定
第1课时平行四边形的判定（1）
【知识与技能】
理解并掌握两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形【过程与方法】
探索平行四边形的判定：两组对边分别相等、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【情感态度】
能用平行四边形的判定和性质来解决问题
【教学重点】
平行四边形的判定方法及应用
【教学难点】
平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用
一、情境导入,初步认识
1.什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？（学生口答，教师板书）
2.将以上的性质定理，分别用命题形式叙述出来.（如果……那么……）
根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其它性质，那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢？除了定义还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？
【教学说明】引出课题，为本节课的学习做准备.
二、思考探究，获取新知
探究1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质“平行四边形的两组对边分别相等”.逆向思考，互换题设与结论，可以得到：“两组对边分别相等的四边形是平行四边形．”你认为这个猜想成立吗？
如图，作一个两组对边分别相等的四边形．
把你作的四边形和其他同学作的进行比较，看看是否都是平行四边形．由此可以得到判定平行四边形的一种方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．你能证明这个结论吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC，AB=DC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，现在只有平行四边形的定义这一种方法，即须证AB∥DC，AD∥BC，因此需要连结对角线构造内错角．证明：连结AC，
∵AD=BC，AB=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的性质），
∴AB∥CD，AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．【归纳结论】两组对边分别相等的四边形是平行四边形
探究2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
由平行四边形的性质，得到的另一个猜想是：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”
如图，试作一个有一组对边平行且相等的四边形．
我们发现这样作出的四边形也是一个平行四边形．下面用逻辑推理的方法证明这个猜想．
已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB=CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可以用平行四边形的定义，也可以用前面得到的平行四边形的判定方法．
证明：连结对角线AC，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA，
∴BC=AD（全等三角形的性质），
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．【归纳结论】由此我们得到平行四边形的另一种判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．“平行且相等”常用符号“”来表示．如课本P84图18.2.5，AB=CD且AB∥CD，可以记作“AB CD”，读作“AB平行且等于CD”．
【教学说明】学生经历先画图，再证明过程，从而对平行四边形的判定定理的理解更透彻.
三、运用新知，深化理解
1.如图所示，DB∥AC，且DB=1
2
AC，E是AC的中点，求证：BC=DE．
证明：∵E是AC的中点，
∴EC=1
2 AC，
又∵DB=1
2 AC，
∴DB=EC．
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC=DE．
2.如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
求证：AE与DF互相平分．
证明：∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE=AF，
同理：EF=AD，
∴四边形ADEF为平行四边形．故AE与DF互相平分．
3.如图，已知，□ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．
求证：四边形MFNE是平行四边形．
证明：由平行四边形可知，AD=CB，∠DAE=∠FCB，
又∵AE=CF，∴△DAE≌△BCF，
∴DE=BF，∠AED=∠CFB
又∵M、N分别是DE、BF的中点，∴ME=NF
又由AB∥DC，得∠AED=∠EDC
∴∠EDC=∠BFC，∴ME∥NF
∴四边形MFNE为平行四边形．
4.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．
证明：（1）∵BF=DE，
∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
∵AB=CD，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴∠ABE=∠CDF，
∴AB∥CD，∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO．
5.在□ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，AD=CB，∠DAB=∠BCD．
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE=BF，AE=CF．∠DAE=∠BCF=60°．
∵∠DCF=∠BCD-∠BCF，∠BAE=∠DAB-∠DAE，
∴∠DCF=∠BAE．
∴△DCF≌△BAE．
∴DF=BE．
∴四边形BEDF是平行四边形．
四、师生互动，课堂小结
本节课我们学习了平行四边形的哪些判定定理？
1.布置作业:教材P85“练习”.
2.完成本课时对应练习.
本节课学生通过学习，掌握平行四边形的识别条件，主要是关于平行四边形的边的判定定理.而这些判定定理，是由逆命题猜想、操作验证、逻辑论证的方法得出的.从中学生体验和经历数学探究过程，学会数学思维方法.。