判定平行四边形的五种方法77503
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1 ）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行 且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边 形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1,已知△ ABC 是等边三角形， D E 分别在边BG AC 上，且CD=CE 连结DE 并延长至点F ,使EF=AE 连结AF 、BE 和CF（1）请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； ⑵ 判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△ BDE^A FEC证明：•••△ ABC 是等边三角形，••• BC=AC Z ACD=60•••CD=CEBD=AE A EDC 是等边三角形 • DE=EC Z CDE M DEC=60•••/ BDE M FEC=120又••• EF=AE • BD=FE ・」BDE^A FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ ABC △ EDC △ AEF 都是等边三角形•••/ CDE M ABC M EFA=60• AB// DF, BD// AF•••四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形 ABCD 中, G 是CD 上一点，延长 BC 到E ,使CE=CG 连结BG 并延长交 DE（1）求证：△ BCG^ DCE（2）将厶DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△ DAE ，判断四边形 E' BGD 是什么特殊四边形？并说明 理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有 AB// DC 又通过旋转 CE=AE 已知CE=CG 所以E' A=CGAD C这样就有BE' =GD可证E' BGD是平行四边形。
平行四边形五个判定方法
平行四边形五个判定方法
1、通过角度判定：如果四个内角相等就是平行四边形；
2、通过边长判定：如果有两条对角线长度相等，其余边长也都相等，就是平行四边形；
3、通过平分线判定：如果可以在四边形内部划出两条平分线，使得两条平分线交于两个对角线的中点，那么这个四边形就是平行四边形；
4、通过三角形判定：将一个平行四边形分成两个三角形，如果这两个三角形的外角和内角都相等，则说明四边形是平行四边形；
5、通过中心矩判定：如果四边形的中心矩是正方形，则这个四边形就是平行四边形。
判定平行四边形五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD 中,E 、F 在对角线AC 上,且AE =CF ,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD .解：连接BD 交AC 于点O .因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AO =CO ,BO =DO . 又AE =CF ,所以AO -AE =CO -CF ,即EO =FO .所以四边形DEBF 是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF =BC =1,AB =FC =1,所以四边形ABCF 是平行四边形.同样可知四边形FCDE 、四边形ACDF 都是平行四四边形.因为AE =DB =2,AB =DE =1,所以四边形ABDE 也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE =CF ,DF =BE ,DF ∥BE ，试说明四边形ABCD 是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD 是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF ≌△CBE ，由此就可得到判别平行四边形所需的“一组对边平行且相等” 的条件.解：因为DF ∥BE ，所以∠AFD =∠CEB .因为AE =CF ,所以AE +EF =CF +EF ，即AF =CE .又DF =BE ,所以△ADF ≌△CBE ，所以AD =BC ，∠DAF =∠BCE ，所以AD ∥BC .所以四边形ABCD 是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判图1 图2 A B C D EF 图3别例4 如图4，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，则四边形AECF 是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF ∥EC ，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF 是平行四边形.理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，所以AF ∥EC .又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ， 所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3，所以∠1=∠3，所以AE ∥CF .所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定方法
平行四边形的判定方法
平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形，是一种常见的几何图形。
在
几何学中，判定一个四边形是否为平行四边形是非常重要的，下面将介绍几种判定平行四边形的方法。
1. 边对应角相等。
判定一个四边形是否为平行四边形的方法之一是通过边对应角相等来进行判断。
如果一个四边形的对边对应角相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是由平行线的性质决定的，平行线之间的对应角相等。
因此，如果一个四边形的对边对应角相等，则可以判定这个四边形是平行四边形。
2. 对角线互相平分。
另一个判定平行四边形的方法是通过对角线互相平分来进行判断。
如果一个
四边形的对角线互相平分，即将四边形的两条对角线相交于一点，且相交点同时平分两条对角线，那么这个四边形就是平行四边形。
这是由平行线的性质决定的，平行线之间的对角线互相平分。
因此，如果一个四边形的对角线互相平分，则可以判定这个四边形是平行四边形。
3. 对边相等。
此外，判定一个四边形是否为平行四边形的方法还包括对边相等。
如果一个
四边形的对边相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是由平行线的性质决定的，平行线之间的距离相等。
因此，如果一个四边形的对边相等，则可以判定这个四边形是平行四边形。
综上所述，判定一个四边形是否为平行四边形可以通过边对应角相等、对角线
互相平分、对边相等等方法来进行判断。
在几何学中，平行四边形是一个重要的概
念，通过合理的判定方法可以准确判断一个四边形是否为平行四边形，从而更好地理解和应用平行四边形的相关性质和定理。
判断平行四边形的方法总结
判断平行四边形的方法总结平行四边形是指拥有两对相对平行的边的四边形。
在几何学中，判断平行四边形的方法至关重要，因为它们在解决各种几何问题和计算面积等方面具有实际应用。
本文将总结几种常见的判断平行四边形的方法。
1. 观察四边形的边最简单的判断方法就是通过观察四边形的边是否平行来判断是否为平行四边形。
如果四边形的对边都是平行的，那么它就是平行四边形。
可以通过画出四边形的示意图或测量边的长度来进行观察和比较。
2. 观察四边形的角除了观察四边形的边，我们还可以通过观察四边形的角来判断是否为平行四边形。
对于平行四边形来说，相对的内角和外角应该是相等的。
因此，我们可以通过测量或计算四边形的角度来判断是否有相等的内角或外角。
3. 使用等边或等角三角形在几何中，等边或等角三角形是常见的辅助工具。
如果我们能够找到一个平行四边形的边与两个等边或等角三角形的一边相对应，那么我们就可以判断该四边形是平行四边形。
通过构造等边或等角三角形，我们可以得出四边形边的平行性。
4. 使用传送法则传送法则是一种常用的判断平行四边形的方法。
传送法则是指当两条直线被一条横切线相交形成一些特定角度时（如同位角相等、内错角互补等），可以判断这两条直线平行。
因此，如果我们能够找到适用于四边形的传送法则，我们就可以判断四边形是否为平行四边形。
5. 使用向量法向量法也是判断平行四边形的一种有效方法。
通过将四边形的边的向量表示进行计算和比较，我们可以判断它们是否平行。
如果四边形的相邻边的向量差相等，那么四边形就是平行四边形。
以上是几种常见的判断平行四边形的方法。
根据实际问题的要求，我们可以选择其中一种或多种方法来判断平行四边形的性质。
在实际应用中，准确地判断和识别平行四边形对于解决各种几何问题和计算面积非常重要。
总结一下，判断平行四边形的方法可以通过观察边、角，使用等边或等角三角形，运用传送法则以及向量法等不同途径。
选择合适的方法依赖于具体情况和问题要求。
平行四边形的判定方法
平行四边形的判定方法平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形，是一种特殊的四边形。
在几何学中，判定一个四边形是否为平行四边形是一个常见的问题。
下面我们将介绍几种判定平行四边形的方法。
1. 对角线相等法则。
对角线相等是判定平行四边形的一个重要条件。
如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为对角线相等的四边形具有一些特殊的性质，其中包括对角线互相平分，以及对角线所确定的两组三角形全等等。
因此，如果能够证明一个四边形的对角线相等，那么这个四边形就是平行四边形。
2. 对边平行法则。
平行四边形的定义就是有两组对边分别平行，因此判定一个四边形是否为平行四边形的一个直接方法就是判断其对边是否平行。
可以通过计算四条边的斜率来判断其是否平行，如果两组对边的斜率相等，则这个四边形就是平行四边形。
3. 对角线互相平分法则。
对角线互相平分是平行四边形的一个重要性质，因此可以通过判断一个四边形的对角线是否互相平分来判定其是否为平行四边形。
如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
4. 内角和法则。
平行四边形的内角有一些特殊的性质，其中包括相对角相等等。
因此，可以通过计算一个四边形的内角来判断其是否为平行四边形。
如果一个四边形的内角满足平行四边形的内角性质，那么这个四边形就是平行四边形。
总结。
判定一个四边形是否为平行四边形是一个常见的几何问题，可以通过对角线相等、对边平行、对角线互相平分以及内角和等方法来进行判断。
这些方法都是基于平行四边形的特殊性质来进行的，可以根据具体情况选择合适的方法来进行判定。
以上就是关于平行四边形的判定方法的介绍，希望能对你有所帮助。
如果你对此有任何疑问或者想了解更多相关知识，可以继续阅读相关的文档或者咨询专业人士。
祝你学习进步！。
2019年中考数学知识点：平行四边形的判定
2019年中考数学知识点：平行四边形的判定
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平行四边形的判定
平行四边形是几何中一个重要内容，如何根据平行四边形的性质，判定一个四边形是平行四边形是个重点，下面就对平行四边形的五种判定方法，进行划分：
第一类：与四边形的对边有关
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
第二类：与四边形的对角有关
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
第三类：与四边形的对角线有关
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形。
判断平行四边形的五种方法
判断平行四边形的五种方法平行四边形，这个看似简单的几何图形，其实隐藏着不少秘密呢！今天咱们就来聊聊如何辨别一个真正的平行四边形，这可是个技术活，得用点小窍门儿。
你得学会看对边是否平行。
就像你和你的好朋友一样，两边要站得像排整齐的队伍一样。
如果发现这边的线是直的，那边的线也是直的，那它就是平行四边形啦！再来，咱们得看看四条边是否都相等。
想象一下，这四个角就像是四个小圆点，它们必须围成一个完美的圆形。
要是发现这边长那边短，或者这边宽那边窄，那它就不是一个标准的平行四边形了。
还有啊，别忘了检查对角线是否互相垂直。
就像两条直线永远都是交叉的一样，这里的对角线也得是“死对头”，谁也不肯让步。
要是发现有一边斜着走，那它就不是平行四边形了。
再来说说它的对角线是不是相等。
想象一下，这条对角线就像是一条大马路，两边都要宽敞明亮。
要是发现这边比那边长，或者这边比那边短，那它就不是平行四边形了。
咱们还得看看它是不是矩形。
这可不是说它长得像矩形，而是它的形状得像个方块。
想象一下，这里是个正方形，那边也是个正方形，中间还有个正方形，那就是个完美的矩形啦！好啦，以上就是辨别平行四边形的小技巧。
不过，有时候我们还得费点脑筋才能看出来。
比如，有些平行四边形可能是梯形、三角形或者不规则图形，这时候就得靠我们的火眼金睛来分辨咯。
要想成为平行四边形的高手，就得勤加练习，多观察、多思考、多实践。
别担心，只要用心去感受，你会发现生活中处处都有平行四边形的身影。
下次当你遇到一个形状奇特的东西时，不妨也来试试这些小窍门儿吧，说不定你就能发现它的秘密了呢！。
平行四边形判定方法
平行四边形判定方法平行四边形是一种特殊的四边形，其具有一些特殊的性质和判定方法。
在几何学中，平行四边形是我们经常会遇到的图形之一，因此掌握平行四边形的判定方法对于我们解题和应用几何知识具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍平行四边形的判定方法。
首先，平行四边形的定义是指具有两组对边分别平行的四边形。
也就是说，如果一个四边形的对边是平行的，那么这个四边形就是平行四边形。
但是在实际问题中，我们需要通过给定的条件来判定一个四边形是否为平行四边形。
下面我们将介绍几种常见的判定方法。
1. 利用对角线。
对于一个四边形，如果其对角线互相垂直且互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为平行四边形的对角线互相垂直且互相平分是其特有的性质，通过这个性质我们可以轻松判定一个四边形是否为平行四边形。
2. 利用边的长度和角度。
对于一个四边形，如果其相对的两边长度相等且相对的两个角度也相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为平行四边形的相对边长相等且相对角度相等是其特有的性质，通过这个性质我们同样可以轻松判定一个四边形是否为平行四边形。
3. 利用边的平行关系。
对于一个四边形，如果其相对的两边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为平行四边形的相对边平行是其最基本的性质，通过这个性质我们同样可以轻松判定一个四边形是否为平行四边形。
通过以上的介绍，我们可以看出，判定一个四边形是否为平行四边形并不难，只需要根据给定的条件灵活运用平行四边形的性质即可轻松解决。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来判定平行四边形，从而快速解决问题。
总之，平行四边形是我们在几何学中经常会遇到的图形之一，掌握其判定方法对于我们解题和应用几何知识具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能够对平行四边形的判定方法有所了解，并能够灵活运用这些方法来解决实际问题。
平行四边形证法
平行四边形证法
平行四边形是一个常见的几何图形，它具有两组平行的对边。
要证明一个四边形是平行四边形，我们可以采用以下几种方法：
第一种方法是基于平行四边形的定义。
根据定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
这种方法最直接，只需证明两组对边分别平行即可。
第二种方法是通过证明一组对边平行且相等来判定。
如果一个四边形有一组对边平行且相等，那么它一定是平行四边形。
这种方法可以通过已知条件或之前的推导来证明一组对边平行且相等。
第三种方法是证明两组对边分别相等。
如果一个四边形的两组对边分别相等，那么它一定是平行四边形。
但需要注意的是，这种方法仅在平面四边形时成立。
对于非平面四边形，即使两组对边分别相等，也不能确定它是平行四边形。
第四种方法是证明两组对角分别相等。
如果一个四边形的两组对角分别相等，那么根据平行四边形的性质，它的两组对边也一定分别平行，因此它是平行四边形。
这种方法可以通过计算或已知条件来证明两组对角分别相等。
最后一种方法是证明对角线互相平分。
如果一个四边形的对角线互相平分，那么它一定是平行四边形。
这种方法可以通过计算或已知条件来证明对角线互相平分。
综上所述，我们可以采用以上五种方法之一来证明一个四边形是平行四边形。
不同的方法适用于不同的情况，具体选择哪种方法取决于已知条件和需要证明的结论。
在实际应用中，我们可以根据具体情况灵活运用这些方法，以便更有效地解决问题。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。
A FB DC E 图1解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：〔1〕证两组对边分别平行；〔2〕证两组对边分别相等；〔3〕证一组对边平行且相等；〔4〕证对角线互相平分；〔5〕证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1，△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：〔1〕选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC〔2〕四边形ABDF 是平行四边形理由：由〔1〕知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等例2 ：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE 于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：〔2〕由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′CE=CG，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。
解：〔1〕∵ABCD 是正方形， A FB DC E 图1∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE〔2〕∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
什么是平行四边形应该如何判定
什么是平行四边形应该如何判定平行四边形特点：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）。
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）。
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
什么是平行四边形1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）。
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）。
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
6、条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。
平行四边形的判定根据平行四边形的定义来判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
简单记就是：两组对边分别平行判断定理一：两组对边分别对应相等的四边形是平行四边形。
简单记：两组对边对应相等。
判断定理二：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
简单记：一组对边平行且相等。
推论：对角线互相平分且相等的四边形是平行四边形。
简单记：对角线互相平分且相等。
对角相等（课本上一般不出现），这个是比较老的一个推断方法，现在课本上一般不再出现。
平行四边形的定义定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，特点：对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分，平行四边形的任何一边都可以做底，从底上作任意一点，向对边作垂线，这点与垂足之间的距离就是高。
判定平行四边形的五种方法
判别平行四边形的基本方法如何判别一个四边形是平行四边形呢?下面举例予以说明.一、运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”判别例1 如图1,在平行四边形ABCD中,E、F 在对角线AC上,且AE=CF,试说明四边形DEBF 是平行四边形.分析:由于已知条件与对角线有关，故考虑运用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行判别.为此,需连接BD.解：连接BD交AC于点O.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO.所以四边形DEBF是平行四边形.二、运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判别例2 如图2，是由九根完全一样的小木棒搭成的图形，请你指出图中所有的平行四边形，图1AB C DEF并说明理由.分析:设每根木棒的长为1个单位长度，则图中各四边形的边长便可求得，故应考虑运用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行判别.解：设每根木棒的长为1个单位长度，则AF=BC=1,AB=FC=1,所以四边形ABCF是平行四边形.同样可知四边形FCDE、四边形ACDF都是平行四四边形.因为AE=DB=2,AB=DE=1,所以四边形ABDE也是平行四边形.三、运用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判别例3 如图3，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF,DF=BE,DF∥BE，试说明四边形ABCD是平行四边形.分析: 题目给出的条件都不能直接判别四边形ABCD是平行四边形，但仔细观察可知，由已知条件可得△ADF≌△CBE，由此就可得到判图3别平行四边形所需的“一组对边平行且相等”的条件.解：因为DF∥BE，所以∠AFD=∠CEB.因为AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以△ADF≌△CBE，所以AD=BC，∠DAF=∠BCE，所以AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形.四、运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判别例 4 如图4，在平行四边形ABCD中，∠DAB、∠BCD的平分线分别交BC、AD边于点E、F，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？分析：由平行四边形的性质易得AF∥EC，又题目中给出的是有关角的条件，借助角的条件可得到平行线，故本题应考虑运用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”进行判别.解：四边形AECF是平行四边形.AB CDEF图41 32理由：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，∠DAB=∠BCD ，所以AF ∥EC.又因为∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，所以∠1=∠2.因为AD ∥BC ，所以∠2=∠3， 所以∠1=∠3，所以AE ∥CF.所以四边形AECF 是平行四边形.判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
平行四边形的判定
平行四边形的判定
根据平行四边形的定义来判断：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
简单记就是：两组对边分别平行。
平行四边形的判定方法
1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
补充：条件3仅在平面四边形时成立，如果不是平面四边形，即使是两组对边分别相等的四边形，也不是平行四边形。
平行四边形性质
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，包括长方形、菱形、正方形和一般平行四边形，其边与边、角与角、对角线之间存在着各种各样的关系，即是平行四边形性质定理。
两组对边平行且相等；
两组对角大小相等；
相邻的两个角互补；
对角线互相平分；
对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。
判定平行四边形的五种方法
判定平行四边形的五种方法平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、 两组对边分别平行如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC=AC，∠ACD=60°∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°∴∠BDE=∠FEC=120°又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC（2）四边形ABDF 是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG 并延长交DE于F(1)求证：△BCG≌△DCE；(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形？并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。
A FB DC E 图1解：（1）∵ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE（2）∵△DCE绕D顺时针旋转90°得到△DAE′，∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，∵四边形ABCD是正方形∴BE′∥DG，AB=CD∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG∴四边形DE′BG是平行四边形点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形三、两组对边分别相等例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF。
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判定平行四边形的五种方法
平行四边形的判定方法有：（1）证两组对边分别平行；（2）证两组对边分别相等；（3）证一组对边平行且相等；（4）证对角线互相平分；（5）证两组对角分别相等。
下面以近几年的中考题为例说明如何证明四边形是平行四边形。
一、
两组对边分别平行
如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF=AE ，连结AF 、BE 和CF
(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明； (2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。
解：（1）选证△BDE≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC，∠ACD=60°
∵CD=CE，∴BD=AE，△EDC 是等边三角形 ∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60° ∴∠BDE=∠FEC=120°
又∵EF=AE，∴BD=FE，∴△BDE≌△FEC （2）四边形ABDF 是平行四边形
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF 都是等边三角形 ∵∠CDE=∠ABC=∠EFA=60° ∴AB∥DF，BD∥AF
∵四边形ABDF 是平行四边形。
点评：当四边形两组对边分别被第三边所截，易证截得的同位角相等，内错角相等或同旁内角相等时，可证四边形的两组对边分别平行，从而四边形是平行四边形。
二、 一组对边平行且相等
例2 已知：如图2，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE=CG ，连结BG
并延长交DE 于F (1)求证：△BCG≌△DCE；
(2)将△DCE 绕点D 顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD 是什么特殊四边形并说明理由。
分析：（2）由于ABCD 是正方形，所以有AB∥DC，又通过旋转CE=AE′已知CE=CG ，所以E′A=CG，这样就有BE′=GD，可证E′BGD 是平行四边形。
解：（1）∵ABCD 是正方形，
A
F
B
D C
E 图1
∴∠BCD=∠DCE=90°又∵CG=CE，△BCG≌△DCE
（2）∵△DCE绕D顺时针
旋转90°得到△DAE′，
∴CE=AE′，∵CE=CG，∴CG=AE′，
∵四边形ABCD是正方形
∴BE′∥DG，AB=CD
∴AB-AE′=CD-CG，即BE′=DG
∴四边形DE′BG是平行四边形
点评：当四边形一组对边平行时，再证这组对边相等，即可得这个四边形是平行四边形
三、两组对边分别相等
例3 如图3所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，等边△A CE，等边△BCF。
求证：四边形DAEF是平行四边形；
分析：利用证三角形全等可得四边形DAEF的两组对边分别相等，从而四边形DAEF是平行四边形。
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠FBA=60°
∴∠DBF=∠ABC
又∵BD=BA，BF=BC ∴△ABC≌△DBF
∴AC=DF=AE同理△ABC≌△EFC
∴AB=EF=AD
∴四边形ADFE是平行四边形
点评：题设中存在较多线段相等关系时，可证四边形的两组对边分别相等，从而可证四边形是平行四边形。
四、对角线互相平分
例4已知：如图4，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，AE⊥BD于E，BF⊥AC于F，CG⊥BD于G，DH⊥AC于H，求证：四边形EFGH是平行四边形。
图4
分析：因为题设条件是从四个顶点向对角线引垂线，这些条件与四边形EFGH的对角线有关，若能证出OE=OG，OF=OH，则问题可获得解决。
证明：∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO，
∵∠AOE=∠COG，OA=OC
∴△AOE≌△COG，∴OE=OG
同理△BOF≌△DOH
∴OF=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
点评：当已知条件与四边形两对角线有关时，可证两对角线互相平分，从而证四边形是平行四边形。
五、两组对角相等
例5 将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起
四边形ABCD是平行四边形吗理由。
(1)如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B
1C
1
D
1
的位置，四边形ABC
1
D
1
是平行
四边形吗说出你的结论和理由：。
分析：因为题设与四边形内角有关，故考虑四边形的两组内角相等解决问题。
解：（1）四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+90°=120°，
∠ADC=∠ADB+∠CDB=90°+30°=120°
又∠A=60°，∠C=60°，
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C
（2）四边形ABC
1D
1
是平行四边形，理由如下：
将Rt△BCD沿射线方向平移到Rt△B
1C
1
D
1
的位置时，有Rt△C
1
BB
1
≌Rt△ADD
1
∴∠C
1BB
1
=∠AD
1
D，∠BC
1
B
1
=∠DAD
1
∴有∠C
1BA=∠ABD+∠C
1
BB
1
=∠C
1
D
1
B
1
+∠AD
1
B=∠AD
1
C
1
，∠BC
1
D
1
=
∠BC
1B
1
+∠B
1
C
1
D
1
=∠D
1
AD+∠DAB=∠D
1
AB
所以四边形ABC
1D
1
是平行四边形
点评：（2）也可这样证明：由（1）知ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，将
Rt△BCD沿射线BD方向平移到Rt△B
1C
1
D
1
的位置时，始终有AB∥C
1
D
1
，故ABC
1
D
1
是平行
四边形。
= =。