第七章 函数逼近

1．权函数 ． 定义7.1 设ρ (x)定义在有限或无限区间 b]上， 定义在有限或无限区间[a, 上 定义 定义在有限或无限区间 如果具有下列性质： 如果具有下列性质： (1) ρ (x) ≥0，对任意 ∈[a, b]， ，对任意x ， (2) 积分
∫
b
a
存在， ， x ρ(x)dx 存在，(n = 0, 1, 2, …)，
§1 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-π ,π ] 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间 上的积分都等于0 上的积分都等于 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[我们称这个函数中任何两个函数在 π ,π ]上是正交 上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。 并且称这个函数系为一个正交函数系。
m≠ n 0 1 ∫−1 pm (x) pn (x)dx = 2 m = n 2n +1
(2) 递推关系 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式： 相邻的三个勒让德多项式具有三项递推关系式：
p0 (x) = 1, p1 (x) = x 2n +1 n pn+1 (x) = n +1 xpn (x) − n +1 pn−1 (x)
3．正交性 ． 定义7.3 设 f (x)，g(x) ∈C [a, b] 若 定义 ，
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g(x)dx = 0
a
b
则称f 与 正交。 则称 (x)与g (x)在[a, b]上带权ρ (x)正交。 在 上带权 正交 定义7.4 设在 b]上给定函数系，若满足条件 设在[a, 上给定函数系 上给定函数系， 定义
1 − x2
u0 (x) = 1, u1 (x) = 2x, un+1 (x) = 2xun (x) − un−1 (x)
(n = 1, 2, ⋯ )
(2) 拉盖尔 拉盖尔(Laguerre)多项式 多项式 定义7.8 定义 称多项式
d n n −x Ln (x) = ex n (x e ), (0 ≤ x < +∞) dx (n = 0, 1, 2, ⋯ )
若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为： 使之成为：
1 2π
,
1
π
cos x,
1
π
sin x, ⋯, ,
1
π
cos nx,
1
π
sin nx
那么这个函数系在[上不仅保持正交的性质， 那么这个函数系在 π ,π ]上不仅保持正交的性质， 上不仅保持正交的性质 而且还是标准化的(规范的) 而且还是标准化的(规范的)
1 与零的偏差最小， 与零的偏差最小，且其偏差为 2n−1
即，对于任何 ， p(x) ∈ Hn (x) 有
1 ~ Tn (x) = n−1 Tn (x) 2
1 ~ = m Tn (x) − 0 ≤ m p(x) − 0 ax ax n−1 −1<x<1 −1<x<1 2
2．勒让德(Legendre)多项式 ．勒让德 多项式 定义7.6 多项式 定义
为拉盖尔多项式。 为拉盖尔多项式。
是在区间[0, ① {Ln(x)}是在区间 +∞]上带权ρ (x) = e-x 是在区间 上带权 的正交多项式序列。 的正交多项式序列。
∫
∞
0
0, m ≠ n, e ⋅ Lm (x) ⋅ Ln (x)dx = 2 (n!) , m = n。
−x
相邻的三项具有递推关系式： ② 相邻的三项具有递推关系式：
( f , g) = ∫ ρ(x) f (x)g(x)dx
a
b
为权函数的内积。 为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 ρ (x)为权函数的内积。 在 上以 为权函数的内积 内积的性质： 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 ⇔ f = 0； ， ； (2) (f, g) = (g, f )； ； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； ； (4) 对任意实数 ，(kf, g) = k (f, g )。 对任意实数k， 。
T0 (x) = 1, T1 (x) = x Tn+1 (x) = 2x ⋅ Tn (x) −Tn−1 (x)
(3) 奇偶性： 奇偶性：
(n = 1, 2, ⋯ )
切比雪夫多项式T 为奇数时为奇函数； 切比雪夫多项式 n (x)，当n为奇数时为奇函数； ， 为奇数时为奇函数 n为偶数时为偶函数。 为偶数时为偶函数。 为偶数时为偶函数
L0 (x) = 1, L1 (x) = 1− x, Ln+1 (x) = (1+ 2n − x)Ln (x) − n2 ⋅ Ln−1 (x), (n = 1, 2,⋯ )
(3) 埃尔米特 埃尔米特(Hermite)多项式 多项式 定义7.9 定义 称多项式
2
d n −x2 Hn (x) = (−1)n ⋅ ex ⋅ n (e ), x ∈(−∞, + ∞) dx (n = 0, 1, 2, ⋯ )
3．其它常用的正交多项式 ． (1) 第二类切比雪夫多项式 定义7.7 称 定义
un (x) =
sin[( n +1) arccos x] 1− x2
(n = 0, 1, 2, ⋯ )
为第二类切比雪夫多项式。 为第二类切比雪夫多项式。
是在区间[-1, 1]上带权函数 ρ(x) = ① {un(x)}是在区间 是在区间 上带权函数 的正交多项式序列。 的正交多项式序列。 相邻的三项具有递推关系式： ② 相邻的三项具有递推关系式：
(5) Tn (x) 在[-1, 1]上有 + 1个不同的极值点 上有n 个不同的极值点 上有
′ xk = cos k
π
n
(k = 0, 1, 2, ⋯, n)
使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。 轮流取得最大值 。
(6) 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。 。 定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为 的一切 次多项式 n (x)中 的一切n次多项式 定理 上 在首项系数为1的一切 次多项式H 中
ρ(x) =
1 1 − x2
的正交多项式序列。 的正交多项式序列。且
∫
1
−1
0, π 1 Tm (x)Tn (x)dx = , 1 − x2 2 π ,
m≠ n m= n ≠0 m=n =0
(2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式：
m 以函数f 以函数 (x)和p (x)的最大误差 x∈[ax] f (x) − p(x) a,b
大小” 作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数ε >0，如果存在函数 (x)，使不等式 ，如果存在函数p ，
m f (x) − p(x) < ε ax
R(x) = f (x) − p(x)
称为逼近的误差或余项。 称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式， 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题
函数逼近问题的一般提法： 函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数 对于函数类 中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 中给定的函数 ， 的且便于计算的函数类B(⊂ 中寻找一个函数 中寻找一个函数p ， 的且便于计算的函数类 ⊂ A)中寻找一个函数 (x)，使p (x) 之差在某种度量意义下最小。 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 之差在某种度量意义下最小 最常用的度量标准： 最常用的度量标准： (一 (一) 一致逼近
1 dn pn (x) = n ⋅ n [(x2 −1)n ] 2 ⋅ n! dx (n = 0, 1, 2, ⋯ ) ⋯
称为n次勒让德多项式。 称为 次勒让德多项式。 次勒让德多项式 勒让德多项式的性质： 勒让德多项式的性质： (1) 正交性 勒让德多项式序列{p 是在[-1, 1]上带权ρ (x) = 1 勒让德多项式序列 n(x)}是在 是在 上带权 的正交多项式序列。 的正交多项式序列。
(n = 1, 2, ⋯ )
(3) 奇偶性： 奇偶性： 为偶数时， 为偶函数； 当n为偶数时，pn (x)为偶函数； 为偶数时 为偶函数 为奇数时， 为奇函数。 当n为奇数时，pn (x)为奇函数。 为奇数时 为奇函数 (4) pn (x)的n个零点都是实的、相异的，且全 个零点都是实的、 的 个零点都是实的 相异的， 部在区间[-1, 1]内部。 内部。 部在区间 内部
a<x<b
成立，则称该函数 一致逼近或均匀逼近 成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近 均匀逼近 一致逼近 于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 二 平方逼近： 采用
∫ [ f (x) − p(x)] dx
2 a
b
作为度量误差的“大小” 作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。 或均方逼近。
第七章 函数逼近
用简单的函数p(x)近似地代替函数 (x)，是计算数学中最 近似地代替函数f ， 用简单的函数 近似地代替函数 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为 称为 被逼近的函数， 称为逼近函数， 被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 称为逼近函数