人教A版高中数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系教案新(1)
人教A版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：C C既不平行也不相交。
直线'A B与直线'学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 新人教A版必修2
高中数学 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案新人教A版必修2
第一章点、线、面位置关系学案
学习目标：
1、平面基本性质与推论；
2、基本性质应用。
学习的重点与关键：1、数学语言与图形语言、符号语言的相互转化。
3、性质1有什么用？性质2有什么用？性质3有什么用？
4、共面直线、异面直线的定义？如何判断两条直线共面、异面？
5、用符号语言描述下列
点和直线的位置关系是
；
点和平面的位置关系是
；
6、用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的
位置关系。
学习方法指导： 课后作业：
学生作业后的反思与体会：
β α
A B
k。
人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系教案(1)
② 两条异面直线所成的
导出异
角 θ∈（ 0， π）； 2
③ 当两条异面直线所成
面直线 所成的 角的概
的角是直角时，我们就说
念.
这 两条 异面直 线互相 垂 例 3 让
直，记作 a⊥ b；
学生掌
④ 两条直线互相垂直， 有 握了如
共面垂直与异面垂直两种
何求异
情形；
面直线
⑤ 计算中，通常把两条异 所成的
例 3（投影）
2. 利用已有的知识与经验归纳整 理本节所学知识 .
三、情感、态度与价值观
感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质
.
教学重点、难点
线在此平面内．
师：把一把直尺边缘
A
B
α· C ·
·
上的任意两点放在桌边， 可以看到，直尺的整个边 缘就落在了桌面上，用事 实 引导 学生 归纳出 公理
符号表示为 A∈L
1． 教师引导学生阅读教材
B∈ L ? L ? α． A∈α B∈α
公理 1： 判断直线是否在平
P42 前几行相关内容，并 加以解析．
β
α
P
·
L
平面是有的，而且只有一 个”，也即不共线的三点 确定一个平面 .
“有且只有一个平
面”也可以说成“确定一
符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =，L 个平面 . ”
且 P∈ L ．
引导学生阅读 P42 的
公理 3 作用：判定两个平面 是否相交的依据 .
思考题，从而归纳出公理 3．
通过类比 探索，培 养学生知 识迁移能 力，加强 知识的系 统性 .
师：生活中，我们看 到三脚架可以牢固地支撑
面内．
照相机或测量用的平板仪
高中数学人教A版必修2《2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系》教案1
必修二2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系一、课程标准中的相关内容1．了解空间中点、线、面的基本性质及位置关系。
2．通过学生亲自动手实验，体验空间中直线和平面的位置关系，学会用数学符号描述空间中直线与平面的位置关系，为今后学习立体几何打好基础。
二、教学目标1．知识与技能学生通过动手操作模型或观察实例，直观的认识空间中直线与平面的位置关系，培养学生的观察能力、空间想象能力。
2．过程与方法使学生通过动手操作模型或观察实例，能正确画图表示出直线与平面的位置关系，培养学生的基本作图能力体验用数学刻画自然界事物之间关系的方法。
3．情感态度与价值观培养学生积极参与、合作交流的主体意识和勇于探索的科学态度三、学生分析在学习立体几何之前，学生已经学习了大量的平面几何知识，本章知识是立体几何的基础，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用。
再则本章知识在现实生活中应用非常广泛，学生对和现实生活联系紧密的知识具有天生的兴趣，充分培育和利用好学生的这些兴趣，将使教学更轻松。
课程的开展一方面是让学生对立体几何有基本的认识，另一方面也是为接下来的学习打下基础。
让学生从“知其然”到“知其所以然”。
四、教材分析1.本节的作用和地位本节内容在前两节的基础上现实生活中的实例为载体，使同学们在直观感知的基础上，认识空间中直线与平面的位置关系，进而进一步了解平行、垂直关系的基本性质及判定方法，发展推理论证能力，培养逻辑思维能力。
它既是前一章的深入，又是今后学习立体几何的基础，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用。
2．本节主要内容高中数学新课程对于学生认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、提高提出问题、分析问题和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
本课首先通过实例演示，是同学们对空间中直线和平面的位置关系有初步的了解，进而通过理论分析，是同学们从理论上理解并掌握空间中直线和平面的位置关系的内涵，为今后学生学习立体几何打下坚实的基础。
高中数学 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系(1)教案 新人教A版必修2-新人教A版高中必修
学生思考空间直线与平面的位置关系，用图形语言和符号语言表示.看课本并在练习本上画出来，教师巡回指导，然后小组讨论，之后，各个学习小组选一名学生代表回答，之后老师出示《课件2-1》.
直线在平面内的表示：
直线与平面平行的表示：
直线与平面相交的表示：
同学们，前边我们学习了直线与平面的位置关系，那么怎样用图形语言和符号语言表示出来呢？请大家独立思考，并在演草纸上画出来，一会儿，找同学在黑板上画出来和表示出来.
回答的很好，
请看多媒体〔出示《课件2-1》〕
例题解答
学生看导学案完成例题，难度大的小组讨论，完成导学内容，并派代表说出小组结论，教师参与小组讨论指导个别小组或学生并汇总结果并反馈.
之后，老师出示《课件2-2》
判别直线与平面的位置关系
例1、假设直线a不平行于平面 ，那么以下结论成立的是〔D〕
A. 内所有的直线都与a异面；B. 内不存在与a平行的直线；
课堂练习：
学生看书本49页练习题，学生独立思考解决，后同桌交流，提问学生并师生一起得出准确答案.
大家看课本49页复习题的练习题，独立思考后把答案写在书上，一会儿找几个同学分别说出答案.
很好！
三、总结
〔归纳总结课堂检测〕
(4分钟)
总结、布置作业
学习总结： 提醒学生对本节课所学内容进行总结，1.对学生出现的问题进行点拨；
(1)直线与平面有几种位置关系？
(2)直线在平面外有几种情况？
(3)在直线与平面的位置关系中，直线与平面有多少个公共点？
一会儿找学生回答.
刚才几个同学回答的对吗？请讨论.
1.注意：直线与平面平行和直线与平面相交都叫直线在平面外；
2.注意：可以从直线与平面公共点个数上判断直线与平面的位置关系.
高一数学必修2：第二章《点、直线、平面之间的位置关系》教案(新人教A版必修2)
点、直线、平面之间的位置关系复习（一）课型：复习课一、教学目标1、知识与技能（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点重点：各知识点间的网络关系；难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计（一）知识回顾，整体认识1、本章知识回顾（1）空间点、线、面间的位置关系；（2）直线、平面平行的判定及性质；（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系（二）整合知识，发展思维1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；公理2——提供确定平面最基本的依据；公理3——判定两个平面交线位置的依据；公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；3、空间平行、垂直之间的转化与联系：4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固1、P.73 A 组第1题2、P.74 A 组第6、8题（四）、课堂练习：1．选择题 （1）如图BC 是R t ⊿ABC 的斜边，过A 作⊿ABC 所在平面α垂线AP ，连PB 、PC ，过A 作AD ⊥BC 于D ，连PD ，那么图中直角三角形的个数是（ ） （A ）4个 （B ）6个 （C ）7个 （D ）8个（2）直线a 与平面α斜交，则在平面α内与直线a 垂直的直线（ ） （A ）没有 （B ）有一条 （C ）有无数条 （D ）α内所有直线 答案：（1）D (2) C2．填空题（1）边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面α内，PA ⊥α，PA =a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .（2）AC 是平面α的斜线，且AO =a ，AO 与α成60º角，OC ⊂α，AA ＇⊥α于A ＇，∠A ＇OC =45º，则A 到直线OC 的距离是 ， ∠AOC 的余弦值是 . 答案：（1）a a 27,2; （2）42,414a 3．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求证：A 1C ⊥平面BC 1D .分析：A 1C 在上底面ABCD 的射影AC ⊥BD, A 1C 在右侧面的射影D 1C ⊥C 1D,所以A 1C ⊥BD, A 1C ⊥C 1D,从而有A 1C ⊥平面BC 1D .直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直 平面与平面垂直 A A ′CαODCPαABC 1B 11D 1DC课后作业1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；2、P.76 B组第2题。
人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思
人教版高一数学必修二《空间点、直线、平面之间的位置关》教案及教学反思一、教学目标通过本次教学，学生将能够：1.掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；2.学会使用空间几何中的基本概念和基本问题；3.进一步培养学生的数学思维，提高学生的空间想象能力和综合运用能力。
二、教学重点和难点教学重点：1.理解空间中点、直线、平面的概念和特征；2.掌握点与直线、点与平面的位置关系以及直线与平面的位置关系；3.运用三视图法和参考投影法解决平面与平面的位置关系。
教学难点：1.掌握点、直线、平面的共面关系；2.学会在空间中画出图形；3.掌握平面间的位置关系。
三、教学过程1. 导入环节（5分钟）引导学生通过生活实际情境，复习几何学中的点、线、面的概念，并对此进行概括，展现本课内容的片面性和局限性，进而引导学生思考如何通过分别考虑点、直线、平面的位置关系的方法来全面把握几何学中的空间图形。
同时，激发学生空间想象的能力。
2. 正式教学环节（40分钟）1）点与直线的位置关系教师介绍点与直线的位置关系，并用图形进行示范。
然后，让学生自己分析和总结，归纳出点与直线的位置关系的有关性质。
例如：•点在直线上；•点在直线上的外部；•点在线的两侧；•点与直线相离。
2）点与平面的位置关系引入点与平面的位置关系，老师同样先给出范例进行示范，帮助学生加深理解。
然后，再让学生自己探究和总结，归纳点与平面的位置关系的有关性质。
例如：•点在平面上；•点在平面上的内部；•点在平面上的外部。
3）直线与平面的位置关系讲述直线与平面的位置关系，为学生提供相关的图形，并进行实操。
教师同样应给学生提供足够多的机会，让学生自行探究总结，得出有关性质。
例如：•直线在平面上；•直线与平面交于一点；•直线与平面平行；•直线与平面垂直。
4）平面与平面的位置关系在学习与应用前面的知识点后，适当引入平面与平面的位置关系。
老师还是要以图形为依据，实践出多重案例，使学生理解平面与平面的位置关系的本质。
人教A版高中数学必修二空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系教案
§2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中直线与平面的位置关系；（2）了解空间中平面与平面的位置关系；（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型四、教学思想（一）创设情景、导入课题教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空间中直线与平面有多少种位置关系？（板书课题）（二）研探新知1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α例4（投影）师生共同完成例4例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：（1）两个平面平行——没有公共点（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为α∥β α∩β= L教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解教材P51 练习学生独立完成后教师检查、指导（三）归纳整理、整体认识教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
人教A版高中数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系学案(1)
两条直线的位置关系学习目标：1、理解直线1l 到2l 的角及两直线夹角的定义并掌握计算公式2、能根据直线方程求直线1l 到2l 的角及两直线夹角一、复习巩固：1、222111:,:b x k y l b x k y l +=+=平行的充要条件是： ；垂直的充要条件是： 。
2、当21l l 或的斜率不存在时，如何判断21l l 与平行与垂直？3、若0:=++c by ax l ，则与l 平行的直线可设为 。
与l 垂直的直线可设为 。
4、点(3，9)关于直线x +3y －10=0对称的点的坐标是 ( )A 、(－1,－3)B 、(17,－9)C 、(－1,3)D 、(－17,9)二、自学、提问及答疑：三、例题分析：四、课堂练习： 1．求下列直线1l 到2l 的角与2l 到1l 的角：（1）1l ：y ＝21x ＋2；2l ：y ＝3x +7； (2) 1l ：x －y ＝5；2l ：x ＋2y －3＝02.求下列两条直线的夹角：（1）y ＝3x －1，y ＝－31x ＋４； （2）x －y ＝5； y ＝４.(3)5x －3y ＝9，6x ＋10y ＋7＝0.五、作业：1、直线1-=x 与直线073=-+y x 的夹角是 。
※2、如果直线12l l 的斜率是二次方程2410x x -+=的两根，1l 与2l 所成的角为 。
3、三角形的三个顶点是A (6，3)，B (9，3)，C (3，6)，求它的三个内角的度数4、已知直线l 经过点P （2,1），且和直线5x ＋2y ＋3＝0的夹角等于45°，求直线l 的方程5、已知三角形的三个顶点是A （4，1）B （7，5）C （-4，7），求A ∠的内角平分线AD 的方程。
6、已知等腰△ABC 的底边BC 在直线0=+y x 上，顶点为 A (2,3),若一腰平行于直线024=+-y x ，求另一腰所在的直线方程。
人教A版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系教案(1)
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，共面直线BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
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性别 上课时间
年级 年月日
学科
第（ ）次课 共（ ）次课
数学 课时： 2 课时
教学课题 人教版 必修 2 第二章空间点、直线、平面之间的位置关系 同步教案 1
教学目标
知识目标：了解平面的基本性质即三条公理，能正确使用集合符号表示空间图形中的点线面的关 系，掌握直线平面之间的位置关系 能力目标：培养学生的空间想象能力 情感态度价值观：提高学生对空间几何的兴趣．
4．等角定理
5．两条异面直线所成的角 (夹角 )
(1) 定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′∥ a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的 锐角 (或直角 ) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角 (或夹角 )．
(2) 异面直线所成的角 α的范围： 0°＜ α≤ 90.°
(3) 两条异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是 面直线 a， b，记作 a⊥ b.
3．公理 1 4．公理 2
5．公理 3
例题精讲
【题型一、平面的概念】
【例 1】 下列命题：
(1) 书桌面是平面； (2)8 个平面重叠起来要比 6 个平面重叠起来厚； (3) 有一个平面的长是 50 m，宽是 20 m； (4)
平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为
(6) A1 B1∩B1B∩B1C1＝ ________.
7．求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面．
D．A? l，l? α D ．1 或无数个
8．三个平面 α、 β、 γ两两相交，交于三条直线，即 求证： a、 b、 c 三条直线必过同一点．
α∩β＝ c， β∩γ＝ a，γ∩α＝ b，已知直线 a 和 b 不平行．
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两条直线的平行与垂直
一、教学目标
(一)知识教学点
掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．
(二)能力训练点
通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．
二、教材分析
1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．
2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．
3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．
三、活动设计
提问、讨论、解答．
四、教学过程
(一)特殊情况下的两直线平行与垂直
这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．
当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
(二)斜率存在时两直线的平行与垂直
设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是
l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．
两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．
我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．
∴tgα1=tgα2．
即 k1=k2．
反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．
由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，
∴α1=α2．
∵两直线不重合，
∴l1∥l2．
两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即
eq \x( )
要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．
现在研究两条直线垂直的情形．
如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．
设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有
α1=90°+α2．
因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．
可以推出α1=90°+α2．
l1⊥l2．
两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即
eq \x( )
(三)例题
例1 已知两条直线
l1： 2x-4y+7=0， L2： x-2y+5=0．
求证：l1∥l2．
证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式：
∴两直线不相交．
∵两直线不重合，
∴l1∥l2．
例2求过点 A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．
即 2x+3y+10= 0．
解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为
2x+3y+10=0．
例3 已知两条直线
l1： 2x-4y+7=0， l2： 2x+y-5=0．
求证：l1⊥l2．
∴l1⊥l2．
例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．
解法1 已知直线的斜率k1=-2．
∵所求直线与已知直线垂直，
根据点斜式得所求直线的方程是
就是 x-2y=0．
解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是
x-2y=0．
(四)课后小结
(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；
(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；
(3)与已知直线平行的直线的设法；
(4)与已知直线垂直的直线的设法．
五、布置作业
1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：
(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；
(2)y=x与3x十3y-10=0；
(3)3x+4y=5与6x-8y=7；
解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．
2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：
(1)平行于直线2x+5-5=0；
(2)垂直于直线x-y-2=0；
解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．
3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．
解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．
(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程．
也就是 2x+7y-21=0．
同理可得BC边上的高所在直线方程为
3x+2y-12=0．AC边上的高所在的直线方程为
4x-3y-3=0．六、板书设计。