现代控制理论电子课件第四章

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Chapter 4 Stability Analysis of Control Systems
引言


稳定性是控制系统的首要问题。 经典理论判稳方法及局限性。


A、直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是 否都分布在复平面虚轴的左半部分，采用劳斯－古 尔维茨代数判据和奈魁斯特频率判据。局限性是仅 适用于线性定常，不适用于非线性和时变系统。 B、间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很 难。)
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4.1 基本定义
4.1.3 范数 －－衡量（度量）状态空间距离的大小向量 x 的长度称为向量 x 的范数： x x12 x2 2 xn 2 ，向量 x 与 xe 的距离为：
现代控制理论 Modern Control Theory
沈阳建筑大学 信息与控制工程学院
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本章内容



李雅普诺夫稳定性定义 李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫法应用
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4.2 李雅普诺夫稳定性理论

4.2.1基本思想
1. 例: 系统图如下，
x1 i (t ) 设 (两个储能元件， L 和 C )当电路加电后，令 x2 uc u(t ) 0 。
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4.2 李雅普诺夫稳定性理论


李亚普诺夫第一法
间接方法，其基本思想是通过系统状态方程的解 判断系统的稳定性。 对于线性定常系统，只需求出系统特征方程的根 即可作出系统稳定性的判断。 对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处 理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据 其特征根来判断系统的稳定性。 （P.161 例）
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4.1 基本定义
4.1.2 平衡状态： 求法： 1、线性定常系统
x(t ) Ax(t ) Axe (t ) 0
若 A 非奇异， xe (t ) [0] ，唯一一个平衡点，坐 标原点。 若 A 奇异， xe (t ) 有多个。
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4.2 李雅普诺夫稳定性理论


李亚普诺夫第一法 李亚普诺夫第二法

4.2.1基本思想 4.2.2二次型函数的预备知识 4.2.3 李亚普诺夫判稳定理
t
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4.1 基本定义
4.1.4 稳定性的定义 2. 渐进稳定性
几何意义： S (） 从 出发的任何一个解， t 当 时，最终收敛于 xe 。实际上是渐近稳定。 区别：工程上常常要求渐近稳定。
Байду номын сангаас
4.2 李雅普诺夫稳定性理论

4.2.1基本思想
讨论：如果 R 0 ， W 0 ， i、uc 互相振荡，总能量不变。
若 R 0 ， W 0 能量逐渐 W 0
uc 0 i0 0 xe 0
基本思想：从能量的观点看， 如果一个系统是渐进稳定的， 其能量 0 。 问题是：找到一个完全描述上述过程的所谓能量函数 V ( x) 。
有界
在 f 作用下， x 偏离 xe 有三种 无界（无穷大）
x xe
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4.1 基本定义
4.1.4 稳定性的定义 1. 李亚普诺夫稳定性：设 x f ( x, t ) ，若任意给定 一个实数 0 ，总存在另一个实数 ，使当 x0 xe 时 ， 从 任 意 初 态 x0 出 发 的 解
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4.1 基本定义
4.1.4 稳定性的定义 4. 不稳定
若 当 x0 xe 时 ， 总 存 在 一 个 初 态 x0 ， 使
x0 xe ， t0 ) ，称平衡状态 xe 是不稳定的。 (t
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4.2 李雅普诺夫稳定性理论

4.2.1基本思想
R x1 L x 2 1 C x1 (0) x (0) 0 2 RLC电路 1 x1 di (t ) L Ri (t ) uc u (t ) L x dt 0 2 duc (t ) C i (t ) dt
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4.2 李雅普诺夫稳定性理论

4.2.1基本思想
1 1 2 2 电感储能： W1 Li(t ) Lx1 2 2 1 1 2 电容能量： W2 Cuc (t ) Cx22 2 2 1 总能量： W W1 W2 ( Lx12 Cx22 ) 2 逐渐 0，系统是稳定的 如果能量随时间推移 。 逐渐 ，系统是不稳定的
(t x(t ) (t , x0 , t0 ) 满足 x xe ， t0 ), 则称 xe 在李亚
普诺夫意义下稳定。
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4.1 基本定义
4.1.4 稳定性的定义 1. 李亚普诺夫稳定性： 几何意义：从 S ( ) 出发的轨迹，在 t t0 的任何 时刻总不会超出 S ( ) 。
x xe ( x1 xe1 )2 ( xn xen ) 2
与 x xe 限 定 在
某一范围时，记作 x xe ， 0 。
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dw Cx x Lx x Cx ( 1 x ) Lx ( R x 1 x ) Rx 2 W 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 dt C L L
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4.1 基本定义
4.1.2 平衡状态： 求法： 2、非线性系统
x f ( xe , t ) 0 ， xe ，不只一个，可能有多个。
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4.1 基本定义
4.1.4 稳定性的定义 2. 渐进稳定性
xe 在李亚普诺夫意义下稳定， 且当 t 时，
x xe ， lim x xe 0 。
4.1 基本定义
4.1.1 系统：
设 x f ( x, t , u) 稳定性是系统本身的一种动态属性， 与外部输入无关。u 0 ，则 x f ( x, t ) ， x(t ) 为 n 维向 量， f ( x, t ) 也是 n 维向量， xi fi ( x1 , x2 ,, xn , t ) ，初始 状态 x(t0 ) x0 。 解： x(t ) (t, x0 , t0 ) ，如果是线性定常系统，则有 x Ax ， x (t ) x0
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4.1 基本定义



4.1.1系统 4.1.2平衡状态 4.1.3范数 4.1.4稳定性的定义
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4.1 基本定义
范数的几何意义：在 n 维状态空间中，表示以 xe 为 球心，以 半径的一个球，记作 S (） 。
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