中国矿业大学2011级第一学期期中考试高数答案
2011级高数(上)试题及答案
2011级高数(上)试题及答案D（B ）)(x f 在0x 点有定义；（C ）)(x f 在0x 的某去心邻域内有定义； （D ）0()k f x =4．若314lim 1x x ax b x →-++=+，则（ ） （A ）6a =，3b = （B ）6a =-，3b = （C ）3a =，6b = （D ）3a =，6b =- 5．设xe2为)(x f 的一个原函数，则⎰'dx x f x )(为（ ）（A ）C e x +221 （B ）2x e C + （C ）C e xe x x +-2221 （D ）C e xe x x +-222 三、计算题（每小题 6分，共30分）1．求极限22sin lim2sin x x x x x x →-+2．求极限cot 0lim(cos )xx x →3．计算⎰dx x sin4．计算 22(1)x xx edx ++⎰5．计算dx x x ⎰-3 022四、解答题（每小题 8分，共 16 分）1．设可微函数)(x y y =由方程⎰⎰=+-220cos y axtdt t dt e确定，求dx dy 和22d ydx2．设232,sin 10y x t t dydx e t y ⎧=+⎨-+=⎩求五、应用题（每小题 8分，共 16 分）1．求曲线53(1)y x x=-的凹凸区间及拐点2．设函数x x y ln =，求该函数的单调区间和极值．六、证明题（本题满分8分）设()f x ，()g x 在[],a b 上连续， 证明：至少存在一个(),a b ξ∈，使得：dx x f g dx x g f ab⎰⎰=ξξξξ)()()()(．南昌大学 2011～2012学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设2()xf x e =，则[()]f f x =22x ee2. 若⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,1sin 0,)(2x x x x a x x f 在0=x 处连续，则a =0。
高一上学期期中考试数学试题及答案解析
高一上学期期中数学卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={1，2，4}，B ={x |x 2-4x +m =0}．若A ∩B ={1}，则B =（ ）A. {1,−3}B. {1,0}C. {1,3}D. {1,5} 2. 设函数f （x ）={x 2+1，x ≤12x，x ＞1，则f （f （3））=（ ）A. 15B. 3C. 23D. 1393. 如果幂函数y =（m 2-3m +3）x m 2−m−2的图象不过原点，则m 取值是（ ） A. −1≤m ≤2 B. m =1或m =2 C. m =2 D. m =1 4. 设a =0.80.7，b =0.80.9，c =1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >b >cB. b >c >aC. c >a >bD. c >b >a5. 用二分法求函数f （x ）=ln x -2x 的零点时，初始的区间大致可选在（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (e,+∞)6. 函数f （x ）=√2−2x +1log 3x 的定义域为（ ）A. {x|x <1}B. {x|0<x <1}C. {x|0<x ≤1}D. {x|x >1}7. 已知函数f （x ）=a x -2，g （x ）=log a |x |（其中a ＞0且a ≠1），若f （4）g （4）＜0，则f （x ），g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（ ）A.B.C.D.8. 方程|log a x |=（1a ）x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (1,+∞)B. (1,10)C. (0,1)D. (10,+∞)9. 设奇函数f （x ）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f （2）=0，则不等式3f(−x)−2f(x)5x≤0的解集为（ ）A. (−∞,−2]∪(0，2]B. [−2,0]∪[2,+∞)C. (−∞,−2]∪[2,+∞)D. [−2,0)∪(0,2]10. 已知f （x ）={(a −3)x +4a,x ≥0a x ,x<0，对任意x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则a 的取值是（ ）A. (0,3)B. (1,3]C. (0,14]D. (−∞,3)11. 定义域为D 的函数f （x ）同时满足条件①常数a ，b 满足a ＜b ，区间[a ，b ]⊆D ，②使f （x ）在[a ，b ]上的值域为[ka ，kb ]（k ∈N +），那么我们把f （x ）叫做[a ，b ]上的“k 级矩阵”函数，函数f （x ）=x 3是[a ，b ]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a ，b ）共有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 12. 已知定义在D =[-4，4]上的函数f （x ）={|x 2+5x +4|，−4≤x ≤02|x −2|，0＜x ≤4，对任意x ∈D ，存在x 1，x 2∈D ，使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），则|x 1-x 2|最大与最小值之和为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 不等式|x -3|+|x -5|≥4的解集为______．14. 若函数y =x 2-4x -2的定义域为[0，m ]，值域为[-6，-2]，则m 的取值范围是______． 15. 已知偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增，则满足f(2x −1)＜f(13)的x 取值范围是______．16. 已知函数f （x ）={x 2−2mx +4m,x >m |x|,x≤m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. （1）已知x +1x =3，求x 2+1x 2的值；（2）已知a ，b ，c 为正实数，且a x =b y =c x ，1x +1y +1z =0，求abc 的值．18. 已知集合A ={x |x 2-4x -5≥0}，集合B ={x |2a ≤x ≤a +2}．（1）若a =-1，求A ∩B 和（∁R A ）∪B ； （2）若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．19. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y与t 的函数关系式为y =（116）t -a （a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式．（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．20. 已知f （x ）=x+ax 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数．（1）求f （x ）的解析式；（2）判断并证明f （x ）的单调性； （3）解不等式：f （x ）-f （1-x ）＜0．21. 已知函数f （x ）=ax 2+bx +1（a ，b 为常数），x ∈R ．F （x ）={−f(x)(x <0)f(x)(x>0)． （1）若f （-1）=0，且函数f （x ）的值域为[0，+∞），求F （x ）的表达式； （2）在（1）的条件下，当x ∈[-2，2]时，g （x ）=f （x ）-kx 是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设m •n ＜0，m +n ＞0，a ＞0，且f （x ）为偶函数，判断F （m ）+F （n ）能否大于零？22. 定义在D 上的函数f （x ），如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ＞0，都有|f （x ）|≤M 成立，则称f （x ）是D 上的有界函数，其中M 称为函数f （x ）的上界．已知函数f （x ）=1+a •（12）x +（14）x ；g （x ）=1−m⋅x 21+m⋅x 2（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数？（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，可得1-4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．故选：C．由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：函数f（x）=，则f（3）=，∴f（f（3））=f（）=+1=，故选：D．由条件求出f（3）=，结合函数解析式求出f（f（3））=f（）=+1，计算求得结果．本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，求出f（3）=，是解题的关键，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：幂函数的图象不过原点，所以解得m=1或2，符合题意．故选：B．幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于等于0，系数为1，建立不等式组，解之即可．本题主要考查了幂函数的图象及其特征，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由于函数y=0.8x在R上是减函数，1＞0.9＞0.7＞0，∴0.80=1＞0.80.7＞0.80.9＞0.81，即1＞a＞b．由于函数y=1.2x在R上是增函数，0.8＞0，∴1.20.8＞1.20＞1，即c＞1．综上可得，c＞a＞b，故选：C．函数y=0.8x在R上是减函数可得1＞a＞b，再根据函数y=1.2x在R上是增函数，可得c＞1，由此可得a，b，c的大小关系．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）=ln2-1＜0，而f（3）=ln3-＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，故用二分法求函数f（x）=lnx-的零点时，初始的区间大致可选在（2，3）上．故选：B．函数f（x）=lnx-在区间（2，3）上连续且单调递增，f（2）＜0，而f（3）＞1-＞0，f（2）f（3）＜0，由此可得函数的零点所在的初始区间．本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B．根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．7.【答案】B【解析】解：∵f（4）=a2＞0，∴由f（4）g（4）＜0，得g（4）＜0，即g（x）=log a4＜0，得0＜a＜1，即f（x）是减函数，排除A，C函数g（x）是偶函数，当x＞0时，g（x）是减函数，排除D，则对应的图象为B，故选：B．结合指数函数的性质，得到f（4）＞0，g（4）＜0，得到0＜a＜1，结合指数函数和对数的单调性和奇偶性进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合指数函数，对数函数的性质是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：函数y=|log a x|与函数y=（）x的图象如下：由图象可知：a＞1．故选：A．根据两个函数y=（）x与y=|lpg a x|的图象可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．9.【答案】D【解析】解：∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0∴函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负当x＞0时，不等式等价于3f（-x）-2f（x）≤0又奇函数f（x），所以有f（x）≥0所以有0＜x≤2同理当x＜0时，可解得-2≤x＜0综上，不等式的解集为[-2，0）∪（0，2]故选：D．由题设条件，可得出函数f（x）在（0，2）的函数值为正，在（2，+∞）上的函数值为负，再利用函数奇函数的性质对不等式进行化简，解出不等式的解集，选正确选项本题考查函数单调性与奇偶性的综合，解题的关键是综合利用函数的奇偶性与单调性对函数值的符号作出正确判断，对不等式的分类化简也很重要．本题考查了转化的思想及推理判断的能力，有一定的综合性，是高考考查的重点．10.【答案】C【解析】解：∵f（x）=，对任意x1≠x2都有＜0成立，∴f（x）=为R上的减函数，∴，解得0＜a≤．故选：C．由题意可知，f（x）=为减函数，从而可得不等式组，由此可求得a的取值范围．本题考查函数单调性的性质，判断出f（x）=为R上的减函数是关键，得到4a≤1是难点，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（-1，0），（-1，1），（0，1）故选：C．函数f（x）=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．本题考查了新定义型函数的理解和运用能力，函数单调性的应用，转化化归的思想方法12.【答案】B【解析】解：画函数f（x）的图象如图：从图象上看，要满足对任意x∈D，存在x1，x2∈D，使得f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立：∵f （-4）=0，f （4）=4，∴任意x ∈D ，f （-4）≤f （x ）≤f （4），故满足|x 1-x 2|最大值为8， 而对于任意x ∈D ，f （x ）≤f （x ）≤f （x ），故满足|x 1-x 2|最小值为0， 则|x 1-x 2|最大与最小值之和为8+0=8， 故选：B ．先画函数f （x ）的图象如图，从图象上看，求适合使得f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立的|x 1-x 2|最大值与最小值．本题主要考查函数求最值的方法，特别是分段函数的最值求法，对于较复杂的函数可以考虑画函数的图象，结合图形解题． 13.【答案】{x |x ≤2或x ≥6}【解析】解：|x-3|+|x-5|≥4⇔或或，解得x≤2或x≥6， 故答案为{x|x≤2或x≥6}分三段去绝对值解不等式组，在相并可得． 本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题． 14.【答案】[2，4]【解析】解：∵函数y=x 2-4x-2=（x-2）2-6 的定义域为[0，m]，值域为[-6，-2]， f （0）=-2，f （2）=-6，可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4， 故m 的范围为[2，4]， 故答案为：[2，4]．由题意可得2∈[0，m]，且 2≤m≤2+2=4，由此求得m 的取值范围． 本题主要考查二次函数的性质的应用，属于基础题． 15.【答案】（13，23）【解析】解：根据题意，偶函数f （x ）在区间（0，+∞）单调递增， 则⇒|2x-1|＜，解可得：＜x＜，即x的取值范围为（，）；故答案为：（，）．根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得|2x-1|＜，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式．16.【答案】（3，+∞）【解析】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2＞4m-m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m-m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m-m2＜m（m＞0），解之即可．本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m2＜m是难点，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵x +1x =3，∴x 2+1x 2=(x +1x )2−2=7（2）∵a ，b ，c 为正实数，设a x =b y =c x =k ， ∴x =log a k ，y =log b k ，z =log c k ， ∴1x +1y +1z =log k a +log k b +log k c =log k abc =0， ∴abc =1 【解析】（1）由x 2+=代入即可求解（2）由a x =b y =c x =k ，利用指数与对数的互化及对数的换底公式可求本题主要考查了指数的运算及指数与对数的相互转化，对数的换底公式的简单应用，属于基础试题18.【答案】解：（1）A ={x |x ≤-1或x ≥5}，B ={x |-2≤x ≤1}…（2分）∴A ∩B ={x |-2≤x ≤-1}…（4分） ∁R A ={x |-1＜x ＜5}…（5分）∴（∁R A ）∪B ={x |-2≤x ＜5}…（7分） （2）∵A ∩B =B ，∴B ⊆A …（8分）①若B =φ，则2a ＞a +2，∴a ＞2…（10分）②若B ≠φ，则{a +2≤−1a≤2或{2a ≥5a≤2，∴a ≤-3…（13分） 综上a ＞2，或a ≤-3…（14分） 【解析】（1）由此能求出集合A={x|x 2-4x-5≥0}={x|x≤-1或x≥5}，从而能求出（∁R A ）∪B ． （2）由A∩B=B ，得B ⊆A ，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查交集和并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．19.【答案】解：（1）由于图中直线的斜率为k =10.1=10，所以图象中线段的方程为y =10t （0≤t ≤0.1），又点（0.1，1）在曲线y =(116)t−a 上，所以1=(116)0.1−a ，所以a =0.1，因此含药量y （毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为y ={10t (0≤t ≤0.1)(116)t−0.1(t ＞0.1)（5分）（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即(116)t−0.1＜0.25，解得t ＞0.6所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．（10分） 【解析】（1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质； （2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题．根据题意，利用函数的图象，求得分段函数的解析式，利用解析式进一步解决具体实际问题．20.【答案】解：（1）∵f （x ）=x+ax 2+bx+1是定义在[-1，1]上的奇函数，∴f （0）=0，即0+a0+0+1=0，∴a =0． 又∵f （-1）=-f （1），∴−12−b =-12+b ， ∴b =0， ∴f （x ）=xx 2+1．（2）函数f （x ）在[-1，1]上为增函数． 证明如下，任取-1≤x 1＜x 2≤1，∴x 1-x 2＜0，-1＜x 1x 2＜1， ∴1-x 1x 2＞0．f （x 1）-f （x 2）=x 1x 12+1-x 2x 22+1=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1)＜0，∴f （x 1）＜f （x 2），∴f （x ）为[-1，1]上的增函数． （3）∵f （x ）-f （1-x ）＜0， 即f （x ）＜f （1-x ）， ∴{−1≤x ≤1−1≤1−x ≤1x ＜1−x 解得0≤x ≤12， ∴解集为：{x |0≤x ＜12} 【解析】（1）根据奇函数的性质f （-x ）=-f （x ），列出方程求出a 、b 的值，代入解析式； （2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号下结论．（3）根据函数的单调性即可得到关于x 的不等式组，解得即可．本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论． 21.【答案】解：（1）∵f （-1）=0，∴a -b +1=0①，又x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）， ∴{△=b 2−4a =0a>0②，由①②消掉a 得，b 2-4（b -1）=0， ∴b =2，a =1，∴f （x ）=x 2+2x +1=（x +1）2．∴F （x ）={−(x +1)2,(x <0)(x+1)2,(x>0)；（2）由（1）知，g （x ）=f （x ）-kx =x 2+2x +1-kx =x 2+（2-k ）x +1=（x +2−k 2）2+1-(2−k)24，当2−k 2≥2或2−k 2≤-2时，即k ≥6或k ≤-2时，g （x ）是单调函数． （3）∵f （x ）是偶函数，∴f （x ）=ax 2+1，F （x ）={−ax 2−1,(x <0)ax 2+1,(x>0)，∵m •n ＜0，设m ＞n ，则n ＜0． 又m +n ＞0， ∴m ＞-n ＞0， ∴|m |＞|-n |，F （m ）+F （n ）=f （m ）-f （n ）=（am 2+1）-an 2-1=a （m 2-n 2）＞0， ∴F （m ）+F （n ）能大于零 【解析】（1）由f （-1）=0得a-b+1=0①，由x ∈R ，f （x ）的值域为[0，+∞）得：②，联立①②可解a ，b ；（2）由（1）表示出g （x ），根据抛物线对称轴与区间[-2，2]位置可得不等式，解出即可；（3）由f （x ）为偶函数可得b=0，从而可表示出F （x ），由mn ＜0，不妨设m ＞0，n ＜0，则m ＞-n ＞0，即|m|＞|-n|，由此刻判断F （m ）+F （n ）的符号．本题考查函数的奇偶性、单调性及其综合应用，考查二次函数的有关性质，考查学生分析解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）∵f （x ）=1+a •（12）x +（14）x ，∴当a =1时，f(x)=1+(12)x +(14)x ， ∵y =(14)x 和y =(12)x 在R 上是单调递减函数，∴f （x ）在R 上是单调递减函数，∴f （x ）在（-∞，0）上是单调递减函数， ∴f （x ）＞f （0）=3，∴f （x ）在（-∞，0）的值域为（3，+∞）， ∴|f （x ）|＞3，故不存在常数M ＞0，使|f （x ）|≤M 成立， ∴函数f （x ）在（-∞，0）上不是有界函数；（Ⅱ）∵函数f （x ）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数， ∴由题意知，|f （x ）|≤3在[0，+∞）上恒成立， ∴-3≤f （x ）≤3在[1，+∞）上恒成立，∴−4−(14)x ≤a ⋅(12)x ≤2−(14)x 在[0，+∞）上恒成立， ∴−4⋅2x −(12)x ≤a ≤2⋅2x −(12)x 在[0，+∞）上恒成立， ∴[−4⋅2x −(12)x ]max ≤a ≤[2⋅2x −(12)x ]min ， 令t =2x ，由x ∈[0，+∞），可得t ≥1， ∴ℎ(t)=−4t −1t ，p(t)=2t −1t ，下面判断函数h （t ）和p （t ）的单调性：设1≤t 1＜t 2，则t 2-t 1＞0，4t 1t 2-1＞0，t 1t 2＞0，2t 1t 2+1＞0， ∴ℎ(t 1)−ℎ(t 2)=(t 2−t 1)(4t 1t 2−1)t 1t 2＞0，p(t 1)−p(t 2)=(t 1−t 2)(2t 1t 2+1)t 1t 2＜0，∴h （t 1）＞h （t 2），p （t 1）＜p （t 2），∴h （t ）在[1，+∞）上递减，p （t ）在[1，+∞）上递增 ∴h （t ）在[1，+∞）上的最大值为h （1）=-5， p （t ）在[1，+∞）上的最小值为p （1）=1， ∴-5≤a ≤1，∴实数a 的取值范围为[-5，1]； （Ⅲ）g （x ）=1−m⋅x 21+m⋅x2=-1+2m⋅x +1， ①当m ＞0时，x ∈[0，1]，∵y =m •x 2+1在[0，1]上单调递增， ∴g （x ）在[0，1]上递减，≤g(x)≤1，∴g（1）≤g（x）≤g（0），即1−m1+m|＜1，∵|1−m1+m∴|g（x）|＜1，∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T（m）≥1；②当m=0时，g（x）=1，|g（x）|=1，∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T（m）≥1；③当-1＜m＜0时，x∈[0，1]，∵y=m•x2+1在[0，1]上单调递减，∴g（x）在[0，1]上递增，∴g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g(x)≤1−m，1+m∴|g(x)|＜1−m，1+m∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，∴T(m)≥1−m．1+m综合①②③，当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞），，+∞)．当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是[1−m1+m【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得，利用指数函数的单调性判断出f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数，即可求得f（x）＞f（0），从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化为在[0，+∞）上恒成立，令t=2x，则，，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．（Ⅲ）将函数g（x）=变形为g（x）=-1+，对参数m进行分类讨论，当m＞0时，确定函数g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的取值范围，从而确定|g（x）|的范围，利用有界函数的定义，转化为|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范围，即可求得T（m）的取值范围，同理研究当m=0和当-1＜m＜0时的情况，综上所求范围，即可求得T（m）的取值范围．本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值的应用．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成求最值问题．本题涉及了函数的求最值和值域问题，解题中主要运用了函数的单调性求解最值和值域．对于本题中的新定义问题，要严格按照题中所给定义分析，将陌生的问题转化为所熟悉的问题，本题转化为恒成立问题．属于难题．高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. {1，2}_____{∅，1，2，{1，2}}横线上可以填入的符号有（ ）A. 只有∈B. 只有⊆C. ⊆与∈都可以D. ⊆与∈都不可以2. 若函数f （x ）的定义域为[-1，4]，则函数f （2x -1）的定义域为（ ）A. [0,52] B. [−7,3] C. [−12,2] D. [−1,4] 3. 设a =log 3π，b =log 2√3，c =log 3√2，则（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a4. 设a ，b ∈R ，集合{1，a +b ，a }={0，ba ，b }，则b -a =（ ）A. 1B. −1C. 2D. −25. 如图，设a ，b ，c ，d ＞0，且不等于1，y =a x ，y =b x ，y =c x ，y =d x 在同一坐标系中的图象如图，则a ，b ，c ，d 的大小顺序（ ）A. a <b <c <dB. a <b <d <cC. b <a <d <cD. b <a <c <d6. 设函数f （x ）=4x 3+x -8，用二分法求方程4x 3+x -8=0的解，则其解在区间（ ）A. (1,1.5)B. (1.5,2)C. (2,2.5)D. (2.5,3)7. 若函数f （x ）=x−4mx 2+4mx+3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（ ）A. (−∞,34)B. [0,34)C. (34,+∞)D. (−34,34)8. 2003年至2015年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A. f(x)=ax 2+bx +cB. f(x)=ae x +bC. f(x)=e ax+bD. f(x)=alnx +b9. 函数f （x ）=x a 满足f （2）=4，那么函数g （x ）=|log a （x +1）|的图象大致为（ ）A.B.C.D.10. 若f （x ）符合：对定义域内的任意的x 1，x 2，都有f （x 1）•f （x 2）=f （x 1+x 2），且当x ＞1时，f （x ）＜1，则称f （x ）为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A. f(x)=2xB. f(x)=(12)xC. f(x)=log 12x D. f(x)=log 2x11. f （x ）=2x -log12x ，f （x ）的零点为a ，g （x ）=（12）x -log 2x ，g （x ）的零点为b ，h（x ）=（12）x -log12x ，h （x ）的零点为c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a <b <cB. a <c <bC. b <c <aD. b <a <c12. f （x ）=|-x 2+2|x ||的图象与g （x ）=kx +12的图象有6个交点，则k 的取值范围是（ ）A. (−14,14)B. (−12,12)C. (−35,35)D. [−35,35]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知f （log 2x ）=x 2，则f （x ）=______．14. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 2-2x +3，则当x ＜0时，函数f （x ）的解析式是______．15. 函数f （x ）=x a 2−2a−3（常数a ∈Z ）为偶函数且在（0，+∞）是减函数，则f （2）=______． 16. 已知f （x ）={−(x −1)2+1，x ＜2(12)x−3，x ≥2，f （x ）在区间[m ，m +1]上的最大值记为g （m ），m ∈R ，则g （m ）的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设a =2×100023+6423+lg4+2lg5．（1）化简上式，求a 的值；（2）设集合A ={x |x ＞a }，全集为R ，B =∁R A ∩N ，求集合B 中的元素个数．18.已知函数f（x）=log21+x．1−x（1）判断f（x）奇偶性并证明你的结论；（2）解方程f（x）＜-1．19.幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布．三国时的刘徽为《九章算术•方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘．”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”．幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即x n．（1）使用五点作图法，画出f（x）=x23的图象，并注明定义域；（2）求函数h（x）=x43-2x23-3的值域．20.已知函数f（x）=x+a为奇函数．x2+1（1）求a的值；（2）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．21.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是T0，经过一段时间t后的温度是T，则有T-Tα=（T0-Tα）•（1）tℎ，其中Tα表示环境温度，2h称为半衰期且h=10．现有一杯用89℃热水冲的速溶咖啡，放置在25℃的房间中20分钟，求此时咖啡的温度是多少度？如果要降温到35℃，共需要多长时间？（lg2≈0.301，结果精确到0.1）22.设二次函数f（x）=x2+bx+c，b，c∈R．（1）若f（x）满足：对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），求c的取值范围；（2）若f（x）在（0，1）上与x轴有两个不同的交点，求c2+（1+b）c的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：{1，2}⊆{∅，1，2，{1，2}}，或{1，2}∈{∅，1，2，{1，2}}．故选：C．利用元素与集合的关系、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵f（x）的定义域为[-1，4]；∴f（2x-1）满足-1≤2x-1≤4；解得0≤x≤；∴f（2x-1）的定义域为．故选：A．根据f（x）的定义域即可得出f（2x-1）需满足：-1≤2x-1≤4，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，已知f（x）定义域求f[g（x）]定义域的方法．3.【答案】A【解析】解：∵∵，故选：A．利用对数函数y=log a x的单调性进行求解．当a＞1时函数为增函数当0＜a＜1时函数为减函数，如果底a不相同时可利用1做为中介值．本题考查的是对数函数的单调性，这里需要注意的是当底不相同时可用1做为中介值．4.【答案】C【解析】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=-b，∴，b=1；故a=-1，b=1，则b-a=2，故选：C．根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．5.【答案】C【解析】解：作辅助直线x=1，当x=1时，y=a x，y=b x，y=c x，y=d x的函数值正好是底数a、b、c、d直线x=1与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d观察图形即可判定大小：b＜a＜d＜c故选：C．要比较a、b、c、d的大小，根据函数结构的特征，作直线x=1，与y=a x，y=b x，y=c x，y=d x交点的纵坐标就是a、b、c、d，观察图形即可得到结论．本题主要考查了指数函数的图象与性质，同时考查了数形结合的数学思想，分析问题解决问题的能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：∵f（1）=-3＜0，f（1.5）=7＞0，∴根据零点存在定理，可得方程的根落在区间（1，1.5）内．故选：A．根据二分法求区间根的方法只须找到满足f（a）•f（b）＜0即可．本题主要考查利用二分法求方程的近似解，函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：依题意，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①当m=0时，得3≠0，故m=0适合②当m≠0时，△=16m2-12m＜0，得0＜m＜，综上可知0≤m故选：B．由题意知，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①分m=0；②m≠0，△＜0，求出m的范围即可．考查学生理解函数恒成立时所取的条件，以及会求函数的定义域，要注意分类讨论思想的应用．8.【答案】D【解析】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．对于A．f（x）=ax2+bx+c，取a＞0，＜0，可得满足条件的函数；对于B．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于C．取a＞0，b＞0，可得满足条件的函数；对于D．a＞0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a＜0时，为单调递减函数，不符合图象的特征．故选：D．由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升．根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论．本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：∵f（2）=4，∴2a=4，解得a=2．∴g（x）=|log2（x+1）|=∴当x≥0时，函数g（x）单调递增，且g（0）=0；当-1＜x＜0时，函数g（x）单调递减．故选：C．利用f（3）=9，可得3a=9，解得a=2．于是g（x）=|log2（x+1）|=，分类讨论：当x≥0时，当-1＜x＜0时，函数g（x）单调性质，及g（0）=0即可得出．本题考查了幂函数的解析式、对数函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法．10.【答案】B【解析】解：对定义域内的任意的x1，x2，都有f（x1）•f（x2）=f（x1+x2），说明函数是指数函数，排除选项C，D；又因为：x＞1时，f（x）＜1，所以排除选项A；故选：B．利用好函数的定义，判断选项的正误即可．本题考查好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.【答案】B【解析】解：在坐标系中画出：y=2x，y=，y=log2x，y=的图象．如图：∵f（x）=2x-log x，的函数的零点a在（0，1）且靠近0，g（x）=（）x-log2x函数的零点b在（1，2）之间，h（x）=（）x-log x，函数的零点c在（0，1）之间且靠近1，∴a、b、c的大小关系为a＜c＜b．故选：B．根据三个函数等于0，得到两个函数的交点的位置得到三个函数的零点的位置，根据零点所在的区间和区间的位置，得到大小关系．本题考查函数的零点，本题解题的关键是把函数的零点的问题转化为两个函数的交点的问题，注意基本初等函数的图形的应用．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|-x2+2|x||是偶函数，g（x）=kx+恒过（0，），在平面直角坐标系值画出函数的图象，如图：可知直线经过（2，0）与（-2，0）时，两个函数的图象有5个交点，所以，k的取值范围是：（-，）．故选：A．画出两个函数的图象，利用数形结合转化求解即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．13.【答案】4x【解析】解：f（log2x）=x2，令log2x=t∈R，解得x=2t则f（t）=（2t）2=22t=4t．把t换成x，可得f（x）=4x．故答案为：4x．f（log2x）=x2，令log2x=t∈R，解得x=2t，代入化简即可得出．本题考查了换元法求函数解析式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】f（x）=-x2-2x-3【解析】解：设x＜0，则-x＞0，又因为函数f（x）是奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-2（-x）+3]=-x2-2x-3．故答案为f（x）=-x2-2x-3．设x＜0，则-x＞0，然后将-x代入x＞0时的解析式，结合奇函数的性质易求得此时函数的解析式．本题考查了函数的奇偶性在求解析式时的作用，主要是体现了转化思想的应用．15.【答案】116【解析】解：∵函数f（x）=（常数a∈Z）在（0，+∞）是减函数，∴a2-2a-3＜0，解得-1＜a＜3，∵a∈Z，∴a=0，1，2，若a=0，则f（x）=x-3，为奇函数，不满足条件．若a=1，则f（x）=x-4，为偶函数，满足条件．若a=2，则f（x）=x-3，为奇函数，不满足条件．故a=1，f（x）=x-4=，则f（2）=，故答案为：根据幂函数的定义求出a的值，即可．本题主要考查函数值的计算，根据幂函数的定义和性质求出a是解决本题的关键．16.【答案】2【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：当x＜2时，f（x）≤1，当x≥2时，0＜f（x）≤2，即函数f（x）的最大值为2，∵f（x）在区间[m，m+1]上的最大值记为g（m），∴当m在变换中，g（m）的最大值即为f（x）的最大值2，故答案为：2结合分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数最值的应用，结合分段函数的解析式作出条件，利用数形结合是解决本题的关键．本题看似难度很大，其实比较简单．17.【答案】解：（1）原式=2×100023+6423+lg4+2lg5=2×100+16+lg4+lg25=216+lg100=218（2）A={x|x＞218}，∁R A={x|x≤218}，B={x|0≤x≤218，x∈N}，所以B中元素个数为219．【解析】（1）根据根式和对数化简求出a的值（2）求出集合A，B结合元素个数进行判断即可本题主要考查根式与指数幂的化简，以及集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键18.【答案】解：（1）根据题意，f（x）为奇函数；＞0⇒−1＜x＜1，所以f（x）定义为（-1，1），关于原点对称；证明：1+x1−x任取x∈（-1，1），则f(−x)+f(x)=log21−x1+x +log21+x1−x=log2(1−x1+x⋅1+x1−x)=log21=0．则有f（-x）=-f（x），f（x）为奇函数；（2）由（1）知-1＜x＜1，f（x）＜-1⇒log2(1+x)(1−x)＜−1，即1+x1−x＜2−1=12，1+x 1−x −12=(2+2x)−(1−x)2(1−x)=3x+12(1−x)＜0，即3x+1x−1＞0，∴x＜−13或x＞1，又由-1＜x＜1，则有-1＜x＜-13，综上，不等式解集为(−1，−13)【解析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，再分析f（-x）与f（x）的关系，结合奇偶性的定义分析可得结论；（2）根据题意，f（x）＜-1⇒，求出x的取值范围，结合函数的定义域分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数的运算性质，注意分析函数的定义域．19.【答案】解：（1）f（x）=x23=√x23的图象，如图：函数的定义域为R．（2）设x23=t≥0，则h（x）=m（t）=t2-2t-3=（t-1）2-4≥-4，当t=1∈（0，+∞）时取等号，故h（x）值域为[-4，+∞）．【解析】（1）由题意利用幂函数的图象和性质，画出f（x）=x的图象，并注明定义域．（2）换元，利用二次函数的性质，求得函数h （x ）的值域．本题主要考查幂函数的图象和性质，二次函数的性质，属于基础题． 20.【答案】解：（1）根据题意，f （x ）=x+a x 2+1为奇函数，则f （-x ）+f （x ）=0， 即（−x+a x 2+1）+（x+a x 2+1）=0，解可得a =0；（2）由（1）的结论，f （x ）=x x 2+1，在（-1，1）上为增函数；证明：任取x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+1−x 2x 22+1=x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1)x 1x 22+x 1−x 2x 12−x 2(x 12+1)(x 22+1)=x 1x 2(x 2−x 1)−(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)=(x 1x 2−1)(x 2−x 1)(x 12+1)(x 22+1)，又由x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，则x 1x 2−1＜0，x 2−x 1＞0，x 12+1＞0，x 22+1＞0，则有f （x 1）-f （x 2）＜0，所以函数f （x ） 在（-1，1）上单调递增．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f （-x ）+f （x ）=0，即（）+（）=0，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，任取x 1，x 2∈（-1，1），且x 1＜x 2，由作差法分析f （x 1）-f （x 2）的符号，由函数单调性的定义分析可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的性质以及应用，关键是求出a 的值，属于基础题．21.【答案】解：由条件知，T 0=89，T α=25，t =20．代入T -T α=（T 0-T α）•（12）t ℎ，得T −25=(89−25)⋅(12)2010， 解得T =41℃；如果要降温到35℃，则35−25=(89−25)⋅(12)t 10． 解得t ≈26.8．答：此时咖啡的温度41℃，要降温到35℃，共需要约26.8分钟．【解析】直接把题中公差的相应条件代入函数解析式求解．本题考查根据实际问题选择函数模型，考查利用待定系数法求函数解析式，训练了函数值的求法，是中档题．第31页，共31页 22.【答案】解：（1）∵f （-x ）+f （x ）=（-x ）2+b （-x ）+c +x 2+bx +c =2（x 2+c ）≠0恒成立，……………（3分）所以，方程x 2+c =0无实数解……………………（5分）所以，c 取值范围为（0，+∞） ………………（6分）（2）设 f （x ）=0 的两根为 x 1，x 2，且 0＜x 1＜x 2＜1，则 f （x ）=（x -x 1）（x -x 2），………………（7分）所以c 2+（1+b ）c =c （1+b +c ）=f （0）f （1）……………（8分）=（0-x 1）（0-x 2）（1-x 1）（1-x 2）=x 1x 2（1-x 1）（1-x 2）(−x 12+x 1)(−x 22+x 2)………………（9分）[−(x 1−12)2+14][−(x 2−12)2+14] ≤116………………（11分）又因为 x 1，x 2 不能同时取到 12，所以 c 2+（1+b ）c 取值范围为(0，116)．……………（12分）【解析】（1）由f （-x ）+f （x ）≠0恒成立可知方程x 2+c=0，结合二次方程根的存在条件可求（2）由题意可设 f （x ）=（x-x 1）（x-x 2），而c 2+（1+b ）c=c （1+b+c ）=f （0）f （1），结合方程的根与系数关系及完全平方数的关系可求本题主要考查了二次函数的性质及方程的根与系数关系的简单应用，属于中档试题。
大学高等数学高数期中考试试卷与答案 (2)
⎧ ⎨ ⎩
x1 −
+ x2 3x2
− 2x3 + 3x3
=0 =0
,
令 x3 = 1，得到基础解系为η = (1,1,1)T ； 故原非齐次线性方程组的结构解为: X = γ 0 + kη ， k 为任意常数。
13.（本小题 12 分）(1)解：二次型 f 及其标准形矩阵分别是
⎜⎛ 1 A = ⎜−2
P(Z = 4) = P( X + Y = 4) = P( X = 2,Y = 2) = 4 / 9 .
故 Z = X + Y 的分布列为
⎜⎜⎝⎛12/ 9
3 4/9
4 4/9
⎟⎟⎠⎞
16.（本小题 12 分）解：（1）首先, ( X ,Y ) 的联合概率密度为
f
(
x,
y)
=
⎪⎧ 1 ⎨π
,
x 2 + y 2 ≤ 1, ，
安徽大学 2010—2011 学年第一学期 《高等数学 A（三）》（B 卷）考试试题参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分） 1.A 2. C 3. D 4.C 5. B
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 2 分，共 10 分）
6. A + 2E 7. 24 8. 9 9. 3 10. [19.87,20.15]
（2）由 Bayes 公式以及(1)的结果得
P(A B) =
P( A)P(B A) P(B)
n −1× 1 =nn
1 − ⎜⎛ n −1⎟⎞2
=
n −1 . 2n −1
⎝n⎠
15.（本小题 8 分）解：(1)由题意得 ( X ,Y ) 的联合分布
2011中国矿业大学高数接力赛试卷及其答案
姓名＿＿＿＿ 组号＿＿＿ 考场＿＿＿ 座位号＿＿＿ 学院＿＿＿ （文，理工）科第一阶段：（考试时间60分钟，四大题，共计70分，参赛选手依次单独答题） 试题一（15分）： 设2010lim(1)n nn n ααβ→∞=--（β为非零常数），求,αβ的值。
解：2010201020102011limlim1(1)1(1)1limlim 10,20111,2011,2011n n n n nnn n nnnnαααααααααααα-→∞→∞--→∞→∞=----==>⎧⎪⎪==⎨⎪+∞<⎪⎩由题设条件12011,2011αβ==姓名＿＿＿＿ 组号＿＿＿ 考场＿＿＿ 座位号＿＿＿ 学院＿＿＿ （文，理工）科第一阶段：（考试时间60分钟，四大题，共计70分，参赛选手依次单独答题） 试题二（15分）：设220()()sin xn f x t t tdt =-⎰，其中0,x n ≥为正整数，试证明：01m ax ()(22)(23)x f x n n ≤<+∞≤++解：若()00f =，显然满足不等式。
当0x >时，22()()sin ,0n f x x x x x '=-> 令()0f x '=，得01x =，(1,2,3,)k x k k π==因为当1()x x k π>≠时，22()0,sin 0n x x x ->>，所以在k x 的左右两侧()0f x '<，因此，k x 不是()f x 的极值点；又因为当01x <<时，()0f x '>，当1x π<<时，()0f x '<，所以1x =是极大值点，(1)f 是极大值，由极值的唯一性01122220m ax ()(1)()sin ()1122231(22)(23)x nnf x f t t tdt t t t dtn n n n ≤<+∞==-≤-=-++=++⎰⎰姓名＿＿＿＿ 组号＿＿＿ 考场＿＿＿ 座位号＿＿＿ 学院＿＿＿ （文，理工）科第一阶段：（考试时间60分钟，四大题，共计70分，参赛选手依次单独答题） 试题三：（本题20分，请文、理工科选手选择相应试题）1．（文科选做）设()f x 在(,)-∞+∞上连续且非负，且2()()sin xf x f x t dt x -=⎰求 ()f x 在[0,]π上的平均值。
高一上学期中考试数学试卷 Word版含答案
数学试题一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.已知全集，集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2. “{}1,2m ∈”是“ln 1m <”成立的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.幂函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1或24.设0.6 1.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b c a <<5. 已知函数，则为（ ） （A ）是偶函数，且在R 上是增函数（B ）是奇函数，且在R 上是增函数（C ）是偶函数，且在R 上是减函数（D ）是奇函数，且在R 上是减函数6.设0,0,22a b a b >>+=,则1a +1b 的最小值为( ) A.2232 B 223 C.23223 7.函数()2f x x px q =++满足对任意的x ,均有()()11f x f x +=-,那么()()()0,1,1f f f -的大小关系是( )A. ()()()110f f f <-<B. ()()()011f f f <-<C. ()()()101f f f <<-D. ()()()101f f f -<<8. 若函数()()212log 45f x x x =-++在区间()32,2m m -+内单调递增，则实数m 的取值范围为{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U ={0,1,3,5,8}A ={2,4,5,6,8}B =()()U U C A C B ⋂={5,8}{7,9}{0,1,3}{2,4,6}1()3()3x x f x =-()f x（ ） A. 4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 4,3⎡+∞⎫⎪⎢⎣⎭D. 4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 9.函数()2212x x f x -+⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为( ) A. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)2,+∞ 10.已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22g x x x m =-+，如果对于任意[]12,2x ∈-，存在[]22,2x ∈-，使得()()21g x f x =，则实数m 的取值范围是( )A ．(),2-∞-B ．()5,2--C []5,2--D ．(],2-∞-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.函数()()x 8log 23a f x =+-()01a a >≠且的图象恒过定点_________.12.已知函数2()21f x x ax =-+，若对∀(]0,2x ∈，恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是___________．13.已知是上的增函数，则a 的取值范围为_________ 14.函数 在区间[-1,1]上的最大值的最小值是__________．三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答时写出必要的文字说明，证明过程或解题步骤15. （本题满分10分）已知全集R ⋃=,集合{}{}2lg 0,(1)4,A x x B x x =>=-<C ={x|x ≤a } (1)求(),U A B C A B ⋃⋂(2)如果A C φ⋂=,求a 的取值范围.16. （本题满分10分）计算下列各式的值。
高一数学上学期期中试题答案 江苏省徐州市高一数学上学期期中试题PDF
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第一学期期中调研高一数学参考答案一、选择题.二、填空题.13．8；11[0,)+∞6．6.三、解答题：本大题一一共6个小题，总分值是70份.解答须写出说明、证明过程和演算步骤.17.〔1〕原式220318()1)2-=-+2=.……………………………………………5分〔2〕原式()22lg52lg2lg5lg21lg2=++⋅++3=.……………………………………………10分18.〔1〕因为{|3327}{|13}xA x x x=≤≤=≤≤，2{|1log2}{|24}B x x x x=<<=<<，……………………………………………2分所以{|23}A B x x⋂=<≤，……………………………………………4分从而{()3RC B A x x=≤或者}4x≥.……………………………………………6分〔2〕当22a a≥+，即2a≥时C=∅，此时C A⊆，符合条件；…………………8分当22a a<+，即2a<时，C≠∅，要使C A⊆，只需21,23,aa≥⎧⎨+≤⎩即112a≤≤.…………………………………………10分故要使C A⊆，实数a的取值范围是2a≥或者112a≤≤.……………………………12分19．〔1〕因为函数()f x 是定义在()4,4-上的奇函数，所以()00f =，即04b=，所以0b =；……………………………………………2分 又因为(2)1f =，所以()()221f f -=-=-，即212a-=-，所以1a =；综上可知1a =，0b =.……………………………………………4分 〔2〕由〔1〕可知当(4,0)∈-x 时，()4xf x x =+， 当(0,4)x ∈时，(4,0)-∈-x ， 因为函数()f x 是奇函数，所以()()44x xf x f x x x -=--=-=-+-+， 所以当(0,4)x ∈时，函数()f x 的解析式为()4xf x x =-+.…………………………7分任取12,(0,4)∈x x ，且12x x <，12121212124()()()44(4)(4)--=-=-+-+--x x x x f x f x x x x x ，………………………………9分因为12,(0,4)∈x x ，且12x x <， 所以121240,40,0-<-<-<x x x x ，于是12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <.……………………………………………11分故()4xf x x =-+在区间(0,4)上是单调增函数.………………………………………12分20.〔1〕由题设，当价格上涨%x 时，每年的销售数量将减少%mx ,销售总金额y 为y =10(1+x %)⋅1000(1−mx %)=−2mx +100(1−m )x +10000(1000x m<<).……………2分 当12m =时,()2125022500y x ⎡⎤=--+⎣⎦，当50x =时,max 11250y =.……………………………………………4分即该产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大。
2011级《高等数学一》期中试卷答案(2011[1].10.28)
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《高等数学一》期中试卷答案与评分标准（2011. 10）大题 一二三四五附加题总 分小题 1-7 1-6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 2 题分 21 18 8 7 7 7 7 9 10 6 5 7 112一．填空题 (每小题3分，共21分) 1．计算极限：))12()12(1531311(lim +⋅−++⋅+⋅∞→n n n L = 1/2 ． 2．已知在点可导，且)(x f 0x 2)(0=′x f ，则极限xx f x x f x Δ−Δ−→Δ3)()(lim 000=3/2−．3．曲线在x y cos 1−=3π=x 点处的切线方程是 π632123−+=x y ． 4．已知当时，有等价式：0→x x ax 22arcsin ~11−−，则常数=a 2−．5．设10()1sin 0x ae x f x x x x ⎧−≥⎪=⎨<⎪⎩在0x =连续，则a =__1___． 6．抛物线在其顶点处的曲率342+−=x x y = 2 ． 7．已知，则极限2)(=′a f =−−→ax x af a xf ax )()(lima a f 2)(−．二、单项选择题 (每小题3分，共18分)1．函数()f x 在点存在极限0x A x f x x =→)(lim 0，是()f x 在点连续的（ A ）．0x （A ）必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ）无关条件2．函数)1( )(22−−=x x xx x f 的可去间断点是（ C ）． (A) 1−=x (B) 0=x (C) 1=x (D) 2=x3．已知函数在)(x f y =x 点可微，y Δ与是dy )(x f 在x 点相应于自变量增量x Δ的增量与微分，则当0→Δx 时，dy y −Δ是关于x Δ的（ D ）． （A ）低阶无穷小 （B ）等价无穷小 （C ）同阶无穷小 （D ）高阶无穷小.4．设函数)(x f 在区间I 内二阶可导，如果)(x f 在I 满足（ B ）， 则)(x f 在区间I 内是上凸的．(A) (B) "()0f x >"()0f x < (C) "()0f x ≡ (D) '()f x 单调递增5．如果的图像如右图所示，则()y f x ′=()y f x =的图像是（ A（A ） （B ） (C) (D) 6．设函数|)1(|)(x x x f −=，则（ C ）．（A ）0=x 是)(x f 的极值点，但不是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （B ）0=x 不是)(x f 的极值点，但是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （C ）0=x 是)(x f 的极值点，且是曲线)0,0()(x f y =的拐点； （D ）0=x 不是)(x f 的极值点，且也不是曲线)0,0()(x f y =的拐点． 三. 计算题（要求步骤合理，等式完整、计算正确、极限计算过程中极限符号不得随便漏写）（本大题第1题8分，第2-5题每题7分，第6题每题9分，共45分）1．求极限（每小题4分，共8分）（1）11lim 31−−→x x x （2）20sin 1lim ln(1)x x e x x →−−+解1 原式1111lim 3321−++⋅+−=→x x x x x x 原式201sin lim x x e x x −−=→ 11lim 3321+++=−x x x x 3分 x x e x x 2cos lim 0−=→ 2分23= 1分 2sin lim 0x e x x +=→解2 原式3/22/11321lim −−→=x xx 3分 21= 2分23=1分 解3 令，则原式6t x =2311lim 11lim 21231=+++=−−=→→t t t t t t t 4分2. 已知函数)(x y y =由方程1ln )sin(=−+y y x 所确定，求dy ，dxdy ． 解1 方程两边微分得01)cos()(=−++dy yy x dy dx 3分 解出得 dy dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分从而 )cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分 解2 方程两边对x 求导得01)cos()1(=′−+′+y yy x y 3分解出 得 y ′)cos(1)cos(y x y y x y dx dy y +−+==′ 2分 从而 dx y x y y x y dy )cos(1)cos(+−+=2分3. 设参数方程 确定函数⎩⎨⎧−=−=)cos 1()sin (t a y t t a x ()y y x =, 求dx dy 、22dx y d . 解tt t a t a t x t y dx dy cos 1sin )cos 1(sin )()(−=−=′′=)(:t ω= 3分 2222)cos 1(1cot)1()cos 1(1cos )()(t a a t t t x t dx y d −−=−−−=′′=ω 4分 4. 求函数3412+−=x x y 的n 阶导数． )(n y 解 1131(213412−−−=+−=x x x x y 4分 ))1(1)3(1(!)1(2111)(++−−−−=n n n n x x n y 3分 5．设气球以100s cm /3的速度输入气体（假设气球是球体），求在充气过程中当气球半径cm 时，气球半径增加的速率（假设气球压力不变）.10=R 解 设充气t 秒后，气球的体积为V ，半径为r ，则 343V r π=， 3分上式两边对t 求导，得24343dV dr drr r dt dt dtππ=⋅=2， 3分 将100, 10dVr dt==代入，得 14dr dt π==0.08（cm/s ） 即气球半径增加的速率为0.08cm/s. 1分6．列表讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间，以及对应曲线的拐点.3239y x x x =−−−2解 , 23693(3)(1y x x x x ′=−−=−+6(1)y x )′′=−−令，解得 ; 令0y ′=123, 1x x ==0y ′′=，解得 31x =. 3分所以，单调递增区间为(,，[31−∞−],)+∞，单调递减区间为[1,3]−， 极大值为，极小值为(1)3f −=(3)29f =−； 4分 凹区间为[1,，凸区间为(，拐点为)+∞,1−∞](1,13)−. 2分四、应用题（本题10分）设M 是曲线上一点， 22(0y x x =−>)（1）求曲线上点M 处的切线l 的方程； ),(00y x （2）切线l 与两坐标轴所围三角形的面积； S （3）问当点M 在何处时，出其最小值.解 (1)曲线在M 处切线的斜率为0002x x y y k y x ==′==−，所以该点处切线方程为002()0y y x x −=−−x 0. 2分(2) 令x =0，则；令y =0，则202y y x =+0002y x x x =+. 所以切线与两坐标轴围成三角形的面积为200001()(222y S x y x x =++0)2200(2)4x x += () 2分00x >(3) 因为 22(2)()4x S x x+=（）， 所以0x >222()(2)(32)4dS x x x dx x+−=， 3分 令()0dS x dx=，得驻点3x =，3x =−（舍去） 因为驻点唯一，由实际意义知，最小值在驻点处取得， 1分所以当3x =时，切线l 与两坐标轴所围三角形的面积最小， 且最小值为698)(=x S , 此时点M为4,33. 2分 五、证明题（本题6分）设函数()f x 在闭区间上连续，在开区间内可导，且．证明：对任意实数]1,0[ (0,1)(1)0f =λ0>，在开区间(0内存在一点,1)ξ，使得 0)()(=′+⋅ξξξλf f ． 证明：设， 3分 ()()F x x f x λ=显然在闭区间上连续，在开区间(0内可导，()F x ]1,0[ ,1)且 . 2分 (0)0(1)F ==F 所以由Rolle 定理知，在开区间内存在一点(0,1)ξ，使得 ()0F ξ′=，即 0)()(=′+⋅ξξξλf f . 1分附加题（共12分，其中第一小题5分、第二小题7分）1．计算极限)14(tan lim nnn +∞→π.解 令x n=1，并视x 为连续变量，则当∞→n 时，0x +→，从而 原式1tan(/4ln tan()40lim lim x n nn x ee ππ+)1x+−+→∞→== 3分2分20lim sec (/4)2x x eπ+→+=e =2．设函数在区间上具有二阶导数，而且当)(x f ]1,0[ ]1,0[ ∈x 时，恒有4/|)(|A x f ≤，B x f ≤′′|)(|证明：当时，成立不等式： ]1,0[ ∈x 2/2/|)(|B A x f +≤′.证明 对任一点]1,0[0∈x ，作Taylor 公式： 012010000,)(21)()()0(x x f x x f x f f ≤≤′′+′−=ξξ 1,)1)((21)1)(()()1(20202000≤≤−′′+−′+=ξξx x f x x f x f f 2分 两式相减得])()1)(([21)()0()1(2012020x f x f x f f f ξξ′′−−′′+′=− 1分 所以)122(212/])1[(21|)0(||)1(||)(|02020200+−+≤+−++≤′x x B A x x B f f x f 1分 令 ，]1,0[,122)(00200 ∈+−=x x x x g 则由 024)(00=−=′x x g 得210=x ，从而当]1,0[0 ∈x 时，有 1)}1(),2/1(),0({)(0=≤f f f Max x g 2分所以当时，有 ]1,0[0 ∈x 2/2/|)(|0B A x f +≤′ 1分。
(完整word版)高等代数期中考试题答案
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。
3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。
另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。
2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。
于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。
故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。
2010-2011 第二学期 高等数学 期中考试 答案
中国矿业大学徐海学院2010－2011学年第二学期《高等数学》（理工类）期中试卷答案一、 填空题（每小题3分，共27分）．1. }1,0,0|),{(2≠>≥-x x y x y x2. 43.)2,1(-4. 320y y y '''-+=5.(1,0)2(2)dz edx e dy =++6.22400y x z ⎧-+=⎨=⎩7. 2220y z x +-=8. 2360x y z -++=或(1)2(1)3(1)0x y z +--++= 9. 4二、计算下列偏导数或导数1、已知arctan()z xy =，而x y e =，求d z d x. 解：d z d x =z z dy x y dx ∂∂+∂∂221()1()xy x e xy xy =+++2(1)1()y x xy +=+2、设函数z z x y =(,)由方程e z xy z+=+1所确定，求x z ∂∂，z y ∂∂，∂∂∂2zx y.解：zx x ze yz yz e +==+1,)1( (),e z xz x ez y y z+==+113222)1()1()1(1z zz z y zze xye e e z ye e y x z +-+=+-+=∂∂∂ 或 设1),,(--+=xy z e z y x F z,x F y =-,y F x =-1z z F e =+1x x z z F y z F e =-=+，1y y zz F xz F e=-=+ 22231(1)(1)(1)z zz zy z z e ye z z e xye x y e e +-∂+-==∂∂++ 3、设2(,)z f xy x y =+，(,)f u v 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y∂∂∂∂∂.解：''12zyf f x∂=+∂ 2'"''''''111122122(2)2z f y xf yf xf yf x y∂=++++∂∂ 三、计算题1、求过点()4,2,0且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程. 解：已知两平面的法向量为1(1,0,2),n = 2(0,1,3),n =-则所求直线的方向向量12,,s n s n ⊥⊥12102013i j ks n n =⨯=-(2,3,1),=-则所求直线的方程为024231x y z ---==-。
高一上学期期中考试数学试题及答案解析
高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 设集合M ={x |-3＜x ＜2}，N ={x |1≤x ≤3}，则M ∩N =（ ）A. [2,3]B. [1,2]C. (2,3]D. [1,2)2. 下列等式成立的是（ ）A. log 2(8−4)=log 28−log 24B.log 2．8log 24=log 284C. log 28=3log 22D. log 2(8+4)=log 28+log 243. 下列函数在R 上单调递增的是（ ）A. y =|x|B. y =lgxC. y =x 12D. y =2x4. 已知幂函数f （x ）=x m 的图象经过点（4，2），则f （16）=（ ）A. 2√2B. 4C. 4√2D. 85. 若奇函数f （x ）在[1，3]上是增函数，且有最小值7，则它在[-3，-1]上（ ）A. 是减函数，有最小值−7B. 是增函数，有最小值−7C. 是减函数，有最大值−7D. 是增函数，有最大值−7 6. 函数f （x ）=ln x +2x -6的零点一定位于下列哪个区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)7. 下列函数与y =x 有相同图象的一个函数是（ ）A. y =√x 2B. y =log a a x (a >0且a ≠1)C. y =a log a a x(a >0且a ≠1)D. y =x2x8. 三个数a =0.32，b =log 20.3，c =20.3之间的大小关系是（ ）A. a <c <bB. a <b <cC. b <a <cD. b <c <a 9. 已知函数f （x ）=4+a x -1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ）A. ( 1，5 )B. ( 1，4)C. ( 0，4)D. ( 4，0)10. 已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （-x ）=2-f （x ），若函数y =x+1x与y =f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑m i=1（x i +y i ）=（ ） A. 0 B. m C. 2m D. 4m 二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11. 函数y =x 2与函数y =2x 在区间（0，+∞）上增长较快的一个是______．12. 设a ＞1，函数f （x ）=log a x 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a =______． 13. 下列命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②任取x ＞0，均有（12）x ＞（13）x ；③在同一坐标系中，y =log 2x 与y =log 12x 的图象关于x 轴对称； ④y =1x 在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数． 其中正确的命题的序号是______．14. 定义运算：a ⊗b ={a,a <b b,a≥b则函数f （x ）=3-x ⊗3x 的值域为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.已知f（x）={loga x(x≥1)(6−a)x−4a(x<1)是（-∞，+∞）上的增函数，求a的取值范围．16.设集合A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜-1或x＞2}．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．17.求值：（1）已知函数f（x）=a x+a-x（a＞0，且a≠1），f（1）=3，求f（2）．（2）已知3m=4n=12，求1m +1n的值．18.已知函数f（x）=log a（2x+1），g（x）=log a（1-2x）（a＞0且a≠1）（1）求函数F（x）=f（x）-g（x）的定义域；（2）判断F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并说明理由；（3）确定x为何值时，有f（x）-g（x）＞0．19.已知定义在R上的函数f（x）=b−2x2x+a是奇函数（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t2）+f（-k）＞0恒成立，求k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合M={x|-3＜x＜2}=（-3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，则M∩N=[1，2），故选：D．由M与N，求出两集合的交集即可．此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2.【答案】C【解析】解：log2（8-4）≠log28-log24=log22．故A不正确，，故B不正确，log28=3log22．C正确log2（8+4）=log28+log24，D不正确故选：C．根据对数的运算性质，看出两个数的积，商的对数等于对数的和与差，真数有指数时，指数要提到对数前面去，考查最基本的运算，分析后得到结果．本题考查对数的运算性质，本题解题的关键是熟练应用对数的性质，能够辨别真假，本题是一个基础题，若出现则是一个送分题目．3.【答案】D【解析】解：A．函数y=|x|在x＞0时单调递增，在x＜0上单调递减．不成立．B．函数y=lgx在（0，+∞）上单调递增，∴正确．C．函数y=在[0，+∞）上单调递增，∴C错误．D．函数y=2x，在R上单调递增，∴正确．故选：D．分别根据函数的性质判断函数的单调性即可．本题主要考查函数单调性的判断，要熟练掌握常见函数的单调性．4.【答案】B【解析】解：由于知幂函数f（x）=x m的图象经过点（4，2），则有4m=2，解得m=，故f （16）==4，故选：B．由题意可得4m=2，解得m=，可得f（16）=，运算求得结果．本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，求函数的值，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由奇函数的性质，∵奇函数f（x）在（1，3）上为增函数，∴奇函数f（x）在（-3，-1）上为增函数，又奇函数f（x）在（1，3）上有最小值7，∴奇函数f（x）在（-3，-1）上有最大值-7故选：D．奇函数在对称的区间上单调性相同，且横坐标互为相反数时函数值也互为相反数，由题设知函数f（x）在〔1，3〕上是增函数，且有最小值7，可得它在〔-3，-1〕上的单调性及最值．本题考点是函数的性质单调性与奇偶性综合，考查根据奇函数的性质判断对称区间上的单调性及对称区间上的最值的关系，是函数的单调性与奇偶性相结合的一道典型题．6.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=lnx+2x-6f（1）=-4＜0，f（2）=ln2-4＜0f（3）=ln3＞ln1=0，∴f（2）f（3）＜0，∴函数的零点在（2，3）上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．7.【答案】B【解析】解：A．y==|x|，与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．B．y=log a a x=x，函数的定义域和对应法则与y=x相同，是同一函数，满足条件．C．y==a x与y=x的对应法则不相同，不是同一函数．D．y==x，（x≠0），函数的定义域与y=x不相同，不是同一函数，故选：B．分别判断函数的定义域和对应法则是否和y=x相同即可．本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的依据主要是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致即可．8.【答案】C【解析】解：由对数函数的性质可知：b=log20.3＜0，由指数函数的性质可知：0＜a＜1，c＞1∴b＜a＜c故选：C．将a=0.32，c=20.3分别抽象为指数函数y=0.3x，y=2x之间所对应的函数值，利用它们的图象和性质比较，将b=log20.3，抽象为对数函数y=log2x，利用其图象可知小于零．最后三者得到结论．本题主要通过数的比较，来考查指数函数，对数函数的图象和性质．9.【答案】A【解析】解：由指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点而要得到函数y=4+a x-1（a＞0，a≠1）的图象，可将指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位．则（0，1）点平移后得到（1，5）点．点P的坐标是（1，5）．故选：A．根据指数函数的性质，我们易得指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（0，1）点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点A的坐标．本题考查的知识点是指数函数的图象与性质，其中根据函数y=4+a x-1（a＞0，a≠1）的解析式，结合函数图象平移变换法则，求出平移量是解答本题的关键．10.【答案】B【解析】解：函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=2-f（x），即为f（x）+f（-x）=2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（-x2，2-y2）也为交点，…则有（x i+y i）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（x m+y m）=[（x1+y1）+（-x1+2-y1）+（x2+y2）+（-x2+2-y2）+…+（x m+y m）+（-x m+2-y m）]=m．故选：B．由条件可得f（x）+f（-x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（-x1，2-y1）也为交点，计算即可得到所求和．本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．11.【答案】y=2x【解析】解：指数函数的增长速度要比幂函数快，故答案为：y=2x．在区间（0，+∞）上，指数函数增长快于幂函数，幂函数快于对数函数．考查了指数函数，幂函数，对数函数的增长差异，属于基础题．12.【答案】4【解析】解：∵a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值分别为log a2a，log a a=1，它们的差为，∴，a=4，故答案为4利用函数的单调性表示出函数的最大值和最小值，利用条件建立等量关系，解对数方程即可．本题考查了对数函数的单调性，以及函数最值及其几何意义，属于基础题．13.【答案】②③【解析】解：①偶函数的图象不一定与y轴相交，比如偶函数y=x-2的图象与y轴无交点；②任取x＞0，由幂函数的单调性均有（）x＞（）x；③在同一坐标系中，y=log2x与y=x的图象关于x轴对称；④y=在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数，并非定义域上为减函数，比如x1=-1，x2=1，f（x1）＜f（x2）．综上可得①④错误，②③正确．故答案为：②③．由偶函数y=x-2的图象与y轴无交点，可判断①；由幂函数的单调性可判断②；由对数函数的图象可判断③；由如x1=-1，x2=1，f（x1）＜f（x2）．可判断④．本题考查函数的对称性和单调性、奇偶性的判断和运用，考查判断能力，属于基础题．14.【答案】（0，1]【解析】解：如图为y=f（x）=3-x⊗3x的图象（实线部分），由图可知f（x）的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．作出f（x）=3-x⊗3x的图象，结合图象能求出函数f（x）=3-x⊗3x的值域．本题考查指数函数的性质和应用，解题时作出图象，数形结合，事半功倍．15.【答案】解：f（x）={loga x(x≥1)(6−a)x−4a(x<1)是（-∞，+∞）上的增函数，当x≥1时，f（x）=log a x是增函数，∴a＞1，当x＜1时，f（x）=（6-a）x-4a是增函数，∴6-a＞0，∴a＜6，又由（6-a）×1-4a≤log a1，得a≥65，∴a的取值范围65≤a＜6【解析】需要分类讨论，当x≥1时，f（x）=log a x是增函数，求出a的范围，当x＜1时，f （x）=（6-a）x-4a是增函数，求出a的范围，再根据f（x）在（-∞，+∞）上的增函数，得到关于a 的不等式，继而求得范围．本题主要考查了对数函数的性质，函数的单调性的性质，二次函数的性质，属于基础题．16.【答案】解：（1）集合A ={x |a -1＜x ＜a +1}，B ={x |x ＜-1或x ＞2}，若A ∩B =∅，则{a +1≤2a−1≥−1即{a ≤1a≥0，解得：0≤a ≤1，实数a 的取值范围时[0，1]； （2）∵若A ∪B =B ，∴A ⊆B 则a +1≤-1或a -1≥2， 解得：a ≤-2或a ≥3，则实数a 的取值范围为（-∞，-2]∪[3，+∞）． 【解析】（1）若A∩B=∅，则，解不等式即可得到所求范围；（2）若A ∪B=B ，则A ⊆B ，则a+1≤-1或a-1≥2，解不等式即可得到所求范围． 本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．17.【答案】解：（1）已知函数f （x ）=a x +a -x （a ＞0，且a ≠1），f （1）=3，可得a +a -1=3，f （2）=a 2+a -2=（a +a -1）2-2=9-2=7． （2）已知3m =4n =12， 可得m =lg12lg3，n =lg12lg4，1m+1n=lg3+lg4lg12=1． 【解析】（1）利用函数的表达式，推出a 的关系式，然后求解f （2）． （2）求出n ，m 然后利用对数运算法则化简求解即可．本题考查函数值的求法，对数运算法则的应用，是基本知识的考查．18.【答案】解：（1）要使函数有意义，则有{1−2x >02x+1>0∴{x|−12＜x ＜12}．（2）F （x ）=f （x ）-g （x ） =log a （2x +1）-log a （1-2x ）， F （-x ）=f （-x ）-g （-x ） =log a （-2x +1）-log a （1+2x ） =-F （x ）．∴F （x ）为奇函数．（3）∵f （x ）-g （x ）＞0∴log a （2x +1）-log a （1-2x ）＞0即log a （2x +1）＞log a （1-2x ）．①0＜a ＜1，0＜2x +1＜1−2x ∴−12＜x ＜0．②a ＞1，2x +1＞1−2x ＞0∴0＜x ＜12．【解析】（1）利用对数函数的性质求函数的定义域．（2）利用函数奇偶性的定义去判断．（3）若f （x ）＞g （x ），可以得到一个对数不等式，然后分类讨论底数取值，即可得到不等式的解．本题主要考查了函数的定义域以及函数奇偶性的判断，判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点对称，然后在利用奇偶性的定义去判断，同时考查不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想． 19.【答案】解：（1）∵f （x ）是奇函数，∴f （0）=0，∴b =1，∵f （-1）=-f （1），∴1−1212+a=-1−22+a ，∴a =1；（2）由（1）知f （x ）=-1+22x +1，∴f ′（x ）=−2xln2(2x +1)2＜0∴f （x ）在（-∞，+∞）上为减函数，所以（t -2t 2）+f （-k ）＞0等价于t -2t 2＜k ，∴k ＞t -2t 2=-2(t −14)2+18对任意t ∈R 恒成立，∴k ＞18．【解析】（1）利用奇函数定义f （-x ）=-f （x ）中的特殊值f （0）=0求b 的值，f （-1）=-f （1），求a 的值；（2）结合单调性和奇函数的性质把不等式f （t-2t 2）+f （-k ）＞0转化为关于t 的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k 的取值范围．本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略，是一道综合题．高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |-3≤x ≤2}，B =N ，则A ∩B 中元素的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数f （x ）=x−3lg(x+2)的定义域为（ ） A. [−2,+∞)B. (−2,+∞)C. (−2,−1)∪(−1,+∞)D. [−2,3)∪(3,+∞)3. 下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈（0，+∞），当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）”的是（ ）A. y =1xB. y =−x 2+1C. y =|lnx|D. y =2|x|4. 若方程f （x ）-2=0在（-∞，0）内有解，则y =f （x ）的图象是（ ）A. B.C. D.5. 已知三个数a =31.2，b =（13）-0.8，c =ln2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c <b <aB. a <c <bC. b <a <cD. a <b <c 6. 根式√1a √1a （式中a ＞0）的分数指数幂形式为（ ）A. a −34B. a 34C. a −43D. a 43 7. 已知函数f （x ）=a x +1-2（a ＞0且a ≠1），且函数y =f （-x ）的图象经过定点（-1，2），则实数a 的值是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 已知幂函数f （x ）=（m 2-m -5）x 2m +3在（0，+∞）上为增函数，则m 值为（ ）A. 3B. 4C. −2D. −2或39. 定义在R 上的函数f （x ）在（6，+∞）上为增函数，且函数y =f （x +6）为偶函数，则（ ）A. f(4)<f(7)B. f(4)>f(7)C. f(5)>f(7)D. f(5)<f(7)10. 已知函数f （x ）={x 2,(x <0)−x 2,(x≥0)，若f （a -1）+f （a ）＜0，则实数a 的取值范围是（ ）A. (12,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,12)D. (−∞,1)11. 已知函数f （x ）=a x -2，g （x ）=log a |x |（其中a ＞0且a ≠1），若f （4）•g （-4）＜0，则f （x ），g （x ）在同一坐标系内的大致图象是（ ）A. B.C. D.12. 函数f （x ）=x 2-ax +1在区间（12，4）上有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. [2,+∞) B. (2,+∞) C. [2,174) D. (52,174) 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用“二分法”求方程x 2-2x -5=0在区间（2，4）内的实根，取区间中点为x 0=3，那么下一个有根的区间是______．14. 关于x 的不等式log 13（2x -1）＞1的解集为______． 15. 函数y =log 12（x 2-3x +2）的单调增区间为______． 16. 已知函数f （x ）={x 2−2x +1,x >0x+1,x≤0，若关于x 的方程f 2（x ）-af （x ）=0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. （1）已知lg2=a ，用a 表示lg8-2lg20．（2）求值：（ln4）0+（94）-0.5+√(1−√3)2−2log 43．18. 集合A ={x |-1≤x ＜3}，B ={x |2x -4≥x -2}（1）求A ∩B ：（2）若集合C ={x |2x +a ＞0}．满足B ∪C =C ．求实数a 的取值范围．19.如图，幂函数y=x3m-7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x轴，y轴均无交点．（1）求此函数的解析式（2）求不等式f（x+2）＜16的解集．20.设函数f（x）=|2x-1|-x+3．（1）将函数f（x）写成分段函数的形式并画出其图象；（2）写出函数f（x）的单调递增区间和值域．21.已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（1）x+1．2（1）求函数f（x）的解析式；（2）画出函数f（x）的图象，并依据图象解不等式|f（x）|≤1．22.已知函数f（x）=lg（x2-4x+3）的定义域为M，函数g（x）=4x-2x+1（x∈M）．（1）求M；（2）求函数g（x）的值域；（3）当x∈M时，若关于x的方程4x-2x+1=b（b∈R）有实数根，求b的取值范围，并讨论方程实数根的个数．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A={x|-3≤x≤2}，B=N，∴A∩B={0，1，2}，∴A∩B中元素的个数为3．故选：C．分别求出集合A，B，从而能求出A∩B，进而能求出A∩B中元素的个数．本题考查交集中元素个数的求法，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，lg（x+2）≠0，则x+2＞0且x+2≠1，∴x＞-2且x≠-1．∴函数f（x）=的定义域为（-2，-1）∪（-1，+∞）．故选：C．由分式的分母不为0求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，若f（x）满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”，则函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项：对于A，y=，是反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，y=-x2+1，为二次函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于C，y=|lnx|，在（0，1）上为减函数，不符合题意；对于D，y=2|x|，当x＞0时，y=2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，分析可得f（x）在（0，+∞）上为增函数，据此分析选项选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数单调性的定义以及判断，关键是掌握常见函数单调性，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：A：与直线y=2的交点是（0，2），不符合题意，故不正确；B：与直线y=2的无交点，不符合题意，故不正确；C：与直线y=2的在区间（0，+∞）上有交点，不符合题意，故不正确；D：与直线y=2在（-∞，0）上有交点，故正确．故选：D．根据方程f（x）-2=0在（-∞，0）内有解，转化为函数f（x）的图象和直线y=2在（-∞，0）上有交点．考查了识图的能力，体现了数形结合的思想，由方程的零点问题转化为函数图象的交点问题，体现了转化的思想方法，属中档题．5.【答案】A【解析】解：a=31.2＞3，b=（）-0.8=30.8∈（1，3），c=ln2＜1，则c＜b＜a，故选：A．根据指数函数和对数函数的性质判断，a，b，c的范围进行判断即可．本题主要考查函数值的大小比较，结合指数函数和对数函数的性质判断a，b，c的范围是解决本题的关键．6.【答案】A【解析】解：故选：A．由查根式和分数指数幂的意义，先将根式中的部分化为分数指数幂，再化整体即可．本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则，属基本知识、基本运算的考查．7.【答案】B【解析】解：∵f（x）=a x+1-2，∴f（-x）=a-x+1-2，∵函数y=f（-x）的图象经过定点（-1，2），∴a1+1-2=2，∴a=2，故选：B．先求出f（-x）=a-x+1-2，直接代值计算即可本题考查了指数函数和图象和性质，属于容易题8.【答案】A【解析】解：幂函数f（x）=（m2-m-5）x2m+3在（0，+∞）上为增函数，则，解得：m=3．故选：A．根据幂函数的定义与性质，列方程组求出m的值．本题考查了幂函数的概念及其单调性应用问题，是基础题．9.【答案】B【解析】解：根据题意，y=f（x+6）为偶函数，则函数f（x）的图象关于x=6对称，f（4）=f（8），f（5）=f（7）；故C、D错误；又由函数在（6，+∞）上为增函数，则有f（8）＞f（7）；又由f（4）=f（8），故有f（4）＞f（7）；故选：B．根据题意，由y=f（x+6）为偶函数，可得函数y=f（x）的图象关于直线x=6对称，分析可得f（4）=f（8），f（5）=f（7）；可以判定C、D错误，再结合函数在（6，+∞）上的单调性，可得f（8）＞f（7），又由f（4）=f（8），即可得f（4）＞f（7）；综合可得答案．本题考查函数的单调性与奇偶性，其中根据已知分析出函数y=f（x）的图象关于直线x=6对称是解题的关键．10.【答案】A【解析】解：当x≥0时，f（x）为减函数，且f（x）≤0，当x＜0时，f（x）为减函数，且f（x）＞0．即函数f（x）在R上是减函数，且函数f（x）是奇函数，由f（a-1）+f（a）＜0得f（a-1）＜-f（a）=f（-a），即a-1＞-a，即2a＞1，得a＞，即实数a的取值范围是（），故选：A．结合分段函数的表达式，判断函数的单调性和奇偶性，结合函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的解析式判断函数的奇偶性和单调性，利用数形结合是解决本题的关键．11.【答案】B【解析】解：由题意f（x）=a x-2是指数型的，g（x）=log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（4）•g（-4）＜0，可得出g（-4）＜0，由此特征可以确定C、D两选项不正确，由g（-4）＜0得log a4＜0，∴0＜a＜1，故其底数a∈（0，1），由此知f（x）=a x-2，是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．利用条件f（4）g（-4）＜0，确定a的大小，从而确定函数的单调性．本题主要考查了函数图象的识别和应用．判断函数图象要充分利用函数本身的性质，由f（4）•g（-4）＜0，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：若f（x）=x2-ax+1在区间（）上有零点，则由f（x）=x2-ax+1=0得ax=x2+1．得a=x+在（）有解，设h（x）=x+，则函数在（，1）上单调递减，则[1，4）上单调递增，则h（x）的最小值为h（1）=1+1=2，h（4）=4+=，h（）=+2=＜，∴2≤h（x）＜，即2≤a＜，故选：C．根据函数与方程之间的关系，利用参数分离法进行求解，结合对勾函数h（x）=x+，在在区间（）的单调性求解值域即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及对勾函数的单调性求值域是解决本题的关键．13.【答案】（3，4）【解析】解：设f（x）=x2-2x-5，f（2）=-5＜0，f（4）=13＞0，f（3）=-2＜0，f（x）零点所在的区间为（3，4），方程x2-2x-5=0有根的区间是（3，4）故答案为：（3，4）．方程的实根就是对应函数f（x）的零点，由f（4）=13＞0，f（3）=-2＜0 知，f（x）零点所在的区间为（3，4）本题考查用二分法求方程的根所在的区间的方法，方程的实根就是对应函数f（x）的零点，函数在区间上存在零点的条件是函数在区间的端点处的函数值异号．14.【答案】（12，23）【解析】解：由（2x-1）＞1=，得0＜2x-1＜，即＜x＜．∴不等式（2x-1）＞1的解集为（）．故答案为：（）．直接化对数不等式为一元一次不等式组求解．本题考查对数不等式的解法，考查数学转化思想方法，是基础题．15.【答案】（-∞，1）【解析】解：由x2-3x+2＞0，得x＜1或x＞2．∴函数y=（x2-3x+2）的定义域为（-∞，1）∪（2，+∞）．当x∈（-∞，1）时，内函数为减函数，当x∈（2，+∞）时，内函数为增函数，而外函数为减函数，∴函数y=（x2-3x+2）的单调递增区间为（-∞，1）．故答案为：（-∞，1）．求出原函数的定义域，求出内函数的减区间，则原复合函数的增区间可求． 本题考查了复合函数的单调性，关键是注意原函数的定义域，是中档题． 16.【答案】（0，1）【解析】解：作f （x ）的图象如下，，f 2（x ）-af （x ）=f （x ）（f （x ）-a ）=0，∴f （x ）=0或f （x ）=a ；∵f （x ）=0有两个不同的解，故f （x ）=a 有三个不同的解，故a ∈（0，1）；故答案为：（0，1）．作f （x ）的图象，从而由f 2（x ）-af （x ）=f （x ）（f （x ）-a ）=0可得f （x ）=a 有三个不同的解，从而结合图象解得．本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用．17.【答案】解：（1）lg2=a ，lg8-2lg20=3lg2-2（lg2+1）=lg2-2=a -2．（2）（ln4）0+（94）-0.5+√(1−√3)2−2log 43=1+23+√3−1-√3=23．【解析】（1）利用对数运算法则化简求解即可．（2）利用对数运算法则以及指数的运算法则化简求解即可．本题是基础题，考查对数运算法则以及指数的运算法则的应用．18.【答案】解：（1）∵A ={x |-1≤x ＜3}，B ={x |2x -4≥x -2}={x |x ≥2}．∴A ∩B ={x |2≤x ＜3}；（2）C ={x |2x +a ＞0}={x |x ＞-12a }．∵B ∪C =C ，∴B ⊆C ，∴-12a ＜2，∴a ＞-4．【解析】（1）化简B ，根据集合的基本运算即可得到结论；（2）化简C ，利用B ∪C=C ，可得B ⊆C ，即可求实数a 的取值范围．本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并运算，比较基础． 19.【答案】解：（1）由题意，得3m -7＜0，所以m ＜73，因为m ∈N ，所以m =0，1或2，因为幂函数的图象关于y 轴对称，所以3m -7为偶数，因为m =0时，3m -7=-7，m =1时，3m -7=-4，m =2，3m -7=-1．故当m =1时，y =x -4符合题意，即y =x -4．（2）由（1）得：f （12）=16，函数在（-∞，0）递增，在（0，+∞）递减， 由f （x +2）＜16，即f （x +2）＜f （12）=f （-12），故x +2＞12或x +2＜-12，解得：x ＞-32或x ＜-52，故不等式的解集是（-∞，-52）∪（-32，+∞）．【解析】（1）根据幂函数的定义以及函数的对称性求出函数的解析式即可；（2）求出f （）=f （-）=16，根据函数的单调性求出不等式的解集即可． 本题考查了幂函数的定义以及函数的单调性问题，是一道中档题．20.【答案】解：（1）f （x ）={2x −1−x +3=x +2，x ≥12−2x +1−x +3=−3x +4，x ＜12 对应的图象为：（2）当x ≥12时，f （x ）=x +2，此时函数f （x ）为增函数，增区间为[12，+∞），当x ＜12时，f （x ）=-3x +4，此时f （x ）为减函数，则当x =12时，函数f （x ）取得最小值f （12）=12+2=52， 即函数f （x ）的值域为[52，+∞）．【解析】（1）根据绝对值的意义，将函数表示成分段函数形式即可．（2）结合分段函数的解析式判断函数的单调性和最值即可求出函数的值域． 本题主要考查分段函数的应用，结合绝对值的应用将函数表示成分段函数，结合分段函数的性质是解决本题的关键．21.【答案】解：（1）设x ＜0，则-x ＞0∴f （-x ）=（12）-x +1=2x +1，又∵函数f （x ）为奇函数∴f （-x ）=-f （x ）∴f （x ）=-f （-x ）=-2x -1，当x =0时，由f （0）=-f （0），∴f （0）=0．故f （x ）={ (12)x +1，x ＞00，x =0−2x −1，x ＜0， （2）图象如图所示，∵|f （x ）|≤1，当x ＞0时，（12）x +1≤1，此时无解，当x ＜0时，|f （x ）|=2x +1≤1，此时无解，当x =0时，|f （x ）|=0≤1，综上所述，不等式的解集为{0}．【解析】（1）根据函数的奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；（2）利用分段函数作出函数图象即可得到结论，再解不等式即可．本题主要考查函数奇偶性的应用以及分段函数图象的应用，利用数形结合是解决本题的关键．22.【答案】解：（1）由函数有意义可得x2-4x+3＞0，解得x＜1或x＞3．∴M=（-∞，1）∪（3，+∞）．（2）g（x）=（2x）2-2•2x=（2x-1）2-1，∵x∈M，∴0＜2x＜2或2x＞8，∴-1≤g（x）＜0或g（x）＞48．即g（x）的值域为[-1，0）∪（48，+∞）．（3）设t=2x，则0＜t＜2或t＞8，且t=2x是增函数，y=（t-1）2-1在（0，1）上单调递减，在（1，2）和（8，+∞）上单调递增，∴g（x）=（2x-1）2-1在（-∞，0）上单调递减，在（0，1）和（3，+∞）上单调递增，又g（0）=-1，g（1）=0，g（3）=48，∴当b=-1或b＞48时，方程只有一个根当-1＜b＜0时，方程有两个根当b＜-1或0≤b＜48时，方程没有实数根【解析】（1）令x2-4x+3＞0，解出x的范围；（2）令t=2x，根据二次函数性质和t的范围得出最值；（3）讨论g（x）的单调性，根据单调性得出结论．本题考查了函数的定义域，值域的求法，考查函数单调性的应用，属于中档题．。
2011学年第一学期期中考试高二数学试卷(含答案)
2011学年第一学期期中考试 (2011. 11)高二数学试卷(参考答案)考生注意：l ．本试卷共3页．满分100分．考试时间90分钟．全卷包括三大题，共21题．第一大题为填空题．第二大题为选择题．第三大题为解答题．2．所有题目均做在答题卷上．3．答卷前，务必在答题卷上将班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚．友情提示：细心耐心，沉着冷静，诚信应考，收获自信！一、填空题(本大题满分36分) 本大题共有12题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得零分． 1．等差数列{}n a 中，36a =，98a =，则公差d =132．求极限22341lim 2n n n n n →∞+-=- 32-3．无穷等比数列{}n a 的首项为3，公比13q =-，则{}n a 的各项和S =944．数列{}n a 的前n 项和2*10()n S n n N =-∈，则n a = 9,112,2n n n =⎧⎨-≥⎩5．等比数列前n 项和123nn S k ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，则常数k 的值为 2-6．已知两等差数列{}{},n n a b 的前n 的和分别为,n S T 3742n n S n T n +=-，则1010a b = ．32377．若12lim 02nn n n a+→∞=+，则实数a 的取值范围是 ()(),22,-∞-+∞U8．如图给出的是计算111124620++++L 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是_______________．20≤n 或10≤i 9．若11111()1234212f k k k=-+-++--L ，则(1)()f k f k +=+11.2122k k -++ 10．对数列{}n a ，已知lim(2)1n n na →∞=，则[]lim (1)n n n a →∞-= ．12- 11．已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=,则n a n 的最小值为 ．21212．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10． ． ． ． ． ． ．按照以上排列的规律，第n 行（3n ≥）从左向右的第3个数为 ． 262n n -+二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写选项，每题选对得3分，否则一律得零分．13．一套共五册的丛书，计划每两年出版一册，若各书的出版年份之和为10030，则出齐这套书的年份是（ ）()A 2008 ()B 2010()C 2011()D 2012 答案()B14．数列1，（1+2），（1+2+22），⋅⋅⋅，（1+2+22+⋅⋅⋅+2n），⋅⋅⋅的前99项之和是（ ）()A 99299- ()B 100299- ()C 992101- ()D 1002101-答案()D15．已知等比数列{}n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是( )()A (],1-∞- ()B ()(),01,-∞+∞U()C [)3,+∞()D (][),13,-∞-+∞U 答案()D16．已知数列{}n a 的首项10a ≠，其前n 项的和为n S ，且112n n S S a +=+,则limnn na S →∞=( )()A 0 ()B 12()C 1 ()D 2 答案()B三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分8分），L的前n项和．解：12na==………………4分)112nS⎡⎤∴=-++++⎣⎦L)112=………………4分18．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分．已知{}n a是首项119a=，公差2d=-的等差数列，nS为{}n a的前n项和.⑴求通项na及nS；⑵设{}n nb a-是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b的通项公式及其前n项和n T．解：⑴2212,20n na n S n n=-=-+………………………4分⑵13221nnb n-=-+，1231(133)202nnn nT S n n--=++++=-++L……………4分19．（本题满分8分）数列}{na中，nnna⎪⎭⎫⎝⎛+=109)2(，试问n取何值时，na取最大值，并求此最大值．解：假设第k项最大．…………………………1分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-+1111kkkkaaaa⎩⎨⎧≤≥⇒87kk∴7=k或8 …………………………5分∴第7项或第8项最大，最大值为=7a788109=a．…………………………2分20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．已知数列{}n a满足：()*1131,,03nn nnaa a a n Na+==≠∈+，计算234,,a a a的值，根据计算的结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法．．．．．加以证明． 解：2343313,,4526a a a ====……………………3分猜想：32n a n =+ ……………………3分 证明：⑴当1n =时，11a = ，猜想成立. ……………………1分 ⑵假设当*(,1)n k k N k =∈≥时，猜想成立，即32k a k =+， ……………………1分 则当1n k =+时，193332=== ,333(1)232k k k a k a a k k k ++=++++++猜想也成立. …2分由⑴和⑵，可知32n a n =+对任何*n N ∈都成立． ………1分21．（本题满分14分）第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分．记数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有奇数项之和为'S ，所有偶数项之和为''S ． （1）若}{n a 是等差数列，项数n 为偶数，首项11=a ，公差32d =，且-''S 15S '=，求n S ； （2）若无穷数列}{n a 满足条件：①n S 531S 1n -=+)(*∈N n ，②'''S S =．求}{n a 的通项； （3）若}{n a 是等差数列，首项01>a ，公差*d N ∈，且36S '=，27S ''=，请写出所有满足条件的数列．解：（1）若数列}a {n 项数n 为偶数，由已知，得-''S 22315S 'n⋅==，…………2分 解得20=n ，…………………………………………………………………1分.3052321920201S n =⨯⨯+⨯=……………………………………………1分 （2）n S 531S 1n -=+Θ)(*∈N n ① 1n 531S --=∴n S )2(≥∈*n N n ， ②①减去②得：531-=+n n a a ． ……………………………………………1分 所以数列}a {n 是从第二项开始的无穷等比数列，公比53-=q ，且1||0<<q由题意，得221'1S q q a a -+=，22''1S qa -=，……………………………………………1分Θ'''S S =，221251a q a a =+=∴， ……………………………………………1分 又n S 531S 1n -=+Θ)(*∈N n ，55821=+∴a a 211=∴a ……………………………1分所以，对应的数列的通项为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-==-2)53(511212n n a n n ………………………………1分（3）假设数列}a {n 项数n 为偶数，-''S 02S '>⋅=d n与9S '''-=-S 矛盾．故数列}a {n 项数n 不为偶数，………………1分解法1：设数列}a {n 项数12n +=k （N k ∈），则)1(2S 1211231'+⋅+=+⋅⋅⋅++=++k a a a a a k kk a a a a a kk ⋅+=+⋅⋅⋅++=2S 22242''k k a a a a 22121+=++Θ，27361'''=+=∴k k S S ，解得3k =，项数7132n =+⨯=， ……………………………………………2分d a S S S ⋅⨯+==+=2677631'''7Θ，931=+∴d a ，0391>-=d a Θ，3<∴d ．又*N d ∈，所以，1=d 或2=d ． 当1d =时，6a 1=，此时，51)1(6+=⋅-+=n n a n ， 所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．……………………………………………1分 当2d =时，3a 1=，此时，122)1(3+=⋅-+=n n a n所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．……………………………………………1分解法2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-++=⋅-++++27221()(362211)(1()1(11d k k d a k d k k a k ））⎩⎨⎧=⋅+=+++2736)1()1(211d k ka kd k a k ，解得3=k ，项数7132n =+⨯=，……………………2分 d a S S S ⋅⨯+==+=2677631'''7Θ， 931=+∴d a ，0391>-=d a Θ，3<∴d ．又*N d ∈，所以，1=d 或2=d ． 当1d =时，6a 1=，此时，51)1(6+=⋅-+=n n a n ，所以，该数列为：6，7，8，9，10，11，12．……………………………………………1分 当2d =时，3a 1=，此时，122)1(3+=⋅-+=n n a n所以，该数列为：3，5，7，9，11，13，15．……………………………………………1分。
2011级高数上试题
2011级高数上试题一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1）设()()21lim 1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =0，它是第二类间断点。
分析：()100x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，2）若函数()()()()()1232008f x x x x x x =----，则()0f '=2008!。
分析：()()()()()()()()()12320081232008f x x x x x x x x x x ''=----+⎡----⎤⎣⎦ 3）设()f u 可微，且()2sin 3y f x =，则dy =()()6sin3sin3cos3f x f x xdx'。
4）(22214x x dx -+-=⎰2π。
分析：2222240,4x x dx x dx---=-⎰⎰为圆心在原点半径为2的半圆面积。
5）已知()f x 的一个原函数为ln x x ，则()f x '=1x。
6）设{}1,2,2a =-，{}2,1,2b =-，则()()a b a b -⨯+={}12,12,6-。
二、解答下列各题（共4小题，每小题5分，共20分）1）设)2sin 2nan n n π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，求lim nn a →∞。
解：2222sin 2lim lim sin 2222n n n n n n a n n n n n n nπ→∞→∞⎡⎤⎢⎥⎡⎤++⎣⎦==⎢++++⎣++2211n nπ==++ 2）求极限011cos lim 12xx x x →⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦。
解：原式1cos ln201cos ln 11cos 2lim limlimln 02xx x x x xx ex xx +→→→+-+====3）已知()f x 有一阶连续导数，且()()001f f '==，求极限()()sin 1lim ln x f x f x →-。
《2011级高等数学(上)中期考试试题答案》
一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)1．10)23( 2.4 3．)1sin(4)1cos(2222x x x y +-+='' 4．)0(4)2(22>++-x xe e x xx 5．2 二、选择题 (每小题4分，5个小题，共计20分) 1．C 2．A 3．D 4．D 5．B三、解答题 (每小题7分，6个小题，共计42分)1．3sin 11120sin 12022})]1(1{[lim )(lim e ex ex xe x ex xx xxx xx=-++=+-+-+→→。
2．e y xy y xy xy y xy()()cos()+'++'='， ))cos((1))cos((xy e x xy e y y xyxy+-+='。
3． ttt t t t dtdx dt dyy =++=='1ln )1(ln 。
4．都连续在及则具有连续二阶导数因0)(),()(,)(='''x x f x f x f x f 则lim(sin )lim(sin )sin x x f x xf x xx→→='⋅0242324 22)(sinlim21xx f x '=→ xx x f x 22sin )(sinlim212''=→ )(sinlim 212x f x ''=→)0(21f ''= 3= 5．πππππ+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++≤+22222221211n n n n n n n n n n，由夹逼准则有11211lim 222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→πππn n n n n n 。
6．22,||11()lim0,||11,||1n nn x x x f x x x xx x →∞->⎧-⎪===⎨+⎪<⎩， 在分段点1x=-处，因为11lim ()lim ()1x x f x x --→-→-=-=，11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==-，即11lim()lim()x x f x f x -+→-→-≠,1x =-是()f x 的跳跃间断点（第一类）；在分段点1x=处，因为11lim()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim ()1x x f x x ++→→=-=-，即11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠,1x =是()f x 的跳跃间断点（第一类）。
中国矿业大学11-12(上)《工程数学A》试题(A)卷
11-12学年第一学期《工程数学A 》试题（A ）卷一、填空题（每空4分，共40分）1) ()()f t u t =的傅氏变换为 .2) 函数3232()(3)f z my nx y i x xy =++−为解析函数，则m = .3) 201lim(sin d )t t t t i t t j e k →++=∫ . 4) 矢量场k z j y i x A ++=从下向上通过有向曲面22z x y =+(02)z <<的通量为 .5) 函数()sin t f t e t =的拉氏变换为 .6) 矢量场222A xi x y j yzk =−+ 在点)1,2,1(−M 处散度为 . 7) 设()tan f z z =则Res[(),]2f z π= . 8) 函数20()sin 2d t t f t te t t −=∫的拉氏变换为 . 9) C 是直线OA ，O 为原点，A 为i +2, 则d C z z =∫ .10) 复数ln i i = .二、（10分）求矢量场22()A x i y j x y zk =+++ 通过点)1,1,2(−M 的矢量线方程. 三、（10分）求常系数二阶线性微分方程t e t y t y t y −=+′−′′2)()(2)(满足条件0)0(,0)0(=′=y y 的解.四、（10分）求函数222()(413)s F s s s +=++的拉氏逆变换.五、（10分）证明矢量场k yz x j y z x i xyz A 22222)cos (2+++=为保守场，并求积分∫⋅B Al A d ，其中(1,0,1),(2,1,3)A B . 六、（10分）将函数21()(1)f z z z =−在圆环域1|1|z <−<+∞展开成洛朗级数. 七、（10分）用留数计算积分201d 5cos t tπ+∫.。
2011级高等数学(上)期中考试试卷(8学分)
华东理工大学2011–2012学年第一学期《高等数学（上）8学分》课程期中考试试卷 2011.10开课学院：理学院， 专业：大面积, 考试形式：闭卷，所需时间 120 分钟考生姓名： 学号： 班级 任课教师一．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）：1、设4312⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x y ，则 =)('x y2、设xey 1sin 2-=，则=)('x y3、极限 =++-→111)313(lim x x xx4、极限 =-→30)(arcsin sin tan limx xx x5、极限=--+∞→)3(lim n n n n n6、设 322200021)1(2arctan )1(x x x x y +++-=，则 =)1('y 7、设xxx x f 5tan )()(⋅=ϕ，其中)(x ϕ在0=x 处可导，且1)0(,0)0(='=ϕϕ， 则当0→x 时，)(x f 关于x 的阶数是 8、极限 =-+→2)()c o s 2l n (l i mππx x x二．选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）：1．若⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤++=--+∞→+∞→0,lim 0,1lim )(x n n n n x e e x x f x x xx n txtxt ，则0=x 是)(x f 的 （ ） （A ）连续点 （B ）无穷间断点 （C ）跳跃间断点 （D ）可去间断点2、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=0),(0,1)(22x x g x x xe xf x ，其中)(xg 是有界函数，则)(x f 在0=x 处 （ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导 3、已知 2arcsin )(' , 2323x x f x x f y =⎪⎭⎫⎝⎛+-=，则=)('x y （ ） （A ）22)23(122323arcsin +⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x （B ）22)23(12arcsin +⋅x x （C ）22)23(182323arcsin +⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x （D ）22323arcsin ⎪⎭⎫⎝⎛+-x x 4、“L n f n =+∞→)(lim ” 是“L n f n =+∞→)2(lim ”的 （ ）（A ）充分条件，非必要条件 （B ）必要条件，非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不是必要条件，也不是充分条件5、下列说法正确的是 （ ） （A ）两个无穷大之和一定是无穷大 （B ）不是无穷大量，则此量一定是有界的 （C ）有界函数与无穷大量的乘积一定是无穷大 （D ）无穷大与无穷大之积一定是无穷大6、在区间).(∞+-∞内方程 0cos 2141=-+x x x（ ）（A ）有且仅有一个实根 （B ）有且仅有两个实根 （C ）有无穷多个实根 （D ）无实根三．（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 1、计算极限：)1010(lim 1112+∞→-n nn n2、设⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=0, 1sin 0, )1ln()(23x x x x x x f ，求)('x f .3、设)(x f 在0=x 处连续，且2sin 1)(lim=++→xx x f x ，计算)0('f .4、 计算极限：)sin (cot lim 20xe x xx -→四、（本题8分）．设函数11)()1(-=--x xe xf ，试讨论)(x f 的连续性，并判别间断点的类型。
【K12教育学习资料】高三数学上学期期中考试(扫描版) 文
湖北省部分重点中学2011届高三第一次联考文科数学试卷参考答案及评分细则二、填空题：11． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0,26 12． 0.896 13． 21 14．59 15． 2223+ 三、解答题：16．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6sin 3cos 21sin 233πωωωx x x x f . ∵)(x f 的周期为2π，即22πωπ=，∴4=ω. 故)64sin(3)(π+=x x f .………………………………………………………………4分当4262x k πππ+=+，即212k x ππ=+时，max 3y =. 此时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,122ππ. ………………………………………8分 (Ⅱ)∵()3sin[4()]4124126f απαππ+=⨯++)2sin(3π+=a 3cos α=，∴93cos 5α=，即3cos 5α=.…………………………………………………………10分∴4sin 5α==±. ………………………………12分17.（本小题满分12分）解：(Ⅰ) 频率分布表：(……5分).0（Ⅱ）频率分布直方图：(……10分)（Ⅲ）成绩在[)131,91之内的概率为7.04028=. ………………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）直三棱柱111C B A ABC -，底面三边长5,4,3===AB BC AC .222AC BC AB +=，∴BC AC ⊥. ………………………………………………………2分又1CC AC ⊥，且1BCC C C =，∴ AC ⊥平面1BCC . …………………………………4分又1BC ⊂平面1BCC ，∴1BC AC ⊥ . . …………………………………………………………5分 （Ⅱ）取BC 中点E ，过D 作1DF B C ⊥于F ，连接EF .D 是AB 中点，∴//DE AC .又AC ⊥平面11BB C C ，∴DE ⊥平面11BB C C .又1DF B C ⊥，∴C B EF 1⊥.∴EFD ∠是二面角1D BC B --的平面角. …………………………………………………8分在DEF ∆中,求得32DE=，EF =. ∴3tan DE EFD EF ∠===∴二面角1D B C B --的正切值为4. ………………………………………12分 19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ)由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334,232ca a c ∴3,2==c a ∴122=-=c ab . F EDC 1B 1A 1CBA∴所求椭圆的标准方程为1422=+y x .…………………………………………4分 (Ⅱ)将y=x+m 代入1422=+y x ，得()0148522=-++m mx x . ()01806422>--=∆m m ， 52<∴m . ① ……………………6分 设A ()11,y x ， B ()22,y x ，则5821m x x -=+， ()514221-=m x x .…………………………………………………………8分2>⋅ ， ()()22121>+++∴m x m x x x ，即 2()222121>+++m x x m x x .∴25852>-m ，即m 5182> . ② 由①②55182<<m . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴5510351035，，的取值范围为m .…………………………12分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵n=1时，111a a -=，211=∴a . n n a n S -=，()1111>--=∴--n a n S n n .两式相减，得21211+=-n n a a . …………………………………………………3分 ()12111-=-∴-n n a a . 从而{1}n a -为等比数列，首项2111-=-a ，公比为21.…………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知121211-⎪⎭⎫⎝⎛-=-n n a .从而121+⎪⎭⎫⎝⎛-=nn a . …………………8分∵nn n n n n c ⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21221212，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴nn n T 2121321221232. ……………………10分从而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+14322121321221221n n n T两式相减，得⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+14321212121212121221n n n n T .()n n nn n n T ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=∴+214242142112112141.4<∴n T . …………………………………………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）()()()32222111133f x x x m x x x x m ⎛⎫=-++-=-++- ⎪⎝⎭. 方程()0f x =只有一个实数解，()221103x x m ∴-++-=没有实数解. ()24113m ∴∆=+-<0，解得1122m -<<.所以，当方程()0f x =只有一个实数解时，实数m 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛-21,21.……………………4分 （Ⅱ）当1m =时，()3213f x x x =-+，()'22f x x x =-+，设切点为()00,x y ， 切线方程设为()()'000y y fx x x -=-，即()()32200000123y x x x x x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭. 将原点代入，得()()3220000010203x x x x x ⎛⎫--+=-+- ⎪⎝⎭， 解得0030,2x x ==或. 因此过()()0f 0，作曲线()y f x=的切线的方程为0y =，或3-4=0x y .……………………8分（Ⅲ）由()()()111222-+---=-++-='m x m x m x x x f .因为m m m ->+>11,0所以.所以)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内单调递减，在)1,1(m m +-内单调递增. ……………10分（1）当m +≤13，即2≥m 时，()x f 在区间[]3,1m -上是增函数，()()3332max -==m f x f .⎩⎨⎧≤-≥∴.033,22m m 无解. …………………………………………………………………12分 （2）当31≤+m ，即20≤<m 时，()x f 在区间[]m m +-1,1上是增函数，在),1(+∞+m 上是减函数，()=∴max x f )1(m f +=313223-+m m .⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤<∴.03132,2023m m m 解得210≤<m . 综上，m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0. ………………………………………………14分。
大学期中高数考试试卷及答案解析 (8)
安徽大学2008—2009学年第一学期《高等数学C（三）》考试试卷（A 卷）（闭卷 时间120分钟）一、选择题（每小题2分，共10分） 1.设,A B 为随机事件，B 为B 的对立事件，且()0.4P A =，，()0.3P B =()0P A B =∪.6，则()P AB =（）A．0.2 B. 0.3 C. 0.4D. 0.62.每次试验成功的概率为p (01)p <<。
进行独立重复试验，直到第10次试验才取得1次成功的概率为（ ）A. C pB. C pC. 44610(1)p −p −3469(1)9(1)p p − D. (19)p −33.设12,,X X X 是来自总体()2,N μσ的简单随机样本，其中μ、2σ是未知参数，则以下关于12,,X X 3X 的函数是统计量的是（）A. 22X μ+B.123min(,,)X X XC.231i i X σ=∑D. ()21X μσ−4.设总体，2(1,3)X N ∼12,,,9X X X 是来自于X 的简单随机样本，则下列结论正确的是( )A. 1(0,1)3X N −∼ B. 1(0,1)1X N −∼C.1(0,1)9X N −∼(0,1)X N ∼5.设1ˆθ和2ˆθ是总体参数θ的两个估计量，设1ˆθ比2ˆθ更有效，是指（ ） 院/系 年级 专业 姓名 学号答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------题 号一二三四总分得 分阅卷人得分A. 12ˆˆE E θθθ==且1ˆˆ2θθ< B. 12ˆˆE E θθθ==且12ˆˆθθ>C．1ˆ2ˆD D θθ< D. 12ˆˆE E θθθ==且12ˆˆD D θθ<二、填空题（每小题2分，共10分）得分6.两封信随机地投入四个邮筒，则前两个邮筒没有信的概率为．7.设()X P λ∼（泊松分布），且(1)2(2P X P X )===，则DX =．8.设（均匀分布），则方程t X (0,5)X U ∼220−=有实根的概率为． +9.设随机变量（二项分布），(3,0.4)X B ∼2Y X =，则EY =．10.从一批零件中抽取9个零件，测得其平均直径20.01x =mm．设零件的直径服从正态分布2(,)N u σ，且已知0.21σ=mm，则这批零件直径置信度为0.95的置信区间为 . ((1.645)0.95,(1.96)0.975Φ=Φ=）三、解答题（本大题共6小题，共70分）得分11.（本小题10分）某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占20%、35%、45%，各车间产品的次品率分别为5%、2%、4%，现从中任取一件， （1）求取到的是次品的概率；（2）若已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率.12.（本小题10分）设随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1,1,x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩（1）求常数A 的值；（2）求X 的概率密度函数.13．（本小题10分）设随机变量()10,16X N ∼，（1）求()|10|4P X −<；（2）若()(P X c P X c >=≤)，求常数c .((0.25)0.5987Φ=,(1.0)0.8413Φ=)14.（本小题12分）已知X 和Y 的边缘分布列分别为012111424X ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼， 011233Y ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠∼， 且，求（1）(,()0P XY ==1)X Y 的分布列；（2）{}P X Y =；（3）判断X 和Y 之间是否相关．15.（本小题14分）已知二维连续型随机向量(),X Y 的概率密度为4,0,(,)0,1xy x y p x y ≤≤⎧=⎨⎩其他求，并判断(,)Cov X Y ,X Y 是否独立？是否相关？16.（本小题14分）设12,,,n X X X 是来自于总体()X E λ∼（指数分布）的一个简单随机样本，,0()0,x e x p x λλ−⎧>=⎨⎩其它，,其中0λ> 未知． 求λ的矩估计量和极大似然估计量。
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一、1．1 2. 4 3.(-1)n ·(2/3)n ·(1/3)·n! 4.210y x +-= 5.
2
x
cos2x
2xsin2x +-
二、1. C 2. D 3. B 4. y=e x 5. C （选择填空均每题3分） 三、1. （10分） 求0x lim
→(
1
e 1sinx 1x --). 解：原式=0
x lim
→1)-sinx(e sinx -1-e x
x
= 0
x lim
→2x x sinx
-1-e =0x lim →2x cosx -e x =0x lim →2sinx e x + =2
1
或者：原式=0
x lim
→x
x x e sinx 1)-cosx(e cosx -e ⋅+ =0
x lim
→x
x x x e sinx e 2cosx 1)-sinx(e -sinx
e ⋅+⋅++ =
2
1
2.（10分）.设x arctgt y t ==+⎧⎨⎩ln()12
,求dy dx d y
dx
,22 解 dy dx dy dt dx dt t
t t t ==++=2111222 d y dx
d dt t dx dt t t 2
22
2221121==+=+()()
3.（10
分）求函数()(2f x x =-[1,2]-上的最大值和最小值。
解 31310)(x
x x f -⋅=
'，得驻点1=x 和不可导点0=x 。
4分 由 23
(1)3,(0)0,(1)7,(2)2f f f f =-=-=-=-， 3分
比较可得 最大值为0)0(=f ，最小值为.7)1(-=-f 3分 4.（10分）322()2221设由确定y y x y y xy x =-+-=，()求的驻点，y y x =
并判断它是否为极值点。
解：2
642220y y y y y xy x '''⋅-⋅++-=，0令得y y x '==
代入方程：32
210x x --=，得唯一驻点： x = 1 5分
22212()64()44220y y y y y y y y xy '''''''''⋅+⋅--⋅++-=
所以，111
02
x y y ==''=
>，故x = 1为极小点。
5分
5.（10分）设常数0k >，判断方程ln 0x
x k e -+=在(0,)+∞内实根的个数，并说明理由。
解 设()ln x
f x x k e
=-+，11()f x x e '=-，当x e >时，()0f x '<，()f x 单调减少；
当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调增加； 5分
又 ()0f e k =>，0lim ()x f x +→=-∞，
ln 1lim ()lim ()x x x k
f x x x e x
→+∞→+∞=-+=-∞， 所以，方程在(0,)e 和(,)e +∞内分别有且仅有一个实根。
5分
6.（10分）已知曲线L 的方程为22
1
(0)4x t t y t t
⎧=+≥⎨=-⎩，
（1）讨论L 的凹凸性；
（2）过点(1,0)-引L 的切线，求切线的方程。
解：（1）
422
2,42,12dx dy dy t t t dt dt dx t t
-==-==-
2223
12110(0)2dy d d y dx t dx dx dt t t t dt
⎛⎫
⎪⎛⎫⎝⎭=⋅=-⋅=-<> ⎪⎝⎭处 (0所以，曲线在处)是凸的。
L t > 5分 （2）切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+
⎪⎝⎭
，设切点2001x t =+，2
000
4y t t =-， 则 2
2232
00000000241(2),4(2)(2)t t t t t t t t ⎛⎫-=-+-=-+
⎪⎝⎭
得 2
00000020,(1)(2)001t t t t t t +-=-+=>∴=
切点为（2，3），切线方程为1y x =+ 5分
7.（10分）.设函数]11
[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ， 0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使
证：32)('''!
31
)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η++
+= 其中]1,1[),,0(-∈∈x x η
将x=1，x=-1代入有)
('''6
1
)0(''21)0()1(1)('''6
1
)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+
=-=
两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f
3)](''')('''[2
1
)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，。