高三数学 课堂训练10-7人教版
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第10章 第5节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC ，∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14 B.13 C.12 D.23答案：D解析：假设在扇形中∠AOC ＝∠BOC ′＝15°，则∠COC ′＝60°，当射线落在∠COC ′内时符合题意，故所求概率为P ＝60°90°＝23.2．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A. 14B. 34C. 716D. 916答案：D解析：如图，假设当点P 落在EF 上时(EF ∥BC )，恰好满足△PBC 的面积等于S4，作PG⊥BC ，AH ⊥BC ，则易知PG AH ＝14.又易知符合要求的点P 可以落在△AEF 内的任一位置，所以所求的概率P ＝S △AEF S △ABC ＝916.3．一个红绿灯路口，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为45秒．当你到达路口时，恰好看到黄灯亮的概率是( )A. 112B. 38C. 116D. 56答案：C解析：到达路口看到红灯或黄灯或绿灯是一次试验，则该试验的结果有无限个，属于几何概型．设看到黄灯亮为事件A ，构成事件A 的“长度”等于5，试验的全部结果构成的区域长度是30＋5＋45＝80，所以P (A )＝580＝116.4．[2012·广东肇庆]在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为( )A. 14B. 13C. 12D. 23答案：C解析：由sin x ＋3cos x ≤1得2sin(x ＋π3)≤1，即sin(x ＋π3)≤12.由于x ∈[0，π]，∴x ＋π3∈[π3，4π3]，因此当sin(x ＋π3)≤12时，x ＋π3∈[5π6，4π3]，于是x ∈[π2，π]．由几何概型公式知事件“sin x ＋3cos x ≤1”发生的概率为 P ＝π－π2π－0＝12.5．一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.38答案：C解析：一个棱长为3的正方体由27个单位正方体组成，由题意知，蜜蜂“安全飞行”的区域即为27个单位正方体中最中心的1个单位正方体区域，则所求概率P ＝127，应选C. 6．[2012·东北三校一模]已知实数a ，b 满足－1≤a ≤1，－1≤b ≤1，则函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为( )A. 14B. 12 C. 23 D. 34答案：C解析：y ′＝x 2－2ax ＋b ，当方程x 2－2ax ＋b ＝0有两个不同实根，即a 2>b 时，函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值点，如图，阴影部分面积为2＋a 2d a ＝2＋13a 3| 1－1＝83，所以函数y ＝13x 3－ax 2＋bx ＋5有极值的概率为S 阴影S 正方形ABCD ＝834＝23，故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为__________． 答案：13解析：根据几何概型概率的计算公式，可得所求概率为1－02－(－1)＝13，故填13.8．关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0，若从区间[0,6]中随机取两个数a 和b ，则方程有实根且a 2＋b 2≤36的概率为________．答案：π8解析：由题意知，判别式Δ＝4a 2－4b 2≥0，又∵a 和b 为非负数，∴a ≥b ，则a 和b 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2≤36a ≥b0≤a ≤60≤b ≤6，作出此不等式组表示的区域为图中阴影部分所示，又易知阴影部分的面积为45360×π×62＝9π2，故所求概率P ＝9π26×6＝π8.9．有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案：23解析：先求点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率，圆柱的体积V 圆柱＝π×12×2＝2π，以O 为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V 半球＝12×43π×13＝23π.则点P 到点O 的距离小于1或等于1的概率为：23π2π＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－13＝23.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．公共汽车站每隔5 min 有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，求乘客候车不超过3 min 的概率．解：设事件A ＝{候车时间不超过3 min)．x 表示乘客来到车站的时刻，那么每一个试验结果可表示为x ，假定乘客到达车站后一辆公共汽车来到的时刻为t ，如图所示，乘客必然在(t －5，t ]来到车站，t －5<x ≤t ，欲使乘客的候车时间不超过3 min ，必有t －3≤x ≤t ，所以P (A )＝35＝0.6.11. 如图，在单位圆O 的某一直径上随机的取一点Q ，求过点Q 且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．解：弦长不超过1，即|OQ |≥32，而Q 点在直径AB 上，是随机的，事件A ＝{弦长超过1}．由几何概型的概率公式得P (A )＝32×22＝32.∴弦长不超过1的概率为1－P (A )＝1－32. 答：所求弦长不超过1的概率为1－32. 12. 已知关于x 的二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.(1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a ，b )是区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0，内的随机点，求函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数的概率．解：(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图像的对称轴为x ＝2ba，要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，当且仅当a >0且2ba≤1即2b ≤a .若a ＝1，则b ＝－1；若a ＝2，则b ＝－1,1；若a ＝3，则b ＝－1,1. ∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5. ∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时，函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫(a ，b )⎪⎪⎪⎪a ＋b －8≤0a >0b >0，构成所求事件的区域为三角形部分，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163，83)，∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.。
高考数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数 题组训练10 对数函数 理-人教版高三全册数学试题
题组训练10 对数函数1．(log 29)·(log 34)的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析 原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．(2018·某某某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B. 3．若log a 23<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值X 围是( )A ．(0，23)B ．(1，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(23，1)答案 C解析 当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值X 围是(0，23)∪(1，＋∞)．4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5.如图，函数f(x)的图像为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x|－1<x≤0} B ．{x|－1≤x≤1} C ．{x|－1<x≤1} D ．{x|－1<x≤2} 答案 C解析 作出函数y ＝log 2(x ＋1)的大致图像，如图所示．其中函数f(x)与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D(1，1)，结合图像可知f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.6．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.7．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析 根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 8．(2014·某某，理)函数f(x)＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 答案 D解析 函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12t与t ＝g(x)＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.9．(2018·某某金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.10．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<a<b D ．c<b<a答案 C解析 因为f(x)＝2|x －m|－1为偶函数，所以m ＝0.因为a ＝f(log 123)＝f(log 23)，b ＝f(log 25)，c ＝f(0)，log 25>log 23>0，而函数f(x)＝2|x －m|－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c.故选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值X 围是( )A ．(0，1)B ．[2，＋∞)C ．[2，3)D ．(1，3)答案 C解析 当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a2≥1，解得2≤a<3. 12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4，7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x≤2，从而4≤y≤112.13．已知函数f(x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x＋1)－(－x)2＋1]＝x[ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)]－2x 2＋2＝xln e 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x－2x 2＋2 ＝2x 2－2x 2＋2＝2， 所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.14．(2017·课标全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z答案 D解析 ∵2x＝3y＝5z，∴ln2x＝ln3y＝ln5z，∴xln2＝yln3＝zln5.∴x y ＝ln3ln2，∴2x 3y ＝2ln33ln2＝ln32ln23＝ln9ln8>1， ∴2x>3y ，同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15．log 327－log 33＋(5－1)0－(94)12＋cos 4π3＝________．答案 0解析 原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.16．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x∈________，a ∈________． 答案 (1，＋∞)(1，＋∞)17．(1)若log a 3<log a π，则实数a 的取值X 围是________． (2)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值X 围是________． 答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案 略解析 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg a b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜ab＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.1．已知a>b>1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则ab ＋2＝________．答案 1解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a>b>1，∴log a b<log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b ＝b a ，∴(b 2)b ＝bb 2，∴b 2b ＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4，∴a b ＋2＝1.2．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值X 围是________．答案 [1e，e]解析 由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )．由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lnt|≤1，－1≤lnt ≤1，故1e≤t ≤e.3．已知函数f(x)＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f(x)的定义域为R ，某某数a 的取值X 围； (2)若f(x)的值域为R ，某某数a 的取值X 围． 答案 a≤－1或a>53 (2)1≤a≤53解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a ＞53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解之1<a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53.。
高三数学 课堂训练9-4人教版
高三数学课堂训练9-4人教版第9章第4节时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．观察下列各图形：其中两个变量x、y具有相关关系的图是( ) A．①② C．③④ 答案：C解析：相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，是非线性相关．①②是不相关的，而③④是相关的．2. [2021・江西八校联考]在2021年3月15日那天，南昌市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行了调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 销售量y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5 B．①④ D．②③^通过散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线的方程是y＝－3.2x＋a，则a＝( )A. －24 C. 40.5 答案：D11解析：由题意得到x＝×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y＝×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，且回归直线55必经过点(x，y)＝(10,8)，则有8＝－3.2×10＋a，a＝40，选D.3. [2021・山东]某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元) 销售额y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54 B.35.6 D. 40^^^^根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A. 63.6万元 C. 67.7万元答案：B解析：据表可得x＝B. 65.5万元 D. 72.0万元4＋2＋3＋5749＋26＋39＋547＝，y＝＝42，因为回归直线过样本中心点(，42)，4242^^^^且b＝9.4，∴a＝9.1.即回归方程为y＝9.4x＋9.1，∴当x＝6时，y＝65.5万元，故选B.4．[2021・山东烟台]下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据：x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5 ^根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为y ＝0.7x＋0.35，那么表中t的值为( ) A. 3 C. 3.5 答案：A解析：样本中心点是(x，y)，即(4.5，解得t＝3.5．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )A．若K2的观测值为K2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误 D．以上三种说法都不正确答案：C6．[2021・江西]变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( )感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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第2章 第9节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·杭州学军中学模拟]下列各函数的导数： (1)(x )′＝12x －12；(2)(a x )′＝a 2ln x ；(3)(x cos x )′＝cos x ＋x sin x ； (4)(x x ＋1)′＝1x ＋1， 其中正确的有( ) A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个答案：B解析：根据导数的求导公式知只有(1)正确，选B. 2. 已知y ＝12sin2x ＋sin x ，则y ′是( )A. 仅有最小值的奇函数B. 既有最大值又有最小值的偶函数C. 仅有最大值的偶函数D. 非奇非偶函数 答案：B解析：∵y ′＝12cos2x ·2＋cos x ＝cos2x ＋cos x＝2cos 2x －1＋cos x ＝2(cos x ＋14)2－98.又当x ∈R 时，cos x ∈[－1,1]，函数y ′＝2(cos x ＋14)2－98是既有最大值又有最小值的偶函数．3. [2012·厦门质检]曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A. (1,0)或(－1，－4)B. (0,1)C. (1,0)D. (－1，－4) 答案：A解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋1.设P 0(x 0，y 0)．∵曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0点处的切线平行于直线y ＝4x －1，∴f ′(x 0)＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝x 30＋x 0－23x 20＋1＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1y 0＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1y 0＝－4，∴P 0点坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选A.4. 已知曲线xy ＝a (a ≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是( )A ．2a 2B ．a 2C ．2|a |D ．|a |答案：C解析：设切点的坐标为(x 0，y 0)，曲线的方程即为y ＝a x ，y ′＝－ax 2，故切线的斜率为－a x 20，切线方程为y －a x 0＝－ax 20(x －x 0)．令y ＝0得x ＝2x 0，即切线与x 轴的交点坐标为(2x 0,0)；令x ＝0得y ＝2a x 0，即切线与y 轴的交点坐标为(0，2ax 0)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为12×|2x 0|×|2ax 0|＝2|a |.5.[2012·重庆南开中学月考试卷]函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则( )A. a <b <cB. c <a <bC. c <b <aD. b <c <a 答案：B解析：由题知函数的对称轴为x ＝1.当x >1时，f ′(x )<0；当x <1时，f ′(x )>0，∴c <a <b . 6. [2012·云南一检]点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x ＋2的最小距离为( )A.22B. 2C. 2 2D. 2 答案：B解析：当点P 为直线y ＝x ＋2平移到与曲线y ＝x 2－ln x 相切的切点时，点P 到直线y ＝x ＋2的距离最小．设点P (x 0，y 0)，f (x )＝x 2－ln x ，则f ′(x 0)＝1，∵f ′(x )＝2x －1x ，∴2x 0－1x 0＝1，又x 0>0，∴x 0＝1，∴点P 的坐标为(1,1)，此时点P 到直线y ＝x ＋2的距离为22＝2，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为________．答案：1解析：∵f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′(π4)sin x ＋cos x ，∴f ′(π4)＝－f ′(π4)×22＋22，∴f ′(π4)＝11＋2＝2－1.故f (π4)＝(2－1)×22＋22＝1.8. 设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在P 点处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是__________．答案：[0，π2)∪[2π3，π)解析：y ′＝3x 2－3≥－3，即倾斜角的正切值的取值范围是[－3，＋∞)，当倾斜角的正切值的取值范围为[0，＋∞)时，倾斜角的取值范围是[0，π2)，当倾斜角的正切值的取值范围为[－3，0)时，倾斜角的取值范围是[2π3，π)，故所求倾斜角的取值范围是[0，π2)∪[2π3，π)． 9. [2012·无锡质检]y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＝__________. 答案：2解析：设切点为(x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2＋a ，则过切点(x 0，y 0)的切线为y －y 0＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )(x －x 0)＋y 0＝(3x 20＋a )x －2x 3＋1，则有⎩⎪⎨⎪⎧3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得x 0＝0，a＝2.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列函数的导数： (1)y ＝15x 5－43x 3＋3x 2＋2；(2)y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)； (3)y ＝x 1－x ＋x 2.解：(1)y ′＝(15x 5)′－(43x 3)′＋(3x 2)′＋(2)′＝x 4－4x 2＋6x .(2)法一：∵y ＝(3x 3－4x )(2x ＋1)＝6x 4＋3x 3－8x 2－4x ， ∴y ′＝24x 3＋9x 2－16x －4.法二：y ′＝(3x 3－4x )′(2x ＋1)＋(3x 3－4x )(2x ＋1)′ ＝(9x 2－4)(2x ＋1)＋(3x 3－4x )·2 ＝24x 3＋9x 2－16x －4.(3)y ′＝x ′(1－x ＋x 2)－x (1－x ＋x 2)′(1－x ＋x 2)2＝(1－x ＋x 2)－x (－1＋2x )(1－x ＋x 2)2＝1－x 2(1－x ＋x 2)2.11. [2011·湖北]设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程．解：f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线． 故f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0. 12. 已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围； (3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值． 解：(1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6.又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7. (2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0. 即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.(3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x ，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.。
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第10章 第8节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1．随机变量ξ的分布列为，则E (5ξ＋4)等于( ) A ．13 B ．11 C ．2.2 D ．2.3 答案：A 解析：由已知得E (ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E (5ξ＋4)＝5E (ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13. 2. [2012·荆州质检]随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)的值是( )A. 13B. 23 C. 59 D. 79答案：C解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，且E (ξ)＝－1×a ＋1×c ＝c －a ＝13，∴a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝(－1－13)2×16＋(0－13)2×13＋(1－13)2×12＝59.3. 设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( ) A. 53 B. 73 C. 3 D. 113答案：C解析：由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得：⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解得：⎩⎨⎧x 1＝53x 2＝23或⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝1x 2＝2，由于x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1x 2＝2， ∴x 1＋x 2＝3.4. [2012·浙江嘉兴]甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是23，则面试结束后通过的人数ξ的期望是( )A. 43B. 119C. 1D. 89答案：A解析：依题意，ξ的取值为0,1,2. 且P (ξ＝0)＝(1－23)×(1－23)＝19，P (ξ＝1)＝23×(1－23)＋(1－23)×23＝49，P (ξ＝2)＝23×23＝49.故ξ的期望E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝129＝43.5．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图像如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案：D解析：正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图像都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图像可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图像一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则2D (ξ)－1E (ξ)的最大值为( )A. 2＋2 2B. 2 2C. 2－ 2D. 2－2 2答案：D解析：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，∴E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (ξ)＝(0－p )2·(1－p )＋(1－p )2·p ＝p －p 2，∴2D (ξ)－1E (ξ)＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p ≥22，当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时等号成立，因此当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取最大值2－2 2. 二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2011·上海]马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝__________.答案：2解析：设P (ξ＝1)＝x ，则P (ξ＝2)＝1－2x ，P (ξ＝3)＝x ， ∴E (ξ)＝1·x ＋2·(1－2x )＋3·x ＝2.8．[2012·广东江门]已知X ～N (μ，σ2)，P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.68，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95，某次全市20000人参加的考试，数学成绩大致服从正态分布N (100,100)，则本次考试120分以上的学生约有__________．答案：500解析：依题意可知μ＝100，σ＝10， 由于P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.95， 所以P (80<X ≤120)＝0.95，因此本次考试120分以上的学生约有 20000×(1－0.95)2＝500.9．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案：乙解析：甲、乙的均值分别为Eξ＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1， Eη＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，所以Eξ>Eη， 故乙的技术较好．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 的值，并求E (ξ)，D(ξ)的值.解：(1)0≤P i ≤1 i ＝1,2，...； (2)p 1＋p 2＋ (1)所以有⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2q ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－12. 故ξ的分布列应为：所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，D (ξ)＝[－1－(1－2)]2×12＋[0－(1－2)]2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.11. [2011·天津]学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)．(1)求在1次游戏中， ①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率；(2)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E (X )． 解：(1)设A i ＝“在1次游戏中摸出i 个白球”(i ＝0,1,2,3)，则①P (A 3)＝C 23C 25·C 12C 23＝15，②P (A 2)＝C 23C 25·C 22C 23＋C 13C 12C 25·C 12C 23＝12.又A 2与A 3互斥，∴P (A 2＋A 3)＝P (A 2)＋P (A 3)＝12＋15＝710.即获奖的概率为710.(2)X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝(1－710)2＝9100，P (X ＝1)＝C 12·710·(1－710)＝2150， P (X ＝2)＝C 22(710)2＝49100. 所以X 的分布列是∴X 的数学期望E (X )＝0×9100＋1×2150＋2×49100＝75.12. [2011·福建]某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下所示：且X 1的数学期望E (X 1)(2)为分析乙厂产品的等级系数X 2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X 2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．解：(1)因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6， 即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1， 即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧ 6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X 2的概率分布列如下：所以E (X 2)＝3P 222227)＋8P (X 2＝8) ＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8. 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性．现由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．。
(完整word版)高三数学基础训练题集(上)1-10套(含答案)
俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一班级：姓名：座号：成绩：一．选择题：1．复数i1i,321-=+=zz，则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知,11=a84=a，则=5a( )A．16 B．16或－16 C．32 D．32或－323．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a⊥b ，则实数x的值为( )A．12B．2-C．2D．21-4．经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A．30x y-+=B．30x y--=C．10x y+-=D．30x y++=5．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0>x时，()2xf x=，( ) 则(2)f-=( )A．14B．4-C．41-D．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是( )A．62 B．63 C．64 D．657．下列函数中最小正周期不为π的是( )A．xxxf cossin)(⋅= B．g（x）=tan（2π+x）C．xxxf22cossin)(-=D．xxx cossin)(+=ϕ8．命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是( )A．,11a b a b>-≤-若则B．若ba≥，则11-<-baC．,11a b a b≤-≤-若则D．,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 ( ) A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 ( ) A ．()()+∞-∞-,11,YB ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222,Y C ．()()+∞-∞-,,2222YD ．()()+∞-∞-,,22Y二．填空题:11．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．14．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______ 三．解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．高三数学基础训练二班级： 姓名： 座号： 成绩：一．选择题：1．在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．92．函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．已知命题p: {}4A x x a =-p ,命题q :()(){}230B x x x =--f ,且⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是： ( )A ．(-1,6)B ．[-1,6]C ．(,1)(6,)-∞-⋃+∞D ．(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
高中数学课本人教版课后习题答案
高中数学课本人教版课后习题答案数学作为高中阶段的核心学科之一，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要作用。
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为了帮助学生更好地掌握课本知识，提高解题能力，以下是部分课后习题的答案解析。
# 第一章：函数基础习题1：函数的概念1. 判断下列函数的定义域：- \( f(x) = \sqrt{x} \)：定义域为 \( x \geq 0 \)。
- \( g(x) = \frac{1}{x} \)：定义域为 \( x \neq 0 \)。
2. 根据函数的定义，找出下列函数的值域：- \( h(x) = x^2 \)：值域为 \( x \geq 0 \)。
习题2：函数的性质1. 判断下列函数的单调性：- \( f(x) = x^3 \) 在整个实数域上单调递增。
2. 判断下列函数的奇偶性：- \( g(x) = x^2 \) 是偶函数。
# 第二章：导数与微分习题1：导数的定义1. 根据导数的定义，计算 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数：\[ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1^2}{h} = 2 \]习题2：基本导数公式1. 计算下列函数在 \( x = 2 \) 处的导数：- \( f(x) = 3x^2 + 2x + 1 \)：\( f'(2) = 12 + 2 = 14 \)# 第三章：积分学基础习题1：定积分的概念1. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 \, dx \)：\[ \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \]习题2：基本积分公式1. 计算下列积分：- \( \int x^2 \, dx \)：\( \frac{x^3}{3} + C \)# 结语通过课后习题的练习，学生可以加深对数学概念的理解，并提高解题技巧。
高三数学 课堂训练2-7人教版
第2章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·龙岩质检]函数f (x )＝log 2x －1x 的一个零点落在下列哪个区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)答案：B解析：本小题考查函数零点的求法．∵f (1)·f (2)<0，故选B.2. [2012·汕头学业水平测试]根据表格中的数据，可以判定函数f (x )＝e x －x －2的一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈Z )，则k 的一个值为( )A. 0 C. 2 D. 1答案：D解析：由表可知f (1)·f (2)<0，∴零点在(1,2)内，即k 的一个值为1.3. 若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A. (－2,2) B. [－2,2] C. (－∞，－1) D. (1，＋∞)答案：A解析：函数f (x )有3个不同的零点，即其图像与x 轴有3个不同的交点，因此只需f (x )的极值异号即可．f ′(x )＝3x 2－3，令3x 2－3＝0，则x ＝±1，故极值为f (－1)和f (1)，f (－1)＝a ＋2，f (1)＝a －2，所以应有(a ＋2)(a －2)<0，故a ∈(－2,2)，选A.4. [2012·浙江省金华十校模拟]已知a 是函数f (x )＝ln x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A. f (x 0)＝0B. f (x 0)>0C. f (x 0)<0D. f (x 0)的符号不确定 答案：C解析：因为函数f (x )＝ln x －log 12x 是增函数，且f (a )＝0，又0<x 0<a ，所以f (x 0)<0.5. [2012·深圳调研]已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A. x 1<x 2<x 3B. x 2<x 1<x 3C. x 1<x 3<x 2D. x 3<x 2<x 1答案：A解析：令函数f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，则x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.6. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是( )A. (1,2)B. (2，＋∞)C. (1，34) D. (34，2) 答案：D解析：由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是以4为周期的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的大致图像如图中实线所示，令g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)，则g (x )的大致图像如图所示，结合图像可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，则必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)<3g (6)>3，即⎩⎨⎧log a 4<3log a 8>3，解得34<a <2.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·山东潍坊]若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是__________．答案：－12，－13解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝0，32－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－6，∴g (x )＝－6x 2－5x －1，令g (x )＝0，解得x ＝－13或x ＝－12.∴函数g (x )的零点为－12，－13.8. 在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是[1,5]，精确度要求是0.001，则需要计算的次数是________．答案：12解析：设需计算n 次，则n 满足42n <0.001，即2n >4000.由于212＝4096，故计算12次就可以满足精确度要求．故填12.9. [2012·河南五市联考]已知m 、n 分别是方程10x ＋x ＝10与lg x ＋x ＝10的根，则m ＋n ＝__________.答案：10解析：在同一坐标系中作出y ＝lg x ，y ＝10x ，y ＝10－x 的图像，设其交点为A ，B ，如图所示．设直线y ＝x 与直线y ＝10－x 的交点为M ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝10－x ，解得M (5,5)．∵函数y ＝lg x 和y ＝10x 的图像关于直线y ＝x 对称，∴m ＋n ＝x A ＋x B ＝2x M ＝10.三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．求函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点，并画出它的大致图像． 解：将f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2分解因式求出零点．∵f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2＝x 2(x －2)－(x －2)＝(x －2)(x 2－1)＝(x －2)(x －1)(x ＋1)，∴f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的零点为－1,1,2.三个零点将x 轴分成四个区间：(－∞，－1]，(－1,1)，[1,2]，(2，＋∞)，∵f (0)＝2>0，∴函数f (x )＝x 3－2x 2－x ＋2的大致图像如下图所示．11. 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a 的范围，若不存在，说明理由．解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0.所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1. 所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0， 得x ＝0或x ＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意， 故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15.此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之，x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a ≠－15. 综上所述，a <－15或a >1.12．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，试证明f (x )必有两个零点．(2)若对x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有两个不等实根，证明必有一实根属于(x 1，x 2)．证明：(1)∵f (1)＝0，∴a ＋b ＋c ＝0. 又∵a >b >c ，∴a >0，c <0，即ac <0. 又∵Δ＝b 2－4ac ≥－4ac >0，∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不等实根， 所以函数f (x )有两个零点． (2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 1)－f (x 2)2， g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f (x 2)－f (x 1)2， ∴g (x 1)·g (x 2)＝f (x 1)－f (x 2)2·f (x 2)－f (x 1)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2，∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0， ∴g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一实根，即f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]在(x 1，x 2)内必有一实根．。
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第7章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式： ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→； ④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④答案：A解析：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→； ②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BD 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，综上①②符合题意．2．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →可表示为(用a ，b ，c 表示)．( )A.12a ＋14b ＋14B.12a ＋13b －12cC.13a ＋14b ＋14cD.13a －14b ＋14c 答案：A解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14→＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 3. 设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则点A 在平面BCD 内的射影是三角形BCD 的( )A ．垂心B ．外心C ．内心D ．不能确定答案：A解析：由AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0得AB →·AC →－AC →·AD →＝AC →·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，所以AC ⊥DB ，同理可得AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，所以A 点在平面BCD 内的射影是三角形BCD 的垂心．4．已知空间四边形ABCD 中，M 、G 分别为BC 、CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 答案：A解析：如图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →. 5. [2012·广东揭阳一模]已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为( )A. －2B. －143C. 145D. 2答案：D解析：a －λb ＝(λ－2,1－2λ，3－λ)，由a ⊥(a －λb )， 得－2(λ－2)＋1－2λ＋9－3λ＝0，解得λ＝2.6. [2012·海淀一模]在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ的值有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C解析：建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P (x ，y,2)，O (1,1,0)，∴OP 的中点坐标为(x ＋12，y ＋12，1)，又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)，而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3，∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1.∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.二、填空题(每小题7分，共21分)7. 给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．其中真命题是__________． 答案：③解析：①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13→＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋M C →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC →共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．8．已知空间三点A (1,1,1)、B (－1,0,4)、C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________． 答案：120°解析：AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)， cos 〈AB →，CA →〉＝AB →·CA→|AB →||CA →|＝2－3－614×14＝－714＝－12， ∴〈AB →，CA →〉＝120°，即θ＝120°.9. 已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于__________．答案：657解析：由于a ，b ，c 三个向量共面，所以存在实数m ，n 使得c ＝ma ＋nb ，即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4nλ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657. 三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点．试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)EF →·FC 1→. 解：如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. (1)BC →·ED 1→＝b ·[12(c －a )＋b ]＝|b |2＝42＝16.(2)EF →·FC 1→＝[12(c －a )＋12b ]·(12b ＋a )＝12(－a ＋b ＋c )·(12b ＋a ) ＝－12|a |2＋14|b |2＝2.11. 如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 所成角的余弦值．解：∵BC →＝AC →－AB →， ∴OA →·BC →＝OA →·(AC →－AB →) ＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16 2. ∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC→|OA →||BC →|＝24－1628×5＝3－225故OA →，BC →夹角的余弦值为3－225，即直线OA 与BC 所成角的余弦值为3－225.12．直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a|，|CE →|＝52|a |.AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.。
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第2章 第11节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176 B.143 C.136 D.116答案：A解析：s ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t ＝(13t 3－12t 2＋2t )21＝176. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16答案：A解析：由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝(13x 3－12x 2)21＝56. 3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.34 B.45 C.56 D ．不存在答案：C解析：如右图，⎠⎛2f (x )d x＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 310＋(2x －12x 2)21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56.4. 若1 N 的力能使弹簧伸长1 cm ，现在要使弹簧伸长10 cm ，则需要做的功为( ) A. 0.05 J B. 0.5 J C. 0.25 J D. 1 J答案：B解析：设力F ＝kx (k 是比例系数)，当F ＝1 N 时，x ＝0.01 m ，可解得k ＝100 N/m ，则F＝100x ，所以W ＝∫0.10100x d x ＝50x 2| 0.10＝0.5 J ．故选B.5. [2011·湖南]由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A. 12 B. 1 C.32D. 3答案：D解析：封闭图形的面积S ＝∫π3－π3cos x d x ＝2∫π30cos x d x ＝2×sin x | π30＝2(sin π3－sin0)＝3，∴选D.6. [2012·海南华侨中学统考]如图，由曲线y ＝x 2和直线y ＝t 2(0<t <1)，x ＝1，x ＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是( )A. 23B. 25 C. 13 D. 14答案：D解析：S (t )＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝43t 3－t 2＋13，S ′(t )＝2t (2t －1)＝0，得t ＝12为最小值点，此时S (t )min ＝14.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·广东一模]已知f (x )是偶函数，且⎠⎛05f (x )d x ＝6，则⎠⎛5－5f (x )d x ＝________.答案：12解析：因为⎠⎛5－5f (x )d x ＝⎠⎛0－5f (x )d x ＋⎠⎛05f (x )d x ，又函数f (x )为偶函数，所以⎠⎛0－5f (x )d x ＝⎠⎛05f (x )d x ，∴⎠⎛5－5f (x )d x ＝6＋6＝12，故填12.8. [2012·安徽合肥第一次质检]函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1在点(1,2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积等于__________．答案：43解析：由f ′(x )＝3x 2－2x ＋1，得f ′(1)＝2， 故在点(1,2)处的切线方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2，得x ＝0或x ＝2. 于是，围成的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x＝(x 2－13x 3)| 20＝4－83＝43. 9. [2012·福州质检]已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图像如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．答案：－1解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0， ∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)． S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 求下列定积分：(1)⎠⎛12(x －1x )d x ；(2)∫π20cos2xcos x －sin x d x .解：(1)⎠⎛12(x －1x )d x ＝(12x 2－ln x )| 21＝32－ln2. (2)∫π20cos2xcos x －sin xd x ＝∫π20(cos x ＋sin x )d x＝(sin x －cos x )| π20＝2.11．求由曲线xy ＝1及直线x ＝y ，y ＝3所围成的平面图形的面积S .解：解法一：如图，由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x .得A (1,1)． 过A 点作直线x ＝1将阴影部分分割成两部分，所以S ＝3·(1－13)－⎠⎛1131x d x ＋S Rt △ABC ＝4－ln3.解法二：以y 为积分变量S ＝⎠⎛13(y －1y )d y ＝(12y 2－ln y )31＝4－ln3. 12. 对于函数f (x )＝bx 3＋ax 2－3x .(1)若f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值，且f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，试求实数t 的取值范围；(2)若f (x )为实数集R 上的单调函数，且b ≥－1，设点P 的坐标为(a ，b )，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S .解：(1)∵f (x )＝bx 3＋ax 2－3x ， ∴f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3.∵f (x )在x ＝1和x ＝3处取得极值， ∴x ＝1和x ＝3是f ′(x )＝0的两个根， ∴⎩⎨⎧1＋3＝－2a3b，1×3＝－33b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13， ∴f ′(x )＝－x 2＋4x －3.∵f (x )的图像上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t －23cos 2t ＋3，∴f ′(x )≤2sin t cos t －23cos 2t ＋3对x ∈R 恒成立，而f ′(x )＝－(x －2)2＋1，其最大值为1，故2sin t cos t －23cos 2t ＋3≥1，∴2sin(2t －π3)≥1，∴kπ＋π4≤t ≤kπ＋7π12，k ∈Z .(2)当b ＝0时，由f (x )在R 上单调，知a ＝0.当b ≠0时，由f (x )在R 上单调⇔f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立．∵f ′(x )＝3bx 2＋2ax －3，∴Δ＝4a 2＋36b ≤0，可得b ≤－19a 2.从而知满足条件的点P (a ，b )在直角坐标平面aOb 上的轨迹所形成的图形是由曲线b ＝－19a 2与直线b ＝－1所围成的封闭图形． 其面积为S ＝⎠⎛3－3(1－19a 2)d a ＝(a －a 327)| 3－3＝4.。
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第10章 第2节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分) 1. [2011·天津]在(x 2－2x)6的二项展开式中，x 2的系数为( ) A. －154B. 154C. －38D. 38答案：C解析：∵T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－2x)r ＝C r 6(－1)r 22r －6x 3－r(r ＝0,1,2，…，6)， 令3－r ＝2得r ＝1.∴x 2的系数为C 16(－1)12－4＝－38，故选C. 2．若二项式(3x 2－1x )n 的展开式中各项的二项式系数之和是29，则展开式中的常数项为( )A ．－9C 49B ．9C 49 C ．－27C 39D ．27C 39答案：D解析：由二项式系数之和是29，得n ＝9，∵T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r (－1x )r ＝(－1)r 39－r C r 9x 18－3r ，∴令18－3r ＝0得r ＝6，则展开式中的常数项为27C 39，选D.3. 在二项式(x ＋3x )n 展开式中，各项的系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项为( )A. 6B. 9C. 12D. 18答案：B解析：令x ＝1得各项系数之和为4n ，各项的二项式系数之和为2n ，依题意得4n ＋2n ＝72，解得n ＝3.又二项式的展开式通项公式T r ＋1＝C r 3·(x )3－r ·(3x )r ＝C r 3·3r ·x 32－32r ，令r ＝1得常数项为C 13·31＝9. 4．x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数为( ) A ．45 B ．10 C ．90 D ．50答案：B解析：注意到二项式(1＋x 2)10的展开式的通项是C r 10·(x 2)r ＝C r 10·x 2r ，因此x (1＋x )(1＋x 2)10的展开式中x 4的系数等于C 110＝10，选B.5. [2012·金华十校模考]在二项式(x 12＋12x 14)n 的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A. 5B. 4C. 3D. 2答案：C解析：二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·(12)2，由其成等差数列可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·(12)2⇒n ＝1＋n (n －1)8，∴n ＝8，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 8(12)r x 4－3r 4，若为有理项，则有4－3r 4∈Z ，∴当r ＝0,4,8时为有理项，∴展开式中有理项的项数为3.6. [2012·浙江五校联考]若(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 201122011的值为( )A. 2B. 0C. －1D. －2答案：C解析：令f (x )＝(1－2x )2011＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2011x 2011，则f (12)＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201122011＝0，f (0)＝1＝a 0，所以a 12＋a 222＋…＋a 201122011＝－1.故选C.二、填空题(每小题7分，共21分)7．已知n 为正偶数，且(x 2－12x )n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是________．(用数字作答)答案：－52解析：n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36(－12)3＝－52.8．[2011·广东]x (x －2x )7的展开式中，x 4的系数是__________．(用数字作答)答案：84解析：(x －2x )7的展开式的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r (－2x)r ＝C r 7(－2)r x 7－2r，则求x 4的系数也就是求T r ＋1中x 3的项，令7－2r ＝3，得r ＝2，∴原式中x 4的系数为C 27(－2)2＝84.9．[2012·陕西西安]若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于__________．答案：10解析：由题意得：a 1＝C 45·2·(－3)4，a 2＝C 35·22·(－3)3，a 3＝C 25·23·(－3)2，a 4＝C 15·24·(－3)，a 5＝C 05·25. ∵2a 2＋3a 3＝0，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝C 45·2·(－3)4＋4C 15·24·(－3)＋5C 05·25＝10.三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．已知(x －124x)n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有有理项．解：依题意，前三项系数的绝对值是1，C 1n (12)， C 2n (12)2，且2C 1n ·12＝1＋C 2n (12)2， 即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴展开式的第k ＋1项为C k 8(x )8－k (－124x)k＝(－12)k C k 8·x 8－k 2·x －k 4＝(－1)k ·C k82k ·x 16－3k 4. (1)证明：若第k ＋1项为常数项， 当且仅当16－3k 4＝0，即3k ＝16，∵k ∈Z ，∴这不可能，∴展开式中没有常数项． (2)若第k ＋1项为有理项，当且仅当16－3k4为整数，∵0≤k ≤8.k ∈Z ，∴k ＝0,4,8.即展开式中的有理项共有三项，它们是： T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.11. 设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. 解：(1)(2－3x )100展开式中的常数项为C 0100·2100，即a 0＝2100，或令x ＝0，则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100② 与x ＝1所得到的①联立相减可得 a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)] ＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100(2＋3)100＝1.12．已知f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋2x )n (m ，n ∈N *)的展开式中x 的系数为11. (1)求x 2的系数的最小值；(2)当x 2的系数取得最小值时，求f (x )展开式中x 的奇次幂项的系数之和．解：(1)由已知C 1m ＋2C 1n ＝11，∴m ＋2n ＝11，x 2的系数为C 2m ＋22C 2n＝m (m －1)2＋2n (n －1)＝m 2－m 2＋(11－m )(11－m 2－1)＝(m －214)2＋35116. ∵m ∈N *，∴m ＝5时，x 2的系数取最小值22，此时n ＝3.(2)由(1)知，当x 2的系数取得最小值时，m ＝5，n ＝3，∴f (x )＝(1＋x )5＋(1＋2x )3. 设这时f (x )的展开式为f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝25＋33， 令x ＝－1，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝－1， 两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝60，故展开式中x 的奇次幂项的系数之和为30.。
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第6章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. 证明1＋12＋13＋14＋…＋12n <n ＋1(n >1)，当n ＝2时，左边式子等于( )A. 1B. 1＋12C. 1＋12＋13D. 1＋12＋13＋14答案：D解析：当n ＝2时，左边的式子为 1＋12＋13＋122＝1＋12＋13＋14. 2．若命题A (n )(n ∈N *)在n ＝k (k ∈N *)时命题成立，则有n ＝k ＋1时命题成立．现知命题对n ＝n 0(n 0∈N *)时命题成立，则有( )A ．命题对所有正整数都成立B ．命题对小于n 0的正整数不成立，对大于或等于n 0的正整数都成立C ．命题对小于n 0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n 0的正整数都成立D ．以上说法都不正确 答案：C3. [2012·辽宁沈阳质检]用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3，(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案：A解析：假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5. [2012·怀化模拟]用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步时，正确的证法是( )A ．假设n ＝k (k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1命题成立C ．假设n ＝2k ＋1(k ∈N ＋)，证明n ＝k ＋1命题成立D ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2命题成立 答案：D解析：A 、B 、C 中，k ＋1不一定表示奇数，只有D 中k 为奇数，k ＋2为奇数． 6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，则猜想a n 等于( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1) C.22n －1 D.22n －1答案：B解析：由S n ＝n 2a n 知，S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1， 所以S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ， 所以a n ＋1＝nn ＋2a n(n ≥2)．当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110猜想a n ＝2n (n ＋1)，故选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的所有正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取______．答案：5解析：当n ＝1时，2>2不成立；当n ＝2时，4>5不成立；当n ＝3时，8>10不成立；当n ＝4时，16>17不成立；当n ＝5时，32>26成立；当n ＝6时，64>37成立，由此猜测n 0应取5.8. [2012·淮南调研]若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．答案：f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析：∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2， ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.9．如下图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，则第n 个图中所含化学键的个数为________．答案：5n ＋1解析：每个结构简图去掉最左边的一个化学键后，每个环上有5个化学键，故第n 个结构简图有(5n ＋1)个化学键．可用数学归纳法验证该结论是否正确．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1， n ＝2，左边＝54，右边＝65，∴左≥右，即命题成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，命题成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k2k ＋1.那么当n ＝k ＋1时，要证1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1， 只要证3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3. ∵3(k ＋1)2k ＋3－3k 2k ＋1－1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2(k ＋1)2[4(k ＋1)2－1] ＝－k (k ＋2)(k ＋1)2(4k 2＋8k ＋3)<0，∴3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2k ＋3成立， 即1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1成立． ∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)、(2)知，不等式对一切n ∈N *均成立．11. [2012·浙江宁波]是否存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立，若存在，求出a 、b 、c 并证明；若不存在，试说明理由．解：假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )对于一切n ∈N *都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1； 当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6； 当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a (b ＋c )＝1，a (4b ＋c )＝3，3a (9b ＋c )＝19，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下：①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立． ②假设n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)；当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12 ＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N *都成立．12. 已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)，n ＝1,2,3，…. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }中，b 1＝2，b n ＋1＝3b n ＋42b n ＋3，n ＝1,2,3，…，证明：2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，…. 解：(1)因为a n ＋1＝(2－1)(a n ＋2)＝(2－1)(a n －2)＋(2－1)(2＋2)＝(2－1)(a n －2)＋2，所以a n ＋1－2＝(2－1)(a n －2)．所以数列{a n －2}是首项为2－2，公比为 2－1的等比数列， 所以a n －2＝2(2－1)n ，即{a n }的通项公式a n ＝2[(2－1)n ＋1]，n ＝1,2,3，…. (2)用数学归纳法证明：(ⅰ)当n ＝1时，因为2<2＝b 1＝a 1＝2，所以2<b 1≤a 1，结论成立；(ⅱ)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即2<b k ≤a 4k －3，即0<b k －2≤a 4k －3－ 2. 当n ＝k ＋1时，b k ＋1－2＝3b k ＋42b k ＋3－ 2＝(3－22)b k ＋(4－32)2b k ＋3＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3>0，又12b k ＋3<122＋3＝3－22，所以b k ＋1－2＝(3－22)(b k －2)2b k ＋3<(3－22)2(b k －2)≤(2－1)4(a 4k －3－2)＝a 4k ＋1－2.也就是说，当n ＝k ＋1时，结论成立． 根据(ⅰ)和(ⅱ)知，2<b n ≤a 4n －3，n ＝1,2,3，….。
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第2章 第10节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2012·龙岩质检]已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，给出下列四个结论：①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 则其中正确的是( ) A. ②④ B. ①④ C. ①③ D. ②③答案：A解析：由图像可知函数f (x )在(－3,1)内单调递增，在(1,7)内单调递减，在(7，＋∞)内单调递增，所以①是错误的；②是正确的；③是错误的；④是正确的．故选A.2. [2012·山东烟台一模]已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为( )A. －1B. 0C. 1D. ±1 答案：B解析：由题意易知f (x )＝x 4－2x 2－5.由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，只有f (0)＝－5，故选B.3. [2012·江西七校联考]函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图像大致是( )答案：A解析：令g (x )＝f ′(x )＝cos x －x sin x ，则g (－x )＝cos(－x )－(－x )sin(－x )＝cos x －x sin x ＝g (x )，即函数f ′(x )是偶函数，其图像关于y 轴对称．当0<x <π2时，g ′(x )＝－sin x －(x cos x＋sin x )<0，此时f ′(x )是减函数，因此结合各选项知，选A.4. 已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图像如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为 ( )A ．(－∞，12)∪(12，2)B ．(－∞，0)∪(12，2)C ．(－∞，12)∪(12，＋∞)D ．(－∞，12)∪(2，＋∞)答案：B解析：由f (x )图像单调性可得f ′(x )在(－∞，12)∪(2，＋∞)大于0，在(12，2)上小于0，∴xf ′(x )<0的解集为(－∞，0)∪(12，2)．5. [2011·湖南]设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A. 1B. 12C.52D.22答案：D解析：当x ＝t 时，|MN |＝|f (t )－g (t )|＝|t 2－ln t |，令φ(t )＝t 2－ln t ，∴φ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，可知t ∈(0，22)时，φ(t )单调递减；t ∈(22，＋∞)时，φ(t )单调递增，∴t ＝22时|MN |取最小值．6. 设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a )答案：C解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0， 所以y 在R 上单调递减， 又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )． 二、填空题(每小题7分，共21分)7. f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案：6解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ， f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2， f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6， 若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4， 令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2，故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减，∴x ＝2是极小值点， 故c ＝2不合题意，所以c ＝6.8. 关于x 的方程x 3－3x 2－a ＝0有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是__________．答案：(－4,0)解析：由题意知使函数f (x )＝x 3－3x 2－a 的极大值大于0且极小值小于0即可，又f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0得x 1＝0，x 2＝2，当x <0时f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0，所以当x ＝0时，f (x )取得极大值，即f (x )极大值＝f (0)＝－a ；当x ＝2时，f (x )取得极小值，即f (x )极小值＝f (2)＝－4－a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a >0－4－a <0，解得－4<a <0.9. [2012·山东聊城外国语学校一模]一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为s ＝27t －0.45t 2米，则列车刹车后__________秒车停下来，期间列车前进了__________米．答案：30 405解析：s ′(t )＝27－0.9t ，由瞬时速度v (t )＝s ′(t )＝0得t ＝30(秒)，期间列车前进了s (30)＝27×30－0.45×302＝405(米)．三、解答题(10、11题12分、12题13分) 10. 设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围． 解：(1)a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)f ′(x )＝e x －1－2ax .由(1)知e x ≥1＋x ，当且仅当x ＝0时等号成立． 故f ′(x )≥x －2ax ＝(1－2a )x ，从而当1－2a ≥0，即a ≤12时，f ′(x )≥0(x ≥0)，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增，而f (0)＝0，于是当x ≥0时，f (x )≥0. 由e x >1＋x (x ≠0)可得e －x >1－x (x ≠0)．从而当a >12时，f ′(x )<e x －1＋2a (e －x －1)＝e －x (e x －1)(e x －2a )，故当x ∈(0，ln2a )时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0，ln2a )上单调递减， 而f (0)＝0，于是当x ∈(0，ln2a )时，f (x )<0.不符合要求． 综合得a 的取值范围为(－∞，12]．11. [2011·南昌一模]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋bx ＋c (x <1)a ln x (x ≥1)的图像过点(－1,2)，且在x ＝23处取得极值．(1)求实数b ，c 的值；(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x <1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋b ， 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2，f ′(23)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2－b ＋c ＝2，－3×49＋43＋b ＝0， 解得b ＝c ＝0. (2)由(1)知：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2(x <1)，a ln x (x ≥1).①当－1≤x <1时，f ′(x )＝－x (3x －2)，解f ′(x )>0得0<x <23；解f ′(x )<0得－1≤x <0或23<x <1.∴f (x )在[－1,0)和(23，1)上单减，在(0，23)上单增，由f ′(x )＝－x (3x －2)＝0得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝2，f (23)＝427，f (0)＝0，f (1)＝0，∴f (x )在[－1,1)上的最大值为2. ②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a >0时，f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )在[1，e]上的最大值为a .∴当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ； 当a <2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2. 12. [2012·山东烟台一模]已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝ －x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，则当x ∈(0，1e )时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(1e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．①0<t <t ＋2<1e，不成立舍去；②0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f (1e )＝－1e；③1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t . 所以f (x )min＝⎩⎨⎧－1e ，0<t <1e，t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x >0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4，对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立．所以a≤h(x)min＝4，即a的取值范围是(－∞，4]．。
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第8章 第6节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·陕西]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是( ) A. y 2＝－8x B. y 2＝8x C. y 2＝－4x D. y 2＝4x答案：B解析：由抛物线的准线方程为x ＝－2，则焦点F (2,0)， ∴p2＝2，∴p ＝4. 故抛物线的标准方程为y 2＝8x ，故选B.2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－2 答案：C解析：设标准方程为x 2＝－2py (p >0)，由定义知P 到准线距离为4， 故p2＋2＝4，∴p ＝4， ∴方程为x 2＝－8y ，代入P 点坐标得m ＝±4.3．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( ) A ．y ＝12x 2 B ．y ＝－36x 2C ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2D ．y ＝112x 2或y ＝－136x 2答案：D解析：分两类a >0，a <0可得 y ＝112x 2，y ＝－136x 2. 4. [2012·湖北武汉]设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (－1,0)的直线在第一象限交抛物线于A 、B ，且A F →·B F →＝0，则直线AB 的斜率k 等于( )A. 2B. 22 C. 3D.33答案：B解析：焦点F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB ：y ＝k (x ＋1)，代入y 2＝4x 中，得k 2(x 2＋2x ＋1)＝4x ， k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 2＝4－2k 2k2，x 1·x 2＝1.又A F →·B F →＝(1－x 1)(1－x 2)＋y 1y 2 ＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2x 1·2x 2 ＝1－4－2k 2k 2＋1＋4×1＝0，∴k ＝22或k ＝－22(舍去)， 故选B.5. 已知点P 是抛物线y 2＝4x 上的点，设点P 到抛物线准线的距离为d 1，到圆(x ＋3)2＋(y －3)2＝1上的一动点Q 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 32＋1答案：B解析：设抛物线焦点为F ，圆的圆心为C ，点P 到抛物线准线的距离为d 1，即点P 到抛物线焦点的距离为d 1，要使d 1＋d 2的值最小，所以有d 1＋d 2＝|PF |＋|PQ |≥|PF |＋|PC |－1≥|CF |－1＝5－1＝4，∴d 1＋d 2的最小值是4.故选B.6．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 6答案：B解析：因为M (－3,0)，N (3,0)，所以M N →＝(6,0)，|M N →|＝6，M P →＝(x ＋3，y )，N P →＝(x －3，y )． 由|M N →|·|M P →|＋M N →·N P →＝0得6(x ＋3)2＋y 2＋6(x －3)＝0，化简整理得y 2＝－12x ，从而可知点M 是抛物线y 2＝－12x 的焦点，所以点P 到点M 的距离的最小值就是原点到点M (－3,0)的距离为3.二、填空题(每小题7分，共21分)7. [2012·北京朝阳]已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝__________.答案：3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1. 根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4， 则M 的横坐标为3.8. 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是__________．答案：2解析：直线l 2：x ＝－1为抛物线y 2＝4x 的准线，由抛物线的定义知，动点P 到l 2的距离等于动点P 到抛物线的焦点F (1,0)的距离，问题转化为在抛物线y 2＝4x 上找一个点P 使得P 到点F (1,0)和直线l 2的距离之和最小，最小值为点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离d ，即d ＝|4－0＋6|5＝2.9．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．答案：y 2＝4x解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB 中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线y ＝2x ＋1截得的弦长为15，求抛物线的方程． 解：设所求抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，直线y ＝2x ＋1与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝2x ＋1，消去y 得4x 2＋(4－a )x ＋1＝0， 则x 1＋x 2＝a －44，x 1x 2＝14.由|AB |＝(1＋22)⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －442－4×14＝15，解得a ＝12或a ＝－4，均满足Δ＝(4－a )2－16＞0. 所以抛物线方程为y 2＝12x 或y 2＝－4x .11. 如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上．过点M (0，－2)作直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且满足OA →＋OB →＝(－4，－12)．(1)求直线l 和抛物线的方程；(2)当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解：(1)根据题意可设直线l 的方程为y ＝kx －2， 抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2x 2＝－2py得x 2＋2pkx －4p ＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2－4， ∴OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2－4)． ∵OA →＋OB →＝(－4，－12)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4－2pk 2－4＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1k ＝2. 故直线l 的方程为y ＝2x －2，抛物线方程为x 2＝－2y .(2)据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，△APB 的面积最大． 设点P (x 0，y 0)，由y ′＝－x ， 故由－x 0＝2得x 0＝－2，则y 0＝－12x 20＝－2，故P (－2，－2)．此时点P 到直线l 的距离d ＝|2×(－2)－(－2)－2|22＋(－1)2＝45＝455.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 2＝－2y ，得x 2＋4x －4＝0. 故|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(－4)2－4×(－4)＝410， 故△ABP 的面积的最大值为 12·|AB |·d ＝12×410×455＝8 2. 12. [2011·浙江]已知抛物线C 1：x 2＝y ，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为点M .(1)求点M 到抛物线C 1的准线的距离；(2)已知点P 是抛物线C 1上一点(异于原点)，过点P 作圆C 2的两条切线，交抛物线C 1于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．解：(1)由题意可知，抛物线的准线方程为：y ＝－14，所以圆心M (0,4)到准线的距离是174.(2)设P (x 0，x 20)，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，由题意得x 0≠0， x 0≠±1，x 1≠x 2.设过点P 的圆C 2的切线方程为y －x 20＝k (x －x 0)， 即y ＝kx －kx 0＋x 20.① 则|kx 0＋4－x 20|1＋k 2＝1，即(x 20－1)k 2＋2x 0(4－x 20)k ＋(x 20－4)2－1＝0.设P A ，PB 的斜率为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1，k 2是上述方程的两根，所以k 1＋k 2＝2x 0(x 20－4)x 20－1，k 1k 2＝(x 20－4)2－1x 20－1.将①代入y ＝x 2，得x 2－kx ＋kx 0－x 20＝0，由于x 0是此方程的根，故x 1＝k 1－x 0，x 2＝k 2－x 0，所以k AB ＝x 21－x 22x 1－x 2＝x 1＋x 2＝k 1＋k 2－2x 0＝2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0，k MP ＝x 20－4x 0.由MP ⊥AB ，得k AB ·k MP ＝(2x 0(x 20－4)x 20－1－2x 0)·(x 20－4x 0)＝－1，解得x 20＝235， 即点P 的坐标为(±235，235)，所以直线l 的方程为y ＝±3115115x ＋4.。
实验数学教材高三数学第10课时 练习课
第一单元长方体和正方体第11课时练习课教学内容：课本第23页“回顾与整理”，“练习与应用”第1－6题。
教学目标：1、进一步认识长方体和正方体的特征，理解体积和容积的意义，熟练进行体积和容积单位间的换算，掌握长方体和正方体体积及表面积的计算方法，能运用公式解决实际问题。
2、提高学生应用已有知识解决实际问题的能力。
教学重难点：对本单元所学内容进行梳理，进一步完善有关长方体和正方体的认知结构。
抖音教学网详细问题了解下！课前准备：小黑板教学过程：一、知识整理长方体和正方体各有哪些特征？有什么联系？体积和容积的意义分别指什么？常用的体积和容积的单位有哪些？相邻体积单位间的进率是多少？怎样计算长方体和正方体的表面积？解决有关表面积的实际问题要注意什么？你是怎样发现长方体体积公式的？正方体体积公式和她有什么联系？学生逐题分小组讨论，并在全班交流，教师根据学生的回答适时板书。
二、练习与应用1、做练习与应用的第1题。
先判断是什么立体图形，并说说你判断的依据是什么？估计哪个立体图形的体积最大，再计算它们的体积。
验证自己的判断。
分别计算它们的表面积。
2、做练习与应用的第2题。
读题，仔细观察，让学生说说你发现了什么？两次的读数分别是多少？这能说明什么？增加的实际上是什么体积？3、做练习与应用的第3题。
让学生先说说单位互化的方法，再观察每题是把什么单位改写成什么单位。
学生独立完成，集体评讲。
我心里想，父亲往日里强迫我读书，说书读好了以后才不与泥土打交道。
这会儿又让我记住拌泥巴；往天我拌泥巴时，你骂我没出息，这原来都是凭你们大人一张嘴，讲什么是什么，孩子左右都不是。
直到后来安家立业了，才明白父亲的苦心。
让你不干的事，是教你走正道，不贪玩；让你应该学习的东西，是为你长本事。
哪怕当时我觉得没用，后来才明白读书还真有用处;比如现在，在城里我就用不着拌泥巴做咸菜。
但有一条，这些知识我能派上用场。
当我写小说时，无须再去请教别人，在记忆深处挖掘，文字现成得很呢！只管搬出来随便一堆砌，便成文了。
高三数学 课堂训练10 1人教版
高三数学课堂训练10 1人教版高三数学课堂训练10-1人教版第10章第1节时间：45分钟满分：100分一、多项选择题（每个子题7分，共42分）51.不等式a6n<6An的解集为（）a．[2,8]c．[6,11)答案：c5分析：a6n＜6An，b．(6,11)d．{11}∴n！6n！＜，n－6?！?n－5?！‡N-5＜6、‡N＜11和∵ N≥ 6，n≥ 5, ‡ 6 ≤ n＜11，所以选择C2．[2021广东揭阳]某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母b、c、d中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()a、 180 C.720答案：D解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4一种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有a1a1a1a1a4＝960种，故选d.5344b、 360种D.960种3.[2021江西井冈山]有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有()a、 1260 c.2520答案：c解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有c210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有c1第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有c1根8种选派方法；7种选派方法．据分步乘法计数原理易得选派方法种数为c2c1c11087＝2520.4、2022届广州亚运会组委会将从A、B、C、D、E四名志愿者中挑选出四种不同的工作：翻译、导游、礼仪和司机。
如果a和B只能做前两份工作，而其他三份可以做这四份工作，那么有不同的选择方案（）a．48种c．18种b、 2025种d.5040种b．36种d．12种回答：B22分析：同时选择a和B，只选择一个；选择a和B时，有a2a3选项；当a和b2213只选中一个时，有2a1a3a3＝36种．23种选派方案，所以不同的选派方案共有a2a3＋2a25.[2022年安徽省“江南十校”联考]在1、2、3、4、5、6和7的任何安排A1、A2、A3、A4、A5、A6和A7中，都有许多安排，其中两个相邻的数字相互素数（）a.576c.864答案：c分析：首先将数字1、3、5和7按完整顺序排列，a44=24，然后排列数字6。
(基础巩固)-实验数学教材高三数学第10课时 练习七
第八单元10以内的加法和减法第10课时练习七教学内容：课本第64--65页。
教学目标：1、通过练习，让学生掌握得数是8、9的加法与相应的减法的计算方法，能熟练进行计算。
2、在练习过程中，进一步提高学生应用学过的加、减计算解决简单实际问题的能力。
3、在练习过程中，培养学生良好的观察习惯。
教学重点：掌握得数是8、9的加法与相应的减法的计算方法。
教学难点：熟练进行得数是8、9的加、减法计算。
课前准备：教学挂图、学具、课件。
教学过程：一、知识再现1．口算。
（口算卡片）7－5 4＋4 8－5 3＋26－3 5＋0 9－5 6－66＋3 9－3 9－8 2＋65＋3 9－7 8－2 1＋72．一图四式。
（幻灯片出示）■■■■■■■（1）让学生将算式说给旁边的同学听。
（2）指名汇报交流。
教师根据学生的回答在幻灯片上写出算式。
二、基本练习1、完成第1题.1985年暑假，张老师让我第一次结识了档案，并使我对档案有了肤浅的认识；也从这一年开始，张老师又在我人生逆旅指导老师的基础上，成为了我的档案引路老师，并使我与档案结下了终身不解之缘，而情结档案一生。
身为办公室主任和州档案学会理事的张老师，年年月月日日，无日不与档案打交道，日久情生，情生心动，心动并付诸行动，他不仅创造性地将档案管理工作的知识和经验，牵引应用到了他的日常生活学习中，建立并保存了他的个人档案，而且还鼓动并帮助指导我也建立并保存了我自己的个人档案，并将其应用到我的生活学习之中。
这一应用，对我的学习、工作和文学创作等，真是事半功倍，果诚如张老师所说：“重视个人档案收集整理立卷，将会使自己的学习、生活和工作如虎添翼。
”。
论文-毕业论文-写论文 。
我成功整理出的第一套个人档案，始于1985年、完成于1989年，前后耗费近5年时间。
这第一套个人档案共10卷（盒），以《综合基础资料信息库》为总卷总题，取材于我“本人、家庭和社会人际关系成员的生活，以及本单位（系统）发生、发展史；诸如：藏书、报刊、图片、往来信件、日记、心得笔记、卡片、创作手稿、成果辑录、各级各类证书、证章，以及自制教具说明”等方方面面，并按“履历、信件、照片、明信片、藏书、文学创作手稿、文学创作成果、证书证件、教育教学”等9大类，分门别类整理立卷的；完成的准确时间是：1989年10月6日。
新人教版高中数学选择性必修第三册全套课时作业(世纪金榜) (14)
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7.2 离散型随机变量及其分布列新版课程标准学业水平要求1.借助具体实例,了解离散型随机变量及其分布列.2.体会连续型随机变量与离散型随机变量的共性与差异. 1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.(数学抽象)2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.(数学抽象)3.会求简单的离散型随机变量的分布列.(数学运算)必备知识·素养奠基1.离散型随机变量(1)随机变量:对于随机试验样本空间Ω中的每一个样本点ω,都有唯一的实数X与之对应,我们称X为随机变量.(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.(3)表示:随机变量用大写英文字母表示,如X,Y,Z;随机变量的取值用小写英文字母表示,如x,y,z.(4)本质:通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.2.离散型随机变量的分布列(1)定义:设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,x n,我们称X取每一个值x i 的概率P=p i,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)表示:表格X x1x2…x nP p1p2…p n概率分布图(3)性质:①p i≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+p n=1.3.两点分布对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P=p,则P=1-p,那么X的分布列为X 0 1P 1-p p我们称X服从两点分布或0-1分布.若随机变量X的分布列为X 1 2P那么X服从两点分布吗?提示:不服从两点分布,X的取值只能是0,1.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.( )(2)离散型随机变量的取值一定是有限个.( )(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值.( )提示:(1)×.大熊猫一年内的体重是连续型随机变量.(2)×.离散型随机变量的取值可能是无限个,但是能一一列出.(3)×.离散型随机变量的取值可以是任意的实数.2.下列变量:①某机场候机室中一天的旅客数量为X;②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X;③某水电站观察到一天中长江的水位为X;④某立交桥一天内经过的车辆数为X.其中不是离散型随机变量的是( )A.①中的XB.②中的XC.③中的XD.④中的X【解析】选C.①②④中的随机变量X可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此它们都是离散型随机变量;③中的X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故它不是离散型随机变量.3.袋中有大小相同的5个钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能值的个数是( )A.25B.10C.9D.5【解析】选C.第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个,由于是有放回地抽取,第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个,两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.关键能力·素养形成类型一离散型随机变量的概念【典例】1.下列所述:①某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X;②某报社一天内收到的投稿件数X;③一天之内的温度X;④一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分.其中X是离散型随机变量的是( )A.②③B.②④C.③④D.③④2.(多选题)抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X,那么“X≤-4”表示的随机事件的结果是( )A.第一枚1点,第二枚4点B.第一枚2点,第二枚6点C.第一枚1点,第二枚5点D.第一枚1点,第二枚6点【思维·引】1.根据离散型随机变量的定义判断;2.利用两次掷出的点数验证.【解析】1.选B.②④中的X可以取的值可以一一列举出来,而①③中的X可以取某一区间内的一切值,属于连续型的.2.选BCD.抛掷两枚骰子,点数之差满足小于等于-4的只有三种情况,故第一枚为1点、第二枚为6点,第一枚为1点、第二枚为5点,第一枚为2点、第二枚为6点.【内化·悟】本例2中,如果掷出的点数之差的绝对值为随机变量X,则X取值有哪些?提示:X=0,1,2,3,4,5.【类题·通】1.关于离散型随机变量的判断(1)把握离散型随机变量的特点:有限个或能一一列出;(2)根据实际情况或条件求出随机变量的取值进行判断.2.关于离散型随机变量取值的意义关键是明确随机试验产生随机变量的方法,就可以反推随机变量的取值对应的试验结果.这个试验结果对于求随机变量取值对应的概率至关重要.【习练·破】在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取一件,取到次品就停止,设抽取次数为X,则X=3表示的试验结果是________.【解析】X=3表示共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品.答案:共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品【加练·固】一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η是否为离散型随机变量. 【解析】(1)ξ0 1 2 3结果取得3个黑球取得1个白球,2个黑球取得2个白球,1个黑球取得3个白球(2)由题意可得:η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},所以η对应的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然,η为离散型随机变量.类型二离散型随机变量的分布列的性质【典例】1.离散型随机变量X的分布列为X 0 1P 9C2-C 3-8C则常数C的值为( )A.B.C.或D.以上都不对2.设离散型随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.2 0.1 0.1 0.3 m求:(1)2X+1的分布列;(2)求P(1<X≤4)的值.【思维·引】1.利用分布列中概率和为1求出C值,再验证是否符合性质(1);2.(1)求出2X+1的取值,再求出对应的概率后列分布列;(2)根据分布列求出当1<X≤4时的概率.【解析】1.选B.由离散型随机变量X的分布列,得解得C=或(舍去).2.由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.(1)由题意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1,P(2X+1=7)=P(X=3)=0.3,P(2X+1=9)=P(X=4)=0.3.所以2X+1的分布列为:2X+1 1 3 5 7 9P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3(2)P(1<X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=0.7.【内化·悟】本例1中,C为什么不能取?提示:若C=,则3-8C=3-=-<0,不符合分布列的性质.【类题·通】关于离散型随机变量的分布列的性质(1)X的各个取值表示的事件是互斥的,可以利用互斥事件和的概率公式求随机变量在一定范围内的概率;(2)两个性质p1+p2+…=1,且p i≥0,i=1,2,…,要逐一验证,特别不能忽视p i≥0.【习练·破】1.(2020·重庆高二检测)已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),则实数m=( )A.B. C. D.【解析】选C.因为随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得实数m=.2.已知随机变量X的分布列:X 1 2 3 4 5P a(1)求a;(2)求P(X≥4),P(2≤X<5).【解析】(1)由++a++=1,得a=.(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+=,P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=.类型三求离散型随机变量的分布列【典例】某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列.(2)求这位挑战者闯关成功的概率.【思维·引】(1)先确定总得分X的取值,再分别求出概率后列分布列;(2)利用分布列求X≥10的概率.【解析】(1)这位挑战者回答这三个问题的总得分X所有可能的取值为-10,0,10,20,30,40,P(X=-10)=××=,P(X=0)=×××=,P(X=10)=×=,P(X=20)=××=,P(X=30)=×××=,P(X=40)=×=.所以X的分布列为:X -10 0 10 20 30 40P(2)依题意总分不低于10分就算闯关成功,所以这位挑战者闯关成功的概率P=P(X≥10)=1-P(X≤0)=1--=.【类题·通】求离散型随机变量的分布列的一般步骤:(1)确定X的所有可能取值x i(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义;(2)利用概率的相关知识,求出每个取值相应的概率P(X=x i)=p i(i=1,2,…);(3)写出分布列;(4)根据分布列的性质对结果进行检验.【习练·破】在射击的试验中,令X=如果射中的概率为0.75,则随机变量X的分布列为________.【解析】由P(X=1)=0.75,得P(X=0)=0.25.所以X的分布列为:X 1 0P 0.75 0.25答案:X 1 0P 0.75 0.25课堂检测·素养达标1.已知随机变量X的分布列是X 1 2 3P a b则a+b=( )A. B. C.1 D.【解析】选A.由随机变量X的分布列的性质得:+a+b=1,解得a+b=.2.某人进行射击,共有10发子弹,若击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ,则ξ=10,表示的试验结果是( )A.第10次击中目标B.第10次未击中目标C.前9次未击中目标D.第9次击中目标【解析】选C.击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数ξ=10,则说明前9次均未击中目标,第10次击中目标或未击中目标.3.设随机变量X等可能取值1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,则n=( )A.3B.4C.10D.不确定【解析】选C.因为X等可能取1,2,3,…,n,所以X的每个值的概率均为.由题意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,所以n=10.4.在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________.【解析】在一次比赛中,需回答三个问题,比赛规定:每题回答正确得100分,回答不正确得-100分,则选手甲回答这三个问题,全答错时,总得分ξ=-300分,答错2题答对1题时,总得分ξ=-100分,答错1题答对2题时,总得分ξ=100分,全答对时,总得分ξ=300分,所以总得分ξ所有可能取值是:300分,100分,-100分,-300分.答案:300分,100分,-100分,-300分【新情境·新思维】袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=则X的分布列为________.【解析】P(X=0)==,P(X=1)=1-=.故X的分布列如表:X 0 1P答案:X 0 1P关闭Word文档返回原板块。
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第10章 第7节时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题7分，共42分)1. [2011·辽宁]从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A. 18 B. 14 C. 25 D. 12答案：B解析：∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝410，P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14.2．[2012·浙江温州]某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A. 81125B. 54125C. 36125D. 27125答案：A解析：该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P 1＝C 23·(35)2·25， 三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是 P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 3．设随机变量X 服从二项分布X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316 C.58 D.38答案：A解析：P (X ＝3)＝C 36(12)3×(1－12)3＝516.4．[2011·湖北]如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8.则系统正常工作的概率为( )A. 0.960B. 0.864C. 0.720D. 0.576答案：B解析：由已知P ＝P (K A 1A 2)＋P (K A 2A 1)＋P (KA 1A 2)＝0.9×0.2×0.8＋0.9×0.2×0.8＋0.9×0.8×0.8＝0.864.故选B.5．[2012·潍坊质检]箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是( )A. 16625 B. 96625 C. 624625D. 4625 答案：B解析：依题意得某人能够获奖的概率为1＋5C 26＝25(注：当摸的两个球中有标号为4的球时，此时两球的号码之积是4的倍数，有5种情况；当摸的两个球中有标号均不是4的球时，此时要使两球的号码之积是4的倍数，只有1种情况)，因此所求概率等于C 34·(25)3·(1－25)＝96625，选B.6．一场5局3胜制的乒乓球对抗赛，当甲运动员先胜2局时，比赛因故中断．已知甲、乙水平相当，每局甲、乙胜的概率都为12，则这场比赛的奖金分配(甲∶乙)应为( )A ．6∶1B ．7∶1C ．3∶1D ．4∶1答案：B解析：奖金分配比即为甲乙取胜的概率比．甲前两局已胜，甲胜有3种情况①甲第三局胜为A 1，P (A 1)＝12，②甲第三局负第四局胜为A 2，P (A 2)＝12×12＝14，③第三局、第四局甲负，第五局甲胜为A 3，P (A 3)＝12×12×12＝18.所以甲胜的概率P ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝78，乙胜的概率则为18，所以选B.二、填空题(每小题7分，共21分)7．[2012·陕西西安]某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__________．答案：0.128解析：依题意可知，该选手的第二个问题必答错，第三、四个问题必答对，故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P ＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.8．一次测量中，出现正误差和负误差的概率均为12，那么在5次测量中，至少3次出现正误差的概率是______．答案：12解析：由题意得在5次测量中，至少3次出现正误差的概率等于C 35·(12)5＋C 45·(12)5＋C 55·(12)5＝12. 9．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关． 答案：②④解析：对于①，P (B )＝C 15C 110×C 15C 111＋C 15C 110×C 14C 111＝922；对于②，P (B |A 1)＝C 15C 111＝511；对于③，由P (A 1)＝12，P (B )＝922，P (A 1·B )＝522知P (A 1·B )≠P (A 1)·P (B )．故事件B 与事件A 1不是相互独立事件；对于④，从甲罐中只取一球，若取出红就不可能是其他，故两两互斥； ⑤由①可算得．三、解答题(10、11题12分、12题13分)10．[2010·天津]某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率； (3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分．若3次全击中，则额外加3分．记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．解：(1)设X 为射手在5次射击中击中目标的次数，则X ～B ⎝⎛⎭⎫5，23.在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 25×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－233＝40243. (2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5) ＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. (3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6. P (ξ＝0)＝P (A 1 A 2 A 3)＝⎝⎛⎭⎫133＝127；P (ξ＝1)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1 A 2A 3)＋P (A 1 A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×23×13＋⎝⎛⎭⎫132×23＝29； P (ξ＝2)＝P (A 1A 2A 3)＝23×13×23＝427；P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫232×13＋13×⎝⎛⎭⎫232＝827； P (ξ＝6)＝P (A 1A 2A 3)＝⎝⎛⎭⎫233＝827. 所以ξ的分布列是11.[2012·击击中气球的概率分别为34、45，且每次射击相互之间没有影响．(1)若甲单独射击3次，求恰好两次击中气球的概率； (2)若两人各射击2次，求至少3次击中气球的概率．解：(1)甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，则恰好两次击中气球的概率P ＝C 23(34)2·14＝2764. (2)两人各射击2次，至少3次击中气球含两种情况：记3次击中气球为事件A ， P (A )＝(34)2×C 12×45×15＋C 12×34×14×(45)2＝2150； 记4次击中气球为事件B ，P (B )＝(34)2×(45)2＝925；所求概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝2150＋925＝3950.12．[2011·山东]红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘，已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)求ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望Eξ.解：(1)红队至少两名队员获胜可分为四类，即甲乙、甲丙、乙丙，甲乙丙胜， ∴P ＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55. (2)ξ的可能取值为0、1、2、3，且 P (ξ＝0)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5×2＝0.35， P (ξ＝2)＝0.6×0.5×0.5×2＋0.4×0.5×0.5＝0.4， P (ξ＝3)＝0.6×0.5×0.5＝0.15, ∴ξ的分布列为∴数学期望Eξ＝0×。