【优化方案】2014届高考数学 10.2 排列、组合及应用随堂检测(含解析)

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专题10.2 排列与组合(预测)-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

名师预测1． 10名同学合影,站成了前排3人,后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排,其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的种数为( ) A ．C 27A 55B ．C 27A 22C ．C 27A 25D ．C 27A 352．某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A ．36种B ．42种C ．48种D ．54种3. 某单位拟安排6位员工在2013年端午节3天假期值班,每天安排2人,每人值班1天.若6位员工中的甲不值第一日,乙不值最后一日,则不同的安排方法共有( ) (A) 30种 (B) 36种 (C) 42种 (D) 48种答案：C解析：所有排法减去甲值第一日或乙值最后一日,再加上甲值第一日且乙值最后一日的排法,即有221211645443C C 2C C C C 42-⨯+= (种)排法．4.方程x 3x 82828C C -=的解为( )(A)4或9 (B)4 (C)9 (D)55．有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛,每项比赛至少有一人参加,其中甲同学不能参加跳舞比赛,则参赛方案的种数为( ) A ．112B ．100C．92 D．766．将9个相同的小球放入3个不同的盒子,要求每个盒子中至少有1个小球,且每个盒子中的小球个数都不同,则共有不同放法()A．15种B．18种C．19种D．21种7.·如图,M,N,P,Q为海上四个小岛,现要建造三座桥,将这四个小岛连接起来,则不同的建桥方法有()A．8种B．12种C．16种D．20种答案：C解析：把四个小岛看作四个点,可以两两之间连成6条线段,任选3条,共有C36种情形,但有4种情形不满足题意,∴不同的建桥方法有C36－4＝16种,故选C.8.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数,其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为()A．36 B．48C．72 D．120答案： A9.将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个,其中标号为1,2的小球放入同一盒子中,则不同的方法共有()A．12种B．16种C．18种D．36种10.一个盒子里有3个分别标有号码为1,2,3的小球,每次取出一个,记下它的标号后再放回盒子中,共取3次,则取得小球标号最大值是3的取法有（）A．12种B．15种C．17种D．19种11.现有12件商品摆放在货架上,摆成上层4件下层8件,现要从下层8件中取2件调整到上层,若其他商品的相对顺序不变,则不同调整方法的种数是（）A．420 B．560 C．840 D．20160答案：C解析：从下层8件中取2件有2828C=种方法.将2件调整到上层,有5630⨯=种,所以不同的调整方法的种数有2830840⨯=种,选C.12.从甲、乙等5名志愿者中选出4名,分别从事A,B,C,D四项不同的工作,每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作,则不同的工作分配方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．96种13.有4名优秀学生A．B．C．D全部被保送到甲、乙、丙3所学校,每所学校至少去一名,且A生不去甲校,则不同的保送方案有（）(A) 24种 (B) 30种 (C) 36种 (D) 48种14.从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（）A．36B．30C．24D．1215.在高三（1）班进行的演讲比赛中,共有5位选手参加,其中3位女生,2位男生.如果2位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．60答案:D解析:先排3个女生,三个女生之间有4个空,从四个空中选两个排男生,共有2343=72A A种,若女生甲排在第一个,则三个女生之间有3个空,从3个空中选两个排男生,有2232=12A A,所以满足条件的出错顺序有7212=60种排法,选D.16．A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有________种．17．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______个．18．5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．19．3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同的排法种数是________．答案：288解析：记三名男生为甲、乙、丙,三名女生为a、b、c,先排男生,若甲在两端有4种排法,然后3位女生去插空,排法如ab甲丙c乙共有2113234A A A种,若男生甲排在中间,有两种排法,然后女生去插空,排法如ab乙甲c丙共有22342A A种排法．根据分类加法计数原理共有2113234A A A＋22342A A＝288(种)不同排法．20．用数字1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的6位数,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且1和2相邻,这样的六位数的个数是________．21.如图,机器人亮亮从A地移动到B地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从A移动到B最近的走法共有_____种.22.现有8名青年,其中有5名能胜任英语翻译工作,有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任),现在要从中挑选5名青年承担一项任务,其中3名从事英语翻译工作,2名从事德语翻译工作,则有多少种不同的选法？解析：可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作,有2243C C；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作,有3143C C；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作,有3243C C.所以一共有223132434343C C C C C C42++＝(种)方法.23.某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内,其中A校定为第一志愿；再从5所一般大学中选3所填在第二档次的三个志愿栏内,其中B,C两校必选,且B在C前.问：此考生共有多少种不同的填表方法？24.某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个歌曲,3个舞蹈,3个曲艺节目,求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？(1)一个歌曲节目开头,另一个放在最后压台；(2)2个歌曲节目互不相邻；(3)2个歌曲节目相邻且3个舞蹈节目不相邻．25.如图,用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有多少种?26. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?。

2014届高考数学(理)一轮复习【配套文档】：第十篇第2讲排列与组合含答案

第2讲排列与组合A级基础演练(时间:30分钟满分：55分)一、选择题（每小题5分，共20分）1．（2012·全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )．A．12种B．18种C．24种D．36种解析先排第一列,因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列,其中第二列第一行的字母共有A错误!种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A错误!·A 错误!·1＝12(种）不同的排列方法．答案A2．A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻),那么不同的排法共有( ）．A。

24种B。

60种C。

90种D。

120种解析可先排C、D、E三人,共A35种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排法共A3，5＝60(种)．答案B3．如果n是正偶数，则C0n＋C错误!＋…＋C错误!＋C错误!＝( )．A．2n B．2n－1C．2n－2D．（n－1)2n－1解析(特例法）当n＝2时,代入得C0，2＋C错误!＝2，排除答案A、C；当n＝4时，代入得C错误!＋C错误!＋C错误!＝8，排除答案D.故选B。

答案B4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )．A.42B.30C.20D.12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻,则有A错误!A错误!＝12种排法;若两个节目不相邻,则有A错误!＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A错误!＝42)．答案二、填空题(每小题5分，共10分)5．（2013·汕头调研）如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，因电阻断路的可能性共有________种情况．解析每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路,分别记为支线a、b、c，支线a,b中至少有一个电阻断路情况都有22－1＝3种；支线c中至少有一个电阻断路的情况有23－1＝7种，每条支线至少有一个电阻断路，灯A就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7＝63种情况．答案636．（2013·郑州模拟）从－3，－2，－1，0,1,2，3,4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b,c的取值，问共能组成________个不同的二次函数．解析a，b，c中不含0时,有A错误!个；a,b，c中含有0时，有2A 2个．故共有A错误!＋2A错误!＝294个不同的二次函数．7答案294三、解答题（共25分）7．（12分)7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种．（1)A，B必须当选；（2)A，B必不当选；（3）A,B不全当选；(4）至少有2名女生当选；(5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任．解(1）由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可,故有C错误!＝120种选法．(2)从除去的A，B两人的10人中选5人即可，故有C错误!＝252种选法．(3）全部选法有C512种，A,B全当选有C3，10种，故A，B不全当选有C错误!－C错误!＝672种选法．(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行．所以有C错误!－C错误!·C错误!－C错误!＝596种选法．（5)分三步进行;第1步，选1男1女分别担任两个职务有C错误!·C错误!种选法．第2步，选2男1女补足5人有C错误!·C错误!种选法．第3步，为这3人安排工作有A错误!方法．由分步乘法计数原理，共有C错误!C错误!·C错误!C错误!·A错误!＝12 600种选法．8．(13分)直线x＝1，y＝x，将圆x2＋y2＝4分成A,B，C,D四个区域,如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色,共有多少种不同的涂色方法?解法一第1步，涂A区域有C1，5种方法；第2步，涂B区域有C错误!种方法;第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法;若C区域涂A、B 剩余3种颜色之一，即有C错误!种涂法，则D区域有C错误!种涂法．故共有C错误!·C错误!·（4＋C错误!·C错误!）＝260种不同的涂色方法．法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有C2，5A错误!种涂法；第2类，用五色中三种色,共有C错误!C错误!C错误!A错误!种涂法；第3类，用五色中四种色，共有C45A错误!种涂法．由分类加法计数原理，共有C25A2，2＋C错误!C错误!C错误!A错误!＋C错误!A错误!＝260种不同的涂色方法．B级能力突破（时间：30分钟满分:45分）一、选择题（每小题5分，共10分)1．在1，2，3，4，5,6，7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5,a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式共有( )．A．576种B．720种C．864种D．1 152种解析由题意,先排1,3，5，7,有A错误!种排法；再排6，由于6不能和3相邻,故6有3种排法；最后排2和4，在不与6相邻的4个空中排上2和4，有A错误!种排法，所以共有A错误!×3×A错误!＝864种排法．答案C2．(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）．A．232 B．252 C．472 D．484解析若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张,若都不同色则有C错误!×C错误!×C错误!＝64种，若2张同色，则有C错误!×C错误!×C错误!×C错误!＝144种;若红色卡片有1张，剩余2张不同色,则有C错误!×C错误!×C错误!×C错误!＝192种，乘余2张同色，则有C14×C13×C错误!＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.答案C二、填空题(每小题5分,共10分）3．（2013·深圳模拟)某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌但张数不限，此人不同的出牌方法共有________种．解析出牌的方法可分为以下几类：(1）5张牌全部分开出，有A5，5种方法；(2)2张2一起出,3张A一起出,有A错误!种方法；(3)2张2一起出，3张A分3次出，有A错误!种方法；（4)2张2一起出，3张A分两次出，有C错误!A错误!种方法；（5）2张2分开出，3张A 一起出，有A35种方法;（6）2张2分开出，3张A分两次出，有C错误!A错误!种方法．因此,共有不同的出牌方法A错误!＋A错误!＋A错误!＋C错误!A错误!＋A错误!＋C错误!A错误!＝860（种)．答案8604．小王在练习电脑编程,其中有一道程序题的要求如下：它由A,B，C,D，E，F六个子程序构成，且程序B必须在程序A之后，程序C必须在程序B之后，执行程序C后须立即执行程序D，按此要求，小王的编程方法有__________种．解析对于位置有特殊要求的元素可采用插空法排列，把CD看成整体，A，B，C，D产生四个空,所以E有4种不同编程方法，然后四个程序又产生5个空,所以F有5种不同编程方法，所以小王有20种不同编程方法．答案20三、解答题(共25分)5．（12分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中:（1）某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法?（2）甲、乙均不能参加，有多少种选法？（3）甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？（4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？解（1)只需从其他18人中选3人即可，共有C错误!＝816(种); (2）只需从其他18人中选5人即可，共有C错误!＝8 568（种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加,共有C错误!C错误!＋C错误!＝6 936(种）；（4）方法一(直接法）：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外;四内一外，所以共有C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＋C错误!C错误!＝14 656（种)．方法二（间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C错误!－（C错误!＋C错误!）＝14 656（种)．6．（13分)在m（m≥2)个不同数的排列p1p2…p m中，若1≤i＜j≤m 时p i＞p j（即前面某数大于后面某数)，则称p i与p j构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1）n(n－1）…321的逆序数为a n.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.(1)求a4、a5，并写出a n的表达式;(2）令b n＝a na n＋1＋错误!,证明：2n＜b1＋b2＋…＋b n＜2n＋3，n＝1，2,…。

高考数学一轮复习学案：10.2 排列与组合(含答案)

高考数学一轮复习学案：10.2 排列与组合（含答案）10.2排列与组合排列与组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.以理解和应用排列.组合的概念为主，常常以实际问题为载体，考查分类讨论思想，考查分析.解决问题的能力，题型以选择.填空为主，难度为中档.1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出mmn个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数1排列数的定义从n个不同元素中取出mmn 个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示2组合数的定义从n个不同元素中取出mmn个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的组合数，用Cmn表示3排列数.组合数的公式及性质公式1Amnnn1n2nm1nnm2CmnAmnAmmnn1n2nm1mnmnm性质301；Annn4CmnCnmn；Cmn1CmnCm1n__题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1所有元素完全相同的两个排列为相同排列2一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序3两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同4n1nnn.5若组合式CxnCmn，则xm成立6kCknnCk1n1.题组二教材改编2P27A组T76把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为A144B120C72D24答案D解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A3443224.3P19例4用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为A8B24C48D120答案C解析末位数字排法有A12种，其他位置排法有A34种，共有A12A3448种排法，所以偶数的个数为48.题组三易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A192种B216种C240种D288种答案B解析第一类甲在左端，有A5554321120种排法；第二类乙在最左端，甲不在最右端，有4A444432196种排法所以共有12096216种排法5为发展国外孔子学院，教育部选派6名中文教师到泰国.马来西亚.缅甸任教中文，若每个国家至少去一人，则不同的选派方案种数为A180B240C540D630答案C解析依题意，选派方案分为三类一个国家派4名，另两个国家各派1名，有C46C12C11A22A3390种；一个国家派3名，一个国家派2名，一个国家派1名，有C36C23C11A33360种；每个国家各派2名，有C26C24C22A33A3390种，故不同的选派方案种数为9036090540.6寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位一排共五个座位，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种用数字作答答案45解析设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9545种.题型一题型一排列问题排列问题1某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言用数字作答答案1560解析由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A24040391560条留言2用1,2,3,4,5,6组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5有且只有两个相邻，则不同的排法种数为A18B108C216D432答案D解析根据题意，分三步进行第一步，先将1,3,5分成两组，共C23A22种排法；第二步，将2,4,6排成一排，共A33种排法；第三步，将两组奇数插入三个偶数形成的四个空位，共A24种排法综上，共有C23A22A33A2432612432种排法，故选D.3将7个人其中包括甲.乙.丙.丁4人排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻，则不同的排法共有A1108种B1008种C960种D504种答案B解析将丙.丁两人进行捆绑，看成一人将6人全排列有A22A66种排法；将甲排在排头，有A22A55种排法；乙排在排尾，有A22A55种排法；甲排在排头，乙排在排尾，有A22A44种排法则甲不能在排头，乙不能在排尾，丙.丁两人必须相邻的不同排法共有A22A66A22A55A22A55A22A441008种思维升华排列应用问题的分类与解法1对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法.元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法2对相邻问题采用捆绑法.不相邻问题采用插空法.定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.题型二题型二组合问题组合问题典例某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种1其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种2其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种3恰有2种假货在内，不同的取法有多少种4至少有2种假货在内，不同的取法有多少种5至多有2种假货在内，不同的取法有多少种解1从余下的34种商品中，选取2种有C234561种取法，某一种假货必须在内的不同取法有561种2从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335C234C3345984种取法某一种假货不能在内的不同取法有5984种3从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有C120C2152100种取法恰有2种假货在内的不同的取法有2100种4选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215C31521004552555种至少有2种假货在内的不同的取法有2555种5方法一间接法选取3种的总数为C335，因此共有选取方式C335C31565454556090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法二直接法共有选取方式C320C220C115C120C2156090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种思维升华组合问题常有以下两类题型变化1“含有”或“不含有”某些元素的组合题型“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取2“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型解这类题必须分重视“至少”与“至多”这两个【关键词】的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理跟踪训练1在某校xx年举办的第32届秋季运动会上，甲.乙两位同学从四个不同的运动项目中各选两个项目报名，则甲.乙两位同学所选的项目中至少有1个不相同的选法种数为A30B36C60D72答案A解析因为甲.乙两位同学从四个不同的项目中各选两个项目的选法有C24C24种其中甲.乙所选的项目完全相同的选法有C24种，所以甲.乙所选的项目中至少有1个不相同的选法共有C24C24C2430种故选A.2xx武汉二模若从1,2,3，，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A60种B63种C65种D66种答案D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，故不同的取法有C45C44C25C2466种题型三题型三排列与组合问题的综合应用排列与组合问题的综合应用命题点1相邻.相间及特殊元素位置问题典例1xx青岛模拟在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________答案60解析2位男生不能连续出场的排法共有N1A33A2472种，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2A22A2312种，所以出场顺序的排法种数为NN1N260.2xx上饶一模大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲.乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名乘同一辆车的4个孩子不考虑位置，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有A18种B24种C36种D48种答案B解析根据题意，分两种情况讨论A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C23C12C1212种乘坐方式；A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C13C12C1212种乘坐方式，故共有121224种乘坐方式，故选B.命题点2分组与分配问题典例1国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有C26C24C22A3315种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A336种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C26C24C22A33A3390种分派方法2xx 广州调研有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲.乙.丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送方案共有________种答案36解析先把4名学生分为2,1,1共3组，有C24C12C11A226种分法，再将3组对应3个学校，有A336种情况，则共有6636种不同的保送方案思维升华1解排列.组合问题要遵循的两个原则按元素位置的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列.组合问题常以元素位置为主体，即先满足特殊元素位置，再考虑其他元素位置2分组.分配问题的求解策略对不同元素的分配问题a对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Annn为均分的组数，避免重复计数b对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数c对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”跟踪训练1xx全国安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有A12种B18种C24种D36种答案D 解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C13C24A2236种，或列式为C13C24C123432236种故选D.2xx浙江从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法用数字作答答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24480种选法有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长.副队长位置，有A24种方法由分步乘法计数原理知，共有C26A24180种选法所以依据分类加法计数原理知，共有480180660种不同的选法方法二不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法，而没有女生的选法有A26C24种，故至少有1名女生的选法有A28C26A26C24840180660种3把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有______种答案36解析将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有A22A44种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有A22A33种方法于是符合题意的摆法共有A22A44A22A3336种。

2014届高考物理一轮复习课件(考纲解读+考点探究+高分技巧)：10.2变压器远距离输电(60张ppt,含详解)

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10-2-5
解析根据变压器原理可知，接直流电时，R 中没有电流，A
错误；但在原线圈中能形成闭合回路，有电流，B 错误；在 a、
b
间接交流电压
U
时，由公式U1＝n1，I1＝n2得 U2 n2 I2 n1
U2＝nU，I2＝nRU，
I1＝nR2U，所以 C 正确，D 错误．
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4．几种常用的变压器 (1)自耦变压器——调压变压器 (2)互感器电电压流互互感感器器：：用用来来把把大高电电流压变变成成小电低流电压 . .
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远距离输电 Ⅰ(考纲要求)
功率，则下列说法正确的是
( )．
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A．升压变压器的输出电压增大 B．降压变压器的输出电压增大 C．输电线上损耗的功率增大 D．输电线上损耗的功率占总功率的比例减小
解析发电厂的输出电压不变，则升压变压器的输出电压不
变，A 项错；发电厂输出功率增大，则输电线中电流增大，导线上损耗功率和损耗电压增大，降压变压器的输入、输出电压减小，B 错、C 对；输电线上损耗的功率与总功率的比值为II2UR
载总电阻减小，I2＝UR2，所以 I2 增大．因II12＝nn21，所以 A1 示数增大，A1 与 A2 示数比值不变，A 对．答案 AD
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高中数学排列与组合综合测试题(含答案)选修2-3 1.2.2第三课时排列与组合习题课一、选择题1．(2019山东潍坊)6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为()A．40 B．50C．60 D．70[答案] B[解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36A22＝10种不同的分法，所以乘车方法数为252＝50，故选B.2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有()A．36种 B．48种C．72种 D．96种[答案] C[解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有() A．6个 B．9个C．18个 D．36个[答案] C[解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22C23＝6(种)排法，所以共有36＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人[答案] A[解析] 设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2nC18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()A．45种 B．36种C．28种 D．25种[答案] C[解析] 因为108的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有()A．24种 B．36种C．38种 D．108种[答案] B[解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22C13＝36(种)．7．组合数Crn(n1，n，rZ)恒等于()A.r＋1n＋1Cr－1n－1 B．(n＋1)(r＋1)Cr－1n－1 C．nrCr－1n－1 D.nrCr－1n－1[答案] D[解析] ∵Crn＝n！r！(n－r)！＝n(n－1)！r(r－1)！[(n－1)－(r－1)]！＝nrCr－1n－1，故选D.8．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A．33 B．34C．35 D．36[答案] A[解析] ①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12A33＝12个；②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12A33＋A33＝18个；③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A. 9．(2019四川理，10)由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72 B．96C．108 D．144[答案] C[解析] 分两类：若1与3相邻，有A22C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．10．(2019北京模拟)如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()A．50种 B．60种C．120种 D．210种[答案] C[解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16A25＝120种，故选C.二、填空题11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)[答案] 2400[解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20190＝2400(种)安排方法．12．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)[答案] 1260[解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49C25C33＝1260(种)排法．13．(2019江西理，14)将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．[答案] 1080[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C26C24A22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A44种分法，故所有分配方案有：C26C24A22A44＝1 080种．14．(2019山东济宁)要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．[答案] 72[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，有432(12＋11)＝72种．三、解答题15．(1)计算C98100＋C199200；(2)求20C5n＋5＝4(n＋4)Cn－1n＋3＋15A2n＋3中n的值．[解析] (1)C98100＋C199200＝C2100＋C1200＝100992＋200＝4950＋200＝5150.(2)20(n＋5)！5！n！＝4(n＋4)(n＋3)！(n－1)！4！＋15(n ＋3)(n＋2)，即(n＋5)(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)6＝(n＋4)(n＋3)(n＋2)(n＋1)n6＋15(n＋3)(n＋2)，所以(n＋5)(n ＋4)(n＋1)－(n＋4)(n＋1)n＝90，即5(n＋4)(n＋1)＝90.所以n2＋5n－14＝0，即n＝2或n＝－7.注意到n1且nZ，所以n＝2.[点拨] 在(1)中应用组合数性质使问题简化，若直接应用公式计算，容易发生运算错误，因此，当mn2时，特别是m 接近于n时，利用组合数性质1能简化运算．16．(2019东北师大附中模拟)有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有222＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C36222＝160(种)．17．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．[解析] (1)C212C410C66＝13 860(种)；(2)C412C48C44A33＝5 775(种)；(3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C412C48C44A33A33＝C412C48C44＝34 650(种)不同的分法．18．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A66A47种不同排法．(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A99种排法，若甲不在末位，则甲有A18种排法，乙有A18种排法，其余有A88种排法，综上共有(A99＋A18A18A88)种排法．方法二：无条件排列总数A1010－甲在首，乙在末A88甲在首，乙不在末A99－A88甲不在首，乙在末A99－A88甲不在首乙不在末，共有(A1010－2A99＋A88)种排法．(3)10人的所有排列方法有A1010种，其中甲、乙、丙的排序有A33种，又对应甲、乙、丙只有一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A1010A33种．(4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好是这二者之和，因此满足条件的有12A1010种排法．。

【全程复习方略】(广西专用)版高考数学 10.2 排列、组合及其应用课时提升作业文(含解析)

10.2 排列、组合及其应用课时提升作业文一、选择题1.不等式错误！未找到引用源。

<6×错误！未找到引用源。

的解集为( )(A)[2,8] (B)[2,6](C)(7,12) (D){8}2.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有( )(A)6种(B)12种(C)24种(D)30种3.(2013·桂林模拟)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为( )(A)300 (B)216 (C)180 (D)1624.(2013·贺州模拟)在送医下乡活动中,某医院安排3名男医生和2名女医生到三所医院工作,每所医院至少安排一名医生,且女医生不安排在同一医院工作,则不同的分配方法总数为( )(A)78 (B)114 (C)108 (D)1205.在1,2,3, 4,5,6,7的任一排列中,使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )(A)576 (B)720 (C)864 (D)11526.(能力挑战题)2012年山东文博会期间,某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作.将这四名学生分配到A,B,C三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A馆,则不同的分配方案有( )(A)36种(B)30种(C)24种(D)20种7.用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数,其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间,这样的五位数有( )(A)48个(B)12个(C)36个(D)28个8.已知集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9},现在从这三个集合中的两个集合中各取出1个元素,则一共可以组成集合的个数为( )(A)24 (B)36 (C)26 (D)279.(2013·南昌模拟)高三(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( )(A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)504010.(2013·衡水模拟)甲、乙、丙等五人站成一排,要求甲、乙均不与丙相邻,则不同的排法种数为( )(A)72种(B)52种(C)36种(D)24种二、填空题11.(2013·玉林模拟)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案种数为.12.5名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选,一间客房为3人间,其余为2人间,则5人入住两间客房的不同方法有种(用数字作答).13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).14.(2013·南宁模拟)如图,天花板挂着三串小玻璃球,第一串挂着2个小球,第二串挂着3个小球,第三串挂着4个小球,射击规则为:下面小球被击中后方可以射击上面的小球,若球A恰好在第五次射击中被击中,球B恰好在第六次射击中被击中,则这9个小球全部被击中的情形有(假设每次都击中) 种.15.(能力挑战题)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答).三、解答题16.已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止. (1)若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种?(2)若恰在第5次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种?答案解析1.【解析】选D.()()8!8!6,8x !10x !⨯--＜ ∴x 2-19x+84<0,又x ≤8,x-2≥0,∴7<x ≤8,x ∈N *,即x=8.2.【解析】选C.先求出所有两人各选修2门的种数为错误！未找到引用源。

【优化方案】2014届高考数学131数学归纳法及其应用随堂检测含答案解析

∈n>0，S＝t，其中ta＝1，tS－(2t＋1)·a已知数列{}的前n项和为S，且满足11nnnn－*2.n N≥，}是等比数列；(1)求证：数列{a n1的通项b(})(n≥＝1，b＝2)，求数列f{}(2)设数列{a}的公比为f(t)，数列{b满足b nnnn1b1n－公式；，试比较a和TT的大小关系．1，数列{b}的前n项和为(3)在(2)的条件下，若t＝nnnn解：(1)证明：当n≥2时，tS－(2t＋1)S＝t，①1n－n tS－(2t＋1)S＝t，②n1n＋②－①得ta－(2t＋1)a＝0. n1n＋2t＋1因为t>0，所以a＝a.nn＋1t又当n＝2时，由a＝1，t(a＋a)－(2t＋1)a＝t，12112t＋1得a，＝2t2t＋1a2t＋11＋n 由于a总有＝，*N∈，≠0，所以对n≠0n tat n2t＋1即数列{a的等比数列．，公比为}是首项为1n t2t＋1，＝t)由(1)知f((2)t1则b＝f()＝2＋b，又b＝1，1－n1n b n－1所以数列{b}是以1为首项，2为公差的等差数列，n故b*.∈N－n1，n＝2n，T，1－n2n3＝＝＝1时，a(3)当t nn对于n＝1,2,3，a＝T＝1；a＝3，T＝4；a ＝T＝9. 313122下面用数学归纳法证明，当n≥4时，a>T. nn当n＝4时，a＝27，T＝16，a>T成立．4444假设当n＝k(k≥4)时，a>T.kk当n＝k＋1时，a＝k＋k×k＋k222> k>3T＝3a＝3kkk＋1＋2k＋1＝(k＋1)＝T22，所证不等式也成立．k1＋k综上：对n∈N，n≥4均有a*>T，nn所以当n＝1,3时，a＝T，当n＝2时，a<T，2nn2当n≥4时，a>T. nn一、选择题＋n2a1－＋n*21)”在验证n＝N n1a＝aa1．1用数学归纳法证明“＋＋＋…＋a(≠，∈1成立a－1)(时，左边计算所得项是A．1B．1＋a223a＋1＋a＋a D．C．1＋a＋a，当n＝1时为a1＋n2. a C.左边表达式通项为解析：选5672 011的578 125＝15 625,5(2011·高考江西卷)观察下列各式：5，…，则＝3 125,5＝2．末四位数字为()A．3125 B．5625C．0625 D．8125＝3 125,5＝15 625,5＝78 125，7565∵解析：选D.末四位数字为0625,5末四位数字为3 125，985末四位数字为5625,5末四位数字为8 125，11105末四位数字为0625，…，125由上可得末四位数字，呈规律性交替出现，周期为4.∴5＝5的末四位数字为8 125.整除，能被4a，用数学归纳法证明a2，a＝2a＋3．已知数列{a}中a＝1，a＝n11nn14n2n ×745012 011＋－＋)4整除，应证(假设a能被k4 4整除．a能被能被4整除BA．a2k44k1＋＋整除能被．a44整除DC．a能被4kk344＋＋解析：选D.假设a能被4整除，即n＝k时的命题．n＝k＋1时其项为a＝a.4＋44(k＋1)4kk111127*)成立，其初始值至少应取n∈N＋＋＋…＋>(4．用数学归纳法证明不等式1246412()－nA．7 B．8C．9 D．10111－1－78221111255127111＋＋…＋＝＝2－＝，1＋＋＋…＋＝>＋由于1解析：选B.62772164221222128221－1－2211127＝2－＝2－＝，其初始值至少应为8，故选B.6642645．上一个n级的台阶，若每次可上一级或两级，设上法的总数为f(n)，则下列猜想中正确的是()A．f(n)＝nB．f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)C．f(n)＝f(n－1)·f(n－2)2，＝1n，n?? )＝．f(n D?3n≥2?，＋－1?f?n－f?n??解析：选D.当n＝1时，f(1)＝1.当n＝2时，f(2)＝2.当n≥3时，对于n级台阶可看作n－1与n－2级台阶上法之和．二、填空题x6．(2011·高考山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：2＋xxf(x)＝f(x)＝，12x ＋xf(x)＝f(f(x))＝，124＋x3．x，f(x)＝f(f(x))＝2387x＋x，f(x))＝f(x)＝f(341615x＋…根据以上事实，由归纳推理可得：*________. f(x))＝当n∈N≥且n2时，f(x)＝f(1nn－解析：依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故n2＝n其通项公式为b n.2＝n xf时，≥2所以当n. ＝x))f(f((x)＝1n－n2＋?x－1nn2?x答案：nn2x＋－1??27．观察前四个等式：1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…猜想第n个等式为________．解析：根据前4个等式1＝1，＝－(1＋2)，1－2＋3＝1＋2＋3，22221－＋3－4＝－(1＋2＋3＋4)，2222－1可猜想第n个等式为1－4＋9－16＋…＋(－1)1＋n2n＝(－1)1＋n(1＋2＋3＋…＋n)．(1＋2＋－1)3－16＋…＋(－1)＋…＋nn)＋＋nn121＝(答案：1－4＋9332,3332,33332，…，根据上述规律，410＋＋33＝6＝．观察下列等式：811＋2＋＝3＋12＋2第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为1＋2＋3＋4＋5＋6＝212333333.3333332 2152＝＋3＋＋46答案：1＋＋三、解答题9．用数学归纳法证明：)．1(＋…＋2n∈＝2N1＋2＋2－＝1)，112＝(1)当n1时，原式左边＝1(注意证明：－右边2－nn*12－1＝1.故原式左边＝右边，即等式对n＝1成立．1*)时，等式成立，即有∈N k(2)假定n＝k(＋…＋2＝2－1，那么，当n＝k＋1时，则有1－kk22＋＋12＋…＋2＋2＝(2－1)＋2＝2·2－1＝2－1，11＋－kkkkkk221＋2＋即当n＝k＋1时等式成立．由以上可知1＋2＋2＋…＋2＝2－1对一切n∈N都成立．1－nn*210．(2012·高考重庆卷节选)设数列{a}的前n项和S满足S＝aS＋a，其中a≠0，2n2nn11n＋求证{a}是首项为1的等比数列．n 证明：当n＝1时，由S＝aS＋a，得a＋a＝aa＋a，即a＝aa，再由a，得0≠2122112211122．a＝1，所以结论成立．1假设n＝k时，结论成立，即a1－k，＝a2k那么a＝S－S＝(aS＋a)－(aS＋a)11k＋12kk1k＋1k－2＝a k，即当n＝k＋1时，结论也成立．a－S)＝aa＝(S22k－k12k综上可得，对任意n ∈N，a1－n*a＝. 2n因此{a}是首项为1，公比为a的等比数列．2n2－2x－3，定义数列{x}如下：x＝211．(探究选做)(2012·高考大纲全国卷)函数f(x)＝x，1n x是过两点P(4,5)、Q(x，f(x))的直线PQ与x轴交点的横坐标．nnnn1n＋(1)证明：2≤x＜x＜3；1nn＋(2)求数列{x}的通项公式．n解：(1)证明：①当n＝1时，x＝2，1f?2?－5直线PQ的方程为y－5＝(x－4)，14－211令y＝0，解得x，所以2≤x<x＝<3. 2214②假设当n＝k时，结论成立，即2≤x<x<3. 1＋kk f?x?－51＋k PQ直线(的方程为y－5＝x－4)，1k＋4x－1k＋3＋4x k＋1令y＝0，解得x＝.2＋k x＋21＋k由归纳假设知3＋4x551＋k＝4－＝3；－x＝<42k＋322＋x2＋x＋1kk＋＋1?3－x??1＋x?1kk＋1＋x－x＝>0，1＋kk＋2x＋21＋k即x<x.2＋kk＋1所以2≤x<x<3，即当n＝k＋1时，结论成立．2＋＋1kk由①、②知对任意的正整数n,2≤x<x<3. 1＋nn3＋4x n(2)由(1)及题意得x＝.1＋n x2＋n151111设b＝＋1，＋＝5(＋)，－3，则＝x nn44bbbb nn1n1＋n ＋113数列{＋，公比为5的等比数列．是首项为－}4b4n1134因此＋＝－，即b，1－n＝－5·n44b1＋1－n53·n4所以数列{x}的通项公式为x＝3－.nn1＋1－n53·．。

【步步高】2014届高考数学大一轮复习 10.2排列与组合配套课件理新人教A版

题型分类·深度剖析
变式训练 2
正方体六个表面的中心所确定的直线
中，异面直线共有多少对？
解
根据图形结构的对称性，对每一条边，与其异面的边有 4 12×4 个，共有 2 ＝24 对异面直线；每一条边与相对顶点连线中的 1 条异面，共有 12 对异面直线．综上，共有 24＋12＝36 对异面直线．
题型分类·深度剖析
题型分类·深度剖析
题型二组合问题
思维启迪解析探究提高
【例 2】从 7 名男生 5 名女生中选取 5 人，分别求符合下列条件的选法总数． (1)A，B 必须当选； (2)A，B 不全当选.
题型分类·深度剖析
题型二分步乘法计数原理的应用
思维启迪解析探究提高
【例 2】从 7 名男生 5 名女生中选取 5 人，分别求符合下列条件的选法总数． (1)A，B 必须当选； (2)A，B 不全当选.
思维启迪解析
【例 3】 4 个不同的球，4 个不同
探究提高
的盒子，把球全部放入盒内． (1)恰有 1 个盒不放球，共有几种放法？ (2)恰有 1 个盒内有 2 个球，共有几种放法？ (3)恰有 2 个盒不放球，共有几种放法？
把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空．
题型分类·深度剖析
题型三排列与组合的综合应用问题
思维启迪解析
【例 3】 4 个不同的球，4 个不同
探究提高
的盒子，把球全部放入盒内．解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球”，先从 4 个盒子中任意取出去 (1)恰有 1 个盒不放球，共有几一个，问题转化为 “4 个球，3 个盒子，每个盒子都要放入球，共有种放法？ ”即把 4 个球分成 2,1,1 的三组，然后再从 3 个盒子中选几种放法？恰有 1 个盒内有 2 个球放在另外个球，共 1 (2) 个放 2 个球，其余 2 2 个盒子内，由分步乘法计数原有几种放法？理，共有 C1C2C1×A2＝144(种)．

2024年高考数学一轮复习(新高考版) 第10章10.2 排列与组合

§10.2排列与组合考试要求1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照一定的顺序排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同排列的个数，用符号A m n 表示．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有不同组合的个数，用符号C m n 表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．(2)C mn ＝A m n A mm ＝n ！m ！ n －m ！(n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地，C 0n ＝1性质(1)0！＝1；A n n ＝n ！.(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n常用结论1．排列数、组合数常用公式(1)A m n ＝(n －m ＋1)A m －1n .(2)A m n ＝n A m －1n －1.(3)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.(4)k C k n ＝n C k －1n －1.(5)C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＋1＋C m m ＝C m ＋1n ＋1.2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(×)(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(√)(3)若组合式C x n ＝C mn ，则x ＝m 成立．(×)(4)A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m )．(×)教材改编题1．A 24＋C 37等于()A ．35B ．47C ．45D ．57答案B解析A 24＋C 37＝4×3＋7×6×53×2×1＝47.2．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是()A ．18B ．24C ．30D ．36答案C 解析选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C 24C 13＝18(种)，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C 14C 23＝12(种)，故3名学生中男、女生都有的选法有C 24C 13＋C 14C 23＝30(种)．3．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．答案36解析第一步，先从4名学生中任取两人组成一组，与剩下2人分成三组，有C 24＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A 33＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案.题型一排列问题例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()A．576B．288C．144D．48答案B解析根据题意，雪上技巧项目必须由女队员展示，有2种情况，剩下3人表演其他3个项目，有A33＝6(种)情况，而4个项目之间的排法有A44＝24(种)顺序，则有2×6×24＝288(种)展示方案．(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4310的四位偶数．答案110解析①当千位上排1或3时，符合题意的共有A12A13A24个．②当千位上排2时，符合题意的共有A12A24个．③当千位上排4时，形如40××，42××的偶数各有A13个符合题意，形如41××的偶数有A12A13个符合题意，形如43××的偶数只有4310和4302这两个数符合题意．故共有A12A13A24＋A12A24＋2A13＋A12A13＋2＝110(个)符合题意．思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A．18种B．36种C．72种D．108种答案B解析先排A，B两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第2,3,4道程序选两个放A，B，共有A23种放法；再排剩余的3道程序，共有A33种放法．则共有A23·A33＝36(种)放法．(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．答案5760解析先排甲、乙，有A24种排法，再排丙，有A14种排法，其余5人有A55种排法，故不同的排法共有A24A14A55＝5760(种)．题型二组合问题例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有()A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法答案CD解析如果4人全部为男生，选法有C46＝15(种)，故A错误；如果4人中男生、女生各有2人，男生的选法有C26＝15(种)，女生的选法有C24＝6(种)，则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6＝90(种)，B错误；如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，在剩下的8人中再选2人即可，有C28＝28(种)，故C正确；在10人中任选4人，有C410＝210(种)，甲、乙都不在其中的选法有C48＝70(种)，故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内的选法有210－70＝140(种)，故D正确．(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有() A．80种B．180种C．260种D．420种答案C解析根据题意，分2种情况讨论，①选出的3人中有1名国外记者、2名国内记者，则有C25C14A22＝80(种)选法，②选出的3人中有2名国外记者、1名国内记者，则有C15C24A33＝180(种)选法，由分类加法计数原理可知，共有80＋180＝260(种)选法．思维升华组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为()A．12B．24C．34D．60答案C解析由题可知，选派4人去的总的选派种数为C47＝35，选派4人全部是男生的选派种数为1，所以至少有一名女生参加的不同的选派种数为35－1＝34.(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．答案252解析构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法需10步完成(从上一个字到下一个字为一步)，其中5步是从上往左下角方向读，余下5步是从上往右下角方向读，故共有不同读法C510＝252(种)．题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻、相间问题例3(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是()A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种排法答案BCD解析对于A，将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A44种排法，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A44种排法，故共有A44·A44＝576(种)排法，故A错误；对于B，先排女生，将4名女生全排列，有A44种排法，再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种排法，故共有A44·A35＝1440(种)排法，故B正确；对于C ，任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C 37×2×1＝70(种)，故C 正确；对于D ，若甲站在排尾，则有A 66种排法，若甲不站在排尾，则有A 15A 15A 55种排法，故共有A 66＋A 15A 15A 55＝3720(种)排法，故D 正确．命题点2定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.答案840解析7名学生的排列共有A 77种，其中女生的排列共有A 33种，按照从左到右，女生从矮到高的排列只是其中的一种，故有A 77A 33＝A 47＝840(种)不同的排法．命题点3分组、分配问题例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为()A ．60B ．90C ．120D ．150答案D解析满足条件的分法可分为两类，第一类，一人三张，另两人各一张，符合条件的分法有C 35A 33种，即60种，第二类，其中一人一张，另两人各两张，符合条件的分法有C 25C 23A 22A 33种，即90种，由分类加法计数原理可得，满足条件的不同分法种数为150.(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A ．20种B ．36种C ．72种D ．84种答案C解析将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为C 26C 24C 22，其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为C 22·C 24C 22A 22·A 33，所以满足条件的不同的安排方案数为C 26C 24C 22－C 22·C 24C 22A 22·A 33＝90－18＝72.思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中定序问题对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟踪训练3(1)(多选)已知A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，则下列说法正确的有()A ．若A ，B 不相邻，共有72种排法B ．若A 不站在最左边，B 不站在最右边，有72种排法C ．若A 在B 右边有60种排法D ．若A ，B 两人站在一起有48种排法答案ACD解析对于A ，若A ，B 不相邻，共有A 33A 24＝72(种)排法，故A 正确；对于B ，若A 不站在最左边，B 不站在最右边，利用间接法有A 55－2A 44＋A 33＝78(种)排法，故B 错误；对于C ，若A 在B 右边有A 55A 22＝60(种)排法，故C 正确；对于D ，若A ，B 两人站在一起有A 22A 44＝48(种)排法，故D 正确．(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是()A ．72B ．120C ．144D ．168答案B解析先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品，小品，相声”、“小品，相声，小品”和“相声，小品，小品”．对于第一种情况，形式为“□小品歌舞小品□相声□”，有A 22C 13A 23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法；对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品□相声□小品□”，有A 22A 34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)答案1680解析先选出3人，有C39种选法，再从剩下的6人中选出3人，有C36种选法，最后剩下的3人为一组，有C33种选法．由分步乘法计数原理以及每A33中只能算一种不同的分组方法，可知不同的安排方案共有C39C36C33A33·A33＝1680(种)．课时精练1．若A3m＝6C4m，则m等于()A．9B．8C．7D．6答案C解析因为A3m＝6C4m，所以m(m－1)(m－2)＝6×m m－1 m－2 m－34×3×2×1，即1＝m－34，解得m＝7.2．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A．10B．20C．30D．40答案B解析将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C35C22A22＝20(种)．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种B．960种C．720种D．480种答案B解析先将5名志愿者排好，有A55种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．所以共有不同的排法4A22A55＝960(种)．4．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有()A．98个B．105个C．112个D．210个答案D解析当个位数字与百位数字为0,8时，有A28A22个；当个位数字与百位数字为1,9时，有A17A17A22个，所以个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的共有A28A22＋A17A17A22＝210(个)．5．将标号为1,2,3,4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为1,2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A．15B．20C．30D．42答案C解析四个篮球分成三组有C24种分法，三组篮球进行全排列有A33种分法，标号为1,2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30(种)分法．6．(2023·济宁模拟)2022年7月19日，亚奥理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办第19届亚运会，为了办好这届体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与．某高校3位男同学和2位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求2位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为()A．144B．150C．168D．192答案D解析由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，若没有限制则共有C25·A44＝240(种)安排方法；当两个女同学在一起时有A44＝24(种)安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起时有A44＝24(种)方法，所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.7.如图是由6个正方形拼成的矩形图案，从图中的12个顶点中任取3个点作为一组．其中可以构成三角形的组数为()A．208B．204C．200D．196答案C解析任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数为3C34；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C33；三是4条对角线上的3个点，其组数为4C33，所以可以构成三角形的组数为C312－3C34－8C33＝200.8．(多选)现有4个编号为1,2,3,4的不同的球和4个编号为1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子内．则下列说法正确的是()A．恰有1个盒子不放球，共有72种放法B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种C．有2个盒子内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种D．恰有2个盒子不放球，共有84种放法答案BCD解析对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，则C14C24A33＝144≠72，故A不正确；对于B，编号为1的球有C13种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C12＝3(种)，即3×3＝9(种)，故B正确；对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有C24C24＝36(种)，故C正确；对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C24(C14C12＋C24)＝6×14＝84(种)，故D正确．9．(2022·大同模拟)在5G，AI，MR等技术的支持下，新闻媒体推出诸多创新融媒产品，将5G技术引入新闻生产，有效扩展了新闻的应用场景，云采访、云访谈、云直播等云端对话成为报道的新常态．现有4名新闻媒体记者采用云采访、云访谈、云直播三种方式进行报道，每种方式至少有一名记者采用，则不同的安排方法种数为________．答案36解析依题意将4名新闻媒体记者分成三组，共有C24种方法﹐再将其进行全排列共有A33种方法﹐由分步乘法计数原理得，共有C24A33＝36(种)安排方法．10．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是________．答案216解析根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共有C24C12C11·A33种分法，A22然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有A23种分法，所以共有C24C12C11A22·A33·A23＝216(种)不同的分配方案．11．(2023·苏州模拟)阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女孩相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男孩打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法共有()A．144种B．216种C．288种D．432种答案C解析第一步：先将3名母亲全排列，共有A33种排法；第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A33种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有A12种排法；第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有C12C12种排法．所以不同的排法共有A33A33A12C12C12＝288(种)．12．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．答案96解析先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4(种)分法，再对应到4个人，有A44＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法．13．(2022·济南模拟)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有()A．36种B．44种C．48种D．54种答案B解析由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有A22A23种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有A12A33种方法；②D，F两项任务中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有A12A22种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F 中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有C12C12A22A22种方法，根据分类加法计数原理知，不同的执行方案共有A22A23＋A12A33＋A12A22＋C12C12A22A22＝44(种)．14．某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，则该停车点的车位数为________．答案10解析设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A3n2种．恰有2辆共享汽车相邻，可先－把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n －2)个间隔中，故有A23A2n－2种．因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的排法相等，所以A3n2＝A23A2n－2，解得n＝10.－。

【优化方案】高考数学一轮复习 10.2 排列、组合及应用名师课件

【解】 (1)无序不均匀分组问题．先选 1 本有 C16种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C25种选法；最后余下 3 本全选有 C33种方法，故共有 C16C25C33＝60(种)． (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第 (1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C16C25C33A33＝360(种)． (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是 C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．
排列与排列数
组合与组合数
公 n(排_n_－_列_1_数)_(_公n_－_式_2_A)_…mn__＝(_n_－__m__＋__1_)___ 式＝ n！
组n合n数－公1式…Cn－mn ＝mAA＋mnmm1＝ ______n_！__m__！________＝
__n_－___m__！___
__m_！___n_－___m__！____
课前热身
1．(教材改编)空间中有10个点，任何四点不共面，共可组成
四面体的个数为( )
A．5 040
B．2 520
C．210
D．120
答案：C
2．从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人，作为班干部，其中恰
有一名女生的选法共有( )
A．A47种
B．A44种
C．C34C13A44种
D．C47种
答案：C
∴(2)(4)正确．
【答案】 (2)(4)
【名师点评】对于具体的排列数、组合数常用定义式计算, 对于它们的化简或者证明常用阶乘的形式,注意性质的应用．
考点2 排列及应用排列中具有典型意义的问题是“排数”、“排队”、“排课程表”，绝大多数排列问题都可转化为与这几种类似的形式，对复杂的问题注意分类讨论与间接法的应用．

2014届高考数学一轮复习 10.2 排列、组合及应用随堂检测文(含解析)新人教A版

word 1 / 1 2014届高考数学一轮复习 10.2 排列、组合及应用随堂检测文（含解析）新人教A 版1．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )A ．93种B ．92种C ．96种D ．95种解析：选C.当A 出现在第一步时，再排A ，B ，C 以外的三个程序，有A 33种，A 与A ，B ，C 以外的三个程序生成4个可以排列程序B 、C 的空档，此时共有A 33A 14A 22种排法；当A 出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A 33A 14A 22＝96种编排方法．2．同室A ，B ，C ，D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A ，B 不选修同一门课，则不同的选法有( )A ．36种B ．72种C ．30种D ．66种解析：选C.将A ，B ，C ，D 四位同学分成3组，共有C 24C 122！种分法，所有的选修方案为C 24C 122！A 33，其中A ，B 选修同一门课的方案数为A 33.故所有不同的选法为C 24C 122！A 33－A 33＝30. 3．某同学要出国学习，行前和六名要好的同学站成一排照纪念照，该同学必须站在正中间，并且甲、乙两同学要站在一起，则不同的站法有( )A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种解析：选B.依题意可分两类：①甲、乙两同学站在该同学左边有C 12A 22A 44＝96种站法，②甲、乙两同学站在该同学右边也有96种站法，∴共有96×2＝192种．4．(2011·高考大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )A ．4种B ．10种C ．18种D ．20种解析：选B.法一：不同的赠送方法有A 45A 22A 33＝10(种)．法二：从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C 14＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C 24＝6种赠送方法．因此共有4＋6＝10种赠送方法．。

(特效提高)2014高考数学一轮精品复习 10.2 排列与组合题库理

10.2 排列与组合一、选择题1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )．A．42 B．30 C．20 D．12解析可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有A22A16＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A26＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A27＝42)．答案 A2．a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )C．A734－a D．A834－aA．A827－a B．A27－a34－a解析 A834－a＝(27－a)(28－a)…(34－a)．答案 D3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )A．252个 B．300个C．324个 D．228个解析 (1)若仅仅含有数字0，则选法是C23C14，可以组成四位数C23C14A33＝12×6＝72个；(2)若仅仅含有数字5，则选法是C13C24，可以组成四位数C13C24A33＝18×6＝108个；(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C13C14，排法是若0在个位，有A33＝6种，若5在个位，有2×A22＝4种，故可以组成四位数C13C14(6＋4)＝120个．根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．答案 B4．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )A．1 440种 B．1 360种C．1 282种 D．1 128种解析采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A66·A22＝1 440种，如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C11·A14·A22·A44＝192种，若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A55＝120种．则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．答案D5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )．A．16种 B．36种 C．42种 D．60种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A34种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C23A24种方法，由分类计数原理知共A34＋C23A24＝60种方法．答案 D6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．A．30种 B．35种 C．42种 D．48种解析法一可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)选法．法二总共有C37＝35(种)选法，减去只选A类的C33＝1(种)，再减去只选B类的C34＝4(种)，共有30种选法．答案 A7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )．A．24 B．48 C．72 D．96解析A55－2A22A23A22－A22A22A33＝48.答案 B二、填空题8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)解析①只有1名老队员的排法有C12·C23·A33＝36种．②有2名老队员的排法有C22·C13·C12·A22＝12种；所以共48种．答案489．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．解析将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C24A33种分配方案，其中甲同学分配到A班共有C23A22＋C13A22种方案．因此满足条件的不同方案共有C24A33－C23A22－C13A22＝24(种)．答案2410．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．解析分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．直接法：C15C24＋C25C14＝70.间接法：C39－C35－C34＝70.答案 7011．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．解析甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是C 13A 33＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是C 15C 24C 22A 22A 33＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．答案 7212．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．解析先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C 25种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C 24种，最后，安排其他两辆车共有A 22种方法，∴不同的调度方法为C 25·C 24·A 22＝120种．答案 120 三、解答题13．有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？ (1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3； (3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2； (5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2. 解析 (1)即C 16C 25C 33＝60. (2)即C 16C 25C 33A 33＝60×6＝360. (3)即C 26C 24C 22A 33＝15.(4)即C 26C 24C 22＝90. (5)即C 16C 15A 22·C 24C 22A 22＝45.(6)C 16C 15C 24C 22＝180.14．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？ (1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男生甲、女生乙至少有一个人入选．解析 (1)C 512－C 57＝771； (2)C 57＋C 15C 47＋C 25C 37＝546； (3)C 22C 310＝120； (4)C 512－C 22C 310＝672； (5)C 512－C 510＝540.15．在m (m ≥2)个不同数的排列p 1p 2…p m 中，若1≤i ＜j ≤m 时p i ＞p j (即前面某数大于后面某数)，则称p i 与p j 构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n ＋1)n (n －1)…321的逆序数为a n .如排列21的逆序数a 1＝1，排列321的逆序数a 2＝3，排列4 321的逆序数a 3＝6. (1)求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； (2)令b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n，证明2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3，n ＝1,2，…. 解析 (1)由已知条件a 4＝C 25＝10，a 5＝C 26＝15，则a n ＝C 2n ＋1＝n n ＋12.(2)证明 b n ＝a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＝n n ＋2＋n ＋2n ＝2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ∴b 1＋b 2＋…＋b n＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝2n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2，∴2n ＜b 1＋b 2＋…＋b n ＜2n ＋3.16．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止． (1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？解析(1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．第2次测到第一件次品有4种抽法；第8次测到最后一件次品有3种抽法；第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A25种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有A24A25A46＝86 400种抽法．(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A44种，检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4A34A16种；检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4A35A26＋A66种．由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为A44＋4A34A16＋4A35A26＋A66＝8 520.。

高考数学一轮复习 10.2排列与组合(一)练习理

第二节排列与组合(一)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案1．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：标号为1，2的卡片放入同一封信有C 13种方法；其他四封信放入两个信箱，每封两个有C 24A 22·A 22种方法，∴共有C 13·C 24A 22·A 22＝18种．答案：B2．用0，1，2，3，4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是( )A ．36个B ．32个C ．24个D ．20个解析：将3个偶数“捆绑”，2个奇数“捆绑”，这样得到2个新元素，将这2个新元素排列，得到种数为A 33A 22A 22，其中，0在首位的有四个：02413，02431，04213，04231，所以，这样的五位数的个数是A 33A 22A 22－4＝20.故选D.答案：D3．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是( )A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种解析：利用相邻问题捆绑法，间隔问题插空法得：A 22A 22A 23＝24，故选B. 答案：B4．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是( )A ．152种B ．126种C ．90种D ．54种解析：分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有C 23×A 33＝18种；若有1人从事司机工作，则方案有C 13×C 24×A 33＝108种， ∴共有18＋108＝126种，故B 正确．答案：B5．五位同学参加某作家的签字售书活动，则甲、乙都排在丙前面的方法有( ) A ．20种 B ．24种 C ．40种 D ．56种解析：若丙在第三位，则排法种数为A22A22＝4；若丙在第四位，排法数为A23A22＝12；若丙在第五位，则有A44＝24种不同的排法．故总的排法总数为40种．答案：C6．下面是高考第一批录取的一份志愿表．现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择，如果要将表格填满且规定：学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你的不同的填写方法种数为( )志愿学校专业第一志愿 A 第1专业第2专业第二志愿 B 第1专业第2专业第三志愿 C 第1专业第2专业A.43·(A3233323C．A43·(C32)3种 D．A43·(A32)3种解析：第一步，先填写志愿学校，三个志愿学校的填写方法数是A34；第二步，再填写对应志愿学校的专业，各个对应学校专业的填写方法数都是A23，故专业填写方法数是A23A23A23.根据分步乘法计数原理，共有填写方法数A34(A23)3.故选D.答案：D7．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1个，则不同的安排方案共有( )A．24种 B．36种 C．48种 D．72种解析：不同的安排方案有两类：第一类：甲排第一道，丙排第四道，有A24种；第二类：乙排第一道，则甲、丙都可排第四道，有C12A24种；因此，不同的安排方案共有A24＋C12A24＝36.答案：B8．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A．70种 B．80种C．100种 D．140种解析：(直接法)一男两女，有C15C24＝5×6＝30种，两男一女，有C25C14＝10×4＝40种，共计70种．故选A.(间接法)任意选取C39＝84种，其中都是男医生有C35＝10种，都是女医生有C34＝4种，于是符合条件的有84－10－4＝70种．故选A.答案：A9．(2013·珠海一模)若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有__________种．解析：根据题意，因为“good”四个字母中的两个“o”是相同的，则其不同的排列有1×A44＝12种，而正确的排列只有1种，则可能出现的错误共有11种．2答案：1110．某校开设9门课程供学生选修，其中A，B，C 3门由于上课时间相同，至多选1门．学校规定，每位同学选修4门，共有________种不同的选修方案(用数字作答)．解析：第一类，从A，B，C中选一门有C13·C36＝60种；第二类，不选A，B，C课程，有C46＝15种．所以共有60＋15＝75种选法．答案：7511．安排3名支教教师去4所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．解析：分配方案分二类：第一类：1校1人，有A24种；第二类：1校2人，另1校1人，有C14C23C13种；∴共有A34＋C14C23C13＝60种．答案：6012．(2013·广州二模)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个没有重复数字且能被5整除的五位数(结果用数值表示)．解析：因为用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成没有重复数字且能被5整除的五位数，所以：①当有0时，若0排在个位，可从1，2，3，4，5这5个数字中选4个排在其他四个位置，有A45＝120种方法，若0不排在个位，它又不能排在万位，故有三个位置可排，有A13种方法，个位必排5，再从1，2，3，4中选三个在其他三个位置自由排列，有A34种方法，所以共有A13·A34＝72种方法；②若没有0，则5必排在个位，1，2，3，4，在其他四个位置自由排列，有A44＝24种方法；综合①②得，共有120＋72＋24＝216种方法．答案：21613．某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾”有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，则该晚会的节目单的编排总数为__________种(用数字作答)．解析：用插空法．C19×C110×C111＝990.答案：990。

高考数学总复习 10.2排列、组合及其应用课时演练人教版

【优化指导】2013高考数学总复习 10.2排列、组合及其应用课时演练人教版1．式子m m ＋m ＋m ＋20！可表示为( ) A ．A 20m ＋20 B ．C 20m ＋20C ．21C 20m ＋20 D ．21C 21m ＋202．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为( )A ．6B ．12C ．18D ．24解析：先在后三位中选两个位置填两个数字“0”有C 23种填法，再排另两张卡片有A 22种排法，再决定用数字“9”还是“6”有两种可能，所以共可排成2C 23A 22＝12个四位数．答案：B3．(2011安徽高考)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8 解析：由A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，又S ⊆A 且S ∩B ≠∅，∴S 中至少含4,5,6中之一，而1,2,3可含可不含．当含4,5,6其中之一时种数为：C 13(C 03＋C 13＋C 23＋C 33)＝24，当含4,5,6其中之二时种数为：C 23(C 03＋C 13＋C 23＋C 33)＝24，当含4,5,6其中之三时种数为：C 33(C 03＋C 13＋C 23＋C 33)＝8，∴总个数为24＋24＋8＝56.答案：B4．为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A ．1205秒B ．1200秒C．1195秒D．1190秒解析：由于有5个彩灯，并且每个彩灯能闪亮5种颜色，因此一共有A55＝120(个)不同的闪烁．由于相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，因此所有不同的闪烁的时间间隔共为119×5＝595(秒)．又因为每一个闪烁时，每个彩灯持续时间为1秒，因此有120×5＝600(秒)闪亮彩灯的时间，故满足题意的时间至少为595＋600＝1195(秒)．故选C.答案：C5．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内，每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为( ) A．120 B．240C．360 D．720解析：先将7个球按标号放入到有相同标号的7个盒子中有C710种方法，再将余下的3个球放入不同标号的盒子中共有2种方法．由分步计数原理，共有2C710＝240种不同方法．答案：B6．5个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则这样的排法有( )A．6种B．12种C．8种D．16种解析：最高的站在中间，再排左边2人，有C24种排法；剩下自然只有一种排法，故共有C24种，即C24＝6种．故选A.答案：A7．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是________．解析：分类讨论法：①前排1个，后排1个，有2C18·C112＝192种；②后排坐2个(不相邻)，有2×(10＋9＋8＋…＋1)＝110种；③前排坐2个，有2×(6＋5＋…＋1)＋2＝44种．所以总共有192＋110＋44＝346种．答案：3468．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x∈{1,2,3,4,5})的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为________．解析：自变量有5个不同取值，函数值也是5个不同的数，因此自变量与函数值只能一一对应，不会出现多对一的情形．因为A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，故先从余下的6个数中选出与5对应的函数值，有C16种方法，再从其余7个数中选出4个排列即可，故不同选法共有C16A47种．答案：50409．一个长椅上共有10个座位，现有4人去坐，其中恰有5个连续空位的坐法共有________．解析：将四个排成一排共A44种排法；产生5个空位，将五个空椅和一个空椅构成的两个元素插入共A25种放法；由分步计数原理满足条件的坐法共A44·A25＝480(种)．答案：48010．(1)从0,1,2,3，…，9这10个数字中选出4个奇数，2个偶数，可组成多少个无重复数字的六位数？(2)由0,7,8，x四个不同的数字组成无重复数字的四位数，若所有这些四位数的各数字之和是432，求x的值．解：(1)偶数中有0，而0不能在首位，因此要分取出的偶数中有0与没有0两种情况．当取出的偶数含0时，能组成的六位数的个数为：C15C45C14A55；当取出的偶数中不含0时，能组成的六位数的个数为：C45C24A66，故总的六位数个数为C15C45C14A55＋C45C24A66＝33 600(个)．(2)由0,7,8，x可组成的四位数有A44－A33＝18(个)，故每个数都出现18次，所以18·(0＋7＋8＋x)＝432.故x＝9.11．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)至少有1名女运动员；(2)既要有队长，又要有女运动员．解：(1)法一(直接法)：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得有C14·C46＋C24·C36＋C34·C26＋C44·C16＝246种选法．法二(间接法)：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种．所以“至少有1名女运动员”的选法有C510－C56＝246种选法．(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法．其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时共有C48－C45种选法．所以既有队长又有女运动员的选法共有C49＋C48－C45＝191种选法．12．如图所示，把一个圆分成n(n≥2)个扇形，依次记为S1、S2、…、S n，每一个扇形可用红、黄、蓝三种颜色中的任一种涂色，但要求相邻扇形的颜色互不相同，问一共有多少种涂色方法？。

高考数学一轮复习 10.2 排列、组合及应用课时闯关文(含解析)新人教A版

2014届高考数学一轮复习 10.2 排列、组合及应用课时闯关文（含解析）新人教A版一、选择题1．(2012·高考大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c，排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选A.先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．2．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A．12种B．18种C．36种D．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C24C22种方法，所以共有C13C24C22＝18种方法．3．(2012·高考陕西卷)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种B．15种C．20种D．30种解析：选C.分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(1人前3局中赢2局，输1局，第四局赢)，共有2C23＝6种情形；恰好打5局(1人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种，故选C.4．(2012·高考山东卷)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A．232 B．252C．472 D．484解析：选C.若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选3张，若都不同色则有C14×C14×C14＝64种，若2张同色，则有C23×C12×C24×C14＝144种；若红色卡片有1张，剩余2张不同色，则有C14×C23×C14×C14＝192种，剩余2张同色，则有C14×C13×C24＝72种，所以共有64＋144＋192＋72＝472种不同的取法．故选C.5．(2012·高考北京卷)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6解析：选B.若选0，则0只能在十位，此时组成的奇数的个数是A23；若选2，则2只能在十位或百位，此时组成的奇数的个数是2×A23＝12，根据分类加法计数原理得总个数为6＋12＝18.二、填空题6．(2011·高考北京卷)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C14＝4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C24＝6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C34＝4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．答案：147．(2011·高考福建卷)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________．解析：从5个球中任取2个球有C 25＝10(种)取法，2个球颜色不同的取法有C 13C 12＝6(种)，故所求概率为610＝35. 答案：358．(2013·黄冈中学模拟)将A 、B 、C 、D 、E 五个不同的文件放入一排编号依次为1、2、3、4、5、6的六个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内满足条件的所有不同的方法有________种．解析：利用“捆绑法”，AB 、CD 分别捆在一起，此时问题相当于把3个不同文件放入四个不同的抽屉内，每个抽屉至多放一个文件，则有A 34(A 22·A 22)＝96(种)．答案：96三、解答题9．某沿海城市举行火炬传递接力比赛，因洪水过大，将传递路线缩减为6段，分别由6名火炬手完成，如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，求不同的传递方案共有多少种？解：先安排最后一棒(A 12)，再安排第一棒(A 12)，最后安排中间四棒(A 44)，∴不同的传递方案有A 12A 12A 44＝96(种)．10．某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有多少种不同选修方案？(用数字作答)解：每位同学选修4门，可分为两类不同的选取方式．其一为从A 、B 、C 中选一门，再从其余的六门中选三门，共有C 36·C 13＝60(种)；其二为从其余的六门中选四门，共有C 46＝15(种)．所以共有75种不同的选修方案．11．(探究选做)有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定要担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表．解：(1)先取后排，先取有C 35C 23＋C 45C 13种，后排有A 55种，共(C 35C 23＋C 45C 13)A 55＝5 400(种)．(2)除去该女生后先取后排：有C 47A 44＝840(种)．(3)先取后排，但先安排该男生：有C 47C 14A 44＝3 360(种)．(4)先从除去该男生和担任语文课代表的女生以外的6人中选3人有C 36种，再安排该男生有C 13种，其余3人全排列有A 33种，共C 36C 13A 33＝360(种)．。

【高考核动力】高考数学 102排列与组合(理)配套作业北师大版

【高考核动力】2014届高考数学 10-2排列与组合(理)配套作业北师大版1．(2013·山东模拟)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有( )A．36种B．42种C．48种D．54种【解析】因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24种排法，当甲排在第二位时，有A13·A33＝18种排法，所以共有方案24＋18＝42(种)，故选B.【答案】 B2．在大桥上有12个固定的哨位，但平时只派9人执勤，规定两端的哨位必须有人执勤，也不能让相邻哨位都空岗，则不同的排岗方法有( )A．C38种B．A38种C．C38A99种D．A39种【解析】将3个空岗插入9个实岗的8个空隙之间，有C38种插法，每一种插法都对应着一种排岗方法，因此一共有C38种排岗方法．故应选A.【答案】 A3．(2012·上海高考改编)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的种数共有( )A．9种B．18种C．36种D．72种【解析】若有且仅有两人选择的项目完成相同，则有C23C23C12＝18.【答案】 B4．某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是________(用数字作答)．【解析】可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五个元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共A25C33＝20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排a、b，共C35A22＝20种排法．【答案】205．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？【解】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816(种)；(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C518＝8568(种)；(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C12C418＋C318＝6936(种)；(4)法一(直接法)：至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类：一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，所以共有C112C48＋C212C38＋C312C28＋C412C18＝14656(种)．法二(间接法)：由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C520－(C512＋C58)＝14656(种)．课时作业【考点排查表】1．不等式A x8＜6A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}【解析】∵8！－x！＜6×8！－x！，∴x2－19x＋84＜0，∴7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0.∴7＜x≤8，即x＝8.【答案】 D2．(2013·聊城模拟)某教师一天上午3个班线的课，生班一节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)那么这位教师一天的课的所有排法有( )A．474种 B．77种C．462种 D．79种【解析】首先不受限制时，从9节课中注意安排3节，有A39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A33＝18种，下午连排3节的有2A33＝12种，则这位教师一天的课程表的所有排法有504－18－12＝474种．【答案】 A3．(2012·河北衡水中学高三测试)把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( ) A．168 B．96C．72 D．144【解析】由题意得两张票连续有如下情形：(1,2)与(3,4)，(1,2)与(4,5)，(1,2)与(5,6)，(2,3)与(4,5)，(2,3)与(5,6)，(3,4)与(5,6)，则不同的方法种类为6×A44＝144.【答案】 D4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种B．35种C．42种D．48种【解析】法一：分两种情况：(1)2门A,1门B有C23C14＝12种选法；(2)1门A,2门B 有C13C24＝3×6＝18种，∴N＝12＋18＝30.法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A、B各至少选1门，有C37－C33－C34＝35－1－4＝30种选法．故选A.【答案】 A5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) A．152 B．126C．90 D．54【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共有C13C24A33种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车；其余三人从事其他三项工作，共有C23A33种．所以，不同安排方案的种数是C13C24A33＋C23A33＝126(种)．故选B.【答案】 B6．(2013·日照模拟)在小语种提前招生考试中某学校获得5个推荐名额，共中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A．20种B．22种C．24种D．36种【解析】三个男生每个语种各推荐一人时有A33A22种，两个男生被推荐到同一语种时有C 23A 22A 22种，故共有A 33A 22＋C 23A 22A 22＝24.【答案】 C 二、填空题7．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A ，B ，C ，D ，E ，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A 、B 两人中安排一人，第四节课只能从A 、C 两人中安排一人，则不同的安排方案共有________．【解析】由于教师A 在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A 上，则第四节课必由教师C 上，此时有A 24＝12种，如果第一节由教师B 上，则第四节应由教师A 、C 中一人上，此时有A 12A 24＝24，故共有36种不同的排法．【答案】 368．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．【解析】法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法，再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法．∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法，再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．【答案】 1409．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)【解析】个数为24－2＝14. 【答案】 14 三、解答题10．已知甲组有2n 人，乙组有n ＋1人，设从甲组中选3人分别参加数、理、化三科竞赛(每科竞赛限1人参加)的选法种数是x ，从乙组中选出4人站成一排的站法种数是y ，若x ＝2y ，求n ，x 和y .【解】依题意x ＝A 32n ，y ＝A 4n ＋1，由x ＝2y ，有A 32n ＝2A 4n ＋1，即2n (2n －1)(2n －2)＝2(n ＋1)n (n －1)(n －2)． ∵n ≠0，n ≠1，∴2(2n －1)＝(n ＋1)(n －2)，即n 2－5n ＝0，∴n ＝5，x ＝720，y ＝360.11．(2012·苏北四市联考)有3张都标着字母A,6张分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数是多少？【解】若无字母A，则有A56种；若含有一个字母A，则有C46A55种；若含有两个字母A，则有C36·A35种；若含有三个字母A，则有C26·A25种，综上所述，共有A56＋C46A55＋C36·A35＋C26·A25＝4020种．12．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？【解】先选1空盒：C14，将4白、5黑、6红分别放入其余三个盒中，每盒1个，剩1个白球有3种放法，剩2个黑球有3＋C23＝6种放法，剩3个红球有3＋1＋A23＝10种放法，由分步乘法原理，得C14×6×3×10＝720种．四、选做题13．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为( )A．20 B．30C．50 D．80【解析】按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类：第一类：三个灯泡同色时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×2＝20种；第二类：三个灯泡两红一黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种；第三类：三个灯泡一红两黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种．故呈现出满足条件的不同的变换形式的种数为20＋30＋30＝80.【答案】 D。

2014届高考数学总复习 10.2排列与组合(理)提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 10.2排列与组合(理)（含2013年模拟题）【考点排查表】考查考点及角度难度及题号错题记录基础中档稍难排列数与组合数公式的应用110排列的应用题6,73,95,11组合的应用题42,812,13 一、选择题1．不等式A x8＜6A x－28的解集为( )A．[2,8] B．[2,6]C．(7,12) D．{8}【解析】∵8！8－x！＜6×8！10－x！，∴x2－19x＋84＜0，∴7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0.∴7＜x≤8，即x＝8.【答案】 D2．(2013·聊城模拟)某教师一天上午3个班线的课，生班一节，如果一天共9节课，上午5节，下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)那么这位教师一天的课的所有排法有( )A．474种 B．77种C．462种 D．79种【解析】首先不受限制时，从9节课中注意安排3节，有A39＝504种排法，其中上午连排3节的有3A33＝18种，下午连排3节的有2A33＝12种，则这位教师一天的课程表的所有排法有504－18－12＝474种．【答案】 A3．(2012·某某某某中学高三测试)把6X座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1X，最多分2X，且这两X票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( ) A．168 B．96C．72 D．144【解析】由题意得两X票连续有如下情形：(1,2)与(3,4)，(1,2)与(4,5)，(1,2)与(5,6)，(2,3)与(4,5)，(2,3)与(5,6)，(3,4)与(5,6)，则不同的方法种类为6×A44＝144.【答案】 D4．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A．30种 B．35种C．42种 D．48种【解析】法一：分两种情况：(1)2门A,1门B有C23C14＝12种选法；(2)1门A,2门B 有C13C24＝3×6＝18种，∴N＝12＋18＝30.法二：排除法：A类3门，B类4门，共7门，选3门，A、B各至少选1门，有C37－C33－C34＝35－1－4＝30种选法．故选A.【答案】 A5．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某某世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是( ) A．152 B．126C．90 D．54【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共有C13C24A33种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车；其余三人从事其他三项工作，共有C23A33种．所以，不同安排方案的种数是C13C24A33＋C23A33＝126(种)．故选B.【答案】 B6．(2013·日照模拟)在小语种提前招生考试中某学校获得5个推荐名额，共中俄语2名，日语2名，西班牙语1名，并且日语和俄语都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有( )A．20种 B．22种C．24种 D．36种【解析】三个男生每个语种各推荐一人时有A33A22种，两个男生被推荐到同一语种时有C23A22A22种，故共有A33A22＋C23A22A22＝24.【答案】 C二、填空题7．某班一天上午有4节课，每节都需要安排一名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A、B两人中安排一人，第四节课只能从A、C两人中安排一人，则不同的安排方案共有________．【解析】由于教师A在第一节与第四节课中都涉及，为此应分开处理较好，第一节课教师A上，则第四节课必由教师C上，此时有A24＝12种，如果第一节由教师B上，则第四节应由教师A、C中一人上，此时有A12A24＝24，故共有36种不同的排法．【答案】368．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．【解析】法一：先从7人中任取6人，共有C 67种不同的取法，再把6人分成两部分，每部分3人，共有C 36C 33A 22种分法．最后排在周六和周日两天，有A 22种排法．∴C 67×C 36C 33A 22×A 22＝140种．法二：先从7人中选取3人排在周六，共有C 37种排法，再从剩余4人中选取3人排在周日，共有C 34种排法，∴共有C 37×C 34＝140种．【答案】 1409．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)【解析】个数为24－2＝14. 【答案】 14 三、解答题10．已知甲组有2n 人，乙组有n ＋1人，设从甲组中选3人分别参加数、理、化三科竞赛(每科竞赛限1人参加)的选法种数是x ，从乙组中选出4人站成一排的站法种数是y ，若x ＝2y ，求n ，x 和y .【解】依题意x ＝A 32n ，y ＝A 4n ＋1，由x ＝2y ，有A 32n ＝2A 4n ＋1，即2n (2n －1)(2n －2)＝2(n ＋1)n (n －1)(n －2)． ∵n ≠0，n ≠1，∴2(2n －1)＝(n ＋1)(n －2)，即n 2－5n ＝0，∴n ＝5，x ＝720，y ＝360.11．(2012·苏北四市联考)有3X 都标着字母A,6X 分别标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5X 卡片组成牌号，则可以组成的不同牌号的总数是多少？【解】若无字母A ，则有A 56种；若含有一个字母A ，则有C 46A 55种；若含有两个字母A ，则有C 36·A 35种；若含有三个字母A ，则有C 26·A 25种，综上所述，共有A 56＋C 46A 55＋C 36·A 35＋C 26·A 25＝4020种．12．将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4个不同盒子中的3个中，使得有1个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法共有多少种？【解】先选1空盒：C 14，将4白、5黑、6红分别放入其余三个盒中，每盒1个，剩1个白球有3种放法，剩2个黑球有3＋C 23＝6种放法，剩3个红球有3＋1＋A 23＝10种放法，由分步乘法原理，得C 14×6×3×10＝720种．四、选做题13．霓虹灯的一个部位由7个小灯泡并排组成，每个灯泡均可以亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中的三个灯泡，且相邻的两个灯泡不同时亮，则一共可以呈现出不同的变换形式的种数为( )A．20 B．30C．50 D．80【解析】按照三个灯泡同色、三个灯泡两红一黄、三个灯泡一红两黄将问题分为三类：第一类：三个灯泡同色时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×2＝20种；第二类：三个灯泡两红一黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种；第三类：三个灯泡一红两黄时，可以呈现出不同的变换形式的种数为C35×C23＝30种．故呈现出满足条件的不同的变换形式的种数为20＋30＋30＝80.【答案】 D。

2014高考数学排列与组合经典练习题

2014高考数学排列与组合专项训练一、解含有特殊元素、特殊位置的题——采用特殊优先安排的策略例1：用0，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A．24个 B．30个 C．40个 D．60个例2：用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位奇数? 二、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略例3：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有____个．例4：在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?例5：某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)．每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?例6：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复的6位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）A、210个B、300个C、464个D、600个三、解排列组台混合问题——采用先选后排策略例7：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有___种．四、正难则反、等价转化策略对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法．其实它就是补集思想．例8：马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种．例9：有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?例10：四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有( )A．150种B．147种 C．14种 D．141种例11：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种．五、解相邻问题——采用“捆绑”策略对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来看作一个元素与其他元素排列，然后再在相邻元素之间排列．事实上，这种方法就是将相邻的某几个元素，优先考虑。

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10.2 排列、组合及应用随堂检测（含答案解析）
1．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A ．93种
B ．92种
C ．96种
D ．95种
解析：选C.当A 出现在第一步时，再排A ，B ，C 以外的三个程序，有A 33种，A 与A ，B ，
C 以外的三个程序生成4个可以排列程序B 、C 的空档，此时共有A 3
3A 14A 22种排法；当A 出现在
最后一步时的排法与此相同，故共有2A 33A 14A 22＝96种编排方法．
2．同室A ，B ，C ，D 四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且A ，B 不选修同一门课，则不同的选法有( )
A ．36种
B ．72种
C ．30种
D ．66种
解析：选C.将A ，B ，C ，D 四位同学分成3组，共有C 24C 122！种分法，所有的选修方案为C 24C 122！
A 33，其中A ，
B 选修同一门课的方案数为A 33.故所有不同的选法为
C 24C 122！
A 33－A 33＝30.
3．某同学要出国学习，行前和六名要好的同学站成一排照纪念照，该同学必须站在正中间，并且甲、乙两同学要站在一起，则不同的站法有( )
A ．240种
B ．192种
C ．96种
D ．48种
解析：选B.依题意可分两类：
①甲、乙两同学站在该同学左边有C 12A 22A 44＝96种站法，
②甲、乙两同学站在该同学右边也有96种站法，
∴共有96×2＝192种．
4．(2011·高考大纲全国卷)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A ．4种
B ．10种
C ．18种
D ．20种
解析：选B.法一：不同的赠送方法有A 45A 22A 33
＝10(种)．
法二：从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；第二种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位朋友中选
出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C 14＝4种赠送方法；第二种取法中只需从4位朋友
中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有C24＝6种赠送方法．因此共有4＋6＝10种赠送方法．。

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