17巩固练习函数的极值和最值
高考总复习：函数的极值和最值(理提高) 巩固练习
【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值， 则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。
7．函数y=1+3x-x 3的极大值是_______，极小值是________。
8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。
9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。
10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。
11．已知函数f(x)=xe x ．(1)求函数f(x)的单调递增区间(2)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程。
12．设函数f(x)=ln(2x+3)+x 2； (Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)求f(x)在区间31[-,]44的最大值。
掌握函数的极值与最值练习题
掌握函数的极值与最值练习题在数学中，函数的极值与最值是一个非常重要的概念。
掌握函数的极值与最值对于解决许多实际问题、优化设计以及理解数学理论都有着至关重要的作用。
本文将给大家提供一些函数的极值与最值的练习题，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 已知函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4，求函数 f(x) 的极值点。
解：首先，我们需要求解函数 f(x) 的导数 f'(x)：f'(x) = 6x^2 - 6x - 12.将 f'(x) 置为零，我们可以解得：6x^2 - 6x - 12 = 0,x^2 - x - 2 = 0,(x - 2)(x + 1) = 0.从中我们得到两个解：x = 2 和 x = -1.接下来，我们需要判断这两个解对应的是极大值还是极小值。
为此，我们可以观察二次项系数的正负情况。
由于二次项系数为正，即6x^2，所以这个二次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。
因此，函数 f(x) 的极值点为极小值点，分别是 x = 2 和 x = -1。
2. 已知函数 g(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2 + 3，求函数 g(x) 的最值。
解：首先，我们需要求解函数 g(x) 的导数 g'(x)：g'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x.我们需要找到导数为零的点，即求解方程：4x^3 - 12x^2 + 8x = 0,x(4x^2 - 12x + 8) = 0.再进一步化简，我们可以得到：x(x^2 - 3x + 2) = 0.通过因式分解，我们可以求解得到三个解：x = 0，x = 1 和 x = 2.接下来，我们需要判断这三个解对应的是极大值还是极小值。
同样，观察三次项系数的正负情况。
由于三次项系数为正，即 4x^3，所以这个三次函数开口朝上，即曲线在极小值点时取得最小值。
因此，函数 g(x) 的最小值对应的 x 值为 x = 2，即 g(2) = 2^4 - 4 *2^3 + 4 * 2^2 + 3 = 7.综上所述，函数 g(x) 的最小值为 7.通过以上两个练习题，我们可以看出，找到函数的极值与最值需要通过导数来解决。
导数与极值最大值与最小值问题练习题
导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。
通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。
本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。
练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。
解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。
对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。
即，3x^2 - 12x + 9= 0。
通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。
然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。
当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。
综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。
练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。
解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。
根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。
将导数g'(x)置为零，求得极值点。
即，e^x - 4 = 0。
通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。
接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。
g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。
因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。
练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。
2022版新教材高考数学一轮复习课时质量评价17导数与函数的极值最值含解析新人教A版
课时质量评价(十七)(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1eA 解析：因为y ＝e x ＋ax ，所以y ′＝e x ＋a . 又函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 所以方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， 当x >0时，－e x <－1，所以a ＝－e x <－1.2．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A ．89B ．109C ．169D ．289C 解析：因为函数 f (x )的图象过原点，所以d ＝0.又 f (－1)＝0且 f (2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b －c ＝0，8＋4b ＋2c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝－2.所以函数f (x )＝x 3－x 2－2x .所以f ′(x )＝3x 2－2x －2.由题意知x 1，x 2是函数的极值点，所以x 1，x 2是f ′(x )＝0的两个根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝49＋43＝169. 3．已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －xe (e 是自然对数的底数)，则f (x )的极大值为( )A ．2e －1B ．－1eC ．1D ．2ln 2D 解析：由题意知f ′(x )＝2e f ′(e )x －1e. 所以f ′(e)＝2f ′(e)－1e ，则f ′(e)＝1e.因此f ′(x )＝2x －1e.令f ′(x )＝0，得x ＝2e.所以f (x )在(0,2e)上单调递增，在(2e ，＋∞)上单调递减． 所以f (x )在x ＝2e 处取极大值f (2e)＝2ln(2e)－2＝2ln 2. 4．已知x ＝1e 是函数f (x )＝x ln(ax )＋1的极值点，则a ＝( )A ．12B ．1C ．1eD ．2B 解析：由函数f (x )＝x ln(ax )＋1，可得f ′(x )＝ln(ax )＋1.由x ＝1e 是函数f (x )的极值点，可得ln ⎝⎛⎭⎫a ·1e ＋1＝0，解得a ＝1.经验证，a ＝1时，x ＝1e是函数f (x )的极值点．故选B ． 5．(多选题)(2020·山东百师联盟测试五)常数a ≠0，下列有关方程x 3＋x 2－x －a ＝0的根的说法正确的是( )A ．可以有三个负根B ．可以有两个负根和一个正根C ．可以有两个正根和一个负根D ．可以有三个正根BC 解析：方程x 3＋x 2－x －a ＝0可化为x 3＋x 2－x ＝a .令函数f (x )＝x 3＋x 2－x ，则f ′(x )＝3x 2＋2x －1＝(3x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >13时，f ′(x )>0.当－1<x <13时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎫13，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1，13上单调递减，且f (－1)>0，f ⎝⎛⎭⎫13<0.作出f (x )的图象如图，从而方程x 3＋x 2－x －a ＝0可以有两个正根和一个负根，也可以有两个负根和一个正根，但不会有三个负根，也不会有三个正根．故选BC ．6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是________． 2 解析：由题意知f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)． 令f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2(舍)．当－1<x <0时，f ′(x )>0； 当0<x <1时，f ′(x )<0，所以当x ＝0时，函数取得极大值，即最大值． 所以f (x )的最大值为f (0)＝2.7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值．若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值是________．－4 解析：由题意知f ′(x )＝－3x 2＋2ax .由f (x )在x ＝2处取得极值，知f ′(2)＝0， 即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3. 由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4.f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，由此可得f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.8．(2020·广东六校联盟第三次联考)已知函数f (x )＝a sin 2x －13sin 3x (a 为常数)在x ＝π3处取得极值，则a 的值为________．1 解析：f ′(x )＝2a cos 2x －cos 3x .由函数f (x )在x ＝π3处取得极值，可得f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0，即2a cos 2π3－cos ⎝⎛⎭⎫3×π3＝－a ＋1＝0，解得a ＝1. 9．已知函数f (x )＝ax 2－b ln x 在点A (1，f (1))处的切线方程为y ＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)f (x )的定义域是(0，＋∞)， 所以f ′(x )＝2ax －b x，f (1)＝a ＝1.所以f ′(1)＝2a －b ＝0.将a ＝1代入2a －b ＝0，解得b ＝2.故a ＝1，b ＝2. (2)由(1)得f (x )＝x 2－2ln x (x >0)，f ′(x )＝2x －2x ＝2x 2－2x.令f ′(x )>0，解得x >1；令f ′(x )<0，解得0<x <1.所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以f (x )极小值＝f (1)＝1，无极大值． 10．已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：(1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f (0)＝1， f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，所以f ′(0)＝0， 所以y ＝f (x )在(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)由(1)知f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝－2e x ·sin x ≤0在⎣⎡⎦⎤0，π2上恒成立，且仅在x ＝0处等号成立， 所以g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以g (x )≤g (0)＝0，所以f ′(x )≤0且仅在x ＝0处等号成立， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减， 所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. B 组 新高考培优练11．若函数y ＝f (x )存在n －1(n ∈N *)个极值点，则称y ＝f (x )为n 折函数，例如f (x )＝x 2为2折函数．已知函数f (x )＝(x ＋1)e x －x (x ＋2)2，则f (x )为( )A ．2折函数B ．3折函数C ．4折函数D ．5折函数C 解析：由题意知f ′(x )＝(x ＋2)e x －(x ＋2)·(3x ＋2)＝(x ＋2)(e x －3x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或e x ＝3x ＋2. 易知x ＝－2是f (x )的一个极值点， 又e x ＝3x ＋2，结合函数图象(图略)， y ＝e x 与y ＝3x ＋2有两个交点． 又e －2≠3×(－2)＋2＝－4，所以函数y ＝f (x )有3个极值点，则f (x )为4折函数．12．(多选题)(2020·海南调研)已知函数f (x )＝x ＋sin x －x cos x 的定义域为[－2π，2π)，则( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )在[0，π)上单调递增C ．f (x )恰有4个极大值点D ．f (x )有且仅有4个极值点BD 解析：对于选项A ，因为f (x )的定义域为[－2π，2π)，不关于原点对称，所以f (x )为非奇非偶函数，故A 错误．对于选项B ，f ′(x )＝1＋cos x －(cos x －x sin x )＝1＋x sin x ．当x ∈[0，π)时，f ′(x )>0，则f (x )在[0，π)上单调递增，故B 正确．对于选项C 和D ，f ′(0)≠0，令f ′(x )＝0，得sin x ＝－1x .在同一坐标系内分别作出y ＝sin x 和y ＝－1x 在区间[－2π，2π)上的图象，如图．由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点处都不相切，故f (x )在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f (x )只有2个极大值点，故C 错误，D 正确．故选BD ．13．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是________．[－3,0) 解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)．故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2,0)上单调递减．故f (0)＝－23为f (x )的极小值．作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a <0，a ＋5>0，解得a ∈[－3,0)． 14．已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a )．①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增． ②若a >0，由f ′(x )＝0得x ＝ln a . 当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 在(ln a ，＋∞)上单调递增． ③若a <0，由f ′(x )＝0得x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a2. 当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f ′(x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，ln ⎝⎛⎭⎫－a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a 2，＋∞上单调递增． (2)①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，所以f (x )≥0.②若a >0，则由(1)得，当x ＝ln a 时，f (x )取得最小值，最小值为f (ln a )＝－a 2ln a ．从而当且仅当－a 2ln a ≥0，即a ≤1时，f (x )≥0.故0<a ≤1.③若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝⎛⎭⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为 f ⎝⎛⎭⎫ln ⎝⎛⎭⎫－a2＝a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2. 从而当且仅当a 2⎣⎡⎦⎤34－ln ⎝⎛⎭⎫－a 2≥0，即a ≥－2e 34时，f (x )≥0.故－2e 34≤a <0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，1]． 15．已知函数f (x )＝x －1x －ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝x －1x －ln x ＝1－1x －ln x ，f (x )的定义域为(0，＋∞)．所以f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.令f ′(x )＞0，得0＜x ＜1；令f ′(x )＜0，得x ＞1.所以f (x )＝x －1x －ln x 在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．(2)由(1)得f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为f (1)＝1－1－ln 1＝0.又f ⎝⎛⎭⎫1e ＝1－e －ln 1e ＝2－e ，f (e)＝1－1e －ln e ＝－1e ，即f ⎝⎛⎭⎫1e ＜f (e)， 所以f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫1e ＝2－e. 综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值为0，最小值为2－e.。
函数的极值和最值(习题)
【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.设函数f （x ）=2x+lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 4.函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 A （-1,1] B （0,1] C[1，+∞） D （0，+∞）5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。
7．函数y=1+3x-x 3的极大值是_______，极小值是________。
8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。
9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。
10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。
11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。
12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。
高考数学复习知识点讲解教案第17讲 导数与函数的极值、最值
例5（1） 某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（ 是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元； 是常数），若种植2万斤莲藕，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕( )
BCD
A. B. C. D.
[解析] 函数的定义域为， ，由函数既有极大值也有极小值，得方程在 上有两个不等实根.令，则在 上有两个不等实根，故所以,,，故选 .
3.【微点2、微点3】若是函数的极值点，则 的极小值为_____.
[解析] 由，得 ，因为是函数 的极值点，所以，即 ，解得.可得，令 ，得或，当时，，函数单调递增，当 时，，函数单调递减，当时，，函数 单调递增，所以当时，函数取得极小值 .
[解析] ，令，得或 .当时，；当时，；当 时，.故在处取得极小值 .
2.［教材改编］ 函数在区间 上的最大值是_______.
[解析] ，令，得.当时， ；当时，.故函数在上单调递减，在 上单调递增，所以在区间上的最大值是, .
3.［教材改编］ 将一段长为 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，另一段弯成圆.为了使正方形与圆的面积之和最小，则弯成圆的铁丝的长是_ _____ .
[解析] 设弯成圆的铁丝的长为,则弯成正方形的铁丝的长为 ,记正方形与圆的面积之和为，则 ，.令，得 ，当时，， 单调递减，当时，，单调递增，故当时 取得最小值，即当弯成圆的铁丝的长为 时，正方形与圆的面积之和最小.
题组二 常错题
◆ 索引：混淆极值与极值点的概念;忽视连续函数在区间 上不一定存在最值;混淆恒成立与能成立问题.4.函数的极值点为 ________；函数 的极值点__________（填“存在”或“不存在”）.
函数极值练习题
函数极值练习题函数极值问题是高中数学中经常考察的一类问题，它涉及到数学中的极大值和极小值。
通过解决这些问题，我们可以加深对函数的理解，并且培养我们的逻辑思维能力。
下面，我将给出一些函数极值练习题，帮助大家巩固相关知识。
练习题一：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5，求f(x)的极值及对应的极值点。
解答：首先，我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
对于多项式函数来说，求导的步骤比较简单，我们只需要按照幂次降低1的规律进行求导即可。
根据这个规律，我们可以得到函数f(x)的导函数f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
接下来，我们需要找出f'(x)的零点，也就是导函数等于0的点。
我们可以将f'(x) = 0转化为6x^2 - 6x - 12 = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到它的解x1 ≈ -1.732和x2 ≈ 1.732。
然后，我们将求得的零点代入到f(x)中，得出对应的函数值。
即f(x1) ≈ 18.898和f(x2) ≈ -18.898。
因此，函数f(x)的极大值为18.898，对应的极大值点为x ≈ -1.732；函数f(x)的极小值为-18.898，对应的极小值点为x ≈ 1.732。
练习题二：已知函数g(x) = x^4 - 4x^2 + 4，求g(x)在定义域内的极值及对应的极值点。
解答：同样地，我们首先需要求出函数g(x)的导数g'(x)。
通过对g(x)进行求导，我们可以得到g'(x) = 4x^3 - 8x。
接下来，我们需要找出g'(x)的零点，也就是导函数等于0的点。
将g'(x) = 0转化为4x^3 - 8x = 0。
通过因式分解法，我们可以将它的因式x(2x-2)(2x+2)提取出来。
因此，导函数的零点是x = 0、x = 1和x = -1。
然后，我们将求得的零点代入g(x)中，得出对应的函数值。
函数的极值和最值(习题).docx
【巩固练习】1. 设函数/(兀)在/?上可导，其导函数/©),且函数/(X )在x = -2处取得极小值，则函数y = xf(x)的图象可能是4•函数冷宀」的单调递减区间为5.已知 f (x) =x 3-6x 2 +9x-abc, a<b<c,且 f (a) =f (b) =f (c) =0.现给出如下结论: ®f (0) f (1) >0；②f (0) f (1)<0；③f (0) f (3) >0； @f (0) f (3) <0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6•函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ___________ o 7. 函数y=l+3x-x 3的极大值是 _______ ,极小值是 _________ o 8. 函数f(x)=12x-x 3在区间卜3,3］上的最小值是 __ - 9. 函数f (x)=ln(l+x)-x 的最大值为 __________ 。
(1) 求集合D (用区间表示)(2) 求函数/(x) = 2x 3-3(l + a)x 2 + 6股在D 内的极值点. 15. 设 /(x) = ae x + -^―+b(a > 0)ae x⑴求于(兀)在[0,+oo)上的最小值；3(II)设曲线y = /(x)在点(2 J ⑵)的切线方程为y =—无；求的值.2【参考答案与解析】2. 设a>0, b>0, c 是自然对数的底数A. 若 e 10 il 12+2a=e b +3b,贝!j a>bB. 若 e a +2a=e b +3b,则 a<bC. 若 e a -2a=e b -3b,贝!| a>bD. 若 e a -2a=e b -3b,贝0 a<b23.设函数 f (x) = —+lnx 贝9 ( )xA. x 二丄为f(x)的极大值点 B冷为3的极小值点C. x=2为f(x)的极大值点D. x=2为f(x)的极小值点A (-1, 1]B (0, 1] C[l,十8)D (0, +«)D = AC\B.1・ C 2. A 3. D 4. B 5. C6. ( — ,+oo)7. 3, -1:e11.【解析】若a>0,则8. -16；9. 0；10. — +6当x=-a时，f(x)的极大值为5a3o当x=3a时，f(x)的极小值为・27a\若a<0,则当x=3a时，f(x)的极大值为Qa?,当x=-a时,f(x)的极小值为5a312.aW—313.【解析】(I) a二-3, b二4(II)当x W [0, 3]时,f (x)的最大值为f (3) =9+8c因为对于任意的xE [0, 3],有f (x)<c2恒成立，所以9+8c<c2,解得c〈-1 或c>9,因此c的取值范围为(-8, -1) U (9, +8)14.【解析】(1)令g(兀)=2兀$-3(l + d)兀+6d ,△ = 9(1 + a)2 - 48a = 9a2 - 30a + 9 = 3(3d - l)(a - 3)。
完整版)导数与极值、最值练习题
完整版)导数与极值、最值练习题三、知识新授一）函数极值的概念函数极值指的是函数在某个点上的最大值或最小值，包括极大值和极小值。
二）函数极值的求法：1）确定函数的定义域，并求出函数的导数f'(x)；2）解方程f'(x)=0，得到方程的根x（可能不止一个）；3）如果在x附近的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则f(x)是极大值；反之，则f(x)是极小值。
题型一图像问题1、函数f(x)的导函数图像如下图所示，则函数f(x)在图示区间上（）第二题图）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点2、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f'(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3、若函数f(x)=x+bx+c的图像的顶点在第四象限，则函数f'(x)的图像可能为（）图略）4、设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如下图所示，则y=f(x)的图像可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
5、已知函数f(x)的导函数f'(x)的图像如右图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是（）图略）6、f'(x)是f(x)的导函数，f'(x)的图像如图所示，则f(x)的图像只可能是（）图略）A。
B。
C。
D。
7、如果函数y=f(x)的图像如图，那么导函数y=f'(x)的图像可能是（）图略）ABCD8、如图所示是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)图像，则下列哪一个判断可能是正确的（）图略）A．在区间(-2,0)内y=f(x)为增函数B．在区间(0,3)内y=f(x)为减函数C．在区间(4,+∞)内y=f(x)为增函数D．当x=2时y=f(x)有极小值9、如果函数y=f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y=f(x)在区间(-3,-1/2)内单调递增；②函数y=f(x)在区间(-1/2,2)内单调递减。
高中 函数的极值与最值 练习 含答案
训练目标(1)函数极值、最值的概念、求法；(2)函数极值、最值的应用. 训练题型 (1)求函数的极值；(2)求函数的最值；(3)恒成立的问题；(4)零点问题.解题策略 (1)f ′(x )＝0是函数f (x )存在极值点的必要条件，f (x )的极值可用列表法求解；(2)利用最值研究恒成立问题，可分离参数后构造函数，转化为函数的最值问题；(3)零点问题可借助于函数的图象解决.1．“可导函数y ＝f (x )在一点的导数值为0”是“函数y ＝f (x )在这点取得极值”的________条件．2．函数y ＝ln x x的最大值为________． 3．设三次函数f (x )的导函数为f ′(x )，函数y ＝x ·f ′(x )的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是________．①f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)；②f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)；③f (x )的极大值为f (－3)，极小值为f (3)；④f (x )的极大值为f (3)，极小值为f (－3)．4．已知直线y ＝a 与函数y ＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________．5．设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为________．6．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax (a >12)，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b＝________. 8．已知f (x )＝ax 3，g (x )＝9x 2＋3x －1，当x ∈[1,2]时，f (x )≥g (x )恒成立，则a 的取值范围为________．9．直线y ＝a 分别与曲线y ＝2(x ＋1)，y ＝x ＋ln x 交于点A ，B ，则AB 的最小值为________．10．设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，则a 的取值范围是________．11．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a·b x 在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为________．12．已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对x ∈(0,1]总有f (x )≥0成立，则实数a 的取值范围是__________．13．已知g (x )＝λx ＋sin x 是区间[－1,1]上的减函数，且g (x )≤t 2＋λt ＋1在x ∈[－1,1]上恒成立，则实数t 的取值范围是__________．14．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函数f (x )＝1＋a (12)x ＋(14)x ，若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，则实数a 的取值范围是______．答案解析1．必要不充分 2.1e3.④ 4．－2<a <2 5.－239 6.1 7．－23解析 由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－6，b ＝9， 经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23. 8．a ≥11解析 f (x )≥g (x )恒成立，即ax 3≥9x 2＋3x －1.∵x ∈[1,2]，∴a ≥9x ＋3x 2－1x 3. 令1x ＝t ，则当t ∈[12，1]时，a ≥9t ＋3t 2－t 3. 令h (t )＝9t ＋3t 2－t 3，h ′(t )＝9＋6t －3t 2＝－3(t －1)2＋12.∴h ′(t )在[12，1]上是增函数． ∴h ′(x )min ＝h ′(12)＝－34＋12>0. ∴h (t )在[12，1]上是增函数． ∴a ≥h (1)＝11.9.32解析 令2(x ＋1)＝a ，解得x ＝a 2－1.设方程x ＋ln x ＝a 的根为t (x ≥0，t >0)， 即t ＋ln t ＝a ，则AB ＝|t －a 2＋1|＝|t －t ＋ln t 2＋1|＝|t 2－ln t 2＋1|. 设g (t )＝t 2－ln t 2＋1(t >0)，则g ′(t )＝12－12t ＝t －12t，令g ′(t )＝0，得t ＝1， 当t ∈(0,1)时，g ′(t )<0；当t ∈(1，＋∞)时，g ′(t )>0，所以g (t )min ＝g (1)＝32，所以AB ≥32，所以AB 的最小值为32. 10．a <－1 11.⎝⎛⎦⎤π3，π12．[4，＋∞) 13.(－∞，－1]14．[－5,1]解析 由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立，即－3≤f (x )≤3，所以－42x －(12)x ≤a ≤22x －(12)x 在[0，＋∞)上恒成立， 所以[－42x －(12)x ]max ≤a ≤[22x －(12)x ]min . 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t， 由x ∈[0，＋∞)得t ≥1.因为h ′(t )＝－4＋1t 2，p ′(t )＝2＋1t 2. 又由1t 2－4<0知t >12， 故t ≥1时，h ′(t )<0，所以h (t )在[1，＋∞)上单调递减，又p (t )在[1，＋∞)上单调递增，故h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5,1]．。
函数的极值与最值模拟试题
函数的极值与最值模拟试题在数学中，函数的极值与最值是重要的概念，涉及到求解函数的最大值和最小值。
下面将给出一些模拟试题，帮助我们更好地理解和应用函数的极值与最值。
题一：求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点和最值。
解析：为了求解该函数的极值点和最值，我们首先需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
f'(x) = 4x - 3然后，令导数f'(x)等于零，解方程4x - 3 = 0，得到x = 3/4。
将x = 3/4代入原函数f(x)中，可以求得该函数的极值点。
f(3/4) = 2(3/4)^2 - 3(3/4) + 1 = 1/8所以，函数f(x)的极值点为(3/4, 1/8)。
接下来，我们需要判断该函数的最值。
为此，可以观察导数f'(x)的变化情况。
当x < 3/4时，导数f'(x)小于零；当x > 3/4时，导数f'(x)大于零。
由此可知，当x < 3/4时，函数f(x)是递减的；而当x > 3/4时，函数f(x)是递增的。
因此，当x < 3/4时，函数f(x)的最大值出现在x = 3/4之前；当x > 3/4时，函数f(x)的最小值出现在x = 3/4之后。
综上所述，函数f(x)的最大值为f(0) = 1，最小值为f(1) = 0。
题二：求函数g(x) = x^3 - 12x^2 + 27x的极值点和最值。
解析：同样地，我们需要先求解函数g(x)的导数g'(x)。
g'(x) = 3x^2 - 24x + 27令导数g'(x)等于零，解方程3x^2 - 24x + 27 = 0，得到x = 1和x = 3。
将这两个解代入原函数g(x)中，可以求得函数g(x)的极值点。
g(1) = 1^3 - 12(1)^2 + 27(1) = 16g(3) = 3^3 - 12(3)^2 + 27(3) = 0所以，函数g(x)的极值点为(1, 16)和(3, 0)。
函数的极值与最值的习题课
函数极值的性质
极值点处的函数值是 局部最大或最小的。
在闭区间上连续的函 数一定存在极值点。
极值点不一定是函数 的拐点，但拐点一定 是极值点。
函数极值的判定条件
01
02
03
04
函数的一阶导数在该点两侧异 号。
二阶导数在该点处为零，且二 阶导数变号。
该点为区间上的唯一极大或极 小值点。
该点处的函数值大于或小于其 邻近点的函数值。
去）。
因此，当$x = frac{1}{3}$时，函数有极大值 $frac{5}{27}$；当$x = frac{1}{2}$或1时，函数有极
小值$frac{3}{4}$。
解答
在区间$(0,frac{1}{3})$和$(frac{1}{3},2)$上分别 判断单调性。
THANKS FOR WATCHING
一元函数最值问题
寻找区间端点和不可导点作为候选极值点。
通过函数值的比较，确定最大值和最小值点，并计算相 应的最值。
二元函数的极值与最值问题
判断极值点
对函数求偏导数，令偏导数等于0，解得可能的极值点。
判断极值性质
通过二阶偏导数或函数值的符号变化判断极值点的性质（极 大或极小）。
二元函数的极值与最值问题
产方案，使得成本达到最小。
收益最大化
在投资决策中，投资者需要最大 化收益以实现财富增长。利用极 值和最值理论，可以确定最佳的 投资组合，使得预期收益达到最
大。
供需平衡
在市场分析中，极值和最值理论 可用于分析供需关系，确定最佳 的供给和需求量，以实现市场均
衡。
在物理领域的应用
运动轨迹
在分析物体的运动轨迹时，极值 和最值理论可以用于确定物体的 速度、加速度和位移等参数的最
巩固练习_函数的极值与最值_基础1
【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极大值B ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极小值C ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极值D ．当)(0x f 为函数f(x)的极值时，则有0)('0=x f 2．函数1()f x x x=+在x=1时有（ ） A ．极小值 B ．极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．极值不存3．函数f （x ）＝2 x 3－12 x 2＋3在区间[－1，2]上的最大、最小值的情况是（ ）．A ．最大值为3，最小值为－29B ．最大值为3，最小值为－61C ．最大值为－29，最小值为－61D ．以上答案都不对4．下列结论正确的是（ ）A ．若x 0是()f x 在[a ，b]上的极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值B ．若x 0是()f x 在（a ，b ）上的极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最小值C ．若x 0是()f x 在[a ，b]上唯一极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值D ．若x 0是()f x 在（a ，b ）上的极大值点，且()f x 在（a ，b ）上无极小值，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值5．设a ＜b ，函数y=(x ―a)2(x ―b)的图象可能是（ ）6．设a ∈R ，若函数y=e ax +3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ）A ．a ＞－3B ．a ＜－3C ．13a >-D ．13a <- 7．已知函数y=―x 2―2x+3在区间[a ，2]上的最大值为154，则a 等于（ ）A ．32-B ．12C ．12-D ．12或32- 二、填空题8．函数y=xe x 的最小值为________。
17总复习：函数的极值和最值(理)(基础)巩固练习
【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 3.（2015 锦州一模）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a xg （x ）（a ＞0，且a ≠1），()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）A ．6B ． 7C ． 8D ．94.（2015 东北师大附中质检）设函数(x)f 是连续函数，且在1x =处存在导数，若函数(x)f 及其导函数'(x)f 满足'()(x)ln f x f x x x∙=-，则函数(x)f （ ） A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值 C.有极小值，无极大值 D ．既无极大值又无极小值5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。
7.（2015 惠州模拟）函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，()'2f x >，则()24f x x >+的解集为 .8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。
2021届高考数学一轮复习训练第17讲导数与函数的极值、最值
第17讲 导数与函数的极值、最值1．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞) 2．从边长为10 cm ×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为( )A ．12 cm 3B ．72 cm 3C ．144 cm 3D ．160 cm 33．(2018年四川南充一诊)若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,5)B ．[1,5)C ．(1,5]D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)4．(2017年新课标Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3C ．5e －3 D ．15．(2019年广东模拟)若函数f (x )＝x x 2＋a(a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则a 的值为( )A.33 B. 3 C.3＋1 D.3－1 6．(多选)如图X2-17-1是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列选项中正确的是( )图X2-17-1A ．在x 2处导函数y ＝f ′(x )有极大值B ．在x 1，x 4处导函数y ＝f ′(x )有极小值C ．在x 3处函数y ＝f (x )有极大值D ．在x 5处函数y ＝f (x )有极小值 7．(多选)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图X2-17-2所示，下列叙述错误的是( )图X2-17-2A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的极小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零8．(2017年湖南长沙雅礼中学)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则f (2)＝________.9．(2018年江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________．10．(2018年新课标Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．11．(2018年北京)设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a的值；(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求实数a的取值范围．12．(2019年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．第17讲 导数与函数的极值、最值1．A 解析：f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，∴x ＝±1.三次方程f (x )＝0有3个根⇔f (x )极大值>0且f (x )极小值<0.∵x ＝－1为极大值点，x ＝1为极小值点． ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＋a >0，f (1)＝a －2<0，∴－2<a <2. 2．C 解析：设盒子容积为y cm 3，盒子的高为x cm ， 则y ＝(10－2x )(16－2x )x ＝4x 3－52x 2＋160x (0＜x ＜5)．∴y ′＝12x 2－104x ＋160.令y ′＝0，得x ＝2或x ＝203(舍去)．∴y max ＝6×12×2＝144(cm 3)．3．A4．A 解析：由题意可得f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]e x －1.∵f ′(－2)＝0，∴a ＝－1.∴f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，故f ′(x )＝(x 2＋x －2)e x －1.令f ′(x )>0，解得x <－2或x >1；令f ′(x )<0，解得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上单调递增；在(－2,1)上单调递减．∴f (x )的极小值为f (1)＝(1－1－1)e 1－1＝－1.故选A.5．D 解析：f ′(x )＝x 2＋a －2x 2(x 2＋a )2＝a －x 2(x 2＋a )2.令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝－a .(1)若a ≤1，即0<a ≤1时，在[1，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33.解得a ＝3－1，符合题意．(2)若a >1，即a >1时，在[1，a )上f ′(x )>0，在(a ，＋∞)上f ′(x )<0，∴f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝34<1，不符合题意．综上知，a ＝3－1.故选D. 6．ABCD 7.BD8．18 解析：由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，且f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10.解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3.当a ＝－3，b ＝3时，此时f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，函数无极值；当a ＝4，b ＝－11时，f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，则f (2)＝18.9．－3 解析：由f ′(x )＝6x 2－2ax ＝0得x ＝0，或x ＝a3.∵函数f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点且f (0)＝1，∴a 3>0，f ⎝⎛⎭⎫a 3＝0，因此f ⎝⎛⎭⎫a 3＝2⎝⎛⎭⎫a 33－a ⎝⎛⎭⎫a 32＋1＝0，a ＝3， 从而函数f (x )在[－1,0]上单调递增，在[0,1]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (0)，f (x )min ＝{f (－1)，f (1)}＝f (－1)， f (x )max ＋f (x )min ＝f (0)＋f (－1)＝1－4＝－3.10．－3 32解析：函数f (x )＝2sin x ＋sin2x ，f ′(x )＝2cos x ＋2cos2x ＝2(cos x ＋2cos 2x －1) ＝2(cos x ＋1)(2cos x －1)，当cos x ＝12，即sin x ＝±32时，f (x )＝2sin x ＋sin2x ＝2sin x (1＋cos x )取值±2×32⎝⎛⎭⎫1＋12， 则f (x )的最小值是－3 32.11．解：(1)∵f (x )＝[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ，∴f ′(x )＝[2ax －(4a ＋1)]e x ＋[ax 2－(4a ＋1)x ＋4a ＋3]e x ＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x . f ′(1)＝(1－a )e.由题设，知f ′(1)＝0，即(1－a )e ＝0.解得a ＝1. 此时f (1)＝3e ≠0. ∴a 的值为1.(2)由(1)，得f ′(x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2]e x ＝(ax －1)(x －2)e x .①若a >12，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，2时，f ′(x )<0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0. ∴f (x )在x ＝2处取得极小值；②若a ≤12，则当x ∈(0,2)时，x －2<0，ax －1≤12x －1<0，∴f ′(x )>0.∴2不是f (x )的极小值点．综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞.12．证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.∵y ＝ln x 单调递增，y ＝1x单调递减，∴f ′(x )单调递增，又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 因此，f (x )存在唯一的极值点． (2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2， 又f (e 2)＝e 2－3>0，∴f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α.由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝⎛⎭⎫1α＝⎝⎛⎭⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f (α)α＝0， 故1α是f (x )＝0在()0，x 0的唯一根． 综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．。
函数极值和最值计算练习题
函数极值和最值计算练习题在微积分中，函数的极值和最值是非常重要的概念。
通过求取函数的导数，我们可以找到函数的极值点以及取得最值的点。
在本文中，我们将通过几个练习题来帮助大家熟练掌握函数极值和最值的计算方法。
练习一：考虑函数f(x) = 3x^2 - 12x + 5。
1. 求函数f(x)的导数f'(x)。
2. 通过求解方程f'(x) = 0，找到函数f(x)的极值点。
3. 判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。
解答一：1. 函数f(x)的导数f'(x)为f'(x) = 6x - 12。
2. 通过求解方程f'(x) = 0，我们有6x - 12 = 0，解得x = 2。
因此，函数f(x)的极值点为x = 2。
3. 要判断函数f(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值，我们可以用二阶导数来进行判别。
计算函数f(x)的二阶导数f''(x)，有f''(x) = 6。
由于f''(x)大于0，所以函数f(x)在极值点x = 2处取得的是极小值。
练习二：考虑函数g(x) = x^3 - 9x^2 + 24x - 12。
1. 求函数g(x)的导数g'(x)。
2. 通过求解方程g'(x) = 0，找到函数g(x)的极值点。
3. 判断函数g(x)在极值点处取得的极值是极大值还是极小值。
解答二：1. 函数g(x)的导数g'(x)为g'(x) = 3x^2 - 18x + 24。
2. 通过求解方程g'(x) = 0，我们有3x^2 - 18x + 24 = 0，化简得x^2 - 6x + 8 = 0，进一步解得(x - 2)(x - 4) = 0。
解得x = 2或x = 4。
因此，函数g(x)的极值点为x = 2和x = 4。
3. 计算函数g(x)的二阶导数g''(x)，有g''(x) = 6x - 18。
巩固练习_函数的极值与最值_提高1最新修正版
【巩固练习】一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极大值B ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极小值C ．当0)('0=x f 时，则)(0x f 为f(x)的极值D ．当)(0x f 为函数f(x)的极值时，则有0)('0=x f 2．函数1()f x x x=+在x=1时有（ ） A ．极小值 B ．极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．极值不存3．函数f （x ）＝2 x 3－12 x 2＋3在区间[－1，2]上的最大、最小值的情况是（ ）．A ．最大值为3，最小值为－29B ．最大值为3，最小值为－61C ．最大值为－29，最小值为－61D ．以上答案都不对4．下列结论正确的是（ ）A ．若x 0是()f x 在[a ，b]上的极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值B ．若x 0是()f x 在（a ，b ）上的极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最小值C ．若x 0是()f x 在[a ，b]上唯一极大值点，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值D ．若x 0是()f x 在（a ，b ）上的极大值点，且()f x 在（a ，b ）上无极小值，则0()f x 是()f x 在[a ，b]上的最大值5．设a ＜b ，函数y=(x―a)2(x―b)的图象可能是（ ）6．已知函数y=―x 2―2x+3在区间[a ，2]上的最大值为154，则a 等于（ ） A ．32-B ．12C ．12-D ．12或32- 7．已知f (x )＝12x 2－cos x ，x ∈[－1,1]，则导函数f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．既有最大值，又有最小值的奇函数 二、填空题8．函数y=x+2cosx 在区间1[,1]2上的最大值是________ 。
函数的极值与最值练习题.docx
函数的极值与最值练习题一、选择题I.下列说法正确的是A.⅛⅞∕倘户0时.则危0）为Jlr）的极大值8.当/ （Xn）=O时,则从3）为/U）的微小便C当/ （W旬时，则J IU）为.心）的极值D.当凡喻为函数HX）的极值Ilf （.哂存在时，则有f （.r ll）=09.下列四个函数,在尸0处取得极值的函数是Φy=F ②y=F+1 ③y=W ④产2'A©g） B.②® C.③④ D.φg）10函数严上T的极大值为l+x^A.3B.4C.2D.511函数J=F—3K的极大伯为砥微小值为",则m+n为A.0 Bl C.2 D.412>=ln:.t+21n.r+2 的微小值为A.e-B.0C.-l Dl13）=2√-3r+«的极大值为6,那么“等于A.6B.0C.5 Dl二、填空题14函数KV）=√*-3f+7的极大（ft为.8,曲线j=3√-5x,共有个极值.9.若函数产F+αP+bx+27在广一1时有极大俏，在户3时有微小值，则a= _____ b= _____ .10.g½>=2√-3√-12.r+5 fl：［0, 3］上的最小值是.H.函数AD=Sin2x-x在［- 9 ］上的最大值为：最小f⅛为__________12.在半径为K的圈内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______ 时，它的面枳呆人.三、解答也E已知函数/W=/+#+於+c,当X=-I时，取得极大值7：当x=3时,取得微小伯.求这个微小值及a、/，、C的值.14.设产"）为三次南数，FL图象关于原点对称,当尸;时，贸X）的微小值为- 1,求函数的解析式.15.己知x = 2是函数/(X)=(ΛJ+av-2a-3*的一个极侑点(^=2.718∙∙∙). (I)求实数〃的值：(ID求函数/(Λ)在K W弓.3］的描大值和W小值.16、已知三次函数Rx)=aχ3∙6aχ2+b.问是否存在实数a.b.使f(x)在［∙1,2∣上取得最大伯3, 般小值-29,若存在,求出&b的值:若不存在，请说明理由.。
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函数的极值和最值 【巩固练习】1.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是2.设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞bB. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜bC. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞bD. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b3.（2015 锦州一模）已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，g （x ）≠0，f ′（x ）g （x ）＞f （x ）g ′（x ），且f （x ）=a xg （x ）（a ＞0，且a ≠1），()()()()115112f f g g -+=-，若数列()()f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ） A ．6 B ． 7 C ． 8 D ．94.（2015 东北师大附中质检）设函数(x)f 是连续函数，且在1x =处存在导数，若函数(x)f 及其导函数'(x)f 满足'()(x)ln f x f x x x•=-，则函数(x)f （ ） A ．既有极大值又有极小值 B ．有极大值，无极小值C.有极小值，无极大值 D ．既无极大值又无极小值5.已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论：①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0.其中正确结论的序号是A.①③B.①④C.②③D.②④6．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。
7.（2015 惠州模拟）函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x R ∈，()'2f x >，则()24f x x >+的解集为 .8．函数f(x)=12x-x 3在区间[-3,3]上的最小值是_____ 。
9．函数f(x)=ln(1+x)-x 的最大值为________。
10．函数y=x+2cosx 在区间1[0,]2上的最大值是________ 。
11．已知函数f(x)=x 3-3ax 2-9a 2x(a ≠0)，求f(x)的极大值与极小值。
12．已知函数f(x)=ax 3+3x 2-x+1在R 上是减函数，求a 的取值范围。
13．设函数f(x)=2x 3+3ax 2+3bx+8c 在x=1及x=2时取得极值。
(Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)若对于任意的x ∈[0，3]，都有f(x)<c 2成立，求c 的取值范围。
14.（2015 金凤区校级一模）已知函数()ln f x x x =.（1）求()f x 的单调区间和极值; (2)若对任意()0,x ∈+∞，()232x mx f x -+-≥恒成立，求实数m 的最大值. 15. （2016 海淀区模拟）已知函数2()e ()x f x x ax a =++.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的不等式()e a f x ≤在[,)a +∞上有解，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)若曲线()y f x =存在两条互相垂直的切线，求实数a 的取值范围.(只需直接写出结果)【参考答案与解析】1． C 2． A3.【答案】A【解析】()()()()''f x g x f x g x >Q()()()()''0f x g x f x g x ∴->()()()()()()()'''20f x f x g x f x g x g x g x ⎛⎫-∴=> ⎪ ⎪⎝⎭从而可得()()x f x a g x =单调递增，从而可得a ＞1， ∵，()()()()1115112f f a ag g --+=+=-Q ∴a =2．故()()()()()()22112122222262nn n f f f n a a a g g g n +++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=-> ∴2n +1＞64，即n +1＞6，n ＞5，n ∈N *．∴n =6．故选：A ．4． 【答案】D【解析】设(x)(x)lnx g f =，则''(x)(x)(x)lnx .f g f x x=+= 故2(x)(c )2x g c =+为常数。
又由(x)(x)lnx g f =得(1)0g =，解得1c 2=-。
故21(x)22x g =-，当1x ≠时，21(x)2ln x f x-=。
当1x =时，在'()(x)ln f x f x x x•=-中，1x =处存在导数，令1x =得(1)1f =。
则21(x),12ln 1,1x f x x x ⎧-⎪=≠⎨⎪=⎩当1x ≠时，22'22ln 1(x),2ln x x x f x x -+=令22(x)2ln 1h x x x =-+，则 '(x)4ln h x x =，令'(x)0,1h x >>得；令'(x)0,1h x <<得0<；故(x)h 在1x =处取得极小值，也是最小值(1)0h =。
故1x ≠时，22(x)2ln 10h x x x =-+>恒成立，又此时22ln 0x x >也恒成立，所以当1x ≠时，'(x)0f >恒成立，故(x)f 在定义域上单调递增，既无极大值也无极小值。
故选D.5． C6．1(+)e ∞，7.【答案】()1,-+∞【解析】设()()()24F x f x x =-+则()()()1124220F f -=---+=-=，又对任意x R ∈，()'2f x >所以()()''20F x f x =->即()F x 在R 上单调递增.则()0F x >的解集为()1,-+∞所以()24f x x >+的解集为()1,-+∞8．-16； 9．0； 10．6π+11．【解析】若a>0，则当x=-a 时，f(x)的极大值为5a 3。
当x=3a 时，f(x)的极小值为-27a 3．若a<0，则当x=3a 时，f(x)的极大值为-27a 3，当x=-a 时，f(x)的极小值为5a 312． a ≤－313． 【解析】（I ）a=-3，b=4(Ⅱ)当x ∈[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)=9+8c因为对于任意的x ∈[0，3]，有f(x)<c 2恒成立，所以9+8c<c 2，解得c<-1或c>9，因此c 的取值范围为(-∞，-1)∪(9，+∞)14.【解析】（1）()ln f x x x =Q ()'ln 1f x x ∴=+令()'0f x >解得1x e >，∴函数在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增， 令()'0f x <解得10x e <<，∴函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减. ()f x ∴在1x e =处取得极小值，极小值为11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）()223f x x mx ≥-+-Q 即22ln 3mx x x x ≤++，又0x > 22ln x x x +3m x+∴≤ 令()22ln 3x x x h x x++= ()()()'22'2'222ln 32ln 323x x x x x x x x x x h x x x ++-+++-∴== 令()'0h x =，解得1x =或3x =-（舍去） 当()0,1x ∈时，()'0h x <，函数()h x 在()0,1上递减 当()1,x ∈+∞时，()'0h x >，函数()h x 在()1,+∞上递增. ()()min 14h x h ∴==4m ∴≤即m 的最大值为4.15．【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R .当1a =时，'()e (2)(1)x f x x x =++当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表： x (,2)-∞- 2- (2,1)-- 1- (1+)-∞，'()f x+ 0 - 0 + ()f x Z 极大值 ] 极小值 Z函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(1)-+∞，，函数()f x 的单调递减区间为(2,1)--.（Ⅱ）解：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a . 因为'()e (2)()x f x x x a =++, 令'()0f x =,得122,x x a =-=-. 当2a -≤-时，即2a ≥时，因为'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a所以22()e ()e a a f a a a a =++≤，解得112a -≤≤，所以此种情形不成立， 当2a ->-，即2a <时，若0a ≥, 则'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a 所以22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤ . 若0a <，若2a ≥-，则'()0f x <对(,)x a a ∈-成立，'()0f x >对[,)x a ∈-+∞成立. 则()f x 在(,)a a -上单调递减，在[,)a -+∞上单调递增，此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为(),f a -所以有22()e ()e e a a a f a a a a a ---=-+=⋅≤，解得20a -≤<，当2a <-时，注意到[,)a a -∈+∞,而22()e ()e e a a a f a a a a a ---=-+=⋅≤， 此时结论成立.综上，a 的取值范围是1(,]2-∞.法二：因为()e a f x ≤在区间[,)a +∞上有解，所以()f x 在区间[,)a +∞上的最小值小于等于e a ，当0a ≤时，显然0[,)a ∈+∞，而(0)0e a f a =≤≤成立，当0a >时,'()0f x >对[,)x a ∈+∞成立，所以()f x 在[,)a +∞上单调递增， 此时()f x 在[,)a +∞上的最小值为()f a ，所以有22()e ()e a a f a a a a =++≤， 解得112a -≤≤，所以102a ≤≤. 综上，1(,]2a ∈-∞. （Ⅲ）a 的取值范围是2a ≠.。