2018届高三数学理一轮总复习练习-第三章 三角函数、解

课时规范训练
[A 级 基础演练]
1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12个单位 B ．向右平移π
12个单位 C ．向左平移π
3个单位
D ．向右平移π
3个单位
解析：选B.由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛
⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右
平移π
12个单位即可，故选B.
2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6等于( )
A ．2或0
B ．－2或2
C ．0
D ．－2或0
解析：选B.因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6－x ，所以
该函数图象关于直线x ＝π
6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.
3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ωx －π3(ω>0)的周期是π，将函数f (x )的图象沿x 轴向左平
移π
6个单位得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式是( )
A ．g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x －π4
B ．g (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6
C ．g (x )＝sin 2x
D ．g (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －2π3
解析：选C.由题知
2π
ω
＝π，ω＝2，
所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6
＝sin ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π3＝sin 2x .
4．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6，下面说法正确的是( )
A ．函数的周期为π
4
B ．函数图象的一条对称轴方程为x ＝π
3 C ．函数在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2π3，5π6上为减函数
D ．函数是偶函数
解析：选B.当x ＝π3时，f (x )＝1，∴x ＝π
3是函数图象的一条对称轴，故选B. 5．如图为函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象，B 、C 分别为图象的最高点和最低点，若AB →·BC
→＝|AB →|2，则ω＝( )
A.π3
B.π4
C.π6
D.π
12
解析：选C.由题意可知|BC →|＝2|AB →|，由AB →·BC →＝|AB →|2知－|AB →|·|BC →|cos ∠ABC
＝|AB
→|2，∠ABC ＝120°，过B 作BD 垂直于x 轴于D ，则|AD →|＝3，T ＝12，ω＝2πT ＝π
6，故选C.
6．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝ . 解析：f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫15sin x －25cos x ，
设
15＝cos α，2
5
＝sin α， 则f (x )＝5(sin x cos α－cos x sin α)＝5sin(x －α)． ∵x ∈R ，∴x －α∈R ，∴y max ＝ 5. 又∵x ＝θ时，f (x )取得最大值， ∴f (θ)＝sin θ－2cos θ＝ 5. 又sin 2θ＋cos 2θ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1
5，cos θ＝－2
5，即cos θ＝－255.
答案：－255
7．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴
对称，则φ的最小正值是 ．
解析：由函数f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝
sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4－2φ， 又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π
2(k ∈Z )．
∴φ＝－k π2－π8(k ∈Z )．当k ＝－1时，φ取得最小正值3π
8. 答案：3π
8
8．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π
3的交点，则φ的值是 ．
解析：由题意，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×π3＋φ＝cos π3，
即sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3＋φ＝sin π6， 解得2π3＋φ＝2k π＋π6(无解)或2π3＋φ＝2k π＋5π6， 因为0≤φ<π，所以φ＝π
6. 答案：π
6
9．已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值．
解：(1)因为f (x )＝32sin 2x －12cos 2x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－12，所以T ＝2πω＝π，故f (x )的最小正周期为π.
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2，k ∈Z ， 所以k π－π6≤x ≤k π＋π
3，k ∈Z .
函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡
⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．
(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π
6，
令2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值1
2； 令2x －π6＝－π
6，即x ＝0时，f (x )有最小值－1.
10．已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和点⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．
解：(1)由题意知f (x )＝a·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .
因为y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，3和⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝m sin π6＋n cos π
6，
－2＝m sin 4π3＋n cos 4π
3，
即⎩⎪⎨⎪⎧3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得⎩
⎨⎧m ＝3，n ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π6.
由题意知g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π6.
设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0，2)，
由题意知x 2
0＋1＝1，所以x 0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2) 将其代入y ＝g (x )得sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2φ＋π6＝1， 解得2φ＋π6＝k π＋π
2(k ∈Z )． 因为0<φ<π，所以φ＝π
6， 因此g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π
2≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )． [B 级 能力突破]
1．将函数h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π4个单位，再向上平移2个单位，
得到函数f (x )的图象，则函数f (x )的图象与函数h (x )的图象( )
A ．关于直线x ＝0对称
B ．关于直线x ＝1对称
C ．关于点(1，0)对称
D ．关于点(0，1)对称
解析：选D.依题意，将h (x )＝2sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π4个单位，再向上
平移2个单位后得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2⎝
⎛⎭⎪⎫x －π4＋π4＋2，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2的图象，又∵h (－x )＋f (x )＝2，∴函数f (x )的图象与函数h (x )的图象关于点(0，1)对称．
2．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )
A.12 B ．32 C.22
D ．1
解析：选B.由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝π
2，则T ＝π，ω＝2，又∵
－π6＋π32
＝
π12，∴f (x )的图象过点
⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2×π12＋φ＝1，得π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.由题意得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，
∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 3．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0＜φ＜π2个单位后得到函数g (x )的
图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π
3
，则φ＝( )
A.5π12 B ．π3 C.π4
D ．π6
解析：选D.因为g (x )＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，所以|f (x 1)－g (x 2)|＝|sin 2x 1－sin(2x 2－2φ)|＝2.因为－1≤sin 2x 1≤1，－1≤sin(2x 2－2φ)≤1，所以sin 2x 1和sin(2x 2－2φ)的值中，一个为1，另一个为－1，不妨取sin 2x 1＝1，sin(2x 2－2φ)＝－1，则2x 1＝2k 1π＋π2，k 1∈Z ，2x 2－2φ＝2k 2π－π
2，k 2∈Z ，2x 1－2x 2＋2φ＝2(k 1
－k 2)π＋π，(k 1－k 2)∈Z ，得|x 1－x 2|＝|(k 1－k 2)π＋π
2－φ|.
因为0＜φ＜π2，所以0＜π2－φ＜π2，故当k 1－k 2＝0时，|x 1－x 2|min ＝π2－φ＝π
3，则φ＝π
6，故选D.
4．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛
⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为
原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π6＝ ．
解析：将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6的图象，保
持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＋π6的图象，
故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ＋π6.
所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12×π6＋π6＝sin π4＝22.
答案：22
5．设y ＝sin (ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫
ω>0，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的最小正周期为π，且其图象关于
直线x ＝π
12对称，则在下面四个结论中：
①图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称；②图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称；③在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π6上是增函
数；④在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－π6，0上是增函数．
正确结论的编号为 ． 解析：∵T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝sin(2x ＋φ)．
∵图象关于直线x ＝π
12对称， ∴2×π12＋φ＝π
2＋k π(k ∈Z )， ∴φ＝π
3＋k π(k ∈Z )． 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，
∴φ＝π
3.
∴y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π3.
当x ＝π4时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝1
2，故①不正确；当x ＝π3时，y ＝0，故②正确；
当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3，y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3不是增函数，即③不正确；当
x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，0时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3⊆⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，故④正确． 答案：②④
6．青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔，拥有长580米，宽40余米的沙滩，是亚洲较大的海水浴场．这里三面环山，绿树葱茏，现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地结合在一起，景色非常秀丽．海湾内水清浪小，滩平坡缓，沙质细软，自然条件极为优越．已知海湾内海浪的高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时刻记录的浪高数据：
一部分．
(1)根据以上数据，求函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内8∶00至20∶00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
解析：(1)由表中数据，知周期T ＝12，
∴ω＝2πT ＝2π12＝π
6，由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5； 由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1，
∴A ＝0.5，∴振幅为12，y ＝12cos π
6t ＋1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放， 令12cos π6t ＋1＞1，即cos π
6t ＞0， ∴2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π
2，k ∈Z ，
即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z.①
∵0≤t≤24，故可令①中的k分别为0，1，2，
得0≤t＜3，或9＜t＜15，或21＜t≤24.
∴在规定时间8∶00到20∶00之间，有6小时的时间可供冲浪者运动，即9∶00到15∶00.。