直角三角形的射影定理学案
高中数学第一讲四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4
四角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.射影定理的有关计算如图，在Rt，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3， 得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x . 因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， 所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ， 所以BC ＝12m .又因为CD ⊥AB ， 所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m .所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316 m 2，得CD ＝34m . 因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m .2．已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长． 解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).利用射影定理证明如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H . 则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC .而DE ＝GF ＝EF ，∴EF 2＝BE ·FC .4.如图，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形， 求证：DE ⊥DF . 证明：在Rt △ABC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，AD 2＝CD ·BD . 所以AC AB＝CD BD＝ CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. 因为AC ＝AE ，AB ＝BF ， 所以AE BF ＝ADBD.又∠FBD ＝60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ， 所以∠FBD ＝∠EAD ， 所以△EAD ∽△FBD . 所以∠BDF ＝∠ADE .所以∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. 所以DE ⊥DF .课时跟踪检测(五)一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图，∵∠A ＝∠A ， ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的长是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：选B ∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠AEB ＋∠DEF ＝90°.因为∠DEF ＋∠DFE ＝90°，所以∠AEB ＝∠DFE . 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝________.解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD.∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝6262－3.623.62＝64. ∴BC ＝8. 答案：8 三、解答题8．如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.9.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF . 证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设CD ＝3x ，BD ＝5x ， 则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F ， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理，BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.。
直角三角形射影定理学案
第一讲相似三角形的判定及有关性质4 直角三角形的射影定理班级：姓名：知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；2、已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.(1)图中有几条线段?(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项的表达式?(5)由上可得到哪些等积式?（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是比例中项；两直角边分别是的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知：求证：证明：A A用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.二、当堂训练1、如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D 。
，，82==DB AD 求的长。
和BC AC CD ,2、如图，ΔABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且BD AD CD ∙=2。
求证：ΔABC 是直角三角形。
证明：三、课堂小结与反思AA B四、课后检测1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( )A ．3：2B ．9：4C ．3：2D ．2：32．在Rt △ACB 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( )A. 41B. 31C. 21 D.2 3．下列命题中，正确的有( )①两个直角三角形是相似三角形；②等边三角形都是相似三角形；③锐角三角形都是相似三角形；④两个等腰直角三角形是相似三角形．A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个4．已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28cmD ．1.3 cm5．如图1—4—2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E 。
直角三角形的射影定理的教学设计
直角三角形的射影定理的教学设计课题：直角三角形的射影定理一、教材分析直角三角形的射影定理是人教A版2003课标版选修4-1几何证明选讲第一讲.相似三角形的判定及有关性质的第四节的内容，本节课是学习三角形相似的具体运用，体现了从特殊到一般的数学思想, 也是解决直角三角形有关边长问题的重要工具，教材围绕“可以解决哪些问题”、“怎样解决这些问题”进行探索。
射影定理的证明方法很多，教材除了用三角形相似，只提到勾股定理的证法，对于三角函数法、平面向量法、解析坐标法只字未提，这是为什么？推敲教材发现，初中并没有对相似三角形的判定定理与性质进行严格证明，本讲基于平面几何“证明”这一主导思想，运用欧氏几何的公理体系演绎推理，培养学生的逻辑思维能力，这是教材编写的目的，因此，其他非欧氏几何方法不是本课的重点。
二、学情分析课堂教学应该以学生文本，生活中的射影现象学生并不陌生，前三节学习了相似三角形的判定与性质，熟悉勾股定理，学生经历观察、实验、类比、猜想、交流等活动，这是学生知识的“最近发展区”，学生也具备了观察探索、逻辑推理和语音表达的相关能力。
三、设计理念本节课以学生常见的“物体投影”为情境，引入课题，使学生有强烈的好奇心和求知欲，本节课以构建主义理论为基础，以学生自主探索、合作交流为主要学习方式，最大限度的调动学生的积极性和兴趣，体现“以学生发展为本”的新课程的理念；精心设计的问题链，使教学过程过程化、活动化、进而促进学生积极主动的参与教学活动中来，鼓励学生互相讨论和合作交流；先重点研究射影定理的其中一个，另外两个进行类比；充分借助信息技术手段丰富课堂知识容量，提高学生的学习效率，让合作与探究成为课堂的常态，发挥“课堂主渠道作用，打造高效课堂”；对欧几里得定理的探究过程，适时介绍数学史，从“立德树人”的高度开展课堂教学。
四、教学目标知识与能力：1、理解并掌握直角三角形的射影定理，培养学生应用定理解决问题的能力。
人教版高中数学选修4-1：1.4《直角三角形的射影定理》教案
D AA ′ M N NA A ′B ′ B 直角三角形的射影定理教学目标（一） 知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法．（三） 情感态度与价值观通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神．教学重点 射影定理的证明．教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法 师生协作共同探究法．教学用具 黑板 多媒体教学过程设计一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？（通过这两个问题很自然地过渡到本节课要讨论的问题．）二 新知探究如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高．提出问题：图11．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角形中的线段长度关系： △ACD 与△CBD 中，CD 2= AD·BD ,△BDC 与△BCA 中，BC 2= BD·AB ,△CDA 与△BCA 中，AC 2= AD·AB ．这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段． C BA点和线段的正射影简称为射影．图2请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．三 例题分析 例1 如图3，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ．AD=2，DB=8,求CD 、AC 和BC 的长．解：∵∠ACB 是半圆上的圆周角，∴∠ACB=90°，即⊿ABC 是直角三角形．由射影定理可得：CD 2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4；AC 2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC 2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45． （师生一起分析思路，由学生完成求解．）图3 图4例2 如图4，⊿ABC 中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且CD 2=AD·BD．求 证：⊿ABC 是直角三角形．证明：在⊿CDA 和⊿BDC 中，∵点C 在AB 上的射影为D ，∴CD⊥AB． ∴∠CDA=∠BDC=90°．又∵CD 2=AD·BD，∴AD:CD=CD:DB．∴⊿CDA∽⊿BDC．在⊿ACD 中， ∵∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°．∴∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°．∴⊿ABC 是直角三角形． A D CA D O BC M NN NBb（该例题表明，射影定理的逆定理也是成立的．学生在这个①“射影”总是与“垂直”相伴，由此可以与“直角三角形”相联系；②我们往往将等式CD 2=AD·B D 变形为DBCD CD AD ,这个比例式启发我们应当通过“相似三角形”来推出“直角三角形” ．学生明确了上述思路就容易得出本例的证明了．）四 课堂练习1 在⊿ABC 中，∠C=90°, CD 是斜边AB 上的高．已知CD=60，AD=25，求BD 、AB 、AC 、BC 的长．（直接运用射影定理．）2 如图，已知线段a 、b ，求作线段a 和b 的比例中项．(引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法．)五 课堂小结 （引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六 课后作业1 基础训练：在⊿ABC 中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D ，AC=12,BC=5,求CD 的长．2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理．（培养学生的创造性思维及团结协作的能力．）a。
高中数学选修4-1：14直角三角形的射影定理-学案
1.4直角三角形的射影定理【学习目标】1.利用直角三角形相似的判定和性质推导射影定理；2.灵活运用射影定理进行相关计算与正面.【自主学习】1.射影（1）点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 ，叫这个点在这条直线上的正射影.（2）线段在直线上的正射影：线段的 在这条直线上的 间的线段.（3）射影：点和线段的 简称为射影.2.射影定理（1）文字语言：直角三角形斜边上的高是 在斜边上射影的比例中项，两直角边分别是它们在 上射影与 的比例中项.（2）图形语言：如图，在RT ABC ∆中，CD 为斜边上的高，则有2CD = ；2AC = ；2BC = .思考：能否用射影定理来证明勾股定理？反之，能否用勾股定理来证明射影定理？【自主检测】 1.如图，CD 是RT ABC ∆的斜边上的高．（1）若9AD =，6CD =，则BD = ；（2）若25AB =，15BC =，则BD = ． .2.设RT ABC ∆的直角边2AB =，23AC =，那么它们在斜边BC 上的射影的长依次为（ ）A .2，23B .2，3C .1，3D .4，12【典例分析】例1.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D .2AD =，8DB =，求CD 、AC 和BC 的长.┐A B CD例2.如图，ABC ∆中，顶点C 在AB 边上的射影为D ，且2CD AD DB = . 求证：ABC ∆是直角三角形.【目标检测】1、如图1，已知ABC ∆中，30BC =，高18AD =，EFGH 是ABC ∆的内接矩形，12EF =，则GF =（ ）．A ．7.2B ．10.8C ．12D ．92、如图2，已知矩形ABCD 中，90AEF ∠= ，则下列结论一定正确的是（ ）．A ．ABF ∆∽AEF ∆B ．ABF ∆∽CEF ∆C ．CEF ∆∽ADE ∆D ．ADE ∆∽AEF ∆3、如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠= ，M 是BC 的中点，CD AM ⊥，垂足为D ． 求证：AMB ∆∽BMD ∆．图1 A B C D E F G H ┐ A B CD E F 图2 图3 C A M B D。
高中数学新人教版A版精品教案《四 直角三角形的射影定理》
《直角三角形的射影定理》教学设计一、整体设计思路（教学设计的思路与学习价值分析）本节课是基于学生已有的初中平面几何知识进一步学习设计的一节课，针对学生的认知特点，将本节课分为四个环节。
第一环节：直观感知，发现概念。
通过视频皮影戏风格的舞蹈引入让学生能直观感知，发现射影的概念。
第二环节：初探定理，品味内涵。
引导学生观察图形找出直角三角形中线段的射影，并通过三角形相似初探定理，品味内涵，培养学生数学逻辑推理。
第三环节：再探定理，深化理解。
通过用勾股定理证明射影定理，以及以射影定理逆定理角度的探点探究，进一步加深对射影定理的理解，培养学生会辩，会用的能力。
第四环节：拓展探究，内化素养。
拓展学生思维，培养学生数学学科核心素养，让学生学会知识迁移，通过类比推理，发现问题并解决问题。
第五环节：自我小结，整理回顾，做到心中有数。
二、目标设计（指向学生素养发展的目标设计）本节课引导学生在学习和运用数学知识解决问题中，提高学生发现提出问题，分析解决问题的能力，不断地经历直观感知、直观想象、观察发现、逻辑推理、数学运算等思维过程，培养学生的数学学科核心素养。
三、学习内容分析（教材地位与作用，教学目标以及重点难点）（一）教材地位与作用“直角三角形的射影定理”是普通高中新课程标准实验教科书高中数学人教A版选修4-1第一章中第四节的内容，它是在学生学习完相似三角形的判定及性质后对直角三角形中的相似进一步研究。
在探究论证的过程中，能够培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生形成数形结合的思想意识，提高学生的数学思维能力。
（二）教学目标1.引导学生利用上节课学到的知识“三角形相似的判定和性质”推导射影定理，并尝试用勾股定理推导证明，让学生学会知识迁移和灵活应用，培养学生逻辑推理能力。
2.通过对射影定理逆定理角度的探究，加深对射影定理的理解。
3.通过拓展探索，渗透对数学核心素养的培养，让学生学会知识迁移，培养学生类比推理，观察发现问题解决问题的能力。
“直角三角形的射影定理”教学设计及评析
四 、教 学 目标
（ １ ）借助直 观 ，感知射影 的概念 ，认识正射影的
似 外 ，只 提 到勾 股 定 理 的证 法 ，对 于 三 角 函数 法 、平 特征 ． 理 解射 影 定 理 的 内涵 ，能够 运 用 三 角形 相 似 方
面 向量 法 、解 析 坐 标 法等 只字 未提 ，这是 为什 么 ？ 细 法进 行证 明 ． （ ２ ）运 用 三 角形 相 似 ，探究 直 角 三 角形 两 直 角 边 读 教 材 发 现 ，初 中并 没有 对 相 似 三角 形 的判 定 定 理及
步发展 学生平 面几何 的证 明能 力 ．
关键 词 ：射 影定 理 ；三 角形相 似 ；平 面几何证 明
及性质 ，熟悉勾股定理 ，高三的学生亦具备很强的观 察概 括 能 力 、逻 辑 思 维能 力 和语 言表 达 能力 ，这 是课 堂教 学 顺 利 进行 的必要 支 持 ． 然 而探 究 知识 的过 程 是
线段之 间的数量关 系 ，除了具有 明显 的不等关 系外 ， 还 可 以用 面 积相 等 推 得 等 积 式Ａ Ｃ・ Ｂ Ｃ＝Ａ Ｂ・ Ｃ Ｄ，而 三角形相似是刻画边 长关 系的有力工具． 因此 ，再来
考 查 图 中 的三 个 直 角 三角 形 ，它们 彼 此相 似 ，写 出 比
三、教 学重 、难点
其 性 质 进 行严 格 证 明 ，本 讲 基 于 “ 证 明” 这一 主 导 思 在斜 边 上 的射影 与 其 他线 段 之 间 的关 系 ，形 成对 射 影 运用三角形相似或勾股定理证 明射 想 ，运用欧氏几何的公理体系演绎推理 ，发展学生的 定理的初步认识．
逻辑思维能力 ，这是选修教材编写的 目的 ，因此其他 影定理 ，体会平面几何证 明体系的严谨性 ，培养学生 的逻 辑 思 维 能 力 和 语 言 表 达 能 力 ，加 深 对 数 形 结 合 、 非 欧几 何 的证 法不 是本课 的重点 ．
高中数学人教A版选修4-1学案第1讲 4 直角三角形的射影定理 Word版含解析
四直角三角形的射影定理
．了解射影定理的推导过程．
．会用射影定理进行相关计算与证明．(重点、难点)
[基础·初探]
教材整理射影的相关概念
阅读教材“探究”以上部分，完成下列问题．
．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.
．线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．
．射影：点和线段的正射影简称为射影．
教材整理射影定理
阅读教材～“习题”以上部分，完成下列问题．
．文字语言
直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
．图形语言
如图--，在△中，为斜边上的高，
图--
则有＝·.
＝·.
＝·.
如图--，在△中，⊥，⊥于且＝，则·＝( )
图--
．．
．．不确定
【解析】由射影定理·＝＝＝.
【答案】
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
疑问：
解惑：
[小组合作型]
. ()求∶的值；
()若＝，求的长．。
(教师用书)2013-2014学年高中数学 1.4 直角三角形的射影定理教案 新人教A版选修4-1
四直角三角形的射影定理1.了解射影定理的推导过程．课标解读2.会用射影定理进行相关计算与证明.1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影.(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言如图1－4－1，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，那么有CD2＝AD·BD.AC2＝AD·AB.BC2＝BD·AB.1．如何使用射影定理？[提示] 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件，在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．2．如何用射影定理证明勾股定理？[提示]如下图，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，那么由射影定理可得AC2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，那么AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2，即AC2＋BC2＝AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？[提示] 直角三角形射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．符号表示：如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，假设CD2＝AD·BD，那么△ABC为直角三角形．证明如下：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又∵CD2＝AD·BD，即AD∶CD＝CD∶BD，∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD.又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD＝90°，即△ABC 为直角三角形．与射影定理有关的计算：CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值；(2)假设AB ＝25 cm ，求CD 的长．[思路探究] 先根据AC ∶BC 与AD ∶BD 之间的关系求出AD ∶BD 的值；再根据斜边AB 的长及AD ∶BD 的值分别确定AD 与BD 的值．最后由射影定理CD 2＝AD ·BD ，求得CD 的长．[自主解答] (1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ，∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2， ∴AD BD ＝(AC BC )2＝(34)2＝916， 即AD ∶BD ＝9∶16.(2)∵AB ＝25 cm ，AD ∶BD ＝9∶16， ∴AD ＝925×25＝9(cm)．BD ＝1625×25＝16(cm)，∴CD ＝AD ·BD ＝9×16＝12(cm)．1．解答此题(1)时，关键是把AD BD 转化为(AC BC)2.2．解此类题目的关键是反复利用射影定理求解直角 三角形中有关线段的长度．在解题时，要紧抓线段比 之间的关系及线段的平方与乘积相等这些条件，紧扣等式结构形式，达到最终目的．图1－4－2如图1－4－2，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，假设AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．[解] ∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD、AC、BC的长分别为2 3 cm,4 cm,4 3 cm.与射影定理有关的证明图1－4－3如图1－4－3，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F.求证：CD3＝AE·BF·AB.[思路探究] ∠ACB＝90°，CD⊥AB→CD2＝AD·DB→CD3＝AE·BF·AB.[自主解答] ∵∠BCA＝90°，CD⊥BA，∴CD2＝AD·BD.又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，∴CD 4＝AD 2·BD 2＝AE ·AC ·BF ·BC ＝AE ·BF ·AC ·BC . 而S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD 4＝AE ·BF ·AB ·CD . 即CD 3＝AE ·BF ·AB .1．解答此题的关键是利用S △ABC ＝12AC ·BC ＝12AB ·CD 进行转化．2．在证明与直角三角形有关的问题时，常用射影定理来构造比例线段，从而为证明三角形相似创造条件．在本例条件不变的情况下，求证：DE 3DF 3＝AEBF.[证明] 根据题意可得，DE ＝CF ，CE ＝DF ，DE 2＝AE ·CE ， DF 2＝BF ·CF ，∴DE 2·BF ·CF ＝DF 2·AE ·CE ， ∴DE 3·BF ＝DF 3·AE ，即DE 3DF 3＝AE BF. (教材第22页习题1.4第1题)在△ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，CD ＝60，AD ＝25，求BD ，AB ，AC ，BC 的长．(2013·某某模拟)如图1－4－4，Rt △ABC 的两条直角边AC 、BC的长分别为3 cm ，4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，那么BD ＝______cm.图1－4－4[命题意图] 此题主要考查直角三角形的射影定理及运算求解能力． [解析] 连接CD ，那么CD ⊥AB . 由AC ＝3cm ，BC ＝4cm 得AB ＝5cm. 由射影定理得BC 2＝BD ·BA ， 即42＝5BD . 所以BD ＝165cm.[答案]1651. 如图1－4－5，在Rt △ABC 中，AC ⊥CB ，CD ⊥AB 于D 且CD ＝4，那么AD ·DB ＝( ) A ．16 B ．4 C ．2 D ．不确定图1－4－5[解析] 由射影定理AD ·DB ＝CD 2＝42＝16. [答案] A2．：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，BC ＝15 cm ，BD ＝3 cm ，那么AD 的长是( )A ．5 cmB ．2 cmC ．6 cmD ．24 cm[解析] ∵BC 2＝BD ·AB ， ∴15＝3AB ，即AB ＝5， ∴AD ＝AB －BD ＝5－3＝2(cm)． [答案] B3. 如图1－4－6所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，CD ＝2，BD ＝3，那么AC ＝________.图1－4－6[解析] 由CD 2＝BD ·AD 得AD ＝43，∴AB ＝BD ＋AD ＝3＋43＝133，∴AC 2＝AD ·AB ＝43×133＝529，∴AC ＝2313.[答案] 21334．一个直角三角形两条直角边的长分别为1 cm 和 5 cm ，那么它们在斜边上的射影比为________．[解析] 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝1 cm，BC＝ 5 cm，∵AC2＝AD·AB＝1，BC2＝BD·AB＝5，∴ADBD＝15.[答案] 1∶5一、选择题1．△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，那么AC∶BC的值是( ) A．3∶2 B．9∶4C.3∶ 2D.2∶ 3[解析] 如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴ACBC＝1510＝32，即AC∶BC＝3∶2，应选C. [答案] C 2.图1－4－7如图1－4－7所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，假设CD ＝6，AD ∶DB ＝1∶2，那么AD 的值是( )A ．6B ．3 2C ．18D ．3 6[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧AD DB ＝12，AD ·DB ＝36，∴AD 2＝18， ∴AD ＝3 2. [答案] B3．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，假设AC AB ＝34，那么BDCD等于( )A.34B.43C.169D.916[解析] 如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ，∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2， 即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. [答案] C4．在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，假设BD ：AD ＝1：4，那么tan ∠BCD 的值是( )A. 14B.13C.12 D ．2 [解析] 如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ：AD ＝1：4，令BD ＝x ，那么AD ＝4x (x >0)． ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x ，在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. [答案] C 二、填空题图1－4－85．如图1－4－8，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB .DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，那么对角线BD 的长为________．[解析] ∵OF ＝a ， ∴AD ＝2a ， ∵AE ⊥BD ， ∴AD 2＝DE ·BD .∵DE ∶EB ＝1∶3，∴DE ＝14BD ，∴AD 2＝14BD ·BD .∴BD 2＝4AD 2＝4×4a 2＝16a 2，∴BD ＝4a . [答案] 4a6．在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，那么此梯形的面积为________．[解析] 如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .在Rt △ACB 中，∵AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ， ∴BC ＝8 cm ，∴BE ＝6.4 cm ，AE ＝3.6 cm. ∴CE ＝ 6.4×3.6＝4.8(cm)， ∴AD ＝4.8 cm.又∵在梯形ABCD 中，CE ⊥AB ， ∴DC ＝AE ＝3.6 cm.∴S 梯形ABCD ＝10＋3.6×4.82＝32.64(cm 2)． [答案] 32.64 cm 2三、解答题7．直角三角形周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长．[解] (1)如图，设CD ＝3x ，BD ＝5x ，那么BC ＝8x ，过D 作DE ⊥AB ，由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48.又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x ，∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2，解得：x 1＝0(舍去)，x 2＝2，∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16，∴三边长分别为：20 cm,12 cm,16 cm.(2)作CF ⊥AB 于F ，∴AC 2＝AF ·AB ， ∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)； 同理：BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)． ∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.图1－4－98．如图1－4－9，Rt △ABC 中有正方形DEFG ，点D 、G 分别在AB 、AC 上 ，E 、F 在斜边BC上，求证：EF2＝BE·FC.[证明] 如图，过点A作AH⊥BC于H.∴DE∥AH∥GF.∴DEAH＝BEBH，GF AH ＝FC CH.∵DE·GFAH2＝BE·FCBH·CH.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.图1－4－109．如图1－4－10，：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.[证明] ∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG. ①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴FGBG＝CGGH，∴BG·GC＝GH·FG. ②由①②得，GD2＝GH·FG.10.如下图，在△ABC中，AD为BC边上的高，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足．求证：(1)AE·AB＝AF·AC；(2)△AEF∽△ACB.[证明] (1)∵AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，在Rt△ABD中，由射影定理得AD2＝AE·AB，在Rt△ADC中，由射影定理得AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)∵AE·AB＝AF·AC，∴AEAC＝AFAB.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB.。
人教版高中选修4-1四直角三角形的射影定理课程设计
人教版高中选修4-1四直角三角形的射影定理课程设计一、课程目标1.理解并掌握射影定理的基本概念及运用方法；2.培养学生的数学思维和逻辑推理能力；3.培养学生的团队合作能力和解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 基本概念1.四直角三角形的定义；2.射影定理的概念及证明。
2. 运用方法1.利用射影定理求解和验证定理；2.应用射影定理解决实际问题。
3. 拓展应用1.基础扩展：射影定理在平面几何中的应用；2.拓展应用：射影定理在三维空间几何中的应用。
三、教学过程1. 概念讲解1.介绍四直角三角形的定义和性质；2.讲解射影定理的概念和证明。
2. 练习实践1.给出几个四直角三角形的实例，让学生通过画图观察、分析得出射影定理；2.给出一些练习题，让学生通过计算实践运用射影定理。
3. 问题解决1.分组讨论，给出一些实际问题，让学生通过应用射影定理解决；2.整合小组成果，进行汇报和讨论。
4. 拓展应用1.给出射影定理在平面几何中的一些应用，让学生思考并探讨；2.结合实际例子，介绍射影定理在三维空间几何中的应用，并进行实验演示。
四、教学重点和难点1. 教学重点1.射影定理的概念和证明；2.射影定理的应用方法。
2. 教学难点1.射影定理的具体应用方法；2.射影定理在三维空间几何中的应用。
五、教学评价通过此课程的教学，可评价学生的以下方面：1.理解和掌握射影定理的概念和应用方法；2.运用射影定理解决实际问题的能力；3.合作学习、小组讨论、问题解决的能力。
六、教学资源1.课件、教辅资料；2.相关图书、工具书。
七、教学参考1.《高中数学课程标准实验教材高中数学选修4-1》；2.《数学课程标准》。
直角三角形的射影定理教案
第一讲相似三角形得判定及有关性质3、4 直角三角形得射影定理备课组:高二数学组主备人:柴海斌持案人:授课班级: 授课时间:教学目标知识与技能:掌握直角三角形中成比例得线段得性质,并能初步用它解决“直角三角形斜边上得高”图形中得计算与证明问题、方法与过程: 通过问题设计,层层跟进,引导学生探索与发现射影定理。
情感与价值观:培养特殊化研究问题得方法与方程、转化思想。
教学重难点重点:直角三角形得射影定理得证明及应用;难点:直角三角形得射影定理得证明。
教学过程二、教学引入点与线段得正射影简称为射影(让学生复习并挖掘下图中得基本性质、)已知:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB于D、(1)图中有几条线段?(答:6条,分别记为AB=c,AC=b,BC=a,CD=h,AD=m,BD=n、)(2)图中有几个锐角?数量有何关系?(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC,可分别写出三组比例式:(ΔACD∽ΔCDB); (ΔCBD∽ΔABC);(ΔACD∽ΔABC)、(4)观察第(3)题得结果,有几个带有比例中项得比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例中项得表达式?只有三个比例中项得表达式,,,(5)由上可得到哪些等积式?CD2=AD·BD,BC2=BD·BA,AC2=AD·AB(二)直角三角形得射影定理直角三角形斜边上得高就是两直角边在斜边上得射影得比例中项;两直角边分别就是它们在斜边上得射影与斜边得比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知:在RT△ABC中,∠ABC=90。
,CD⊥AB于D。
求证:CD2=AD*BD BC2=BD*AB AC2=AD*AB证明:在RT△ABC中,因为∠ABC=90。
CD⊥AB∠B+∠DCB=90º , ∠ACD+∠DCB=90º所以∠B=∠ACD,故△CBD∽△ACD所以在RT△ACB与RT△BDC中,为公共角,∽同理,由∽,讨论:用勾股定理能证明射影定理吗？写出您得想法、证明: 二、当堂训练 1、如图,圆O 上一点C 在直径AB 上得射影为D 。
高中数学 第一章 直线、多边形、圆 1 第三课时 直角三角形的射影定理学案 北师大版选修41
第三课时 直角三角形的射影定理[对应学生用书P9][自主学习]射影定理[合作探究]在直角三角形中，勾股定理与射影定理有什么联系？提示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是AB 边上的高．应用射影定理可以得到AC 2＋BC2＝AD ·AB ＋BD ·AB ＝(AD ＋BD )·AB ＝AB 2.可见利用射影定理证明勾股定理比用面积割补的方法证明更简洁．[对应学生用书P9][例1] 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理计算直角三角形中的有关线段长问题．解此题时要先判断△ABC 为直角三角形，进一步由射影定理求CD .[精解详析] 在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°，∴∠C ＋∠B ＝90°，∴∠BAC ＝90°， ∴在Rt △ABC 中，AD ⊥BC .由射影定理可知，AD 2＝BD ·CD ，∴62＝8×CD ， ∴CD ＝92.利用射影定理时注意结合图形．同时可添加垂线创设更多的直角三角形，以利用射影定理与勾股定理解决计算问题．1.如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，CD 是斜边上的高，AC ＝5，BC ＝8，求S △CDA ∶S △CDB .解：∵△CDA 和△CDB 同高， ∴S △CDA S △CDB ＝AD BD.又AC 2＝AD ·AB ，CB 2＝BD ·AB ， ∴AC 2CB 2＝AD ·AB BD ·AB ＝AD BD . ∴S △CDA S △CDB ＝AC 2CB 2＝5282＝2564.2.如图，在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，DE 是Rt△BCD 斜边BC 上的高，若BE ＝6，CE ＝2.求AD 的长是多少．解：因为在Rt△BCD 中，DE ⊥BC ，所以由射影定理可得：CD 2＝CE ·BC ， 所以CD 2＝16， 因为BD 2＝BE ·BC ， 所以BD ＝6×8＝4 3.因为在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，所以由射影定理可得：CD 2＝AD ·BD ，所以AD ＝CD 2BD ＝164 3＝4 33.[例2] 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC于F ，DE ⊥AB 于E .求证：(1)AB ·AC ＝AD ·BC ； (2)AD 3＝BC ·BE ·CF .[思路点拨] 本题主要考查利用射影定理证明等积问题，解答此题时分别在三个直角三角形中应用射影定理，再将线段进行代换，即可证明等积问题．[精解详析] (1)在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12BC ·AD ，∴AB ·AC ＝AD ·BC .(2)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB ，由射影定理得BD 2＝BE ·AB ，同理CD 2＝CF ·AC . ∴BD 2·CD 2＝BE ·AB ·CF ·AC .又在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，∴AD 2＝BD ·DC . ∴AD 4＝BD 2·DC 2，∴AD 4＝BE ·CF ·AB ·AC . ∴AD 3＝BE ·CF ·AB ·AC ·1AD.又AB ·AC ＝BC ·AD ， ∴AD 3＝BE ·CF ·BC .在同一问题中需多次应用射影定理时，一定要结合图形，根据要证的结论，选择好射影定理的表达式．同时，注意线段的等量代换及比例式可化为乘积式的恒等变形．3．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC . 证明：∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， 由射影定理知AC 2＝CD ·BC ， 即AC CD ＝BC AC.∵BE 平分∠ABC ，EA ⊥AB ，EF ⊥BC ， ∴AE ＝EF .∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ， ∴EF ∥AD . ∴AE DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝AC DC . ∴EF DF ＝BC AC， 即EF ∶DF ＝BC ∶AC .4．如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H .求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°， 所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°， 所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF . 因为在Rt△ABD 中，FD ⊥AB ， 所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低档题．[考题印证]如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上异于A ，B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已知AD ＝2，CB ＝4 3，则CD ＝ .[命题立意]本题主要考查利用射影定理计算线段长问题． [自主尝试] 由射影定理知CD 2＝AD ·BD ，BC 2＝BD ·AB∴BC 2＝(AB －AD )·AB . 即AB 2－2AB －48＝0.∴AB ＝8，∴BD ＝6，故CD 2＝2×6＝12， ∴CD ＝2 3. 答案：2 3[对应学生用书P11]一、选择题1．在Rt△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，若AC AB ＝34，则BDCD＝( )A ．34 B ．43 C ．169D ．916解析：选C 由射影定理知，BD ＝AB 2BC ，CD ＝AC 2BC ，所以BD CD ＝AB 2AC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB AC 2又AC AB ＝34，所以BD CD ＝169. 2．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ＝3，BD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C ．3∶ 2D ．2∶ 3解析：选C 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，由射影定理知AC 2＝AD ·AB ，BC2＝BD ·AB ，又∵AD ＝3，BD ＝2，∴AB ＝AD ＋ BD ＝5. ∴AC 2＝3×5＝15，BC 2＝2×5＝10. ∴AC BC＝1510＝32，即AC ∶BC ＝3∶ 2. 3．在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，下列不能确定△ABC 为直角三角形的是( ) A ．AC ＝2，AB ＝22，CD ＝ 2 B ．AC ＝3，AD ＝2，BD ＝2 C ．AC ＝3，BC ＝4，CD ＝125D ．AB ＝7，BD ＝4，CD ＝2 3解析：选B 在A 中，AD ＝2，AC 2＝AD ·AB ，故△ABC 为直角三角形；在B 中，CD ＝5，CD 2＝5≠AD ·DB ＝4，故△ABC 不是直角三角形，同理可证C ，D 中三角形为直角三角形．4．在△ABC 中，AD 是高，且AD 2＝BD ·DC ，则∠BAC ( ) A ．大于90° B ．等于90° C ．小于90°D ．不能确定解析：选D 如图(1)， 由AD 2＝BD ·CD ，有AB 2＋AC 2＝BD 2＋CD 2＋2AD 2＝BD 2＋CD 2＋2BD ·CD ＝(BD ＋CD )2， 即AB 2＋AC 2＝BC 2， 可得∠BAC ＝90°，如图(2)，显然AD 2＝BD ·CD ，D 点在△ABC 外， 则∠ACB >90°，所以△ABC 是直角或钝角三角形． 二、填空题5.如图所示，Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，点C 在AB 上的正射影为D ，且AC ＝3，AD ＝2，则AB ＝ .解析：∵AC ⊥BC ，又D 是C 在AB 上的正射影， ∴CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB .又AC ＝3，AD ＝2，∴AB ＝AC 2AD ＝92.图1图2答案：926.(湖北高考)如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB ＝3AD ，则CE EO的值为 ．解析：连接AC ，BC ，则AC ⊥BC .；∵AB ＝3AD ，∴AD ＝13AB ，BD ＝23AB ，OD ＝16AB .又AB 是圆O 的直径，OC 是圆O 的半径， ∴OC ＝12AB .在△ABC 中，根据射影定理有：CD 2＝AD ·BD ＝29AB 2.在△OCD 中，根据射影定理有：OD 2＝OE ·OC ， CD 2＝CE ·OC ，可得OE ＝118AB ，CE ＝49AB ，∴CEEO ＝8.答案：87．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD ＝ . 解析：如图，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，设BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2，∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：128.如图，在△ABC 中，D ，F 分别在AC ，BC 上，且AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，BD ＝DC ＝FC ＝1，则AC ＝ .解析：；在△ABC 中，设AC ＝x ，因为AB ⊥AC ，AF ⊥BC ，FC ＝1，根据射影定理，得AC 2＝FC ·BC ，即BC ＝x 2.再由射影定理，得AF 2＝BF ·FC ＝(BC －FC )·FC ，即AF 2＝x 2－1.所以AF ＝x 2－1. 在△BDC 中，过D 作DE ⊥BC 于E ， 因为BD ＝DC ＝1，所以BE ＝EC . 又因为AF ⊥BC ，所以DE ∥AF ，所以DE AF ＝DC AC ，所以DE ＝DC ·AF AC ＝x 2－1x.在Rt△DEC 中，因为DE 2＋EC 2＝DC 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 222＝12， 所以x 2－1x 2＋x 44＝1.整理得x 6＝4.所以x ＝32. 所以AC ＝32. 答案：32 三、解答题9．如图所示，在△ABC 中CD ⊥AB ，BD ＝AB －12AC ，求∠BAC .解：因为BD ＝AB －12AC ，所以AB －BD ＝12AC ＝AD .因为CD ⊥AB ，所以∠CDA ＝90°，在Rt △ADC 中， cos ∠CAD ＝AD AC ＝12AC AC ＝12.∴∠BAC ＝60°.10.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x .因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ，所以BC ＝12m ，又因为CD ⊥AB ，所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m ，所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316m 2，得CD ＝34m .因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m . 11．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G ，H ，交CE 于F ，且∠H ＝∠BCF .求证：GD 2＝GF ·GH .证明：因为∠H ＝∠BCF ，∠EBC ＝∠GBH ， 所以△BCE ∽∠BHG ， 因为CE ⊥BH ，所以∠BGH ＝90°，所以HG ⊥BC . 在Rt△BCD 中，因为BD ⊥DC ， 所以GD 2＝GB ·GC . ①在△FCG 和△BHG 中，因为∠FGC ＝∠HGB ＝90°，∠BCF ＝∠H ， 所以△FCG ∽△BHG ， 所以GF GB ＝GC GH， 即GB ·GC ＝GF ·GH ， ②由①②得，GD 2＝GF ·GH .。
初中射影定理的教案
初中射影定理的教案教学目标：1. 理解射影定理的概念和意义。
2. 学会运用射影定理进行图形计算。
3. 掌握射影定理与勾股定理的关系。
教学重点：1. 射影定理的定义和证明。
2. 射影定理的应用。
教学难点：1. 射影定理的证明。
2. 射影定理在复杂图形中的应用。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 直角三角形教具。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾直角三角形的定义和性质。
2. 提问：直角三角形中，斜边上的高有什么特殊性质？二、射影定理的定义和证明（15分钟）1. 介绍射影定理的定义：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
2. 证明射影定理：a. 引导学生画出直角三角形ABC，其中∠C为直角，AB为斜边，CD为高。
b. 引导学生观察并证明：AD² = BD × DC，AB² = BD × BC，AC² = CD × BC。
c. 引导学生理解并证明：AD² + CD² = BD × BC。
三、射影定理的应用（15分钟）1. 提问：射影定理如何应用于实际问题？a. 示例1：已知直角三角形ABC中，AB = 6cm，AC = 8cm，求斜边BC的长度。
b. 示例2：已知直角三角形ABC中，AB = 10cm，∠A = 30°，求斜边BC的长度。
2. 引导学生练习应用射影定理解决实际问题。
四、射影定理与勾股定理的关系（10分钟）1. 引导学生理解射影定理与勾股定理的关系。
a. 证明：AB² = BD × BC，AC² = CD × BC。
b. 得出：AB² + AC² = BD × BC + CD × BC = BC²。
2. 提问：射影定理与勾股定理有何联系？五、课堂小结（5分钟）1. 总结射影定理的概念、证明和应用。
直角三角形的射影定理优秀教学设计
直角三角形的射影定理【教学目标】1.掌握正射影的定义。
2.掌握直角三角形的射影定理及其证明3.会用直角三角形的射影定理解决问题【教学重点】掌握直角三角形的射影定理及运用【教学难点】直角三角形的射影定理及运用【教学方法】探究法 (大家先课前研究下把能填上的填满)【教学过程】一、复习1．相似三角形的判定(特别的时候，直角三角形相似的判定) 二、新授1．正射影（射影）的定义 （1）点在直线上的正射影 （2）线段在直线上的正射影练习：画出下列线段在直线a 上的正射影。
a aABaABaAB2．直角三角形的射影定理什么情况下用射影定理？3．定理的运用例1．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，AD=2，DB=8，求CD ，AC ，和BC 的长 分析：由直径所对的圆周角是直角可得到三角 形ABC 是直角三角形，CD 是斜边上的高，运用射影 定理或勾股定理可求出相应的线段的长。
练习1：已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D ， S △ABC =20，AB=10.求AD 、BD 的长。
练习2：若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm 2和cm 8，则两条直角边的长分别为 ，斜边上的高为 。
例2．如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ， 求证：△CEF ∽△CBA分析：在直角三角形ADC 中，由射影定理得 CD 2=CE ·CA在直角三角形BDC 中，由射影定理得 CD 2=CF ·CBBDBFED CBA所以CE ·CA=CF ·CB CACB CF CE =∴ 再加上公共角，就能得出两个三角形相似。
4．小结 （1）射影的定义 （2）射影定理（3）小结直角三角形的性质。
最新人教版高中数学选修4《直角三角形的射影定理》教案
课题：直角三角形的射影定理教材：人教版普通高中课程标准实验教科书选修4-1 P20-P22一、教学目标【知识技能】：理解并掌握直角三角形的射影定理，培养学生应用这些知识解决问题的能力。
【数学思想】：通过观察、实验、类比、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和归纳总结梳理能力。
【解决问题】：学生亲自经历探索直角三角形的射影定理的过程，体会解决问题策略的多样性。
【情感态度】：培养学生独立思考的习惯与合作交流的意识，激发学生探索数学的兴趣，体验探索成功后的快乐。
二、教学重点、难点【重点】：理解并掌握直角三角形的射影定理，应用定理解决问题。
【难点】：勾股定理与射影定理的互推三、教学方法与手段本节课在教法上体现教师的“启发引导”，帮助学生实现认识上与态度上的跨越；在学法上突出学生的“探索发现”，在教学过程中立足于让学生自己去观察、去发现、去探索、去归纳、去梳理总结。
四、教学过程AB CD AC BC=师：如何找出成比例的关系呢？生：由相似三角形的对应边BDABAD AB由于这些式子反映了直角边AD DB。
是直角三角形。
师：那么下面我们来探究一下课本……师：例设计说明本节课的设计，以建构主义理论为基础，以问题为载体，以学生的自主探索、合作交流为主要的学习方式。
在教学过程中，最大限度地调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题。
教师成为课堂问题的激发者、有序探究的组织者、多角度思考的促进者，使师生成为“数学学习的共同体”。
一、教材分析射影定理是上一节“相似三角形的性质”的延续和深化，它建立了直角三角形中边与射影的关系，揭示了直角三角形内在的美，在解决与直角三角形相关的几何问题中是一个强有力的工具。
作为高考选做题之一，对于射影定理的考查在各省市的模拟试题中时有出现。
二、创设情境，把学生置于问题的建模过程本节课以美术班学生习以为常的“物体的投影”为情境引出课题，激起学生强烈的好奇心和求知欲。
(2021年整理)直角三角形的射影定理教案
（完整）直角三角形的射影定理教案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）直角三角形的射影定理教案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一讲相似三角形的判定及有关性质3。
4 直角三角形的射影定理备课组：高二数学组主备人:柴海斌持案人：授课班级：授课时间：教学目标知识与技能:掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题。
方法与过程：通过问题设计,层层跟进，引导学生探索和发现射影定理。
情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
教学重难点重点：直角三角形的射影定理的证明及应用;难点：直角三角形的射影定理的证明。
教学过程二、教学引入什么是射影?点和线段的正射影简称为射影A B(让学生复习并挖掘下图中的基本性质。
）已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。
（1)图中有几条线段？(答:6条，分别记为AB=c,AC=b，BC=a,CD=h,AD=m,BD=n。
)(2）图中有几个锐角？数量有何关系？（3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?由图中ΔACD∽ΔCBD∽ΔABC，可分别写出三组比例式：CD AD BD CD CB AC == （ΔACD ∽ΔCDB ）;AC CDBC BD AB CB == (ΔCBD ∽ΔABC ）; CADABC CD AB AC == （ΔACD ∽ΔABC ）。
（4）观察第(3）题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例 中项的表达式?只有三个比例中项的表达式，CD AD BD CD =，BC BD AB CB =，CADAAB AC =（5)由上可得到哪些等积式？CD 2=AD ·BD ，BC 2=BD ·BA ，AC 2=AD ·AB（二）直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上的射影与斜边的比例中项.请同学们自己写出已知条件并证明.已知：在RT △ABC 中，∠ABC=90。
《1.4 直角三角形的射影定理》教案新部编本3
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校D C《1.4 直角三角形的射影定理》教案3【教学目标】（一）知识与技能1．能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题；2．通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力．（二）过程与方法：培养学生全面地观察问题与分析问题的能力．进一步培养学生的逆向思维能力，打破思维定势的束缚。
（三） 情感态度与价值观：通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神。
教学重点：射影定理的证明．教学难点：建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系．教学方法 师生协作共同探究法．教学用具 黑板 多媒体 三角板【教学过程】一 复习引入前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1．相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？2．如何判定两个直角三角形相似？二、板书课题“ 四 直角三角形的射影定理”三、自学指导（6分钟）请认真看课本P20-P22内容，回答下列问题：如图，⊿ABC 是直角三角形，CD 为斜边AB 上的高． 1．在这个图形中,有哪几组相似三角形？（三组：△ACD 与△CBD ，△BDC 与△BCA ，△CDA 与△BCA ）2．把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找每组三角B A形中的线段长度关系：△ACD与△CBD中，CD2= ,△BDC与△BCA中，BC2= ,△CDA与△BCA中，AC2= ．3.从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的————．4.直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上——————；两直角边分别是它们在斜边上————————与——————的比例中项．四、当堂训练1 在⊿ABC中，∠C=90°, CD是斜边AB上的高．已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长．（直接运用射影定理．）2．已知：CD是直角三角形ABC斜边AB上的高，如果两直角边AC，BC的长度比为AC∶BC＝3∶4.求：(1)AD∶BD的值；(2)若AB＝25 cm，求CD的长．五、课堂小结（引导学生从知识内容和思想方法两方面进行归纳．）1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用．2 思想方法：化归．六课后作业1 基础训练：在⊿ABC中，∠C=90°, CD⊥AB，垂足为D，AC=12,BC=5,求CD的长．。
直角三角形的射影定理的教学设计
直角三角形的射影定理的教学设计课题：直角三角形的射影定理一、教材分析直角三角形的射影定理是人教A版2003课标版选修4-1几何证明选讲第一讲.相似三角形的判定及有关性质的第四节的内容，本节课是学习三角形相似的具体运用，体现了从特殊到一般的数学思想, 也是解决直角三角形有关边长问题的重要工具，教材围绕“可以解决哪些问题”、“怎样解决这些问题”进行探索。
射影定理的证明方法很多，教材除了用三角形相似，只提到勾股定理的证法，对于三角函数法、平面向量法、解析坐标法只字未提，这是为什么？推敲教材发现，初中并没有对相似三角形的判定定理与性质进行严格证明，本讲基于平面几何“证明”这一主导思想，运用欧氏几何的公理体系演绎推理，培养学生的逻辑思维能力，这是教材编写的目的，因此，其他非欧氏几何方法不是本课的重点。
二、学情分析课堂教学应该以学生文本，生活中的射影现象学生并不陌生，前三节学习了相似三角形的判定与性质，熟悉勾股定理，学生经历观察、实验、类比、猜想、交流等活动，这是学生知识的“最近发展区”，学生也具备了观察探索、逻辑推理和语音表达的相关能力。
三、设计理念本节课以学生常见的“物体投影”为情境，引入课题，使学生有强烈的好奇心和求知欲，本节课以构建主义理论为基础，以学生自主探索、合作交流为主要学习方式，最大限度的调动学生的积极性和兴趣，体现“以学生发展为本”的新课程的理念；精心设计的问题链，使教学过程过程化、活动化、进而促进学生积极主动的参与教学活动中来，鼓励学生互相讨论和合作交流；先重点研究射影定理的其中一个，另外两个进行类比；充分借助信息技术手段丰富课堂知识容量，提高学生的学习效率，让合作与探究成为课堂的常态，发挥“课堂主渠道作用，打造高效课堂”；对欧几里得定理的探究过程，适时介绍数学史，从“立德树人”的高度开展课堂教学。
四、教学目标知识与能力：1、理解并掌握直角三角形的射影定理，培养学生应用定理解决问题的能力。
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第一讲相似三角形的判定及有关性质
3.4 直角三角形的射影定理
班级：姓名：
知识与技能：掌握直角三角形中成比例的线段的性质，并能初步用它解决“直角三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题.
情感与价值观：培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。
重点：直角三角形的射影定理的证明及应用；
难点：直角三角形的射影定理的证明。
2、已知：如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.
(1)图中有几条线段?
(2)图中有几个锐角?数量有何关系?
(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?
(4)观察第(3)题的结果，有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述这几个比例
中项的表达式?
(5)由上可得到哪些等积式?
（二）直角三角形的射影定理
直角三角形斜边上的高是比例中项；两直角边分别是
的比例中项。
请同学们自己写出已知条件并证明。
已知：
求证：
证明：
用勾股定理能证明射影定理吗？写出你的想法.
二、当堂训练
1、如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D。
，
，8
2=
=DB
AD求的长。
和BC
AC
CD,
2、如图，ΔABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且BD
AD
CD∙
=
2。
求证：ΔABC是直角三角形。
证明：
三、课堂小结与反思
四、课后检测
A
A
A
A B
1．如图1—4—1中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD=3，BD=2，则AC ：BC 的值是( ) A ．3：2 B ．9：4
C ．3：2
D ．2：3
2．在Rt △ACB 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ：AD=1：4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.
4
1 B. 3
1
C.
2
1 D. 2
3．下列命题中，正确的有( )
①两个直角三角形是相似三角形； ②等边三角形都是相似三角形； ③锐角三角形都是相似三角形；
④两个等腰直角三角形是相似三角形．
A ．1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个
4．已知直角△ABC 中，斜边AB=5cm ，BC=2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于E ，且AD=3.2cm ，则DE=( )
A ．1.24 cm
B ．1.26 cm
C ．1.28cm
D ．1.3 cm
5．如图1—4—2，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AB 于E 。
试说明： (1)AB ·AC=AD ·BC ；
(2)AD 3
=BC ·BE ·CF 。
解：
应用射影定理证明比例线段
6．如图1—4—3，已知：BD 、CE 是△ABC 的两条高，过点D 的直线交BC 和BA 的延长线于G 、H ，交CE 于F ，且∠H=∠BCF 。
求证：GD 2=GF ·GH 。
证明：
7．如图1—4—4，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
求证：AE ·AB=AF ·AC 。
证明：
8．在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，若4
3AB AC =，则
=
CD
BD ( )
A.
4
3 B.
3
4 C.
9
16 D. 16
9
9．如图1—4—5，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，在图中的六条线段中，你认为只要知道( )条线段的长，就可以求其他线段的长。
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图1—4—6，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AC ⊥BD ，垂足为E ，
∠ABC=45°，过E 作AD 的垂线交AD 于F ，交BC 于G ，过E 作AD 的平行线交AB 于H 。
求证：FG 2=AF ·DF+BG ·CG+AH ·BH 。
证明：
12．在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AD ：BD=2：3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A ．2：3
B ．4：9
C ．6：3
D ．不确定
13．Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于点D ，AD=4，sin ∠ACD=5
4，则BC=_____，CD=_______。
四、预习提纲
1、圆周角定理及证明
2、圆心角定理及证明
3、圆心角定理的推论
等级：
图1
—
4—2。