直角三角形中的射影定理
三角形射影定理
三角形射影定理几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C =90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=B D·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（B D+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c 在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为B D、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
直角三角形的射影定理
分析:欲证 CEF CBA . ∽
E A
D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角 要么找角, 要么找 边.
CEF B或 CFE A
CE CF CB CA
例2. 如图,在 ABC 中,CDAB于D, DEAC于E, CBA . DFBC于F ,求证 : CEF∽ C
证法： CDAB E CD2 CE CA DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC CE CF CB CA ECF BCA . CEF ∽ CBA
F D
B
例3 △ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且
ACD 90 0 BCD, ∴(AD+BD)² B 90 0 =AC² AD CD BCD.+BC² ACD B ACD ∽ CBD CD -BD² 即2AD· BD=AC² -AD² +BC² BD 2
C 考察RtACD和RtCBD =AC² ∵AB² +BC²
B
∵AC² -AD² =CD² ，BC² -BD² =CD²
BC BD AB 同理,由CDA∽ BCA =AD(AD+BD)=AD· AB
2
而AC² =AD² +CD² =AD² +AD· BD
2 用勾股定理能证明吗? (3) 有AC AD AB 同理可证得BC² D AB = BD· A
∴ CD 2 =CF· AC
同理可证 CD2 =CG· BC
∴
CF· AC=CG· BC
小结:
1.射影定理： 三大语言：图形语言、符号语言、
文字语言。
直角三角形的射影定理 课件
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
求：(1)AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长．
已知：CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高， 如果两直角边 AC，BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
直角三角形的射影定理
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足， 叫做这个点在这条直线上的正射影. (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线上 的 正射影 间的线段．
(3)射影：点和线段的 正射影 简称为射影．
2．射影定理 (1)文字语言 直角三角形斜边上的高是 两直角边在斜边上射影的比 例中项；两直角边分别是它们在 斜边 上射影与 斜边 的比 例中项． (2)图形语言 如图 1－4－1，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高， 则有 CD2＝ AD·BD. AC2＝ AD·AB . BC2＝ BD·AB .
则 AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·BA＝(AD＋BD)·AB＝AB2， 即 AC2＋BC2＝AB2.
由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们 是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定 理证明勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便 得多．
3．直角三角形射影定理的逆定理是什么？如何证明？ 【提示】 直角三角形射影定理的逆定理：
1．如何使用射影定理？
【提示】 运用射影定理时，要注意其成立的条件，要 结合图形去记忆定理，当所给条件中具备定理条件时，可
直接运用，有时也可通过作垂线使之满足定理的条件， 在处理一些综合问题时，常常与三角形的相似相联系．
2．如何用射影定理证明勾股定理？ 【提示】
射影定理——精选推荐
射影定理前⾔在初中和⾼中阶段，我们接触和使⽤的射影定理有以下两种形式。
射影定理1直⾓三⾓形射影定理，⼜叫欧⼏⾥德(Euclid)定理，其内容：直⾓三⾓形中，斜边上的⾼是两直⾓边在斜边上射影的⽐例中项。
每⼀条直⾓边是这条直⾓边在斜边上的射影和斜边的⽐例中项。
符号语⾔：如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD 是斜边BC上的⾼，则有射影定理如下：➊AD^2=BD\cdot DC➋AB^2=BD\cdot BC➌AC^2=CD\cdot BC证明：这主要是由相似三⾓形来推出的，例如，证明AD^2=BD\cdot DC ，在\triangle BAD 与\triangle ACD 中，∠B=∠DAC ，∠BDA=∠ADC=90°，故\triangle BAD\sim\triangle ACD ，所以 \cfrac{AD}{BD}＝\cfrac{CD}{AD}，所以得到，AD^2=BD\cdot DC . 其余仿此证明；注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
⽐如由公式➋+➌得到，AB^2+AC^2=BD\cdot BC+CD\cdot BC=(BD+CD)BC=BC^2，即AB^2+AC^2=BC^2，这就是勾股定理的结论。
射影定理2任意三⾓形，⼜称“第⼀余弦定理”，其内容为：三⾓形的任意⼀边的长等于其他两边在这条边上的射影之和。
符号语⾔：设\triangle ABC 的三边是a 、b 、c ，它们所对的⾓分别是A 、B 、C ，则有：➊a ＝b\cdot\cos C ＋c\cdot\cos B➋b ＝c\cdot\cos A ＋a\cdot\cos C➌c ＝a\cdot\cos B ＋b\cdot\cos A[证法1]：设点C 在直线AB 上的射影为点D ，则AC 、BC 在直线AB 上的射影分别为AD 、BD ，且AD=b\cdot\cos A ，BD=a\cdot\cos B ，故c=AD+BD=b\cdot\cos a ＋a\cdot\cos B . 同理可证其余。
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
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03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
三角函数的射影定理
三角函数的射影定理介绍三角函数是数学中非常重要的概念之一，可以用来描述在直角三角形中角的关系。
而射影定理是三角函数中的一个重要定理，它给出了一个角的正弦，余弦和正切的定义。
射影定理的定义三角函数的定义在直角三角形中，我们定义了三个三角函数：正弦、余弦和正切。
首先，我们考虑一个直角三角形ABC，假设∠ABC是直角：1.正弦（Sine）：正弦是一个角的对边与斜边的比值，记作sin(A) = a/c。
2.余弦（Cosine）：余弦是一个角的邻边与斜边的比值，记作cos(A) = b/c。
3.正切（Tangent）：正切是一个角的对边与邻边的比值，记作tan(A) = a/b。
三角函数的定义使我们可以通过三个已知量之间的关系来求解未知量，从而在数学和物理等领域中得到广泛应用。
射影定理的表述在任意三角形ABC中，我们可以将任意一条边射影到另一条边上，从而得到新的长度。
射影定理描述了在任意三角形中，两个相似的三角形的对应边的比值相等。
具体而言，假设∠ABC和∠DEF是相似的角，∠ABC的边AC和∠DEF的边DF相交于点B。
那么，射影定理给出了以下三个关系：1.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的正切值相等：tan(∠ABC) =tan(∠DEF)。
2.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的正弦值的比值等于两个对应边的比值：sin(∠ABC)/sin(∠DEF) = AB/DE。
3.在∠ABC和∠DEF相似的角中，两个角的余弦值的比值等于两个对应边的比值：cos(∠ABC)/cos(∠DEF) = AB/DE。
证明射影定理证明角的正切值相等首先，考虑∠ABC和∠DEF，假设∠ABC的边AC和∠DEF的边DF相交于点B。
我们可以通过计算三角形ABC和三角形DEF的对应边的比值来证明角的正切值相等。
根据三角函数的定义，我们知道tan(∠ABC) = a/b，tan(∠DEF) = d/f。
根据相似三角形的性质，我们知道∠ABC和∠DEF是相似的，因此对应边的比值相等。
直角三角形的射影定理
02
三角函数方程求解
通过射影定理可以将某些三角函 数方程转化为代数方程进行求解 。
03
三角函数不等式求 解
通过射影定理可以将某些三角函 数不等式转化为代数不等式进行 求解。
05
射影定理在物理学中的应用
力学中的平衡问题
01 02
力的分解
在力学中，当一个力作用于一个物体时，该力可以分解为两个分力，这 两个分力分别与物体的两个直角边相对应。根据射影定理，可以通过已 知的两个分力求出原力的大小和方向。
在高级数学中，射影定理可以通过向量和矩阵的知识进行 更深入的理解和拓展。例如，可以通过向量投影的概念解
释射影定理，或者利用矩阵运算解决相关问题。
对未来学习的建议
深入学习相似三角
形
相似三角形是射影定理的基础， 建议深入学习相似三角形的性质 、判定和应用，以便更好地理解 和应用射影定理。
掌握三角函数知识
三角函数是解决三角形问题的重 要工具，建议熟练掌握三角函数 的定义、性质和计算方法，以便 在解三角形问题时灵活运用。
拓展数学视野
除了射影定理和相似三角形外， 数学中还有许多其他有趣且实用 的概念和定理。建议广泛涉猎数 学知识，拓展数学视野，提高数 学素养。
感谢您的观看
THANKS
06
总结与拓展
射影定理的重要性总结
1 2
揭示直角三角形性质
射影定理揭示了直角三角形中边与角之间的特殊 关系，是理解直角三角形性质的重要工具。
沟通相似三角形与三角函数
射影定理将相似三角形与三角函数联系起来，为 解三角形问题提供了更多思路和方法。
3
应用于实际问题
射影定理在测量、建筑、物理等领域有广泛应用 ，掌握该定理有助于解决实际问题。
第一章 §1 第三课时 直角三角形的射影定理
CD⊥AB， 所以由射影定理可得： CD2＝AD·BD， CD2 16 4 3 所以AD＝ BD ＝ ＝ . 3 4 3
利用射影定理解决证明问题
[例2]
如图，在△ABC中，∠BAC＝
90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB 于 E. 求证：(1)AB·AC＝AD·BC； (2)AD3＝BC·BE·CF.
即
2 x x2 － 1 2 2 2 ＋ ＝ 1 ， 2 x
x2 － 1 x4 所以 2 ＋ ＝1. x 4
整理得x ＝4.所以x＝ 2. 所以AC＝ 2. 3
6
3
答案： 2
3
三、解答题 9．如图所示，在△ABC中CD⊥AB，BD＝AB 1 － AC，求∠BAC. 2
本课时主要考查利用射影定理求线段长与证明问题，属中低 档题． [考题印证] 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上异 于A，B的点，CD⊥AB，垂足为D，已知AD＝ 2，CB＝4 3，则CD＝ .
[命题立意 ] 本题主要考查利用射影定理计算线段长问题．
[自主尝试 ] 由射影定理知CD2＝AD·BD， BC2＝BD·AB ∴BC2＝(AB－AD)·AB. 即AB2－2AB－48＝0. ∴AB＝8，∴BD＝6，故CD2＝2×6＝12， ∴CD＝2 3.
答案： D
2 2
图1
二、填空题 5．如图所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，点C在 AB上的正射影为 D，且AC＝3，AD＝2， 则AB＝ .
解析：∵AC⊥BC，又D是C在AB上的正射影， ∴CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB. AC2 9 又AC＝3，AD＝2，∴AB＝ AD ＝ . 2 9 答案： 2
答案：C
3．在△ABC中，CD⊥AB于点D，下列不能确定△ABC为直角 三角形的是 A．AC＝2，AB＝2 2，CD＝ 2 B．AC＝3，AD＝2，BD＝2 12 C．AC＝3，BC＝4，CD＝ 5 D．AB＝7，BD＝4，CD＝2 3 解析：在A中，AD＝ 2 ，AC2＝AD·AB，故△ABC为直角三 角形；在B中，CD＝ 5 ，CD2＝5≠AD·DB＝4，故△ABC不 是直角三角形，同理可证C，D中三角形为直角三角形．
直角三角形的射影定理
分析:先用射影定理求出AD,从而求出DB,再用
射影定理求出CD.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴AC2=AD·AB,CD2=AD·DB.
∴AD=
2
=
202
25
= 16.
∴DB=AB-AD=25-16=9.
∴CD= · = 16 × 9 = 12.
题型一
题型二
题型三
反思1.本题可先用勾股定理求出BC,再用射影定理求出BD,最后
四
直角三角形的射影定理
1.掌握正射影即射影的概念,能画出点和线段的射影.
2.理解并掌握射影定理,并能解决有关问题.
用射影定理证明勾股定理
剖析:如图,在Rt△ABC中,AC⊥CB,CD⊥AB于点D,则由射影定理
可得AC2=AD·AB,BC2=BD·BA,
则AC2+BC2=AD·AB+BD·BA=(AD+BD)·AB=AB2,即
AC2+BC2=AB2.
由此可见,利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积
割补的方法证明勾股定理的,现在我们又用射影定理证明了勾股定
理,而且这种方法简洁明快,比用面积割补的方法要方便得多.
题型一
题型二
题型三
题型一
与射影定理有关的计算问题
【例1】 若CD是Rt△ACB斜边AB上的高,AB=25,AC=20,试确定
cm,DB=6 cm,求CD,AC,BC的长.
解:∵AC⊥CB,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB=2×6=12,
∴CD= 12 = 2 3(cm).
∵AC2=AD·AB=2×(2+6)=16,
∴AC= 16 = 4(cm).
高二数学直角三角形的射影定理
2
AB
=(AD＋DB)2
=AD 2＋2AD
·DB
＋DB2
AC2＋BC2 =AB2 AC2－AD2 =CD2 BC2－BD2 =CD2
C
A
DB
阅读：课本P21例1例2 完成习题1．4 练成才之路P23--26
直角三角形的射影定理
吁学滨 E-mail： yuxuebin_888@
.A
B
1.射影：
M B’ A’ N
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线
MN上的影子应是什么？ 点A′
（2）线段留在MN上的影子是什么？
定义：
线段A’B’
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂
线，垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线
段AB在直线l上的正射影，简称射影。
讨论：
1．线段在直线上的射影结果 点或线段
2．直线在直线上的射影结果 点或直线
已知直角三角形ABC，CD垂直AB
问：1．图中有几个Rt△?
2．有几对△相似？ C
3．CD2 =？ AD·DB
AC2 =？ AD·AB A
DB
BC2 =？ BD·BA
白杏仁色水牛模样的邮票彩玉额头，前半身是绿宝石色菱角模样的怪鳞，后半身是尖细的羽毛。这巨魔长着青远山色水牛似的脑袋和紫罗兰色菊花模样的脖子，有着深紫色洋 葱形态的脸和暗紫色肥肠似的眉毛，配着淡白色蕉叶一样的鼻子。有着水青色磁盘形态的眼睛，和暗灰色狐妖模样的耳朵，一张水青色龟壳模样的
DB
1．直角三角形中,斜边
上的高线是两条直角 CD2 AD DB
边在斜边上的射影的 比例中项;
AC 2
AD AB
2．每一条直角边是这 条直角边在斜边上的
三角形射影定理
几何证明射影就是正投影，从一点到过顶点垂线垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
直角三角形射影定理直角三角形射影定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD·DC，（2）（AB）2=BD·BC ，（3）（AC）2=CD·BC 。
证明：在△BAD与△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠D AC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴AD/BD＝CD/AD，即（A D）^2=BD·DC。
其余类似可证。
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）2即（AB）2+（AC）2=（BC）2。
任意三角形射影定理任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有a＝b·cosC＋c·cosB，b＝c·cosA＋a·cosC，c＝a·cosB＋b·cosA。
注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。
射影定理
编辑词条射影定理百科名片射影定理直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
公式如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：（1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
等积式（４）ABXBC=BDXAC (可用面积来证明）目录[隐藏]射影直角三角形射影定理的证明任意三角形射影定理射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。
一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。
[编辑本段]直角三角形射影定理的证明证明：一、在△BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴AD/BD＝BD/CD，即（BD）²=AD·DC。
其余类似可证。
(也可以用勾股定理证明)注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2;。
这就是勾股定理的结论。
二、已知:三角形中角A=90度,AD是高.用勾股证射影:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-B D^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*C D.运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2= CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.综上所述得到射影定理同样也可以利用三角形面积知识进行证明。
射影定理与三角形
射影定理与三角形
射影定理在三角形中主要应用于直角三角形，它描述的是直角三角形中斜边与其两直角边在斜边上的射影之间的比例关系。
具体表述如下：
在直角三角形ABC中（假设∠ACB=90°），设CD是斜边AB上的高，垂足为D。
根据射影定理：
1.斜边上的高CD是两直角边AC和BC在斜边AB上射影AD 和BD的比例中项，即有：
（CD^2=AD.BD）
2.对于直角三角形的任一直角边，比如AC，它等于它在斜边上的射影AD与斜边AB的乘积除以其自身，即：
（AC^2=AD.AB）
同理，
（BC^2=BD.AB）
此外，值得注意的是，提到的“第一余弦定理”并非直角三角形的射影定理，而是适用于任意三角形的一个定理，它指出三角形中任
何一边等于其他两边在该边上的投影的和乘以各自对应的角度余弦值的积。
通常形式为：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
其中，a、b、c分别为三角形的三边，A是不在边a上的角度。
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解:
A
D
B
AC 2 AD AB 2 2 6 16,
BC 2 BD AB 6 2 6 48, BC 48 4 3 cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
直角三角形中的成比例线段
书 P137
B
2 所以：AC AB DA
A
D
CD DB CB CDB 2 同理，得： ACB CB AB DB ∽ AC CB AB
ACD ∽
AC CD AD CBD CD 2 BD AD CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
RtCDB DFCB
2 B
B
CEF ∽ ECF BCA
1 B
CBA
直角三角形中的成比例线段
书 P138
没问题吧！
T2 T3
参考答案： 2.证明： ACB Rt CA 2 AD AB AC AD CDAB AC BC CD AB BC CD CA CD CB AD ACB 3.不能。只能证明 CDB ∽ 。
参考答案：
T1
1. （1）CD=6cm, AC=3 13 cm.
144 60 （2）BD= cm, CD = cm. 13 13 25 15 （3）AB= cm, AC= cm. 4 4
（4）CD=
你都做对 了吗？
3 cm,BC= 2 3cm.
你都弄懂了吗？ (1)在Rt ABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段 AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可 求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
大家先回忆一下：
C =90 ,有_____________________. 在Rt ABC中，
AC BC AB
2 2
2
(1)一锐角相等
(2)任意两边对应 成比例.
直角三角形中的成比例线段
如图， ABC中，C 90, CDAB. C 由母子相似定理，得 ADC ∽ ACB AC CD DA 推出：AB BC CA
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
BC BD AB 2 AC AD AB 2 CD AD DB
2
C
A
D
B
用文字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条
直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
这就是射影定理
初中数学北师大版
直角三角形射影定理
教 学 目 标
复 习
新 课
例 题
练 习
小 结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。 例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E CDAB 2 CD CE CA D DEAC A CDAB 2 CD CF CB DFBC CE CA CF CB CE CF
C AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
CD是BD,AD的比例中项。
A D B
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？
这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影： （1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN B 上的影子应是什么？ （2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’ 定义： 过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ 直线l上的正射影，简称射影。
证法一：
B
CB CA ECF BCA
CEF
∽
CBA.
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
1
C
F
证法二：
RtCDF中，CD为外接圆的直径 RtCDE中，CD为外接圆的直径
E
A
2
D
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
•直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形 与原三角形相似（母子相似定理） •（由面积得） 两直角边积等于斜边上的高与斜边的积 • 射影定理
直角三角形中的成比例线段
这节课的知识， 你都听懂了吗？
直角三角形中的成比例线段
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A
A’ N B
B’
直角三角形中的成比例线段
各种线段在直线上的射影的情况： A B A l A’
A B’
B l
A’
B’
A’
B B’ l
如图,CD是 Rt ABC 的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影,
A
C
D
B
BD是直,且必须
有斜边上的高
这里犯 迷糊， 可不行！
例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD 2 AD DB 2 6 12, CD 12 2 3 cm;
AC 16 4cm;
ACB 90，则能推出 若已知 ABC是直角三角形。
CDAB
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件 •求边注意联系方程与勾股定理 •如图中共有6条线段，已知任意2条， C 求其余线段。
A
D
B
•直角三角形两锐角互余 •勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
直角三角形中的成比例线段
具体题目运用：
AC BC CD AB
BC BD AB 2
2
C
AC AD AB CD 2 AD DB
A
D
B
根据应用选取相应的乘积式。
C
利用射影定理证明勾股定理: A
2 2
D
2
B
AC BC AD AB BD AB AB
例2. 如图,在 ABC 中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F , 求证 : CEF ∽
CBA.
C
F
E
分析:欲证 CEF ∽ CBA. A D
B
已具备条件
ACB ECF公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA