【小初高学习]2016-2017学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.2.2 函数的和、差、积、商
【小初高学习】高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.3导数的实际应用课堂导学案
3.3.3 导数的实际应用课堂导学三点剖析 一、求最值【例1】某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p =24 200-51x 2,且生产x 吨的成本为R =50 000+200x 元.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？ 解：每月生产x 吨时的利润为f (x )=(24 200-51 x 2)x -(50 000+200x )=-51x 3+24 000x -50 000(x ≥0). 由f ′(x )=-51x 2+24 000=0.解得x 1=200,x 2=-200(舍去).因f (x )在［0,+∞)内只有一个点x =200使f ′(x )=0,故它就是最大值点，且最大值为f (200)=-51(200)3+24 000×200-50 000=3 150 000.答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 温馨提示用导数解应用题，求值一般方法：求导，令导数等于0，求y ′=0的根，求出最值点，最后写出解答.二、生活中的优化问题【例2】 已知某厂生产x 件产品的成本为c =25 000+200x +401x 2(元). (1)要使平均成本最低，应生产多少件产品？(2)若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？点拨：本题已经直接给出了函数关系式，可用导数求最值的方法直接求解. 解析:(1)设平均成本为y 元，则.40100025)4020000025(),0(40200000254012000002522+-='++=>++=++=x x x y x x x x x x y 令y ′=0，得x 1=1 000,x 2=-1 000(舍去).当在x =1 000附近左侧时，y ′<0; 在x =1 000附近右侧时，y ′>0; 故当x =1 000时，y 取得极小值.由于函数只有一个点使y ′=0，且函数在该点有极小值，那么函数在该点取得最小值，因此要使平均成本最低，应生产1 000件产品.(2)利润函数为L =500x -(25 000+200x +402x )=300x -25 000-402x . ∴L ′=(300x -25 000-402x )′=300-20x . 令L ′=0，得x =6 000，当x 在6 000附近左侧时，L ′>0;当x 在6 000附近右侧时L ′<0，故当x =6 000时，L 取得极大值.由于函数只有一个使L ′=0的点，且函数在该点有极大值，那么函数在该点取得最大值.因此，要使利润最大，应生产6 000件产品. 三、导数在生活中的应用【例3】 如图所示，水渠横断面为等腰梯形.(1)若渠中流水的横断面积为S ，水面的高为h ，当水渠侧边的倾斜角Φ为多大时，才能使横断面被水浸湿的周长为最小？(2)若被水浸湿的水渠侧边和水渠底面边长都等于a ，当水渠侧边倾斜角Φ多大时，水流的横断面积为最大？解：(1)依题意，侧边BC =h ·(s in Φ)-1,设下底AB =x ，则上底CD =x +2h c o t Φ,又S =21(2x +2h c o t Φ)h=(x +h c o t Φ)h, ∴下底x =hS-h c o t Φ,∴横断面被水浸湿周长l =h S h h h h S h +ΦΦ-Φ=Φ-+Φsin cos sin 2)cot (sin 2(0<Φ<2π). ∴l ′Φ=.sin sin cos 222Φ+ΦΦ-hh 令l ′Φ=0,解得cos Φ=21,∴Φ=3π.根据实际问题的意义，当Φ=3π时，水渠横断面被水浸湿的周长最小.(2)设水渠高为h ，水流横断面积为S ,则S =21(a +a +2a cos Φ)·h =21(2a +2a cos Φ)·as in Φ=a 2(1+cos Φ)·s in Φ(0<Φ<2π). ∴S ′=a 2［-s in 2Φ+(1+cos Φ)cos Φ］=a 2(2cos Φ-1)(cos Φ+1). 令S ′=0,得cos Φ=21或cos Φ=-1(舍)，故在(0,2π)内，当Φ=3π时，水流横断面积最大，最大值为S=a 2(1+cos3π)s in 3π=433a 2.各个击破 类题演练1已知A 、B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的速度为v 千米/时(8<v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v =12千米/时时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？解：设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k (k >0),则y 1=kv 2，当v =12时，y 1=720,∴720=k ·122,得k =5.设全程燃料费为y ,由题意y =y 1·,8000182002-=-v vv∴y ′=2222)8(000160001)8(0001)8(0002--=---v vv v v v v .令y ′=0,∴v =16.∴当v 0≥16时，v =16时全程燃料费最省；当v 0<16时，即v ∈(8,v 0)时y ′<0，即y 在(8，v 0］上为减函数， ∴当v =v 0时，y min =.8000102-v v综上，当v 0≥16时，v =16千米/时全程燃料费最省. 当v 0<16时，则v =v 0千米/时时全程燃料费最省.变式提升1求f (x )=16522++-x x x 在［-1,3］上的最大值和最小值.解：①求出所有导数为0的点，为此，解方程f ′(x )=0,即f ′(x )=0)1()12(5222=+--x x x即x 2-2x -1=0得x 1=1-2与x 2=1+2且x 1,x 2∈［-1,3］相应的函数值为：2257)21(,2257)21(-=++=-f f ②计算f (x )在区间端点上的值为：f (-1)=0,f (3)=0③通过比较可以发现，f (x )在点x 1=1-2处取得最大值;2257+在x 2=1+2处取得最小值2257-.类题演练2用边长为120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱.问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？解：设水箱底边长为x cm ，则水箱高为 h=60-2x(cm). 水箱容积V =V (x )=x 2h =60x 2-23x (0<x <120)(cm 3). V ′(x )=120x -23x 2. 令V ′(x )=0,得x =0(舍)或x =80.当x 在(0，120)内变化时，导数V ′(x )的正负如下表：因此在=80处，函数()取得极大值，并且这个极大值就是函数()的最大值. 将x =80代入V (x ),得最大容积V =802×60-2803=128 000 cm 3. 答：水箱底边长取80 cm 时，容积最大.其最大容积为128 000 cm 3.变式提升2铁路上AB 段的距离为100千米，工厂C 到铁路AB 的距离BC =40千米，今要在AB 之间设一转运站D .向工厂修一条公路，使从原料供应站A 运货到工厂C 所用费用最省.问D 点应设在何处？(已知每千米铁路与公路运费之比为3∶5)解：设D 与B 间距离为x 千米，则C 与D 间距离为2240x +千米.A 与D 间距离为(100-x )千米，设铁路与公路运费的比例为k ，则：y =k ［3(100-x )+52240x +］(0≤x ≤100),y ′=k ［-3+22405xx +］.令y ′=0，解得x =30.因此，当B 、D 距离30千米时，所用费用最省.类题演练3如下图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积成反比.现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)？解：设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y =abk，其中k >0为比例系数. 依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小. 根据题设，有4b +2ab +2a =60(a >0,b >0) 得b =aa+-230(0<a <30), 于是y =,30)2(23022a a a k aa a k ab k -+=+-= ∵y ′=222)30()230)(2()30(a a a a k a a k --+-- =0时，a =6或a =-10(舍去).由于本题只有一个极值点，故当a =6时，b =3时为所求.变式提升3一报刊图文应占S cm 2，上，下边宽都是a cm ，左右边均为b cm ，若只注意节约用纸，问这报刊的长宽各为多少？分析：解有关实际问题的最大值、最小值时，要注意以下几点：①设出两个变量，依据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系.②确定函数关系式中自变量的定义区间.③求函数的最大值或最小值.④所得的结果要符合问题的实际意义. 解：要节约用纸，就是要求纸的利用率最高，而利用率K =纸的总面积图文所占面积,设图文所占面积的长为x ，则宽为xS，如下图所示：则)2)(2(a xSb x S K ++=)0(,)2)(2(>++=x S ax b x Sx,)2()2()(2222ax S b x ax bS S K ++-='令K′=0，即bS -ax 2=0, 解得x =abS ,在x =a bS 附近，K′由正到负，因此有极大值也是最大值，从而得报刊的长为a bS 2+2b ，宽为baS+2a 时，图文所占面积最大.。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。
（lnx)′=x B。
（cosx)′=sinxC。
(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与
y＝f(x) y＝logax (a>0，a≠1，x>0)
y＝ln x
y＝sin x y＝cos x
y′＝f′(x) _y_′___＝___x_l_n1__a__
_____y_′__＝___1x_____ _y_′__＝__c_o_s_x__ _y_′__＝__－__s_in__x_
基本初等函数的导数公式的特点 (1)常数函数的导数为零． (2)有理数幂函数 f(x)＝xα 的导数依然为幂函数，且系数为 原函数的次数，幂指数是原函数的幂指数减去 1. (3)正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函 数的相反数． (4)指数函数的导数依然为指数函数，且系数为原函数底数 的自然对数．
3.2
第 三
导 数 的
章运
算
3.2. 1 &
3.2. 2
常数 与幂 函数 的导 数导 数公 式表
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
3.2
导数的运算
3．2.1&3.2.2 常数与幂函数的导数 导数公式表
利用导数的定义可得 x′＝1，(x2)′＝2x，(x3)′＝3x2.
问题 1：当 n∈N＋时，y＝xn 的导数公式是什么？
所以曲线在点 P(－1，－1)处的切线斜率为 k＝－3，
(3 分)
则切线方程为 y＋1＝－3(x＋1)，即 3x＋y＋4＝0.
设直线 m 的方程为 3x＋y＋b＝0(b≠4)， 所以 |b3－2＋41| 2＝ 10，所以|b－4|＝10， 所以 b＝14 或 b＝－6，
(6 分) (8 分)
所以直线 m 的方程为 3x＋y＋14＝0 或 3x＋y－6＝0.
(12 分)
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数
[自主梳理]
函数 f(x)的单调性 单调递增 单调递减
常数函数
第四页，共三十二页。
二、用导数研究函数单调性的一般步骤 1．确定函数 f(x)的定义域； 2．求 f′(x)，令 f′(x)＝0 ，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3．把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的 顺序排列起来，然后用这些点把函数 f(x)的定义域分成若干个小区间； 4．确定 f′(x)在各小开区间内的 符号，根据 f′(x)的符号判定函数 f(x)在各个相应小 开区间内的增减性．
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第十二页，共三十二页。
探究二 判断函数的单调性
[典例 2] 设函数 f(x)＝x－1x－aln x(a∈R)，讨论 f(x)的单调性．
[解析] f(x)的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x)＝1＋x12－ax＝x2－xa2x＋1.
令 g(x)＝x2－ax＋1，
其判别式 Δ＝a2－4.
A．b2－4ac≤0
B．b>0，c>0
C．b＝0，c>0
D．b2－3ac≤0
解析：∵f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0 恒成立，而 a>0，∴Δ＝4b2－12ac≤0，即 b2－ 3ac≤0.
答案：D
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第二十八页，共三十二页。
3．函数 y＝(3－x2)ex 的单调递增区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，－3)和(1，＋∞)
D．(－3,1)
解析：y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex>0，由于 ex>0， 则－x2－2x＋3>0，解得－3<x<1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)． 答案：D
高中数学第三章导数及其应用32导数的计算课件新人教A版选修1
sin x
x
，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′
(π)＝________．
解析：因为f′(x)＝（sin
x）′x－sin x2
x·（x）′
＝x·cosxx2－sin x
所以f′(π)＝π·cos
π－sin π2
π＝－ππ－2 0＝－π1 .
答案：－π1
5．曲线 y＝ln x 在 x＝a 处的切线倾斜角为π4，则 a ＝____．
(2)准确记忆公式． (3)根式、分式求导时，应将根式、分式转化为幂的 形式． 2．解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构 特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算， 在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
x x
＋
1－ 1＋
x x
＝
（1＋ x）2 1－x
＋
（11－－xx）2＝2（11－＋xx）＝1－4 x－2，
所以
y′
＝
1－4 x－2
′
＝
4′（1－x）－4（1－x）′ （1－x）2
＝
4 （1－x）2.
类型 3 导数的应用(巧思妙解) [典例 3] 求抛物线 y＝x2 上的点到直线 x－y－2＝0 的最短距离． [常规解法]设与抛物线 y＝x2 相切且与直线 x－y－2 ＝0 平行的直线 l 的方程 x－y＋m＝0(m≠－2)，
1．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝c f(x)＝xa(a∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
高中数学 第三章3.2 导数的应用(一)(共80张PPT)
当 极值点，求 a 的取值范围． x∈(－∞，2－ 3)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，2－ 3)上单调递增；
当 x∈(2－ 3， 2＋ 3)时， f′(x)<0， f(x)在(2－ 3， 2＋ 3)上单调递减； 当 x∈(2＋ 3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(2＋ 3，＋∞)上单调递增． 综上，f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)和(2＋ 3，＋∞)， f(x)的单调减区间是(2－ 3，2＋ 3)．
是 f(x)在(a，b)上单调递 增的充分条件． 3． 对于可导函数 f(x)， f′(x0) ＝0 是函数 f(x)在 x＝x0 处有极值的必要不充分 条件．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4 5
答案
3
[－3，＋∞)
解析
②③
C B
基础知识
题型分类
思想方法
点是不是函数的极值点． (2)本题的易错点为不对 1－a2 进 行讨论，致使解答不全面．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 2 ex (2011· 安徽)设 f(x)＝ ，其中 a 为正实数． 1＋ax2 4 (1)当 a＝ 时，求 f(x)的极值点； 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围．
(1)当 t＝1 时， 求曲线 y＝f(x)在点(0， f′(0)＝－6.所以曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为 y＝－6x. (2)f′(x)＝12x2＋6tx－6t2. f(0))处的切线方程； t 令 f′(x)＝0，解得 x＝－t 或 x＝ . 2 (2)当 t≠0 时，求 f(x)的单调区间． 因为 t≠0，所以分两种情况讨论： t ①若 t<0，则 <－t.当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： 2 t t －∞， ，－t (－t，＋∞) x 2 2
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数
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第二十四页，共三十八页。
极大值为 f(1)＝a＋2. 由单调性、极值可画出函数 f(x)的大致图象，如图所示， (2)结合图象，当极大值 a＋2＝0 时，有极小值小于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个 交点，即方程 f(x)＝0 恰有两个实数根，所以 a＝－2 满足条件；当极小值 a－2＝0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两 个实数根，所以 a＝2 满足条件． 综上，当 a＝±2 时，方程恰有两个实数根．
5π 6
0
5π－6 3 12
(56π，π) ＋
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝2－x82.
令 f′(x)＝0，得 x1＝2，x2＝－2. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－2) －2
(－2,0)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－8
因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值－8；
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01 课前 自主(zìzhǔ)梳理 02 课堂(kètáng) 合作探究
03 课后 巩固提升 课时(kèshí)作业
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[自主梳理]
一、极值点与极值
1．极小值点与极小值
如图，函数 y＝f(x)在点 x＝a 的函数值 f(a)比它在点 x＝a 附近其
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二、求函数 f(x)极值的方法 解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0 时， (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) > 0，右侧 f′(x) < 0，那么 f(x0)是极大值． (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)< 0，右侧 f′(x) > 0，那么 f(x0)是极小值．
高中数学第三章导数及其应用3
3.3.2函数的极值与导数课后篇巩固提升1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是()A.0B.1C.5D.6f(x)=2x3-3x2+a,∴f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),令f'(x)=0,得x=0或x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.2.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)在区间(a,b)内的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4f'(x)与x轴的两个交点的横坐标分别为c,d,其中c<d,由图知在(a,c),(d,b)上f'(x)≥0,所以此时函数f(x)在(a,c),(d,b)内单调递增,在(c,d)上,f'(x)<0,此时f(x)在(c,d)内单调递减,所以x=c时,函数取得极大值,x=d时,函数取得极小值.则函数y=f(x)的极小值点的个数为1.故选A.3.函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象如图所示,则x12+x22=()A.89B.109C.16D.454.若函数f(x)=x2-(a+2)x+a ln x既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2)∪(2,+∞)B.(0,2)∪(2,+∞)C.(2,+∞)D.{2}f(x)=x2-(a+2)x+a ln x既有极大值又有极小值,且f'(x)=2x-a-2+ax =2x2-(a+2)x+ax=(2x-a)(x-1)x(x>0),所以f'(x)=0有两个不相等的正实数解,所以a2>0,且a2≠1,解得a>0,且a≠2.故选B.5.已知a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为()A.2B.3C.6D.9f(x)=4x3-ax2-2bx+2,∴f'(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=12-2a-2b=0.∴a+b=6,∴t=ab≤(a+b2)2=9(当且仅当a=b=3时等号成立),∴t max=9.故选D.6.函数f(x)=a+lnxx(a∈R)的极大值等于.f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=(1-a)-lnxx2, 令f'(x)=0,得x=e1-a,当0<x<e1-a时,f'(x)>0;当x>e1-a时,f'(x)<0,所以函数的极大值等于f(e1-a)=1e1-a =e a-1.a-17.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为.,f'(x)=3x2+2x-a,则f'(-1)f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5,另外,当a=1时,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)内恰有一个极值点,当a=5时,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)内没有极值点.故实数a的范围为[1,5).8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值52.(1)求a,b的值;(2)求函数的另一个极值.因为f(x)=x3+ax2+bx+4,所以f'(x)=3x2+2ax+b.依题意可得f'(1)=0,f(1)=52,即{3+2a +b =0,1+a +b +4=52,解得a=-12,b=-2. (2)由(1)知f (x )=x 3-12x 2-2x+4,f'(x )=3x 2-x-2=(3x+2)(x-1).令f'(x )=0,得x=-23或x=1,当x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:所以函数的另一个极值在x=-23处取得,是极大值,极大值为f (-23)=13027.9.当a为何值时,方程x 3-3x 2-a=0恰有一个实根、两个不等实根、三个不等实根?有没有可能无实根? f (x )=x 3-3x 2,则f (x )的定义域为R .由f'(x )=3x 2-6x=0,得x=0或x=2,所以当x<0或x>2时,f'(x )>0;当0<x<2时,f'(x )<0.函数f (x )在x=0处有极大值0,在x=2处有极小值-4.如图,故当a>0或a<-4时,原方程有一个根;当a=0或a=-4时,原方程有两个不等实根;当-4<a<0时,原方程有三个不等实根;由图象可知,原方程不可能无实根.。
高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用5111数学
2021/12/9
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变式训练2
如图所示，有甲、乙两个(liǎnɡ ɡè)工厂，甲厂
位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙
厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相
距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到
甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则
四边(sìbiān)翻转90°角，再焊接而成如图所示的容器，问 该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是 多少？
2021/12/9
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解：设容器的高为x cm，容器的容积(róngjī)为V(x) cm3， 则V(x)＝x(90－2x)(48－2x) ＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)． 求V(x)的导数，得 V′(x)＝12x2－552x＋4320 ＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)． 令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)． 因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得 最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝
5ax x2＋402
.令 y′＝0，解得
x＝30.
在(0,50)上，y 只有一个极值点，
根据问题的实际意义，函数在 x＝30(km)处取得最小
值，
此时 AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管
费用最省
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考点三 利润(收益)最大问题
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第十六页，共二十六页。
4分 6分 8分 10 分
高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.3函数的最大(小)值与导数
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①若 a>0，则 f ′(x)，f(x)随 x 变化的情况如表：
x
(－1,0)
0
f ′(x)
＋
0
f(x)
最大值 3
∴当 x＝0 时，f(x)取最大值 f(0)＝b＝3.
又 f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3，
f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当 x＝2 时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29，
第六页，共三十七页。
3．已知函数 y＝－x2－2x＋3 在区间[a,2]上的最大值为145，则 a＝________.
解析：y′＝－2x－2，令 y′＝0，得 x＝－1， ∴函数在(－∞，－1)上单调递增， 在(－1，＋∞)上单调递减．
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若 a>－1， 则最大为 f(a)＝－a2－2a＋3＝145， 解之得 a＝－12(a＝－32舍去)． 若 a≤－1， 则最大为 f(－1)＝－1＋2＋3＝4≠145. 答案：－12
[解析] (1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，∴当 x＝－t 时，f(x)取最小值 f(－ t)＝－t3＋t－1，即 h(t)＝－t3＋t－1.
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(2)令 g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，由 g ′(t)＝－3t2＋3＝0 得 t＝1 或 t
∴当 x＝2 时，f(x)取最大值，即－16a－29＝3，
∴a＝－2.
综上12/12：/2021 ab＝ ＝23， 或ab＝ ＝－ －22， 9.
第二十三页，共三十七页。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.3导数的几何意义b11b高二11数学
12/10/2021
第三页，共三十四页。
2．导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，就是曲线 y＝f(x)在 x＝x0 处的切线的斜__率__(x_ié_lǜ_)____，即 k＝___f′_(x_0)___＝
__Δl_xim→__0f_（__x_0_＋__Δ__Δx_）_x_－__f（__x_0_）_______．
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2．已知曲线 y＝f(x)＝2x2 上一点 A(2，8)，则点 A 处的切
线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
答案：C
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第六页，共三十四页。
3．若函数 f(x)在点 A(1，2)处的导数是－1，那么曲线 y＝ f(x)在点 A 处的切线方程是________． 答案：x＋y－3＝0
y′|x＝x0＝Δlxim→0 x0＋1ΔΔxx－x10＝－x120，
得所求直线方程为 y－y0＝－x120(x－x0)． 由点(2，0)在直线上，得 x20y0＝2－x0，再由 P(x0，y0)在曲 线上，得 x0y0＝1，联立可解得 x0＝1，y0＝1， 所求直线方程为 x＋y－2＝0.
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求曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在 x0 处的导数 f′(x0)，得到切线的斜率 k＝f′(x0)． (2)①根据直线的点斜式方程，得到切线方程 y－f(x0)＝f′ (x0)(x－x0)． ②如果切线平行于 y 轴，则切线方程为 x＝x0.
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第二十四页，共三十四页。
1．导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的 切线的斜率，即 k＝Δlxim→0 f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）＝f′(x0)， 物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． 2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲 线上．如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程 为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在切线上，则设出 切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．
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§3.2 导数的运算
3.2.2 函数的和、差、积、商的导数 课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．
1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即
[f (x )±g (x )]′＝______________.
2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．
3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.
一、填空题
1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.
2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．
3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.
4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．
5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．
6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4
)的值为__________． 7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x ＋2在x ＝0处的切线方程为____________．
8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t
(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.
二、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y ＝10x ；
(2)y ＝x ＋cos x x －cos x
； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；
(4)y ＝x ·tan x .
10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．
能力提升
11．已知点P在曲线y＝
4
e x＋1
上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范
围为__________．
12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．
2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．
3．2.2 函数的和、差、积、商的导数
知识梳理
1．和(或差) f ′(x )±g ′(x )
2．第一个函数乘第二个函数的导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )
3．分母的积 分母的导数 分母的平方 [f x g x ]′＝g x f x －f x g x g 2x (g (x )≠0)
作业设计
1．3x 2＋3x ·ln 3
解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13
的错误． 2．x －y ＋1＝0
解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y
＋1＝0.
3．18
解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，
由⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝－13f －＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧
－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝13. ∴a ＋b ＝5＋13＝18.
4．y ＝720x
解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，
所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.
故切线方程为y ＝720x .
5.12
e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，
∴在(2，e 2)处的切线斜率为e 2，
∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，
即y ＝e 2x －e 2.
当x ＝0时，y ＝－e 2，
当y ＝0时，x ＝1.
∴S △＝12×1×|－e 2|＝12
e 2. 6．1
解析 ∵f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4cos x ＋sin x ， ∴f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4sin x ＋cos x . ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22. ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝11＋2
＝2－1. 故f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 7．2x －y ＋3＝0
解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2
得f ′(x )＝cos x ＋e x ，
从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，
所以切线方程为y ＝2x ＋3.
8.12516
解析 ∵s ′＝2t －3t 2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516
(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.
(2)y ′＝
x ＋cos x x －cos x －x ＋cos x x －cos x x －cos x 2 ＝－sin x x －cos x －x ＋cos x ＋sin
x x －cos x 2 ＝－x ＋x sin x x －cos x 2
. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]
＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x log 2 011 e x ] ＝2x ln 2·cos x －2x
sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e.
(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x sin x cos x ′ ＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos x 2 ＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos x 2 ＝sin x cos x ＋x cos 2x ＋sin 2x cos x 2 ＝12sin 2x ＋x cos x 2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x
. 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x .
故曲线在点(π，π2)的切线斜率为2π－1，
所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)，
即(2π－1)x －y －π2＋π＝0.
11．[3π4
，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1e x ， ∵e x ＋1e x ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0， ∴α∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2
＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．
∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.
切点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，14. ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。