高二数学下知识点

一．常用逻辑用语

1. 四种命题，（原命题、否命题、逆命题、逆否命题） （1）四种命题的关系，

（2）等价关系（互为逆否命题的等价性）

（a ）原命题与其逆否命题同真、同假。（b ）否命题与逆命题同真、同假。 2. 充分条件、必要条件、充要条件

（1）定义：若p 成立，则q 成立，即

q p ⇒时，p 是q 的充分条件。同时q 是p 的必要条件。

若p 成立，则q 成立，且q 成立，则p 成立 ，即q p ⇒且p q ⇒，则p 与q 互为充要条件。

（2）判断方法： （i ）定义法，

（ii ）集合法：设使p 成立的条件组成的集合是A ，使q 成立的条件组成的集合为B ，若B A ⊆

则p

是q 的充分条件。同时q 是p 的必要条件。

若A=B ，则p 与q 互为充要条件。

（iii ）命题法：假设命题：“若p 则q ”。当原命题为真时，p 是q 的充分条件。 当其逆命题也为真时，p 与q 互为充要条件。 注意：充分条件与充分非必要条件的区别：

用集合法判断看，前者：集合A 是集合B 的子集；后者：集合A 是集合B 的真子集。 3. 全称命题、特称命题（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题） （1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 关键词 否定词 都是

不都是

至少一个

一个都没有

至多一个

至少两个

属于

不属于

4. 逻辑连结词“或”，“且”，“非”。

（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。 p q 非p p 或q p 且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假

假

真

假

假

注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。

二．圆锥曲线 一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段

以无轨迹方程为椭圆2121212

1212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12

222

b a b

y a x =+.

ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12

2

22 b a b

x a y =+.

②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+.

③椭圆的标准方程：

1222

2=+

b y a x 的参数方程为⎩⎨

⎧==θ

θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π

θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.

②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -=

=.

⑤准线：c a x 2±=或c

a y 2

±=.

⑥离心率：)10( e a

c

e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12

22

2 b a b

y a

x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆

)0(12

22

2 b a a

y b

x =+

上的一点，21,F F 为上、下焦点，则

由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002

2002

01 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右

减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222

2a b c a b d -=和),(2

a

b c

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆

)0(12

22

2 b a b y a x =+

的离心率是)(22b a c a

c

e -==

，方程t t b y a x (2

22

2=+

是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a

c

e =

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：

122

2

2=+b

y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan 2θ

b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2

cot 2θ

⋅b .

⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒

-=+=0201,ey a PF ey a PF

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

以无轨迹

方程为双曲线

2121212

1212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=- ⑴①双曲线标准方程：

)0,(1),

0,(12

22

22

22

2 b a b x a

y b a b y a x =-

=

-

.

一般方程：)0(12

2 AC Cy Ax =+.

⑵①i. 焦点在x 轴上：

顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b y

a x 或02222=-b

y a x

ii. 焦点在y 轴上：

顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2

±=. 渐近线方程：0=±b

x a y 或

022

2

2=-

b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θθtan se

c b y a x 或⎩⎨⎧==θθ

sec tan a y b x . ②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a

c

e =

. ④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a

b 2

2.

⑤参数关系a

c

e b a c =

+=,222. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

1

2

22

2=-b y a x

（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-

F M a ex F M '--='01a

ey F M a ey F M a

ey MF

a ey MF -'-='+'

-='+=-=020102

01

⑶等轴双曲线：双曲线2

22a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=

e .

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲

线.λ=-22

22b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

02

222=-b y a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：

)0(2

22

2≠=-

λλb

y a

x 的渐近线方程为

02

22

2=-

b

y a

x 如果双曲线的渐近线为

asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆