基础_巩固练习_直线与圆锥曲线

【巩固练习】
一、选择题
1．双曲线22
134
x y -=上一点P 到左焦点的距离与到左准线的距离之比为( )
2．椭圆22214x y m +=与双曲线22
212x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在
3．已知动点P (,)x y 24x =-，则动点P 的轨迹是( )
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 抛物线
D. 直线
4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜
率为|PF |＝( )
A ．．8 C ．D ．16
5. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－2
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26
二、填空题
7. 双曲线2224mx my -=的一条准线是1y =，则实数m 为________. 8．已知双曲线22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
9．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条．
10．如果直线l 过定点M (1,2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么l 的方程为________．
11．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.
三、解答题
12.过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有几条.
13．设双曲线C ：2
221(0)x y a a
-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围：
14．设双曲线22
22x y a b
-=1（0<a <b ）的半焦距为c ，直线l 过(a ,0)，(0,b )两点.已知原点到直线l 的距
c ，求双曲线的离心率.
15.已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点．
(1)求证：OA ⊥OB .
(2)当△OAB k 的值．
【答案与解析】
1.【答案】D
【解析】双曲线上一点到左焦点与到左准线的距离之比为离心率c e a ==3
. 2.【答案】A
【解析】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1，
对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3.
对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3，
故当m ＝±1时，它们有相同的焦点．
直接法：显然双曲线焦点在x 轴上，故4－m 2＝m 2＋2.
∴m 2＝1，即m ＝±1.
3．【答案】B
242x =-⇒=，它表示动点P 到定点（10，0）和到直线
x =4的距离之比是2，其轨迹是双曲线.
4. 【答案】 B
【解析】 由抛物线的定义得，|PF |＝|P A |，
又由直线AF 的斜率为P AF ＝60°.
△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝
04cos60
＝8. 5. 【答案】B 【解析】抛物线的焦点F (
2p ，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －2p ，即x ＝y ＋2
p ，将其代入y 2＝2px ＝2p (y ＋2p )＝2py ＋p 2，所以y 2－2py －p 2＝0，所以122y y +＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1，故选B.
6.【答案】D
【解析】|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，
∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.
7. \【答案】1
【解析】焦点在y 轴，m<0，由题意可知221m a c == 8．
【答案】⎡⎢⎣
⎦ 【解析】由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝
x ，当过点F 的直线与渐近线平行时，
满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知该直线斜率的取值范围是⎡⎢⎣
⎦. 9．【答案】3 【解析】已知双曲线方程为22
194
y x -=，故P (3,0)为双曲线的右顶点，所以过P 点且与双曲线只有一个公共点的直线共有三条(一条切线和两条与渐近线平行的直线)．
10．【答案】 x ＝1或y ＝4x －2
【解析】 当过M (1,2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝1，与抛物线有一个交点；当M (1,2)的直线的斜率存在时，设直线方程：y ＝k (x －1)＋2，与抛物线方程联立得2x 2－k (x －1)－2＝0，此时Δ＝0，解得k ＝4，故直线方程为y ＝4x －2.故x ＝1或y ＝4x －2.
11．【答案】 2
【解析】 设点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线方程为y ＝x －2p ，把x ＝y ＋2
p 代入y 2＝2px 得，y 2－2px －p 2＝0，∵|AB |＝8，∴|y 1－y 2|＝
，∴(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝
)2，∴(2p )2－4×(－p 2)＝32，又p >0，∴p ＝2.
12. 【答案】当斜率不存在时，x 1＋x 2＝2不符合题意．
因为焦点坐标为(1,0)，
设直线方程为y ＝k (x －1)，
由方程联立得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，
∴x 1＋x 2＝2224k k
+＝5， ∴k 2＝43
，即k
＝3k =± 因而这样的直线有且仅有两条．
13.【解析】由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=-.1,1222
y x y a x 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0.
242210.02 1.48(1)0.a a a a a a ⎧-≠⎪<
<≠⎨+->⎪⎩所以解得且
双曲线的离心率
22
11 1.021,626(
,2)(2,).a e a a a e e e +==+<<≠∴>≠+∞且且即离心率的取值范围为
14．【解析】由已知，l 的方程为a y+b x-ab =0, 原点到l 的距离为
3c ，则有2234c a b
=+, 又c 2=a 2+b 2, ∴243ab c =，两边平方，得16a 2(c 2-a 2)=3c 4.
两边同除以a 4并整理得3e 4-16e 2+16=0，∴e 2=4或243
e =. ∵ 0<a <b , 1b a >,221b a >,得22222212a b b e a a +==+>, ∴e 2
=4，故e =2.
15. 【解析】
(1)证明：如图所示，由方程联立消去x 后，整理得ky 2＋y －k ＝0.
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，
由根与系数的关系y 1·y 2＝－1.
∵A 、B 在抛物线y 2＝－x 上，
∴21y ＝－x 1，22y ＝－x 2，2212
12y y x x ⋅=. ∵k OA ·k OB ＝－1，∴OA ⊥OB .
(2)设直线与x 轴交于N ，显然k ≠0.
∴令y ＝0，则x ＝－1，即N (－1,0)．
∴S △OAB ＝S △OAN ＋S △OBN
＝
12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2| ＝12
|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB ＝12
·1·2212124y y y y +-＝1
22
14k +
∵S △OAB 12 解得16
k =±。