高斯求和讲解
四年级数学高斯求和讲解
四年级数学高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人.上学时.有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后.全班同学都在埋头计算.小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数.每对数的和都相等。
于是.小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法.真是聪明极了.简单快捷.并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列.数列中的每一个数称为一项.其中第一项称为首项.最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列.后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1.2.3.4.5.….100；（2）1.3.5.7.9.….99；（3）8.15.22.29.36.….71。
其中（1）是首项为1.末项为100.公差为1的等差数列；（2）是首项为1.末项为99.公差为2的等差数列；（3）是首项为8.末项为71.公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法.得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1.2.3.….1999是等差数列.首项是1.末项是1999.共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前.一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11.12.13.….31是等差数列.首项是11.末项是31.共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时.有时项数并不是一目了然的.这时就需要先求出项数。
小学奥数题讲解： 高斯求和(等差数列)
小学奥数题讲解：高斯求和（等差数列）德国数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好能够分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
四年级数学高斯求和讲解
四年级数学高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯求和计算公式
高斯求和计算公式介绍【示例范文仅供参考】---------------------------------------------------------------------- 高斯求和公式为：末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差，和=（首项+末项）项数2，即高斯求和公式就是对一个等差数列公差为1时的求和，这个数列的和等于这个数列的首项加上这个数列的末项之和乘以这个数列的项数的积再除以2。
1、高斯求和公式：和=（数列首项+数列末项）项数2，末项=首项+（项数-1）公差，项数=（末项-首项）公差+1，首项=末项-（项数-1）公差。
用数学表达式表示为假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差，n表示这个等差数列的项数，，则有以下公式：高斯求和公式（即d=1时）有：=（）n=+(n-1)n=（）+1=-n+1【例题】求1+2+3+...+200的值。
1+2+3+...+200=（1+200）200=201002、等差数列求和公式：假设数列为等差数列，为这个等差数列的和，d为这个等差数列的公差（d1），n表示这个等差数列的项数，，则有以通用下公式：=+（n-1)dn=+1-(n-1)d=n+n（n-1）d【例题】求10，20，30，40，50，...，1000的和。
解析：从题中可以知道这个数列的公差为10，首先项为10，末项为1000，项数n=（1000-10）10+1=100。
则有=100+100（100-1）10=505003、高斯公式历史来源：高斯全名为约翰·卡尔·弗里德里希·高斯，是近代数学的奠基人之一，是历史上最重要的数学家之一，号称为“数学王子”。
高斯的数学天赋，早在童年时期就表现出来了，在7岁那年，高斯第一次上学，头两年都平淡而过。
在高斯10岁那年，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班次，当时数学老师布特纳给学生出了一道题即从1加到100的和，老师一出完题，高斯就把正确答案写出来了，不过这好像只是一个美丽的传说。
四年级数学上册高斯求和讲解
四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
高斯求和
巧妙求和一、考点、热点回顾若干个数排成一列，称为数列。
数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中数的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
列如：3,6,9……96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的等差数列。
这一周，我们将学习“等差数列求和”。
为了更好地掌握此类问题，我们需要记住三个公式：通项公式：第n项=首项+（项数-1）⨯公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）⨯项数÷2在等差数列中，只要知道首项、末项、项数、公差这个量中的三个，就可以利用通项公式或项数公式及求和公式求和。
二、典型例题例1. 有一个数列，4、10、16、22、……52，这个数列共有多少项？练一练：（1）等差数列红，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？（2）有一个等差数列：2、5、8、11、……101，这个等差数列共有多少项？（3）已知等差数列11、16、21、26……1001，问这个数列共有多少项？例2.有一等差数列：3、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？练一练：（1）一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？（2） 求等差数列1、4、7、10……这个等差数列的第30项？（3）求等差数列2、6、10、14……这个等差数列的第100项？例3.有这样 一列数，1、2、3、4……99、100.请你求出这列数各项相加的和？想一想：上面的数列是公差为1的特殊等差数列，于是我们可以用公式计算：总和=（首项+末项）⨯项数÷2。
练一练：计算下列各题：（1） 50494321++++++（2） 759876+++++（3） 60619899100+++++例4.求等差数列2、4、6……48、50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
高斯求和的故事
高斯求和的故事高斯求和，是数学中一个经典的问题，也是数学天才高斯小时候的一个故事。
当高斯还是一个小学生的时候，他的老师给他们布置了一个任务，让他们计算1到100的和。
其他同学开始依次相加，而高斯却很快就给出了答案，5050。
这让老师很吃惊，于是他问高斯是怎么计算出来的。
高斯告诉老师，他发现了一个规律，1加100等于101，2加99等于101，3加98等于101……依次类推，他发现所有的和都是101，而一共有100个这样的和，所以答案就是101乘以100再除以2，得到5050。
这个故事展示了高斯天才般的数学头脑，也展示了高斯求和的方法。
高斯求和是指对连续的自然数求和的问题，即1加2加3加……加n的和。
高斯通过发现了一个规律，从而得出了通用的求和公式，n（n+1）/2。
这个公式简洁而优美，可以快速计算出任意连续自然数的和，而不需要逐个相加。
高斯求和的故事告诉我们，数学并不是一成不变的死知识，而是充满了创造力和想象力的活的学科。
高斯通过观察和思考，发现了数学中的规律，从而得出了通用的解决方法。
这种创造性的思维方式，不仅在数学中有用，也可以在其他领域发挥作用。
除了在数学中有重要的应用外，高斯求和的故事还给我们启示，即在解决问题时，要善于观察和总结规律。
有时候，问题的解决方法并不一定是最直接的逐个计算，而是通过发现规律，找到通用的解决方式。
这种思维方式，可以帮助我们更高效地解决问题，也可以激发我们的创造力和想象力。
总之，高斯求和的故事不仅展示了高斯天才般的数学头脑，也告诉我们解决问题时要善于观察和总结规律。
数学中的高斯求和问题，不仅有着重要的应用，也蕴含着解决问题的智慧和方法。
希望我们能够像高斯一样，善于观察，善于总结，发现问题的本质，找到通用的解决方式。
冀教版数学七年级上册第2章高斯求和公式课件
形
数
我国著名数学家华罗庚曾写过一首 描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。 数缺形时少直观，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事休。 几何代数统一体，永远联系莫分离。
解： Sn 1 2 3 (n 1) n 又 Sn n (n 1) 3 2 1
2Sn (n 1) (n1) (n 1) n个
n(n 1)
Sn 2
高斯求和公式
线段AB上的点数 （不包括A、B两点）
图例
1
AC
B2Biblioteka ACDB3
AC D EB
线段条数 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10
高斯的故事
德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人， 上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算。 只有小高斯不急不慌的思考着，想了一会儿， 小高斯很快给出了答案：5050。
高斯为什么算得又快又准呢？ 本来小高斯通过细心视察发现：
1＋2＋3＋4＋…+50+51+…＋97+98+99＋100＝？
4
A CDE F B
1+2+3+4+5=15
n
A CD
… B
1+2+3+…+（n+1)= [1 (n+1)] (n+1)
2 = (n+2)(n+1)
2
A
……
O
一条射线：1+2=3 二条射线：1+2+3=6 三条射线：1+2+3+4=10
四年级数学上册高斯求和讲解
四年级数学上册高斯求和讲解德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050.高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51.1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等.于是，小高斯把这道题巧算为（1+100）×100÷2＝5050.小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题.若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项.后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差.例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9， (99)（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列.由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2.例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数.由等差数列求和公式可得原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000.注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列.例2 11＋12＋13＋…＋31＝？分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）.原式=（11+31）×21÷2=441.在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数.根据首项.末项.公差的关系，可以得到项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）.例3 3＋7＋11＋…＋99＝？分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，项数=（99－3）÷4＋1＝25，原式=（3＋99）×25÷2＝1275.例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和.解：末项=25＋3×（40-1）＝142，和=（25＋142）×40÷2＝3340.利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题.例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍.问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.解：（1）最大三角形面积为（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（厘米2）.（2）火柴棍的数目为3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成.例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋ (10)＝2×55＝110（只）.加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.。
四年级奥数——高斯求和
第1讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为〔1+100〕×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列〞的求和问题。
例如：〔1〕1，2，3，4，5， (100)〔2〕1，3，5，7，9， (99)〔3〕8，15，22，29，36， (71)其中〔1〕是首项为，末项为，公差为的等差数列；〔2〕是首项为，末项为，公差为的等差数列；〔3〕是首项为，末项为，公差为的等差数列；对于任意一个项数为奇数的等差数列来说，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项和末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
即为中项定理【例题讲解及思维拓展训练】例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？【思维拓展训练一】1、11＋12＋13＋…＋31＝？2、3＋7＋11＋…＋99＝？例2〔2+4+6+......+2012〕-〔1+3+5+ (2011)【思维拓展训练二】1、〔7+9+11+......+25〕-〔5+7+9+ (23)2、1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60例3 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
【思维拓展训练三】1、求首项是34，公差是5的等差数列的前50项的和。
例4 求所有加6以后被11整除的三位数的和【思维拓展训练四】1、100以内所有加5后是6的倍数的数的和是多少？2、在1——400中，所有不是9的倍数的数的和是多少？3、求所有被7除余数是1的三位数的和？例5 在以下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
高斯求和的五个公式推理
高斯求和的五个公式推理在数学的奇妙世界里，高斯求和可是个超级有趣又重要的家伙！今天咱们就来好好聊聊高斯求和的五个公式推理。
记得我当年教过一个小学生小明，那孩子聪明得很，但一开始对高斯求和那也是一头雾水。
咱们先来说说第一个公式，就是“和= （首项+ 末项）×项数÷ 2”。
这就好比你有一堆整齐排列的苹果，从第一个到最后一个，第一个就是首项，最后一个就是末项，而这一堆一共有多少个苹果，那就是项数。
为啥要乘以项数再除以 2 呢？咱们来举个例子。
比如说从 1 加到100，1 是首项，100 是末项，项数就是 100 个。
那咱们把这 100 个数首尾两两配对，1 和 100 一对，2 和 99 一对，3 和 98 一对……一直到50 和 51 一对。
每一对的和都是 101，一共有 50 对。
所以总和就是101×50 = （1 + 100）× 100÷ 2 。
再看第二个公式“末项 = 首项 + （项数 - 1）×公差”。
这个公差呢，就是相邻两项的差值。
比如说一个等差数列，每次都多 3，那 3 就是公差。
假如首项是 2，项数是 10，公差是 3，那末项就是 2 + （10 - 1）×3 = 29 。
说到这，想起小明当时做这道题，把公差给算错了，急得抓耳挠腮。
我告诉他别慌，一步步来，先找准首项、项数和公差，这才把题做对了。
第三个公式“项数 = （末项 - 首项）÷公差+ 1”。
比如说从 5 开始，每次加 2，加到 21 结束，公差是 2，首项是 5，末项是 21，那项数就是（21 - 5）÷ 2 + 1 = 9 。
还有第四个公式“首项 = 末项 - （项数 - 1）×公差”。
这个理解起来也不难，就还是刚才那个例子，21 是末项，9 是项数，2 是公差，那首项就是 21 - （9 - 1）× 2 = 5 。
高斯求和公式推导过程
高斯求和公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高斯（Carl Friedrich Gauss）是一位著名的数学家和物理学家，他在数学领域做出了许多重要贡献，其中之一就是高斯求和公式。
高斯求和公式是一种用来求解等差数列和的公式，也叫高斯求和公式，它能够快速求解某个范围内所有整数之和的问题。
在本文中，我将向大家介绍高斯求和公式的推导过程，希望对大家理解和掌握这一数学公式有所帮助。
让我们来看一下等差数列的数学定义。
一个等差数列是由首项a1和公差d确定的序列，其中每一项与前一项之差都相等。
等差数列的一般形式可以表示为：a1，a1+d，a1+2d，a1+3d，……，an。
其中a1为首项，d为公差，n为等差数列的项数。
对于等差数列的求和问题，我们通常会用高斯求和公式来求解。
高斯求和公式的推导过程可以通过以下步骤来完成：第一步，设等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则等差数列的最后一项可以表示为an=a1+(n-1)d。
第二步，将等差数列从头到尾按照正序排列并逆序排列，即将等差数列的前n项与后n项相加，可以得到一个和为2S，其中S表示等差数列的和。
第三步，将正序排列和逆序排列的等差数列相加，可以得到如下公式：a1 + a2 + ... + an + an + an-1 + ... + a1 = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + (a1 + (n-1)d)) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d - d) / 2 = n * (2a1 + n * d - d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2根据上式可得高斯求和公式为：S = n * (a1 + an) / 2 = n * (a1 + a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2= n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (2 * a1 + (n-1)d) / 2= n * (n * a1 + n^2 d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2通过上述推导过程，我们得到了高斯求和公式S = n * (a1 + an) / 2 = n * (2a1 + (n-1)d) / 2 = n * (2a1 + n * d) / 2 = n * (n * a1 + n^2d) / 2 = n^2 * (a1 + (n-1) d) / 2。
高斯求和讲解
第 3讲高斯求和德国著名数学家高斯幼年代明人，上学，有一天老出了一道同学算：1＋2＋3＋ 4＋⋯＋ 99＋100＝？老出完后，全班同学都在埋算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯什么算得又快又准呢？原来小高斯通心察：1＋100＝2＋99＝ 3＋ 98＝⋯＝ 49＋ 52＝50＋ 51。
1～100 正好可以分成的 50 数，每数的和都相等。
于是，小高斯把道巧算（1+100）× 100÷ 2＝ 5050。
小高斯使用的种求和方法，真是明极了，快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和。
若干个数排成一列称数列，数列中的每一个数称一，其中第一称首，最后一称末。
后与前之差都相等的数列称等差数列，后与前之差称公差。
例如：（1）1，2，3，4，5，⋯， 100；（2）1，3，5，7，9，⋯， 99；（3）8，15， 22，29，36，⋯， 71。
其中（ 1）是首 1，末 100，公差 1 的等差数列；（ 2）是首 1，末 99，公差 2 的等差数列；（ 3）是首 8，末71，公差 7 的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首 +末）× 数÷ 2。
例 1 1＋2＋3＋⋯＋ 1999＝？分析与解：串加数 1，2，3，⋯， 1999 是等差数列，首是1，末是1999，共有 1999 个数。
由等差数列求和公式可得原式 =（1＋1999）× 1999÷ 2＝ 1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断目中的各个加数是否构成等差数列。
例 2 11＋ 12＋13＋⋯＋ 31＝？分析与解：串加数 11，12，13，⋯， 31 是等差数列，首是11，末是 31，共有 31-11 ＋1＝21（）。
原式=（11+31）× 21÷2=441。
在利用等差数列求和公式，有数并不是一目了然的，就需要先求出数。
根据首、末、公差的关系，可以得到数 =（末 - 首）÷公差 +1，末 =首 +公差×（数 -1 ）。
第3讲 高斯求和
第3讲高斯求和若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：（1）1，2，3，4，5， (100)（2）1，3，5，7，9，...，99；（3）8，15，22，29，36， (71)其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？例2 11＋12＋13＋…＋31＝？项数=（末项-首项）÷公差+1，末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？练习31.计算下列各题：（1）2＋4＋6＋...＋200；（2）17＋19＋21＋ (39)（3）5＋8＋11＋14＋...＋50；（4）3＋10＋17＋24＋ (101)2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？。
第五讲 简单的高斯求和
第五讲简单的高斯求和知识结构：如：1＋2＋3＋4＋……＋99＋100，这是一个自然数列，它们有着这样的规律，从第二项起每一项与它前面的一项的差都相等，这样的数列叫做等差数列。
后项与前项的的差叫做该数列的公差。
我们把数列的第一项叫做首项，最后一项叫做末项，它们之间有着这样的关系：1＋100=101、2＋99=101、3＋98=101……50＋51=101.一共有多少个101呢？100个数每两个为一对，共有50个101.高斯求和就是利用这种配对求和的巧算方法求出这个数列的和的。
解题方法：总和=（首项＋末项）×项数÷2项数=（末项－首相）÷公差＋1末项=首项＋（项数－1）×公差首项=末项－（项数－1）×公差平均数=（首项＋末项）÷2方法探究：例1.计算： 2＋4＋6＋……＋96＋98＋100例2.计算： 2＋5＋8＋11＋14＋17＋20例3.计算下面各题：（1）100＋95＋90＋……＋15＋10＋5（2）1＋2＋3＋4＋……＋99＋100＋98＋……＋3＋2＋1例4.小红读一本长篇小说，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完。
问：这本小说共有多少页？例5. 时钟每逢几时就敲几下，每半点钟就敲1下。
问：一昼夜该时钟总共敲了多少下？随堂训练：1.计算：（1）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10（2）12＋13＋14＋……＋29＋30＋31 （3）18＋19＋20＋21＋22＋23（4）100＋102＋104＋106＋108＋110＋112＋1142.试用两种方法计算下面各题：（1）73＋77＋81＋85＋89＋93 （2）995＋996＋997＋998＋9993.求出所有的两位数的和。
4.求和：（1）1＋3＋5＋7＋……＋37＋39 （2）2＋6＋10＋14＋……＋210＋2145.有10个盒子，44只乒乓球，把这44只乒乓球放到盒子中，能不能使每个盒中的球数都不相同（每个盒子中至少要放一个球）？6.影剧院有座位若干排，第一排有25个座位，以后每排比前一排多3个座位，最后一排有94个座位。
高斯的数学公式
高斯的数学公式高斯，这可是数学界的超级巨星！他的数学公式那可是厉害得很。
还记得我小时候，有一次参加数学竞赛培训，老师在黑板上写下了高斯求和的公式，当时的我就被深深吸引住了。
高斯求和公式，简单来说就是“（首项 + 末项）×项数÷ 2”。
这看似简单的式子，却蕴含着无尽的智慧。
就拿我们日常生活中的例子来说吧。
比如说学校要举办运动会，老师让我们排列方阵。
假设每行有 10 个人，一共排了 15 行。
要算出总人数，我们就可以用高斯求和的思路。
首行 10 人，末行 10 人，一共15 行，那总人数就是（10 + 10）× 15 ÷ 2 = 150 人。
是不是一下子就把复杂的问题简单化啦？再说说我们平时做的数学练习题。
比如从 1 加到 100 等于多少？如果一个一个加，那得累个半死。
但用高斯的公式，首项是 1，末项是100，项数是 100，那结果就是（1 + 100）× 100 ÷ 2 = 5050。
轻松搞定！高斯的数学公式可不只是在这些简单的例子中有用哦。
在高中数学的数列问题中，高斯的思想也常常被运用。
比如等差数列的求和公式，其实就是高斯求和公式的拓展和延伸。
想象一下，一个等差数列：1，3，5，7，9......要求它的前 n 项和。
我们就可以把首项和末项相加，第二项和倒数第二项相加，以此类推。
然后发现每一组的和都相等，再乘以组数，最后除以 2，这本质上不就是高斯的智慧嘛！还有在解决一些几何问题时，高斯的公式也能帮上大忙。
比如计算一堆相同大小的球体堆成的金字塔形状的物体的总数。
我们可以通过巧妙地划分层次，找到规律，然后运用类似高斯求和的方法来计算。
高斯的数学公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多数学难题的大门。
它让我们看到，数学并不是一堆枯燥的数字和符号，而是充满了智慧和乐趣的奇妙世界。
回想我小时候看到高斯求和公式的那一刻，那种对数学的好奇和热爱就被点燃了。
第一讲 高斯求和
第一讲高斯求和姓名：得分：
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2
例1 1+2+3+…+1999=？
例2 11+12+13+…+31=？
例3 3+7+11+…+99=？
例4下图是一个堆放铅笔的V形架，如果最上面一层放60枝铅笔，问一共有多少枝铅笔？
例5 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
练习：
1、计算下列各题：
（1）2+4+6+…+200
（2）17+19+21+…+39
（3）5+8+11+14+…+50
（4）全部三位数的和是多少？
2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
4、时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点种也敲一下。
问：时钟一昼夜敲打多少次？
5、某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位。
这个剧院有多少个座位？。
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第3讲高斯求和
德国着名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。
高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。
1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。
于是，小高斯把这道题巧算为
（1+100）×100÷2＝5050。
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。
后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
例如：
（1）1，2，3，4，5， (100)
（2）1，3，5，7，9， (99)
（3）8，15，22，29，36， (71)
其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
例1 1＋2＋3＋…＋1999＝？
分析与解：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。
由等差数列求和公式可得
原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2 11＋12＋13＋…＋31＝？
分析与解：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。
根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1，
末项=首项+公差×（项数-1）。
例3 3＋7＋11＋…＋99＝？
分析与解：3，7，11，…，99是公差为4的等差数列，
项数=（99－3）÷4＋1＝25，
原式=（3＋99）×25÷2＝1275。
例4 求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
例5 在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列。
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12
＝［（1＋15）×8÷2］×12
＝768（厘米2）。
（2）火柴棍的数目为
3＋6＋9+…+24
＝（3＋24）×8÷2=108（根）。
答：最大三角形的面积是768厘米2，整个图形由108根火柴摆成。
例6 盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，
将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
分析与解：一只球变成3只球，实际上多了2只球。
第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。
因此拿了十次后，多
了
2×1＋2×2＋…＋2×10
＝2×（1＋2＋ (10)
＝2×55＝110（只）。
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。
综合列式为：
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3
＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
?。