一元二次方程专题复习讲义(知识点_考点_题型总结材料)haouseok
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一元二次方程专题知识点1：一元二次方程的概念及一般形式1、方程（1）3x-1=0;(2) ;(3) ;(4) ;2310x -=2130x x+=221(1)(2)x x x -=--(5) ;(6) .其中一元二次方程的个数为 （ ）2(52)(37)15x x x +-=232x y x +=A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）（2）2(5)3x x x --=-(21)(5)6x x x-+=知识点2：用直接开平方法解一元二次方程3、用直接看平方法解一元二次方程：（1）（2）2169x =2450x -=（3） （4）（24(21)360x --=21)40x +-=知识点3：用配方法解一元二次方程4、用配方法解方程时，原方程变形为 （ ）2250x x --=A 、B 、C 、D 、2(1)6x +=2(1)6x -=2(2)9x +=2(2)9x -=5、用配方法解一元二次方程：（1）（2）22410x x -+=2213x x+=知识点4：用公式法解一元二次方程6、用公式法解一元二次方程：（1）（2）2410x x +-=2441018x x x++=-知识点5：根的判别式（）的应用24b ac -7、若关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围2210mx x --=是 （）A 、m>-1B 、m>-1且m 0C 、m<1D 、m<1且m 0≠≠8、已知a 、b 、c 分别是三角形ABC 的三边，其中a=1,c=4,且关于x 的方程有240x x b -+=两个相等的实数根，试判断三角形ABC 的形状。
4、 已知关于的一元二次方程.x 2223840x mx m m --+-=（1）求证：原方程恒有两个实数根;（2）若方程的两个实数根一个小于5，另一个大于2，求的取值范围.m 知识点6：用分解因式法解一元二次方程9、用分解因式法解一元二次方程（1）（2）230x x +=2(3)4(3)0x x x -+-=知识点7：一元二次方程的应用增长率问题：1、(2003大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。
一元二次方程讲义全
一元二次方程讲义全一元二次方程讲义考点一、概念1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
2)一般表达式：ax^2+bx+c=(a≠0)注：当b=0时可化为ax^2+c=0，这是一元二次方程的配方式。
3)四个特点：只含有一个未知数；且未知数次数最高次数是2；是整式方程。
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。
如果能整理为ax^2+bx+c=(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
4)将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足(a≠0)。
4)难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为0；②未知数指数为2；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A。
(x+1)^3=2(x+1)B。
2√x+1-11=0C。
ax^2+bx+c=0D。
x^2+2x=x^2+1变式：当k≠0时，关于x的方程kx^2+2x=x^2+3是一元二次方程。
例2、方程(m+2)x^m+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。
考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y^2+y-3的值为2，则4y^2+2y+1的值为。
例2、关于x的一元二次方程(a-2)x^2+x+(a^2-4)=0的一个根为-2，则a的值为。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制。
例3、已知关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为-1.说明：本题的关键点在于对“代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知a,b是方程x^2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y^2-8y+5m=0的两个根，则m的值为。
《一元二次方程》复习经典讲义--绝对经典实用
《一元二次方程》复习经典讲义基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如脳」「冰4；"『：寫占门的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中'分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a b分别是二次项和一次项的系数。
如|满足一般形式「丁：、1，工宀L分别是二次项、一次项和常数项，2,—4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
2.—元二次方程求根方法(1)直接开平方法形如•的方程都可以用开平方的方法写成' ，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
(2)配方法通过配方将原方程转化为V；工己丿的方程，再用直接开平方法求解。
配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。
配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1,只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。
(3)公式法求根公式：方程小* X 「的求根公式_b 丄v b2-4ac2ti步骤:1）把方程整理为一般形式：：匚『“甩.m」：，确定a b、c。
2）计算式子卜In的值。
3）当八心心-时，把a、b和卜L LI的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。
（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。
3、一兀二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到显然只有当护仏“时，才能直接开平方得:也就是说，一元二次方程卅r吐m沁珥只有当系数'耳、满足条件託=眇一盘供訣氐时才有实数根.这里「n 叫做一元二次方程根的判别式.4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程'的根由其系数「、耳、确定，它的根的情况（是否有实数根）由二•，确定.设一元二次方程为' 7 ' 11■ 「，其根的判别式为：则hbph' ■4tjcr①1■- ' =■方程门厂山应二：：緘町有两个不相等的实数根■br V ——丫——…_ _②方程' f'有两个相等的实数根•一.③.匸方程农用沁没有实数根.若I，4，匸为有理数，且二为完全平方式，则方程的解为有理根；若△为完全平方式，同时血是％的整数倍，则方程的根为整数根.说明:⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，：；有两个相等的实数根时，人-J;没有实数根时，「1⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式—氐判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）•当亠忙仝:时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根.①当时二抛物线开口向上二顶点为其最低点；②当…「时=抛物线开口向下二顶点为其最高点.5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题.6韦达定理b如果能畋;:;的两根是；:,贝U " -丿.（隐含的条件：•「「）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设'，’‘是方程"'的两个根，贝U '-7、韦达定理的逆定理以两个数，”为根的一元二次方程（二次项系数为1 ）是F -（x t ^x2）x^x l x2 -0一般地，如果有两个数’，•满足＜，「，那么'，•'必定是加亠脉V.U =比爭為的两个根.8、韦达定理与根的符号关系在£已护仏心1J的条件下，我们有如下结论:-<0 丄邸⑴当・时，方程的两根必一正一负•若- ，则此方程的正根不小于负-*<0根的绝对值；若「，则此方程的正根小于负根的绝对值.->0 --> o⑵当J 时，方程的两根同正或同负.若」，则此方程的两根均为正--<0根；若「，则此方程的两根均为负根.更一般的结论是：若，'■是煜。
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解
《一元二次方程》全章复习与巩固—知识讲解一元二次方程是高中数学中的重要内容，它是一种形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的方法有因式分解、配方法和求根公式法。
下面将对这些解法进行讲解。
一、因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为两个一次因式的乘积，即 (px + q) (rx + s) = 0，那么方程的解就可以直接得到。
具体步骤如下：1. 将二次方程化简成标准形式：ax^2 + bx + c = 0；2. 因式分解方程：(px + q) (rx + s) = 0；3. 解方程：px + q = 0 或 rx + s = 0；4.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-5x+6=0应用因式分解法：1.方程已经是标准形式；2.可以将方程改写为(x-2)(x-3)=0；3.解方程得到x-2=0或x-3=0；4.求解方程可得x=2或x=3，这就是原方程的解。
二、配方法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，有时候可以通过配方法将方程转化为一个平方差或一个完全平方式。
具体步骤如下：1.当a≠0时，将方程两边同时除以a，化简为x^2+(b/a)x+c/a=0；2. 计算出一个值k，使得(b/a)^2 + 2(b/a)k + k^2 = k^2、其中，2(b/a)k为bx的一半，k^2为(c/a)的相反数的一半；3.将方程变形为(x+k)^2+m=0，即(x+k)^2=-m；4.解方程得到x+k=±√(-m)；5.求解方程得到x的值。
例如，对方程x^2-6x+8=0应用配方法：1.将方程化简为(x-3)^2-1=0；2.得到k=3，使得(-6/2)^2+2(-6/2)k+k^2=1；3.方程变形为(x-3)^2=1；4.解方程得到x-3=±1；5.求解方程可得x=2或x=4，这就是原方程的解。
三、求根公式法一元二次方程的求根公式是美国数学家Vieta发现的，它的公式形式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
一元二次方程中考章节复习(知识点+典型题型分析总结
一元二次方程知识点一、一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程），这点请注意！②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。
二、一元二次方程根的定义使方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根三、一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（十字交叉法）直接开平方法形如或()的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
如果方程化成的形式，那么可得。
如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根。
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
③方法是根据平方根的意义开平方。
[4]配方法步骤将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是完全平方公式配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况；③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。
一元二次方程全章讲义
九年级上册第二章一元二次方程一、知识点梳理：知识点一：一元二次方程的定义 知识点二:开平方法解一元二次方程 知识点三：因式分解法解一元二次方程 知识点四：配方法解一元二次方程 知识点五： 一元二次方程的判别公式 知识点六：韦达定理 知识点七：二元一次方程应用题二、各知识点讲解：知识点一 ：一元二次方程的定义 （一）知识点：1、只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化成ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2、判断一个方程是否为一元二次方程的依据（1）是一个整式方程 （2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2.这三个条件必须同时满足，缺一不可。
3、一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项.一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.（二）、经典例题及相关练习例题1：判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x 2=4 (3) 3x 2-5x=0 (4) x 2-4=(x+2) 2 (5) ax 2+bx+c=0练习1、在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 2、下列方程是一元二次方程的有__________。
（1）x 2+x1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0（3）x+12 x =4（4）m3－2m+3=0 （5）22x2－5=0 （6）ax2－bx=43、下列方程中，是关于x的一元二次方程的有___________.①x2＋2x＋y＝1 ②－5x2＝0 ③2x2－1=3x④（m2＋1）x＋m2＝6 ⑤3x3－x＝0 ⑥x2+1x－1=0例2：一元二次方程一般形式、各项系数及常数项（1）一元二次方程（x+1）2－x==3（x2－2）化成一般形式是.（2）把方程(1－3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.练习：1、把一元二次方程（x+2）（x－3）=4化成一般形式，得（）．A、x2+x－10=0B、x2－x－6=4C、x2－x－10=0D、x2－x－6=02、将方程3x2＝2x－1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( )A. 3,2,－1B. 3,－2,－1C. 3,－2,1D. －3,－2,13、一元二次方程3x2－3x－2=0的一次项系数是________，常数项是_________．4、方程4x2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是5、把方程x(x+1)=4(x－1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.例3：利用一元二次方程的定义解题（1）关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．练习1、已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是。
一元二次方程复习讲义
一元二次方程复习讲义【知识回顾】1、一元二次方程的概念：形如：ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）概念中的三个要点：①____________，②____________，③____________．不是整式的式子可能是____________，____________．2、一元二次方程的解法：(1)直接开平方法：(2)配方法：(3)因式分解法：(4)公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3、一元二次方程的根的判别式：(1)当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； (2)当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； (3)当 时，方程没有实数根．．．．．． 4、韦达定理：如果ax 2＋bx ＋c =0（a ≠0）有两个根x 1，x 2，那么x 1+x 2＝b a -，x 1x 2＝c a ； 推论：①222121212()2x x x x x x +=+-，②12121211x x x x x x ++=，③22121212()()4x x x x x x -=+-，④22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==，⑤12||x x -= 5、用方程解决实际问题：握手模型 增长率模型 降价模型等【基础训练】1、解下列方程(1)(2x ＋3)2－25＝0.(直接开平方法) (2) 02722=--x x (配方法)(3)()()2322+=+x x (因式分解法) (4)2260x x +-=(公式法)2、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法，开平方法，配方法和公式法．请选择你认为适当的方法解以下方程．①2310x x -+=； ②2(1)3x -=； ③230x x -=； ④224x x -=．3、一元二次方程2210x x -+=的解是 ．4、方程24x x =的解是（ ）A ．4x =B ．2x =C ．4x =或0x =D ．0x = 5、方程(1)x x x -=的解是 ．6、一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=程是 ．7、用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -= 8、下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．240x +=B ．24410x x -+=C ．230x x ++=D ．2210x x +-= 9、一元二次方程0442=+-x x 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根；B ．有两个相等的实数根；C ．有一个实数根；D ．没有实数根；10、已知一元二次方程032=++px x 的一个根为3-，则_____=p ．11、关于x 的一元二次方程022=+-m mx x 的一个根为1，则方程的另一根为 ．12、已知1x =是方程220x ax ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．3 13、三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．14、某商品原价100元，连续两次涨价x %后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A ．2100(1)120x -=%；B ．2100(1)120x +=%；C ．2100(12)120x +=%；D ．22100(1)120x +=%；15、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 ．16、某种药品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）A ．10%B ．19%C ．9.5%D ．20%17、某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则根据题意列方程为（ ）A ．()75.821252=+x ；B ．75.825025=+x ； C ．75.827525=+x D ．()()[]75.82111252=++++x x ；【能力提高】18、已知一元二次方程有一个根是2，那么这个方程可以是 (填上一个符合条件的方程即可)19、写出一个以—2和4为根的一元二次方程：_________________ _．20、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 （ ）A ．１B ．－１C ．0D ．2 21、关于x 的一元二次方程()220x mx m -+-=的根的情况是 （ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定22、关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个实数根，则m 的取值范围是 ．23、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为22b a b a -=*，根据这个规则，方程05)2(=*+x 的解为： ；24、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成abc d ，定义abc d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 25、a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()022=++++b a cx x b a 的根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根 26、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m 元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ． 乙或丙27、已知关于x 的方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取什么值时，原方程没有实数根．(2)对m 选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题，例12,x x 是方程2630x x +-= 的两根，求2212x x +的值．解法可以这样：126,x x +=-123,x x =-则222212112()2x x x x x x +=+-=2(6)2(3)42--⨯-=． 请你根据以上解法解答下题：已知12,x x 是方程29、现将进货为40元的商品按50元售出时，就能卖出500件．•已知这批商品每件涨价1元，其销售量将减少10个．问为了赚取8000元利润，售价应定为多少？这时应进货多少件？30、某军舰以20海里/时的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30海里/时的速度由南向北航行，它能 侦察周周围50海里(含50海里)范围内的目标．如图，当该军舰行至A 处时，电子侦察船正位于A 处正南方向的B 处，且AB ＝90海里．若军舰和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军？如果能，最早何时能侦察到？如果不能，请说明理由．。
一元二次方程专题复习资料
一元二次方程专题复习资料一元二次方程专题复知识盘点：1.一元二次方程是指方程中只含有一个未知数，且整理后未知数的最高次数为2的方程。
通常可写成如下的一般形式：ax^2+bx+c=0（a、b、c为常数，且a≠0）。
2.一元二次方程的解法：1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的平方，而另一边是一个常数时，可以根据平方的意义，通过开平方法求出这个方程的解。
2）配方法：用配方法解一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为一次项和常数项，右边为零项；③配方，即方程两边都加上b/2a的平方；④化原方程为(x+m)^2=n的形式，如果n是非负数，即n≥0，就可以用开平方法求出方程的解。
如果n＜0，则原方程无实数解。
3）公式法：方程ax^2+bx+c=0（a≠0），当b^2-4ac>0时，x=(-b±√(b^2-4ac))/2a；当b^2-4ac=0时，x=-b/2a；当b^2-4ac<0时，方程无实数解。
4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为零；②将方程的左边化成两个一次项的乘积；③令每个因式都等于零，得到两个一次方程；④解这两个一次方程，它们的解就是原方程的解。
3.一元二次方程的根的判别式：1）b^2-4ac>0，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，即x1=(-b+√(b^2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b^2-4ac))/2a；2）b^2-4ac=0，即一元二次方程有两个相等的实数根，即x1=x2=-b/2a；3）b^2-4ac<0，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）无实数根。
4.一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1和x2，则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
一元二次方程知识点总结与经典题型
一元二次方程知识点总结与经典题型研究必备：欢迎下载一元二次方程知识点总结考点一：一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a≠0.考点二：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对于形如(x+a)²=b的一元二次方程，当b≥0时，x+a=±√b，x=-a±√b；当b<0时，方程无实数根。
2.配方法：配方法的步骤为：先将常数项移到方程的右边，再将二次项的系数化为1，接着同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式。
3.公式法：公式法的步骤为：将一元二次方程的各系数分别代入公式x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中。
4.因式分解法：因式分解法利用因式分解的方法求出方程的解，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤为：将方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式、公式法或十字相乘的方法，如果可以，就可以化为乘积的形式。
考点三：一元二次方程根的判别式根的判别式通常用“Δ”来表示，即Δ=b²-4ac。
考点四：一元二次方程根与系数的关系如果方程ax²+bx+c=0的两个实数根是x1和x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
易错题：1.若关于x的一元二次方程(m-1)x²+5x+m²-3m+2=0有一个根为1，则m的值等于2.2.已知a，b是关于x的一元二次方程x²+nx-1的两实数根，则n+2ab/(a+b)的值是-2.3.已知a、b、c分别是三角形的三边，则(a+b)x²+2cx+(a+b)的根的情况是有两个不相等的实数根。
1、已知方程x-2x-1=0的两根为m和n，且(7m-14m+a)(3n-6n-7)=8，则a的值为（）。
A．-5.B.5.C.-9.D.9改写：已知方程x-2x-1=0的两根为m和n，且(7m-14m+a)(3n-6n-7)=8，求a的值。
一元二次方程专题复习讲义知识点考点题型总结h useok
一元二次方程专题复习一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程311=-+x x 的解相同。
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一元二次方程专题复习解与解法元二次方程 根的判别韦达定理⑴②未知数的最高次数是.2,这样的③整式方程就是一元二次方程。
2⑵一般表达式：ax bx c 0(a0)⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是 2 ① 该项系数不为“ 0 ”; ② 未知数指数为“ 2 ”;③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、- ■下列方程中是关于 x 的一兀二次方程的是()A 3 x 1 2 2 x 1B 11 c c2 2 0x xC2axbx c 0Dx 2x x 1变式：: 当k时, 关于x 的方程kx 222x x 23是一元二次方程。
例2、方程 m 2 x m 3mx 1 0是关于x 的一元二次方程，则 m 的值为 _________________ 。
2★1、方程8x 7的一次项系数是 _______________ ，常数项是 __________ 。
★2、若方程 m 2x 向10是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于 x 的一元一次方程。
★★3、若方程m 1 x2m ? x 1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是____________★★★4、若方程nx m+x n-2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）2 2例2、关于x的一元二次方程a 2 x x a 4 0的一个根为0,则a的值为 ___________ 。
2例3、已知关于x的一元二次方程ax bx c 0 a 0的系数满足a c b，则此方程必有一根为________ 。
例4、已知a, b是方程x 4x m 0的两个根，b, c是方程y 8y 5m 0的两个根，贝U m的值为_________。
★1、已知方程x2 kx 10 0的一根是2，则k为__________________ ，另一根是___________x 1★2、已知关于x的方程x2 kx 2 0的一个解与方程3的解相同。
x 1⑴求k的值；⑵方程的另一个解。
2 2★3、已知m是方程x x 1 0的一个根，则代数式m m ____________2 9★★4、已知a是x 3x 1 0的根，贝U 2a 6a ___________ 。
★★5、方程a b x b c x c a 0的一个根为（）A 1B 1C b cD a★★★6、若 2x 5y 3 0,则 4x ?32y、解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 2类型一、直接开方法： x mm 0 , x ..m 2 ※※对于x a m ， ax m 2 bx n 等形式均适用直接开方法 典型例题: 2 例1、解方程：1 2x 8 0; 22 25 16x =0;3 1 x 2 9 0;2 2例2、若9 x 1 16 x 2 ，则x 的值为 ______________针对练习：下列方程无解的是（） 2 2 2A. x 3 2x 1B. x 20 C.2x 3 1 xD. x 2 9 0类型二、因式分解法：X X 1 x X 2 0 x x 1,或x x 2 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为 ※方程形式：如 2 ax m 2 bx n ， x a x b x a x c ， x 2 2ax a 2 0例 1、2x x 3 5 x 3 的根为（ A x 5 B x 32例2、若4x 2y 3 4X y4 变式1 : a b 222a b 2 6 典型例题: ）5C x 1, x 2 32D x250，则4x+y 的值为oo 0,则 a 2 b 2 __________变式2 :若x y 2 x y3 0 ,则x+y 的值为★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为★★4、若实数x 、y 满足x y 3 x y 2 0 ,则x+y 的值为（）A 、-1 或-2B 、-1 或 2C 、1 或-2D 、1 或 2、 2 1 5、方程：x 22的解是 _________ 。
x★★★6、已知 6^ xy -6y 2 0,且 x 0, y 0,求—: ------------------------ 的值。
』3x y变式3 :若x 2xy y14 , y 2xy x 28，则x+y 的值为2例3、方程x x 6 0的解为（)A.3,x 2 2 B. x 1 3,X 2 2 C. % 3,X23 D. 例4、解方程： x 22 x3 1 x 2.34 0例5、已知2x 23xy 2y 20,则x y的值为。
x 1 2 ,x 22★1、 2x 2 3xy 2y 20,且 x 0, y 0,则xF 列说法中: ①方程x 2 px 0的二根为治,X 2，则 px q (x xj (x X 2) ② x 26x 8 (x 2)(x 4).③ a 2 5ab6b 2 (a2)(a 3)④x 2 y (x y)( ‘x .y)( x y)⑤方程（3x1)20可变形为(3x 1. 7)(3x 17)正确的有（A.1个B.2C.3个D.4个★2、以 1 .7为根的一元二次方程是（）2A . x 2x 60 2B . x 2x 6 0y 2 2y 6 02D . y 2y 6 0⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为且两根互为相反数:且两根互为倒数:0的较大根为r ，方程2007x 2 2008x 1 0的较小根为s ,贝U s-r 的值为 _________※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。
例1、 试用配方法说明x 2 2x 3的值恒大于0。
例3、2已知xyy 4x 6y 13 0， x 、y 实数，求x 的值。
例4、 分解因式: 24x 12x 32★★1、试用配方法说明10x 7x 4的值恒小于0。
— “21 1 1★★2、已知 x2x 4 0,则 x x xx★★★3、若t 2 、3x 2 12x 9，则t 的最大值为__________________ ，最小值为 _______ 。
★★★4、如果 a b J C —1 1 4 —2 2Jb 1 4,那么 a 2b 3c 的值为 ________⑴条件：a 0,且b 2 4ac 02★★★、方程 1999X1998 2000X 12类型三、配方法ax bx c 0 a 0b 2 4ac 4a 2已知x 、y 为实数，求代数式x 22y 2x 4y 7的最小值。
■ 2b 一 b 4ac,a 2a例1、选择适当方法解下列方程:0,且 b 2 4ac 02⑴ 31 x 6.⑵ x 3 x 6 8.⑶ x 2 4x 1 02⑷ 3x 4x 1 0⑸ 3 x 1 3x 1x 1 2x 5例2、在实数范围内分解因式：2j2 2 2（1） x 2、2x 3 ；（2）4x 8x 1. ⑶ 2x 4xy 5y_ 2说明：①对于二次三项式 ax bx c 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,2一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax bx c =0，求出两根，再写成2②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 ⑴求代数式的值; ⑵解二元二次方程组。
已知x 3x 2 0,求代数式x 1 3 x 2x 1例2、如果x 3 2x 1 0,那么代数式x 2x 7的值。
例4、用两种不同的方法解方程组2x y 6, (1) x 2 5xy 6y 20.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元。
但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.① 定根的个数； ② 求待定系数的值； ③ 应用于其它。
例1、若关于x 的方程x 2 2、kx 1 0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 _________________2 __例2、关于x 的方程 m 1 x 2mx m 0有实数根，则 m 的取值范围是( )A. m 0且m 1B. m 0C. m 1D. m 12例3、已知关于x 的方程x k 2 x 2k 0 (1) 求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰 ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC 的周长。
2例3、已知a 是一元二次方程 x 3x 10的一根，求2a 2 5a a 2 11的值。
例4、已知二次三项式 9x 2 （m 6）x m 2是一个完全平方式，试求2★1、当k __________ 时，关于x 的二次三项式x kx 9是完全平方式。
2★2、当k 取何值时，多项式 3x 4x 2k 是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?2★3、已知方程 mx mx 2 0有两个不相等的实数根，则m 的值是 ___________ .y kx 2,★★4、k 为何值时，方程组 2y 2 4x 2y 1 0.（1）有两组相等的实数解，并求此解； （2 ）有两组不相等的实数解； （3 ）没有实数解.★ ★★S 、当k 取何值时，方程x 2 4mx 4x 3m 2 2m 4k 0的根与m 均为有理数?例5、m 为何值时，方程组2xmx 2y 2y a6,有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?3.2例1、关于x的方程m 1 x 2mx 3 0⑴有两个实数根，则m为______________ ,⑵只有一个根，则m为_____________ 。
例2、不解方程，判断关于x的方程x2 2 x k k23根的情况。
2 2例3、如果关于x的方程x kx 2 0及方程x x 2k 0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席?2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计1 1划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少 -，第三年比第二年减少一，该产品第一年收入资3 21金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利-，要实现这一目标，该产品3收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，、13 3.61）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1 ）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。