学而思杯赛题

2014年学而思杯全国卷·四年级一、填空题（每题5分，共20分）1、2362652⨯+⨯-= ．【解析】原式2(36651)2100200=⨯+-=⨯=．【答案】200．2、一块由一个正方形和一个平行四边形组成的玉米地，形状如下图所示（单位：厘米），它的面积是 平方厘米．【解析】88136142⨯+⨯=． 【答案】142．3、右图中，共有 个三角形．【解析】分类计数,单个三角形：5个； 两个三角形拼合：4个； 三个三角形拼合：个；合计：10个． 【答案】10．4、艾迪、薇儿和大宽分练习册，艾迪得到了总数的一半，薇儿得到了余下的一半少1本，大宽得到了9本，共有 本练习册．【解析】倒推法：大宽得到余下的一半多1个，那么剩下的一半是8个，因此总数是82232⨯⨯=． 【答案】32．二、填空题（每题6分，共24分）5、设a b 、为自然数，定义42a b a b ⊕=+÷，计算32⊕= ． 【解析】原式432213=⨯+÷=． 【答案】13．6、博士晚上要自己做饭，每道工序的时间如下：洗米4分钟，电饭煲煮熟饭20分钟，洗菜10分钟，切菜5分钟，准备洗锅2分钟，烧热锅1分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟，那么博士最少要过 分钟才能吃晚饭．【解析】洗米之后才能煮饭，洗菜之后才能切菜，洗锅，烧热锅，烧热油，炒菜也是顺承关系，且只有煮饭才能与其他过程并行． 因此工序如下图所示：最少的时间为420428++=分钟． 【答案】28．7、右图中，相邻两个格点的距离为1，那么图中阴影部分的面积总和是 ．【解析】依据毕克定理左侧马身体：(282)9122÷+-=； 右侧马尾巴：2121⨯÷=；合计：23． 【答案】23．8、四个数字的和为256，如果把第一个数字乘7，第二个数字除以7，第三个数字加7，第四个数字减7，得到的数字相同，那么这四个数字中最大的数减最小的数为 ．【解析】设得到的相同的数字为x ,那么第一个数字为7x ÷,第二个数字为7x ,第三个数字7x -,第四个数字为7x +．得到方程：7777256x x x x ÷++-++=，解之得：28x =.那么这四个数字依次为：4、196，21，35．最大数减最小数为：1964192-=． 【答案】192．三、填空题（每题7分，共28分）9、在幻方中，每行、每列和每条对角线上的数的和都相同，那么在下图所示的未完成的幻方中x 应该是 ．【解析】在3阶幻方中，每条直线上三个数字之和为幻和，幻和为中心数的倍，设中心数为a ，那么：5153a a ++=，那么10a =，幻和为30，因此309516x =--=． 给出填出后的幻方．【答案】16．10、一列火车驶过250米长的隧道用了18秒；通过一条400米的隧道只需24秒，则这列火车的全长是米．-÷-=米／【解析】通过一条400米的隧道需要24秒，火车速度为：(400250)(2418)25秒．⨯-=米．火车的全长为：2518250200【答案】200．11、在1~100这100个自然数中，能被2或者5整除的数共有个．÷=个；【解析】能被2整除的数有100250÷=个；能被5整除的数有100520÷=个；同时被2与5整除的数即被10整除，这样的数有1001010+-=个．那么能被2或5整除的数有50201060【答案】1012、右图中三个正方形的边长从左到右依次减半，小正方形的边长为3，那么图中阴影部分的面积是．【解析】连结大正方形的对角线,那么图中浅色的阴影部分可以转换为深色的阴影部分,深色部分的三角形底为中等正方形与小正方形的边长之和,高为小正方形的边长．+⨯=；3329⨯÷=．93213.5因此阴影部分的面积为13.5．【答案】13.5．四、填空题（每题8分，共32分）13、艾迪参加期末考试，考试分五科，语文、数学、英语、自然、历史．所有科目的平均分是95，语文和数学的平均分是94，英语和自然的平均分是95，数学和英语的平均分是96，且自然比英语高2分，那么艾迪考分第二高的科目的成绩是 分．【解析】从自然英语的平均分为95以及自然比英语高2分，可知自然96分，英语94分； 数学英语平均分为96分，进一步得到数学考98分； 语文数学平均分94可得语文90分；由全部科目的平均分进一步得到历史的考分为97分； 因此艾迪考第二高的科目是历史，考分为97分． 【答案】97．14、观察下列数表12345612471116124815261248163112481632第一行第二行第三行第四行第五行第七行的第9个数是 ．【解析】可以发现，每个数都是其左侧以及左上方两个数之和．以第三组第4个数字为例，844=+．这样就可以逐渐推出相应的数字．第七行第9个数为255． 【答案】255．15、艾迪和薇儿在公园里沿着周长为30米的圆形花坛边玩相遇与追逐的游戏，艾迪的跑步速度为6米/秒，薇儿的跑步速度为4米/秒，两人约定：如果两人迎面相遇，那么艾迪就立即回头；如果艾迪从后面追上薇儿，那么薇儿就立即回头．两人从花坛周围的某一点A 同时背向出发，所有转身的时间都忽略不计，且无论两人迎面相遇还是同向追及，都认为是一次“相遇”，如果那么两人持续地跑下去，第2014次“相遇”点距离出发点A 在花坛代表的圆上最短的距离为： 米． 【解析】分析跑步的过程，⑴相遇运动，相遇时间：30(64)3÷+=秒，相遇点距离A 点3412⨯=米，之后艾迪回头进入追及过程；⑵追及时间：30(64)15÷-=秒，薇儿一直未改变方向，路程：4(153)72⨯+=米，7230212÷= ，相遇点距离A 点12米，之后薇儿回头，两人进入相遇过程，⑶⑷过程与⑴⑵过程除了方向相反，其他都完全相同，所以第三次相遇点为出发点A ，第四次相遇点仍然是出发点A ，因此每四次相遇构成一个周期，与出发点A 的距离依次是12，12，0，0，201445032÷= ，第2014次相遇时每个周期中的第二次，与出发点A 的距离为12米． 【答案】12．16、16个点组成的正方形点阵中，至少去掉个 点，图形中就不会再出现以剩下的点为顶点的长方形了．【解析】首先考虑“横竖型”的长方形，可证明最多只能有9个点：若图形中不存在“横竖型”的长方形，则根据长方形的特性，对这个图形作整行或整列的变换，图形中仍不会出现“横竖型”的长方形，故总可以通过行列变换和旋转变换使第一行的点最多（4行4列中都是最多）且都集中在靠一边（以下讨论靠左边）的位置. 若第一行4个点全都存在，易见最多只能存在7个点，太少，不再考虑；若第一行有3个点，为了其余各行点最多，在第四列，其他行都应有点，且易见靠左三列的后三行中，每一行不能有1个以上的点，故最多9个点，如图：但此图中有斜着的长方形，对此图进行适当的行列变换可得：若第一行有2个或2个以下的点，则总点数小于等于8，少于上一种情况，不再考虑. 综上，答案为7个点. 【答案】7．五、解答题（每题8分，共16分）17、计算（写出主要计算步骤，每小题4分）： ⑴ 47 2.8369.4⨯+⨯【解析】原式 4.728 4.772 4.7100470=⨯+⨯=⨯=． 【答案】470． ⑵ 201420142013⨯201320122014-⨯ 【解析】原式201420142013(201320131)201420142014201320132013201420142014100012013201310001201420142014=⨯--⨯=⨯-⨯+=⨯⨯-⨯⨯+= ．【答案】2014．18、数字2014中，20146+++=，所以2014的数字和为6，那么在所有的小于1000的不含数字0的数字中，数字和为4的数有多少个？ 【解析】一位数：只有4一个数；二位数：43122=+=+，一共有13，31，22三个数； 三位数：4211=++，一共有211，121，112三个数； 合计：1337++=个数． 【答案】7．六、解答题（每题15分，共30分）19、如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 共6个长方形区域构成了一把手枪的示意图．各区域边长关系已在图中标出．现仅知区域A 的周长是30厘米，求扳机处阴影区域的面积最大为多少？3b 2b b【解析】b +2b +13b 2b b将手枪补成长方形后并向右翻折一次．此时形成的大长方形长为66a +，宽为63b +，即长宽和为66636()9615999a b a b +++=++=⨯+=是一个定值，即大长方形面积最大为2992=2450.25÷（）（平方厘米）．而阴影区域面积为大长方形面积的十八分之一，即最大为2450.2518=136.125÷平方厘米． 【答案】136.125平方厘米．20、今有A 、B 两组数．A 组：17，19，23，79；B 组：12，18，20，22． 每组各选一个数相加，所得的和可以用两个完全平方数的差表示．例如：221217291514+==-．选择四次后，要求两组数不重复地全部用完，找到的8个完全平方数．请构造一种配对方式，使这8个完全平方数互不相同且总和最小．并求出这个总和． 【解析】⑴ 为使和比较小，那么8个完全平方数要尽可能小；⑵ 设从两组中各取一个数后相加得S ，22()()S a b a b a b =-=+-，另设a b m +=，a b n -=，为使m 尽可能小，则n 尽可能大，由于质数只能分解为1乘本身，如果S 是质数，那么和将比较大，因此优先满足得到的和为合数：配对结果如下：（17，18）（19，20）（23，22）（79，12） 2217183557(61)(61)61+==⨯=+-=-22192039313(85)(85)85+==⨯=-+=-2223224559(72)(72)72+==⨯=-+=-22791291137(103)(103)103+==⨯=+-=-8个完全平方数各不相同，满足要求，和为：22222222123567810288+++++++=．【答案】（17，18）（19，20）（23，22）（79，12）；288．。