2015学而思杯数学解析(4年级)
2015四年级奥数竞赛试题详解
15. 有 A、B、C、D、E、F 六个人围坐在圆桌吃饭，A 会讲英语，B 会讲汉语、英语和法语，C 会讲汉语、英语和德语，D 会讲汉语和德语，E 会讲汉语，F 会讲法语和德语．如果每个人都能 与他相邻的两个人交流，那么，共有__________种不同的排座位方式．（经过旋转、对称后重合 的方式不算做一种）
14. 如图，四边形 ABCD 内有一点 P 到四条边 AB、BC、CD、DA 的距离 PE、PF、PM、PN 都
等于的面积是___________平
方厘米。
【考点】基本图形的面积计算 【难度】3 星 【解析】连接 CP、PD、PA、PB，得到四个三角形，然后求出四个三角形面积之和.四个三角形高 都为 6 厘米，底之和为 56 厘米，所以面积和为 57×6 2＝171 平方厘米。 【答案】171 平方厘米
22 由于第 3 名得了 8 分，最后一名至少 0 分，所以各队得分的构成的等差数列的公差不超过 8÷3= 3 分，只可能为 1 分或 2 分． 如果各队得分的构成的等差数列公差为 1，则这六个队的总分为（8 7） 3 45 (分)，则有 0 场 平局，每场比赛每队都得 0 分或 3 分，则每支队的得分都应是 3 的倍数，与第 3 名得 8 分不符． 如果各队得分的构成的等差数列公差为 2，则这六个队的总分为（8 6） 3 42 (分)，有 45 42 3 (场)平局，符合题意．所以这次比赛中共有 3 场平局． 【答案】共有 3 场平局
2015 年四年级学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷(样卷)
考试时间：90 分钟 满分：150 分
考生须知：请将所有答案填写在答．题．纸．上
第Ⅰ卷（填空题 共 90 分） 一、 填空题（每题 5 分，共 20 分）
2015学而思杯数学解析(6年级)
5
每一个日期都可以记作一个八位数，例如 2015 年 4 月 6 日记作 20150406．如果这样的八
位数能被 9 整除，那么这个八位数所对应的日期就叫做“幸运日”，例如：20150406 就是
一个幸运日；同时它也是 2015 年 4 月的第一个幸运日．
3
四． 填空题Ⅳ（每题 7 分，共 28 分） 13. 希望小学六年级一班，每位同学至少选一门兴趣课，22 位同学选机器人，9 位同学选单片 机，15 位同学选无线电，16 位同学选信息学．每位选择单片机的同学都选择且只能选择 机器人或无线电中的一种，每位选择无线电的同学都选择且只能选择机器人或信息学中的 一种．那么，这个班最少有__________名同学．
BCP A
（3）如图，1 27.5 ， 2 95 ，3 38.5 ，那么4 __________．
C
E4 F
2
1
A
D
【解析】19
3 B
7
（4）如图，在三角形纸片 ABC 中，A 65 ，B 75 ，将纸片的一角折叠，使点 C 落在三角形 ABC 内．如果1 20 ，那么2 __________．
3
9. 某班有学生 48 名，女生占全班的 ．之后又转来若干名女生，这时女生恰好占全班人数
8
2
的 ．那么，转来了__________名女生．
5
3
2
【解析】设转来x 名女生， 48 x 48 x
8
5
解得x 2
10. 如图所示，圆的半径是 10 厘米．圆内部的弧都过此圆的圆心，且此圆的圆周恰好被弧六 等分．那么，阴影部分的周长是__________厘米．（圆周率取 3）
2015 年杭州学而思杯赛能力测评·四年级(A 卷)答案解析
8 是 9 的倍数即可，那么
4. 高富帅老师和吕宁老师共有积分卡 420 张，而且高富帅老师的积分卡数量是吕宁老师的 5 倍，那么高富帅老师有积分卡_________张，吕宁老师有积分卡__________张. 【考点】和倍问题 【难度】☆ 【答案】350；70 【解析】典型的和倍问题，吕宁老师有 420 (5 1) 70 张，高富帅老师有 420 70 350 张 二、填空题Ⅱ（共 4 题，每题 6 分） 5. 小明从家里出发去学校，但是得去趟邮局取一封信，那么小明从家出发，经过邮局再到学 校共有_________条最短路线
2015 ，首位和末尾共有 9 10 90 种搭配； 2015 ，前 2 为共有 9 10 90 种搭配；
所以共有 100 90 90 280 种搭配. 【答案】280 2. 杭州市区的公交 10 路，包括起点站和终点站，共有 20 个车站。如果有一辆车，除终点站 外， 每一站上车的乘客中恰好会有一位乘客在后面的某一站下车.为了使每位乘客都有座 位，那么，这辆公共汽车最少要有_________个座位. 【考点】统筹安排 【难度】☆☆☆☆ 【解析】第一站最少应有 19 个人上车，最少要有 19 个座位；第二站应有 18 个人上车，有 一个人下车，至少要 17 个座位；第三站应有 17 个人上车，2 个人下车，至少要有 15 个座 位；第四，五，六，七，八，九，十站，分别至少要有 13,11,9,7,5,3,1 个座位，第十一站应 有 9 个人上车，却有 10 个人下车，说明在以后各站都是上的人少，下的人多，不必再计算 座位，所以这辆车最少要有 19 (18 1) (17 2) (10 9) 100 个座位 【答案】100 个 二、 简答题（共 3 题） 3. （本题 12 分）2015 年 9 月 3 日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利 70 周 年大阅兵在北京天安门广场举行。来出席阅兵仪式的国家中，共有 10 个国家是中国的 邻国，他们紧密的团结在一起，共同促进亚洲以及全世界的和平与繁荣。阅兵结束后， 这 10 个国家领导人在某个饭店会晤，商讨共同发展策略。见面的时候，各国领导人互 相握手问候。已知两个人之间最多握一次手。 ⑴ 如果每两个领导人之间必须握一次手，10 个人一共要握多少次手？ ⑵ 如果 10 个人一共握手 43 次，那么有几个人握手次数小于 9？请答出所有可能。 【考点】操作计数 【难度】☆☆☆ 【解析】⑴第一个领导人同其他 9 个领导人握手，共 9 次；第二个领导人同剩余的 8 个领导 人握手，共 8 次；第三个领导人同剩余的 7 个领导人握手，共 7 次· · · 以此类推，第 九个领导人只需同最后第十个领导人握手，共 1 次，第十个领导人已经和其他领导 人全部握过手。所以共握手： 9 8 7 3 2 1 45 次手。 ⑵由⑴知，每个领导人共握手 9 次，而当 10 个领导人一共握手 43 次时，还差 2 次
小学思维数学讲义：鸡兔同笼问题(二)-带详解
鸡兔同笼问题（二）教学目标1.熟悉鸡兔同笼的砍足法”和假设法” .2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象.知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一.大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题.书中是这样叙述的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了独脚鸡”，每只兔就变成了双脚兔”.这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1 .因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47-35=12 （只）.显然，鸡的只数就是35—12=23 （只）了.这一思路新颖而奇特，其砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已.除此之外，鸡兔同笼”问题的经典思路假设法假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到.解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：数二（每只兔子脚数加兔总数-实际脚数）+（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数二（实际脚数-每只鸡脚数加兔总数）+（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲两个量的鸡兔同笼”问题一一变例【例1】某次数学竞赛，共有20道题，每道题做对得5分，没做或做错都要扣2分，小聪得了79分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】做错（5m20—79 ） +（5+2）=3 （道），因此，做对的20—3=17 （道）.【答案】17道【巩固】数学竞赛共有20道题，规定做对一道得5分，做错或不做倒扣3分，赵天在这次数学竞赛中得了60分，他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题【难度】3星【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 假设他将所有题全部做对了，则可得 100分，实际上只得了 60分，比假设少了 40分，做错一题要 少得8分，少得的40分中，有多少个8分，就是他做错的题的数量，则知他做对了15道.【答案】15道【巩固】 东湖路小学三年级举行数学竞赛， 共20道试题.做对一题得5分，没有做一题或做错一题都要倒扣2分.刘钢得了 86分，问他做对了几道题？【考点】鸡兔同笼问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】假设思想方法【解析】 这道题也类似于 鸡兔同笼”问题.假设刘钢20道题全对，可得分 5M 20 = 100 （分），但他实际上只 得86分，少了 100—86=14 （分），因此他没做或做错了一些题.由于做对一道题得 5分，没做或做错一道题倒扣 2分，所以没做或做错一道题比做对一道题要少 5 + 2=7 （分）.14分中含有多少个7,就是刘钢没做或做错多少道题. 所以，刘钢没做或做错题为14= 7 = 2（道），做对题为20—2=18（道）.【答案】18道【巩固】 某次数学竞赛，试题共有 10道，每做对一题得 6分，每做错一题倒扣 2分。
2013学而思杯数学解析(4年级)
119 118 1 2 11 190 ；下证无论如何分割，A 值为 190 不变： 方法一：找规律：2 尺的木头 A 1 不变，3 尺的木头 A 3 不变，4 尺的木头 A 6 不变，5
2013 年第三届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（四年级）详解
一． 填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 请计算：3、5、7、9、11、13 这 6 个数的平均数是__________． 【考点】计算，平均数 【难度】☆ 【答案】8 【分析】公式法： (3 5 7 9 11 13) 6 8 ；或移多补少找到平均值 8.
故丙追上乙时，丙跑了 16 圈，乙跑了 15 圈，甲跑了 18 圈 5400 米.
5
16. A、B、C、D 四个队进行循环赛，即每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得 3 分，负队得 0 分，平局则各得 1 分，每个队只知道自己 3 场比赛的情况． 裁判说：你们的得分互不相同； A 说：虽然我不知道你们的得分，但我肯定是第一； B 说：那我一定是第二，而且我知道 A 得了多少分； C 说：A 说话之前我就知道我是第三． 根据以上信息，这四个队的得分从高到低组成的四位数是__________．
【考点】行程问题，相遇问题 【难度】☆☆ 【答案】220 【分析】第二次走路，两人相遇在中点，说明两人速度相同，为 20 4 24 米每分；故在第一次走路
时，甲速为 24 米每分，乙速为 20 米每分，两人 5 分钟后相遇，故全长为 (20 24) 5 220 米.
3
12. 有形状、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子各 25 根．在黑暗中，至少应摸出__________ 根筷子，才能保证摸出的筷子至少有 8 双（每两根同色的筷子视为 1 双）．
2016学而思杯数学解析(4年级)
8
再将正六边形进行六等分，一份的面积是 2016 6=336 ，所以，阴影部分面 积是 336 2=672 ．
第二部分 解答题 考生须知：请将第二部分试题解题过程及答案书写在答．题．纸．上 五、计算题（每题 8 分，共 16 分）
10. 下面的加法竖式中，所有数字互不相同，其中，数字 2、0、1、6 已经填好．那 么，这个加法竖式的和是__________．
2
+
6
【考点】数字谜，组合 【难度】☆☆☆
10
【答案】1053 【分析】数字谜出现黄金三角，所以可以确定 c 9 ；因为 e 最小是 3，所以
b 7或8 ．
4
当 b 7 时， e 4 ，此时 a、d、f 三个数分别 3,5,8，无法填出； 当 b 8 时，e 5，此时 a、d、f 三个数分别 3,4,7，经尝试可知 7 2 4 13，
3
8. 已知一个三位数 2aa 与一个质数的乘积是 2016，则这个质数是__________． 【考点】分解质因数与整除，数论 【难度】☆☆ 【答案】7 【分析】有条件可知，2016 除以质数的结果为 2aa ，分别除以 2,3,5,7,11，尝试 可知，这个质数是 7．
三、填空题Ⅲ（每题 7 分，共 28 分） 9. 大宽在玩捕鱼游戏，每捕一条鱼得 5 分，累计捕 40 条鱼后，每捕一条鱼得
3
4
56
5
5
655
6
5
565
5
6 35
1
6
A 5B
C
D5
【考点】数独，组合 【难度】☆☆☆☆ 【答案】2364 【分析】
2015学而思杯数学解析(5年级)_30
7. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 的计算结果末尾有__________个连续的 0． 【考点】质数与合数 【难度】☆☆ 【答案】2 【分析】末尾的 0 由质因数 2 和 5 的个数共同决定，质因数 5 只有 2 个，质因数 2 有不止 2 个
1
2
3
45
【考点】必胜策略 【难度】☆ 【答案】1 【分析】甲不得不走 1，此时 3、4 双杀，乙挡不住了
3. 俗话说：卢沟桥的狮子，数不清．俊俊去卢沟桥数狮子，发现一共有 300 只狮子．其中大狮子与 小狮子的数量之比是 2 :1 ，那么，小狮子有__________只．
【考点】比例应用题 【难度】☆ 【答案】100 【分析】 300 (2 1) 1 100
种.
14. 如图，直角三角形 ABC 中，ABC 90 ，AC 14 ．四边形 BCDE 和四边形 ABFG 都是正方形．连 结 AD，与 BC 相交于点 H．如果 GH 与 AC 平行，那么，阴影四边形 BEDH 的面积是__________．
G
A
H
F
B
C
E
D
【考点】等积变形、勾股定理
8. 一个容积是 100 立方厘米的水杯（即这个水杯装满水时，水的体积是 100 立方厘米），内有一部分
水，盛盛向杯中放入了一个小正方体，水溢出了 20 立方厘米；盛盛又向杯中放入了一个相同的小
正方体，水又溢出了 30 立方厘米（如图）．那么，原来水杯中装有__________立方厘米的水．
溢出20cm3
小学思维数学讲义：巧求周长-带详解
巧求周长知识点拨一、基本概念①周长：封闭图形一周的长度就是这个图形的周长．②面积：物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积．二、基本公式：=⨯(长+宽)，面积=长⨯宽．①长方形的周长2=⨯边长，正方形的面积=边长⨯边长．②正方形的周长4三、常用方法：（1）对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的周长和面积，对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法割补成基本图形，利用长方形、正方形周长及面积计算的公式求解．（2）转化是一种重要的数学思想方法，在转化过程中要抓住“变”与“不变”两个部分．转化后的图形虽然形状变了，但其周长和面积不应该改变，所以在求解过程中不能遗漏掉某些线段的长度或某部分图形的面积．转化的目标是将复杂的图形转化为周长或面积可求的图形．（3）寻求正确有效的解题思路，意味着寻找一条摆脱困境、绕过障碍的途径．因此，我们在解决数学问题时，思考的着重点就是要把所需解决的问题转化为已经能够解决的问题．也就是说，在直接求解不容易或很难找到解题途径的问题时，我们往往转化问题的形式，从侧面或反面寻找突破口，知道最终把它转化成一个或若干个能解决的问题．这种解决问题的思想在数学中叫“化归”，它是数学思维中重要的思想和方法．Array（4）在几何中，有许多图形是由一些基本图形组合、拼凑而成的．这样的图形我们称为不规则图形．不规则图形的面积往往无法直接应用公式计算．那么，不规则图形的面积怎样去计算呢？对称、旋转、平移这几种几何变换就是解决这类面积问题的手段．四、几个重要的解题思想（1）平移在平面图形的计算中，常常要将一个平面图形移动到平面上的另一个位置进行计算．其中，将图形沿一个固定方向的移动叫做平移，一个图形经过平行移动不改变其形状与大小，所以图形面积是保持不变的．利用图形的平移，可以使面积计算问题的解法简捷明快，颇有新意．（2）割补割补法在我国古代叫“出入相补原理”，我国古代魏晋时期著名的数学家刘徽在《九章算术注》中就明确地提出“出入相补，各从其类”的出入相补原理．这个原理的内容是几何图形经过分、合、移、补所拼凑成的新图形，它的面积不变．（3）旋转在平面图形的割补中，有时要将一个图形绕定点旋转到一个新的位置，产生一种新的图形结构，图形在转动过程中形状大小不发生改变．利用这种新的图形结构可以帮我们解决面积的计算问题．（4）对称平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，对面积计算会有很大帮助．（5）代换在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求周长的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．模块一、图形的周长和面积——割补法【例 1】 求图中所有线段的总长(单位：厘米)D【考点】巧求周长 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 要注意到，题目所求的是图中所有线段的总长，而图中的线段，并不仅仅是AB 、BC 、CD 、DE 四段，还包括AC 、BE 等等，因此不能简单地将图中标示的线段长度进行求和．同时应该注意到，43=+=+AC AB BC ；3126=++=++=BE BC CD DE ，等等．因此，为了计算图中所有线段的总长，需要先计算AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段分别被累加了几次．这里，可以按照每条线段分别是由几部分组成的加以讨论：由1段组成的线段共有4条，即AB 、BC 、CD 、DE ，而求和过程中AB 、BC 、CD 、DE 这四条线段各被累加了1次．类似地考虑到，由2段组成的线段共有3条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次, BC 、CD 各被累加了2次．由3段组成的线段共有2条，求和过程中AB 、DE 各被累加了1次，BC 、CD 各被累加了2次．由4段组成的线段只有AE ，其中AB 、BC 、CD 、DE 各被计算了1次．综上所述，AB 、DE 各被计算了4次，BC 、CD 各被计算了6次．因而图中所有线段的总长度为：()()442631=48⨯++⨯+（厘米） 【答案】48【例 2】 如图所示，点B 是线段AD 的中点，由A 、B 、C 、D 四个点所构成的所有线段的长度均为整数，若这些线段的长度之积为10500，则线段AB 的长度是 。
2015学而思杯数学解析（学前）
2015学而思杯数学解析（学前）启用前★绝密2015年第五届全国学而思综合能力测评（学而思杯）数学试卷（学前组）考试时间：40分钟满分：200分姓名：____________ 准考证号：____________ 电话号码：____________考生须知：请将所有的答案写在试卷对应位置上第一部分：基础过关（每题10分，共50分）1. 计算，把答案写在横线上．14+=_______ 52-= _______ _______37+= 8-_______6= 85+=_______ 127-=_______ 144+=______ 17-_______9= 能力考查：计算能力难度：☆试题答案：（第一行）5、3、4、2；（第二行）13、5、18、8 答案详解：考察20以内的基础计算以及加减转换，需要孩子多练习，并且理解加减法之间的转换关系；一年级会逐步进阶到100以内的计算，并开始学习巧算方法。
2. 观察下面的时钟，是_______时_______分．能力考查：常识积累难度：☆试题答案：8时30分答案详解：考查对钟表的认识，要去小朋友会区分时针和分针，时针短，分针长；并认识整点和半点：时针指向几，就是几点，如果时针指向两数之间，就读小数，分针指向12是整点，分针指向6是半点；本题时针指向8和9之间，因此是8点多，分针指向6，因此是8点半，读作为8时30分；一年级会系统学习钟表，并开始认识几时几分。
3.找不同．小朋友，仔细观察下图，共有4处不同，请你在右图．．中圈出来．能力考查：观察能力难度：☆☆试题答案：如上图。
答案详解：考查小朋友有序的观察能力及认真审题的能力。
按照一定的顺序进行观察，从上到下、从左到右逐一对比观察，良好的观察能力是衔接小学图形学习的必备能力。
4.小朋友，从你的角度观察，圈出离你最近的那朵花．能力考查：常识积累难度：☆试题答案：如上图。
答案详解：考查小朋友生活感知能力，凭近大远小的生活常识判断远近。
2015年学而思杯综合能力测评【四年级】数学答案详解
第一行 1 2 3 4
5
6
第二行 1 2 4 7 11 16 第三行 1 2 4 8 15 26 第四行 1 2 4 8 16 31 第五行 1 2 4 8 16 32
绝密※启用前 2015 年学而思综合能力测评（深圳） 四年级 数学
座位号____________________
【解析】对折一次: 2 2 1 3 段，对折二次: 4 2 3 5 段，对折三次: 8 2 7 9 段． 【答案】9 段． 二、 填空题Ⅱ（每题 6 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 7. 右图中，相邻两个格点的距离为 1，那么图中这只羊的面积是_________．
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【解析】连结大正方形的对角线,那么图中浅色的阴影部分可以转换为深色的阴影部分,深色部分的三角形底为中 等正方形与小正方形的边长之和,高为小正方形的边长． 3 3 2 9 ； 9 3 2 13.5 ．因此阴影部分的 面积为 13.5 ． 【答案】 13.5 ．
15. 艾迪参加期末考试，考试分五科，语文、数学、英语、自然、历史．所有科目的平均分是 95 ，语文和数学的
考 生 须 知
1．本试卷共 4 页，20 题 2．本试卷满分 150 分，考试时间 90 分钟 3．在试卷密封线内填写姓名、年级、学校、座位号
一、 填空题Ⅰ（每题 5 分，共 30 分，将答案填在下面的空格处） 1. 计算 1 2 3 4 99= ________． 【解析】等差数列求和． 【答案】4950． 十个连续的自然数，其中质数至多有________个． 【解析】2、3、5、7、11． 【答案】5 个．
学而思杯数学解析 级
16. 有 12 张卡牌，分别写着 1～12，不同卡牌上的数互不相同．甲、乙、丙分别抓取其中的四张牌，
进行游戏．规则如下：
比赛分 4 轮，每轮三人各出一张牌（出过的牌不能再出），并计算三张牌的和，如果和比中间
牌的 3 倍小，则出最小牌的人获胜，反之，则出最大牌的人获胜．如果和等于中间牌的 3 倍，则
无人获胜．（例如：甲、乙、丙分别出的是 2、4、1，则乙获胜）．已知：
① 四轮都有人获胜；
② 甲四轮出牌顺序依次是 3、4、8、1，结果只有前 3 轮获胜；
③ 乙第一次出了他手中四张牌中最小的牌；
④ 乙、丙两人手中四张牌的和相等．
那么，乙所拥有的四张牌的乘积是
．
【考点】逻辑推理
【难度】☆☆☆☆☆
【答案】3150 【分析】①剩余 8 张牌的和是 (1+ 2 +⋯ +12) - 3- 4 - 8-1= 62 ，所以乙、丙的和都是 31；
获胜，剩余的 1 个数一定是 3、4，但 3、4 都已出现，所以 2 也不能在第 3 轮，所以 2 一定是丙第
4 轮由丙出； ④ 如果丙还有 5，那么丙的 4 个数最大，是 2 + 5 +11+12 = 30 < 31，所以 5 一定在乙手上，
那么 5 就是乙最小的牌，5 是在第一轮出的，如果甲的 3 想要获胜，丙只能出 6； ⑤ 丙已经由 2 和 6，丙的 4 个数最大是 2 + 6 +11+12 = 31 ，刚好，所以 11 和 12 只能是丙，
分卡上共出现了
位老师．
【考点】容斥原理
【难度】☆
【答案】550 【分析】 300 + 400 -150 = 550
学而思杯四年级试卷详解
2017第十一届学而思杯四年级试题详解一、填空题Ⅰ（每题8分，共80分） 1. 计算（1）16 1.740.3+++=． （2）65 1.735 1.7⨯+⨯=．【答案】（1）22；（2）170 【考点】小数巧算 【解析】（1）加减法凑整（2）提取公因数2. 如下图，每个小正方形的面积为1，则图中“2017”的面积是 ．【答案】34.5【考点】格点多边形【解析】面积为1的小正方形有30个，面积为0.5的小三角形有9个．3. 甲乙丙丁四人排成一行拍照，有 种不同的排法． 【答案】24【考点】加乘原理【解析】乘法原理即可快速解决：432124⨯⨯⨯=（种）．4. 已知五位数403□□是99的倍数，请问这个五位数是 ．【答案】40392 【考点】整除特征【解析】方法一：99的整除特征，从右往左两位一段求和，和为4+3+□□，是99的倍数，可以推出=994392=□□－－．方法二：试除法，40399994087÷=，40399740392-=．5. 学而思在淘宝上买书架，高书架100元一个，矮书架80元一个，最后花了960元买了10个书架，其中高书架有 个．【答案】8【考点】鸡兔同笼【解析】假设法解决：假设全是矮书架，那10个矮书架共需8010800⨯=（元），比960元少了960800160=－（元），每把一个矮书架换成高书架，多花1008020=－（元），所以高书架有160208÷=（个）．6. 艾迪、薇儿和大宽一共买了960元的零食，已知艾迪支付了总费用的一半，薇儿比大宽多支付了100元，那么大宽付了 元． 【答案】190【考点】和差倍问题【解析】艾迪支付了9602480÷=（元），所以薇儿和大宽共支付了剩下480元，其中薇儿多支付100元，所以用和差问题，推出大宽付了4801002190÷=（－）（元）．7. 甲乙两人从相距1000米的A 、B 两地同时出发，相向而行，甲每秒能走3米，乙每秒能走2米， 秒后两人将相遇． 【答案】200【考点】相遇问题【解析】路程和÷速度和=相遇时间．8. 只能被1和它本身整除的自然数叫做质数，例如：2、3、5、7、11、13；那么90到100之间有 个质数． 【答案】1【考点】因倍质合 【解析】质数为97．9. 如图所示，圆圈中分别填入1到5这5个数，每个三角形顶点上的三个数之和都是10，那么中间圆圈A 上填的数是 ．【答案】5【考点】数阵图【解析】两个三角形顶点上所有数之和为10×2=20，比1234515++++=多了5，而圆圈A正好被算了两次，所以圆圈A 上填的是5．10. 下图中，每个小正方形的面积为1，请问图中面积为4的长方形（包括正方形）共有个．A【答案】12【考点】图形计数【解析】面积为4的长方形分为2×2的正方形和1×4的长方形，前者有8个，后者有4个．二、填空题Ⅱ（每题9分，共36分）11. 下图是一个乘法竖式，最后的乘积结果为 ．0×4719□□□□□□□□□□□□□□□【答案】94799 【考点】数字谜【解析】个位分析法推出第一个乘数个位为7，进而推出第一个乘数十位为1，此时第一个乘数乘7为五位数，乘4为四位数，这样的乘数只可能是2017，20174794799⨯=．12. 甲乙丙三个小朋友参加学而思杯考试，满分200分，最后三个人得分各不相同，三个人总分正好能被20和17整除，请问分数最高的甲至少得 分． 【答案】115【考点】最值问题【解析】三人总分最高为2003=600⨯（分），而这个总分正好被20和17整除，所以总分为2017340⨯=（分），此时要求所有人得分各不相同，并且分数最高的人得分尽量低，此时应尽量平分，34031131÷=，再稍作调整，得到三人分数分别为112，113，115．13. 某印刷厂接到订单要印刷一批书，如果每天印刷30本，则会比规定时间晚4天完成任务；为了如期完成任务，印刷厂决定每天多印刷5本，这样刚好能在规定时间完成印刷，那么印刷厂总共要印刷 本书． 【答案】840【考点】盈亏问题【解析】经典盈亏变形题目，把天数变得一样多即可，这儿我们把时间都统一为规定时间，将第一次多的4天给去掉，这样第一次就会比订单要求少印430120⨯=（本），再用总差÷每份差=份数，得出天数为120÷5=24（天），再用30244840⨯+=（）（本）或30524840+⨯=（）（本），即可算出答案．14. 如图所示，D 是AB 的中点，E 为BC 边靠近B 点的三等分点，已知三角形ADF 的面积为3，三角形CEF 的面积为8，那么三角形ABC 的面积为 ．【答案】30【考点】等积变形 【解析】三角形DBF 和三角形ADF 等高，面积相等，都为3；三角形BEF 和三角形CEF 等高，前者为后者的一半，即824÷=，此时得出大三角形CDB 面积为84315++=，大三角形ACD 与三角形CDB 等高，面积相等，都为15，所以三角形ABC 面积为30．三、填空题Ⅲ（每题10分，共40分）15. 如下图所示，在三角形中内接一个正方形和一个三角形，得到一个新的图形，我们称之为一次操作，下图为两次操作之后的结果，那么5次操作后，得到的图形里，共能找到 个三角形．【答案】31【考点】归纳与递推 【解析】原来有1个，每次操作后，三角形增加6个，所以5次操作后变为16531+⨯=（个）16. 好未来小学展开了一项名叫“我最喜欢的学科”的调查，问卷上只有数学和英语两个选项，学生们可以给自己喜欢的学科打勾（可以不选）；最后发现，有1000人参与了这次调查，共有1300个勾，其中只喜欢数学的有100人，喜欢英语的学生中有一半同样喜欢数学，那么只喜欢一门学科的有 人． 【答案】500【考点】容斥原理/鸡兔同笼【解析】根据容斥原理知道，所有学生分为4类：只喜欢数学，只喜欢英语，两门都喜欢，CBADEF83两门都不喜欢；其中把只喜欢数学的100人去掉，还剩900人，勾还剩130********-=（个）；设两门都喜欢的有x 人，那么只喜欢英语的也有x 人，两门都不喜欢的有9002x （－）人， 两门都喜欢的最后打了2x 个勾，只喜欢英语的打了x 个勾，两门都不喜欢的最后没有打勾；所以列出方程21200x x +=，算出400x =，所以只喜欢数学的100人，只喜欢英语的400人，只喜欢一门的为100400500+=（人）．17. 将从1如果一直写下去，肯定会在某行出现连续的两个数字“0”，我们把这样连续两个“0”叫做“双黄蛋”，那么第三个“双黄蛋”出现在第 行． 【答案】156【考点】页码问题/周期问题【解析】数表规律为：从1开始连续自然数，每个数字占一格，写7个数字就换行；第一个“双黄蛋”出现在写100的时候，第二个“双黄蛋”出现在写200的时候； 第三个“双黄蛋”应该出现在写300的时候，不过以防万一，我们算下100、200和300，他们的“0”是否在同一行里，此处我们算下300后一个“0”在哪个位置： 1~9：9个数字；10~99，180个数字；100~300，2013603⨯=（个）数字，所以后一个“0”是第918060379++=（个）数字，算下这个数字的位置，79271131÷=，发现写300时，后一个“0”在第一列，前一个“0”在上一行最后一列，两个“0”不在同一行，所以不符合“双黄蛋”的要求． 同样方法，可以推出100和200都是符合要求的； 所以第三个“双黄蛋”只能出现在写400的时候，这时会再多写100个三位数，即多写300个数字，所以写400时，后一个“0”是第7923001092+=（个）数字，用周期问题算出位置：10927156÷=，所以第三个“双黄蛋”出现在第156行．18. 右图中，三角形ABC 是一个直角三角形，角ABC 是90度，AB =6，BC =8，AD =13，BC和AD 平行，BD 和CE 平行，BF 和DE 平行，那么阴影部分面积为 ．13FEDCB A86【答案】24【考点】等积变形【解析】如下图进行三次等积变形，三角形DEF 面积等于三角形BDE 的面积，三角形BDE 的面积等于三角形BCD 的面积，三角形BCD 的面积等于三角形ABC 的面积，三角形ABC 面积为68224⨯÷=，因此三角形DEF 面积为24．四、填空题Ⅳ（每题11分，共44分）19. 已知三位数abc ̅̅̅̅̅，交换数字顺序后得到另外两个三位数bca ̅̅̅̅̅和cab̅̅̅̅̅，这三个三位数恰好组成一个等差数列，并且a =1，b ＜c ，求bc ̅̅̅= ． 【答案】48【考点】位值原理【解析】方法一：枚举法尝试，从b =1开始尝试；方法二：位值原理解决2×bca ̅̅̅̅̅=abc ̅̅̅̅̅+cab̅̅̅̅̅，位值原理得210010)(10010)(10010)b c a a b c c a b ⨯++=+++++（，整理得20020211011101b c a a b c ++=++；继续整理得：18910881b a c =+，743b a c =+，将a =1代入得743b c =+，最后尝试得b =4，c =8，bc ̅̅̅=48．20. 甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲的速度是乙的2倍，两人相遇后继续前行，各自到达B 、A 两地后立即返回，甲到达B 地后速度减半，乙到达A 地后速度翻倍，最后在C 点相遇，已知A 、B 两地相距300米，请问A 、C 两地相距 米． 【答案】100【考点】相遇问题【解析】我们一段一段的分析路程，即可解决这个问题：刚开始甲的速度是乙的2倍，所以第一次相遇时，路程也应该是2倍的关系，甲走了200米，乙走了100米；甲再往前走100米即可到达B 点，此时乙走的路程为甲的一半，即50米；当甲到达B 点后，速度减半，此时甲乙速度相等，乙再走150米到A 地，此时甲也走了150米；最后乙速度翻倍，变为甲的2倍，所以最后150米的距离，甲走了50米，乙走了甲的2倍100米，最后如图所示，AC 距离100米．68ABCDEF1313FEDCB A8613FEDCB86A21. 有6个数字2、3、4、5、6、7，从中选择4个互不相同的数字，组成一个四位数abcd̅̅̅̅̅̅̅，关于这个四位数，艾迪、薇儿、博士和大宽有以下的对话： 艾迪：“这个四位数是63的倍数．” 薇儿：“前两位ab ̅̅̅是一个质数．”博士：“两位数bd̅̅̅̅是一个质数．” 大宽：“后两位cd̅̅̅是一个平方数．” 已知他们之中只有3人的对话是正确的，所以abcd̅̅̅̅̅̅̅是 ． 【答案】4725【考点】因倍质合/整除特征【解析】对于这类问题，我们着重于去找出矛盾，此处看博士和大宽的对话，根据博士的话，bd ̅̅̅̅是一个质数，d 只能是3、7；而根据大宽的对话，cd̅̅̅是一个平方数，d 只 能是4、5和6，此时两人之间必有一人说错，所以艾迪和薇儿说的都是对的； 根据艾迪的话，此数是63的倍数，即同时被7和9整除；根据被9整除，这个四 位数数字和为9的倍数，而我们发现任选四个数字，和最小为234514+++=， 最大为456722+++=，所以这四个数字之和只能为18．下面我们讨论下博士和大宽到低谁对谁错；如果博士对，那么ab ̅̅̅和bd̅̅̅̅都是质数， b 和d 一个选3，另一个选7，此时根据数字和为18，可以轻易推出a 和c 一个选2，另一个选6；此时试验下来，abcd̅̅̅̅̅̅̅可能为2367、6723，两个都不是7的倍 数，排除这种可能，所以博士的对话是错的，大宽的对话才是对的，cd̅̅̅是一个平 方数．观察后两位cd̅̅̅是一个平方数，只可能是25、36、64； 如果cd ̅̅̅是25，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为4和7，此时ab ̅̅̅只能是 47，四位数4725是7的倍数，符合条件；如果cd̅̅̅是36，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为4和5，或者2和7， 然而4和5或者2和7都无法组出质数，不符合条件，排除；如果cd ̅̅̅是64，根据9的整除特征，得出前两个数字分别为3和5，此时ab ̅̅̅是个质 数，只能是53，四位数5364不是7的倍数，不符合条件，排除；所以答案是 4725．22. 黑板上从1开始写了很多平方数：1、4、9、16……我们把相邻两个平方数相减，求出来的差写在两个数之间，例如：1和4相减，求出来3，将3写在1和4之间，变成1、3、4……再把4和9相减，求出来5，将5写在4和9之间，变成1、3、4、5、9……这样操作完之后，整个数列变成了1、3、4、5、9、7、16． 然后我们把数列里所有的数连在一起，组成一个很长的数：13459716……我们把这个数叫做“学而思数”．2001001005015015010050ABC（1）这个数从左往右第10个数字是．（2）黑板上第一次出现“484”时，这个8是从左往右第个数字．（3）从左往右第600个数字是．【答案】（1）2；（2）91；（3）0．【考点】杂题【解析】（1）写出前10个数字：1345971692，第10个数字为2；（2）我们知道相邻两个平方数的差为奇数，而484三个数字都是偶数，所以写出484有以下三种可能：=⨯，当写到22的平方时出现；①4842222②484前面48是某个平方数的后半部分，但平方数个位不可能是8，排除；③484前面4是某个平方数的后半部分，简单尝试后，结果比22的平方大很多；数字，平方数之差到22222143-=，43是第21个平方差，前面所有平方差共有：+=（）（个）数字，所以写完22的平方484后，共写了543892 41214238⨯+-⨯=（个）数字，所以8是从左往右第91个数字．（3）从上表，我们写到31的平方数后，粗略估计，离600个数字还差的比较远，所以我们试下写完所有四位平方数，也就是写到99的平方数：⨯=（个）数字；一位平方数221~3：313二位平方数224~9：93212（）（个）数字；-⨯=三位平方数2210~31：319366（）（个）数字；-⨯=四位平方数2232~99：9931)4272（（个）数字；-⨯=平方差写到了22-=，是第98个平方差：9998197一位平方差：4个数字；二位平方差：494290（）（个）数字；-⨯=三位平方差：98493147-⨯=（）（个）数字；++++++=（个）数字；算出写完99的平方后，共写了31266272490147594-=（个）数字，再往后写6个数字，99的平方后面应该是还差600594622-=，再往后是100的平方，即10000，所以第600个数字是0．10099199。
小学思维数学讲义：年龄问题(三)含答案解析
年龄问题（三）1. 掌握用线段图法来分析题中的年龄关系.2. 利用已经学习的和差、和倍、差倍的方法求解年龄问题．知识点说明： 一、年龄问题变化关系的三个基本规律：1. 两人年龄的倍数关系是变化的量.2. 每个人的年龄随着时间的增加都增加相等的量；3. 两个人之间的年龄差不变二、年龄问题的解题要点是：1．入手：分析题意从表示年龄间倍数关系的条件入手理解数量关系．2．关键：抓住“年龄差”不变．3．解法：应用“差倍”、“和倍”或“和差”问题数量关系式．4．陷阱：求过去、现在、将来。
年龄问题变化关系的三个基本规律：1．两人年龄的差是不变的量；2.两个人的年龄增加量是不变的；3．两人年龄的倍数关系是变化的量；年龄问题的解题正确率保证：验算！年龄与和差倍分问题综合【例 1】 王刚、李强和小莉、小芳是两对夫妻，四人的年龄和为132，丈夫都比妻子大5岁，李强比小芳大6岁．小莉（ ）岁．【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，初赛【解析】 通过丈夫都比妻子大5岁，李强比小芳大6岁．知道李强和小莉才是夫妻，那么小莉比李强小5岁，王刚和小芳是夫妻，小芳比李强小6岁，小芳又比王刚小5岁，可见王刚比李强小1岁，画图如下：我们可以先求出李强的年龄：（132+1+6+5）÷4=36（岁），那么小莉的年龄是：36-5=31（岁）。
【答案】小莉31岁。
【例 2】 一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为例题精讲 知识精讲教学目标1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4）=8（岁），妈妈的年龄是：8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为32岁.【答案】孩子8岁，爸爸妈妈32岁【例 3】 父子年龄之和是45岁，再过5年，父亲的年龄正好是儿子的4倍，父子今年各多少岁？【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 再过5年，父子俩一共长了10岁，那时他们的年龄之和是4510=55+(岁)，由于父亲的年龄是儿子的4倍，因而55岁相当于儿子年龄的41=5+倍，可以先求出儿子5年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄．5年后的年龄和为：455255+⨯=(岁)；5年后儿子的年龄：554111÷+=（）(岁) 儿子今年的年龄：1156-=(岁)，父亲今年的年龄：45639-=(岁)【答案】儿子6岁，父亲39岁【巩固】 父子年龄之和是60岁，8年前父亲的年龄正好是儿子的3倍，问父子今年各多少岁？【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由已知条件可以得出，8年前父子年龄之和是608244-⨯=(岁)，又知道8年前父亲的年龄正好是儿子的3倍，由此可得：儿子：608231819-⨯÷++=（）（）(岁)；父亲：601941-=(岁)【答案】父亲41岁，儿子19岁【例 4】 王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是20岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是18岁．王老师今年32岁，李老师今年多少岁?【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 王老师比李老师大2031836⨯-⨯=(岁)．故李老师今年的年龄为32626-=(岁)．【答案】26岁【例 5】 小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁），爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．【答案】31岁【例 6】 我们每次过生日都要吃蛋糕，一般蛋糕上面都要插蜡烛，而且蜡烛数目恰好等于他生日那天的年龄.小明每年过生日都要吃蛋糕，今天又是小明的生日，从出生到今天，他的生日蛋糕共有24根蜡烛，则小明今天过的是____________________岁生日．【考点】年龄问题 【难度】3星 【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第2题【解析】 12345621+++++=，123456728++++++=，无法达到24。
2015年学而思综合能力测评【四年级】数学试卷【解析】
2015 年第五届全国学而思综合能力测评（学而思杯）
数学试卷（四年级）
一．填空题Ⅰ（每题 5 分，共 20 分） 1. 在下图的两个空白圆圈内填入适当的自然数，使得三角形每条边上三个数的和都相等．那么，左
下角的圆圈内应填__________．
2
1
【考点】数阵图 【难度】☆ 【答案】3 【分析】略
05
列，1213 156 ．
12. 用 1、2、3、4、8、9 这六个数字各一个，组成一个六位数，如果这个六位数能够被 1、2、3、4、 8、9 中的任意一个数字整除．那么，符合要求的六位数有__________个．
【考点】整除、计数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】84 【分析】虽然看上去限制颇多，但实际上由于数字和是1 2 3 4 8 9 27 ，无论怎么组，必然是 3
A
B
D
C
【考点】等积变形、面积公式
【难度】☆
【答案】20
【分析】阴影部分面积即三角形 ACD 的面积，10 4 2 20
4. 老师让班上的男生去搬资料．已知资料共有 25 箱，1 名男生一次只能搬 1 箱；但如果 3 名男生合 作，一次能搬 4 箱．现在要求一次全部搬完，那么至少需要__________名男生．
2012学而思杯数学解析(4年级)
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三、填空题（每题 10 分，共 4 10=40 分） 9．2012 年(闰年)的星期一比星期二多，那么 2012 年的元旦是星期__________．(星期一到星期日分别用 1 到 7 表示) 10．下图是北京市地铁线路图(部分)，琦琦老师某天要从海淀黄庄坐地铁去蒲黄榆教学点开家长会，琦琦老 师在海淀黄庄站上车，到在蒲黄榆站下车，最少需要坐__________站地铁．(不需要考虑换乘次数)
34 36 102 98 34 3 12 102 98 102 12 102 98 102 (12 98) 102 110 11220
3．如图所示，三个正六边形的面积均为 6 平方厘米，那么，阴影部分的面积是__________平方厘米．
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【考点】最短路线 【难度】★ 【答案】15 【解析】站数最少的路线为海淀黄庄起 10 号线到知春路（2 站） ，转 13 号线至西直门（2 站） ，转 2 号线至 崇文门（8 站） ，转 5 号线至蒲黄榆（3 站） ，一共 2 2 8 3 15 （站） ． 11．同学们熟悉的 e 度论坛网址是 ，如果令每个字母代表 0 到 9 中的一个数字(相同字母代表相 同 数 字 ， 不 同 字 母 代 表 不 同 数 字 ) ， 恰 好 得 到 的 两 个 三 位 数 和 一 个 四 位 数 之 和 等 于 2012 ， 即 bbs eduu com 2012 ，那么，四位数 eduu 的最大值＝__________． 【考点】位值原理 【难度】★★★ 【答案】1477 【解析】 eduu 中 e 1 ，若要 eduu 最大，则 bbs 和 com 尽量小，因此 b 2 ， c 3 ， o 0 ，由位值原理得：
小学思维数学讲义：容斥原理之重叠问题(一)-带答案解析
容斥原理之重叠问题（一）1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题 A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．两量重叠问题【例 1】小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、语文、数学；小英喜欢：数学、英语、音乐、陶艺、跳绳。
四年级学而思奥数讲义
四年级学而思奥数讲义
目录
1. 引言
2. 第一章: 基本数学运算
3. 第二章: 数字与数的关系
4. 第三章: 分数和小数
5. 第四章: 几何形状
1. 引言
学而思奥数讲义是为四年级学生设计的数学研究材料。
本讲义旨在帮助学生掌握奥数中的基础概念和解题技巧，以提升他们在数学领域的能力。
2. 第一章: 基本数学运算
这一章节将介绍四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。
学生将研究如何进行这些运算，并通过练题加深理解。
3. 第二章: 数字与数的关系
在这一章节中，学生将研究数字的分类和排序，以及数字之间的关系。
他们将掌握如何使用大于、小于和等于符号来比较数字，并通过实例练加强掌握。
4. 第三章: 分数和小数
分数和小数是四年级数学中的重要概念。
本章将介绍如何读写分数和小数，并涵盖分数和小数之间的转换。
学生将通过实例练巩固所学知识。
5. 第四章: 几何形状
在这一章中，学生将探索不同的几何形状，包括正方形、长方形、圆形和三角形。
他们将研究如何计算这些形状的周长和面积，并通过练题应用所学知识。
本文档将作为四年级学生研究学而思奥数的参考资料。
学生可以根据讲义中的例题和练题进行实际操作和巩固知识。
希望这份讲义能够帮助学生提高数学能力，并享受数学研究的乐趣。
以上是《四年级学而思奥数讲义》的简要目录和介绍。
祝学生们研究愉快！。
四年级学而思杯短期班拓展题目详解
计算详解：直接计算即可，注意列竖式别错位原式=199999998÷10001=19998详解：构造公因数 9.4=4.7×2原式=4.7×8.4+4.7×2×19+4.7×3.6=4.7×（8.4+38+3.6）=4.7×50=235详解：速算+直接计算原式=10.01+10+0.1=20.13详解：平方差公式原式=35²-1²+100²-2²=1225+10000-5 =11220详解：原式=10000000+1000000+100000+10000+1000+100-12=11111088几何解析：图形分割如右图我们发现，小的空白部分占一个小正六边形总共6份中的2份，也就是整个的1/3，那么阴影就是整个的2/3那么就是4平方厘米。
解析：图形分割如右图我们发现每一个小正三角形面积是24÷24=1利用毕克定理或者分割的方法，可以知道阴影部分的面积是2+1+2=5应用题解析：由题意，设一共有x 道题目那么根据“小强答对的题的数量等于小明与小刚答对题的数量之和”列方程x-3=(x-10)+(x-8)x=15答：这次测验有15道题解析：设女生有x人，那么根据她们认识的男生人数是个自然数列，而且认识男生最多的女生认识（50-x）个，最少的15个这个条件列方程50-x-15+1=xx=18(从15,16,17……50-x一共有x项，和女生数目应该相同)解析：设女生有x人，那么男生就是2(x-1)人（一位女同学却说，我看到的红色旅行包个数是黄色旅行包个数的2倍）那么根据另外一个条件列方程（一位男同学说，我看到红色旅行包个数是黄色旅行包个数的1.5倍）2（x-1）-1=1.5xx=6解析：设刚开始卡车数量是x辆，那么刚开始轿车数量就是3.5x那么根据后边一次的情况列方程：2.3（x+6）=3.5x-3x=1414+14×3.5=14+49=63（辆）解析：设买奶糖的重量是x千克，那买水果糖的重量就是x+4千克那么根据花了同样多的钱列方程：24x=18（x+4）x=1212+4=16（千克）答：水果糖买了16千克，奶糖买了12千克解析：设下半年平均用电是x千瓦时，那上半年平均用电就是x-100千瓦时那么根据总耗电10200千瓦时列方程：6x+6(x-100)=10200x=900答：柯南下半年平均用电是900千瓦时解析：因为前4个数的总和、后4个数总和以及全部数的总和都可以求，如果把前4个数的和加上后4个数的和发现，那么第4个数重复计算一次，得到算法：8×4+13×4-7×11=7数论解析：根据99的整除特征（右起两位一段，各段和是99的倍数）99 （AB+53+8）根据大小范围，AB 只能是38解析：末尾不定用“试除”这个数肯定是 9×17×5=765的倍数14999÷765=19 (464)14999-464=14535所以末三位是535解析：根据质数的末尾的特殊性，发现，只有n 的个位是5的时候，才能保证其他数也都是质数。
【奥赛】小学数学竞赛：位值原理.教师版解题技巧 培优 易错 难
1. 利用位值原理的定义进行拆分2. 巧用方程解位值原理的题位值原理 当我们把物体同数相联系的过程中，会碰到的数越来越大，如果这种联系过程中，只用我们的手指头，那么到了“十”这个数，我们就无法数下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的玛雅人把脚趾也用上，只不过能数二十。
我们显然知道，数是可以无穷无尽地写下去的，因此，我们必须把数的概念从实物的世界中解放出来，抽象地研究如何表示它们，如何对它们进行运算。
这就涉及到了记数，记数时，同一个数字由于所在位置的不同，表示的数值也不同。
既是说，一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。
例如，用符号555表示五百五十五时，这三个数字具有相同的数值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。
最右边的五表示五个一，最左边的五表示五个百，中间的五表示五个十。
但是在奥数中位值问题就远远没有这么简单了，现在就将解位值的三大法宝给同学们。
希望同学们在做题中认真体会。
1.位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。
也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。
例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2.位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdef =a ×100000+b ×10000+c ×1000+d ×100+e ×10+f 。
3.解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x ，列方程解答模块一、简单的位值原理拆分【例 1】 一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。
这个两位数的各位数字的和是 。
【考点】简单的位值原理拆分 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，4年级，初赛，7题，六年级，初赛，第8题，5分【解析】 这个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100，也就是说，十位数字的10倍加上个位数字的10倍等于100，所以十位数字加个位数字等于100÷10＝10。
2015年学而思综合能力测评【四年级】数学试卷【解析】
2. 三国时期曹刘大战，曹操派张辽率领精英小分队率先出发．已知张辽一行共 36 人，张辽自己住 1 个帐篷，其余人每 5 人住 1 个帐篷．那么，一共需要__________个帐篷．
【考点】应用题 【难度】☆ 【答案】8 【分析】 (36 1) 5 1 8
3. 如图，已知梯形 ABCD 中， CD 10 ，梯形 ABCD 的高是 4，那么阴影部分的面积是__________．
□□ □1
□□
93 11
93
93 1 0□□
93 1023
7. 学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有 2015 名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有 406 人，不会滑雪的有 460 人．那么，其 中两种运动都会的有__________人．
3~5
6~8
9~11
乙
0~100
100~200
200~300
300~400
第一次超越 第二次超越 第三次超越
精细计算，甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了 300 40 7.5 分钟（甲停丙也停），则丙一共走了 7.5 60 450 米
五．计算题（每题 8 分，共 16 分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：
18. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1） 4.355.3 0.435 57 43.5
（2） 2 x 1 3x 23
【考点】提取公因数、解方程 【难度】☆☆ 【答案】4.35、 x 5 【分析】（1） 4.35 5.3 0.435 57 43.5 4.35 (5.3 5.7 10) 4.351 4.35
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10. 四支足球队进行单循环比赛，即每两个队伍之间都要赛一场．每场比赛，胜者得 2 分，负者得 0 分，如果打平则两队各得 1 分．所有比赛结束后统计四支队伍的得分，发现每支队伍的得分都是 偶数，且前两名的得分相同，后两名的得分相同．那么，这四支队伍的得分从高到低组成的四位 数是__________．
由于 1 只比 0 大，所以 1 只能放在边上，旁边是 0，同理，剩下的数中，3 只比 2 大，所以 3 只能放在 0 旁边，再放上 2，以此类推，这个十位数只能是 1032547698
14. 如图，一个正方形，与 4 个等腰直角三角形，恰好拼成了一个长方形．如果正方形的面积是 16， 那么，长方形的面积是__________．
【考点】体育比赛 【难度】☆☆ 【答案】4422 【分析】210 计分制总分固定，共有 3 2 1 6 场比赛，共 6 2 12 分，由于不会出现两个满分或两
个零分，所以12 4 4 2 2 ．
11. 如图，把从 1 开始的自然数按一定规律排列起来．如果 46 在这个数表的第 a 行，第 b 列，那么 a b __________．
A
B
D
C
【考点】等积变形、面积公式
【难度】☆
【答案】20
【分析】阴影部分面积即三角形 ACD 的面积，10 4 2 20
4. 老师让班上的男生去搬资料．已知资料共有 25 箱，1 名男生一次只能搬 1 箱；但如果 3 名男生合 作，一次能搬 4 箱．现在要求一次全部搬完，那么至少需要__________名男生．
20. 定义新运算“ ”： a b 表示整数 a 与整数 b 的乘积去掉后两位所形成的数 （请注意：当 a b 100 时，或者 a、b 不是整数时，a、b 不能使用 60 7 ．回答下列问题：
（1）计算17 99 ；（3 分） （2）如果 m m m ，请求出整数 m 的最小值；（6 分） （3）如果 x y x y ，请求出 x y 的最小值．（6 分） 【考点】定义新运算、最值问题 【难度】☆☆☆☆ 【答案】16、100、21 【分析】（1）17 99 1683 ，所以17 99 16 （2）需要 m m 大小至少是 m00 ，即 100m，所以最小是100 100 100 （3）两个数差越小，即越接近，其“新运算”的结果越小，乘积就会小，乘积小、差也小，和就 必然较小．注意定义中说到乘积小于 100 不能运算，则差最小是 1，所以尝试 x y 1 ，即乘积是 100 多、差是 1 的两个数，那么1110 110 ，满足条件，两数和为 21
16. 如图，在一个周长是 300 米的环形跑道上，甲、乙、丙三人同时从 A 地出发，甲、乙沿顺时针方 向行走，速度分别是每分钟 40 米和每分钟 50 米；丙沿逆时针方向行走，速度是每分钟 60 米．乙 每跑 100 米，就要休息 1 分钟；甲、丙每次相遇，两人都会同时休息半分钟．那么，当甲第三次 超越乙时，丙一共走了__________米．
和 9 的倍数，而 8 是 4、2、1 的倍数，只需要满足被 8 整除即可满足全部条件（但在计数时仍需 要逐步思考 2、4、8 的整除特征）．
由 2 的整除特征，末位必须为偶数，即 2、4、8； 由 4 的整除特征，个位是 2 则十位要是奇数，即 12、32、92；个位是 4 或 8 则十位要是偶数， 即 24、84、28、48； 由 8 的整除特征，末两位是 12、92、84、28 这些不能被 8 整除的数时，百位是奇数，有 2 2 3 3 10 种情况；末两位是 32、24、48 这些能被 8 整除的数时，百位是偶数，有 2 1 1 4 种情况，共10 4 14 种情况； 末三位定好后前三位随意排布，共14 3 2 1 84 种情况
18. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果： （1） 4.35 5.3 0.435 57 43.5
（2） 2 x 1 3x 23
【考点】提取公因数、解方程 【难度】☆☆ 【答案】4.35、 x 5 【分析】（1） 4.35 5.3 0.435 57 43.5 4.35 (5.3 5.7 10) 4.35 1 4.35
【考点】平均数问题 【难度】☆☆ 【答案】22 【分析】可以看出，三人所花钱数成等差数列，盛盛就是平均数， 20 2 22
6. 将下面的乘法竖式数字谜补充完整，其中，两个乘数的和是__________．
×
1
3
【考点】数字谜
【难度】☆☆
【答案】104
【分析】由下面的加法，得到下左图， 93 1 93 3 31 ，由于必然进位，最后只能如下右图．
2 个 9（进一次位数字和少 9），所以不难发现，这五个数的数字和必然有 3 的倍数，所以必有一个 数的数字和是 3，加 2 得到 5，再加得到 7，再加不能得到质数了，这说明这个数前面还有数，而 前面的数数字和又不能是 1，说明有进位，这个数只能是 201 或 111，前一个数分别是 199 和 109,199 数字和是 19，前一个 197 数字和 17 满足条件，所以这五个数是 197、199、201、203、205，和是 201 的 5 倍，1005
6~8
9~11
乙
0~100
100~200
200~300
300~400
第一次超越 第二次超越 第三次超越
精细计算，甲分别在乙前三次停时进行了三次超越，当甲第三次超越乙时，甲一共跑了 300 40 7.5 分钟（甲停丙也停），则丙一共走了 7.5 60 450 米
五．计算题（每题 8 分，共 16 分） 17. 计算下列题目，写出简要的计算过程与计算结果：
甲
丙
A
乙
300m
【考点】环形跑道、走走停停
【难度】☆☆☆☆
【答案】450
【分析】 300 (40 60) 3 ，则甲丙每跑 3 分钟休息半分钟，100 50 2 ，列表
0~3
3.5~6.5
7~10
10.5~13.5
甲
0~120
120~240
240~360
360~480
0~2
3~5
□□
93
□1
11
□□
93
93
93
1 0 □□
1023
7. 学而思准备成立“滑滑社团”，要求必须至少会滑冰、滑雪中的一项，才有资格成为团员．已知有 2015 名符合上述要求的人前来报名，其中不会滑冰的有 406 人，不会滑雪的有 460 人．那么，其 中两种运动都会的有__________人．
（1） 22 23 24 25 26 27 （2） 372 132 【考点】第五种运算、平方差公式 【难度】☆☆ 【答案】2、1200 【分析】（1） 22 23 24 25 26 27 2234567 21 2 （2） 372 132 (37 13) (37 13) 50 24 1200 ，或 372 132 1369 169 1200
列，12 13 156 ．
12. 用 1、2、3、4、8、9 这六个数字各一个，组成一个六位数，如果这个六位数能够被 1、2、3、4、 8、9 中的任意一个数字整除．那么，符合要求的六位数有__________个．
【考点】整除、计数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】84 【分析】虽然看上去限制颇多，但实际上由于数字和是1 2 3 4 8 9 27 ，无论怎么组，必然是 3
浮列车的速度是每秒 120 米．回答下列问题： （1）该列车完全通过轨道旁的一根电线杆只用了 2.5 秒，请问：该列车车身长度是多少米？（5 分） （2）该列车完全通过一条长度是 420 米的隧道，需要多少秒？（5 分） （3）俊俊骑自行车在轨道旁匀速行驶，该列车从俊俊的后方驶来．从列车车头追上俊俊，到车尾 离开俊俊，共用时 3 秒．请问：俊俊骑自行车速度是每秒多少米？（自行车长度忽略不计）（5 分） 【考点】火车过桥 【难度】☆☆ 【答案】300、6、20 【分析】（1）120 2.5 300 米 （2） (420 300) 120 6 秒 （3）120 300 3 20 米/秒
2. 三国时期曹刘大战，曹操派张辽率领精英小分队率先出发．已知张辽一行共 36 人，张辽自己住 1 个帐篷，其余人每 5 人住 1 个帐篷．那么，一共需要__________个帐篷．
【考点】应用题 【难度】☆ 【答案】8 【分析】 (36 1) 5 1 8
3. 如图，已知梯形 ABCD 中， CD 10 ，梯形 ABCD 的高是 4，那么阴影部分的面积是__________．
四．填空题Ⅳ（每题 8 分，共 32 分） 13. 一个十位数，满足如下三个条件：
① 各位数字互不相同； ② 首位是奇数，且相邻数位数字奇偶性不同； ③ 每个数字（最高位和最低位除外），要么比与它相邻的两个数字都大，要么比与它相邻的两个
数字都小． 那么，这个十位数的后五位是__________． 【考点】逻辑推理 【难度】☆☆☆ 【答案】47698 【分析】奇偶间隔，大小呈“波动型”，也就是要么奇数比相邻数大，偶数比相邻数小，要么反之．由 于 0 一定比所有数小，所以一定是奇数比相邻数大，偶数比相邻数小．
【考点】方形数表 【难度】☆☆
第第第第第第第第 1 2 3 4 5 6 7 8…
列列列列列列列列
第1行 1 2 3 4
第2行 5 6 7 8
第3行 第4行 第5行
…
9 10 11 12 ………… …………
【答案】156 【分析】 46 4 112 ，即第 12 行第 2 个数，第 12 行由第 12 列开始写，所以 46 在第 12 行第 13
2015 年第九届北京学而思综合能力测评（学而思杯）