角谷静夫不动点定理

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不动点定理

不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。

该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。

不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。

假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。

对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。

这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。

我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。

我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。

很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。

现在我们将问题扩展到更一般的函数。

假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。

通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。

这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。

不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。

这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。

不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。

例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。

这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。

总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。

通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。

不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。

在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。

角谷静夫不动点定理证明

角谷静夫不动点定理证明角谷静夫不动点定理是日本数学家角谷静夫于1904年发表的一项重要的不动点定理，它说明了不动点是函数的局部极小值，并给出了关于不动点存在性和计算方法的突破性结论。

它是信息计算技术与应用研究中重要的数学基础之一，而且在理论研究与应用中都发挥着重要作用。

角谷静夫不动点定理的传统证明是通过从Rolle的定理和Mean-Value Theorem发展而来的，这是对角谷静夫不动点定理证明的最简单的方法。

它首先利用Rolle的定理说明函数f(x)在区间[a,b]上存在至少一个不动点c，然后利用Mean-Value Theorem说明这个不动点c满足f (c)=0。

最后，针对函数f（x）在区间[a,b]上存在多个不动点的情形，提出了极值判定法，从而给出了关于不动点存在性的结论。

此外，角谷静夫不动点定理还提出了关于不动点的计算方法，它以一种极简的形式描述了由函数的导数来求解不动点的思路，并针对特定情况，给出了具体的计算步骤。

它的运用覆盖了函数的一些基本定义，即函数的导数的定义、函数的不动点的定义、函数的存在性、函数的极大值与极小值、函数的积分与微分等，在数学上均起到了重要的作用。

使用角谷静夫不动点定理，我们可以通过科学、有效地求解函数的不动点，从而研究函数在某一给定区间上的极大值、极小值和极大和极小之间的关系。

有了这些结论，就可以更好地理解函数的构造，从而帮助对函数的研究和应用，如最优化方法、函数拟合、曲线绘制等。

角谷静夫不动点定理的发现为数学的发展贡献了重要的成果，它也是信息计算技术与应用研究中重要的数学基础之一，而且在理论研究与应用中都发挥着重要作用。

因此，角谷静夫不动点定理的证明对于数学与信息技术领域的发展具有重要的意义，值得深入研究。

通过上述讨论，我们可以看出，角谷静夫不动点定理的出现，为一些重要的数学问题提供了一个有效的应用方法，而且它还为应用中的实际问题提供了有益的指导。

借助角谷静夫不动点定理，我们可以更好地理解函数，有助于我们更有效地解决真实世界中的问题，从而推动科学发展。

不动点定理研究

前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。

作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。

1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。

纳什平衡Nash Equilibrium

纳什平衡Nash Equilibrium2010-02-11 16:48:59纳什平衡（Nash Equilibrium），又称为非合作赛局平（Non-Cooperative Games），是博弈论的一个重要概念，以约翰•纳什命名。

定义：如果某情况下无一参与者可以独自行动而增加收益，则此策略组合被称为纳什均衡点。

例子：经典的例子就是囚徒困境，囚徒困境是一个非零和博弈。

大意是：一个案子的两个嫌疑犯被分开审讯，警官分别告诉两个囚犯，如果你招供，而对方不招供，则你将被立即释放，而对方将被判刑十年；如果两人均招供，将均被判刑两年。

如果两人均不招供，将最有利，只被判刑半年。

于是，两人同时陷入招供还是不招供的两难处境。

但两人无法沟通，于是从各自的利益角度出发，都依据各自的理性而选择了招供，这种情况就称为纳氏均衡点。

这时，个体的理性利益选择是与整体的理性利益选择不一致的。

囚犯甲的博弈矩阵囚犯甲招供不招供囚犯乙招供判刑两年甲判刑十年；乙即时获释不招供甲即时获释；乙判刑十年判刑半年基于经济学中Rational agent的前提假设，两个囚犯符合自己利益的选择是坦白招供，原本对双方都有利的策略不招供从而均被判刑半年就不会出现。

事实上，这样两人都选择坦白的策略以及因此被判两年的结局被称作是“纳什均衡”（也叫非合作均衡），换言之，在此情况下，无一参与者可以“独自行动”（即单方面改变决定）而增加收获。

学术争议和批评：第一，纳什（Nash）的关于非合作（non-cooperative）博弈论的平衡不动点解（equilibrium/fixpoint）学术证明是非构造性的（non-constructive），就是说纳什用角谷静夫不动点定理（Kakutani fixed point theorem）证明了平衡不动点解是存在的，但却不能指出以什么构造算法如何去达到这个平衡不动点解。

这种非构造性的发现对现实生活里的博弈的作用是有限的，即使知道平衡不动点解存在，在很多情况下却找不到，因此仍不能解决问题。

角谷猜想的证明

角谷猜想一简介考拉兹猜想，又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是由日本数学家角谷静夫发现，是指对於每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

取一个数字如n = 6，根据上述公式，得出6→3→10→5→16→8→4→2→1。

（步骤中最大的数是16，共有7个步骤）如n = 11，根据上述公式，得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

（步骤中最大的数是52，共有13个步骤）如n = 27，根据上述公式，得出:27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→1 67→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

（步骤中最大的数是9232，共有111个步骤）考拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤後，最终都会得到1。

注意：与角谷猜想相反的是蝴蝶效应，初始值极小误差，会造成巨大的不同；而3x+1恰恰相反，无论多么大的误差，都是会自行的恢复。

角谷静夫定理

角谷静夫定理
伴随互联网日益成熟发展，众多学术著作也时刻让网络生态朝着一个更加安全
可信赖的方向发展，其中比较突出就有角谷静夫定理。

角谷静夫定理即角谷猛定理，它在1962年，由日本著名计算机科学家角谷静
夫提出，他的定理的最初的目的是在计算机程序的测试和验证中发挥作用。

它是诸多科研成果之一，现在已经在多个层面得到了广泛的应用，占据着很重要的位置。

角谷静夫定理是确定集合系统是否可满足特定要求的实用工具，它用于验证数
学系统的可验证性。

即所谓可验证性是指，采用某种类型的证明手段，能够证明给定的系统能够可靠地产生满足要求的输出结果，而这正是角谷静夫定理所要证明的。

它可以用来明确化一个具体的系统的属性及其可验证性，从而保证该系统的完整性。

此外，在当前移动互联网时代，角谷静夫定理作为安全技术的重要元素，被用
来强化数据传输过程中的安全验证，保证数据不被非法窃取。

它可以实现数据传输途中的数据安全性，防止网络钓鱼攻击，也是我们日常网络交互中可靠保证的利器。

总而言之，角谷静夫定理对于网络安全防护、网络数据完整性保护这一重要研
究课题，起到着至关重要的作用，因此，在移动互联网时代，它更加凸显了其重要性，将发挥更大的作用。

角谷静夫不动点定理证明

角谷静夫不动点定理证明日本数学家角谷静夫不动点定理被认为是一般定理的转折点，它给出了一种以完全新的方式来证明数学定理的方法。

在本文中，我将努力证明角谷静夫不动点定理，让读者可以完全理解这个定理所承载的深刻思想。

角谷静夫不动点定理又称为不动点量子定理，它是以角谷静夫命名的，由日本数学家角谷静夫发现。

定理认为：在任意一个可以允许多个不动点的定义域中，存在至少一个不动点。

首先，我们来认识一下有关不动点的知识。

不动点是指定义域中的一点，使函数在该点处的变化值与该点处的函数值相等。

由此，不动点就是指定义域中函数变化为零的点。

不动点定义域是一个函数的自变量可以取值的范围，一般情况下可以定义成整个实数域。

因此，当定义域处在整个实数域时，角谷静夫不动点定理就变成了一般定理，可以证明任意多个不动点存在于定义域中。

然而，角谷静夫不动点定理最突出的特征是，当定义域被限定为一个功能，例如正弦函数，余弦函数之类的函数时，不动点只能有一个，所以只有一个不动点的存在被证实。

为了证明角谷静夫不动点定理，我们必须明确以下两个条件：（1）函数的定义域是任意的，任意两个不动点的距离可以是零，也可以是无穷大。

（2）函数的变化率在当前点的左右两侧应该是不同的，也就是说，函数的斜率在不动点处变化为零。

基于这两个条件，我们可以证明角谷静夫不动点定理：首先，假设函数f(x)存在定义域D，其中有至少两个不动点。

假设定义域D中最左边的不动点是x，最右边的不动点是y。

那么，有x≤y∈D，f(x)=f(y)=0。

假设f(x)有连续变化，即f(x)在x点有一个连续变化的斜率。

则根据（2）中的条件，f(x)的斜率在x点的左右两侧应该是不同的，即，存在一个点x，其斜率变为零。

由此可见，任意一个定义域都存在至少一个不动点，这就是角谷静夫不动点定理的证明。

经过上述不动点定理的证明，我们可以得出结论：角谷静夫不动点定理以一种全新的方式证明了函数中存在着至少一个不动点，而且不动点所在的定义域也可以是无限的。

角谷不动点定理kakutani's fixed point theorem

角谷不动点定理kakutani's fixed point theorem（原创实用版）目录1.角谷不动点定理的概述2.角谷不动点定理的证明3.角谷不动点定理的应用4.角谷不动点定理的影响和意义正文【1.角谷不动点定理的概述】角谷不动点定理，又称 Kakutani 不动点定理，是由日本数学家角谷静夫于 1941 年提出的一个数学定理。

该定理主要研究的是函数方程组在给定区间上的解，以及这些解的稳定性。

在不动点定理的研究中，角谷不动点定理是一个重要的里程碑，它为后来的数学研究提供了很多有益的启示。

【2.角谷不动点定理的证明】角谷不动点定理的证明过程相对简单。

假设我们有一个由两个函数方程组成的方程组：f(x) = x - λf(y)g(x) = λg(y) + x其中，x 和 y 是给定区间上的实数，λ是一个正常数。

我们要证明在这个方程组中存在一个不动点，即存在一个解 (x0, y0)，使得 f(x0) = x0 - λf(y0) 且 g(x0) = λg(y0) + x0。

为了证明这一点，我们可以先令 x = x0, y = y0，然后将这两个值代入方程组中，得到：f(x0) = x0 - λf(y0)g(x0) = λg(y0) + x0接下来，我们可以将这两个方程相加，得到：f(x0) + g(x0) = x0 + λ[g(y0) + f(y0)]由于 f(x0) = x0 - λf(y0) 且 g(x0) = λg(y0) + x0，我们可以将这两个方程代入上面的等式，得到：x0 - λf(y0) + λg(y0) + x0 = x0 + λ[g(y0) + f(y0)]整理得：2x0 = λ[g(y0) + f(y0)]由于λ是一个正常数，因此上式表明 x0 是方程 g(y0) + f(y0) = 0 的一个解。

这意味着方程组至少有一个不动点，即存在一个解 (x0, y0)，使得 f(x0) = x0 - λf(y0) 且 g(x0) = λg(y0) + x0。

角谷不动点定理kakutani's fixed point theorem

角谷不动点定理kakutani's fixed point theorem角谷不动点定理（Kakutani"s Fixed Point Theorem）是数学领域中一个著名的定理，由日本数学家角谷浩吾于1938年提出。

该定理主要研究了凸函数和下半连续函数的不动点问题，对于函数的性质及应用具有重要的理论意义。

一、角谷不动点定理简介1.定理来源及命名角谷不动点定理源于日本数学家角谷浩吾在研究凸函数和下半连续函数的过程中，对不动点问题的深入研究。

该定理在一定程度上解决了凸函数和下半连续函数的不动点问题，因此在数学领域具有较高的地位。

2.定理表述角谷不动点定理表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内单调，那么f(x)在区间[a, b]上至少有一个不动点。

二、不动点及其相关概念1.不动点的定义不动点是指函数在某个区间上取到的值等于该区间内某个点的值，即f(x) = x。

2.不动点的类型根据不动点出现的位置，可以将不动点分为两类：一类是在定义域内的不动点，另一类是在值域内的不动点。

3.不动点与函数性质的关系不动点的存在性与函数的连续性、单调性等性质密切相关。

例如，角谷不动点定理就是研究了凸函数和下半连续函数的不动点问题。

三、角谷不动点定理的证明与应用1.定理的证明思路角谷不动点定理的证明主要依据了函数的连续性、单调性和不动点的定义。

证明过程中，角谷浩吾采用了反证法，首先假设函数f(x)在区间[a, b]上没有不动点，然后通过推导得出矛盾，从而证明了定理的正确性。

2.定理的推广与变形式角谷不动点定理后来被广泛推广，包括布雷尔不动点定理（Brela"s Fixed Point Theorem）等。

这些定理在数学领域有着广泛的应用。

3.定理在实际问题中的应用实例角谷不动点定理在实际问题中具有广泛的应用，如在经济模型、生态模型、物理系统等领域。

以经济模型为例，商品价格的调整过程可以看作是一个动态系统，通过角谷不动点定理可以研究价格调整的稳定状态。

计算方法7

Fan则是著名的华裔数学家樊ji1（则是著名的华裔数学家樊ji1 Ky Fan则是著名的华裔数学家樊ji1（土后面以畿代替），与华罗庚、），与华罗庚 +畿，后面以畿代替），与华罗庚、陈省身齐 1936年樊在北京大学数学系毕业，名。1936年，樊在北京大学数学系毕业，后来去法国留学。1965年以后一直担任加州大来去法国留学。1965年以后一直担任加州大学圣巴巴拉分校数学教授．1964年学圣巴巴拉分校数学教授．1964年，台北中央研究院推选樊为院士．1978—1984年间年间，央研究院推选樊为院士．1978—1984年间，他曾连任两届该院的数学研究所长．他曾连任两届该院的数学研究所长．在北京大学数学科学学院９０周年（2003年９０周年大学数学科学学院９０周年（2003年）庆典８９岁的樊先生还坐着轮椅来到会场岁的樊先生还坐着轮椅来到会场。上，８９岁的樊先生还坐着轮椅来到会场。
不动点理论（不动点理论（fixed point theory））
对于空间X 对于空间X到X自身的映射f，满足f（x）自身的映射f 满足f 的点x∈X 被称为不动点。 x∈X，＝x的点x∈X，被称为f的不动点。起源于求解方程的代数问题，于求解方程的代数问题，后转化为几何理论中研究不动点的存在、个数、理论中研究不动点的存在、个数、性质与求法的理论，与求法的理论，成为拓扑学和泛函分析中的重要内容。中的重要内容。
现在已经知道的是: 现在已经知道的是: n=2,只能形成一个循 n=2,只能形成一个循 :(27,45,09,81,63).例如取两个数字例如取两个数字7 环:(27,45,09,81,63).例如取两个数字7与3, 连续不断地做K变换,得连续不断地做K变换, :36,27,45,09,81,27,...出现循环出现循环. 出:36,27,45,09,81,27,...出现循环. n=3,只能形成一个循环只能形成一个循环:(495). n=3,只能形成一个循环:(495). n=4,只能形成一个循环只能形成一个循环:(6174). n=4,只能形成一个循环:(6174). n=5,已经发现三个循 n=5,已经发现三个循环:(53955,59994),(62964,71973,83952,749 43),(63954,61974,82962,75933).

角谷静夫不动点定理

角谷静夫不动点定理角谷静夫不动点定理（Jácobi theorem），也被称为点不动原理（fixed point theorem），是数学分析中的一个重要定理。

它于1835年由德国数学家卡尔·古斯塔夫·雅可比（Carl Gustav Jacobi）首先提出，并在后来被其同胞彼得·昂德雷·切萨罗·阿乌尔巴赫（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）、斯图尔特·海尔等学者进一步推广和证明。

不动点是一个对于给定的函数$f$来说，存在一个固定的点$x$使得$f(x) = x$。

角谷静夫不动点定理主要探讨的就是对于连续函数$f$，在某个特定的范围以及特定的性质下，是否存在不动点，并且如何找到这个不动点。

角谷静夫不动点定理的基本形式是：对于一个连续函数$f$，若存在一个实数区间$[a, b]$，满足以下条件：1. $[a, b]$是$f$的一个不动点，即$f([a, b]) \subseteq [a, b]$；2. $f$在$[a, b]$上是单调递增或单调递减的。

那么必然存在某个点$c \in [a, b]$，使得$f(c) = c$。

该定理的证明思路是基于实数的完备性。

我们首先定义一个辅助函数$g(x) = f(x) - x$，则$g(a) \cdot g(b) = (f(a) - a) \cdot (f(b) - b) \leq 0$。

根据实数的完备性，至少存在一个点$c \in [a, b]$，使得$g(c) = 0$，即$f(c) = c$。

角谷静夫不动点定理的应用非常广泛。

例如，在经济学中，这个定理可以用来证明市场存在均衡状态。

在计算机科学中，不动点理论被广泛应用于编译器优化、自动程序验证等领域。

在微分方程的求解中，不动点理论是迭代算法的重要工具。

然而，角谷静夫不动点定理也存在一些限制。

首先，该定理只能应用于连续函数。

不动点定理研究

前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1].在此基础上,不动点定理有了进一步的发展,并产生了用迭代法求不动点的迭代思想.美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论,称为莱布尼茨不动点理论[2].1927年,丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题,并提出了尼尔森数的概念[3].我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形,并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4].最后给出结果的就是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6],她于1922年提出的压缩映像(俗称收缩映射)原理发展了迭代思想,并给出了Banach不动点定理[6].这一定理有着及其广泛的应用,像代数方程、微分方程、许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献、例如,荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式、即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中,则有0[0,1]x,使00()fxx、波利亚曾经说过:“在问题解决中,如果您不能解答所提的问题,那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”、“不动点”就就是一个有效的可供选择的辅助问题。

作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广,1927年Schauder证明了下面不动点定理,我们称其为Sehauder不动点定理I:定理2 设E就是Banach空间,X为E中非空紧凸集,XXf:就是连续自映射,则f在X中必有不动点、 Sehauder不动点定理的另一表述形式就是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx,xf就是紧的),这时映射的定义域可不必就是紧集,甚至不必就是闭集。

1935年,Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间,得到了下面的不动点定理,我们称其为Tyehonoff不动点定理(吉洪诺夫不动点定理)。

不动点定理

不动点定理在经济学中的应用数本1301 王敏摘要不动点定理是拓扑学中很著名的定理，从一维到多维空间都保持这一性质。

其次，在经济学特别是在博弈论中不动点定理有着广泛的应用，比如证明纳什均衡或者一般均衡的存在性。

关键词：不动点、博弈论、纳什均衡一、不动点定理定义1：设X 是一个拓扑空间。

如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B ，使得B A X ⋃=，则称X 是一个不连通空间；否则，称X 是一个连通空间。

]1[ 引理1：设X 是一个连通空间，R X →:f 是一个连续映射，则)(f X 是R 中的一个区间。

]1[引理2:（介值定理）设R b a f →],[：是闭区间],[b a 到实数空间R 的一个连续映射，则对于)(f a 和)(f b 之间的任何一个实数r ，存在],[z b a ∈使得z z =)(f 。

]1[ 定理：（不动点定理）设]1,0[]1,0[:f →是一个连续映射，则存在]1,0[z ∈使得z =）（z f 。

]1[证明：如果0)0(f =或者1)1(f =，则定理显然成立。

下设0)0(f >，1)1(f <。

定义映射R →]1,0[:f 使得对于任何]1,0[x ∈有)()(x f x x F -=。

容易验证f 是一个连续映射，并且这时又0)0(<F 和0)1(>F 。

因此根据介值定理可得存在]1,0[z ∈,使得0)z (=F ,即z z =)(f 。

布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f ，存在一个点0x ，使得00)(f x x =。

这个定理表明：在高维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的，即映射:f n E E →n 是一个连续映射，其中n E 是n 维闭球体，则存在z n E ∈，使得z z =)(f 。

二、博弈论和纳什均衡博弈论又被称为对策论，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。

角谷静夫不动点定理证明

角谷静夫不动点定理证明角谷静夫不动点定理证明：对于给定的多元函数，其解的极值点都可以被有限次数的多元函数微分计算所得到。

1950年，角谷静夫发表了他关于不动点定理的原始论文。

这篇论文中，他证明了一种满足一定条件的多元函数，其解极值点都可以被有限次数的多元函数微分计算得到。

角谷静夫不动点定理以其让多元函数求解变得更加容易而闻名，在实际应用中也有着极为重要的意义。

角谷静夫不动点定理的证明可以从一阶导数的定义开始。

如果多元函数的一阶导数的值在参数满足一定条件的情况下，绝对值都等于零，那么这个多元函数可以称为一阶导数零函数。

如果一阶导数零函数还满足二阶导数不等于零的条件，那么就可以得到一个称之为不动点的极值点。

角谷静夫不动点定理证明了，这样的一阶导数零函数的极值点都可以通过多元函数的有限次数的微分计算得到。

有一个非常重要的特殊情况是，当多元函数的一阶导数零函数的值大于零时，对于导数的极值点来说，第二阶导数的值大于零，就会产生一个极小值；而当其一阶导数零函数的值小于零时，它就会产生一个极大值。

这就是局部化定理，它是角谷静夫不动点定理的特例。

另外，角谷静夫不动点定理还有另一个重要的特点，就是它可以把给定的多元函数分解成一系列一阶导数零函数，这些函数可以按照一定的步骤进行多元函数微分计算，来求得极值点。

角谷静夫不动点定理的实际应用有着极其重要的意义，它可以让多元函数求解变得更加容易，也可以解决许多有关科学研究、建模和经济预测等问题。

角谷静夫不动点定理的理论和应用给当今的数学多元分析带来了很大的帮助，它使得多重不等式的求解成为可能，也让多元函数求解变得更加有效。

这是一个十分有意义的发现，它也被用于许多科学方面，比如社会科学、物理学和工程学等。

总之，角谷静夫不动点定理是一个十分重要的概念，可以用来证明一种满足一定条件的多元函数，其解的极值点都可以被有限次数的多元函数微分计算得到，它在实际应用中也有着十分重要的意义。

学习博弈论的实际指导意义

学习博弈论的实际指导意义作者：曲文秀曲德祥来源：《现代企业文化·理论版》2011年第02期博弈论的含义博弈论（Game Theory），也称为对策论，或者赛局理论，是应用数学的一个分支，也是运筹学的一个重要学科。

目前在、国际关系、计算机科学、生物学、经济学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。

是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。

博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

博弈行为即具有竞争或对抗性质的行为。

在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益。

为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。

比如日常生活中的下棋，打牌等。

博弈论就是研究博弈行为中斗争各方是否存在着最合理的行为方案，以及如何找到这个合理的行为方案的数学理论和方法。

博弈论的数学说明对于“博弈”有不少可以互换的定义。

这里给出简短的介绍和相互关系的说明。

正规形式的博弈又被译为正则形式的博弈、策略型赛局或标准型赛局。

设定 N 是一个“参与者”的集合。

对于每一个“参与者”都有一个给定的“策略”集合博弈（游戏）是一个函数，定义为:也就是说，如果我们知道了参与者的策略集合是什么，那么就可以有一个实数值与之对应。

我们可以把上面的方程拆成两个方程来进一步把它一般化。

一个方程是正则形式的参与者程，描述策略规定结果的方式。

另外一个方程描写参与者对于结果集合的偏好。

也就是：这里是游戏（博弈）的结果集合。

对于每一个参与者都有一个偏好函数。

当代博弈论领军人物当代博弈论的领军人物有：约翰•福布斯•纳什、约翰•C•海萨尼，莱因哈德•泽尔腾。

这三人同时因为他们对博弈论的突出贡献而获得1994年诺贝尔经济学奖。

以及罗伯特•J•奥曼、肯•宾摩尔、戴维•克瑞普斯，以及阿里尔•鲁宾斯坦等人。

他们都为博弈论的发做出了卓越贡献。

博弈的分类博弈的分类根据不同的基准也有不同的分类。

不动点定理及其应用

不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ； ②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素．则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈∀∈x x T ，以及 ()[]()1,01∈∀<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<X ∈∀θy x ，得证．定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点．证任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛<即所以ρ．证毕．注（i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得（4）此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解*x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aa xTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ，此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5）的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2π=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少．如设(]1,0=X ，定义T 如下：2xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件．如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ，（6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ，（7）该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<<a ，即不满足压缩映射的条件．定理 1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈∃a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈∀有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证只需证明(),,B x B B T ∈∀⊂ ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ⊂∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ，（8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限．定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈∀-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈∀<≤∈∃使得则{}n x 收敛．证 ①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛．证只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+∃n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根．注该题体现了不动点定理证明方程解的存在性．例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈∀+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证 ① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<k x x kk n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->∀∀∃>∀+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()()""""*>≥可该为会自动满足()I x ∈∀1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证（分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =． ② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈∀<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ∃与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=<c c c c x c c c x f )0(>∀x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c x c x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ，（10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛． ② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证（1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证（利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明 ①b ∃使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><g g ，故g 在（0，1）内有唯一零点b （即f 的不动点）．② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<x g ，即),(x x f x <．证毕．4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性．例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμϕd x t k t t x b a )(),()()(⎰+=，（11）其中[]b a L ,2∈ϕ为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞<⎰⎰ττdtd t k ba b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证令τττμϕd x t k t t Tx ba )(),()()(⎰+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(⎰⎰⎰≤⎰⎰ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(⎰⎰⎰=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12<⎰⎰=dtd t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰⎰=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -⎰⎰⎰≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ⎰⎰=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ϕτττμ+⎰= （12）对任何[]b a C ,∈ϕ以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=⎰τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]⎰-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-⎰=-++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-⎰≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性．例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,⨯上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +⎰=τττλ，（14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +⎰=τττλ （15）当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()⎰-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,max max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -⋅⎰⋅≤≤≤),(y x M ρλ⋅≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ⎰=≤≤．故当λ1<M 时，T 是压缩映射，此时根据定理1，方程对任一[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=⎰τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ⋅-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(⎰+=λ []()1,0∈t 的连续解．解法一据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =⎰+=λ，其中⎩⎨⎧≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ⎰+==λ)(1t x n +()()()∑⎰=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-⎰= )2(≥n ，从而 ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ，故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→⎰+==λλ法二令ds s x t y t)()(0⎰=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程⎩⎨⎧=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16）易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-⎰=λ再令 ()()()()()()⎰-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0⎰=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0⎰+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-⎰+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性．例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==⨯ （20）可知，当n i a aii nji j ij,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nnRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性．例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =，（21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线．证微分方程（21）加上初值条件00y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00⎰+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=⎰000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]⎰-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()⎰-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ⎰+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。

第四章__纳什均衡的存在性与多重性

m∈M
定义 4.5，一个点到集合的“对应”(correspondence) G : X → Y 是任何一个规定了对
X 中的每个点 x ， G(x)是与 x 相对应的 Y 中的一个子集。
如果 X 和 Y 都是度量空间，则 X 和 Y 上的收敛和极限概念已经定义，这时有：
定义 4.6 ，一个对应 G:X→Y 是上半连续的(upper—hemicontinuous)，当且仅当对每
静夫(Kakutani)不动点定理，而后者的证明只是前者的一个相对简单的运用。
我们所以要引用角谷静夫不动点定理，是因为在纳什均衡存在性证明中所遇到的反
应函数一般是多个因变量函数，即所谓对应(correspondence)，而角谷静夫不动点定理正
好描述的是对应的一种性质。角谷静夫不动点定理是 Brouwer 不动点定理的推广，但其
所有的存在性定理证明都采用了不动点定理，这是因为，纳什均衡的概念在数学上
就是一个不动点的概念。在给出存在性定理及其证明之前，我们先来说明不动点的概念
和给出不动点定理。
什么是“不动点”呢？考虑一个方程 f (x) = x ，其中 x 为方程的解。我们将 f (⋅)视为一种“变换”，即 f (⋅)是将 x 对应为 y = f (x)的变换，其中 x 和 y 分别是属于集合 X 和 Y 的两个元素，x ∈ Χ ， y ∈Y 。如果 X = Y ，则方程 f (x) = x 的几何意义就是：变换 f (⋅)将 x 变为自己，即 x 在 f (⋅)变换下是不变的，故称 f (x) = x 的解为变换 f (⋅)的不动点。
于是 G 是上半连续的。下面，我们将不动点概念扩充到对应的情形。
定义 4.7，一个对应 F： S → S 的一个不动点是 S 中任一满足 x ∈ F (x) 的 x 。

角谷静夫不动点定理

一、不动点算法又称固定点算法。

所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。

最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ƒ为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=ƒ（x）。

其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。

设对每一x∈A，ƒ(x)为A的一子集。

若ƒ(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈ƒ(x i)且y i→y0，则有y0∈ƒ(x0),如此的ƒ(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若ƒ(x)为A的一非空凸集，且ƒ(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。

J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。

不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。

例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。

对于一个给定的凸规划问题：min{ƒ(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。

通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。

在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。

1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。

1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。

其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。

H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。

角谷静夫不动点定理证明

角谷静夫不动点定理证明20世纪50年代，日本数学家角谷静夫提出了一个流行的定理角谷静夫不动点定理。

它指出，任何一个非线性函数f（x）的任何常数不动点都是集合（-1，1）的内部点，其中f（x）的导数f′（x）在[-1,1]上为零。

角谷静夫不动点定理的英文名称是Koga-Kawashima Fixed Point Theorem（KKFPT）。

角谷静夫不动点定理被广泛应用于数学分析、经济学、物理学等多个学科，对各种复杂问题的理解和解决具有重要价值。

这个定理建立在符号动力系统研究的基础上，源于Hilbert’s Fifth Problem （哈勃五论）。

它是一个有趣的设定，关于在某些情况下，函数具有不动点的性质。

角谷静夫不动点定理的论证非常晦涩复杂，具体的证明步骤非常多，需要对高等数学知识有所了解，除此之外还需要运用具体的数学工具来论证。

首先，角谷静夫不动点定理证明需要假设非线性函数f（x）是在区间[-1,1]内可导的。

假设，f（x）的导数f′（x）在[-1,1]内等于零，可以推导出：f（-1）=f（1）f（-1）=f（1）=c，（其中c为常数）这就构成了角谷静夫不动点定理的前提条件。

可以接着根据极限的定义推导：limx→-1 f（x）=limx→1 f（x）=f（-1）=f（1）=c这说明，当x从-1到1时，f（x）的值保持不变，因此x=-1和x=1是f（x）的不动点。

接下来，角谷静夫不动点定理要求，在[-1,1]内，f′（x）=0，也就是f（x）是在[-1,1]内可导的。

可以用泰勒公式证明：f（x）=f（-1）+f′（x0）*（x-（-1））+R（x）R（x）是泰勒展开的剩余部分，当R（x）=0时，f（x）的导数为f′（x0），其中xo是[-1,1]的某个点。

这就构成了角谷静夫不动点定理的论证步骤。

根据上面的分析，有一个结论：任何一个非线性函数f（x）的任何常数不动点都是集合（-1，1）的内部点，其中f（x）的导数f′（x）在[-1,1]上为零。

角谷静夫不动点定理证明

角谷静夫不动点定理证明角谷静夫不动点定理（KosujiFixedPointTheorem）是日本数学家角谷静夫（Kosuji）于1937年发表的一项重要理论，它提出了一种定义并证明了不动点在有界闭空间中的存在和稳定性的方法。

它表明，任何包含一个有界闭空间的连续变换都有一个唯一的不动点。

角谷静夫不动点定理的最早形式被定义如下：给定一个连续函数f：X->X，其中X是一个有界闭空间，那么存在x∈X，使得f（x）=x。

角谷静夫不动点定理的证明可以采用对偶定理的方法，其中讨论的函数是其他函数的反函数，从而使得原来的函数从有界闭空间到有界闭空间的变换变为一个有界闭空间到有界闭空间的变换。

许多场景下的变换都可以被引入为一个不动点问题或者类似的问题，以证明特定类型的不动点的存在。

例如，在某些可能存在的拓扑空间中，可以采用分型法来证明不动点的存在。

此外，角谷静夫不动点定理也被用于证明隐式数值方程求解稳定性的问题，以及提高算法收敛性的问题。

角谷静夫不动点定理也被广泛应用于多变量函数的分析和极值点查找。

它可以提供有助于求解多元函数极值点的信息，因为角谷静夫不动点定理显示出若干函数关系的极值点与变量的关系。

例如，角谷静夫不动点定理可以找出多变量函数的极大值和极小值，以及求解函数曲线上的不动点。

角谷静夫不动点定理在数学界及其他领域的应用都非常广泛，它的重要性不言而喻。

它对有界闭空间中不动点的存在和稳定性的定义及其证明已经受到众多学者和研究者的高度重视。

此外，它也有助于研究多变量函数的极值点查找，以及稳定性问题的求解，在多个研究领域都具有重要的价值和应用。

总之，角谷静夫不动点定理是一项重要的数学定理，它的应用对研究有界闭空间中不动点的存在和稳定性以及多变量函数的极值点查找和稳定性问题极为重要。

它为这些问题的研究提供了一种有效的方法，也为后续研究发展提供了可视性和可行性。