不动点定理研究
lefschetz不动点定理
lefschetz不动点定理摘要：一、Lefschetz不动点定理简介二、Lefschetz不动点定理的证明三、Lefschetz不动点定理的应用四、Lefschetz不动点定理的扩展正文：**一、Lefschetz不动点定理简介**Lefschetz不动点定理是拓扑学中的一个重要定理，由美国数学家Lefschetz于1934年首次提出。
该定理主要研究的是流形上的不动点问题，即寻找连续映射下的不变点。
不动点在数学、物理、经济学等领域具有广泛的应用，代表着稳定和均衡的状态。
**二、Lefschetz不动点定理的证明**Lefschetz不动点定理的证明主要基于代数拓扑的方法。
首先，我们需要知道流形上的切向量场和法向量场的概念。
切向量场在流形上的每一点都有一个切向量，而法向量场在流形上的每一点都有一个法向量。
Lefschetz不动点定理的证明过程涉及到计算流形上的切向量场和法向量场之间的内积，并通过分析内积的性质得出不动点存在性。
**三、Lefschetz不动点定理的应用**Lefschetz不动点定理在数学和实际应用领域具有广泛的应用，例如：在控制论中，它被用来研究系统的稳定性；在多元函数论中，它被用来解决非线性方程组的问题；在物理学中，它被用来分析力学系统的平衡状态；在经济学中，它被用来研究市场均衡等。
**四、Lefschetz不动点定理的扩展**Lefschetz不动点定理的研究对象主要是流形上的连续映射。
在此基础上，学者们对其进行了许多扩展，如：Knaster-Tarski不动点定理、Schauder 不动点定理等。
这些扩展不仅丰富了不动点理论，还为各个领域的问题提供了更多的解决方法。
总之，Lefschetz不动点定理是拓扑学领域的一个重要定理，其证明和应用在数学和实际领域具有深远的影响。
不动点定理的实际应用
不动点定理的实际应用
不动点定理是数学中的一个重要概念，它在许多领域都有广泛的应用。
以下是一些不动点定理的实际应用：
1. 经济学：在经济学中，不动点定理被用来研究经济模型的稳定性和均衡性。
例如，它可以用于分析市场竞争、价格形成等问题。
2. 计算机科学：在计算机科学中，不动点定理被用来研究迭代算法的收敛性和稳定性。
例如，它可以用于分析搜索算法、图像处理算法等问题。
3. 物理学：在物理学中，不动点定理被用来研究量子力学中的对称性和守恒定律。
例如，它可以用于分析粒子的运动轨迹、能量转换等问题。
4. 工程学：在工程学中，不动点定理被用来研究控制系统的稳定性和性能优化。
例如，它可以用于分析飞机的姿态控制、机器人的运动规划等问题。
不动点定理在各个领域都有着广泛的应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具和方法。
不动点定理及其应用的开题报告
不动点定理及其应用的开题报告不动点定理及其应用的开题报告一、研究背景在现代数学中，“不动点”这个概念具有很广泛的应用。
它是指对于一种映射或者变换，存在一个点在经过映射或者变换后不发生改变，也就是保持不动。
例如在几何中，一个旋转操作可以将一个点固定在原位，而在求解方程或者迭代中，也会出现类似的情形。
不动点定理的研究就是为了找出在哪些条件下，一个映射或者变换存在唯一的不动点。
二、研究目的本文旨在深入探讨不动点定理在数学中的应用，具体来讲，包括几何中的不动点，乘法上的不动点，不动点定理的证明以及实际问题中的应用等。
三、主要内容1.几何中的不动点在几何中，不动点被广泛应用于旋转、对称和变形等操作中。
例如，在一个平面上绕着一个点旋转，就可以将这个点作为不动点。
在求解图形的对称性质时，一个点也可以被视为不动点。
不动点在几何中的应用是非常广泛的。
2.乘法上的不动点不动点定理也可以在乘法运算中应用。
在这种情况下，一个不动点是指一个数乘以自己等于本身。
例如，在平面几何中，一个平面上的点可以旋转角度而不改变自身的位置，这个点就是一个不动点。
同样的，在迭代计算中，一个不动点是指迭代函数的输出恰好等于其输入。
3.不动点定理的证明不动点定理的证明可以采用反证法。
也就是，假设不存在不动点，则根据映射或者变换的定义，它一定会改变某个点的位置。
根据这个假设，我们可以构造一个数学模型，通过推理可以得到一个矛盾，从而推出不动点的存在性。
4.实际问题中的应用不动点定理在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在经济学上，不动点可以表示市场的均衡点，在工程学上，不动点可以表示一个系统的稳定状态。
不动点定理也可以应用于音乐分析、图像处理等领域。
四、结论综上所述，不动点定理是一种非常有用的工具，有着广泛的应用领域。
通过对不动点定理的深入研究和理解，我们可以更好地应用它解决实际问题。
《2024年b-距离空间中几类不动点定理的研究》范文
《b-距离空间中几类不动点定理的研究》篇一一、引言在数学领域中，不动点定理是研究函数迭代、非线性分析以及微分方程等众多领域的重要工具。
特别是在B-距离空间中，不动点定理具有更为广泛的应用和深入的研究价值。
本文将探讨B-距离空间中几类不动点定理的深入研究，分析其理论意义及实际应用价值。
二、B-距离空间概述B-距离空间是一种特殊的度量空间，其距离函数满足一定的条件。
在B-距离空间中，我们可以研究各种类型的函数及其迭代性质。
不动点定理在B-距离空间中的应用，有助于我们更好地理解函数的迭代行为及函数的性质。
三、几类不动点定理的研究1. Banach压缩映射原理的不动点定理Banach压缩映射原理是不动点定理中的一种重要形式，它在B-距离空间中有着广泛的应用。
我们研究了Banach压缩映射原理在B-距离空间中的形式，并探讨了其应用范围及条件。
此外，我们还分析了该定理的收敛性及误差估计等问题。
2. 广义压缩映射的不动点定理除了Banach压缩映射原理外，广义压缩映射也是不动点定理中的重要形式。
我们研究了广义压缩映射在B-距离空间中的形式，并探讨了其应用场景及条件。
我们还通过实例验证了该定理的有效性和实用性。
3. 迭代序列的不动点定理迭代序列是不动点定理研究中的重要内容。
我们研究了在B-距离空间中，迭代序列的收敛性质及不动点的存在性。
通过分析迭代序列的收敛速度及误差等因素，我们得出了一些有意义的结论。
四、不动点定理的应用不动点定理在B-距离空间中的应用非常广泛，包括函数迭代、非线性分析、微分方程、优化算法等领域。
我们通过实例展示了不动点定理在解决实际问题中的有效性和实用性。
例如，在优化算法中，我们可以利用不动点定理来求解最优解；在微分方程中，我们可以利用不动点定理来分析解的稳定性等。
五、结论本文对B-距离空间中几类不动点定理进行了深入研究，分析了其理论意义及实际应用价值。
通过研究Banach压缩映射原理、广义压缩映射以及迭代序列的不动点定理，我们得出了一些有意义的结论。
《b-距离空间中几类不动点定理的研究》范文
《b-距离空间中几类不动点定理的研究》篇一一、引言在数学领域中，不动点定理是一种重要的工具，被广泛应用于解决各种复杂的数学问题。
B-距离空间作为一种特殊的数学结构，其上的不动点定理研究具有重要的理论价值和实际意义。
本文旨在研究B-距离空间中几类不动点定理，探讨其性质、应用及发展前景。
二、B-距离空间概述B-距离空间是一种特殊的度量空间，其上的距离函数满足一定的条件。
这种空间在函数分析、微分方程、优化理论等领域有着广泛的应用。
B-距离空间的性质和结构对于研究其上的不动点定理具有重要意义。
三、B-距离空间中的不动点定理1. 压缩映射原理压缩映射原理是不动点定理的一种基本形式，在B-距离空间中同样适用。
该定理表明，在B-距离空间中存在一个压缩映射，该映射存在唯一的不动点，并且可以通过迭代算法求解。
该定理在优化算法、微分方程等领域有着广泛的应用。
2. 迭代序列收敛定理迭代序列收敛定理是研究B-距离空间中迭代序列的重要工具。
该定理表明，在满足一定条件下，迭代序列在B-距离空间中收敛于某一点，该点即为不动点。
该定理在求解非线性方程、优化问题等方面具有重要应用。
3. 广义不动点定理广义不动点定理是不动点定理的一种扩展形式，适用于更一般的B-距离空间。
该定理表明，在满足一定条件下，某个算子的不动点集具有某种性质。
该定理在函数分析、微分方程等领域具有重要应用。
四、几类不动点定理的应用1. 优化算法B-距离空间中的不动点定理可以用于设计优化算法。
例如，压缩映射原理可以用于设计梯度下降算法、最小二乘法等优化算法。
这些算法在机器学习、数据挖掘、图像处理等领域具有广泛应用。
2. 微分方程求解B-距离空间中的不动点定理也可以用于求解微分方程。
例如，迭代序列收敛定理可以用于求解非线性微分方程的数值解。
这些数值解在物理学、工程学、经济学等领域具有重要应用。
五、结论与展望本文研究了B-距离空间中几类不动点定理的性质、应用及发展前景。
泛函分析中的不动点定理及应用
泛函分析中的不动点定理及应用泛函分析是数学中的一个重要分支，研究的是函数的空间以及变换等概念。
在泛函分析中，不动点定理是一项极为重要的结果，它在许多领域都具有广泛的应用。
本文将介绍不动点定理的概念、证明以及在泛函分析中的应用实例。
一、不动点定理概述不动点定理是泛函分析的基础定理之一，它指出在一定条件下，对于某个变换，总存在至少一个点在变换之后保持不变。
换句话说，就是存在一个点，该点在经过变换后仍然等于它自身。
不动点定理有多种形式，其中最著名的定理之一是巴拿赫不动点定理(Banach Fixed-Point Theorem)，该定理也被称为压缩映像原理(Contraction Mapping Principle)。
二、巴拿赫不动点定理及其证明巴拿赫不动点定理是泛函分析中最为经典的不动点定理之一，它具体表述为：若给定一个完备的度量空间，并且在该度量空间上定义了一个压缩映像，那么该压缩映像至少存在一个不动点。
压缩映像的定义如下：对于给定的度量空间(X, d)，若存在一个常数0 < k < 1，对于任意的 x, y ∈ X，满足d(f(x), f(y)) ≤ kd(x, y)，则称映像 f 是一个压缩映像。
巴拿赫不动点定理的证明基于完备性和收敛性的概念。
具体的证明过程略显复杂，在此不展开叙述，但是通过巴拿赫不动点定理的证明，我们可以得出一个重要结论：在完备的度量空间上，压缩映像的不动点是唯一的。
三、不动点定理的应用实例不动点定理在许多领域中都有着广泛的应用，以下是其中两个典型的应用实例：1. 应用于微分方程不动点定理在微分方程的研究中扮演着重要角色。
许多微分方程可以转化为积分方程，然后利用不动点定理证明解的存在性和唯一性。
例如，在实数轴上关于初始值问题的微分方程中，可以通过构造合适的算子和空间，将微分方程转化为一个算子方程，然后运用不动点定理证明方程存在解。
2. 应用于经济学模型在经济学领域中，不动点定理也有着广泛的应用。
《2024年几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》范文
《几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一》篇一一、引言不动点定理在数学分析、微分方程和函数理论等多个领域都有着广泛的应用。
在近几十年里，研究者们通过研究不同的不动点定理，得到了许多重要的结论。
本文将介绍几类经典的不动点定理以及Edelstein不动点定理，并探讨它们之间的联系和统一性。
二、几类经典的不动点定理1. 压缩映射不动点定理压缩映射不动点定理是一种常见的不动点定理，它适用于一些具有压缩性质的映射。
根据该定理，如果一个映射满足压缩条件，那么它必定存在一个唯一的不动点。
该定理在函数逼近、数值计算等领域有着广泛的应用。
2. 抽象空间中的不动点定理在抽象空间中，一些具有特定性质的空间如Banach空间、Hilbert空间等都可以应用不动点定理。
这些不动点定理往往需要一些特定的假设条件，例如自映射的性质等。
它们被广泛应用于各种学科中，如泛函分析、控制论等。
3. 重合度不动点定理重合度不动点定理是研究不动点的另一种重要方法。
该定理将映射的重合度（即，正则性的量化指标）与不动点的存在性联系起来。
通过计算重合度，可以判断出不动点的存在性以及数量。
该定理在微分方程、偏微分方程等领域有着广泛的应用。
三、Edelstein不动点定理Edelstein不动点定理是一种更一般的不动点定理，它适用于更广泛的映射和空间。
该定理的优点在于它不需要像压缩映射不动点定理那样具有特定的压缩性质，因此更具有普适性。
在应用中，Edelstein不动点定理常用于证明某些问题的唯一解或解的存在性。
四、几类经典的不动点定理与Edelstein不动点定理的统一虽然几类经典的不动点定理和Edelstein不动点定理各自有着不同的应用和条件，但它们之间也有着内在的联系和统一性。
事实上，一些特定情况下，Edelstein不动点定理可以视为是其他几种经典不动点定理的特例或推导形式。
因此，从理论上来说，可以将它们统一到一个更为一般的框架下进行研究和应用。
几类不动点定理的推广及证明
几类不动点定理的推广及证明几类不动点定理的推广及证明引言：不动点定理是数学中一个重要的定理，它在很多领域都有广泛的应用。
不动点，顾名思义，是指函数中某一点在映射后仍保持不变的点。
不动点定理从不动点的角度给出了函数存在或唯一性的条件。
本文将介绍几类不动点定理的推广，并给出证明。
一、Banach不动点定理的推广及证明：Banach不动点定理是最经典的不动点定理之一。
它适用于完备度量空间中的压缩映射，并保证了该映射存在唯一的不动点。
然而，在非完备度量空间中的压缩映射是否存在不动点呢？为了解决这个问题，可以引入相似性映射的概念。
相似性映射是指满足$d(f(x),f(y))\leq k\cdot d(x,y)$的映射，其中$k\in(0,1)$，$d$表示度量空间中的距离函数。
根据较弱的条件，我们可以推广Banach不动点定理到非完备度量空间中的相似性映射，并得到存在不动点的结论。
证明：设$X$为一个非完备度量空间，$f:X\rightarrow X$为一个相似性映射，即存在$k\in(0,1)$，使得$d(f(x),f(y))\leqk\cdot d(x,y)$对任意$x,y\in X$成立。
我们需要证明$f$存在一个不动点。
首先选取$X$中的任意点$x_0$，定义序列$\{x_n\}$如下：$$x_n=f(x_{n-1}),\ n=1,2,3,\cdots$$接下来，我们证明$\{x_n\}$是一个Cauchy序列。
由相似性映射的性质可知：$$d(x_{n+1},x_n)=d(f(x_n),f(x_{n-1}))\leq k\cdotd(x_n,x_{n-1})$$不妨设$m>n$，则有：$$d(x_m,x_n)\leq\sum_{i=n}^{m-1}d(x_{i+1},x_i)\leq\sum_{i=n}^{m-1}k^{i-n}d(x_1,x_0)$$利用等比数列求和公式，可以得到：$$d(x_m,x_n)\leq\frac{k^n}{1-k}\cdot d(x_1,x_0)$$ 由于$k\in(0,1)$，故$\frac{k^n}{1-k}$是一个有界数列。
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前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。
作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。
1950年，Hukuhara将Schauder不动点定理II与Tyehonoff不动点定理结合起来得到面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff不动点定理：1941年，kllcIltani把Bmuwer不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani不动点定理：（克莱尼）1950年，Botmenblust，Karlin把Sehauder不动点定理I推广到集值映射的情形：1952年，Fan，Glicksberg分别把Tyehonoff不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理或K-F—G不动点定理.即1968年，Browder又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder不动点定理：布劳德不动点定理 : 由布劳德(Browder,.)提出的带边界条件的集值映射不动点定理.设X是局部凸拓扑线性空间,C为X中非空紧凸集,F:C→2X具非空闭凸值且上半连续.记δ(C)={x∈C|存在X的有限维线性子空间E,使得x属于C∩E在E中的边界}.若F满足下述两边界条件之一,则F有不动点:角谷静夫（1911年8月28日 - 2004年8月17日），着名。
教授。
毕业于东北帝国大学理学部数学科。
府出生。
1941年发表了。
角谷的不动点定理将布劳威尔的不动点定理一般化。
在经济学和博弈论中，角谷的不动点定理现在被频繁使用。
莱夫谢茨证明，L(f)是整数，且如L(f)≠0，则f至少有一个不动点．其后莱夫谢茨对他的不动点定理进行一系列推广，先是推广到有边界流形(1926)，在H．霍普夫(Hopf)推广到n维复形的特殊情形(1928)之后，莱夫谢茨又在1930年推广到具有有限贝蒂数的有限维紧度量空间，在1933年对有限维复形给出简单而漂亮的证明，最后他推广到所谓广义流形及局部连通空间．以不动点定理为中心，莱夫谢茨把代数拓扑学推进到一个新阶段．对于交截、乘积和上同调，对于对偶定理、相对同调和奇异同调以及局部连通集都做出系统的发展．原始的莱夫谢茨不动点定理不能包括布劳威尔不动点定理．为了把不动点定理推广到有边界流形(相对流形)，他引入了相对同调群，并把庞加莱对偶定理推广到相对情形，得出莱夫谢茨对偶1374 定理．这不仅是一种推广，而且把以前两个互不相关的庞加莱对偶定理和亚力山大对偶定理统一在一起．不动点定理在数学中占有重要地位，它在无穷维空间被推广成为分析的重要工具，M．F阿蒂亚(Atiyah)及R．鲍特(Bott)把莱夫谢茨不动点定理推广到椭圆复形．江泽涵和姜伯驹等对不动点理论亦有重大发展．的（和）值得注意，它在某种意义上给出了一种计算不动点的方法。
存在对博拉奇空间的概括和一般化，适用于偏微分方程理论一、不动点算法又称固定点算法。
所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换(x),映射到A时,使得x=(x)成立的那种点。
最早出现的是布劳威尔定理(1912)：设A 为R n中的一紧致凸集, 为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=（x）。
其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。
设对每一x∈A，(x)为A的一子集。
若(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈(x i)且y i→y0，则有y0∈(x0),如此的(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若(x)为A的一非空凸集，且(x)在A 上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈(x)。
.绍德尔和又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。
不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。
例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。
对于一个给定的凸规划问题：min{ƒ(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。
通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。
H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。
现以n维单纯形S n为例来说明这一概念，在此,。
对每一i, 将区间0≤x i≤1依次分为m1,m2…等分，m1<m2<…,m i→,是给定的一列正整数。
对于固定的i,过分点依次作平行于x i=0的平面。
这些平面将S n分成若干同样大小的n 维三角形。
它们的全体作成的集 G i,称为S n的一三角剖分。
设ƒ(x)为S n→S n的一连续函数，x＝(x1,x2,…,x n+1),ƒ（x）=（ƒ1（x），ƒ2（x），…，ƒn+1（x））。
定义。
由于ƒ(x)和x皆在S n上,若有则显然有ƒ(x)=x,即x为ƒ(x)的一不动点。
对每一点y∈S n赋与标号l(y)=k=min{j│y∈C j,且y j>0}。
由著名的施佩纳引理,在G i中必存在一三角形σi，它的n+1个顶点y i(k)的标号分别为k(k=1,2,…,n+1)于是可得一列正数i j(j→),使得(k)→y k,k=1,2,…,n+1。
根据σi 的作法，当ij→时,收敛成一个点x。
故y k=x,k=1,2,…,n+1。
因(k)的标号为k,故y k∈C k,因而即x为所求的不动点。
因此,求ƒ(x):S n→S n的不动点问题就化为求σi(i=1,2,…) 的问题。
为了计算上的效果，除了上述的标号法之外，还有标准整数标号法、向量标号法等等。
关于如何求σi，有变维算法、三明治法、同伦算法、变维重始法等等，通过适当定义,可将上之S n 改为R n或R n中之一凸集。
求一凸函数在一凸集上的极值问题也可化为求不动点问题。
一般说来，这条途径适用于维数不高但问题中出现的函数较为复杂的情况。
参考书目Variable Dimension Fixed Point Algorithms and Triangulations, Mathematisch Centrum, Amsterdam, 1980.二、Prof. Yuguang Xu (徐裕光教授)（ Kunming University, China (雲南省昆明學院)）Fixed point theory and its applications（在台湾成功大学所作的报告）不动点理论研究的内容属于数学的非线性泛函分析和一般拓扑学范畴。
研究出的结果被广泛应用于分析数学，力学，微分方程，控制理论，最优化理论，非线性规划，数理经济学和博弈论等应用性学科。
(一)．不动点理论的发展进程• 一个简单的不动点问题（微积分中）；• 1909 年， Brouwer 的著名的不动点定理及一系列的论文创立了不动点理论；• 1922 年 , 波兰著名数学家 S. Banach 给出了一个既简单又实用的压缩映射原理，它也是一个不动点定理。
在简单的条件下， Banach 压缩映射原理不仅指出了映射不动点的存在性和唯一性，还提供了一种逼近不动点的方法；• 1967 年，美国数学家 H. E. Scarf 找到了计算单纯形连续映射不动点的组合拓扑有限算法，这也就是 Brouwer 不动点定理的构造性证明；• 1941 年，日本数学家角谷静夫（ Kakutani ）的集值不动点定理为博弈论建立在数学基础上作了理论准备；• 1968 年的 Fan － Browder 不动点定理， 1972 年的 Himmelberg 不动点定理以及 Tarafdar 在 1987 年和 1992 年分别在拓扑线性空间和 H －空间建立的不动点定理；• 美国数学家 Michael （ 1956 年）， Deutsch 和 Kenderov （ 1983 年），应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理；• 1990 年以后，关于不动点理论的研究达到一个高潮，在各种映射或空间条件下，讨论不动点，随机不动点，几乎不动点等，每年有上百篇论文发表，新的不动点定理和各种迭代逼近方法不断涌现。
(二)．不动点理论的四个研究方向1、在拓扑空间研究“不动点性质”（使用同伦群），不动点的有限算法（组合拓扑）；2 、丹麦数学家 Nielsen 研究不动点的个数（ Nielsen 数），开创不动点类理论的研究，大陆数学家的工作；3、一般度量空间或拓扑向量空间的连续映射的不动点问题4、应用集值分析中的连续选择原理在拓扑空间建立集值不动点定理和几乎不动点定理并应用于博弈论研究。