第6章 不动点理论及应用 研究生 数值分析 教学课件

s, t,
0st
t s 1 ，求方程
(t) 1 1
1
K (s, t ) (s)ds
10 0
的近似连续函数解，且要求误差不超过 10-4。
解
f (t) 1,
1,
10
K(s,t) C[0,1][0,1],
M max 0 t 1
1 0
K (s,
t)ds
1 2
，
令 T (t )
1 1 10
1
0 K(s,t)(s)ds ，其中
（1）寻找压缩算子T ，将问题转化为求 x Tx 的不动点；
（2）构造迭代序列{xn}，取极限点 x* xn ； （3）误差分析； （4）通过实际问题进行验证。
1.在线性代数中的应用（本章不讲，在第九章中介绍）
例如 Ax b x (I A)x b Tx
则迭代格式 xn1 (I A)xn b
证（1）思路：构造算子 T ，并证明 T 是压缩的。
①
C[a,b] 按范数
x(t)
max at b
x(t)
是完备的距离空间；
b
② 在 C[a,b] 上，令Tx(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt ，则
T : C[a,b] C[a,b]
的算子。下面证 T 的压缩性。
证（2）思路：构造算子 T ，并证明 T 是压缩的。
计算步数。此方法有时理论上分析困难。
设迭代到第 n 步，将 x* xn ，则误差估计式为
(xn , x*)
n 1
(Tx0, x0 )
n 1
(x1, x0 )
证
事后（或后验）误差：计算到第 n 步后，估计相邻两次迭代
结果的偏差 (xn , xn1) ，若该值小于预定的精度要求，则取 x* xn 。此方法简单，但有时无法估计计算步数。
则T 在 X 中存在唯一的不动点。
定理的意义在于：如果不能直接得到 T 是压缩算子，可以研 究T n 是否为压缩算子，从而得到 T 有唯一不动点。
证
§6.3 不动点定理的应用
不动点定理建立在距离空间基础上的，而距离空间是一 个比较广泛的抽象空间，所以不动点定理有着广泛的应用。
应用不动点定理解决实际问题的步骤：
关于不动点定理的几个注 （1）定理的证明过程就是求不动点的方法，称为构造性 的证明。 （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。
（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。但T 的选取
及初始点 x0 的选取对迭代速度有影响。初始点离极限点 越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
（4）误差估计 事前（或先验）误差：根据预先给出的精确度，确定
(Tx0, x0 ) (1)r 则T 在 s (x0,r) 中存在唯一的不动点
证明思路：只要证明T 在 s 上满足不动点定理的两个条件即可
证：
推论 2
设（1） X ——完备的距离空间；
（2）T : X X 的算子。 （3）存在 0 1及正整数 n，使x, y X ，都有
(T nx, T n y) (x, y)
替换 x0 转到第二步，继续迭代，当 (x1, x0 ) 时终止，取 x1
为所求结果。误差不超过
1
对于不动点理论，为了便于应用，下面给出两种不同条件
下所适合的方法。
推论 1
设（1） X ——完备的距离空间；
（2）T : X X 的算子。 （3）T 在闭球 s (x0,r) X 上是压缩算子，并且
第6章 不动点理论及应用
§6.1 问题的提出及不动点
§6.2 不动点定理 §6.3 不动点定理的应用
2. 不动点的定义
设（1） X ——距离空间；
（2）算子T : X X 的映射。
若 x* X , s.t. x* Tx* ，则称 x* 为算子T 的不动点。
例：① T : R1 R1, Tx x2 ，则T 的不动点为 x x2 的解 1，0。
定理 1 （一阶微分方程的初值问题）
已知
dy
dx
f (x, y)
y(x0 ) y0
若 f (x, y) 在 R2 上连续，并且满足李普西兹（Lipschitz）条件：
f (x, y1) f (x, y2) L y1 y2 (L 0)
则通过点 (x0, y0 ) 必有且只有一条积分曲线 y y(x)
b
x(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt
则对于充分小的 ，有 （1） f (s) C[a,b], K(s,t) C[a,b][a,b] （正方形域）时，
方程有唯一的连续函数解。
（2） f (s) L2[a,b],
b
a
b a
K
2
(s,
t
)ds
dt
M
时，方程有唯一
的平方可积函数解。
2.不动点定理在常微分方程中的应用 科学技术中常常需要求解常微分方程的定解问题。除了一些
简单的微分方程外，要找出解析解是非常困难的、甚至是不可能 的。因此，许多类型的微分方程应用数值解法求近似解。数值解 法是能够算出解在若干个离散点上近似结果的通用方法。本节只 讨论应用不动点理论在函数空间中给出常微分方程解的存在性 和唯一性定理，至于具体的求解方法可参考其它教材。下面以一 阶微分方程的初值问题为例进行讨论。
② T : R2 R2, T (x, y) (x,0) ，则T 的不动点为 x 轴上的所有点
③
T
:
R2
R2 ,旋转变换T
x
y
cos
sin
sin x
cos
y
，则T
的
不动点为坐标原点(0, 0)。
④ T : R1 R1, 平移变换Tx x b(b 0) ，则T 没有不动点。
1 10
1 M
，
M
1 20
1 ，故
由定理 2（1）的证明知，算子方程 T 存在唯一的不动
点* C[0,1] 。
22 2
1
2
② Tx x0是压缩算子（ 0 ）
③ Tx x 不是压缩算子（ 1 ）
2.不动点定理 设（1） X
是完备的距离空间；
（2）T : X X 的压缩算子。
则T 在 X 上存在唯一的不动点 x* ，即 x* X , s.t. x* Tx*
证 先证存在性，再证唯一性 存在性：
唯一性：
则称 T 是 X 上的压缩算子。 为压缩系数。
性质：压缩算子 T 是连续的 证 若 xn x ，即 (xn, x) 0，则 (Txn,Tx) (xn, x) 0
例： T : R1 R1，则
①
Tx
1 2
x
是压缩算子
因为
(Tx,Ty) Tx Ty 1 x 1 y 1 (x, y),
1
①
L2 [a, b] 按范数
x(t)
2
b a
x(t
)
2
dt
2
是完备的距离空间；
b
② 在 L2[a,b]上，令Tx(s) f (s) a K (s,t)x(t)dt ，则
T : L2[a,b] L2[a,b]
的算子。下证T 的压缩性。
第一种情形举例
例
设在
C[0,1]
上有K(s,t)若序列{xn}收敛，则极限点 x* 为 x Tx 的不动点。
这种用逐次代入法构造近似解的方法称为迭代法。不
同的算子方程，得到不同的迭代法。
§6.2 不动点定理
1.压缩算子:
设（1） X 距离空间； （2）算子T : X X 的映射。 若 (0 1), s.t. x, y X ，恒有
(Tx,Ty) (x, y)
求解算子方程 x Tx ，需要解决三个问题：一、不动点 的存在性、唯一性问题；二、求不动点（即求近似解）的 方法问题；三、误差分析。
求不动点的方法——迭代法
取初始点 x0 ，构造迭代序列： xn1 Txn ( n 0,1,2,L ) ，即 x1 Tx0 ， x2 Tx1, x3 Tx2，L ，xn Txn1,L
设迭代到第 n 步，将 x* xn ，则误差估计式为
(xn , x*)
1
(xn ,
xn 1 )
或
(xn ,
x* )
1
1
( xn1 ,
xn )
证
求解不动点的具体步骤：
Step1 提供迭代初始点 x0 ；
Step2 计算迭代点 x1 Tx0 ；
Step3 控制步数，检查 (x1, x0 ) ，若 (x1, x0 ) 。则以 x1
x
证：初值问题 求解方程 y(x) y(x0)
f (t, y(t))dt
x0
x
令Ty y0 x0 f (t, y)dt ，则问题为解 y Ty 的不动点。
（下面只要证明T 满足不动点定理的两个条件即可）
3.不动点定理在积分方程中的应用
定理 2 设有线性积分方程（Fredhlolme—弗雷德霍姆方程）