Banach不动点理论及其应用

不动点定理及其应用综述
摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。

[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。

一、压缩映射原理
压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。

它的数学定义为： 定义1.1 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有
,x y X ∈，有下式成立
(,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （1.1） 则称T 是压缩映射。

定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。

证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2）
则{}n x 为柯西点列。

实际上，
111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤
21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3）
根据三点不等式，当n m >时，
1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤++
+
1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++
011(,)1n m
m
d x x ααα
--=- （1.4）
由于1α<，故11n m α--<，得到
01(,)(,)()1m
m n d x x d x x n m αα
≤>- （1.5）
所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。

由于X 完备，x X ∃∈，
使得()m x x m →→∞，又由三点不等式，有
1(,)(,)(,)(,)(,)m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+ （1.6）
上面不等式右端在m →∞时趋于0，故(,)0d x Tx =，即x Tx =。

不动点的唯一性：假设同时存在x X '∈,有x Tx ''=成立，则
(,)(,)(,)d x x d Tx Tx d x x α'''=≤ （1.7） 由于1α<，所以必有(,)0d x x '=，即x x '=。

证毕。

定理中的映射T 是定义在整个X 上的，但实际上有些问题中遇到的映射T
只在X 的一个子集上有定义或压缩性质。

为了适应这种情形的需要，定义X 上的闭子集的不动点定理如下。

定理 1.2 设(,)X ρ是完备的。

T 是X X →的映射。

若在X 的闭球
0{:(,)}Y x x x r ρ=≤上T 是压缩的，并且满足条件
00(,)(1),(,)(,),,x Tx r Ty Tx y x x y Y ραραρ≤-≤∀∈ （1.8） 此处α是满足01α≤<的常数，则T 在Y 内有唯一的不动点。

证明：Y 作为(,)X ρ内的闭集按X 的距离成一完备距离空间，倘能证明()T Y Y ⊂，那么T 就是Y Y →上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。

实际上，任取x Y ∈，令y Tx =，则000000(,)(,)(,)(,)(1)(,)x y x Tx x Tx Tx Tx r x x r ρρρρααρ=≤+≤-+≤，可见y Y ∈，证毕。

应用压缩映射原理需要注意的几个方面
（1）根据证明可知，为了获取不动点*x ，可以从X 中的任意一点出发 （2）在T 满足
(,)(,),d Tx Ty d x y x y <≠ （1.9）
的条件下，T 在X 上不一定存在不动点。

例：令arctan ,2
Tx x x x R π
=+
-∈，T 是从R 到R 的映射。

设,x y R ∈，则
(arctan arctan )Tx Ty x y x y -=--- （1.10）
根据微分中值定理，必定存在(,)x y ξ∈，使得22
()1Tx Ty x y ξξ-=-+，故
Tx Ty x y -<- （1.11）
即(,)(,)d Tx Ty d x y <，但是当Tx x =时，方程arctan 2
x π
=
无解，因此，映射T 没
有不动点。

倘若给满足（）的算子加上适当的限制，便能保证T 有不动点。

定理1.3 设(,)X ρ完备，映射:T X X →满足条件（）。

若()T X X Ω=⊂是列紧集，则T 有唯一的不动点。

证明：取Ω的闭包X Ω⊂。

它是X 内的自列紧集（即紧致性），而且有()T Ω⊂Ω。

在Ω上定义一个实值函数
()(,)x x x φρρ= （1.12）
()x φ是Ω上的连续函数。

它在Ω上达到最小值，即存在*x ∈Ω使
**
(,)min (,)x x Tx x Tx ρρ∈Ω
= （1.13） 则**(,)0x Tx ρ=。

假若不然，即**(,)0x Tx ρ>，考虑*Tx 和2*T x ，它们都属于Ω。

而由（）得
*2***
(,)(,)min (,)x Tx T x x Tx x Tx ρρρ∈Ω
<= （1.14） 得到矛盾，不动点的存在性证得。

T 的不动点是唯一的。

假设有x x '''≠使得,Tx x Tx x ''''''==，那么一方面有
(,)(,)Tx Tx x x ρρ''''''=，另一方面由（）有(,)(,)Tx Tx x x ρρ''''''<，矛盾，可见x x '''=。

证毕。

（3）压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。

例：设(0,1]X =具有由R 诱导出的距离，定义T 如下：
x
Tx =2 （1.15）
T 是压缩映射，但是没有不动点。

（4）方程Tx x =的不动点*x 在大多数情况下实际上不易求得，因此常用n x 作为其近似值。

这样就要估计n x 与*x 的误差。

若用n x 近似代替*x ，由于1n n x Tx -=，则其误差为
*
00(,)(,)1n
n d x x d x Tx θθ
≤- （1.16）
这就是误差估计式。

二、隐函数存在定理和皮卡定理
定理2.1（隐函数存在定理）：设函数(,)f x y 在带状域
,a x b y ≤≤-∞<<+∞ （2.1） 中处处连续，且处处有关于y 的偏导数(,)y f x y '，如果还存在常数m 和M ，满足 0(,),y m f x y M m M '<≤≤< （2.2） 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解：
(,())0,[,]f x x x a b ϕ≡∈ （2.3） 证明：在完备空间[,]C a b 上作映射A ，使对任意的函数[,]C a b ϕ∈，有
1
()()()(,())A x x f x x M
ϕϕϕ=-。

按照定理条件，(,)f x y 是连续的，故()()A x ϕ也连续，即[,]A C a b ϕ∈。

所以A 是[,]C a b 到自身的映射。

A 是压缩映射。

实际上，对于12,[,]C a b ϕϕ∀∈，根据微分中值定理，存在
01θ<<，满足
212211*********()()()()
11()(,())()(,())1()()[,()(()())](()())
()()(1)
y A x A x x f x x x f x x M M
x x f x x x x x x M m
x x M
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕθϕϕϕϕϕϕ-=-
-+'
=--+--≤-- （2.4）
由于01m M <
<，所以令1m
M
α=-，则有01α<<，且 2121()()()()(()())A x A x x x ϕϕαϕϕ-≤- （2.5）
按[,]C a b 中距离的定义，即知
2121(,)(,)d A A d ϕϕαϕϕ≤ （2.6）
因此，A 是压缩映射。

由不动点定理，存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足A ϕϕ=，即
1
()()(,())x x f x x M
ϕϕϕ≡-
，也就是说(,())0,f x x a x b ϕ≡≤≤。

证毕。

定理2.2（皮卡定理）：设(,)f t x 是矩形
00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤ （2.7） 上的二元连续函数，设(,)f t x M ≤，(,)t x D ∈，又(,)f t x 在D 上满足利普希茨条件，即存在常数K ，使对任意的(,),(,)t x t v D ∈，有
(,)(,)f t x f t v K x v -≤- （2.8）
那么方程
(,)dx
f t x dt
=在区间[]00,J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =的连续函数解，其中
1
min{,,}b a M K β< （2.9）
为了证明本定理，首先有如下结论和定理： 结论：C[a,b]是完备的度量空间
定理2.3 完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 上的闭子空间
（皮卡定理）证明：设0C[,]0t t ββ-+表示区间0[,]0J =t t ββ-+上连续函数全体按距离d(x,y)max ()()t J
x t y t ∈=-所成的度量空间，由上面结论，0C[,]0t t ββ-+是
完备度量空间，又令C '表示0[,]0C t t ββ-+中满足条件 0()x t x M β
-≤ ()t J ∈ （2.10）
的连续函数全体所成的子空间，不难看出C '是闭子空间，由上面定理知，C '是
完备度量空间。

令
0(T )(t)(t,(t))dt t
t
x x f x =+⎰ （2.11）
则T 是C '到C '的映射。

事实上，因M b β<，所以若x C '∈，那么当0[,]0t t t ββ∈-+时，(,())t x t D ∈，又因(,)f t x 是D 上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。

又对一切t J ∈，
00()()(,())t
t Tx t x f t x t dt M t t M β-=
≤-≤⎰
（2.12）
所以，当x C '∈时，Tx C '∈。

下面证明T 是压缩映射，实际上，由条件（2.8），对C '中任意两点x 和v ，有
()()()()[(,())(,)t
t Tx t Tv t f t x t f t v dt
-=
-⎰0max ()()a t b
t t K x t v t ≤≤≤--(,)K d x v β≤
（2.13） 令K αβ=，则01α<<，且
(,)max ()()()()(,)a t b d Tx Tv Tx t Tv t ad x v ≤≤=-≤ （2.14）
所以T 是C '上的压缩映射。

由不动点定理，存在唯一的x C '∈，使得Tx x =，即
0()[(,())t
t x t x f t x t dt =+⎰ （2.15） 且00()x t x =。

两边对t 求导，即得
()
(,())dx t f t x t dt
=。

这说明()x t 是方程()
(,())dx t f t x t dt
=满足初值条件00()x t x =的解。

另外，设()x t '也是此方程满足初值条件的解，那么
0()[(,())t
t
x t x f t x t dt ''=+⎰ （2.16）
因而x C ''∈，且x '是T 的不动点，由不动点唯一性必有x x '=，即方程
()
(,)dx t f t x dt
=在区间0[,]0t t ββ-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =的连续函数解，证毕。

三、利用Banach 不动点定理证明区间套定理
定理3.1（区间套定理）：若闭区间列{[]}n n a ,b 具有如下性质 (1) 11{[]}{[]},1,2,3,
n n n n a ,b a ,b n ++⊃=(2) lim()0n n n b
a →∞
-=
则存在唯一的ζ，使得[],1,2,
n n a ,b n ζ∈=
在数学分析中，可根据单调有界原理证明区间套定理，下面采用不动点定理证明 证明：由条件（2），不妨设该区间列中任意两个区间不完全重合，显然闭区间
[]k k a ,b 按距离(,),,[],k 1,2,
k k d x y x y x y a ,b =-∀∈=是完备距离空间。

作映射：
11
1()()k k k k k k
b a f x x a a b a +++-=
-+- （3.1） 于是对任意的[]k k x a ,b ∀∈，有11()[][]k k k k f x a ,b a ,b ++∈⊂，从而()f x 是[]k k a ,b 到自身的映射。

对于,[]k k x x a ,b '''∀∈，有
11
()()k k k k
b a f x f x x x b a ++-''''''-=
-- （3.2）
令111(1)2k k k k
b a
b a α++-=+-，由于11[][]k k k k a ,b a ,b ++⊃，于是1101k k k k b a b a ++-<<-，从而
01α<<且
11
k k k k
b a b a α++-<-，因此
()()f x f x x x α''''''-<- （3.3）
所以f 是[]k k a ,b 到自身的压缩映射。

由Banach 不动点定理可知，f 在[]k k a ,b 上存在唯一不动点，即存在[]k k k a ,b ζ∈，使得(),1,2,
k k f k ζζ==，因
11[][]k k k k a ,b a ,b ++⊂，1,2,k =故存在[],n 1,2,
n n a ,b ζ∈
=
假设另存在[],n 1,2,
n n a ,b ζ'∈=，则有,n n a b ζζ'≤≤，n 1,2,
=，于是
,n 1,2,n n b a ζζ'-≤-
= （3.4）
从而lim()0,n 1,2,
n n n b a ζζ→∞
'-≤-==，因此ζζ'=，证毕。

四、不动点定理解线性代数方程组
定理4.1 设有线性方程组x=Ax+b ，其中ij A a =是n n ⨯矩阵，12(,,,)T
n x x x x =是未知向量，12(,,
,)T n b b b b =是已知的n 维列向量，若矩阵A 满足条件
11
max 1n
ij i n
j a θ≤≤==<∑ （4.1）
则方程组x=Ax+b 有唯一的解。

证明：令n X F =，对于任意的12(,,
,)T n x x x x =，(,,)T 12n y =y ,y y X ∈，定义
它们的距离为1(,)max k k k n
d x y x y ∞≤≤=-，对于任意的x X ∈，定义映射:T X X →为：
Tx=Ax+b 。

因为
11
1
(,T )max ()()
n
n
ij j i ij j i i n
j j d Tx y a x b a y b ∞≤≤===+-+∑∑
11
max n
ij j j
i n
j a x y ≤≤=≤-∑
111
max max n
j j ij i n i n
j x y a ≤≤≤≤=≤-∑
11
max (,)n
ij i n
j a d x y ∞≤≤==∑
（4.2）
故T 为压缩映射，由(,)n F d ∞的完备性知，T 存在唯一的不动点*x ，因此
***x Tx Ax b ==+，即方程x=Ax+b 存在唯一解。

五、积分方程解的存在唯一性
定理5.1（第二类Fredholm 积分方程的解）设第二类Fredholm 线性积分方程
()()(,)()b a
x t f t K t s x s ds λ=+⎰
（5.1）
其中λ为参数，对充分小的λ，则
（1）当[,]f C a b ∈，(,)K t s 是定义在a t b ≤≤，a s b ≤≤内的连续函数时，（5.1）有唯一的连续解 ()[,]x t C a b ∈，而且()x t 是迭代序列
1()()(,)(),0,1,2,b
n n a
x t f t K t s x s ds n λ
-=+=⎰
（5.2）
的极限，其中0()x t 可取[,]C a b 中的任意函数；
（2）当2
(,)f L a b ∈，积分核(,)K t s 是定义在a t b ≤≤，a s b ≤≤内的可测函数，满足
2
(,)b b
a
a
K t s dtds <+∞⎰⎰
（5.3）
（(,)K t s 是定义在a t b ≤≤，a s b ≤≤内的2L 可积函数）时，（5.1）有唯一的解
2([,])x L a b ∈。

证明：（1）令:[,][,]T C a b C a b →为
()()()(,)()b a
Tx t f t K t s x s ds λ=+⎰ （5.4）
由于()f t ，(,)K t s 分别在[,]a b 和[,][,]a b a b ⨯上连续，当[,]x C a b ∈，[,]Tx C a b ∈，即T 是[,]C a b 到自身的映射，并且算子T 的不动点*x 就是积分方程的解。

一般情况下，T 不是压缩映射，但当1/[()]M b a λ<-时，T 为压缩映射，其中
,max (,)a t s b
M K t s ≤≤=。

事实上，对[,]C a b 中的任意两元素x,y 有
,(,)max ()()()()a t s b
d Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=-
,max (,)[()()]b
a
a t s b
K t s x s y s ds λ≤≤=-⎰
,max (,)()()b
a
a t s
b K t s x s y s ds λ
≤≤≤-⎰
,max ()()()a t s b
M x s y s b a λ≤≤≤--
()(,)M b a d x y λ=- （5.5）
可见，当()1M b a θλ=-<时，T 为压缩映射，由于[,]C a b 为完备空间，故T 存在唯一的不动点*x ，因此，1/[()]M b a λ<-时，积分方程（5.1）有唯一的连续解。

（2）令22:(,)(,)T L a b L a b →为
()()()(,)()b a
Tx t f t K t s x s ds λ=+⎰ （5.6）
由
2
(,)()b b
a a K t s x s ds dt ⎰⎰
2
2
[(,)()]b b
b
a
a a
K s t ds
x s ds dt ≤⎰⎰⎰
2
2
(,)()b
b
b a
a
a
K s t dsdt
x s ds =<+∞⎰
⎰
⎰
（5.7）
以及T 的定义可知，T 是由2(,)L a b 到自身的映射，取λ充分小使得 2
1/2[(,)]1b b
a
a
K t s dsdt θλ=<⎰⎰
（5.8）
于是
{}
1/2
2
(,)()()()()b
a
d Tx Ty Tx t Ty t dt =
-⎰
1/2
2
(,)(()()b b a a K t s x s y s ds dt λ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭⎰⎰
1/2
2
(,)()()b b a a K s t x s y s ds dt λ⎧⎫⎡⎤≤-⎨⎬⎢
⎥⎣⎦⎩⎭⎰⎰
{}
1/2
2
2
(,)()()b b
b
a
a
a
K s t dtds
x s y s ds
λ≤-⎰⎰
⎰
1/2
2(,)(,)(,)b b a a K s t dtds d x y d x y λθ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ （5.9）
故T 为压缩映射，由不动点定理知，T 存在唯一的不动点*2(,)x L a b ∈，即积分方程（5.1）有唯一的平方可积解。

证毕。

考虑V olterra 积分方程
()()(,)()t
a
x t f t K t x d λ
τττ=+⎰
（5.10）
其中()[,]f t C a b ∈，(,)K t τ在三角形域:R a t b τ≤≤≤上连续。

推论5.2 设X 是完备距离空间，:A X X →,如果存在常数(0,1)α∈和正整数n,使得,x y X ∀∈，有
(,)(,)n n d A x A y d x y α≤ （5.11） 则A 在X 中存在唯一不动点。

定理5.3（V olterra 定理）1()[,],f t C a b R λ∀∈∈，则积分方程（5.9）有唯一的连续解()[,]x t C a b '∈。

证明：记(,)max (,)t s R
M K t τ∈=。

令
()()()(,)()t
a
Ax t f t K t x d λτττ=+⎰ （5.12）
则易知:[,][,]A C a b C a b →，且对,[,]x y C a b ∀∈，有
[,](,)max (,)(()())t
a
t a b d Ax Ay K t x y d λ
ττττ∈=-⎰
()(,)b a Md x y λ≤- （5.13）
注意这里()b a M λ-未必小于1，故A 并不一定是压缩映射。

但可以证明：当n 充分大时，n A A A
A =是压缩映射，事实上，
2
()()(()())()(,)()t
a A x t A Ax t A f t K t x d λτττ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦
⎰ ()(,)()(,)()t u
a a f t K t u f u K u x d du λλτττ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ （5.14）
2222[,]
(,)max ()()()()t a b d A x A y A x t A y t ∈=-
2
[,]max (,)(,)(()())t
u
a a t a
b K t u K u x y d du λττττ∈⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
11
2221(,)()2t
a
M d x y u a λ≤- 2
22()(,)2!t a M d x y λ-= 222
()(,)2!M b a d x y λ-≤ （5.15）
应用归纳法可以证明：[,],,[,]t a b x y C a b ∀∈∈，有
()()(,)(,)(,)!!n n n n
n n
n n M t a M b a d A x A y d x y d x y n n λλ--≤≤ （5.16）
由于()lim 0!n n n n M b a n λ→∞-=，故当n 充分大时，有
()1!n n n
M b a n λα-=< （5.17）
即A 是压缩映射，由推论5.2知，A 有唯一的不动点()[,]x t C a b '∈，即积分方程（5.10）有唯一的连续解()x t '。

证毕。

根据以上证明可看出，Banach 空间不动点理论应用于微分方程，积分方程，线性方程组解的存在唯一性的证明将十分简便。

参考文献
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