Banach不动点理论及其应用

不动点定理及其应用综述摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。

[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。

一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。

它的数学定义为： 定义1.1 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立(,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （1.1） 则称T 是压缩映射。

定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。

证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2）则{}n x 为柯西点列。

实际上，111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3）根据三点不等式，当n m >时，1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++011(,)1n mmd x x ααα--=- （1.4）由于1α<，故11n m α--<，得到01(,)(,)()1mm n d x x d x x n m αα≤>- （1.5）所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。

由于X 完备，x X ∃∈，使得()m x x m →→∞，又由三点不等式，有1(,)(,)(,)(,)(,)m m m m d x Tx d x x d x Tx d x x d x x α-≤+≤+ （1.6）上面不等式右端在m →∞时趋于0，故(,)0d x Tx =，即x Tx =。

不动点的唯一性：假设同时存在x X '∈,有x Tx ''=成立，则(,)(,)(,)d x x d Tx Tx d x x α'''=≤ （1.7） 由于1α<，所以必有(,)0d x x '=，即x x '=。

证毕。

定理中的映射T 是定义在整个X 上的，但实际上有些问题中遇到的映射T只在X 的一个子集上有定义或压缩性质。

为了适应这种情形的需要，定义X 上的闭子集的不动点定理如下。

定理 1.2 设(,)X ρ是完备的。

T 是X X →的映射。

若在X 的闭球0{:(,)}Y x x x r ρ=≤上T 是压缩的，并且满足条件00(,)(1),(,)(,),,x Tx r Ty Tx y x x y Y ραραρ≤-≤∀∈ （1.8） 此处α是满足01α≤<的常数，则T 在Y 内有唯一的不动点。

证明：Y 作为(,)X ρ内的闭集按X 的距离成一完备距离空间，倘能证明()T Y Y ⊂，那么T 就是Y Y →上的压缩映射，根据不动点定理即可得证。

实际上，任取x Y ∈，令y Tx =，则000000(,)(,)(,)(,)(1)(,)x y x Tx x Tx Tx Tx r x x r ρρρρααρ=≤+≤-+≤，可见y Y ∈，证毕。

应用压缩映射原理需要注意的几个方面（1）根据证明可知，为了获取不动点*x ，可以从X 中的任意一点出发 （2）在T 满足(,)(,),d Tx Ty d x y x y <≠ （1.9）的条件下，T 在X 上不一定存在不动点。

例：令arctan ,2Tx x x x R π=+-∈，T 是从R 到R 的映射。

设,x y R ∈，则(arctan arctan )Tx Ty x y x y -=--- （1.10）根据微分中值定理，必定存在(,)x y ξ∈，使得22()1Tx Ty x y ξξ-=-+，故Tx Ty x y -<- （1.11）即(,)(,)d Tx Ty d x y <，但是当Tx x =时，方程arctan 2x π=无解，因此，映射T 没有不动点。

倘若给满足（）的算子加上适当的限制，便能保证T 有不动点。

定理1.3 设(,)X ρ完备，映射:T X X →满足条件（）。

若()T X X Ω=⊂是列紧集，则T 有唯一的不动点。

证明：取Ω的闭包X Ω⊂。

它是X 内的自列紧集（即紧致性），而且有()T Ω⊂Ω。

在Ω上定义一个实值函数()(,)x x x φρρ= （1.12）()x φ是Ω上的连续函数。

它在Ω上达到最小值，即存在*x ∈Ω使**(,)min (,)x x Tx x Tx ρρ∈Ω= （1.13） 则**(,)0x Tx ρ=。

假若不然，即**(,)0x Tx ρ>，考虑*Tx 和2*T x ，它们都属于Ω。

而由（）得*2***(,)(,)min (,)x Tx T x x Tx x Tx ρρρ∈Ω<= （1.14） 得到矛盾，不动点的存在性证得。

T 的不动点是唯一的。

假设有x x '''≠使得,Tx x Tx x ''''''==，那么一方面有(,)(,)Tx Tx x x ρρ''''''=，另一方面由（）有(,)(,)Tx Tx x x ρρ''''''<，矛盾，可见x x '''=。

证毕。

（3）压缩映射原理中，距离空间的完备性不能少。

例：设(0,1]X =具有由R 诱导出的距离，定义T 如下：xTx =2 （1.15）T 是压缩映射，但是没有不动点。

（4）方程Tx x =的不动点*x 在大多数情况下实际上不易求得，因此常用n x 作为其近似值。

这样就要估计n x 与*x 的误差。

若用n x 近似代替*x ，由于1n n x Tx -=，则其误差为*00(,)(,)1nn d x x d x Tx θθ≤- （1.16）这就是误差估计式。

二、隐函数存在定理和皮卡定理定理2.1（隐函数存在定理）：设函数(,)f x y 在带状域,a x b y ≤≤-∞<<+∞ （2.1） 中处处连续，且处处有关于y 的偏导数(,)y f x y '，如果还存在常数m 和M ，满足 0(,),y m f x y M m M '<≤≤< （2.2） 则方程(,)0f x y =在区间[,]a b 上必有唯一的连续函数()y x ϕ=作为解：(,())0,[,]f x x x a b ϕ≡∈ （2.3） 证明：在完备空间[,]C a b 上作映射A ，使对任意的函数[,]C a b ϕ∈，有1()()()(,())A x x f x x Mϕϕϕ=-。

按照定理条件，(,)f x y 是连续的，故()()A x ϕ也连续，即[,]A C a b ϕ∈。

所以A 是[,]C a b 到自身的映射。

A 是压缩映射。

实际上，对于12,[,]C a b ϕϕ∀∈，根据微分中值定理，存在01θ<<，满足212211*********()()()()11()(,())()(,())1()()[,()(()())](()())()()(1)y A x A x x f x x x f x x M Mx x f x x x x x x M mx x Mϕϕϕϕϕϕϕϕϕθϕϕϕϕϕϕ-=--+'=--+--≤-- （2.4）由于01m M <<，所以令1mMα=-，则有01α<<，且 2121()()()()(()())A x A x x x ϕϕαϕϕ-≤- （2.5）按[,]C a b 中距离的定义，即知2121(,)(,)d A A d ϕϕαϕϕ≤ （2.6）因此，A 是压缩映射。

由不动点定理，存在唯一的[,]C a b ϕ∈满足A ϕϕ=，即1()()(,())x x f x x Mϕϕϕ≡-，也就是说(,())0,f x x a x b ϕ≡≤≤。

证毕。

定理2.2（皮卡定理）：设(,)f t x 是矩形00{(,),}D t x t t a x x b =-≤-≤ （2.7） 上的二元连续函数，设(,)f t x M ≤，(,)t x D ∈，又(,)f t x 在D 上满足利普希茨条件，即存在常数K ，使对任意的(,),(,)t x t v D ∈，有(,)(,)f t x f t v K x v -≤- （2.8）那么方程(,)dxf t x dt=在区间[]00,J t t ββ=-+上有唯一的满足初值条件00()x t x =的连续函数解，其中1min{,,}b a M K β< （2.9）为了证明本定理，首先有如下结论和定理： 结论：C[a,b]是完备的度量空间定理2.3 完备度量空间X 的子空间M 是完备空间的充要条件为M 是X 上的闭子空间（皮卡定理）证明：设0C[,]0t t ββ-+表示区间0[,]0J =t t ββ-+上连续函数全体按距离d(x,y)max ()()t Jx t y t ∈=-所成的度量空间，由上面结论，0C[,]0t t ββ-+是完备度量空间，又令C '表示0[,]0C t t ββ-+中满足条件 0()x t x M β-≤ ()t J ∈ （2.10）的连续函数全体所成的子空间，不难看出C '是闭子空间，由上面定理知，C '是完备度量空间。

令0(T )(t)(t,(t))dt ttx x f x =+⎰ （2.11）则T 是C '到C '的映射。

事实上，因M b β<，所以若x C '∈，那么当0[,]0t t t ββ∈-+时，(,())t x t D ∈，又因(,)f t x 是D 上二元连续函数，所以上式右端积分有意义。